Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Transkript

1 Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem: Der findes uendeligt mange primtal Antag at der findes et endeligt antal primtal, p 1, p 2,..., p k Betragt nu tallet N = p 1. p 2... p k +1 N er forskellig fra alle kendte primtal Men ingen af de kendte primtal går op i N (resten ved division er 1) Så N er et primtal Vi har dermed en modstrid, hvilket beviser sætningen 1 2 Nogle personer står i kø: Matematisk induktion uformel beskrivelse Matematisk induktion formel beskrivelse Lad T være et teorem, der skal bevises, og lad T være udtrykt i termer af heltalsparameteren n Teoremet T gælder da for enhver værdi af n! c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt: Hvis (1) jeg kender den forreste person, og (2) hvis jeg for enhver person, jeg kender i køen, også kender dennes efterfølger, så kender jeg alle personer i køen. Også selv om køen er uendelig lang 1. Basistilfældet: T gælder for n = c, og 2. Induktionsskridtet: Hvis T gælder for n-1, så gælder T for n Antagelsen i induktionsskridtet kaldes induktionshypotesen. 3 4

2 Eksempler på induktion Møntveksling Teorem: Summen S(n) af de første n naturlige tal er n(n+1)/2 (1) Basistilfældet. For n = 1 er S(1) =1, hvilket stemmer med formlen (2) Induktionsskridtet. Antag at sætningen gælder for n-1, d.v.s. S(n-1) = (n-1)n/2 S(n) = S(n-1) + n = (n-1)n/2 + n = n(n+1)/2 Dermed gælder sætningen også for n Teorem: Ethvert beløb! 4 kroner kan veksles i et antal 2-kroner og et antal 5-kroner. (1) Basistilfældet. 4 kroner kan veksles ved hjælp af to 2-kroner. (2) Induktionsskridtet. Antag at n-1 kroner kan veksles. Vi kan vise, at denne veksling kan benyttes som udgangspunkt til at veksle n kroner Enten indeholder vekslingen en 5-krone, eller også gør den det ikke I første tilfælde erstattes 5-kronen med tre 2-kroner I andet tilfælde erstattes to 2-kroner med en 5-krone 5 6 Stærk induktion Teoremet T gælder for enhver værdi af n! c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt: 1. Basistilfældet: T gælder for n = c, og 2. Induktionsskridtet: Hvis T gælder for ethvert k, c " k < n, så gælder T for n Induktion kan benyttes ved design af algoritmer Induktionsprincippet kan benyttes konstruktivt Løsning af små problemer benyttes til at løse større problemer (1) Start med en vilkårlig instans af problemet (2) Prøv at løse dette under antagelse af, at det samme problem - men af mindre størrelse - er blevet løst 7 8

3 At ræsonnere om algoritmer Verifikation af algoritmer Evnen til at drage logiske slutninger er nyttig ved algoritmedesign En algoritme A siges at være partielt korrekt, når der gælder følgende: Hvis A terminerer for et givet legalt input, så vil dens output være korrekt fejlfinding forbedringer verifikation (bevis for korrekthed) En algoritme A siges at være korrekt (eller totalt korrekt), hvis A er partielt korrekt, og A terminerer for ethvert legalt input Bevisførelse af partiel korrekthed foretages ved brug af påstande (assertions) En påstand er et logisk udsagn, der er knyttet til et givet punkt i algoritmen, og som er opfyldt, hver gang algoritmen når til dette punkt 9 10 Påstande Eksempler på påstande Før-betingelse (precondition) Et udsagn, som gælder før udførelsen af en eller flere sætninger Efter-betingelse (postcondition) Et udsagn, som gælder efter udførelsen af en eller flere sætninger Løkke-invariant (loop invariant) Et udsagn, som gælder umiddelbart før løkke-testen i en løkke { m " n før-betingelse sort(a, m, n); { a[m] " a[m+1] "... " a[n] efter-betingelse i = m; while { a[m] " a[m+1] "... " a[i-1] ^ a[m.. i-1] " a[i.. n] løkke-invariant (i < n) { min = i; for (j = i + 1; j <= n; j++) if (a[j] < a[min]) min = j; x = a[i]; a[i] = a[min]; a[min] = x; i++; 11 12

4 Tildeling: Valg: Regler for verifikation { P w { w > 2 v = w; { P { v > 2 w! v {P if (B) { P ^ B S1; else { P ^ B S2; Givet algoritmen Eksempel på verifikation (heltalsdivision) q = 0; r = x; while (r >= y) { hvor x, y, q og r er heltal, x! 0 og y > 0 Bevis, at algoritmen bestemmer kvotienten q og resten r ved heltalsdivision af x med y, d.v.s. r = x - qy (0 " r < y) Bevisførelsen (1) Løkke-invarianten er opfyldt ved indgangen til løkken (2) Hvis løkke-invarianten er opfyldt i en given iteration, så er den også opfyldt i den efterfølgende iteration (3) Hvis algoritmen terminerer, så er dens efter-betingelse opfyldt (4) Algoritmen terminerer induktion { x! 0, y > 0 algoritmens før-betingelse q = 0; r = x; while { r = x - qy ^ r! 0 løkke-invariant (r >= y) { { r = x - qy ^ r! y " { r - y = x - (q+1)y ^ r - y! 0 { r = x - (q+1)y ^ r! 0 { r = x - qy ^ 0 " r < y algoritmens efter-betingelse 15 16

5 Terminering q = 0; r = x; while (r >= y) { Algoritmen terminerer Da y > 0, mindskes r ved hvert gennemløb af løkken Løkketesten må derfor blive falsk efter et endeligt antal gennemløb 17