( ) ( ) ( ) 1- العبارة الدالة العبارية ب- تعريف أمثلة. لتكن y. العبارة ) x p( أمثلة العبارة محقق أمثلة

Transkript

1 مبادئ في المنطق I- تعاريف ومصطلحات - الدالة العبارية أ- آل جملة صحيحة نحويا و يمكن الحكم عن صحة معناها أو خطا ه بدون نقاش تسمى عبارة. نعتبر النصوص التالية : 3 عدد زوجي 4 = 8 : : 3 و عبارتان صحيحتان عبارة خاطي ة ب- آل نص رياضي يحتوي على متغير ينتمي الى مجموعة معينة و يصبح عبارة آلما عوضنا هذا المتغير بعنصر محدد من هذه المجموعة يسمى دالة عبارية. دالة عبارية 3 ; y دالة عبارية y = 3 ( ), E. ( ) يحقق E من (! E ): فا ننا نكتب( ) ). ( تقرأ لكل من 3 - المكممات العبارات المكممة أ- المكمم الوجودي ) ( لتكن E ; دالة عبارية ( E ): ) ( تعني يوجد على الا قل عنصرا ( ) الرمز يسمى المكمم الوجودي. إذا آان يوجد عنصرا وحيدا من E يحقق ) ( ( E ): ( ) عبارة خاطي ة = عبارة صحيحة 4 ] π! [ ; عبارة صحيحة cos =! عبارة خاطي ة = 4 ب- المكمم الكوني E دالة عبارية ; لتكن تعني أن جمع عناصر E تحقق ) أو صحيحة). الرمز يسمى المكمم الكوني. عبارة صحيحة. ; y عبارة خاطي ة y = محقق E F د- العبارات المكممة ; دالة عبارية معرفة معرفة على لتكن y ( ; ( E ) : ( ; نطبق أحد المكممين على الخاصية مثلا المكمم الكوني نحصل على بالنسبة للمتغير دالة عبارية للمتغير y وهي غير مرتبطة ب. نطبق عليها أحد المكممين بالنسبة للمتغير. y مثلا المكمم الوجودي htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed

2 . ( y F) ( E ) ( ; فنحصل على ) y y y = ) ( عبارة خاطي ة (نا خد = ( y + y = عبارة صحيحة عبارة خاطي ة عبارة صحيحة. ( y ) ( ) + y = ( ) ( y ) + y + y ( ) ( y ) + y = 3 عبارة صحيحة. هامة ترتيب مكممات من نفس الطبيعة ليس له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله المكممة. ترتيب مكممات من طبيعة مختلفة له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله المكممة. -II العمليات المنطقية - نفي عبارة أ- نفي عبارة هي عبارة نرمز لهاب أو ب تكون صحيحة إذا آانت خاطي ة و تكون خاطي ة إذا آانت تقرأ نفي صحيحة. جدول حقيقة صحيحتين.. E A( X ). E A( X ) ( E ) ( y F) A( ; ( E ) ( y F) A( ; ( ) ] ;[ ; : هي نفي نفي 3 هي 3 ب- نفي عبارة مكممة * نفي هي ) X E A( هي ) X E A( هي ( E ) ( y F) A( ; ( E ) ( y F) A( ; * نفي * نفي نفي مثال اعط نفي التالية هي ( ] [) z y + y z د- نتيجة ) الاستدلال بالمثال المضاد) للبرهان على أن عبارة ما خاطي ة يكفي أن نبين أن نفيها للبرهنة على خطا يكفي أن نبرهن صحة صحيحة. ( E ): A( ) ( ) : + * خاطي ة ادن لدينا عبارة صحيحة ( E ): A( ) ( ) تطبيق بين أن + : 5 نعتبر = = + * ( خاطي ة و منه + ): - الفصل المنطقي فصل العبارتين و * و تكتب ) أ و ) جدول حقيقة هو التي تكون صحيحة إذا آانت على الا قل إحدى العبارتين و نكتبها أيضا htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed

3 5 3 أو 3 خاطي ة 4 = نقول عملية الفصل تبادلية تحملان نفس المعنى ( و ) أ و ) أ و العبارتان ) * تحملان نفس المعنى نقول عملية الفصل تجميعية. و ) r أو ( أ و ) أ و * العبارتان r أو( صحيحتين معا. هو التي تكون صحيحة فقط إذا آانت العبارتان و و 3- العطف المنطقي عطف العبارتين نكتبها أيضا ) و و تكتب( جدول حقيقة 5 خاطي ة 3 و 3 صحيحة و مثال تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تبادلية ( و ) و ) و العبارتان ) * تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تجميعية. و و ) r و ( ) و * العبارتان r و( بين ذلك = = * خاطي ة. صحيحة و هو التي تكون خاطي ة فقط إذا آانت و 4- الاستلزام استلزام العبارتين تستلزم و تكتب تقرأ جدول حقيقة ( ) 4+ = 5 صحيحة + = خاطي ة 3 = 9 5 = 3 صحيحة صحيحة = htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 3

