formler og ligninger basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07 7 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med COPY-dan og forlaget. Læs mere på: www.bernitt-matematik.dk

Forord Hæftet er et af ti, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne basis+g og dette hæfte indeholder kernestoffet om ligninger. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledning om undervisning på VUC, der udkom i 2009. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. I forhold til de krav til det faglige indhold, den enkelte kursist eller hold stiller, kan der være indhold, der springes over og der kan være indhold fra hæftet formler og ligninger F+E+D, der inddrages. På siderne er der links til facit på opgaverne, oversigt over regler og formler m.v. Links vises med denne skrifttype: Link Siderne er opdelt således, at først forklares og vises med eksempler og derefter er der opgaver du kan løse. Hvis du kan se, at du uden vanskelighed kan løse opgaverne, kan du springe dem over. Efter opgaverne er et link til bagerst i hæftet, hvor reglerne du har arbejdet med er samlet. Når du har løst opgaverne er det en god idé, at læse dette, så du er sikker på, at du har lært det du skulle ved at løse opgaverne. Fra side 34 er facit til opgaverne. Klik på opgaveteksten for at komme til facit. Klik derefter på facit for at komme tilbage til opgaverne. Skriv til: mail@bernitt-matematik.dk, hvis du har spørgsmål, forslag eller kommentarer

Læse formler Eksempel 1: Du skal læse formlen herunder: P: pris i kr. F: forbrug i stk. P = 4,5 A F Formlen siger at man kan finde prisen i kr. ved at gange 4,5 med forbruget i stk. Forklaring: Over selve formlen står en forklaring til de forkortelses-bogstaver, der bruges i formlen. I selve formlen står først det, man kan regne ud. Efter lighedstegnet står det regnestykke, man skal udregne. Man læser formler fra venstre mod højre som var det almindelig tekst. 1 Læs formlen. A: kvadratets areal s: kvadratets sidelængde A = s A s 2 Læs formlen. P: prisen i kr. for en taxatur T: prisen i kr. pr. km a: afstand i km. P = a A T + 25 3 Læs formlen. P: prisen i kr. for el-forbrug F: forbruget af kilowatt-timer P = 0,985 A F + 750 4

Eksempel 2: Se formlen herunder. P: pris i kr. for elforbrug F: forbrug af kilowatt-timer P = 0,985F + 750 Forklaring: Når der ikke står noget regnetegn mellem et tal og et bogstav eller mellem to bogstaver, er det et gangetegn, der er udeladt. 1 Læs formlen. A: trekantens areal h: trekantens højde g: trekantens grundlinie A = 0,5hg 2 Læs formlen. P moms : prisen i kr. med moms P: prisen i kr. uden moms P moms = 1,25P 3 Læs formlen. a: kørt afstand i km H: hastighed i km/t t: køretid i minutter a = th:60 4 Læs formlen. A: rektangels areal b: rektangels bredde l: rektangels længde A = bl Om matematiske tegn side 42 5

Brug af formler Eksempel: Du vil finde prisen for et el-forbrug på 3.500 kilowatttimer ved at bruge formlen herunder. P: pris i kr. for el-forbrug F: el-forbrug i kilowatt-timer P = 0,985F + 1.500 P = 0,985 A 3.500 + 1.500 P = 4.947,5 Prisen bliver 4.947,50 kr. Forklaring: Først læser man formlen: "Man kan finde prisen i kr. for sit el-forbrug ved at gange 0,985 med forbruget og lægge 1.500 til." Dernæst bruger man den: Man skriver formlen igen, men denne gang skriver man ikke bogstavet F men i stedet tallet 3.500. Så regner man regnestykket til højre for lighedstegnet. 1 Læs formlen og brug den. P incl : pris med 25% moms P excl : pris uden moms P incl = 1,25P excl En vare kostede uden moms 67 kr. Find prisen med moms. Hvad skal du betale, hvis prisen uden moms er 167,50 kr.? 2 Læs formlen og brug den. H: hastigheden i km/t a: den kørte afstand i km t: køre-tiden i minutter H = a : t A 60 Du har kørt 4 km på 3 minutter. Find hastigheden. Du har på 7 minutter kørt 5 km. Find hastigheden. 6

3 Læs formlen og brug den. P incl : pris med 25% moms P excl : pris uden moms P excl = 0,8P incl En vare kostede med moms 98 kr. Find prisen uden moms. Find også momsen i prisen på 98 kr. 4 Læs formlen og brug den. P: prisen for valuta k: kursen for den pågældende valuta a: mængden af valuta P = a A k : 100 + 45 Hvad koster 500 US-$ til kurs 565,75? Hvad koster 150 Euro til kurs 762,41? 5 Læs formlen og brug den. h: hastighed i m/sek H: hastighed i km/t H = 3,6h Vinden blæste med 15 m/sek. Hvad er det i km/t? Hvor mange km/t sejler en båd, der sejler 8 m pr. sek? 6 Læs formlerne og brug dem. T: den del af lønnen, du skal betale skat af (træk-grundlaget) L: lønnen f: fradraget t: trækprocenten S: skatten T = L - f og: S = T A t : 100 Find træk-grundlaget, når lønnen er 15.400 kr. og fradraget 4.320 kr. Find derefter skatten, hvis trækprocenten er 48. Om brug af formler på side 42 7

Parenteser Eksempel 1: Du har en løn på 12.500 kr. Dit fradrag er 4.500 kr. Din trækprocent er 48. Du vil regne din kildeskat ud ved at bruge formlen herunder. K er kildeskat i kr. L er lønnen i kr. F er fradrag i kr. t er trækprocent K = t(l - F) : 100 K = 48(12.500-4.500) : 100 K = 48 A 8.000 : 100 K = 3.840 Du skal betale 3.840 kr. i kildeskat. Forklaring: En parentes, der står i et regnestykke er en ordre om, at man skal begynde med dét, der står i parentesen. Derfor begynder man med at udregne 12.500-4.500. 1 S: ejendomsværdiskat i kr. E: ejendomsværdi i kr. S = 0,015(E - 1.775.000) Hvad skal der betales i ejendomsværdiskat af en ejendomsværdi på 3.000.000 kr? Hvad skal der betales i ejendomsværdiskat af en ejendom med en værdi på 100.000.000 kr.? 2 K r : Kapital med rente K 0 : Kapital uden rente r: rente-procent K r = K 0 (1 + r : 100) Find kapital med rente for en kapital uden rente på 50.000 kr., når renteprocenten er 5. 8

