Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009

Transkript

1 DTU Informatik Introduktion til Statistik LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Spørgsmål 1 Vi undersøger hver mulighed: 1. Binomialfordelingen bruges til at modellere en følge af uafhængige forsøg, hvor hvert forsøg har to mulige udfald. Dette er åbenlyst ikke tilfældet her, altså er binomialfordelingen ikke et hensigtsmæssigt valg. 2. Normalfordelingen er defineret på hele det kontinuerte interval mellem og og kan kun modellere en skalar ad gangen. Altså ville det ikke give mening at benytte normalfordelingen her. 3. Poissonfordelingen bruges typisk til at modellere antallet af hændelser i et tidsinterval. Den kan ikke bruges til andele, og må altså også ekskluderes fra mulighederne. 4. Sign testen bliver brugt til små stikprøver, hvor man ikke ønsker at benytte antagelser om en underliggende parametrisk fordeling. Sign testen kan bruges til at teste om to grupper har samme middelværdi, om en bestemt gruppe har en bestemt middelværdi eller median, osv. Ingen af anvendelserne inkluderer eksperimentet beskrevet her. Spørgsmål 2 For at finde fraktiler må vi først sortere data i stigende rækkefølge: 2020, 20, 2590, 2832, 3456, 3789, 3796, Den første kvantil er 25% fraktilen og medianen er 50% fraktilen s. [30, 34]. We har n = 8 observationer, og henholdsvis p 1 = 0.25 og p 2 = 0.50 for Q 1 og Q 2. Vi finder np 1 = 2 and np 2 = 4. Da begge disse produkter er heltal, skal vi finde middelværdien af henholdsvis den anden og tredje observation og den fjerde og femte observation for at finde Q 1 og Q 2. Vi får Q 1 = = 2345 og Q 2 = = Spørgsmål 3 Vi skal finde konfidensintervallet for middelværdien af Y betinget på x = 50. Vi benytter confidence limits for α + βx 0 på s. [349, 313], og har at n = 11, a = 5.784, b = , t α/2 = t.025 (11 2) = 2.262, s e = , og x = 550/11 = 50. Vi regner 1 (x 0 x) a + b + x 0 ± t α/2 s 2 e = n S xx ± (50 50)2 + = ± S xx 11 Spørgsmål 4 Vi skal teste, om andelene i de to grupper er signifikant forskellige. Vi bruger derfor statistic for test concerning difference between two proportions s. [288, 304], og finder 1

2 ˆp = X 1 + X 2 n 1 + n 2 = Z = = ) = ( ) ( Korrekt svarmulighed er 1. (Comment: Actually, this means that a one-sided test was thought to be the correct test - however there is nothing in the situation that indicates that a one-sided test should be used instead of a two-sided one, and hence the exercise has really no good answer - an error by the exam responsible) Spørgsmål 5 Observationerne er parrede, hvilket betyder at vi har observet de samme individer før og efter behandling. For at undgå at blande varians fra forskelle mellem individer og varians fra måleusikkerhed sammen bruger vi en parret t-test. Spørgsmål 6 Vi har kun den oplysning, at der er positiv korrelation mellem de observerede grupper. Altså har grupperne tendens til at have høje (eller lave) værdier på samme tid. Altså ser man en højere alkoholkoncentration når der er flere fejl, og vice versa. Hældningen af en linje fittet til data ville gøre det muligt at sige, hvor mange ekstra fejl man ser ved højere alkoholkoncentrationer. Uden denne information er det kun muligt at konkludere, at antallet af fejl stiger med alkoholkoncentration. Spørgsmål 7 Data er oplyst i en antalstabel, og symbolet for den kritiske værdi er χ 2, hvilket tyder på at en χ 2 test er anvendt. Dette er da også den sædvanlige test når man har data i en antalstabel. Altså ved vi, at test statistikken følger en χ 2 fordeling under nul-hypotesen. Da der er fire rækker og tre søjler, bliver antallet af frihedsgrader (4-1)(3-1)=6, p. [293, 309]. Testen bliver udført på 5% signifkansniveau, hvilket medfører at den kritiske værdi er χ (6) = Dette er den værdi, for hvilken 95% af sandsynlighedsmassen ligger til venstre. Test statistikken havde en lavere værdi end den kritiske værdi, hvilket betyder at test statistikken ikke er usædvanlig i den fordeling der gælder, hvis nul-hypotesen er sand. Altså har vi ikke tilstrækkelige beviser til at afvise nul-hypotesen. Korrekt svarmulighed er 1. Spørgsmål 8 Den alternative hypotese i Output 3 er netop den, vi er interesserede i. P- værdien i dette output er , hvilket er lavere end signifikansniveauet anvendt. Spørgsmål 9 Vi bliver bedt om at finde middelværdien i en diskret sandsynlighedsfordeling. Bemærk, at de oplyste sandsynligheder er fra den kumulative fordelingsfunktion, i.e. i.e. P (X x). For at finde sandsynligheden for en bestemt værdi, må vi trække den kumulative sandsynlighed ved forrige værdi fra den ved denne værdi. Dette giver den sandsynlighed, der bliver lagt til ved denne værdi. Ved at benytte s. [94, 116], får vi: µ = ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) + 4 (1 0.98) =

