GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 1. juni 2017 Kl. 09.00-14.00 Prøveform b GUX171 - MAA 1
Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres efter en time. Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 7 til 14 med i alt 19 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. I prøvens første time må kun særligt tilladte hjælpemidler benyttes. I prøvens sidste del er alle hjælpemidler tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation.
GUX matematik A juni 2017 side 1 af 7 Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 10.00 Opgave 1 På et hold med 10 GUX-elever blev hver elev stillet spørgsmålet: Hvor mange timer har du brugt på lektier i denne weekend? Svarene fremgår af pindediagrammet på figuren. a) Bestem hvor mange elever, der brugte 2 timer på lektier, og bestem det gennemsnitlige antal timer eleverne brugte på lektier. Opgave 2 Et andengradspolynomium p er bestemt ved forskriften px = x x 1 2 ( ) 2 3 2 a) Bestem diskriminanten for p, og bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen for p. Opgave 3 En funktion f er bestemt ved forskriften f x x x 3 ( ) = + 1, > 0 a) Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen y y 1 =. 3 x
GUX matematik A juni 2017 side 2 af 7 Opgave 4 På den symmetriske figur herunder er nogle sidelængder angivet. a) Bestem omkredsen og arealet af figuren. Opgave 5 a) Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende: definitionsmængden er Dm( f ) = [ 7;5 [ grafen for f går gennem punktet ( 2, 3) f (2) = 0 værdimængden er Vm( f ) = [ 4,5]. Bilag 1 kan benyttes. Opgave 6 Funktionen f er bestemt ved forskriften 1 f( x) = 2 x+, x> 0 x a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f, som opfylder F (1) = 3. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
GUX matematik A juni 2017 side 3 af 7 Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00-14.00 Opgave 7 Udviklingen i det gennemsnitlige antal km pr. liter, en ny dieselbil kan køre, er vist i tabellen. Årstal 2010 2011 2012 2013 2014 2015 km pr. liter 21,4 21,8 23,0 23,6 24,0 25,0 Det gennemsnitlige antal km pr. liter kan beskrives ved en lineær model f( x) = a x+ b hvor f( x ) angiver km pr. liter x år efter 2010. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) I hvilket år kan en ny dieselbil ifølge modellen gennemsnitligt køre 30 km pr. liter? Kilde: Danmarks Statistik Opgave 8 En fisker køber et nyt trawl til sin kutter. Trawlet koster 95000 kr. i anskaffelse, og værdien af trawlet afskrives med 25% om året. Værdien af trawlet kan derfor beskrives ved funktionen V( x ) = 95000 0,75 x hvor V( x ) er værdien af trawlet x år efter anskaffelsen. a) Bestem værdien af trawlet efter 2 år. b) Bestem hvor lang tid, der går, før værdien af trawlet er under 30000 kr. c) Bestem halveringstiden for værdien af trawlet.
GUX matematik A juni 2017 side 4 af 7 Opgave 9 En supermarkedskæde ønsker at åbne en butik i et område i Nuuk. Derfor undersøger supermarkedskæden, hvor stort et beløb beboere i området bruger på dagligvarer om måneden. Tabellen viser resultatet af undersøgelsen. Beløb i kr. ] 1500;2500 ] ] 2500;3500 ] ] 3500;4500 ] ] 4500;5500 ] ] 5500;6500 ] Antal beboere 8 20 9 8 5 a) Tegn sumkurven, og bestem kvartilsættet. b) Bestem det gennemsnitlige månedlige beløb en beboer bruger på dagligvarer. Opgave 10 I et koordinatsystem i rummet med begyndelsespunkt O ( 0,0,0 ) er der givet følgende punkter A ( 3,0,0 ), B ( 0,6,0 ) og C ( 0,0,4 ) Planen α indeholder punkterne A, B og C. a) Bestem en ligning for α, og bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i O, og som har α som tangentplan.
GUX matematik A juni 2017 side 5 af 7 Opgave 11 Figuren viser et koordinatsystem med en model af en helikopterrute mellem de to byer Qaqortoq Q og Narsarsuaq N på et bestemt tidspunkt af året. Enheden i koordinatsystemet er 1 km. y 50 40 N S3 30 C 20 S2 v B 10 S1 Q x 10 20 30 40 Modellen af helikopterruten er opdelt i tre strækninger S 1, S 2 og S 3, der hver kan beskrives ved en vektor. Koordinatsættene for de tre vektorer er givet ved 33 QB =, 18 6 BC = 10 og 4 CN = 13 a) Bestem længden af helikopterruten ifølge modellen. b) Bestem vinklen v, som helikopteren skal dreje ifølge modellen, når ruten skifter mellem de to strækninger S 1 og S 2.
GUX matematik A juni 2017 side 6 af 7 Opgave 12 Funktionen f er bestemt ved forskriften 2 ( ) f( x) = x sin x, 0 x π a) Bestem det globale maksimum for f. Området M er i første kvadrant afgrænset af x-aksen og grafen for f. b) Bestem arealet af M. c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. y f M 0 π x Opgave 13 En pakke med 500 g hakket kød tages ud af en fryser med temperaturen 25 C og placeres i et rum med temperaturen 20 C. I en model for optøningen af kødet er Tt () en løsning til differentialligningen dy 2 0,1 y dt = hvor Tt () er kødets temperatur (målt i C ), til tiden t (målt i timer) efter kødet er taget ud af fryseren. Det oplyses, at T (0) = 25. a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden i kødets temperatur, når kødets temperatur er 5C. b) Bestem en forskrift for T. Kødet er optøet, når temperaturen er 0C. c) Tegn grafen for T, og bestem hvor lang tid, der ifølge modellen er gået fra kødet blev taget ud af fryseren, til det er optøet.
GUX matematik A juni 2017 side 7 af 7 Opgave 14 Indkomstfordelingen i et land kan beskrives ved en såkaldt Lorenzkurve. Funktionen L med forskriften 100 procent af indkomsten Lx x x x x 3 2 ( ) = 0, 000113 0, 0029 + 0,16, 0 100 er bestemt ud fra indkomstfordelingen i USA i 2012, hvor x er procent af befolkningen, og Lxer ( ) procent af indkomsten. Grafen for L kaldes Lorenzkurven. For eksempel har de 40% af befolkningen med lavest indkomst 9% af den samlede indkomst, fordi L (40) = 9. 75 50 25 9 L procent af befolkningen 25 40 50 75 100 I en amerikansk avis kunne man om indkomstfordelingen læse overskriften I USA tjener de rigeste 20% af befolkningen næsten 50% af den samlede indkomst a) Bestem L (80), og undersøg om overskriften er sand. GINI-koefficienten er et udtryk for uligheden i et land, og kan beregnes ved GINI = A 50 hvor A er arealet af punktmængden M mellem linjen med ligningen y = x og Lorenzkurven. b) Bestem GINI-koefficienten for USA i 2012. 100 procent af indkomsten 75 50 y = x M L 25 procent af befolkningen 25 50 75 100
2
2
Naqinneqarfia: Ilinniartitaanermut Aqutsisoqarfik Tryk: Uddannelsesstyrelsen 12 Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke