Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen

Transkript

1 Matematik på AVU Eksempler til niveau G Niels Jørgen Andreasen

2

3 Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne Basis, og. Denne eksempelsamling er oprindelig skrevet til Matematik, og da der kun er sket mindre justeringer af hvilke matematikområder, der skal arbejdes med, er der kun lavet små ændringer i eksempelsamlingen. Mange af ændringerne har karakter af tilføjelser og fejlretning. Men det er naturligvis vigtigt, at man som lærer med rødder i de gamle fagbeskrivelser er opmærksom på, at der er sket større ændringer i kravene til, hvordan man i den daglige undervisning skal arbejde med matematikken (fokus på kompetencer, inddragelse af IT.). Eksempelsamlingen er tænkt som en opslagsbog, som kursisterne kan læse i, mens de arbejder med den tilhørende opgavesamling eller på anden måde arbejder med faget.. På hjemmesiden, der hører til materialet (laerer.vucaarhus.dk/nja), kan man frit hente eksempelog opgavesamlinger til både niveau G og niveau FED, ligesom man kan hente undervisningsmateriale, der kan anvendes på Basis. Alt materialet er tilgængeligt i såvel PDF-format som redigerbart Word-format. Man kan også finde små instruktioner i brug af regneark - både på skrift og som video. På hjemmesiden kan man ligeledes finde dataene til opgaverne i afsnittet om statistik i Excelformat. Det sidste kapitel handler om Sandsynlighedsregning og kombinatorik. Det er ikke obligatorisk på Matematik G, men jeg har beholdt kapitlet, fordi det kan bruges som supplerende emne. I opgavesamlingen er de tilhørende opgaver placeret i kapitlet med Blandede og supplerende opgaver. Jeg hører meget gerne fra dig, hvis du har kommentarer, ris eller ros. Venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen nja@vucaarhus.dk

4 Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse 0 kapitler: Grundliggende regning og talforståelse... Regning med enheder... 0 Sammensætning af regnearterne... 8 Brøker og forholdstal... 5 Procent... 6 Bogstavregning... 5 Geometri Statistik Funktioner og koordinatsystemer... 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning... 9 Hvert kapitel er inddelt i en række afsnit, og alle kapitler starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit.

5 Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 0-tals-systemet... Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal... 8 Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v Grundliggende regning og talforståelse Side

6 De fire regnearter: Plus, minus, gange og division I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. Mælk, pr. liter... 8 kr. Rugbrød... 5 kr. Kager, pr. stk....5 kr. Slik, pr. pose... 0 kr. Kartofler Pr. kg kr. Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 50 kr.? Man skal lægge sammen (plus). Man skal trække fra (minus). Mælk 8 kr. Betalt 50 kr. + Rugbrød 5 kr. Rugbrød 5 kr. I alt kr. Tilbage 5 kr. Eller blot: 8 kr. + 5 kr. = kr. På regnemaskinen tastes: 8 + = Eller blot: 50 kr. - 5 kr. = 5 kr. På regnemaskinen tastes: 50 5 = Når man lægger sammen (plus) er rækkefølgen på tallene ligegyldig. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr. + 5 kr., eller man skriver 5 kr. + 8 kr. Når man trækker fra (minus) er rækkefølgen på tallene ikke ligegyldig. Det er ikke lige meget, om man skriver 50 kr. 5 kr., eller man skriver 5 kr. 50 kr. Hvis man skriver 5 kr. 50 kr., bliver resultatet 5 kr. Altså et negativt tal (et underskud). Minus er det modsatte af plus = 5 er det modsatte af = 50 (eller = 50). Hvad koster liter mælk? Man skal gange. 8 kr. = kr. På regnemaskinen tastes: x 8 = Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste x. På computer bruges ofte *. Når man ganger er rækkefølgen på tallene ligegyldig ligesom ved plus. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr., eller man skriver 8 kr.. Husk på, at gange svarer til at lægge flere ens tal sammen. 8 kr. er det samme som 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. Grundliggende regning og talforståelse Side

7 Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? 5 børn deler en pose slik. Hvor meget skal de betale hver? Man skal dividere. 0 kr. 0 kr. : 5 kr. = eller = 5 kr. På regnemaskinen tastes: 0 5 = Man skal dividere. 0 kr. : 5 = kr. eller På regnemaskinen tastes: 0 5 = 0 kr. 5 = kr. Man skriver division med to prikker eller med brøkstreg som vist ovenfor. På regnemaskinen skal man taste. På computer bruges ofte /. Når man dividerer, er det vigtigt, at tallene står i den rigtige rækkefølge. Ligesom ved minus! Hvis man skriver 5 : 0, bliver resultatet 0,5 eller Division er det modsatte af gange. 0 : 5 = er det modsatte af 5 = 0 (eller 5 = 0). I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.? Altså: Hvor mange gange skal jeg sige 5 kr. + 5 kr. +.., inden jeg når op på 0 kr.? Eller hvor mange gange kan jeg sige 0 kr. 5kr. 5 kr..., inden jeg når ned på 0 kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme. Hvor mange kg kartofler kan man få for 0 kr.? Hvor mange liter mælk kan man få for 0 kr.? Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Hvis man bruger regnemaskine, får man,5. Hvis kartoflerne sælges i løs vægt, giver det også god mening at sige, at resultatet er,5 kg. Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Her får man også,5. Men man kan helt sikkert ikke få lov at købe,5 liter mælk. Derfor vil man i stedet sige, at resultat er liter mælk og kr. i rest. Grundliggende regning og talforståelse Side