3 Til en række prøver fik du følgende karakterer: 8 7 9 7 6 10 9 8 Formlen herunder kan bruges til at udregne gennemsnittet. G: gennemsnittet n: antallet af tal a 1,a 2,a 3... a n : De tal gennemsnittet skal findes for G = (a 1 + a 2 + a 3 +... + a n ) : n Find gennemsnittet for dine karakterer. 4 K: kirkeskat S: skattepligtig indkomst k: kirkeskat-procent K = k(s - 22.500) : 100 Find kirkeskatten for en skattepligtig indkomst på 156.000 i en kommune, hvor kirkeskat-procenten er 0,8 5 Formlen herunder kan bruges til at finde den rente, man kan få for sine penge, hvis de står på en bankkonto et antal dage. R: rente K: indestående på bankkonto r: rente-procent pr. år. d: antal dage R = (K A r A d) : (100 A 365) Hvad vil man få i rente, hvis man har haft 3.400 kr. stående på en bankkonto i 20 dage og rente-procenten er 6? 6 Formlen herunder handler om rektangler. Et rektangel er en firkant, hvor siderne står "lodret-vandret" (vinkelret) på hinanden. O: omkreds l: længde b: bredde O = 2(l+b) Hvor stor en omkreds har en grund, der har form som et rektangel, hvor længden er 25 m og bredden 15 m? Om parenteser i formler på side 42 9

Brøkstreger Eksempel 1: Du vil købe 150 Euro til kurs 760 og bruger formlen herunder. P: pris i kr. for Euro k: kursen for Euro a: antal Euro k. a P = 100 P = 760. 150 100 P = 11.4000 : 100 P = 1.140 150 Euro koster 1.140 kr. Forklaring: En brøkstreg viser, at man skal dividere. Er der brøkstreg i en formel, kan man begynde med at regne det ud, der står over brøkstregen, derefter det der står under, og til slut deler man de to tal med hinanden. 1 R: er rente i kr for et år. K: er kapital i kr. r: er rentesats pr. år i % K. r R = 100 Hvad vil du få i rente for 3.400 kr., hvis rentesatsen er 8%. Hvad vil du med en rentesats på 4% få i rente af 5.600 kr.? 2 P incl : pris med moms P excl : pris uden moms P. excl 25 P incl = + P 100 excl En vare koster 45 kr. uden moms. Hvad koster den med moms? Hvor stor er momsen? 10

3 A: en trekants areal i cm 2 h: trekantens højde i cm g: længden af trekantens grundlinie i cm h. g A = 2 Hvor stort et areal har en trekant, der er 5 cm høj og har en grundlinie, der er 10 cm? 4 Denne formel handler om en rundsav. H: tændernes hastighed i m pr. sek O: antal omdrejninger pr. minut D: savens diameter (tværmål) i cm 3,14D. O H = 100. 60 Hvor hurtigt kører tænderne på en rundsav, der har diameteren 15 cm, og som kører med 3.000 omdrejninger i minuttet? 5 Denne formel handler om færdselslovens mindste-krav til bilers bremselængde på tør vej. B: bremse-længde i m H: hastighed i km/t 2H. H B = 225 Hvad bliver bremselængden for en bil, der kører 60 km/t? Hvad bliver bremselængden, hvis den kører 110 km/t? 6 Formlen herunder beskriver, hvor mange liter olie en kugleformet olie-tank kan rumme. I: indhold i liter D: diameter (tværmål) i cm 0,5236D. D. D I = 1.000 Hvor meget rummer en tank, der har diameteren 200 cm? Om brøkstreger i formler på side 42 11

Potens og kvadratrod Eksempel 1: Du vil udregne et cirkel-formet blomsterbeds areal ud og har fundet formlen herunder. Bedets radius er 1,5 m. r: cirklens radius m B: tallet 3,14 A: cirklens areal i m 2 A = Br 2 A = 3,14 A 1,5 A 1,5 A = 7,065 Bedets areal er ca 7 m 2. Forklaring: r 2 er en kortere måde at skrive r A r. Det lille 2-tal betyder altså, at man skal gange med r to gange efter hinanden. På samme måde betyder r 3, at man skal gange med r tre gange. Man kalder denne måde at skrive tal på for potens-tal. Eksempel 2: Du vil lave et blomsterbed, der skal have et areal på 9 m 2 og vil regne dets radius ud. Du har fundet denne formel:. A: cirklens areal i m 2 r: cirklens radius i m B: tallet 3,14 Bedet skal have en radius på 0,955 m Forklaring: Tegnet %&hedder et kvadratrodstegn og angiver, at man skal finde det tal, der gange med sig selv giver tallet, der står under tegnet. Mange lommeregnere har en tast, der kan udregne dette. 12

1 Udregn: 2 2 5 3 10 2 43 2 A: en cirkels areal i cm 2 r: cirklens radius i cm B: tallet 3,14 A = Br 2 Hvor stort et areal har en cirkel med radius på 30 cm? 3 Denne formel handler om, hvor meget der kan være i en kugleformet olietank. D: tankens invendige tværmål i m B: tallet 3,14 I: indhold i liter H = 125 A 4/3BD 3 Hvor mange liter olie kan der være i en tank, der har et indvendigt tværmål på 2 m? 4 Når man skal bruge en lommeregner til at udregne kvadratroden af et tal skal man først taste tallet ind og derefter taste på %& Brug en lommeregner til at udregne: 5 Denne formel kan bruges til at udregne, hvor hurtigt en bil har kørt, hvis man kender dens bremselængde på tør vej. B: bremse-længde i m H: hastighed i km/t Hvor hurtigt har en bil kørt, der har været 25 m om at bremse? Om potens og kvadratrod på side 42 13

