GUX Matematik A-Niveau Fredag den 31. maj 019 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX191 - MAA 1
Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. Alle hjælpemidler er tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation.
GUX matematik A maj 019 side 1 af 6 Opgave 1 På en kogeplade står en gryde med vand, der varmes op, og vandets temperatur måles til forskellige tidspunkter. Tabellen viser sammenhørende værdier af tid og vandets temperatur. Tid (målt i sekunder) 0 0 40 60 80 100 Temperatur (målt i C ) 16,1 1,9 5,6 30,1 35,4 40, Vandets temperatur kan beskrives ved den lineære model Tt () = at + T 0 hvor Tt () beskriver vandets temperatur målt i C, og t er tiden målt i sekunder. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og T 0, og forklar betydningen af T 0. Vand koger ved temperaturen 100 C. b) Hvor lang tid går der ifølge modellen, før vandet koger? Det oplyses, at tallet a i modellen kan udtrykkes nærmere ved hjælp af fysiske størrelser ud fra formlen 0,65 P a = m c hvor P er tilført effekt fra kogepladen målt i W, m er massen af vandet målt i kg, og c er en fysisk konstant for J vand, der sættes til 4180. kg C Det oplyses, at effekten P fra kogepladen er konstant 300 W. c) Bestem massen m af vandet, der opvarmes i gryden.
GUX matematik A maj 019 side af 6 Opgave Danske æg kategoriseres i 4 størrelser: S, M, L og XL. En stikprøve af 1000 æg resulterer i følgende fordeling: Størrelse S M L XL Vægt i gram 6 5 53 6 63 7 73 100 Antal æg 75 00 313 41 a) Bestem æggenes gennemsnitsvægt. b) Bestem de kumulerede frekvenser og tegn sumkurven. Opgave 3 En fond tjener hvert år penge på et håndboldstævne i juledagene. Saldo 1. januar 016 og de seneste 3 års overskud ses i tabellen. Renten er i hele perioden % p.a. Saldo 1. jan 016 Overskud 1. jan 017 Overskud 1. jan 018 Overskud 1. jan 019 151000 kr. 13000 kr. 11000 kr. 6500 kr. a) Bestem saldoen efter indbetalingen af det seneste overskud 1. januar 019. b) Hvor stort skal overskuddet være 1. januar 00, for at fondens saldo bliver 00000 kr.? Opgave 4 Foto: Ole Dalsgaard En fransk skrue og en fastnøgle er vist på billedet. Den franske skrue har et skruehoved, der har form som en regulær sekskant, dvs. alle sidelængderne er lige lange. Desuden er alle vinklerne lige store, og vinkelsummen er 70. a) Bestem nøglebredden n, når sidelængderne er 10 mm. b) Bestem arealet af sekskanten. 10 mm
GUX matematik A maj 019 side 3 af 6 Opgave 5 Foto: Ole Dalsgaard På billedet ses en lysmast. En af lyskasserne er indtegnet i et koordinatsystem herunder. Den ydre del af lyskassen er lavet af metal og lyskassens bund er lavet af glas, se foto. z A B O E y x D C a) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem punkterne B og E. O(0,0,0) A(0,5, 5) B(0,5,5) C(45,30, 0) D(45,0,0) E(0,30, 0) b) Bestem en ligning for planen, der indeholder fladen ABCD. c) Bestem den spidse vinkel mellem xy-planen og planen bestemt i spørgsmål b). d) Bestem overfladearealet af den ydre del af lyskassen.
GUX matematik A maj 019 side 4 af 6 Opgave 6 En harmonisk svingning har forskriften f( x) = A sin( ω x) + b. Figuren viser grafen for f. a) Bestem amplituden og perioden for f. 8 7 6 5 4 3 1 y -π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π f x b) Bestem en forskrift for f. Opgave 7 Når man indtager smertestillende medicin, vil dette fordeles med blodet rundt i kroppen. I en model beskrives koncentrationen af smertestillende medicin i blodet i løbet af et døgn ved funktionen 0,15 x 1,5 x ( ) f( x) = 14 e e, 0 x 4 Foto: Wikimedia Commons hvor f( x ) angiver koncentrationen af smertestillende medicin i blodet, målt i μg/ml, x timer efter indtagelsen. a) Tegn grafen for f, og benyt modellen til at bestemme den maksimale koncentration af smertestillende medicin i blodet i løbet af et døgn. Den smertestillende medicin er virksom, når koncentrationen af medicinen i blodet er mindst 4 μg/ml. b) Bestem det tidsrum efter indtagelsen, hvor den smertestillende medicin ifølge modellen er virksom.
GUX matematik A maj 019 side 5 af 6 Opgave 8 Funktionerne f og g er bestemt ved forskrifterne f x x x ( ) = + 6 1 gx x x ( ) = 0,5 3 + 6,5 a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g. Graferne for f og g afgrænser et område M. Se figuren. b) Bestem arealet af M. c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. Opgave 9 Foto: wikimedia commons Om en grønlandsk drikkevandssø ved man, at der i en periode om foråret tilføres forurening. Søen indeholder konstant 500 mio. liter vand. Forureningen i søen y = f() t (målt i liter) til tidspunkt t (målt i sekunder) kan beskrives ved følgende differentialligning dy = 0,0 5 10 dt 8 y I takt med at forureningen løber ind i søen, stiger den samlede forurening også, men dog til en øvre grænse. Det forudsættes at til tidspunkt t = 0 er der ingen forurening, det vil sige f (0) = 0. a) Bestem en forskrift for f() t. Når søen indeholder 0,1% forurening, overstiger det grænseværdien, for at vandet må drikkes. b) Bestem hvor mange dage der går, før vandet ikke længere må drikkes.
GUX matematik A maj 019 side 6 af 6 Opgave 10 På billedet ses en gangbro i Edinburgh. Figuren viser en model af broen indlagt i et koordinatsystem. y 3 b Q a h f 1 g R P 3 6 9 1 15 18 x Broens øverste del beskrives ved en cirkelbue f, og broens nederste del beskrives ved et andengradspolynomium g. Alle mål er angivet i meter. Forskrifterne for f og g er bestemt ved f x x x ( ) = 5 ( 9) 1, 0 18 gx x x x ( ) = 0, 006 + 0,1111, 0 18 a) Bestem den lodrette afstand h mellem de to buer på midten af broen. Den skrå afstiver a er fastgjort i to punkter P( 9, g (9)) og ( 7, (7)) b) Bestem længden af afstiveren a. Q f. Afstiveren b er parallel med afstiveren a og rører den nederste bue i punktet R ( 7,5;0, 48). c) Bestem længden af afstiveren b.
Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Uddannelse, Kultur, Kirke 1 Naqinneqarfia: Ilinniartitaanermut Aqutsisoqarfik Tryk: Uddannelsesstyrelsen