Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen

Transkript

1 Matematik på AVU Eksempler til niveau G Niels Jørgen Andreasen

2

3 Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne Basis, og. Denne eksempelsamling er oprindelig skrevet til Matematik, og da der kun er sket mindre justeringer af hvilke matematikområder, der skal arbejdes med, er der kun lavet små ændringer i eksempelsamlingen. Mange af ændringerne har karakter af tilføjelser og fejlretning. Men det er naturligvis vigtigt, at man som lærer med rødder i de gamle fagbeskrivelser er opmærksom på, at der er sket større ændringer i kravene til, hvordan man i den daglige undervisning skal arbejde med matematikken (fokus på kompetencer, inddragelse af IT.). Eksempelsamlingen er tænkt som en opslagsbog, som kursisterne kan læse i, mens de arbejder med den tilhørende opgavesamling eller på anden måde arbejder med faget.. På hjemmesiden, der hører til materialet (laerer.vucaarhus.dk/nja), kan man frit hente eksempelog opgavesamlinger til både niveau G og niveau FED, ligesom man kan hente undervisningsmateriale, der kan anvendes på Basis. Alt materialet er tilgængeligt i såvel PDF-format som redigerbart Word-format. Man kan også finde små instruktioner i brug af regneark - både på skrift og som video. På hjemmesiden kan man ligeledes finde dataene til opgaverne i afsnittet om statistik i Excelformat. Det sidste kapitel handler om Sandsynlighedsregning og kombinatorik. Det er ikke obligatorisk på Matematik G, men jeg har beholdt kapitlet, fordi det kan bruges som supplerende emne. I opgavesamlingen er de tilhørende opgaver placeret i kapitlet med Blandede og supplerende opgaver. Jeg hører meget gerne fra dig, hvis du har kommentarer, ris eller ros. Venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen [email protected]

4 Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse 0 kapitler: Grundliggende regning og talforståelse... Regning med enheder... 0 Sammensætning af regnearterne... 8 Brøker og forholdstal... 5 Procent... 6 Bogstavregning... 5 Geometri Statistik Funktioner og koordinatsystemer... 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning... 9 Hvert kapitel er inddelt i en række afsnit, og alle kapitler starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit.

5 Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 0-tals-systemet... Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal... 8 Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v Grundliggende regning og talforståelse Side

6 De fire regnearter: Plus, minus, gange og division I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. Mælk, pr. liter... 8 kr. Rugbrød... 5 kr. Kager, pr. stk....5 kr. Slik, pr. pose... 0 kr. Kartofler Pr. kg kr. Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 50 kr.? Man skal lægge sammen (plus). Man skal trække fra (minus). Mælk 8 kr. Betalt 50 kr. + Rugbrød 5 kr. Rugbrød 5 kr. I alt kr. Tilbage 5 kr. Eller blot: 8 kr. + 5 kr. = kr. På regnemaskinen tastes: 8 + = Eller blot: 50 kr. - 5 kr. = 5 kr. På regnemaskinen tastes: 50 5 = Når man lægger sammen (plus) er rækkefølgen på tallene ligegyldig. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr. + 5 kr., eller man skriver 5 kr. + 8 kr. Når man trækker fra (minus) er rækkefølgen på tallene ikke ligegyldig. Det er ikke lige meget, om man skriver 50 kr. 5 kr., eller man skriver 5 kr. 50 kr. Hvis man skriver 5 kr. 50 kr., bliver resultatet 5 kr. Altså et negativt tal (et underskud). Minus er det modsatte af plus = 5 er det modsatte af = 50 (eller = 50). Hvad koster liter mælk? Man skal gange. 8 kr. = kr. På regnemaskinen tastes: x 8 = Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste x. På computer bruges ofte *. Når man ganger er rækkefølgen på tallene ligegyldig ligesom ved plus. Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr., eller man skriver 8 kr.. Husk på, at gange svarer til at lægge flere ens tal sammen. 8 kr. er det samme som 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. Grundliggende regning og talforståelse Side