8 0-tals-systemet to 0 ere fire ere Her er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret tilfældigt. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 0 +, eller to 0 ere og fire ere. betyder på samme måde , eller en 00 er, tre 0 ere og to ere. Forestil dig, at du har en 00-krone-seddel, tre 0-kroner og to -kroner. en 00 er tre 0 ere to ere Alle tal er bygget op af cifre (0,,.9). Tallet 8.5 har fire cifre. Cifrene har forskellige betydning efter hvilken plads (position), de har i tallet. Vores talsystem er et positions-system Når man går en plads til venstre, bliver værdien af et ciffer 0 gange så stort. Derfor kaldes talsystemet for 0-tal-systemet..000 ere 00 ere 0 ere ere Man sætter ofte et punktum (en læseprik) mellem hvert tredje ciffer regnet fra højre. En hel kan deles op i 0ende-dele og 00-dele som vist. En 0ende-del er det samme som ti 00-dele. Man bruger denne opdeling, når tal ikke er hele. Man kan naturligvis opdele videre i.000-dele men det er umuligt at vise på en tegning Grundliggende regning og talforståelse Side

9 Her er vist,5 firkant.,5 betyder to ere (to hele) og fem 0.ende-dele. Her er vist,75 firkant.,75 betyder en er (en hel), syv 0.ende-dele og fem 00-dele.,5 og,75 kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. I stedet for,5 og,75 kan man skrive og. og kaldes brøker. betyder fx, at man deler en hel i fire lige store dele og tager tre af delene. Du kan læse mere om brøker senere, men prøv at kikke lidt på tegningerne herunder. 5 Tegningen til venstre viser at 0,5 = =. 0 Det er ikke så svært at forstå Tegningen til højre viser at 0,75 = + = =, men det er måske lidt svært at forstå. Afrunding af tal Afrund,6 til en decimal. Afrund 5. til helt antal tusinde.,6 er et tal mellem, og,5 men tættest på,5. Derfor bliver resultatet:,5,6 5. er et tal mellem og men tættest på Derfor bliver resultatet: ,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad.,5 afrundes til,5. Grundliggende regning og talforståelse Side 5

10 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne Udregn: Udregn: Tallene skrives op over 78 erne lægges sammen og hinanden og erne lægges sammen giver, men ti af ere sættes i mente som en 0 er erne lægges sammen og Derefter lægges 0 erne sammen. 98 giver, men ti af 0 ere sættes i mente som en 00 er 6 Til sidst lægges 00 erne sammen. Den tomme plads opfattes som erne lægges sammen og giver 6. Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over 65 Man må låne en 0 er for - 7 hinanden og erne trækkes fra hinanden at kunne trække erne fra hinanden Man må låne en 00 er for Derefter trækkes 0 erne fra at kunne trække 0 ere fra hinanden. 67 hinanden Til sidst trækkes 00 erne fra erne trækkes fra - 7 hinanden. Den tomme plads opfattes som hinanden. Der er fem 00 er i øverste række. Grundliggende regning og talforståelse Side 6

11 Udregn: Udregn: 96 Tallene skrives op, og og 96 gange 6 giver, men 6 ganges med hinanden. -tallet sættes i mente. 96 og ganges med hinanden. 6 8 gange 9 giver 6. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får. Udregn: 56 Udregn: 95 : 5 I eksemplet herunder viser jeg ikke de tal, Man undersøger om 5 går der sættes i mente op i, men det gør det jo ikke. 56 ganges med 56 ligesom Man dividerer 9 med ovenfor, og man får Resultatet bliver, rest. 0 Der skrives også 0 bagerst skrives ovenover som vist. i næste tal-række. 595 Man ganger med 5. ganges med 56 ligesom 5 Resultatet er 5, og det 56 ovenfor, og man får. skrives under 9. Derefter 68 Resultatet skrives en plads trækker man 5 fra 9. 0 forskudt mod venstre foran nullet. 9 5 trækkes ned, så der står Man dividerer 5 med og 0 lægges sammen 5 Resultatet bliver 9, som skrives 68 på samme måde som i 5 til højre for. I alt får man der- + 0 eksemplerne med plus. 5 for 9. Til sidst ganges og 08 0 trækkes fra som ovenfor. Grundliggende regning og talforståelse Side 7

