Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Transkript

1 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ hypotese, der må accepteres hvis H forkastes Trin : Vælg statistisk model Test statistik og sampling fordeling fastsættes (vælges under hensyntagen til H og H ) Statistik 7. gang Beslutning: H er sand H er ikke sand Accepter H Korrekt beslutning Forkert beslutning Type II fejl Forkast H Forkert beslutning Type I fejl Korrekt beslutning Type I og II fejl er ikke uafhængige Normalt tages der mest hensyn til type I fejl! Signifikansniveau: α sandsynlighed for type I fejl Trin 3: Vælg signifikansniveau β sandsynlighed for type II fejl Beslutning: H er sand H er ikke sand Accepter H Korrekt beslutning Forkert beslutning Type II fejl Forkast H Forkert beslutning Type I fejl Korrekt beslutning Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α =. eller.5 Statistik 7. gang 3 Trin 4: Indsaml data og beregn test statistik Udfra en stikprøve med n udfald beregnes test statistikken Trin 5: Definer forkastelsesområdet Det område for test statistikken, der medfører at H forkastes (område der er usandsynligt for test statistikken, hvis hypotesen er sand) Statistik 7. gang 4 Området afhænger af: - Formuleringen af H - Fordelingsfunktionen for test statistikken - Signifikans-niveauet Trin 6: Konklusion H accepteres hvis værdien af test statistikken ligger indenfor det acceptable område H forkastes og derved accept af H hvis værdien af test statistikken ligger udenfor det acceptable område

2 Statistik 7. gang HYPOTESETEST AF MIDDELVÆRDIER KENDT SPREDNING Statistik 7. gang 6 I dette tilfælde udføres en enkeltsidet test, små styrker betragtes som kritiske : Eks: Test af stål trækstyrke: kan det konkluderes at forventningsværdien af trækstyrken er mindst 35 MPa? - spredningen er kendt: = 6 MPa. trin: Hypotese: H : µ = µ = 35 MPa H : µ < µ = 35 MPa (eller H : µ > µ ) (eller H : µ µ ) H accepteres hvis Z > Zα Hvis H accepteres kan det ikke afvises, at middeltrækstyrken er 35 MPa eller større.. trin: statistisk model Fordeling af X : N( µ, ) n Test statistik: X µ Z = / n : N(, ) Statistik 7. gang 7 Signifikansniveau α =. ( % sandsynlighed for type I fejl, dvs. at H forkastes selvom den er sand) Statistik 7. gang 8 5. trin: Der benyttes en enkeltsidet test, idet kun små værdier af Z er kritiske! n Udfra n = og X = x i = 39 : n i= X µ Z = = = 3.75 / n 6 / Z = 3.75 Z = Φ ( α) = Φ (.99) =.36 Z =. 36 α 6. trin: H forkastes, dvs. styrken er ikke acceptabel α

3 Statistik 7. gang 9 EKSEMPEL Er forventningsværdien af indholdet i en flaske = ¾ liter?. trin: H : µ = µ = 3/ 4 liter H : µ µ = 3/ 4 liter. trin: Hvis antages kendt fås: (husk sidste gang) X : N( µ, ) n Statistik 7. gang Signifikansniveau α =. ( % sandsynlighed for type I fejl, dvs. at H forkastes selvom den er sand) n Forsøgsresultater: n = 3 X = x i =. 79 n Med µ =. 75 og =. 5 fås: X µ Z = = =.5 / n.5 / 3 i= Derved introduceres test statistikken: X µ Z = : N(, ) / n Statistik 7. gang 5. trin: Der vælges en dobbeltsidet test, idet både små og store værdier af Z er kritiske! Z Z =.5 α / = Φ ( α / ) = Φ (.995) = 6. trin: H Z α / accepteres, idet: < Z < Z α /.58 <.5 < Statistik 7. gang 9.3. HYPOTESETEST AF MIDDELVÆRDIER UKENDT SPREDNING. trin: Hypotese: H og H : formuleres som før. trin: statistisk model Middelværdi X og spredning S : stokastiske variabler Test statistik: X µ t = : tn S / n (t-fordeling med n- frihedsgrader) Signifikansniveau: som før, typisk α =. Indsaml data og beregn test statistik t

4 Statistik 7. gang 3 Det område for test statistikken, der medfører at H forkastes (område der er usandsynligt for test statistikken, hvis hypotesen er sand) Statistik 7. gang 4 accept område: H : µ < µ forkast hvis t < tα,( n ) H : µ > µ forkast hvis t > tα,( n ) H : µ µ forkast hvis t < tα /,( n ) eller t > tα /,( n ) Statistik 7. gang 5 EKSEMPEL 9.3 Koncentration af ilt: Er forventningsværdien af koncentrationen af ilt over grænseværdien på 3 per million? Statistik 7. gang 6 5. trin: Enkeltsidet test. trin: Hypotese: H : µ = µ = 3 per million H : µ < µ = 3 per million. trin: Test statistik: X µ t = : tn S / n Signifikansniveau: typisk α =.5 Givet: n = 5 X =.8 S =.3 X µ.8 3 t = = =.398 / n.3 / 5 (t-fordeling med n- frihedsgrader) t =.398 t =.3 (tabel A-) α,(5 ) 6. trin: H accepteres, idet: > -.3

