Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som oplæg til pojekt- elle emefoløb. Idhold Udviklige temi fo temi Bug af fomle Eksempel 1: A ukedt Eksempel 2: b ukedt Eksempel 3: ukedt Eksempel 4: ukedt Husk Opgave Kedeteg E auitetsopspaig e kedeteget ved at ma hve temi (f.eks. hve måed) idbetale et fast beløb. Hve temi tilskives ete, og ete e kostat. Det vise sig at ma ka opstille e fomel de kytte de samlede opspaig, de faste idbetalig, ete og atal idbetalige samme. Dette mateiale deje sig om avedelse af auitetsfomle. På liket he ka du læse et bevis fo fomle. Vi buge følgede betegelse: A saldoe opgjot etop å de sidste idbetalig foetages b det faste beløb de idsættes hve temi etefode p. temi, dvs. ete skevet som decimalbøk (f.eks. 3% = 0,03) atallet af idbetalige Med disse betegelse gælde følgede fomel fo e auitetsopspaig: ( 1 ) 1 A b I fomle ka ma med b, og beege A. Hvis ma istedet isolee b i fomle fås: b A ( 1 ) 1 Ma skal huske at A e støelse på opspaige (saldoe) opgjot lige å de sidste idbetalig e foetaget. Sidste idbetalig å altså ikke at tilskives ete.
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 2 af 10 Vi vil edefo se på hvoda fomle fo auitetsopspaige vike i foskellige opgavetype. Me ide da illustee vi med et eksempel hvoda opspaige udvikle sig temi fo temi. Udviklige temi fo temi Vi ka foestille os at vi hvet å idsætte 1000 k på e koto hvo ete e 7% p.a. (p. å). Å fo å vil opspaige udvikle sig som følge: Saldo i Idbetalig k. 1 1000 2 2070 3 3215 4 4440 5 5751 6 7153 7 8654 8 10260 9 11978 10 13816 11 15784 12 17888 I tabelle se vi at saldoe f.eks. efte de 2. idbetalig e 2070. Hvis vi lade A betege saldoe umiddelbat efte de te idbetalig, ka vi foklae tabelle på følgede måde: Efte 1. idbetalig: P. defiitio e A 1 = 1000, da saldoe jo opgøes umiddelbat efte 1. idbetalig på 1000 k. Efte 2. idbetalig: Nå de e gået e temi ha A 1 fået tilskevet ete og 2. betalig foetages. Ma lægge 7% til et beløb ved at gage det med 1,07: A 2 A1 1,07 1000 1000 1,07 1000 2070 Efte 3. idbetalig: Nå de e gået et å mee ha A 2 fået tilskevet ete og 3. betalig foetages. A A 1,07 1000 2070 1,07 1000 3215 3 2 Såda ka ma fotsætte med at beege saldoe på kotoe efte hve temi.
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 3 af 10 ( 1 ) 1 Bug af fomle A b I eksemplet ovefo fadt vi fem til at saldoe efte 3. idbetalig va 3215. Saldoe ( 1 ) 1 kue også beeges vha. fomle A b. Vi ha b = 1000, = 7% og = 3: 3 (1 ) (1 0,07) 1 A b 1000 3215 0,07 Hvis ma e iteesseet i saldoes udviklig temi fo temi ka ma vha. et egeak lave e tabel som ovefo. Hvis ma deimod blot e iteesseet i saldoe efte et bestemt atal idbetalige e fomle fo auitetsopspaige ( 1 ) 1 A b bekvem. I fomle idgå 4 støelse. Vi geemgå edefo de fie situatioe hvo vi kede te af støelsee og skal beege de fjede vha. fomle A b. ( 1 ) 1 Eksempel 1: A ukedt Vi idsætte hve måed 910 k og vi få e måedlig ete på 2%. Hvo mage pege ha vi efte de 17. idbetalig? Vi idsætte de kedte støelse i fomle: 17 (1 ) 1 (1 0,02) 1 A b 910 18211 0,02 Vi ha idsat 910 k. 17 gage, så alt i alt ha vi idsat: 17 910 15470 Da vi ede med e saldo på 18211 k., ha vi fået 18211 15470 2741 k i ete. Eksempel 2: b ukedt Vi øske at spae 1.000.000 k op ved idbetalig af et fast beløb p. måed. Vi få 1% i måedlig ete. Vi agte at gøe det i 7 å, altså foetage 84 idbetalige. Hvo meget skal vi da idbetale p. måed? Ma ka omfome og = 84 fås: ( 1 ) 1 A b til b A. Med A = 1.000.000, = 1% ( 1 ) 1 b A (1 ) 0,01 1000000 1 (1 0,01) 1 84 7652,73