12 Store tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring syv milliarder mennesker på jorden. Tallet syv milliarder skrives Nogle gange skriver man blot syv mia. eller 7 mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Nogle gange skriver man store tal, som en slags decimaltal. I virkeligheden bor der ca mennesker i Danmark. Det skriver man ofte som 5,5 mio. I store tal (som f.eks. 6.5.) sætter man ofte - men ikke altid - punktum (læseprik) efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Udregn: 5 8 Udregn: = + 0 = 7 Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Du kan læse mere om, hvordan man regner med negative tal i et senere afsnit. Grundliggende regning og talforståelse Side 8

13 Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v. Det er vigtigt, at man kan gange og dividere med 0 og med 00 osv. uden at bruge regnemaskine. 0, : 0 0 : = 0, 00 = 0 50 :0 = 5 0 :.000 = 0, Man ganger et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. Man kan også gange og dividere store runde tal med hinanden uden at bruge regnemaskine : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 = Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: =.000 Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde:.000 : 00 =.000 : 00 = 0 : = 0 I den sidste beregning bruger man, at: : = Grundliggende regning og talforståelse Side 9

14 Regning med enheder Måleenheder... Kg-priser... Tid og hastighed... 5 Valuta... 7 Regning med enheder Side 0

15 Måleenheder Du skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde. Vægt måles normalt i ton (t), kilo (kg) eller gram (g). Der skal.000 kg til ton, og der skal.000 g til et kg. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. ton =.000 kg = g kg =.000 g ton kg g :000 :000 Omregn 500 kg til ton. Omregn, kg til gram. 500 :. 000 = 0,5 ton,. 000 =.00 g Rumfang måles normalt i liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) eller milliliter (ml). Der skal 0 dl til liter, der skal 0 cl dl, og der skal 0 ml til en cl. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. liter = 0 dl = 00 cl =.000 ml dl = 0 cl = 00 ml cl = 0 ml liter dl cl ml :0 :0 :0 Regning med enheder Side

16 Omregn,5 liter til cl. Omregn 5 ml til cl.,5 00 = 50 cl 5 : 0 = 0,5 cl I eksemplet til venstre, kan man også gange med 0 to gange. Altså:,5 0 0 = 50 cl. Hvis man skal måle større rumfang, bruger man ofte kubikmeter (m ). Der skal.000 liter til m. Du kan læse mere i afsnittet om geometri. m =.000 liter m 000 liter :000 Længde måles normalt i meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) eller millimeter (mm). Der skal 0 dm til m, der skal 0 cm dm, og der skal 0 mm til cm. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. Der er sikkert en tavlelineal i jeres klasseværelse. Den er en meter lang. m = 0 dm = 00 cm =.000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm m dm cm mm :0 :0 :0 Hvis man skal måle større længder, bruger man normalt kilometer (km). Der skal.000 m til km. km 000 :000 m km =.000 m Regning med enheder Side

17 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på,7 kg oksefars.,7 59 = 00,0 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 50 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster = 0,059 kr g koster 50 0,059 = 6,55 kr. - Man kan i en beregning sige: = 6,55 kr. - Eller man kan (fordi 50 g = 0,50 kg) sige: 0,50 59 = 6,55 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr.? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: - Eller man kan i en beregning sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster.000 For 0 kr. kan man få: = 0,059 kr. 0 0,059 = 678 g. 0 : 59 = 0,678 kg eller 678 g Regning med enheder Side

18 ,5 kg kartofler koster 9,95 kr. Find kg-prisen. 9,95 :,5 =,98 kr. pr. kg. 5 g leverpostej koster,75 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: 5 g koster,75 kr., 75 g koster 5 = 0,065 kr..000 g koster 0, = 6,5 kr. - Man kan i en beregning sige:, = 6,5 kr. 5 - Eller man kan (fordi 5 g = 0,5 kg) sige:,75 : 0,5 = 6,5 kr. 5 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 5 g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: 5 g koster 7,95 kr. 7,95 g koster = 0,05 kr. 5 5 g koster 0,05 5 =,8 kr. 7, =,8 kr. Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Regning med enheder Side

19 Tid og hastighed Tid måles normalt i timer, minutter og sekunder. Der er 60 minutter i en time og 60 sekunder i et minut. time 60 :60 min. 60 :60 sek. time = 60 min =.600 sek. min. = 60 sek. Hvor mange minutter er timer og 7 minutter? = = 57 minutter Omregn 0 sekunder til minutter og sekunder. Man siger først: 0 : 60 = 5,6... Det betyder, at der er 5 hele minutter, som svarer til 5 60 = 00 sekunder. Derfor er: 0 sekunder = 5 minutter og 0 sekunder Det koster 5 kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? Man kan sige: t. og 0 min. = = 50 minutter 5 min. koster = 0,75 kr. 60 t. og 0 min. koster: 50 0, 75=,50 kr. - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 05 kr.? Man kan sige: 5 min. koster = 0,75 kr. 60 For 05 kr. kan man få: 0 min. = t. og 0 min. 05 =0 min. 0,75 En håndværker tager 96 kr. for timer og 5 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 5 min. = = 95 minutter. Prisen pr. minut er: 96 : 95 =,80 kr. Prisen pr. time er:,80 60 = 88 kr. Man kan også omregne t. 5 min. til decimaltal (se næste side), og så får man: t. og 5 min. =,5 time. Prisen pr. time er: 96 :,5 = 88 kr. Regning med enheder Side 5

