Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige vægte: Opgave 1 15% Opgave 2 10% Opgave 3 15% Opgave 4 10% Opgave 5 15% Opgave 6 10% Opgave 7 10% Opgave 8 15% I alt 100% Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. Undervisningsministeriet Onsdag den 23. maj 2007 kl. 9.00 13.00
Side 1 af 5 sider Opgave 1 Vektorerne $ 1 % 2 a = og b $ % = 3 1 udspænder et parallelogram. a) Beregn arealet af parallelogrammet. b) Beregn vinklerne i parallelogrammet. c) Beregn længden af de to diagonaler i parallelogrammet. Opgave 2 Et kafferisteri sælger kaffe i poser. På etiketten står, at posen indeholder 500 gram. Kaffen fyldes i poser på en maskine, der er indstillet til i gennemsnit at påfylde 500 gram. Lad X betegne den stokastiske variabel, der angiver indholdet i gram i en pose kaffe. Kafferisteriet antager, at X er normalfordelt X ~ N(μ ; σ), hvor μ = 500 og σ = 5. a) Beregn sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt pose kaffe indeholder mindre end 495 gram. Kafferisteriet ønsker på et tidspunkt at kontrollere middelværdien. Det antages stadig, at σ = 5. Der udtages en stikprøve på 10 poser kaffe. Det viser sig, at indholdet målt i gram er: 495, 501, 499, 490, 489, 498, 499, 501, 479, 499 b) Vurdér ved hjælp af et 95% konfidensinterval, om det ud fra denne stikprøve kan afvises, at middelværdien μ er 500.
Side 2 af 5 sider Opgave 3 Følgende ligning bestemmer en hyperbel: x 2 + 2x + 4y 2 + 8y = 19 a) Bestem hyperblens halvakser og koordinatsættet til centrum. b) Beregn en ligning for hver af hyperblens asymptoter. c) Indtegn hyperblen og asymptoterne i samme koordinatsystem. Opgave 4 To funktioner f og g er løsninger til differentialligningen dy _ = 5y 2 dx a) Bestem en forskrift for f, når det oplyses, at grafen for f går gennem punktet (1, 1). b) Bestem en forskrift for g, når det oplyses, at grafen for g går gennem punktet (7,0). Opgave 5 a) Beregn a således, at 6 2 (x + a) dx = 28 1 2 π b) Vis, at (x + 3) sin(x) dx = 4 0 1 c) Vis, at x2 e 1 3 x 3 dx = e 1 3 1 0
Side 3 af 5 sider Opgave 6 En virksomhed fremstiller og afsætter produkterne Mix og Max. Afsætningen i stk. af produkt Mix kaldes x. Afsætningen i stk. af produkt Max kaldes y. Fremstillingen foregår under følgende begrænsninger: 0 x 20 0 y 30 2x + 4y 160 0 Det oplyses, at nedenstående funktion f angiver den samlede omsætning f (x, y) = 4x 2 + 80x 1,6y 2 + 64y Beregn den størst mulige samlede omsætning. Opgave 7 Linjerne l og m er givet ved: l: y = 2x + 3 m: y = 2x + 1 a) Bestem en retningsvektor for hver af de to linjer. b) Beregn størrelsen af den spidse vinkel mellem l og m.
Side 4 af 5 sider Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. Opgave 8A På en virksomhed anvendtes en psykologisk test på nye medarbejdere. Ved testen blev medarbejderne erklæret egnet eller måske egnet. Et år efter ansættelsen vurderede chefen, hvordan de samme medarbejdere fungerede. Det viste sig, at 65% af medarbejderne fungerede meget godt, 25% godt og 10% mindre godt. Af de medarbejdere, der fungerede meget godt, var 80 % blevet erklæret egnet ved den psykologiske test. Af de godt fungerende var 50% blevet erklæret egnet ved den psykologiske test, og af de mindre godt fungerende var 10% blevet erklæret egnet ved den psykologiske test. a) Hvad er sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt medarbejder blev erklæret egnet ved den psykologiske test? b) Hvad er sandsynligheden for, at en medarbejder, der blev erklæret egnet, fungerede meget godt? c) Hvad er sandsynligheden for, at en medarbejder, der blev erklæret måske egnet, fungerede mindre godt?
Side 5 af 5 sider Opgave 8B 7 6 g 5 f 4 3 2 1 1 2 3 Funktionerne f og g på figuren er givet ved: f (x) = 5x 3 30x 2 + 55x 27 g(x) = 10x 3 + 60x 2 110x + 63 a) Vis, at graferne for f og g skærer hinanden for x = 1, x = 2 og x = 3. b) Beregn arealet af det mørke område på figuren.