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 4 af 10 Med e måedlig idbetalig på 7653 k (afudet) vil vi i alt å at idbetale 84 7652,73 642.829. Da ha vi fået tilskevet ete på i alt: 1000000 642829 357.171 k. Eksempel 3: ukedt Hvad e de ålige ete på e auitetsopspaig hvis vi hvet å idsætte 3000 k., og vi umiddelbat efte de 20. idbetalig ha 83.000 k? Det vise sig at ma ikke ka isolee støelse i fomle ødt til at pøve sig fem med foskellige ete: ( 1 ) 1 A b. Ma e I fomle ( 1 ) 1 A b udeges højeside ved foskellige ålige ete: Ålig ete Saldo i k. 2,00% 72.892 2,25% 74.735 2,50% 76.634 2,75% 78.592 3,00% 80.611 3,25% 82.693 3,50% 84.839 3,75% 87.052 4,00% 89.334 Vi øske at få e saldo på 83.000 k., og vi ka se at de ålige ete må ligge mellem 3,25% og 3,5% Vi udege eksempelvis fo = 3,25%: (1 0,0325) A 3000 0,0325 20 1 82.693 Vi ka deæst fosøge med 3,26%, 3,27% osv. Ved på dee måde at eftepøve få ma pæcist = 3,286%. Eksempel 4: ukedt E familie øske at spae 2.000.000 k. op. De ka betale 15.000 k. p. måed, og bake tilbyde e fast måedlig ete på 0,7%. Hvo mage måede vil de væe om at å det øskede mål? De e to metode til at fide esultatet:
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 5 af 10 Ma ka pøve sig fem som i eksempel 3 hvo ete e ukedt. Ma pøve sig fem med foskellige vædie af fo at amme e saldo på 2 mio. k. Ma ka isolee i auitetsopspaigsfomle. Fo at fostå det skal ma have læst om logaitme s. 60 og om ekspoetielle ligige s. 152 i boge. Hvis ma af auitetsfomle udege, få ma: A log( 1) b log(1 ) Med A = 2.000.000 k., b = 15.000 k. og = 0,7%: A log( 1) b log(1 ) 2000000 0,007 log( 1) 15000 log(1 0,007) 95 (afudet) Det tage altså familie ca. 95 måede elle æste 8 å. Familie idbetale i alt: 95 15000 1425000. Demed få de i alt i ete: 2000000 1425000 575000 k. Husk De e flee tig de volde pobleme ved auitetsopspaige: Retefode skal passe til temie. Hvis ma idbetale p. måed, skal ete væe måedlig ete; hvis ma idbetale p. kvatal, skal ete væe kvatalsvis ete osv.. Omegig f.eks. mellem måedlige og ålige ete ka du læse om i boge s. 50. ( 1 ) 1 Nå du buge fomle A b, skal du ved idtastig på lommeegee huske på egehieakiee f.eks. ved at sætte paetes om tællee i bøke. Du ka epetee egehieakiee ved at læse i boge s. 29. Opgave Opgave 1 Lad A = 1200 k., = 2% og = 8. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme b Sva: 139,81 k. Opgave 2 Lad A = 3000 k., b = 300 k. og = 8. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme (2 decimale) Sva: 6,29%
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 6 af 10 Opgave 3 Lad b = 1273 k., = 11,11% og = 7. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme A Sva: 12 496,31 k. Opgave 4 Lad A = 6170 k., = 4% og b = 193 k.. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme Sva: 21 Opgave 5 Lad A = 56 218 k., b = 900 k. og = 32. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme (2 decimale) Sva: 3,98% Opgave 6 Lad A = 1 154 520 k., = 5,3% og b = 80 000 k. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme Sva: 11 Opgave 7 Lad A = 140 000 k., = 3,52% og = 19. Beyt auitetsopspaigsfomle til at bestemme b Sva: 5301,36 k. Opgave 8 På e auitetsopspaigskoto e det faste måedlige beløb 1620 k., og de måedlige ete e 1%. Hvad e saldoe efte de 9. idbetalig? Sva: 15177,01k. Opgave 9 E familie ka hve måed sætte 8000 k i bake. De tilbydes e koto med e måedlig ete på 0,75%. Hvo mage måede skal familie idsætte pege fo at saldoe ovestige 250 000 k.?