20 Omregn timer og 50 minutter til decimaltal. t. og 50 min. =,8 time. 50 Det er fordi 50 min. = time = 0,8 time. 60 Du må aldrig sige at: t. og 50 min. =,50 time. Omregn, time til timer og minutter., time = t. og min. Det er fordi 0, t. = 0, 60 min. = min. Du må aldrig sige at:, time = t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 00 km/time, så vil den på en time kunne køre 00 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. : En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er 5 km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 60 km, når man kører 5 km/time? 0 5 = 0 km = 80 km/time Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand = Hastighed Tid eller Tid = 60 = timer 5 Afstand Hastighed = Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler 6 km på time 0 minutter? - Da time og 0 min. =,5 time, kan man sige: 6 = km/time,5 - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 60. Det kan gøres i en beregning: = km/time Regning med enheder Side 6

21 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 00 stk. af den fremmede valuta. Her er der brugt valutakurser fra november 0, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 87,65. Det betyder, at 00 svenske kr. koster 87,65 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8765 kr. eller 87,65 øre. Kursen på US-dollars er 585,67. Det betyder, at 00 US-dollars koster 585,67danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 5,8567 kr. eller 585,67 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D = D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen 00 Formlen kan også skrives således: D 00 F = eller K K = D 00 F : Hvor meget koster 50 US-dollars, når kursen er 585,67? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 87,65? Hvad er kursen på tjekkiske, koruna når.000 koruna, koster.5 kr.? ,67 =.6 kr. 00 Eller blot: 50 5,8567 =.6 kr. fordi hver dollar koster 5,8567 kr = 9 sv. kr. 87,65 Eller blot: 800 = 9 sv. kr. 0,8765 fordi hver svensk krone koster 0,89 dansk krone = 9, koruna koster altså lidt under 0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 00), fordi antal koruna er langt større end antal kr. Vær endelig opmærksom på, at man i den virkelige verden ofte skal betale et gebyr for at veksle. Regning med enheder Side 7

22 Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 9 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Sammensætning af regnearterne Side 8

23 Plus, minus, gange og division Udregn: Udregn: Man regner forfra og får: = = 9 + = 5 + = 7 Man regner forfra og får: = = 7 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., 6 kr. og kr., - du skal af med 5 kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: = = 6 9 = 7. Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. Udregn: 6 : 5 : Udregn: 5 : 6 : Man regner forfra og får: 6 : 5 : = : 5 : = 8 5 : = 0 : = 0 Man regner forfra og får: 5 : 6 : = 0 : 6 : = 0 : = 60 : = 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Sammensætning af regnearterne Side 9

24 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man lægger sammen og trækker fra. Udregn: : Udregn: 7 : + 8 : : = 0 + = 7 : + 8 : 6 5 = = På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 : + 8 : 6 5 = = Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 : 6. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. Udregn: 5 8 Udregn: 5 + ( 8) = 5 + ( 8) = Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Sammensætning af regnearterne Side 0

25 Udregn: 6 ( ) Udregn: ( 7) 6 ( ) = 0 fordi 6 ( ) svarer til 6 + ( 7) = fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og 6 er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + = + = og + : = : + = og : = = + + Udregn: ( 5) = Udregn: ( ) : ( 5) = 5 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står -5 kr. (overtræk). I alt står der -5 kr. på de konti. + = ( ) : = 6 på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på 6 kr. + = Udregn: - ( ) = Udregn: ( 0) : ( 5) ( ) = 8 på grund af regnereglen: = + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( 5) = på grund af regnereglen: : = + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på 5 kr. Der bliver gælds-portioner. Sammensætning af regnearterne Side

26 Lig med, større end og mindre end Du kender lighedstegnet. Man skriver + =, fordi + er lig med. Man kan også skrive 5 + = 8 eller 7, = 7,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7 > 5 betyder at 7 er større end 5 Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Der er også tegn for større end eller lig med og mindre end eller lig med. De ser sådan ud: og. Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. Udregn: (8 ) Udregn: 6 + ( ) : 5 (8 ) = 5 = ( ) : 5 = 6 + ( ) : 5 = : 5 = 6 + = 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. Udregn: Udregn: = = = + 5 = + 5 = 6 6 Sammensætning af regnearterne Side