4 . صحيحة. اصطلاح إذا آانت صحيحة نقول إن * العبارتان * * نقول إن و تحملان نفس المعنى استنتاج منطقي للعبارة صحيحة و نبين أن ( ) يسمى الاستلزام العكسي للاستلزام. للبرهنة على أن صحيحة يكفي أن نفترض أن شرط آاف لتحقيق تمرين تطبيقي ليكن بين أن و نبين أن ( ) نفترض أن التكافو المنطقي ليكن و عبارتين ) و ( تسمى تكافو العبارتين و وتكون صحيحة إذا آانت و لهما نفس قيم الحقيقة و نرمز لها ب و تقرأ تكافي أو إذا وفقط إذا أو شرط لازم و آاف لتحقيق جدول حقيقة ( 3 صحيحة (5 عدد فردي -) عدد موجب 3 = 5+ ( صحيحة ) ( خاطي ة * نقول إن التكافو عملية تبادلية نقول إن التكافو عملية تجميعية ( r ) (( ) r) ( ) ( ) تمرين باستعمال جداول الحقيقة بين أن و صحيحة r ; ;...مرتبطةبينها بالعمليات المنطقية و تكون صحيحة مهما قانون منطقي و يسمى القاعدة العامة للاستدلال الاستنتاجي. ( ) ( ) ( ) -III القوانين المنطقية آل عبارة مكونة من عبارتين أو عدة عبارات آانت العبارات r ; ;...تسمى قانونا منطقيا - أنشطة بين أن العبارات التالية قوانين منطقية ( ) ( ) ( r) ( r) و اصطلاح * لدينا ( ) للبرهان على صحة * htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 4

5 ج* صحيحة. عبارة ما صحيحة ثم نستنتج أن نبين أن الاستلزام صحيحا حيث r) ( ) ( قانون منطقي نقول إن الاستلزام عملية متعدية. * لدينا r) ( - بعض القوانين المنطقية LOIS DE *أ- قوانين مورآان MORGAN العبارات التالية قوانين منطقية ( ) ( ) ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) النظمة حل في تطبيق y = y = الحل ; y S y = y = + y = ( y = y = ) ( y = + y = ) ( = y = ) = y = 3 3 اذن ; ); ; ( = S 3 3 تمرين : + اعط نفي العبارات + y y ( ; [ ;] + y *ب- قانون التكافو ات المتتالية ) C ( A B) ( B قانون منطقي. ( A C ) نتيجة ) الاستدلال بالتكافو ات المتتالية) نستنتج من هذا القانون أنه اذا آان B) ( A و ) C ( B فان( ( A C صحبحا. A ( ; تمرين ليكن + y بين أن ;8) ( = ) y + y 4 = ( ; * د- قانون الاستلزام المضاد للعكس A) ( A B) ( B قانون منطقي في بعض الا حيان يصعب البرهان على صحة A B فنلجا الى البرهان على صحة B A ثم نستنتج صحة B هذا البرهان يسمى الاستدلال بالاستلزام المضاد للعكس تمرين ليكن + 8 بين أن + 5 نتيجة B) ( A B) ( A قانون منطقي - قانون الخلف htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 5

6 ) ( قانون منطقي ( B C B C ) B نتيجة ) الاستدلال بالخلف) نفترض أن B صحيحة ونبين أن B C صحيحة( أي C صحيحة ( حيث Cعبارة ما صحيحة ) أي B C صحيحة) و هذا تناقض لا ن C لا يمكن أن تكون صحيحة و خاطي ة في نفس الوقت.ثم نستنتج أن B صحيحة. هذا نوع من الاستدلال يسمى الاستدلال بالخلف. تمرين برهن أن * ر- قانون فصل الحالات )) C (( A B) ( B قانون منطقي ( A B) C إذا آانت A B صحيحة فانه للبرهنة على صحة C نبين أن A C صحيحة و B C صحيحة ثم نستنتج أن C صحيحة. هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بفصل الحالات عمليا نطبق ( A C ) ( A C ) C لا ن A A صحيحة داي ما. + = تمرين حل في المعادلة ( n n ) ( n) : ( n ) -VI مبدأ الترجع خاصية لتكن خاصية لمتغير n صحيح طبيعي ( n ) اذا آان يوجد عدد صحيح طبيعي و اذا آانت n بحيث تكون صحيحة. صحيحة. + n n n n صحيحة. فان +) n ( صحيحة. ( n n ) ( n) : للبرهان على أن التحقق: نتحقق أن صحيحة نتبع الخطوات التالية ) ( n صحيحة افتراض الترجع: n n نفترض أن ) n ( صحيحة هذا الاستدالال يسمى الاستدلال بالترجع n تمرين بين بالترجع 4 n n و نبين أن ( + )( n+ ) * n n n n = 6 htt://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 6