7 Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? 5 børn deler en pose slik. Hvor meget skal de betale hver? Man skal dividere. 0 kr. 0 kr. : 5 kr. = eller = 5 kr. På regnemaskinen tastes: 0 5 = Man skal dividere. 0 kr. : 5 = kr. eller På regnemaskinen tastes: 0 5 = 0 kr. 5 = kr. Man skriver division med to prikker eller med brøkstreg som vist ovenfor. På regnemaskinen skal man taste. På computer bruges ofte /. Når man dividerer, er det vigtigt, at tallene står i den rigtige rækkefølge. Ligesom ved minus! Hvis man skriver 5 : 0, bliver resultatet 0,5 eller Division er det modsatte af gange. 0 : 5 = er det modsatte af 5 = 0 (eller 5 = 0). I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.? Altså: Hvor mange gange skal jeg sige 5 kr. + 5 kr. +.., inden jeg når op på 0 kr.? Eller hvor mange gange kan jeg sige 0 kr. 5kr. 5 kr..., inden jeg når ned på 0 kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme. Hvor mange kg kartofler kan man få for 0 kr.? Hvor mange liter mælk kan man få for 0 kr.? Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Hvis man bruger regnemaskine, får man,5. Hvis kartoflerne sælges i løs vægt, giver det også god mening at sige, at resultatet er,5 kg. Man skal dividere. Regnestykket bliver: 0 kr. 0 kr. : 8 kr. eller 8 kr. Her får man også,5. Men man kan helt sikkert ikke få lov at købe,5 liter mælk. Derfor vil man i stedet sige, at resultat er liter mælk og kr. i rest. Grundliggende regning og talforståelse Side

8 0-tals-systemet to 0 ere fire ere Her er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret tilfældigt. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 0 +, eller to 0 ere og fire ere. betyder på samme måde , eller en 00 er, tre 0 ere og to ere. Forestil dig, at du har en 00-krone-seddel, tre 0-kroner og to -kroner. en 00 er tre 0 ere to ere Alle tal er bygget op af cifre (0,,.9). Tallet 8.5 har fire cifre. Cifrene har forskellige betydning efter hvilken plads (position), de har i tallet. Vores talsystem er et positions-system Når man går en plads til venstre, bliver værdien af et ciffer 0 gange så stort. Derfor kaldes talsystemet for 0-tal-systemet..000 ere 00 ere 0 ere ere Man sætter ofte et punktum (en læseprik) mellem hvert tredje ciffer regnet fra højre. En hel kan deles op i 0ende-dele og 00-dele som vist. En 0ende-del er det samme som ti 00-dele. Man bruger denne opdeling, når tal ikke er hele. Man kan naturligvis opdele videre i.000-dele men det er umuligt at vise på en tegning Grundliggende regning og talforståelse Side

9 Her er vist,5 firkant.,5 betyder to ere (to hele) og fem 0.ende-dele. Her er vist,75 firkant.,75 betyder en er (en hel), syv 0.ende-dele og fem 00-dele.,5 og,75 kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. I stedet for,5 og,75 kan man skrive og. og kaldes brøker. betyder fx, at man deler en hel i fire lige store dele og tager tre af delene. Du kan læse mere om brøker senere, men prøv at kikke lidt på tegningerne herunder. 5 Tegningen til venstre viser at 0,5 = =. 0 Det er ikke så svært at forstå Tegningen til højre viser at 0,75 = + = =, men det er måske lidt svært at forstå. Afrunding af tal Afrund,6 til en decimal. Afrund 5. til helt antal tusinde.,6 er et tal mellem, og,5 men tættest på,5. Derfor bliver resultatet:,5,6 5. er et tal mellem og men tættest på Derfor bliver resultatet: ,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad.,5 afrundes til,5. Grundliggende regning og talforståelse Side 5

10 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne Udregn: Udregn: Tallene skrives op over 78 erne lægges sammen og hinanden og erne lægges sammen giver, men ti af ere sættes i mente som en 0 er erne lægges sammen og Derefter lægges 0 erne sammen. 98 giver, men ti af 0 ere sættes i mente som en 00 er 6 Til sidst lægges 00 erne sammen. Den tomme plads opfattes som erne lægges sammen og giver 6. Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over 65 Man må låne en 0 er for - 7 hinanden og erne trækkes fra hinanden at kunne trække erne fra hinanden Man må låne en 00 er for Derefter trækkes 0 erne fra at kunne trække 0 ere fra hinanden. 67 hinanden Til sidst trækkes 00 erne fra erne trækkes fra - 7 hinanden. Den tomme plads opfattes som hinanden. Der er fem 00 er i øverste række. Grundliggende regning og talforståelse Side 6

11 Udregn: Udregn: 96 Tallene skrives op, og og 96 gange 6 giver, men 6 ganges med hinanden. -tallet sættes i mente. 96 og ganges med hinanden. 6 8 gange 9 giver 6. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får. Udregn: 56 Udregn: 95 : 5 I eksemplet herunder viser jeg ikke de tal, Man undersøger om 5 går der sættes i mente op i, men det gør det jo ikke. 56 ganges med 56 ligesom Man dividerer 9 med ovenfor, og man får Resultatet bliver, rest. 0 Der skrives også 0 bagerst skrives ovenover som vist. i næste tal-række. 595 Man ganger med 5. ganges med 56 ligesom 5 Resultatet er 5, og det 56 ovenfor, og man får. skrives under 9. Derefter 68 Resultatet skrives en plads trækker man 5 fra 9. 0 forskudt mod venstre foran nullet. 9 5 trækkes ned, så der står Man dividerer 5 med og 0 lægges sammen 5 Resultatet bliver 9, som skrives 68 på samme måde som i 5 til højre for. I alt får man der- + 0 eksemplerne med plus. 5 for 9. Til sidst ganges og 08 0 trækkes fra som ovenfor. Grundliggende regning og talforståelse Side 7