27 Skriv uden brøkstreg. Skriv 8 : (0 ) med brøkstreg (5 + 7) : (9 6) I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde +. I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde + :, og det er naturligvis det samme. 8 0 I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde 8 : 6. I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde, 8 6 og det er naturligvis det samme. Matematikere synes normalt, at opstillinger med brøkstreger er de pæneste, men hvis man skal indtaste regnestykkerne i et regneark eller på en regnemaskine, kan det være nødvendigt at skrive vandret. I eksemplet til venstre kan man fx taste + ( ) ( 9 6 ) = på regnemaskinen. Skriv 6 8 uden brøkstreg. Skriv 8 5 : : 0 på en brøkstreg. 6 = 6 : : : :0 = 0 I eksemplet til venstre skal man dividere med, fordi 8 =, men resultatet bliver det samme, hvis man først dividerer med og derefter dividerer med 8. Kurt køber fem dage om ugen dagens ret og et glas juice? Hvor meget skal han betale? Skriv både et regnestykke med parentes og et regnestykke uden parentes. Man kan enten skrive 5 (0 + ) = 5 = 0 kr. eller man kan skrive = = 0 kr. Kantinepriser Dagens ret... 0 kr. Juice, pr. glas... kr. Tænk selv over, hvorfor regnestykkerne er ens. Sammensætning af regnearterne Side

28 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 5 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet = 6 Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes 6 ^ = for at beregne resultatet = = 78.5 Man siger fem i syvende. Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde 5 tastes 5 x og man får = Bemærk: ( 5) giver også 5, fordi ( 5) ( 5) = 5, men det er vigtigt at huske parentesen. Rødder er det modsatte af potenser. Find 6 Find 8 6 kaldes for kvadratroden af 6. Man får fordi 6 = eller er 6. Man skulle tro, at 6 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 = er 8. eller ( ) er 6 (husk regnereglen: = + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 6. Og 6 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Sammensætning af regnearterne Side

29 Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... 7 Udtage brøkdele... 8 Uægte brøker og blandede tal... 9 Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... 5 Brøker og forholdstal Side 5

30 Hvad er brøker - nogle eksempler Når man skal skrive tal, som ikke er hele, kan man enten bruge decimaltal eller brøker. I dag bruger man mest decimaltal, men det er alligevel vigtigt at kende til brøker. Det giver også rigtig god tal-træning at arbejde med brøker. Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 6 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 6 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker. Hver del kaldes 6 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er tilbage. Der er spist 8 5 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 6 7 af chokoladen til venstre. Der er 6 9 tilbage. Der er spist 7 af chokoladen til venstre. Der er 5 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Tæller Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som giver det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Brøker og forholdstal Side 6

31 Forlænge og forkorte Der findes mange navne for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte. r Forlæng brøken med. Forkort brøken 6 med. Man skal gange både tæller og nævner med : = = 8 Tegningen viser, at brøkerne og 8 er ens. Man skal dividere tæller og nævner med : 6 = : 6: Tegningen viser, at brøkerne 6 = og er ens. = = 8 6 = : 6 : = Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken. Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal. Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken. Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Man forkorter normalt mest muligt. Hvor stor en brøkdel udgør 5 ud af 0? 5 Man skal forkorte brøken mest mulig: = 5:5 0:5 = Tegningen viser resultatet. Brøker og forholdstal Side 7

32 Udtage brøkdele Find af. Man kan finde af på måder. - Man kan enten: først sige: af = := og derefter sige: af = = 8 - Eller man kan sige: = = 8. På regnemaskinen tastes = De tre skriveformer af og og betyder det samme. 8 svarer til af et tal. Find tallet. Man kan finde tallet - det hele - på to måder: - Man kan enten: først sige: af det hele er 8 : = 6 = 8 = 6 = og derefter sige: Det hele må være 6 = 8 - Eller man kan sige: =. På regnemaskinen tastes 8 = Brøker og forholdstal Side 8

33 Uægte brøker og blandede tal Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren, og brøken kaldes en ægte brøk. og 5 er eksempler på ægte brøker. Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer: Man kan både sige, at der er 9 lagkage og, at der er Altså: 9 lagkage. = Brøken 9 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner. Tallet kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk. Tegningen til højre viser, at 5 =. 6 6 r Omskriv til blandet tal. Omskriv til uægte brøk. 5 = 5 5 Der bliver hele, fordi : 5 =, rest. Lav evt. selv en tegning, der viser omregningen. = 7 Det er fordi + = 7 Nogle gange skrives regnestykket således: + = = 7 Brøker og forholdstal Side 9

34 Brøker og decimaltal Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker Første ciffer efter kommaet er 0.-dele, andet ciffer er 00.-dele o.s.v. Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved: - enten at forlænge til 0.-dele, 00.dele o.s.v. - eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen. r Omskriv til decimaltal. Omskriv til decimaltal. - Man kan enten forlænge: = 5 0 = 0,5 - eller taste = på regnemaskinen. Så får man: = 0, 5 - Man kan enten forlænge: = = 0,5 ( = + ) eller taste = på regnemaskinen. Så får man: = 0, 5 Omskriv til decimaltal. Man kan ikke forlænge til hverken 0.-dele eller 00.dele eller.. = 0,... ved at taste = på regnemaskinen, og afrunder til fx: = 0, Omskriv 0, til brøk. Omskriv 0,75 til brøk. 0, = ,75 = = 00 Brøker og forholdstal Side 0

