Matematik B Højere handelseksamen Vejledende opgave 1 Efterår 011
Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 1B med i alt 15 spørgsmål. De 0 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt. Af opgaverne 1A og 1B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 1A. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Side 1 af 9 sider Side 1 af 9 sider Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 10.00 Opgave 1 Funktionen f er givet ved forskriften f ( x) = x 8x a) Bestem f '( x). Opgave Omkostningerne ved produktion af en vare kan beskrives ved en lineær funktion f ( x) = ax + b, hvor x angiver den producerede mængde i stk., og f (x) angiver omkostningerne i kr. Det oplyses, at omkostningerne ved en produktion på 10stk. er 6000 kr., og at omkostningerne ved en produktion på 0 stk. er 9 000 kr. x 10 0 f (x) 6000 9 000 a) Bestem en forskrift for funktionen f (x). Opgave 3 3 a) Undersøg, om x = 1 er en løsning til ligningen x + 5x = 6. Opgave 4 Prisen på en vare vokser eksponentielt, som vist på figuren til højre og i bilag 1. a) Bestem fordoblingstiden for varens pris. 0 15 10 5 pris i kr. 4 6 8 10 1 år
Side af 9 sider Side af 9 sider Opgave 5 For en vare A er sammenhængen mellem efterspørgsel og stykpris bestemt ved funktionen d ( x) = 1 x 9x + 70 0 x 1 3 hvor x angiver efterspurgt mængde, og d (x) angiver den tilsvarende stykpris. Sammenhængen mellem udbud og stykpris for samme vare A er bestemt ved funktionen s ( x) = 1 x + x + 10 0 x 1 3 hvor x angiver udbudt mængde, og s (x) angiver den tilsvarende stykpris. stykpris 60 d s 40 0 4 6 8 10 1 mængde Ligevægtsprisen er defineret ved den stykpris, hvor udbud og efterspørgsel er lige store. a) Bestem ligevægtsprisen for vare A. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Side 3 af 9 sider Side 3 af 9 sider Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 13.00 Opgave 6 Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden: 4 4 4 a) Reducér udtrykket ( a b) ( a + b ) + ved hjælp af et CAS-værktøj. b) Ligningen x = 3x er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag kan benyttes. x = 3x Ligningen er skrevet op. x 3x = 0 Der er trukket 3 x fra på begge sider af lighedstegnet. x ( x 3) = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 0 x = 3
Side 4 af 9 sider Side 4 af 9 sider Opgave 7 Forsikringsselskabet SECUR har 88 sælgere i Danmark. Alle sælgerne tager hver dag på kundebesøg. Selskabets HR-chef har for hver sælger opgjort antallet af kundebesøg på en bestemt dag. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen kundebesøg. Sælger nr. Antal kundebesøg 1 4 5 3 4 4 3 SECUR : : 87 1 88 3 a) Lav en grafisk præsentation, som beskriver fordelingen af antal kundebesøg. Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. typetal median kvartilsæt gennemsnit varians standardafvigelse konfidensinterval b) Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af antal kundebesøg. HR-chefen vil skrive et indlæg i selskabets interne blad om opgørelsens resultater. c) Skriv, ud fra dine svar til spørgsmål a) og b), et kort indlæg til virksomhedens interne blad hvor du præsenterer opgørelsens resultater, samt betydningen af disse
Side 5 af 9 sider Opgave 8 Side 5 af 9 sider Tabellen nedenfor viser et udsnit af danske firmaers indenlandske salg (i mio. kr.) fra 1969 til 009. Tallene omfatter kun momspligtige aktiviteter. Samtlige data er gengivet i filen indenlandsk salg. Årstal x Indenlandsk salg (i mio. kr.) 1969 0 19360 1970 1 1160 1971 4778 : : : 007 38 39066 008 39 451370 009 40 138533 Kilde: www.statistikbanken.dk FIKS9 a) Lav et xy-plot af data. b) Opstil en lineær model i ( x) = a x + b der tilnærmelsesvis kan beskrive udviklingen i indenlandsk salg fra 1969 til 009, hvor x angiver antal år efter 1969.