Lave formler og bruge dem Forklaring: Du har fået formlen herunder, der kan bruges til at udregne udsalgsprisen for en vare, når du kender den oprindelige pris og rabatprocenten. U er udsalgsprisen P er den oprindelige pris r er rabat-procenten U = P - P A r : 100 Hvis du f. eks. ved, at prisen for en vare var 98 kr. og at rabatten var 10%, kan du skrive: U = P - P A r : 100 U = 98-98 A 10 : 100 U = 98-9,80 U = 88,20 Forbrugerprisen bliver altså 88,20 kr. Forklaring: Når man skal lave en formel, er der tre spørgsmål man skal kunne svare på: - Hvad skal man kunne regne ud? - Hvilke oplysninger skal man have for at kunne regne det ud? - Hvordan regner man det ud? I eksemplet er svarene: - man vil udregne udsalgsprisen og kalder den U. - man skal kende prisen uden rabat (kaldes P) og rabat-procenten (kaldes r). - man kan finde forbrugerprisen ved at trække rabatten fra prisen. Rabatten finder man ved at gange prisen med rabatprocenten og dele med 100. 1 Hvis man kender en pris med moms, kan man finde momsen ved at dele med 5. Lav en formel der viser, hvordan man kan udregne moms. Brug formlen til at finde momsen i en pris på 200 kr. 14

2 Man kan finde prisen for en taxatur ved at gange antallet af km, der er kørt med 20 og lægge 25 kr. til. Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen for en taxatur. Brug formlen til at finde prisen for en tur på 12 km. Brug også formlen til at finde prisen for en tur på 25 km. 3 Man kan finde prisen for sit strømforbrug ved at gange forbruget (Kilowatttimer) med 0,987 kr. og lægge 750 kr. til. Lav en formel, der kan bruges til at udregne prisen for en persons strømforbrug. Brug formlen til at regne ud, hvad et forbrug på 3500 Kilowatttimer koster. 4 Man kan finde, det man skal betale i rente på sit lån ved at dele låne-beløbet med 100 og gange med rentesatsen. Lav en formel, der kan bruges til at regne renten ud. Brug formlen til at finde renten på et lån på 15.000 kr., når renteprocenten var 5. 5 Man kan finde et kvadrats areal i m 2 ved at gange sidelængden i m med sig selv. Lav en formel, der kan bruges til at regne renten ud. Brug formlen til at finde arealet af et kvadrat, der har sidelængden 125 cm.. 6 Man kan finde en bils hastighed i km/t ved at dele den strækning, den har kørt i km med den tid i minutter, den har været om det og derefter gange med 60. Lav en formel, der kan bruges til at regne hastigheden ud. Brug formlen til at finde hastigheden for en bil der på 1 minut har kørt 1 km. Brug også formlen til at finde hastigheden for en bil, der har kørt 35 km på 25 minutter. Om formler side 43 15

Formlen bliver til en ligning Eksempel: Du ved at udsalgsprisen for en vare er 80 kr., og at den oprindelige pris var 100 kr. Du vil bruge formlen fra før til at finde rabat-procenten. U er udsalgs-prisen P er den oprindelige pris r er rabat-procenten U = P - P A r : 100 80 = 100-100 A r : 100 Hvis dette skal være rigtigt, skal der stå 20 på r-ets plads. Rabat-procenten har altså været 20%. Forklaring: Man begynder med at skrive formlen med tallene 80 og 100 i stedet for bogstaverne U og P. Dermed bliver formlen til en ligning med én ubekendt - nemlig r. At det er en ligning betyder, at regnestykket til højre for ligheds-tegnet skal være lig med tallet til venstre. Ved at gætte sig frem og afprøve sine gæt, kan man finde frem til det tal, der passer. 1 Se formlen herunder: T = 4s Hvad skal s være, hvis T skal blive 48? Hvad skal s være, hvis T skal blive 25? 2 Se formlen herunder: T = s : 5 Hvad skal s være, hvis T skal blive 10? Hvad skal s være, hvis T skal blive 25? 16

3 Se formlen herunder: y = 2x + 4 Hvad skal x være, hvis y skal blive 20? Hvad skal x være, hvis y skal blive 10? 4 Se formlen herunder: y = 4x - 10 Hvad skal x være, hvis y skal blive 30? Hvad skal x være, hvis y skal blive 100? 5 Se formlen herunder: T = s 2 (s 2 betyder det sammen som s A s) Hvad skal s være, hvis T skal blive 36? Hvad skal s være, hvis T skal blive 100? 6 Se formlen herunder: y = 3(x + 2) Hvad skal x være, hvis y skal blive 9? Hvad skal x være, hvis y skal blive 30? 7 Se formlen herunder: y = ½x - 4 Hvad skal x være, hvis y skal blive 10? Hvad skal x være, hvis y skal blive 30? 8 Se formlen herunder: y = 3 + 2(x + 2) Hvad skal x være, hvis y skal blive 9? Hvad skal x være, hvis y skal blive 30? Om ligninger på side 43 17

Løsning af ligninger Eksempel 1: Du vil regne dig frem til det tal, der passer i en ligning i stedet for at gætte dig frem. 20 = 5x + 2 20-2 = 5x + 2-2 18 = 5x 18 : 5 = 5x : 5 3,6 = 1x x skal altså have størrelsen 3,6. Forklaring: I stedet for at gætte sig frem til løsningen på en ligning, kan man forenkle ligningen, indtil den er så simpel, at man let kan se løsningen. Man siger, at man løser ligningen ved at reducere den. Man reducerer en ligning ved at foretage den samme handling på begge sider af lighedstegnet og ved at gøre dette på en sådan måde, at nogle af tallene forsvinder fra det sted, hvor den ubekendte står. I eksemplet trækker man først 2 fra, og derefter deler man med 5. 1 Løs ligningerne. 50 = 10x + 20 30 = 5x + 5 100 = 10x 75 = 5x + 25 20 = 2x + 10 200 = 50x 2 Løs ligningerne. 5 = 2x + 8 10 = 3x + 1 45 = 8x + 5-4 = 3x + 11 6 = 2x +3 13 = 2x + 1 3 Løs ligningerne. 2x + 3 = 8 3x + 1 = 10 2x + 5 = 7 4 + 2x = 12 8 + 2x = 8 5 + 10x = 80 18 Regler for løsning af ligninger side 43

