Matematisk modellering i naturvidenskab (5 ECTS) Kursusplan Nat.bas., Roskilde Universitet Forår 2015 Kursusansvarlig: Peter Limkilde (peter.limkilde@skolekom.dk). Underviser: Peter Limkilde. Tidspunkt: Tirsdage kl. 9.00-12.00. Forudsætninger: Optaget på den naturvidenskabelige basisuddannelse samt kendskab til MatLab i et omfang svarende til mindst BK1 og BK2. Det er en forudsætning, at man ved kursusstart har en anvendelig version af MatLab installeret på sin computer. Mål og indhold: Fra kursusbeskrivelsen: Formålet med kurset: Matematisk modellering i naturvidenskab er at kvalificere de studerende til naturvidenskabelige overbygningsstudier, hvor matematik anvendes integreret i modelleringer, simuleringer og databehandling bl.a. i forbindelse med eksperimentelt arbejde. Målet er at udvikle de studerendes modelleringskompetence, således at de studerende bliver i stand til selvstændigt at opstille, analysere og kritisere matematiske modeller inden for kursets faglige områder. Studieordning for Den Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse _ 19. Kurserne BK 4-8: Kurser inden for det naturvidenskabelige område. Formålet med kurserne BK 4-8 er, at den studerende tilegner sig et bredt fagligt fundament inden for det naturvidenskabelige område, skaffer sig grundlag for at foretage et kvalificeret valg af fagmoduler, samt erhverver sig faglige forudsætninger for at kunne gennemføre de valgte fagmoduler. Kursets matematiske emner omfatter kompartments-modellering, differentialligninger af 1. orden og systemer af differentialligninger. Emnerne behandles gennem arbejde med matematisk modellering. Der anvendes både analytiske og numeriske metoder. På kurset arbejdes der løbende med større modelleringsproblemstillinger i form af miniprojekter. Hver studerende gennemfører to miniprojekter, der afsluttes med en rapport. Hertil kommer arbejdet med mindre matematiserings- og modelleringsopgaver. Miniprojekterne og opgaverne dækker et bredt spektrum af matematikkens anvendelsesområder, bl.a. biologiske, fysiske og kemiske systemer. Kurset er således først og fremmest en øvebane for matematisk beskrivelse matematisering og for betragtninger over samspillet mellem model og "virkelighed". Der lægges vægt på træning i mundtlig og skriftlig fremstilling i forbindelse med modelleringsarbejdet. Side 1 af 12
Undervisningsform Kursusarbejdet omfatter gennemgang af teori, deltager- og læreroplæg, diskussioner, individuel opgaveregning samt en del gruppearbejde omkring miniprojekterne. Vi anbefaler, at hver studerende samler sine skriftlige produkter fra kurset i en mappe, således at det skriftlige arbejde løbende kan danne grundlag for vejledning af den enkelte studerende. Kort og unuanceret handler matematisk modelleringskompetence om at kunne håndtere matematikbeskrivelser af noget der i udgangspunktet ikke er matematisk. Mere præcist forstås det her som en eller flere personers indsigtsfulde parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til en matematisk modelleringsproces som helhed. Kort og unuanceret handler matematisk kommunikationskompetence om at kunne håndtere kommunikation i, med og om matematik. Mere præcist forstås det her som en eller flere personers indsigtsfulde parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til kommunikation i, med og om matematik og/eller anvendelser af matematik. Kort fortalt er en differentialligning af 1. orden en ligning, hvori der indgår en funktion y, denne funktions afledede y og den uafhængige variabel t. At differentialligningen er af 1. orden betyder, at der ikke indgår højere afledede af y end den første afledede. De fleste af de differentialligninger, vi vil møde i dette kursus, vil kunne skrives på formen y = F(t,y), hvor det altså er muligt at isolere y. Evaluering og eksamen: Som en integreret del af undervisningsforløbet arbejdes der individuelt eller gruppevis (maksimum fem studerende pr. gruppe) med udarbejdelse af en portefølje bestående af besvarelse af 2 mini-projekter og evt. et antal mindre skriftlige opgaver. Formålet med afleveringsopgaverne er primært at bidrage til den formative evaluering på kurset, hvilket er baggrunden for at de skal afleveres løbende. Bedømmelseskriterier: (1) Rettidigt afleverede grupperapporter over to miniprojekter. Er grupperapporterne ikke tilfredsstillende udarbejdet, bliver de returneret til de studerende og en forbedret udgave afleveres efter aftale med kursuslæreren. (2) Udarbejdelse og godkendelse af en portefølje med skriftlige opgavebesvarelser undervejs i kurset. Porteføljen afleveres gerne i en gennemskrevet version i forhold til de godkendte afleveringsopgaver individuelt eller gruppevis på papir i to eksemplarer. til nat.bas.