Side 6 af 9 sider Side 6 af 9 sider Opgave 9 Kommunikationsbureauerne Kompas Kommunikation og Kontrabande gennemførte i 006 undersøgelsen Mediemonitor. I undersøgelsen blev 1000 personer bl.a. spurgt om hvilket medie, der var deres foretrukne adgang til nyheder. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor. Køn Medie Mand Radio eller TV Mand Radio eller TV Kvinde Aviser eller blade Mand Internet eller mobil : : a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra undersøgelsen Mediemonitor. Kvinde Mand Total Aviser eller blade Internet eller mobil Radio eller TV Total Kommunikationsbureauerne ønsker at undersøge, om der er uafhængighed mellem køn og hvilket medie, der foretrækkes. b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese, og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed. c) Bestem χ - teststørrelsen og vurdér, om der er uafhængighed.
Side 7 af 9 sider Side 7 af 9 sider Opgave 10 Omkostningerne C ved produktion af en vare kan beskrives ved funktionen 3 C ( x) = 0,05x 1,3 x + 8x + 00, x 0 hvor x er den producerede mængde i kg. Hele produktionen afsættes til en fast pris på 5 kr. pr. kg. Derfor er omsætningen R bestemt ved funktionen R ( x) = 5x, x 0 hvor x er afsætningen i kg. Overskuddet kan bestemmes ved overskud = omsætning omkostning a) Gør rede for, at overskuddet P kan beskrives ved funktionen 3 P ( x) = 0,05x + 1,3 x 3x 00, x 0 og bestem ved hvilken afsætning, overskuddet er størst. b) Bestem intervallet for afsætningen, hvor overskuddet er positivt. kr. 1500 C(x) R(x) 1000 500 P(x) afsætning 10 0 30 40 50
Side 8 af 9 sider Side 8 af 9 sider Opgave 11 Grafen for en differentiabel funktion f er vist herunder. Desuden er vist andre grafer: Graf 1 og Graf. 6 y 4 f x - -1 1 3 4 5 - Graf 1 6 4 y x - -1 1 3 4 5-6 y Graf 4 x - -1 1 3 4 5 - a) Gør rede for, hvilken af graferne Graf 1 og Graf, der viser grafen for den afledede funktion f '. Bilag 3 kan benyttes.
Side 9 af 9 sider side 9 af 9 sider Af opgaverne 1A og 1B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 1A. Opgave 1A En nystartet virksomhed opretter et annuitetslån på 1500000 kr. Annuitetslånet skal tilbagebetales med en fast månedlig ydelse i 10 år. Renten er 0,5 % pr. måned. a) Gør rede for, at den månedlige ydelse er 16653, 08 kr. Virksomheden ønsker at kende størrelsen af restgælden efter den 65. ydelse. b) Bestem restgælden umiddelbart efter betaling af den 65. ydelse. Opgave 1B Kommunikationsbureauerne Kompas Kommunikation og Kontrabande gennemførte i 006 undersøgelsen Mediemonitor. I undersøgelsen blev 1000 personer bl.a. spurgt om hvilket medie, der var deres foretrukne adgang til nyheder. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen mediemonitor. Køn Medie Mand Radio eller TV Mand Radio eller TV Kvinde Aviser eller blade Mand Internet eller mobil : : Undersøgelsen er baseret på svar fra n = 1000 respondenter. Den stokastiske variabel X angiver antallet af personer i stikprøven med aviser eller blade som foretrukket medie. Den stokastiske variabel X er binomialfordelt X ~ b( 1000, p), hvor p angiver andelen af personer, der har aviser eller blade som foretrukket medie. a) Estimér andelen p. En tidligere undersøgelse fra 003 viser, at 31% af befolkningen havde aviser eller blade som foretrukket medie. b) Bestem et 95 % -konfidensinterval for andelen p i 006, og vurdér om man kan antage at andelen, der har aviser eller blade som foretrukket medie, har ændret sig siden 003.
Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Side 1 af 1 side Bilag 1 til opgave 4. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: pris i kr. 0 15 10 5 år 4 6 8 10 1
Side 1 af 1 side Bilag til opgave 6. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: x = 3x Ligningen er skrevet op. x 3x = 0 Der er trukket 3 x fra på begge sider af lighedstegnet. x ( x 3) = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 0 x = 3
Side 1 af 1 side Bilag 3 til opgave 11. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 6 y 4 f x - -1 1 3 4 5 - Graf 1 6 4 y x - -1 1 3 4 5-6 y Graf 4 x - -1 1 3 4 5 -