Eksempel 2: Du vil løse ligningen herunder. 10 = 2x - 4 10 + 4 = 2x - 4 + 4 14 = 2x 14 : 2 = 2x : 2 7 = x Forklaring: Når man vil fjerne et negativt tal skal man lægge det tilsvarende positive tal til. I eksemplet begynder man med at lægge 4 til på begge sider af lighedstegnet for at ophæve -4, der stod ved 2x. 1 Løs ligningerne. 5 = 2x - 8 8 = 3x - 1 40 = 8x - 8 4 = 3x - 11 6 = 2x - 3 13 = 2x - 6 2 Løs ligningerne. 2x - 5 = 8-10 + 3x = 11 8x - 40 = 40 3x - 4 = 11-6 + 2x = 3x 2x -13 = 1 3 Løs ligningerne. 7 = 2x + 6 100 = 70 + 3x 450 = 50x 7 = 4x - 11 16 = 2x -3 130 = 5x -20 4 Løs ligningerne. 15 + 2x = - 8 15 + 3x = 21 5 = 8x - 3 3x - 4 = -13 7 = -3 + 4x 13 + 4x = 1 5 Løs ligningerne. 3x - 6 = 9-6 + 3x = 3 13 = 7 + 2x 2x + 5 = 8 10 + 4x = 2 5 = 8x + 5 19

Eksempel 3: Du vil løse ligningen herunder. 2x + 3 = 4x - 5 2x - 2x + 3 = 4x - 2x - 5 3 = 2x - 5 3 + 5 = 2x - 5 + 5 8 = 2x 8 : 2 = 2x : 2 4 = x Forklaring: Hvis den ubekendte står på begge sider af lighedstegnet, starter man med at sørge for at fjerne leddet med det færreste antal x-er ved at trække x-er fra eller lægge x-er til på begge sider af lighedstegnet. 1 Løs ligningerne. 5 + x = 2x + 8 10 + 2x = 3x + 1 2x + 3 = 4x + 1 2x + 4 = 3x + 11 6 + 4x = 2x +3 4x + 2 = 5x + 1 3x + 5 = 2x + 3 8x - 10 = 4x + 2 2x - 3 = 5x + 3-4 + 2x = 4x + 8 x + 6 = 3x +4 x + 5 = 3x - 4 2 Løs ligningerne. 3x - 5 = 2x - 3 6x - 10 = 4x + 1 3x - 2 = 5x + 2-4 + 2x = 3x - 8 x - 6 = 3x +4 x - 5 = 3x + 4 5 = 2x - 8 10 = 3x + 1 64 = 8x -4 = 3x + 11 6x = 2x +4 13x = 12x + 1 3 Løs ligningerne. 5t - 3 = 2t + 9 10y = 3y - 14 4.500 = 90k -40g = 60g + 100 6r + 4 = 2r +43 y = 2y 4x - 6 = 6-2x 2x - 4 = 3x + 1 4x - 50 = 8x -14 = 3x + 11x 5x + 3 = 2x - 3 x + x = 3x 20

4 Løs ligningerne. 4x - 2 = 3x + 2 -x + 2 = 3x - 4 3-2x = 4x + 3-4 = 3x + 11 6 = 2x +3 x - 4 = 2x - 4 5 Løs ligningerne. 3 - x = 2x - 9 1+ x = 3x + 1 4x + 8 = 3x + 2 4 + 2x = 3x + 11 6 - x = 2x +3 2x + 11 = 5x - 1 6 Løs ligningerne. 8 = -2x + 8 1 = 3x + 1 45+ 2x = 8x 2x - 4 = 3x + 9 6= - x + 2x +3 1-3x = 2x +1 7 Se formlen herunder. T = 5s + k Find T, når s er 4, og k er 3 Find s, når k er 2, og T skal være 12 Find k, når s er 5, og T skal være 20 8 Se formlen herunder. P = 12n - 3t Find P, når n er 20, og t er 10 Find t, når n er 3, og P skal være 24 Find n, når t er 5, og P skal være 45 9 Se formlen herunder. y = 3x - 5 Find y, når x er 2. Find x, når y skal være 7 Find y, når x er 0 Find x, når y skal være 1 Om løsning af ligninger side 44 21

Ligninger med parenteser Eksempel: Du har en ligning med parentes i. Du løser den ved at starte med at fjerne parentesen.: 12 = 3 A (x - 2) 12 = 3 A x - 3 A 2 12 = 3x - 6 Nu kan du løse ligningen som normalt. Forklaring: Parenteser i regnestykker betyder, at man skal starte med at regne det ud, der står i parentesen. Men det kan man ikke her, fordi jeg ikke ved, hvilket tal x er. Derfor må jeg finde en måde, der kan bruges til at lave et nyt regnestykke, der ikke har parentes, men som giver det samme resultat. Man fjerner parenteser sådan: Hvis der står gange foran: Alt hvad der står i parentesen, skal ganges med det, der stod foran parentesen. 5(x - 2) kan omdannes til: 5 A x - 5 A 2 Hvis der står minus foran: Alt hvad der står i parentesen, skal ændre fortegn. 6x - (4x - 3) kan omdannes til: 6x - 4x + 3 Hvis der står + foran: Parentesen kan fjernes uden at foretage ændringer. 4 + (x - 5) kan omdannes til: 4 + x - 5 Hvis der står et divisionstegn bag ved: Alt hvad der står i parentesen, skal deles med det, der står efter divisionstegnet. (4x - 8) : 2 kan omdannes til: 4x : 2-8 : 2 22