35 Det er vigtigt, at kende sammenhængen mellem de mest almindelige brøker og decimaltal. Kik på tegningerne herunder og prøv at huske disse brøker. Brøkerne,, 5 og 0 svarer alle til pæne decimaltal. 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 0,5 = = 0,5 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 0,5 = 0,5 = 0, 75 = = 0,5 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 5 0, = 0, = 0, = 0, 6 = 8 5 0, = ,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 0 = 0, = 0, = 0, = 0,5 = 0,7 = 0,9 Der var kun plads til at skrive hver anden brøk. Brøken svarer til det uendelige decimaltal 0,. Forestil dig, at tre personer skal dele 00 kr. Det kan man ikke gøre, så alle får præcis det samme. 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 0,... 0, = 0,... Brøker og forholdstal Side

36 Regning med brøker - plus og minus Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved at lægge tællerne sammen og beholde nævneren. Man trækker brøker fra hinanden på samme vis = 9 9, som kan forkortes til. 5 = Tegningen viser beregningen til venstre: = 6 9 = Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, skal man først finde en fællesnævner = + = = 8 8 = 8 Tegningen viser beregningen til venstre: + = = 5 6 Brøker og forholdstal Side

37 Regning med brøker - gange og division Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren. 8 (eller 8 - rækkefølgen er ligegyldig) 8 8 = = = 6 - Det kan både betyde af 8 hele (til højre) - Og betyde 8 portioner på (her under) Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 8 = Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. = = 6 = Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå) er det samme som af eller - da rækkefølgen er ligegyldig: er det samme som af eller eller af eller eller af eller eller Brøker og forholdstal Side

38 Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet. : = : = 8 Tegningen til højre viser regnestykket : = 8 Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel: 6: : = = Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = 6 Tegningen til højre viser, at når man har hele, kan man 6 gange få Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = Tegningen skal vise, at hvis man har plade chokolade, kan man få plade gang Tegningen er måske lidt svær at forstå = : = : Brøker og forholdstal Side

39 Forholdstal Del.000 kr. mellem to personer i forholdet :. Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi + = 5. Den ene person får.000 = 00 kr. 5 Den anden person får.000 = 600 kr. 5 En læskedrik skal blandes med vand i forholdet : 6. Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter). Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske? Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik? Der skal bruges =. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik. I alt får man.500 ml =,5 liter færdigblandet drik. Fordi + 6 = 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik 7 Det svarer til 0, liter eller ml. Et forhold kan forkortes ligesom en brøk. Forholdet 0 : 0 kan forkortes til :. Man dividerer begge tal med 0. Brøker og forholdstal Side 5

40 Procentregning Find et antal procent af Procent, brøk og decimaltal... 8 Hvor mange procent udgør..?... 9 Find det hele Promille... 0 Moms... Forskel i procent... Ændring i procent... Procent og procentpoint... Procent Side 6

41 Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner med 00-dele - eller prøver at regne om til 00-dele. En procent er. Man skriver %. 00 Find et antal procent af. På et VUC er der 75 kursister. Heraf er 0% mænd. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Hvor mange mænd er der? De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 00% tilsammen. Derfor er der 00% - 0% = 60% kvinder. Antallet af mænd kan findes på flere måder. - Man kan - se tegningen - sige: 00% = 75 kursister 00% = 75 kursister 75 % = = 7,5 kursist 00 0% = 7,5 0 = 9 kursister Denne måde er nem at forstå men besværlig at skrive. % = 7,5 kursist 0% = 9 kursister - Eller man kan - i en beregning - sige: % af 75 = = 9 kursister 00 0 Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af På regnemaskinen tastes 75 x 0 00 = Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde: Del = Det hele Antal procent 00 - Endelig kan man - i en beregning - sige: 0% af 75 = 0,0 75 = 9 kursister. Her bruger man, at 0% er det samme som decimal-tallet 0,0 (se næste side). Procent Side 7

42 Procent, brøk og decimaltal Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag. Således er 50% både det samme som og det samme som 0,5. Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 00-dele. Nogle gange kan man forkorte. Omskriv disse procent-tal til brøker: 7%, 80% og 50% 7 % = % = = 00 5 Tegningen viser at 80 % = % = = = 00 En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 00-dele. Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 00-dele (se næste side). Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre. Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre. Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5%, 60% og 7% 5 % = 0, % = 0, 60 (eller blot 0,6) 7% =,7 Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og, 0,005 = 0,5% 0,77 = 75%, = 0% Procent Side 8

43 En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat Omskriv disse brøker til procent-tal: og = 0,75 = 75% = 0, = 67% 75 I opgaven med kan man også sige = = 75%. 00 I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%. Hvor mange procent udgør..? På et VUC er der 95 kursister. Heraf er 57 kvinder. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Procent-tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 00 % = 95 kursister 95 % = =,95 kursist Kvinderne udgør = 65% af kursisterne.,95 - Eller man kan - i en beregning - sige: Kvinderne udgør = 65% af kursisterne Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes x 00 = 95 Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde: Del 00 Antalprocent = Det hele Procent Side 9