-sekretariatet senest mandag d. 11. maj 2015 kl. 12.00. Prøven er af maksimalt 20 minutters varighed inklusive votering. Som indledning på eksaminationen vil eksaminanden få mulighed for at fremlægge, uddybe, perspektivere, eksemplificere eller på anden måde kommentere sit skriftlige eksamensgrundlag. Det sker i så fald i form af et op til 5 minutter langt mundtligt oplæg, hvor eksaminator og intern censor kun stiller opklarende spørgsmål. Den resterende del af eksaminationen foregår som en faglig 2 af 12
samtale mellem eksaminand, eksaminator og censor Det er en forudsætning for at kunne deltage i den mundtlige prøve, at man har opfyldt bedømmelseskriterierne (1)-(2).. Bedømmelse sker på grundlag af en samlet vurdering af hele porteføljen og den studerendes individuelle mundtlige præstation ved eksaminationen. Bedømmelsen er en vurdering af i hvilket omfang eksaminandens præstation lever op til målene nævnt i afsnittet Mål og indhold. Karakteren gives efter 7-trisskala Litteratur: Kursusnoter, kan købes i bogladen på RUC: Morten Blomhøj, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen: Matematisk modellering af dynamiske systemer (Nat-Bas, RUC 2008) og Morten Blomhøj, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen: Problemstillinger til miniprojekter (Nat-Bas, RUC 2007). Desuden anbefales det, at man har matematikbøger og matematisk formelsamling for gymnasiets A-niveau. Tilrettelæggelse: Undervisningen er fordelt på 8 sessioner som falder i to moduler. Arbejdet er tilrettelagt efter følgende skabelon: a) Introduktion til modulets kerneindhold. Opstart af miniprojekt. b) Lærerstyret minikursus om kerneindholdet. c) Færdiggørelse af studenterstyret miniprojekt om anvendelse af kerneindholdet. d) Kollega-evaluering af miniprojekt-rapporter. Overblik over og evaluering/efterbehandling af modulet. 3 af 12
I overbliksform kan indholdets fordeling over tid beskrives således: Modul I 1 (10. mar.): Introduktion. Overblik over kursets form og indhold. Om konstruktiv modelleringskompetence. Kompartments. Differentialligninger af første orden. Opstart af miniprojekt I. 2 (17. mar.): Introduktion til system af koblede differentialligninger. (Aflevering af to indledende opgaver den onsdag 18. Marts kl. 18.00 på Moodle) 3 (23. mar.): Miniprojekt I. 4 (30. mar.): Miniprojekt I. (Aflevering onsdag den 1. april kl. 18:00 på Moodle) Modul II 5 (7. apr.): Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport I. Faglig afrunding og formativ evaluering af modul I. Om modelleringskompetence og kritisk kommunikation. System af differentialligninger. Analyse af hældningsfelt. Opstart af miniprojekt II. 6 (14. apr.): Miniprojekt II. 7 (21. apr.): Miniprojekt II. (Aflevering onsdag den 22. april kl. 18:00 på Moodle 8 (28. apr.): Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport II. Faglig afrunding og formativ evaluering af Kurset som helhed. Afsluttende evaluering 11. maj: kl. 12.00: Sidste frist for aflevering af opgaveportefølje. 4. juni: Mundtlig eksamensdag. 4 af 12
Session 1 Dato og klokkeslæt: 10 marts kl. 9.00-12.00. Titel: Introduktion. Overblik over kursets form og indhold. Om konstruktiv modellerings kompetence. Opstart af miniprojekt I. Underviser: Peter Limkilde. Sted: RUC, lokale III i bygning 27.2. Klarhed over kursets tilrettelæggelse, undervisningsform, evalueringsform og eksamen. Matematisk symbolbehandling som begreb og som kompetence. Opstart af miniprojekt I. Litteratur knyttet til undervisningen: Blomhøj et al. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer, side 3-53 Blomhøj et al. (2007) Problemstillinger til miniprojekter, side 3-4. Forberedelse til undervisningen: Læs kursusplanen her og dan jer på denne baggrund så klart et billede som muligt af hvad I kan forvente jer af kurset her og hvad vi undervisere forventer os af jer. Formuler spørgsmål til eventuelle uklarheder omkring kursets tilrettelæggelse, undervisningsform, evalueringsform og eksamen. Læs og bearbejd den anførte litteratur. Læs teksten i de indledende opgaver til Session 1 (se næste side) mhp. at afgøre hvilken del af modelleringsprocessen den svære del af opgaven tilhører. Orienter dig i opgaverne 1.1-1.9 og 1.13-1.17 og 1.22-1.27 mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. Forbered dig på at skulle vælge en problemstilling som omdrejningspunkt for det første miniprojekt, hvor modellen gerne må være beskrevet ved en enkelt afhængig variabel og en eller evt. Flere uafhængige variable. Orienter dig i opgaverne i Blomhøj (2007). at få inspiration til dette valg. Hvilke(n) af disse opgave(r) kunne du godt forestille dig at arbejde med, når du sammen med din gruppe skal vælge et udgangspunkt for første miniprojekt? 5 af 12
Indledende opgaver til session1 Hvordan opleves udfordringen i følgende opgaver? Sæt nogle ord på. (hvilken del af modellerings processen er udfordret?) MM 1 For ø-gruppen Galapagos gælder, at antallet af arter af landplanter på den enkelte ø med god tilnærmelse kan beregnes ud fra øens areal x, målt i square miles, ved hjælp af en funktion N(x). Om funktionen N oplyses, at N(15) = 68 og N(174) = 149, og at dens forskrift er af formen N(x) = b x a. a) Beregn tallene a og b. b) Beregn forholdet mellem antal arter af landplanter på to forskellige øer, hvor den ene ø har et areal, der er 2,5 gange så stort som arealet af den anden ø. MM 2 (opg 1.1) Fra man får sin løn til man står med en vare i hånden betaler man først indkomstskat og siden moms. a) Hvordan afhænger den samlede skat, man betaler, af indkomstskatte- procenten og moms-procenten? MM 3 (opg 1.24) Hvor langt fremme ad vejen skal der være fri bane for at man sikkert kan overhale? 6 af 12
Session 2 Dato og klokkeslæt: 17. marts kl. 9.00-12.00. Titel: Kompartment modellering, differentialligninger. Underviser: Peter Limkilde Sted: RUC, lokale III i bygning 27.2. Introduktion til kompartment modellering og til systemer af koblede differentialligninger. Litteratur knyttet til undervisningen: Blomhøj et al. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer, side 31-53 og side 55-96 Blomhøj et al. (2007) Problemstillinger til miniprojekter, side 3-4, samt miniprojekterne 3,4,5,7,12,13 og 14 Forberedelse til undervisningen: Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Hvad er forskellen på en ligning og en differential-ligning? Hvilke kommandoer i MatLab kan løse en ligning og hvilke kan løse en differentialligning? Hvad er en kompartment model og hvor kommer differentialligninger ind i modellen? Hvad er et ligvægtspunkt? Løs opgave 2.1-2.3 og orienter dig i opgaverne 2.1 til 2.14 mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i problemstillingerne i til miniprojekterne 3,4,5,7,12,13 og 14 med henblik på projektgruppens valg af modelleringsprojekt. (HUSK Aflevering af to indledende opgaver den onsdag 18. Marts kl. 18.00 på Moodle), Opgaver, se næste side 7 af 12
Afleveringsopgaver, den 18-03-2015 kl 18.00 (pdf format) 1) Modeller temperatur udviklingen i et glas isvand, gerne som en graf. Husk enheder på akserne. Brug nogle få linjer til af afgrænse systemet. 2) Modeller hvordan temperaturstigningen udvikler sig i model 1). Bruge samme enheder på den vandrette akse som i svaret på 1) og tegn evt. Grafen i sammen koordinatsytem som 1), nu med nye enheder på Temperatur-aksen. 3) Opstil en simpel tegning af en kompartment model over udviklingen af temperaturen i en kop kaffe. Brug kun nogle få linjer til af afgrænse systemet. Der skal være en tegning med mindst et kompartment og en flow-pil. Opstil en differentialligning, der indeholder både temperaturen og temperaturfaldet per min. Benyt at temperaturfaldet kan anses at være proportionalt med forskellen mellem kaffens og rummets temperatur på 20 C (temperaturfaldet ændres lineært med temperaturen) Vælg nu mellem to delopgaver 3A) og 3B) og benyt at kaffens temperatur til tiden t=0 var 80 C og at temperaturfaldet ved temperaturen 80 C var 2,43282 grader per min, mens til tiden t=10 min var temperaturen 60 C og temperaturfaldet 1.62187 grader per min. 3A) Find en løsningsformel for temperaturen som funktion af tiden og forudsig hvornår temperaturen ventes at blive 35 C 3B) Lav en graf over temperaturfaldet som funktion af temperaturen, og forudsig ud fra grafen den forventede sluttemperatur samt det forventede temperaturfald per minut ved 35 C 8 af 12