1 Omdan følgende udtryk, sådan at parenteserne forsvinder. 3x + (x + 2) 2x + (-3 + x) 3x +(-5-3) 2x + (2x - 3) (x - 2) + (2x - 3) 5 + (2x - 3) (2x + 3) - 2x (-3 + x) + (-4 + x) 3x + (2x - 3x) 2x + (3-2x) (-3 + x + 4 + x) -x + (2x + 3x) 2 Omdan følgende udtryk, sådan at parenteserne forsvinder. 3x - (2x + 2) 2x - (-x + 3) - (x + 5) 4x - (2x - 2) 5x - (-3-4x) - (2x - 3) 5 - (x + 3) 8 - (3x + 8) - (3x + 3) + 4 -(2x + 3) - 2x (-3 + x) - (-4 + x) 3x - (2x - 3x) 3 Omdan følgende udtryk, sådan at parenteserne forsvinder. 3 A (2x + 3) 4(x - 2) (4x - 6) : 2 2 A (3-2x) x(2x - 2) (8x - 4) : 5 x A (-2 + 2x) (4x + 2) : 2 (4 - x) : 2 4 Omdan ligningerne, så parenteserne forsvinder, og løs dem. x +(2x + 3) = 2x + 2 (x + 3) = 2x + (x - 4) (x + 3) + (2x - 4) = 5 (2x - 4) - 3 = 4x + 3 6x = 5 + (2x + 3) 3x + 4 = 3 + (x - 4) 5 Omdan ligningerne, så parenteserne forsvinder, og løs dem. x -(2x + 3) = 2x + 6 - (x + 3) = 2x - (x - 4) (x + 3) - (2x - 4) = 5 - (2x - 4) + 3 = 2x + 3 6x = 5 - (2x + 3) 3x + 4 = 3 - (x - 4) 6 Løs ligningerne. 3(x - 4) = 5x (4x - 8) : 2 = 3x + 2 2x + 2(x - 2) = 4 + 3x 3x = (5x + 10) : 5 3x = 2(x - 4) (4x + 1) : 2 = (x - 1) Om parentesregler side 44 23

Ligninger med brøker Eksempel: Du vil løse følgende ligning: 1 x 1 )) + )) = 2x - )) 2 3 4 12. 1 12. x 12. 1 )))) + ))))) = 12. 2x - ))))) 2 3 4 6 1 + 4. x = 12. 2x - 3. 1 6 + 4x = 24x - 3 6 + 4x - 4x = 24x - 4x - 3 6 = 20x - 3 6 + 3 = 20x - 3 + 3 9 = 20x 9 : 20 = 20x : 20 0,45 = x Forklaring: Hvis der er brøker i en ligning, kan man starte med at omdanne brøkerne til hele tal, inden man reducerer ligningen. Man omdanner brøkerne til hele tal ved at gange alle led i ligningen med et tal, som brøkernes nævnere går op i. 1 Løs ligningerne. 2 Løs ligningerne. 3 Løs ligningerne. 24

4 Løs ligningerne. 5 Løs ligningerne. 6 Løs ligningerne. 7 Løs ligningerne. 8 Løs ligningerne. 9 Løs ligningerne. Om løsning af ligninger side 44 25

Ligninger med potenser Eksempel 1: x 2 = 9 Ligningen har to løsninger: Både tallet 3 og tallet -3 passer ind på x-ets plads. Man skriver det således: x = 3 eller x = -3 Eksempel 2: x 3 = 8 Denne ligning har kun én løsning: Det er kun tallet 2, der passer ind på x-ets plads. Man skriver det således: x = 2 Forklaring: Når en ligning ender med, at den ubekendte står som et potenstal, finder man løsningen ved at finde den tilsvarende rod. Er potensen et lige tal, skal man huske at ligningen har to løsninger: Både plus-tallet og minustallet. Du kan bruge en lommeregner, når du skal finde kvadrat-roden og kubik-roden. Nogle lommeregnere har en tast, der kan bruges til alle rødder. Den ser sådan ud: Du skal bruge denne tast, hvis du skal kunne løse opgaverne 6, 7 og 8 på næste side. 1 Løs ligningerne. x 2 = 9 x 2-4 = 5 x 3 = 27 x 3 + 40 = 13 x 3 = -27 x 3-40 = -13 26

2 Løs ligningerne. x 2 + 4 = 2x 2-5 x 3 + 1 = 4x 3-2 5 - x 2 = 2x 2-22 6 - x 3 = 3x 3 + 2 x 2 = 2x 2-1 3x 3 = 2x 3 3 Løs ligningerne. x(x - 2) = -2x + 9 x 2 (x + 1) = x 2-27 x(2x + 2) = 2x + 8 81 + 2x 2 = x(3x 2 + 2x) 8-4x = 2x(x - 2) -3x 3 + x(x 2 + 1) = 3x 3 + x 4 Løs ligningerne. 5 Løs ligningerne. Skriv løsningen med 1 decimal. x 2 = 10 x 3 = -25 x 3 = 100 x(x - 2) = 5-2x x 2 = 2 x 2 (x + 1) = x 2-40 6 Løs ligningerne. Skriv løsningen med 1 decimal. x 4 = 67 x 5 = 1 x 5 = 75 x 100 = 1 x 10 = 2 x 99 = 1 7 Løs ligningerne. Skriv løsningen med 1 decimal. x 2 (x 2 + 2) = 2x 2 + 1 x 4 + x(x 3-3) = 10-3x x 2 + 30 = x(x + x 3 ) 5x + 10 = x(x 4 + 5) 8 Løs ligningerne. Skriv løsningen med 1 decimal. Om rod-uddragning på side 44 27