44 Find det hele.. 5 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 5% af medlemmerne. Hvor mange medlemmer er der i alt? Tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 5% = 5 personer 5 % = =, person 5 I alt er der, 00 = 0 medlemmer af sportsklubben. - Eller man kan - i en beregning - sige: I alt er der 5 00 = 0 medlemmer af sportsklubben. 5 På regnemaskinen tastes 5 5 x 00 = Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde: Det hele Del 00 = Antal procent Promille Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver..000 og skrives. Find af kr. af kr. = = 0 kr..000 Læg mærke til, at der divideres med.000 i stedet for med 00. Procent Side 0

45 Moms Alle priser tillægges 5% moms. Et par bukser koster 56 kr. uden moms. Find prisen med moms. Opgaven kan besvares på mange måder: - Man kan sige: Pris uden moms: 56 kr Moms: = 00 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan sige: Pris uden moms: 56 kr. Moms: 0,5 56 = 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan - fordi 00% +5% = 5% - sige: 56 5 Pris med moms: = 95 kr Eller man kan - fordi 5% =,5 - sige: Pris med moms:,5 56 = 95 kr. Pas på når du skal regne baglæns og finde prisen uden moms. 5% Tegningen til højre viser, at: - momsen udgør 5% eller af prisen uden moms. 5 - men momsen udgør eller 5 5 eller 0% af prisen med moms. Pris uden moms 00% Moms 5% 00% Pris med moms En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find prisen uden moms. Pris uden moms: = 99,0 kr. 5 En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find momsen. Pris uden moms: 99 5 = 99,80 kr I stedet for og kan man også regne med og. Tænk over hvorfor, og prøv selv efter Procent Side

46 Forskel i procent Du skal finde en forskel i procent, når der bliver spurgt om, hvor meget et tal er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller... Man finder en forskel i procent på denne måde: Forskel i Forskel i tal 00 procent = "End"-tal Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver meget ofte brugt i spørgsmålene. Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater. Hold tungen lige i munden!!! En liter mælk koster 8 kr. i Super-Køb og 0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Super-Køb billigere end Nær-Kiosken? En liter mælk koster 8 kr. i Super-Køb og 0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Nær-Kiosken dyrere end Super-Køb? Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken, fordi der blive spurgt end Nær-Kiosken. Forskel i tal: 0-8 = kr. Forskel i procent: 00 = 0% 0 Man skal dividere med prisen i Super-Køb, fordi der bliver spurgt end Super-Køb. Forskel i tal: 0-8 = kr. Forskel i procent: 00 = 5% 8 Til venstre sammenligner man med Nær-kiosken. Derfor er Nær-kiosken 00%. Til højre sammenligner man med Super-køb. Derfor er Super-køb 00%. 0 kr. 00 % 0 kr. 0 % 5 % 00 % 5 kr. Nær-Kiosken Nær-kiosken Super-Køb Super-køb 50 % 5 kr. Super-Køb Super-køb Nær-Kiosken Nær-kiosken 50 % 0 kr. 0 % 0 kr. 0 % Procent Side

47 Ændring i procent En ændring kan her både betyde en stigning og et fald. En togbillet koster 60 kr. Prisen stiger med 5%. Find prisen efter stigningen. En computer koster kr. Prisen falder med 0%. Find prisen efter faldet. Begge opgaver kan regnes på flere måder: - Man kan sige: Gammel pris: 60 kr Stigning: = 00 kr. Ny pris 8 kr. - Man kan sige: Gammel pris: kr Fald: = kr. Ny pris kr Man kan sige: Ny pris: = 8 kr. 00 Det er fordi, at00% + 5% = 5% - Man kan sige: Ny pris:,5 60 = 8 kr. Det er fordi, at 5% =, Man kan sige: Ny pris: = kr. 00 Det er fordi, at 00% - 0% = 80% - Man kan sige: Ny pris: 0, = kr. Det er fordi, at 80% = 0,80 - Man finder en ændring i procent på denne måde: Ændring i procent = Ændring i tal 00 Starttal Prisen på en busbillet er vokset fra 8 kr. til kr. Find stigningen i procent. Prisen på et TV er faldet fra.999 kr. til.999 kr. Find faldet i procent. Stigning i tal: - 8 = kr. Stigning i procent: 00 =,% 8 Fald i tal: =.000 kr Fald i procent: =,%.999 Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst. Procent Side