12 Store tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring syv milliarder mennesker på jorden. Tallet syv milliarder skrives Nogle gange skriver man blot syv mia. eller 7 mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Nogle gange skriver man store tal, som en slags decimaltal. I virkeligheden bor der ca mennesker i Danmark. Det skriver man ofte som 5,5 mio. I store tal (som f.eks. 6.5.) sætter man ofte - men ikke altid - punktum (læseprik) efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Udregn: 5 8 Udregn: = + 0 = 7 Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Du kan læse mere om, hvordan man regner med negative tal i et senere afsnit. Grundliggende regning og talforståelse Side 8

13 Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v. Det er vigtigt, at man kan gange og dividere med 0 og med 00 osv. uden at bruge regnemaskine. 0, : 0 0 : = 0, 00 = 0 50 :0 = 5 0 :.000 = 0, Man ganger et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. Man kan også gange og dividere store runde tal med hinanden uden at bruge regnemaskine : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 = Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: =.000 Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde:.000 : 00 =.000 : 00 = 0 : = 0 I den sidste beregning bruger man, at: : = Grundliggende regning og talforståelse Side 9

14 Regning med enheder Måleenheder... Kg-priser... Tid og hastighed... 5 Valuta... 7 Regning med enheder Side 0

15 Måleenheder Du skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde. Vægt måles normalt i ton (t), kilo (kg) eller gram (g). Der skal.000 kg til ton, og der skal.000 g til et kg. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. ton =.000 kg = g kg =.000 g ton kg g :000 :000 Omregn 500 kg til ton. Omregn, kg til gram. 500 :. 000 = 0,5 ton,. 000 =.00 g Rumfang måles normalt i liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) eller milliliter (ml). Der skal 0 dl til liter, der skal 0 cl dl, og der skal 0 ml til en cl. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. liter = 0 dl = 00 cl =.000 ml dl = 0 cl = 00 ml cl = 0 ml liter dl cl ml :0 :0 :0 Regning med enheder Side

16 Omregn,5 liter til cl. Omregn 5 ml til cl.,5 00 = 50 cl 5 : 0 = 0,5 cl I eksemplet til venstre, kan man også gange med 0 to gange. Altså:,5 0 0 = 50 cl. Hvis man skal måle større rumfang, bruger man ofte kubikmeter (m ). Der skal.000 liter til m. Du kan læse mere i afsnittet om geometri. m =.000 liter m 000 liter :000 Længde måles normalt i meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) eller millimeter (mm). Der skal 0 dm til m, der skal 0 cm dm, og der skal 0 mm til cm. Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhed til den anden vha. tabellen og tegningen herunder. Der er sikkert en tavlelineal i jeres klasseværelse. Den er en meter lang. m = 0 dm = 00 cm =.000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm m dm cm mm :0 :0 :0 Hvis man skal måle større længder, bruger man normalt kilometer (km). Der skal.000 m til km. km 000 :000 m km =.000 m Regning med enheder Side

17 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på,7 kg oksefars.,7 59 = 00,0 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 50 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster = 0,059 kr g koster 50 0,059 = 6,55 kr. - Man kan i en beregning sige: = 6,55 kr. - Eller man kan (fordi 50 g = 0,50 kg) sige: 0,50 59 = 6,55 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr.? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: - Eller man kan i en beregning sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster.000 For 0 kr. kan man få: = 0,059 kr. 0 0,059 = 678 g. 0 : 59 = 0,678 kg eller 678 g Regning med enheder Side

18 ,5 kg kartofler koster 9,95 kr. Find kg-prisen. 9,95 :,5 =,98 kr. pr. kg. 5 g leverpostej koster,75 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: 5 g koster,75 kr., 75 g koster 5 = 0,065 kr..000 g koster 0, = 6,5 kr. - Man kan i en beregning sige:, = 6,5 kr. 5 - Eller man kan (fordi 5 g = 0,5 kg) sige:,75 : 0,5 = 6,5 kr. 5 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 5 g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: 5 g koster 7,95 kr. 7,95 g koster = 0,05 kr. 5 5 g koster 0,05 5 =,8 kr. 7, =,8 kr. Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Regning med enheder Side