3 Spørgsmål Vi bliver bedt om at finde et konfidensinterval for en andel, og har en stikprøvestørrelse på 80. Altså kan vi lave normalfordelingsapproximationen. Vi benytter Large sample confidence interval for p på s. [280, 295] og finder 20 20/80(1 20/ ± z.01/2 = 0.25 ± = 0.25 ± Spørgsmål 11 Vi ønsker at kende effekten af hver model. 1. Antalstabeller benyttes når man tester H 0 hypotesen om lige andele, i.e. at der er det samme antal observationer i hver celle i antalstabellen. Altså er test i antalstabel ikke hensigtsmæssigt for dette indkomst data. 2. En en-sidet ANOVA benyttes hvis kun en omstændighed blev varieret i forsøget. I dette tilfælde blev to tilstande varieret, og en en-sidet ANOVA kan altså ikke bruges her. 3. Data blev ikke indsamlet ved at observere de samme individer før og efter en behandling. Altså er denne metode ikke anvendelig her. 4. Randomiseret blok forsøg benyttes netop når man ønsker at undersøge effekten af både model og område. 5. Sign tests bliver brugt ved små stikprøver om hvilke vi ikke ønsker at foretage antagelse om den underliggende fordeling og vil undersøge noget om en enkelt gruppe eller sammenligne to grupper. Dette er ikke tilfældet her. Spørgsmål 12 Sandsynligheden for at en given genstand er defekt er Der er 20 genstande ialt. Vi antager, at sandsynligheden for at en genstand er defekt er uafhængig af om de andre genstande er defekte. Vi kan altså benytte binomialfordelingen. Lad X være en stokastisk variabel, der angiver antallet af defekte genstande i en stikprøve, sådan at X bin(20, 0.15). Vi regner Korrekt svarmulighed er 1. P (X > 1) = 1 P (X 1) = = Spørgsmål 13 En type I fejl er defineret som afvisning af H 0 når H 0 er sand, se s. [227, 245]. Spørgsmål 14 En lineær regressionsanalyse muliggør at teste, hvordan variable ændrer sig sammen. Ved en lineær regressionsanalyse kan vi teste, om hældningen af en fittet linje er signifikant forskellig fra nul. Hvis dette er tilfælde, så har vi bevis for, at der virkelig er en relation mellem de to observerede variable. Spørgsmål 15 Hvis en værdi ligger indenfor et (1-α)% konfidensinterval, så kan vi ikke afvise H 0 om, at den sande værdi netop er lig den værdi på et α % signifikansniveau cf. p. [235, 251]. 3

4 Spørgsmål 16 Mulighederne 2, 3, og 4 medfører alle antagelsen at data er normalfordelt. Vi har fået oplyst, at dette ikke er tilfældet, og kan altså ekskludere disse muligheder. Sign testen er et ikke-parametrisk alternativ til den parrede t-test, hvilket gør sign testen til et hensigtsmæssigt valg her. En rank sum test kan bruges istedet for en two-sample t-test eller en-sidet ANOVA, se s. [449, 322]. Korrekt svarmulighed er 1. Spørgsmål 17 Hvis linjens hældning er signifikant forskellig fra nul, så er der en signifikant sammenhæng mellem de to observerede variable, i dette tilfælde insulin og graden af fald i blodsukker. Vi skal altså bruge t-værdien for β estimatet til at se, om en sammenhæng eksisterer. Estimatet af β er angivet i linjen der vedrører den uafhængige variabel (insulin) og er Spørgsmål 18 Andelen af varians i observationerne, som der er forklaret af den uafhængige variabel er R 2, cf. s. [339, 378]. Denne værdi er angivet som Multiple R Squared og aflæses som = 68.69%. Spørgsmål 19 F statistikken bliver beregnet som den forventede kvadratsum for behandling divideret med den forventede kvadratafvigelsessum (mean square error), cf. s. [362, 406]. Vi finder F = SS(T r)/(k 1) SSE/(N k) = / /12 = = Hvor k er antallet af behandlingsmetoder, og N er det totale antal observationer. Spørgsmål 20 Biler ankommer uafhængigt af hinanden med en middelværdi på 3 biler i minuttet og følger en Poisson process. Altså ved vi, at antallet af biler der ankommer på to minut følger en Poisson fordeling med middelværdi 6, cf. s. [7, 131]. Poisson processen er hukommelsesløs, hvilket betyder at informationen om at en bil lige er ankommet er ligegyldig. Lad X være en stokastisk variabel der angiver hvor mange biler der ankommer på to minutter, X P oisson(6). Vi kan nu udregne den efterspurgte sandsynlighed P (X = 3) = P (X < 4) P (X < 3) = Spørgsmål 21 Der var 27 observationer ialt og 3 behandlingsmetoder. Ved benyttelse af en-sidet ANOVA, bliver antallet af frihedsgrader for behandlingsmetode 2 og antallet af frihedsgrader for residualfejlen bliver 27-3=24. Altså skal vi bruge 0.95 fraktilen i F-fordelingen med 2 frihedsgrader i tælleren og 24 frihedsgrader i nævneren, i.e. F 0.05 (2, 24). Se også afsnit 12.2 (samme i begge editions af bogen). Spørgsmål 22 Lad X i, i = 1, 2,, være stokastiske variable, der angiver vægten af hvert stykke rullepølse. For hvert i har vi X i N(200, 2 ). Disse stokastiske variable 4