5 Statistik 7. gang HYPOTESETEST AF MIDDELVÆRDIER UKENDT SPREDNING Population : X : N( µ, ): n samples med middelværdi X og spredning S Population : X : N( µ, ): n samples med middelværdi X og spredning S. trin: Hypotese: H : middelværdier af de populationer er ens: µ = µ H : µ < µ eller H : µ > µ eller H : µ µ. trin: Test statistik: X X t = (t-fordeling med n + n - frihedsgrader) ( n ) S + ( n ) S + n + n n n Signifikansniveau: som før, typisk α =. Statistik 7. gang 8 Indsaml data og beregn test statistik t Det område for test statistikken, der medfører at H forkastes accept område: H : µ < µ forkast hvis t < tα H : µ > µ forkast hvis t > tα H : µ µ forkast hvis t < t α / eller t > t α / Statistik 7. gang 9 EKSEMPEL 9-4 Udvikling af kvælstofindhold i bække - indhold før byudvikling: µ f - indhold efter byudvikling: µ e Er der sket en ændring?. trin: Hypotese: H : middelværdier af de populationer er ens: µ f = µ e H : µ f < µ e. trin: Test statistik: X X t = (t-fordeling med n + n - frihedsgrader) ( n ) S + ( n ) S + n + n n n Signifikansniveau: α =.5 Statistik 7. gang Data: Før: n = X =.78 S =.36 Efter: n = 4 X =.37 S = t = = -.4 ( ).36 + (4 ) Enkeltsidet test t =.4 t =. 74 (tabel A-) Da -.4 < -.74 forkastes H H accepteres α,(+ 4 ) Dvs. kvælstodindholdet forøges efter byudvikling

6 Statistik 7. gang Alternativt: Signifikansniveau: α =. t =-.5 (tabel A-) α,(+ 4 ) t =.4 H accepteres Dvs. kvælstodindholdet forøges ikke efter byudvikling med et signifikansniveau på % OBS: α = P( H selvom H er sand) forkast dvs. α større sværere at få hypotese accepteret (lettere at få hypotese forkastet) Statistik 7. gang 9.4 HYPOTESETEST AF VARIANSER. trin: Hypotese: H : ingen signifikant forskel mellem populationens varians og en forud valgt værdi af variansen : H : eller H : eller H : = < >. trin: Test statistik: samplevarians: ( n ) S test statistik: χ = S : Signifikansniveau: som før, typisk α =. χ (chi-fordelt tabel A-3) χ -fordelt med (n-) frihedsgrader Statistik 7. gang 3 Indsaml data og beregn test statistik χ Det område for test statistikken, der medfører at H forkastes Statistik 7. gang 4 accept område: H : < forkast hvis χ < χ α,( n ) H : > forkast hvis χ > χ α,( n ) H : forkast hvis χ eller χ < χ α /,( n ) > χ α /,( n )

7 Statistik 7. gang 5 Statistik 7. gang 6 EKSEMPEL 9-5 Variansen af betons trykstyrke bør ikke være for stor. trin: Hypotese: H : varians = =.75 H : > Signifikansniveau: α =.5 Data: n= 5 S =.38 ( n ) S (5 ).38 χ = = = H : > forkast hvis χ χ α,( n ) =9.49 (tabel A-3) Da χ forkastes hypotesen > χ α,( n ) > χ α,( n ) Statistik 7. gang HYPOTESETEST AF POPULATIONERS VARIANSER Varians af de populationer: S og S ( S > S ) Statistik 7. gang 8. trin: Hypotese: H : ingen signifikant forskel mellem populationernes varianser = H :. trin: test statistik: S F = S F - fordelt med ( n -) frihedsgrader i tæller ( n -) frihedsgrader i nævner Signifikansniveau: typisk α =. Indsaml data og beregn test statistik F H accepteres på signifikansniveau α hvis F < F α, n, n /

8 Statistik 7. gang 9 EKSEMPEL 9-6. trin: Hypotese: H : = H :. trin: S test statistik: F = S Signifikansniveau: typisk α =.5 Statistik 7. gang 3 Indsaml data og beregn test statistik F n =5 S =3.87 n =5 S 6.43 test statistik: F = = =.687 S 3.87 S =6.43 F α =6.39 (tabel A-4) /, n, n Da F < F α, n, n accepteres H på signifikansniveau α =% /