19 Tid og hastighed Tid måles normalt i timer, minutter og sekunder. Der er 60 minutter i en time og 60 sekunder i et minut. time 60 :60 min. 60 :60 sek. time = 60 min =.600 sek. min. = 60 sek. Hvor mange minutter er timer og 7 minutter? = = 57 minutter Omregn 0 sekunder til minutter og sekunder. Man siger først: 0 : 60 = 5,6... Det betyder, at der er 5 hele minutter, som svarer til 5 60 = 00 sekunder. Derfor er: 0 sekunder = 5 minutter og 0 sekunder Det koster 5 kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? Man kan sige: t. og 0 min. = = 50 minutter 5 min. koster = 0,75 kr. 60 t. og 0 min. koster: 50 0, 75=,50 kr. - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 05 kr.? Man kan sige: 5 min. koster = 0,75 kr. 60 For 05 kr. kan man få: 0 min. = t. og 0 min. 05 =0 min. 0,75 En håndværker tager 96 kr. for timer og 5 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 5 min. = = 95 minutter. Prisen pr. minut er: 96 : 95 =,80 kr. Prisen pr. time er:,80 60 = 88 kr. Man kan også omregne t. 5 min. til decimaltal (se næste side), og så får man: t. og 5 min. =,5 time. Prisen pr. time er: 96 :,5 = 88 kr. Regning med enheder Side 5

20 Omregn timer og 50 minutter til decimaltal. t. og 50 min. =,8 time. 50 Det er fordi 50 min. = time = 0,8 time. 60 Du må aldrig sige at: t. og 50 min. =,50 time. Omregn, time til timer og minutter., time = t. og min. Det er fordi 0, t. = 0, 60 min. = min. Du må aldrig sige at:, time = t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 00 km/time, så vil den på en time kunne køre 00 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. : En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er 5 km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 60 km, når man kører 5 km/time? 0 5 = 0 km = 80 km/time Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand = Hastighed Tid eller Tid = 60 = timer 5 Afstand Hastighed = Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler 6 km på time 0 minutter? - Da time og 0 min. =,5 time, kan man sige: 6 = km/time,5 - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 60. Det kan gøres i en beregning: = km/time Regning med enheder Side 6

21 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 00 stk. af den fremmede valuta. Her er der brugt valutakurser fra november 0, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 87,65. Det betyder, at 00 svenske kr. koster 87,65 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8765 kr. eller 87,65 øre. Kursen på US-dollars er 585,67. Det betyder, at 00 US-dollars koster 585,67danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 5,8567 kr. eller 585,67 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D = D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen 00 Formlen kan også skrives således: D 00 F = eller K K = D 00 F : Hvor meget koster 50 US-dollars, når kursen er 585,67? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 87,65? Hvad er kursen på tjekkiske, koruna når.000 koruna, koster.5 kr.? ,67 =.6 kr. 00 Eller blot: 50 5,8567 =.6 kr. fordi hver dollar koster 5,8567 kr = 9 sv. kr. 87,65 Eller blot: 800 = 9 sv. kr. 0,8765 fordi hver svensk krone koster 0,89 dansk krone = 9, koruna koster altså lidt under 0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 00), fordi antal koruna er langt større end antal kr. Vær endelig opmærksom på, at man i den virkelige verden ofte skal betale et gebyr for at veksle. Regning med enheder Side 7

22 Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 9 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Sammensætning af regnearterne Side 8

23 Plus, minus, gange og division Udregn: Udregn: Man regner forfra og får: = = 9 + = 5 + = 7 Man regner forfra og får: = = 7 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., 6 kr. og kr., - du skal af med 5 kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: = = 6 9 = 7. Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. Udregn: 6 : 5 : Udregn: 5 : 6 : Man regner forfra og får: 6 : 5 : = : 5 : = 8 5 : = 0 : = 0 Man regner forfra og får: 5 : 6 : = 0 : 6 : = 0 : = 60 : = 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Sammensætning af regnearterne Side 9

24 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man lægger sammen og trækker fra. Udregn: : Udregn: 7 : + 8 : : = 0 + = 7 : + 8 : 6 5 = = På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 : + 8 : 6 5 = = Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 : 6. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. Udregn: 5 8 Udregn: 5 + ( 8) = 5 + ( 8) = Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Sammensætning af regnearterne Side 0