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 7 af 10 Sva: 29 Opgave 10 E familie øske at spae op til udbetalige på et hus, de koste 4 000 000 k. Udbetalige e på 10% af huspise. De ka få 0,4% i måedlig ete på e koto i GoldeDeams Bake Hvo sto skal de måedlige idbetalig væe hvis familie øske at have til udbetalige efte 48 idbetalige? Sva: 7575,52 k Opgave 11 Lie ha hvet kvatal idbetalt 4070 k på e koto i bake. Efte 26. kvatalsvise idbetalige e det blevet til 160 000 k. Hvad ha de kvatalsvise ete væet (2 decimale)? Hvilke ålig ete svae e såda (afudet) kvatalsvis ete til (afudes til 2 decimale)? Sva: 3,14%, 13,16% Opgave 12 Betagt e auitetsopspaig hvo de faste måedlige idbetalig e 8000 k og de måedlige ete e 1,3%. Bestem saldoe efte 2., 3. og 4. idbetalig og de samlede tilskeve ete efte 2., 3. og 4. idbetalig. Sva: Idbetalig Rete Saldo Samlede ete 1 0,00 8000,00 0,00 2 104,00 16104,00 104,00 3 209,35 24313,35 313,35 4 316,07 32629,43 629,43 Opgave 13 På e koto idbetale Geoge et åligt fast beløb på 21 000 k. Rete e 11% p.a. Hvo mage pege ha Geoge umiddelbat efte de 4. idbetalig? Lav et stolpediagam de illustee saldoe og de samlede tilskeve ete efte heholdsvis 1., 2., 3. og 4. temi Sva: 98 904,35 k.
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 8 af 10 Geoges opspaig 120000,00 100000,00 80000,00 k 60000,00 40000,00 20000,00 0,00 Saldo Samlede ete 1 2 3 4 Idbetalig Opgave 14 Lav samme opgave som ovefo blot hvo ete e det halve, altså 5,5% p.a. Sva: 91 187,59 k. Geoges opspaig 100000,00 80000,00 Saldo Samlede ete 60000,00 k 40000,00 20000,00 0,00 1 2 3 4 Idbetalig Opgave 15 På e auitetsopspaigskoto idbetale e mad 1200 k. om måede til e måedlig ete på 2,3%. Hvad stå de på kotoe umiddelbat efte de 15. idbetalig? Hvo meget ha ha i alt fået i ete? Made holde op med at yge og ka u måedligt betale 2400 k. Besva u de samme spøgsmål som oveståede. Hvad e de sket? Sva: 21207,80 k.; 3207,80 k.; 42415,60 k.; 6415,62 k.. Både saldo og etebeløbet fodobles.
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 9 af 10 Opgave 16 På e auitetsopspaigskoto i Købehav idbetale e mad 1835 k om ået til e ålig ete på 7,3%. Hvad stå de på kotoe umiddelbat efte de 28. idbetalig? Hvo meget ha ha i alt fået i ete? Made blive kotaktet af Vestjysk Spae- og Spikekasse, de tilbyde e auitetsopspaigskoto med e ålig ete de e det dobbelte af ete på kotoe i Købehav Besva u de samme spøgsmål som oveståede. Betyde e fodoblig af ete e fodoblig af opspaige og af de samlede etetilskivig? Sva: 155 624 k.; 104 244 k.; 558 190 k.; 506 810 k. Nej, e fodoblig af ete betyde he mee ed e tedoblig af opspaige og æste e femdoblig af etebeløbet. Opgave 17 E kvide opette e auitetsopspaigskoto med e kvatalsvis idbetalig på 16 000 k. De tilskives e kvatalsvis ete på 3%. Hvad stå de på kotoe umiddelbat efte de 20. idbetalig? Hvo meget ha hu i alt fået i ete? Kvide oveveje at fotsætte idbetaligee til og med de 40. idbetalig. Hvad stå de på kotoe umiddelbat efte de 40. idbetalig? Betyde e fodoblig af atallet af idbetalige e fodoblig af opspaige og af de samlede etetilskivig? Sva: 429 926 k., 109 926 k., 1 206 420 k.; 566 420 k. Nej, de ske he ca. e tedoblig af opspaige og ca. e femdoblig af de samlede etetilskivig. Opgave 18 Taja beslutte at idbetale 3500 k hve måed på e koto, hvo hu få 0,9% i ete p. måed. Hvo meget vil de stå på kotoe umiddelbat efte de 13. idbetalig? Det vise sig at Taja få ogle ufoudsete udgifte, så hu ku å at foetage 10 idbetalige. Hu lade deæst pegee stå i 3 måede til de aftalte ete. Hvo meget stå da på kotoe? Hvo meget miste Taja i eteidtægt ved at afholde sig fa at idbetale de sidste 3 gage? Sva: 48 039,94 k.; 37445,15 k.; 94,78 k.
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 10 af 10 Opgave 19 I geemgage af auitetsopspaige blev det ævt at fomle ka omfomes til b A. Vis hvoda. ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 A b Opgave 20 ( 1 ) 1 I geemgage af auitetsopspaige blev det ævt at fomle A b A log( 1) ka omfomes til b. Læs føst i boge om ekspoetielle ligige s. log(1 ) 152, og vis deæst hvoda omfomige ka gøes. Opgave 21 Fo e give auitetsopspaig ka vi kalde saldoe efte de k-te idbetalig fo A k og tilsvaede ka vi kalde saldoe efte de foegåede idbetalig fo A k-1. Opstil e fomel de udtykke A k ved A k-1, og b.