Matematik A, december 2014 Peter Bregendal

Transkript

1 Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Se graf nedenfor: Opgave 2 Givet funktionen: P(x) = x 2 + 7x- 20. a) Positivt overskud: x 2 + 7x - 20 = 0 x = -7 ± , ,5 x = -7 ± 9-1 x = -7 ± 3-1 x = 4 Ú x = 10 Da koefficienten til x 2 er negativ vender benene nedad (konkav) er funktionen positiv mellem rødderne. Overskuddet er derfor positivt for x Î 4;10 ] [. Opgave 3

2 Givet funktionen: k(t) = -0,29t + 8,8. a) Betydningen af: -0,29: Kobberprisen er faldet med 0,29 dollars pr. kg. pr. halvår. 8,8: I august 2011 var prisen på kobber 8,8 dollars pr. kg. Opgave 4 Givet funktionen f (x) = a x 2. a) 1 ò 0 ax 2 dx = aéë 1 3 x a = 2 a = 6 ù û 1 0 = 1 3 a Opgave 5 Givet funktionen: f (x) = x 3-6x 2 +10x- 2. a) f (x) = 3x 2-12x +10 f (x) = 6x -12 = 0 x = 2 Da f (x) skifter fortegn ved x = 2 har f (x) vendetangent i punktet (2,f(2)). Se vendetangent på bilag 2:

3 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 a) Se forklaringer nedenfor: Givet funktionen: f (x) = -x 2 + k ln(x). b) f (x) = 0-2x + k x = 0-2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2 x = k 2 Ekstremum opnås ved x = k 2

4 Opgave 7 Givet normalfordelingen: X N(44,11). a) Vha CAS fås: normcdf(35,50,44,11)= p(35 < X < 50)=0,50 b) Statistiske deskriptorer vha CAS: " x " 45. "sx ₁x" "σx "n" 60. Stikprøvegennemsnittet er 45 kg. Stikprøvespredningen er 8 kg. 95%-konfidensinterval for middelværdien: "Titel" "t-interval for én middelværdi" "CLower" "CUpper" Som det fremgår af CAS-udskrift kan vi konkludere, at det med 95% sandsynlighed må antages at det gennemsnitlige udbytte ligger mellem 43 og 47 kg. honning. c) Pivot-tabel: Antal af Niveau Kolonnenavne Rækkenavne Højst 44 kg Over 44 kg (tom) Hovedtotal By Udkant (tom) Hovedtotal d) Hypoteser: H 0 : Ingen sammenhæng mellem placering af bistade og udbytte i kg. H 1 : Sammenhæng mellem placering af bistade og udbytte i kg Testresultat: "Titel" "χ²-uafhængighedstest" "χ²" "PVal" "df" 1.

5 Da p-værdien er på 7% og dermed over signifikansniveauet på 5%, kan vi ikke afvise nulhypotesen, og det må derfor antage, at der ikke er nogen sammenhæng mellem placering af bistader og udbytte i kg. d) Ca. halvdelen af staderne giver et udbytte på mellem 35 og kg. honning. Via en stikprøve har det vist sig, at det gennemsnitlige udbytte ligger mellem 43 og 47 kg. honning. Det viste sig endvidere at der ikke konstateres en sammenhæng mellem udbyttet fra stader i byerne og i udkanten af byerne. Opgave 8 a) Den samlede omsætning beregnes således: R(x, y) = x (-2x + 50) + y 10 R(x, y) = -2x x +10y b) Redegørelse for, at N(320) er en parabel: R(x, y) = t R(x, y) = -2x x +10y = y = 2x 2-50x y = 1 5 x2-5x + 32 Som det fremgår af ovenstående, er niveaukurven en parabel, se nedenfor: Ved parallelforskydning af parablen og tangering med begrænsningslinien opnås den størst mulige omsætning. Ved indsættelse af begrænsningslinien i omsætningsfunktionen fås følgende:

6 g(x) = -2x x +10 (-x+18) g(x) = -2x x +180 Som det fremgår af CAS-udskrift har vi størst mulig omsætning ved x = 10 og den dertilhørende y- værdi er: y = = 8. For at opnå størst mulig omsætning skal der afsættes 10 enheder af A og 8 enheder af B. Den størst mulige samlede omsætning er: R(10,8) = Opgave 9 a) Antal månedlige ydelser på lånet: ( ) = 380. Som det fremgår af CAS-udskrift skal der betales 154 månedlige ydelser.

7 b) Månedlige ydelse på nyt lån: Som det fremgår af CAS-udskrift er den nye ydelse på lånet 5.918,29 kr. pr. måned. c) Hvis de vælger det nye boliglån har de tilbagebetalt gælden på knap 13 år, hvorimod realkreditlånet løber over 20 år. Valget afhænger af, om de kan betale ca kr. mere på lånet pr. måned. Opgave 10 a) Potensmodel: "Titel" "Potensregression" "RegEqn" "a*x^b" "a" "b" "r²" "r" Jfr. CAS-udskrift kan vi konkludere at sammenhængen mellem afsætning og pris kan bestemmes som: p(x) = 997 x b) Dækningsbidrag: d(x) = (997 x -0, ) x d(x) = 997 x 0, x

8 Jfr. CAS-udskrift, kan vi se, at ved en afsætning på 450 kg. vil dækningsbidraget være ,76 kr. c) Størst mulig dækningsbidrag: Jfr. CAS-udskrift fremgår det, at ved en afsætning på 600,7 kg. opnås størst muligt dækningsbidrag. Den dertilhørende pris er p(600,7) = ,7-0,303 = 141 kr. pr. kg. Opgave 11A Givet følgende differentialligning: T (x) = 45-0,75 T(x). a) Forskriften for funktionen T(x) idet T(0)=75.

9 Jfr. CAS-udskrift bestemmes T(x) = 15 0,4724 x b) Samlede tid: Jfr. CAS-udskrift skal der anvendes 620 minutter til produktion af de første 10 varer. Opgave 11B a) 95%-konfidensinterval for andel:

10 Jfr. CAS-udskrift kan vi antage, at der med 95% sandsynlighed vil være mellem 42 og 48%, der aldrig tænker over, om de bliver overvåget. b) Fordelingen er binomial med følgende parametre: X b(50,0,45). Jfr. CAS-udskrift må antages at sandsynligheden for at højest 20 ud af 50 ikke tænker på overvågning er 0,29. Opgave 11C Givet funktionen ES(x) = -25x x 2. a) Det forventede daglige salg efter 6 måneder: ES(6) = 7920 stk. Ved indsættelse af x = 0, x = 148/15 og x = 14 konstateres det, at daglige forventede slag er størst efter ca. 9,87» 10 måneder. b) Vi bestemmer den 2. aflede funktion:

11 Jfr. CAS-udskrift og ved indsættelse af passende x-værdier kan vi konstatere, at væksten er størst efter 4,933» 4 måneder.