25 Udregn: 6 ( ) Udregn: ( 7) 6 ( ) = 0 fordi 6 ( ) svarer til 6 + ( 7) = fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og 6 er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + = + = og + : = : + = og : = = + + Udregn: ( 5) = Udregn: ( ) : ( 5) = 5 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står -5 kr. (overtræk). I alt står der -5 kr. på de konti. + = ( ) : = 6 på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på 6 kr. + = Udregn: - ( ) = Udregn: ( 0) : ( 5) ( ) = 8 på grund af regnereglen: = + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( 5) = på grund af regnereglen: : = + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på 5 kr. Der bliver gælds-portioner. Sammensætning af regnearterne Side

26 Lig med, større end og mindre end Du kender lighedstegnet. Man skriver + =, fordi + er lig med. Man kan også skrive 5 + = 8 eller 7, = 7,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7 > 5 betyder at 7 er større end 5 Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Der er også tegn for større end eller lig med og mindre end eller lig med. De ser sådan ud: og. Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. Udregn: (8 ) Udregn: 6 + ( ) : 5 (8 ) = 5 = ( ) : 5 = 6 + ( ) : 5 = : 5 = 6 + = 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. Udregn: Udregn: = = = + 5 = + 5 = 6 6 Sammensætning af regnearterne Side

27 Skriv uden brøkstreg. Skriv 8 : (0 ) med brøkstreg (5 + 7) : (9 6) I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde +. I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde + :, og det er naturligvis det samme. 8 0 I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde 8 : 6. I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningen hedde, 8 6 og det er naturligvis det samme. Matematikere synes normalt, at opstillinger med brøkstreger er de pæneste, men hvis man skal indtaste regnestykkerne i et regneark eller på en regnemaskine, kan det være nødvendigt at skrive vandret. I eksemplet til venstre kan man fx taste + ( ) ( 9 6 ) = på regnemaskinen. Skriv 6 8 uden brøkstreg. Skriv 8 5 : : 0 på en brøkstreg. 6 = 6 : : : :0 = 0 I eksemplet til venstre skal man dividere med, fordi 8 =, men resultatet bliver det samme, hvis man først dividerer med og derefter dividerer med 8. Kurt køber fem dage om ugen dagens ret og et glas juice? Hvor meget skal han betale? Skriv både et regnestykke med parentes og et regnestykke uden parentes. Man kan enten skrive 5 (0 + ) = 5 = 0 kr. eller man kan skrive = = 0 kr. Kantinepriser Dagens ret... 0 kr. Juice, pr. glas... kr. Tænk selv over, hvorfor regnestykkerne er ens. Sammensætning af regnearterne Side

28 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 5 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet = 6 Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes 6 ^ = for at beregne resultatet = = 78.5 Man siger fem i syvende. Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde 5 tastes 5 x og man får = Bemærk: ( 5) giver også 5, fordi ( 5) ( 5) = 5, men det er vigtigt at huske parentesen. Rødder er det modsatte af potenser. Find 6 Find 8 6 kaldes for kvadratroden af 6. Man får fordi 6 = eller er 6. Man skulle tro, at 6 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 = er 8. eller ( ) er 6 (husk regnereglen: = + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 6. Og 6 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Sammensætning af regnearterne Side

29 Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... 7 Udtage brøkdele... 8 Uægte brøker og blandede tal... 9 Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... 5 Brøker og forholdstal Side 5

30 Hvad er brøker - nogle eksempler Når man skal skrive tal, som ikke er hele, kan man enten bruge decimaltal eller brøker. I dag bruger man mest decimaltal, men det er alligevel vigtigt at kende til brøker. Det giver også rigtig god tal-træning at arbejde med brøker. Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 6 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 6 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker. Hver del kaldes 6 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er tilbage. Der er spist 8 5 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 6 7 af chokoladen til venstre. Der er 6 9 tilbage. Der er spist 7 af chokoladen til venstre. Der er 5 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Tæller Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som giver det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Brøker og forholdstal Side 6

31 Forlænge og forkorte Der findes mange navne for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte. r Forlæng brøken med. Forkort brøken 6 med. Man skal gange både tæller og nævner med : = = 8 Tegningen viser, at brøkerne og 8 er ens. Man skal dividere tæller og nævner med : 6 = : 6: Tegningen viser, at brøkerne 6 = og er ens. = = 8 6 = : 6 : = Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken. Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal. Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken. Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Man forkorter normalt mest muligt. Hvor stor en brøkdel udgør 5 ud af 0? 5 Man skal forkorte brøken mest mulig: = 5:5 0:5 = Tegningen viser resultatet. Brøker og forholdstal Side 7

32 Udtage brøkdele Find af. Man kan finde af på måder. - Man kan enten: først sige: af = := og derefter sige: af = = 8 - Eller man kan sige: = = 8. På regnemaskinen tastes = De tre skriveformer af og og betyder det samme. 8 svarer til af et tal. Find tallet. Man kan finde tallet - det hele - på to måder: - Man kan enten: først sige: af det hele er 8 : = 6 = 8 = 6 = og derefter sige: Det hele må være 6 = 8 - Eller man kan sige: =. På regnemaskinen tastes 8 = Brøker og forholdstal Side 8