Omdannelse af formler Eksempel: Du har en formel, der er lavet for at kunne beregne F, hvis du kender s og v. Men du har mere brug for én, der er god til at regne s ud. F = 2s - v F + v = 2s - v + v F + v = 2s F : 2 + v : 2 = 2s : 2 0,5F + 0,5v = s s = 0,5F + 0,5v Forklaring: En formel er en hjælp til at udregne det, der står foran lighedstegnet. Har man oftere brug for at udregne noget af det, som står på den anden side, kan man bruge de regne-regler, man kender fra løsning af ligninger og omregne formlen ved hjælp af dem. 1 Se formlen herunder. T = 2r + 5p Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. 2 Se formlen herunder. K = r - 5p Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 3 Se formlen herunder. T = 2rp Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 28

4 Se formlen herunder. T = 2(r + p) Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 5 Se formlen herunder. T = 2- (r + 5p) Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 6 Se formlen herunder. T = 2r : p Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 7 Se formlen herunder. T = 2r + p Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. 8 Se formlen herunder. T = (r + 3) : P Omdan formlen, så p kommer til at stå alene. Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. 9 Se formlen herunder. T = (2r + 4) : p Omdan formlen, så r kommer til at stå alene. Om omdannelse af formler på side 44 29

At lave ligninger og uligheder Eksempel 1: Du vil regne ud, hvad din trækprocent skal være, for at din kildeskat bliver 4.500 kr. Du ved, at din løn er 14.500 kr., og at du har et fradrag på 3.800 kr. Du laver en formel og sætter dine tal ind: K: kildeskat L: løn F: fradrag T: trækprocent K = (L - F) A T : 100 4.500 = (14.500-3.800) A T : 100 Nu har du en ligning, som du kan løse og dermed finde svaret på dit spørgsmål. Forklaring: Hvis man ikke kan ikke finde ud af, hvordan man skal regne det ud, som man er interesseret i, kan man i stedet lave et regneudtryk, hvori det indgår og så løse den ligning, man kan danne af dette regneudtryk. 1 Du ved, at en tur med taxa koster 25 kr. fra start og derefter 5 kr. pr. km, der køres. Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på en taxa-tur. Brug formlen til at finde ud af, hvor langt du kan komme for 300 kr. 2 Du ved, at man kan regne ud, hvad en vare kommer til at koste med moms sådan: Momsen findes ved at gange prisen uden moms med 25 og dele den med 100. Læg momsen oven i prisen uden moms. Lav en formel, der kan bruges til at finde en pris med moms. Brug formlen til at finde momsen i en pris på 198 kr., hvor momsen er med. 30

3 Du ved, at du kan finde prisen på et antal D-mark, du vil købe, ved at: Dele antallet af D-mark med 100 og gange med kursen. Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på et antal D-mark. Brug formlen til at finde ud af, hvor mange D-mark du kan købe for 500 kr., hvis kursen på D-mark er 385. Brug også formlen til at finde ud af, hvilken kurs, der er brugt, hvis du har betalt 855 kr. for 250 D-mark. 4 Du ved, at man kan finde prisen for en bakke med hakket kød ved at gange kødets vægt med kilo-prisen. Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen på en pakke hakket kød. Brug formlen til at finde ud af, hvad kilo-prisen er for en pakke kød, der vejer 0,245 g og som koster 24,85 kr. Brug også formlen til at finde ud af, hvor meget en pakke kød vejer, hvis prisen er 45 kr. og kilo-prisen er 50 kr. 5 Du ved, at dit el-forbrug beregnes således: 1.500 kr. i tilslutningsafgift. 0,985 kr. pr kilowatt-time, du forbruger. Lav en formel, der kan bruges til at finde prisen for dit elforbrug. Brug formlen til at finde ud af, hvor stort dit forbrug har været et år, hvor du har betalt 3.675 kr. 6 Du ved, at man betaler en vis procent-del i arbejdsmarkedsbidrag af den del af ens indkomst, der er løn-indkomst. Man regner det ud således: Gang løn-indkomsten med bidragsprocenten og del med 100. Lav en formel, der kan bruges til at finde arbejdsmarkedsbidraget. Brug formlen til at finde ud af, hvor stor en lønindkomst du har haft, hvis dit arbejdsmarkedsbidrag et år er 12.302 kr. og bidrags-procenten var 8. 31

Eksempel 2: Du har valget mellem to tilbud på mobil-telefon. Du vil finde ud af, hvor mange minutter du skal tale om måneden, hvis det første tilbud skal være det bedste.: Abonnement: 199 kr. pr. måned Samtalepris: 1 kr. pr. minut Abonnement: 99 kr. pr. måned Samtalepris: 2 kr. pr. minut Du laver to regneudtryk, hvor x er antal minutter du taler på en måned: 1 A x + 199 skal være mindre end 2 A x + 99 1 A x + 199 < 2 A x + 99 x + 199 < 2x + 99 199-99 < 2x - x 100 < x Du skal tale mere end 100 minutter om måneden, før det første tilbud bedst kan betale sig. Forklaring: Her søger man ikke efter lighed men ulighed: Man søger efter det x, der gør det ene regnestykke større end det andet. Man viser, at det er ulighed, man søger, med tegnet: < Der findes følgende uligheds-tegn: < mindre end > større end # mindre end eller lig med $ større end eller lig med Uligheder løses på samme måde som ligninger. 1 Du vil have lavet personligt brevpapir og har fået to tilbud: 850 kr. pr 1.000 stykker 500 kr. for fremstilling af ét stk. og derefter 50 kr. pr 100 stk. Regn ud, hvad det for hvert af tilbudene vil koste pr. stk, hvis du vil have 1.000 stk. brevpapir. Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår det andet tilbud bedst kan betale sig. 32