5 er antaget uafhængige. Vi udfører nu beregninger på den stokastiske X, som der er gennemsnittet af X i, i = 1, 2,,, for at besvare opgaven X = 1 X i E( X) = E( 1 V ar( X) = V ar( 1 Altså, X N(200, ). X i ) = 1 X i ) = E(X i ) = 200 ( 1 ) 2 var(x i ) = = Spørgsmål 23 Boksen confidence interval fo σ 2 på s. [270, 283] giver udtrykket for konfidensintervallet for gruppevariansen baseret på en stikprøve. I dette tilfælde har vi n = 14, s 2 = 3.8 og benytter χ 2 fordelingen med n 1 = 13 frihedsgrader til at finde χ /2 (13) = og χ /2 (13) = Spørgsmål 24 Test statistikken er blot den største stikprøve varians divideret med den mindste stikprøve varianse, cf. s. [273, 287]. Spørgsmål 25 Vi bliver bedt om at finde estimatet på fællesvariansen for de to stikprøver. Estimatoren for fællesvariansen er angivet på s. [252, 264], og vi får S 2 p = (n 1)S2 1 + (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2 = (14 1) (11 1) = Spørgsmål 26 Det stærke udsagn er, at afvise H 0, siden vi kontrollerer sandsynligheden for at afvise H 0 når H 0 er sand, og sætter den risiko til en lav værdi. Derfor sætter vi det udsagn vi ønsker at påvise i H 1, i.e. den alternative hypotese. Se også s. [227, 243]. Altså er den alternative hypotese µ > 1. Nul-hypotesen skal så inkludere alle andre tilfælde, hvilket medfører H 0 : µ 1. Typisk nøjes vi med at skrive H 0 : µ = 1, og det er så underforstået at denne også indeholder tilfælde hvor µ er mindre end 1. Altså angiver vi kun grænsen af det interval, som H 0 dækker. Spørgsmål 27 Fra afsnit 5.3 (begge editions af bogen) får vi, at binomialfordelingen kan approximeres med normalfordelingen når np og n(1 p) begge er større end 15,som er tilfældet her. Fra samme afsnit får vi, at middelværdien og variansen af den approximerende normalfordeling er henholdsvis np = = 25 og np(1 p) = =

6 Spørgsmål 28 Vi undersøger her, om højderne følger en normalfordeling, i.e. en goodnessof-fit test cf. [afsnit.5, afsnit 9.5]. For at beregne det forventede antal i hver celle skal vi estimere middelværdien, variansen, og kende det totale antal observationer i data. Altså skal vi have tre stykker information fra data. Der er syv celler ialt, og altså syv led i summen hvormed vi beregner χ 2 statistikken. Antallet af frihedsgrader bliver dermed 7-3=4. Værdien χ (4) kan enten findes i en tabel eller ved hjælp af software som R eller S-Plus. Spørgsmål 29 Vi ved, at summen af sandsynligheder af alle mulige udfald er en. Altså kan den manglende værdi findes ved at summere de oplyste sandsynligheder og trække diss fra 1. Sandsynligheden for, at et individe oplever mindst to bivirkninger er summen af sandsynlighederne for at opleve 0, 1, eller 2 bivirkninger. Dette er det samme som 1 minus sandsynligheden for at opleve 3, 4, 5, eller 6 bivirkninger. Ved at benytte denne metode behøver vi faktisk ikke at finde sandsynligheden for at opleve præcis en bivirkning. Lad X være en stokastisk variabel, der angiver antallet af oplevede bivirkninger for et givet individ. Vi finder da P (X 2) = P (X > 2) = 1 = = = i=3 Spørgsmål 30 Vi ønsker at teste, om andelen af overlevende patienter er højere end 0.05, og har en stor stikprøve. Vi benytter boksen Statistic for large sample test concerning p på s. [299, 284], og ser at dette er udtrykket givet i svarmulighed 3. 6