48 Når man skal regne på ændringer i procent, kan det være en fordel at bruge decimaltal som vist på forrige side. Metoden kan beskrives med denne figur, hvor r = ændringsprocenten som decimaltal med fortegn. Gammelt tal Her er vist, hvordan man kan bruge metoden til at regne baglæns: (+r) :(+r) Nyt tal Prisen på et kg oksefars er steget med %, og det koster nu 79 kr. Find den gamle pris. Prisen på et TV er faldet med 5%, og det koster nu.699 kr. Find den gamle pris. + r = + 0,0 =,0 Gammel pris = 79 :,0 76 kr. + r = 0,5 = 0,85 Gammel pris =.699 : 0,85 =.999 kr. Procent og procentpoint Man bruger ordet procentpoint i stedet for procent, når man finder forskellen på to procenttal. Men man bruger ofte de to ord - procent og procentpoint - forkert. Også i aviser, radio og TV. Hvis arbejdsløsheden fx er vokset fra 6% til 9%, så er der faktisk blevet 50% flere arbejdsløse, fordi stigningen på % er halvdelen af de 6%, som var arbejdsløse i forvejen. Men stigningen er på procentpoint, fordi det er en forskel på to procenttal. Tallet % er ikke % af dem, som var arbejdsløse før, men % af det, man kalder arbejdsstyrken. Arbejdsstyrken betyder alle dem, som enten har et arbejde eller prøver på at få et arbejde. Der går 0 kursister på et matematikhold, som har timer mandag, onsdag og fredag. En uge er der 5 kursister syge om mandagen, syge om onsdagen og 8 syge om fredagen. Hvor mange procentpoint faldt antallet af syge fra mandag til onsdag? Hvor mange procentpoint voksede antallet af syge fra onsdag til fredag? Først beregner man antal syge i procent. Kontroller selv tallene. Mandag Onsdag Fredag Syge i procent 5% 0% 0% Faldet fra mandag til onsdag er på 5-0 = 5 procentpoint. Stigningen fra onsdag til fredag er på 0-0 = 0 procentpoint. Procent Side

49 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side 5

50 I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. Beregn: R = 5 S + 7 når S = Beregn: F = (,5 g ) når g = 9 og h = 6 : h R = 5 S+ 7 = = = F = (,5 g ) : h = (,5 9 ) = (,5 ) : 6 : 6 = 0,5 : 6 =,75 I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. Beregn: n 5 M = 5n + 8 når n = Beregn: Z = x y når x = og y = 5 n 5 M = 5n+ 8 5 = = = 9 Z = x y = 5 = 9 5 = 6 5 = Bogstavregning Side 6

51 Reduktion Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) på en kortere måde. Man regner med bogstaver. Reducer: 5 a a + a Reducer: x + 5y + x y Bogstavet a symboliserer et tal. Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. Når a står alene, er det det samme som a 5 a a+ a = a eller blot a Man kan regne x er sammen, man kan regne y er sammen, og man kan regne tal sammen. x+ 5 y + x y = x+ x+ 5 y y = x+ y 7 Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: - eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - agurker + agurk = agurker - eksemplet til højre til: æbler + 5 pærer + æble pærer = æbler + pærer 7 Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. Reducer: a 6a : + a Reducer: x + x x x a 6a : + a = 8a a+ a = 6a Læg mærke til at 6a : bliver til a. Det svarer til det halve af 6a x x + x x x x = + x x = x + x Man kan ikke regne x er og x er sammen Prøv at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). 6 : + = 9 + = 8. Det er det samme som 6 a, altså 6. Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt) : + 5 = = 0. Det er stadig det samme som 6 a, altså 6 5. Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 6 tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. Bogstavregning Side 7

52 De sidste eksempler med reduktion er nok lidt svære: Reducer: 5a + ( a) + Reducer: b (b 5 + a) + 6a Reducer: 5 ( + a) + (8a 6) : 5a+ ( a) + = 5a+ - a+ = 5a- a+ + = a+ 7 b (b 5 + a) + 6a = b b+ 5 a+ 6a = a+ b+ 5 5 ( + a) + (8a 6) a+ 8a 0 + 0a+ a = a+ 7 : : = 6 : = Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. Ligninger En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. Løs ligningen: = x + 5 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Løs ligningen: x + = 0 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Du kan sikkert straks se, at x må være 7. Man skriver x = 7 Det kaldes at gætte en løsning. Du kan måske se, at x må være 6. Man skriver x = 6 For at være sikker kan man regne efter: 6 + = = 0 0 = 0 Bogstavregning Side 8

53 Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at bladre videre til de næste sider. Løs ligningen: 5 x 6 = 5 Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 5? Tænk også på x som et tal der er pakket ind i nogle beregninger. Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. 5 x 6 = 5 Når 5x 6 er lig med 5, kan man lægge 6 til på begge sider af lighedstegnet. 5 x = Der kommer til at stå noget andet på begge sider, 5 x = men lighedstegnet gælder stadig. Man lægger 6 til for at ophæve 6. 5 x = 5 x = 5 x = 5 5 x =, Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x 6, og x er blevet pakket delvist ud. Bagefter dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at der står 5 foran x. Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud, at x er,. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 5 x 6 = 5 5 x = x = x = 5 x =, Ligningen ovenfor kan også løses på en anden og lidt uautoriseret måde. Man spørger jo: Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 5? Det kan vises på en tegning på denne måde. Hvis man kendte værdien af x, kunne man regne sig frem til tallet 5 ved at gå fra venstre mod højre på tegningen. Når man kender tallet 5, kan man regne sig tilbage til x, ved at gå fra højre mod venstre. Man får først =, og derefter : 5 =, Metoden er rigtig smart og let at forstå, og den kan bruges mange gange men desværre i alle ligninger. x 5 x 6 = 5 5 : Bogstavregning Side 9