2 Du ved, at dit el-selskab har to takster. Én til almindelige små-forbrugere og én til stor-forbrugere. Tilslutningsafgift: 1.500 kr. pr år og 0,985 kr. pr. kilowatttime. Tilslutningsafgift: 4.000 kr. pr. år og 0,655 kr. pr. kilowatttime. Regn ud, hvad et forbrug på 4.000 kilowatt-timer koster i begge tilfælde. Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvor stort forbruget skal være, for at den anden takst bedst kan betale sig. 3 Du vil leje en fotokopi-maskine og har indhentet tilbud fra to firmaer: Tilbud 1: Leje pr. måned 450 kr. og derefter 15 øre pr. kopi Tilbud 2: Ingen leje, men en pris på 25 øre pr. kopi. Regn, hvad et forbrug på 10.000 kopier om måneden vil koste ved hvert af tilbudene. Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår det første tilbud er det billigste. 4 Du har mulighed for at få opsat en vandmåler. Uden vandmåler betaler du fast 2.400 kr. om året for dit vandforbrug. En vandmåler koster 750 kr., og du regner med at udgiften vil falde til 2.000 kr. Lav en ulighed, der kan bruges til at afgøre, hvornår du har tjent udgiften til vand-måleren ind. 5 Du har et arbejde, hvor du samler legetøjs-biler. Du har valget mellem at være på time-løn eller akkordløn: Timeløn: 85 kr. pr. time Akkordløn: 40 kr. pr. time + 3,50 kr. pr. samlet enhed. Lav en ulighed, der kan bruges til at finde ud af, hvornår akkord-lønnen bedst kan betale sig. Om at lave ligninger og uligheder side 44 33

Facit Side 4 1. Formlen siger, at man kan finde et kvadrats areal ved at gange sidelængden med sig selv. 2. Formlen siger, at man kan finde prisen i kr. for en taxatur ved at gange den kørte afstand i km med prisen i kr. pr. km og lægge 25 til. 3. Formlen siger, at man kan finde prisen i kr. for sit el-forbrug ved at gange 0,985 med forbruget i kilowatt-timer og lægge 750 til. Side 5 1. Formlen siger, at man kan finde en trekants areal ved at gange 0,5 med trekantens højde og derefter gange med grundliniens længde. 2. Formlen siger, at man kan finde prisen med moms ved at gange 1,25 med prisen uden moms. 3. Formlen siger, at man kan finde den kørte afstand i km ved at gange køretiden i minutter med hastigheden og dele med 60. 4. Formlen siger, at man kan finde et rektangels areal ved at gange rektanglets bredde med dets længde. Side 6 1. 83,75 kr. 209,38 kr. 2. 80 km/t 43 km/t Side 7 3. 78,40 kr. 19,60 kr. 4. 2.873,75 kr. 1.143,62 kr. 5. 54 km/t 28,8 km/t 6. 11.080 kr. 5.318,40 kr. Side 8 1. 18.375 kr. 1.473.375 kr. 2. 52.500 kr. Side 9 3. 8 4. 1.068 kr. 5. 11,18 kr. 6. 80 m Side 10 1. 272 kr. 224 kr. 2. 56,25 kr. 11,25 kr. 34

Side 11 3. 25 cm 2 4. 23,55 m/sek 5. 32 m 108 m 6. 4188,8 liter Side 12 3. 25 cm 2 4. 23,55 m/sek 5. 32 m 108 m 6. 1047,2 liter Side 13 1. 4 125 100 64 2. 2826 cm 2 3. ca. 4.200 liter 4. 4 5 2,5 3,1623 5. 55 km/t Side 14 1. Pris med moms kaldes P og moms kaldes m: m = P : 5 40 kr. Side 15 2. Pris for taxatur kaldes P og kørt afstand for a: P = 20a + 25 265 kr. 525 kr. 3. Prisen kaldes P og forbruget f: P = 0,987f + 750 4204,5

4. Renten kaldes R, lånebeløbet kaldes L og renteprocenten p: R = L : 100 A p 750 kr. 5. Arealet kaldes A og sidelængden s: A = s A s 1,5625 m 2 6. Hastighed kaldes H, strækning kaldes s og tiden kaldes t: H = s : t A 60 60 km/t 84 km/t Side 16 1. 12 6,25 2. 50 125 Side 17 3. 8 3 4. 10 27,5 5. 6 10 6. 1 8 7. 28 68 8. 1 11,5 Side 18 1. 3 5 10 10 5 4 2. -1,5 3 5-5 1,5 6 3. 2,5 3 1 4 0 7,5

Side 19 1. 6,5 3 6 5 4,5 9,5 2. 6,5 7 10 5-6 7 3. 0,5 10 9 4,5 9,5 30 4. -11,5 2 1-3 2,5-3 5. 5 3 3 1,5-2 0 Side 20 1. -3 9 1-7 -1,5 1-2 3-2 -6 1 4,5 2. 2 5,5-2 4-5 -4,5 6,5 3 8-5 1 1 3. 4-2 50-1 9,75 0 2-5 -12,5-1 -2 0 Side 21 4. 4 1,5 0-5 1,5 0 5. 4 0-6 -7 1 4 6. 0 0 7,5-13 3 0 7. 23 2-5 8. 210 4 5

9. 1 4-5 2 Side 23 1. 4x + 2 3x - 3 3x - 8 4x - 3 3x - 5 2x + 2 3 2x - 7 2x 3 2x + 1 4x 2. x - 2 3x - 3 -x-5 2x + 2 9x + 3-2x +3 -x + 2-3x -3x + 1-4x - 3 1 4x 3. 6x + 9 4x - 8 2x -3 6-4x 2x 2-2x 1,6x - 0,8-2x + 2x 2 2x + 1 2-0,5x 4. -1 3,5 2-5 2-2,5 5. -3-3,5 2 1 0,25 0,75 6. -6-6 8 1-8 -1,5 Side 24 1. 3-5 2. 12-20 3. 1 0,5 Side 25 4. 0 0 5. -1,2 6 6. 8,5-5 7. 7,5-14 1,5-10 8. 0,5-1 0,5-3

9. -0,5-7 -1,5-1 Side 26 1. 3 eller -3 3 eller -3 3-3 -3 3 Side 27 2. 3 eller -3 1 3 eller -3 1 1 eller -1 0 3. 3 eller -3-3 2 eller -2 3 2 eller -2 0 4. 3 eller -3 2 eller -2 5. 3,2 eller -3,2-2,9 4,6 2,2 eller -2,2 1,4 eller -1,4-3,4 6. 2,9 eller -2,9 1 2,4 1 eller -1 1,1 eller -1,1 1 7. 1 eller -1 1,5 eller -1,5 2,3 eller -2,3 1,6 8. 1,5 eller -1,5 1,4 eller -1,4 Side 28 1. r = 0,5T - 2,5p 2. r = K + 5p p = 0,2r - 0,2K 3. r = T : 2 : p p = T : 2 : r Side 29 4. r = 0,5T - p p = 0,5T - r 5. r = 2-5p - T p = 0,4-0,2r - 0,2T 6. r = 0,5T A p p = 2r : T