33 Uægte brøker og blandede tal Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren, og brøken kaldes en ægte brøk. og 5 er eksempler på ægte brøker. Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer: Man kan både sige, at der er 9 lagkage og, at der er Altså: 9 lagkage. = Brøken 9 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner. Tallet kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk. Tegningen til højre viser, at 5 =. 6 6 r Omskriv til blandet tal. Omskriv til uægte brøk. 5 = 5 5 Der bliver hele, fordi : 5 =, rest. Lav evt. selv en tegning, der viser omregningen. = 7 Det er fordi + = 7 Nogle gange skrives regnestykket således: + = = 7 Brøker og forholdstal Side 9

34 Brøker og decimaltal Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker Første ciffer efter kommaet er 0.-dele, andet ciffer er 00.-dele o.s.v. Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved: - enten at forlænge til 0.-dele, 00.dele o.s.v. - eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen. r Omskriv til decimaltal. Omskriv til decimaltal. - Man kan enten forlænge: = 5 0 = 0,5 - eller taste = på regnemaskinen. Så får man: = 0, 5 - Man kan enten forlænge: = = 0,5 ( = + ) eller taste = på regnemaskinen. Så får man: = 0, 5 Omskriv til decimaltal. Man kan ikke forlænge til hverken 0.-dele eller 00.dele eller.. = 0,... ved at taste = på regnemaskinen, og afrunder til fx: = 0, Omskriv 0, til brøk. Omskriv 0,75 til brøk. 0, = ,75 = = 00 Brøker og forholdstal Side 0

35 Det er vigtigt, at kende sammenhængen mellem de mest almindelige brøker og decimaltal. Kik på tegningerne herunder og prøv at huske disse brøker. Brøkerne,, 5 og 0 svarer alle til pæne decimaltal. 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 0,5 = = 0,5 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 0,5 = 0,5 = 0, 75 = = 0,5 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 = 5 0, = 0, = 0, = 0, 6 = 8 5 0, = ,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 0 = 0, = 0, = 0, = 0,5 = 0,7 = 0,9 Der var kun plads til at skrive hver anden brøk. Brøken svarer til det uendelige decimaltal 0,. Forestil dig, at tre personer skal dele 00 kr. Det kan man ikke gøre, så alle får præcis det samme. 0,0 0, 0, 0, 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 0,... 0, = 0,... Brøker og forholdstal Side

36 Regning med brøker - plus og minus Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved at lægge tællerne sammen og beholde nævneren. Man trækker brøker fra hinanden på samme vis = 9 9, som kan forkortes til. 5 = Tegningen viser beregningen til venstre: = 6 9 = Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, skal man først finde en fællesnævner = + = = 8 8 = 8 Tegningen viser beregningen til venstre: + = = 5 6 Brøker og forholdstal Side

37 Regning med brøker - gange og division Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren. 8 (eller 8 - rækkefølgen er ligegyldig) 8 8 = = = 6 - Det kan både betyde af 8 hele (til højre) - Og betyde 8 portioner på (her under) Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 8 = Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. = = 6 = Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå) er det samme som af eller - da rækkefølgen er ligegyldig: er det samme som af eller eller af eller eller af eller eller Brøker og forholdstal Side

38 Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet. : = : = 8 Tegningen til højre viser regnestykket : = 8 Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel: 6: : = = Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = 6 Tegningen til højre viser, at når man har hele, kan man 6 gange få Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = Tegningen skal vise, at hvis man har plade chokolade, kan man få plade gang Tegningen er måske lidt svær at forstå = : = : Brøker og forholdstal Side

39 Forholdstal Del.000 kr. mellem to personer i forholdet :. Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi + = 5. Den ene person får.000 = 00 kr. 5 Den anden person får.000 = 600 kr. 5 En læskedrik skal blandes med vand i forholdet : 6. Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter). Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske? Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik? Der skal bruges =. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik. I alt får man.500 ml =,5 liter færdigblandet drik. Fordi + 6 = 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik 7 Det svarer til 0, liter eller ml. Et forhold kan forkortes ligesom en brøk. Forholdet 0 : 0 kan forkortes til :. Man dividerer begge tal med 0. Brøker og forholdstal Side 5

40 Procentregning Find et antal procent af Procent, brøk og decimaltal... 8 Hvor mange procent udgør..?... 9 Find det hele Promille... 0 Moms... Forskel i procent... Ændring i procent... Procent og procentpoint... Procent Side 6