Session 3 og 4 Dato og klokkeslæt: 24. marts kl. 9-12 og 31. marts kl. 9-12 Titel: Miniprojekt I. Underviser: Peter Limkilde. Sted: RUC, lokale III i bygning 27.2. Arbejde med miniprojekt I. Litteratur knyttet til undervisningen: Projektgruppernes eget valg af relevant litteratur. Forberedelse til undervisningen: Sørg for sammen med din gruppe at være så langt med miniprojekt I at I kan bruge tiden på sessionerne effektivt, bla. med henblik på at udnytte min tilstedeværelse som vejleder. (Inden næste session: Udarbejd miniprojekt-rapport I og aflever den elektronisk i afleveringsmappen via Moodle senest onsdag d. 1. April kl. 18.00) 9 af 12
Session 5 Dato og klokkeslæt: 7. April kl. 9.00-12.00 Titel: Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport I.Differentiallignings systemer og hældningsfelter. Formativ evaluering af session 1-4. Underviser: Peter Limkilde. Sted: RUC, lokale 14.1 i bygning 14.1. Gruppevis kollegasparring vedrørende miniprojekt-rapport I. Sparringsgrupper fremgår af teksten til emnet Afleveringer på Moodle. Formativ evaluering af kurset indtil nu. Differentialligningssystemer med fokus på autonome ligningssyster, faseplan, grafisk analyse af hældningsfelter. Brug af numerisk løsning Matlab kommandoen ODE45. Litteratur knyttet til undervisningen: Egen og makkergruppens projektrapport, samt Blomhøj et al. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer, side 115-159 Forberedelse til undervisningen: Udarbejd miniprojekt-rapport I og aflever den elektronisk via bscw.ruc.dk senest onsdag 1. april kl. 18.00 Læs og forbered kritik af makkergruppens projektrapport, med fokus på opfyldelsen af det matematikfaglige mål med projektarbejdet (modellering). Makkergrupperne aftales på de forudgående sessioner og fremgår af Moodle. Orienter dig i Blomhøj et al. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer, side 140-143 ( vedr. Matlab værktøjet ode45 )og i opgaverne i afsnit 4.7. Hjælp til litteraturen: læs først side 115-118, dernæst afsnit 4.2 side 121-127. Dernæst om ligevægts løsninger og faseportræt side 130-137, derefter opsummeringen i afsnit 4.6 side 157-159 i Blomhøj et al. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer 10 af 12
Session 6 og 7 Dato og klokkeslæt: 14. april kl. 9-12 og 21. marts kl. 9-12 Titel: Miniprojekt II. Underviser: Peter Limkilde. Sted: RUC, lokale III i bygning 27.2. Arbejde med miniprojekt II. Litteratur knyttet til undervisningen: Projektgruppernes eget valg af relevant litteratur. Forberedelse til undervisningen: Sørg for sammen med din gruppe at være så langt med miniprojekt II at I kan bruge tiden på sessionerne effektivt, bla. med henblik på at udnytte min tilstedeværelse som vejleder. (Inden næste session: Udarbejd miniprojekt-rapport II og aflever den elektronisk i afleveringsmappen via Moodle senest onsdag d. 22. April kl. 18.00) 11 af 12
Session 8 Dato og klokkeslæt: 28. april kl. 9-12. Titel: Kollega-evaluering af miniprojekt-rapport II. Faglig afrunding af modul II. Undervisere: Peter Limkilde. Sted: RUC, lokale III i bygning 27.1. Gruppevis kollegasparring vedrørende miniprojekt-rapport II. Overblik over kursets tredje modul. Klarhed over processen omkring den summative evaluering og den mundtlige prøve. Kursusevaluering. Litteratur knyttet til undervisningen: Egen og makkergruppens projektrapport, samt litteraturen fra de øvrige sessioner i dette modul med henblik på repetition og overblik. Se især i Morten Blomhøj, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen: Matematisk modellering af dynamiske systemer (Nat- Bas, RUC 2008) side 151-159 og side 124-136. Forberedelse til undervisningen: Udarbejd miniprojekt-rapport II og aflever den elektronisk via Moodle senest onsdag d. 22.april kl. 18.00. Læs og forbered kritik af makkergruppens projektrapport, med fokus på opfyldelsen af det matematikfaglige mål med projektarbejdet. Makkergrupperne aftales på de forudgående sessioner og fremgår af Moodle. 12 af 12