7. r = 0,5T - 0,5p P = T - 2r 8. p = r : T + 3 : T r = T A p - 3 9. r = 0,5Tp - 2 Side 30 1. P: Pris i kr. og a: kørt afstand i km. P = 5a + 25 55 km 2. P incl : Pris med moms og P excl : Pris uden moms P incl = P excl A 25 : 100 + P excl 39,60 kr. Side 31 3. P: Pris på D-mark, A: Antal D-mark og K: Kursen P = A A K : 100 129,87 D-mark 342 4. P: Prisen i kr., V: Vægt i kg og K: Kiloprisen P = V A K 101,43 kr. 0,9 kg 5. P: Prisen for elforbrug og f: Forbruget i kilowatt-timer P = 0,985f + 1.500 2208 kilowatt-timer 6. A: Arbejdsmarkeds-bidrag, L: Lønindkomsten og b: Bidrags-procenten A = L A b : 100 153.775 kr. Side 32 1. 0,85 kr. og 1,00 kr. x A 0,85 > x A 0,5 + 500 Side 33 2. 5440 kr. og 6620 kr. x A 0,985 + 1.500 > x A 0,655 + 4.000 3. 1.950 kr. og 2.500 kr. x A 0,15 + 450 < x A 0,25 4. x A 2.400 > x A 2.000 + 750 5. x A 3,5 + 40 > 85

Regler Matematiske tegn = det, der står på hver sin side af lighedstegnet, skal have samme størrelse. + - A og : regnetegn for at lægge sammen, trække fra, gange og dividere. Gangetegn kan udelades mellem tal og bogstaver. Læs mere på side 4-5. Brug af formler Skriv først formlen på papir, mens du læser den for dig selv. Skriv dernæst formlen igen nedenunder men denne gang med de tal du kender på de pladser i formlen som bogstaverne angiver. Udregn til slut det regnestykke, der står til højre for lighedstegnet. Læs mere på side 6 Parenteser En parentes, der står i et regnestykke er en ordre om, at man skal begynde med at regne dét, der står i parentesen. Læs mere på side 8 Brøkstreg En brøkstreg er en måde at vise, at man skal dividere. Det, der står over brøkstregen skal divideres med det, der står under den. Læs mere på side 10 Potens og kvadratrod Potens-tal er gangestykker, hvor man skal gange med det samme tal flere gange efter hinanden. 3 4 betyder f.eks., at man skal gange med 3 ialt fire gange. Kvadratrod angiver, at man skal finde det tal, der ganget med sig selv giver tallet under kvadratrods-tegnet Læs mere på side 12 42

Formler Når man skal bruge en formel, skal man først skrive en forklaring til de bogstaver, der indgår i formlen. Dernæst skrives formlen. Under formlen skrives formlen igen, men denne gang med tal sat ind i stedet for bogstaver. Derefte r udregnes regn eudtrykk et til højre for lighe dstegnet. Under udregningen beskriver man med almindeligt sprog, hvad ma n ved brug af for mle n har fund et frem til. Læs mere på side 14 Ligninger En ligning er en formel, hvor den ubekendte står som en del af et regnestykke i formlen og ikke som norm alt alene til venstre for ligheds tegnet. Løsningen til en ligning, er det tal, der passer ind på bogstavets plads. Man kan finde løsningen sådan: - Gæ t på et tal. - Indsæt det på bogstavets plads. - Afprøv ved udregning om det passer. - Prøv med et nyt gæt, hvis det ikke passede. Læs mere på side 16 Regler for reducering af ligninger Man må: - Lægge det sa mm e tal til på begge sider af lighedsteg net. - Trække det sam me tal fra på beg ge sider a f lighedstegnet. - Gange alle de le af ligninge n m ed de t sam me tal. - Divid ere alle dele af ligningen me d det sam me tal. Man bruger reglerne sådan, at man ender med en ligning, hvor den ubekendte står alene på den ene side af lighedstegnet og løsningen på den anden. Læs også om fremgangsmåde ved løsning af ligninger på næste side. Læs mere på side 18-20 og 24. 43

Løsning af ligninger - Fjern brøker ved at gange alle dele af ligningen med et tal som kan divideres med nævnerne. - Fjern parenteser ved at bruge reglerne om dette. - Saml led med x på den side, hvor der er flest og saml led med tal på modsatte side. - Sam me nreg n ledd ene me d x og dere fter leddene m ed tal. - Divider med tallet foran x på begge sider af lighedstegnet. Læs mere på side 18, 19, 20, 22 og 24 Parentesregler - Gange-parenteser fjernes ved at gange alt i parentesen med det tal, der står udenfor. - Minus-parenteser fjernes ved at ændre fortegn på alt i parentesen. - Plus-parenteser kan fjernes uden at foretage ændringer. - En parentes der skal divideres med et tal fjernes ved at dividere alt i parentes en med tallet. Læs mere på side 22 Rod-uddragning Tager man i en ligning en lige rod af et tal, har ligningen to løsninger: Både det positive tal og det negative. Tager man en ulige rod, har ligningen kun ét tal som løsning. Læs mere på side 26 Omdannelse af formler Man kan omdanne en formel til lige så mange formler, som der er ubekendte. Når man omdanner en formel er det med formål at få en af de ubekendte til at stå alene på venstre side af lighedstegnet. Man omdanner formler ved at bruge regler til løsning af ligninger. Læs mere på side 28. Uligheder Uligheder bruges, når man vil finde et tal, der gør facit på et regnestykke større eller mindre end et andet Læs mere på side 32. 44

ISBN: 978-87-92488-07-7