41 Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner med 00-dele - eller prøver at regne om til 00-dele. En procent er. Man skriver %. 00 Find et antal procent af. På et VUC er der 75 kursister. Heraf er 0% mænd. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Hvor mange mænd er der? De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 00% tilsammen. Derfor er der 00% - 0% = 60% kvinder. Antallet af mænd kan findes på flere måder. - Man kan - se tegningen - sige: 00% = 75 kursister 00% = 75 kursister 75 % = = 7,5 kursist 00 0% = 7,5 0 = 9 kursister Denne måde er nem at forstå men besværlig at skrive. % = 7,5 kursist 0% = 9 kursister - Eller man kan - i en beregning - sige: % af 75 = = 9 kursister 00 0 Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af På regnemaskinen tastes 75 x 0 00 = Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde: Del = Det hele Antal procent 00 - Endelig kan man - i en beregning - sige: 0% af 75 = 0,0 75 = 9 kursister. Her bruger man, at 0% er det samme som decimal-tallet 0,0 (se næste side). Procent Side 7

42 Procent, brøk og decimaltal Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag. Således er 50% både det samme som og det samme som 0,5. Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 00-dele. Nogle gange kan man forkorte. Omskriv disse procent-tal til brøker: 7%, 80% og 50% 7 % = % = = 00 5 Tegningen viser at 80 % = % = = = 00 En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 00-dele. Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 00-dele (se næste side). Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre. Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre. Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5%, 60% og 7% 5 % = 0, % = 0, 60 (eller blot 0,6) 7% =,7 Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og, 0,005 = 0,5% 0,77 = 75%, = 0% Procent Side 8

43 En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat Omskriv disse brøker til procent-tal: og = 0,75 = 75% = 0, = 67% 75 I opgaven med kan man også sige = = 75%. 00 I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%. Hvor mange procent udgør..? På et VUC er der 95 kursister. Heraf er 57 kvinder. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Procent-tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 00 % = 95 kursister 95 % = =,95 kursist Kvinderne udgør = 65% af kursisterne.,95 - Eller man kan - i en beregning - sige: Kvinderne udgør = 65% af kursisterne Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes x 00 = 95 Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde: Del 00 Antalprocent = Det hele Procent Side 9

44 Find det hele.. 5 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 5% af medlemmerne. Hvor mange medlemmer er der i alt? Tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 5% = 5 personer 5 % = =, person 5 I alt er der, 00 = 0 medlemmer af sportsklubben. - Eller man kan - i en beregning - sige: I alt er der 5 00 = 0 medlemmer af sportsklubben. 5 På regnemaskinen tastes 5 5 x 00 = Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde: Det hele Del 00 = Antal procent Promille Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver..000 og skrives. Find af kr. af kr. = = 0 kr..000 Læg mærke til, at der divideres med.000 i stedet for med 00. Procent Side 0

45 Moms Alle priser tillægges 5% moms. Et par bukser koster 56 kr. uden moms. Find prisen med moms. Opgaven kan besvares på mange måder: - Man kan sige: Pris uden moms: 56 kr Moms: = 00 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan sige: Pris uden moms: 56 kr. Moms: 0,5 56 = 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan - fordi 00% +5% = 5% - sige: 56 5 Pris med moms: = 95 kr Eller man kan - fordi 5% =,5 - sige: Pris med moms:,5 56 = 95 kr. Pas på når du skal regne baglæns og finde prisen uden moms. 5% Tegningen til højre viser, at: - momsen udgør 5% eller af prisen uden moms. 5 - men momsen udgør eller 5 5 eller 0% af prisen med moms. Pris uden moms 00% Moms 5% 00% Pris med moms En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find prisen uden moms. Pris uden moms: = 99,0 kr. 5 En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find momsen. Pris uden moms: 99 5 = 99,80 kr I stedet for og kan man også regne med og. Tænk over hvorfor, og prøv selv efter Procent Side

46 Forskel i procent Du skal finde en forskel i procent, når der bliver spurgt om, hvor meget et tal er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller... Man finder en forskel i procent på denne måde: Forskel i Forskel i tal 00 procent = "End"-tal Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver meget ofte brugt i spørgsmålene. Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater. Hold tungen lige i munden!!! En liter mælk koster 8 kr. i Super-Køb og 0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Super-Køb billigere end Nær-Kiosken? En liter mælk koster 8 kr. i Super-Køb og 0 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Nær-Kiosken dyrere end Super-Køb? Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken, fordi der blive spurgt end Nær-Kiosken. Forskel i tal: 0-8 = kr. Forskel i procent: 00 = 0% 0 Man skal dividere med prisen i Super-Køb, fordi der bliver spurgt end Super-Køb. Forskel i tal: 0-8 = kr. Forskel i procent: 00 = 5% 8 Til venstre sammenligner man med Nær-kiosken. Derfor er Nær-kiosken 00%. Til højre sammenligner man med Super-køb. Derfor er Super-køb 00%. 0 kr. 00 % 0 kr. 0 % 5 % 00 % 5 kr. Nær-Kiosken Nær-kiosken Super-Køb Super-køb 50 % 5 kr. Super-Køb Super-køb Nær-Kiosken Nær-kiosken 50 % 0 kr. 0 % 0 kr. 0 % Procent Side

47 Ændring i procent En ændring kan her både betyde en stigning og et fald. En togbillet koster 60 kr. Prisen stiger med 5%. Find prisen efter stigningen. En computer koster kr. Prisen falder med 0%. Find prisen efter faldet. Begge opgaver kan regnes på flere måder: - Man kan sige: Gammel pris: 60 kr Stigning: = 00 kr. Ny pris 8 kr. - Man kan sige: Gammel pris: kr Fald: = kr. Ny pris kr Man kan sige: Ny pris: = 8 kr. 00 Det er fordi, at00% + 5% = 5% - Man kan sige: Ny pris:,5 60 = 8 kr. Det er fordi, at 5% =, Man kan sige: Ny pris: = kr. 00 Det er fordi, at 00% - 0% = 80% - Man kan sige: Ny pris: 0, = kr. Det er fordi, at 80% = 0,80 - Man finder en ændring i procent på denne måde: Ændring i procent = Ændring i tal 00 Starttal Prisen på en busbillet er vokset fra 8 kr. til kr. Find stigningen i procent. Prisen på et TV er faldet fra.999 kr. til.999 kr. Find faldet i procent. Stigning i tal: - 8 = kr. Stigning i procent: 00 =,% 8 Fald i tal: =.000 kr Fald i procent: =,%.999 Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst. Procent Side

48 Når man skal regne på ændringer i procent, kan det være en fordel at bruge decimaltal som vist på forrige side. Metoden kan beskrives med denne figur, hvor r = ændringsprocenten som decimaltal med fortegn. Gammelt tal Her er vist, hvordan man kan bruge metoden til at regne baglæns: (+r) :(+r) Nyt tal Prisen på et kg oksefars er steget med %, og det koster nu 79 kr. Find den gamle pris. Prisen på et TV er faldet med 5%, og det koster nu.699 kr. Find den gamle pris. + r = + 0,0 =,0 Gammel pris = 79 :,0 76 kr. + r = 0,5 = 0,85 Gammel pris =.699 : 0,85 =.999 kr. Procent og procentpoint Man bruger ordet procentpoint i stedet for procent, når man finder forskellen på to procenttal. Men man bruger ofte de to ord - procent og procentpoint - forkert. Også i aviser, radio og TV. Hvis arbejdsløsheden fx er vokset fra 6% til 9%, så er der faktisk blevet 50% flere arbejdsløse, fordi stigningen på % er halvdelen af de 6%, som var arbejdsløse i forvejen. Men stigningen er på procentpoint, fordi det er en forskel på to procenttal. Tallet % er ikke % af dem, som var arbejdsløse før, men % af det, man kalder arbejdsstyrken. Arbejdsstyrken betyder alle dem, som enten har et arbejde eller prøver på at få et arbejde. Der går 0 kursister på et matematikhold, som har timer mandag, onsdag og fredag. En uge er der 5 kursister syge om mandagen, syge om onsdagen og 8 syge om fredagen. Hvor mange procentpoint faldt antallet af syge fra mandag til onsdag? Hvor mange procentpoint voksede antallet af syge fra onsdag til fredag? Først beregner man antal syge i procent. Kontroller selv tallene. Mandag Onsdag Fredag Syge i procent 5% 0% 0% Faldet fra mandag til onsdag er på 5-0 = 5 procentpoint. Stigningen fra onsdag til fredag er på 0-0 = 0 procentpoint. Procent Side

49 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side 5

50 I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. Beregn: R = 5 S + 7 når S = Beregn: F = (,5 g ) når g = 9 og h = 6 : h R = 5 S+ 7 = = = F = (,5 g ) : h = (,5 9 ) = (,5 ) : 6 : 6 = 0,5 : 6 =,75 I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. Beregn: n 5 M = 5n + 8 når n = Beregn: Z = x y når x = og y = 5 n 5 M = 5n+ 8 5 = = = 9 Z = x y = 5 = 9 5 = 6 5 = Bogstavregning Side 6

51 Reduktion Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) på en kortere måde. Man regner med bogstaver. Reducer: 5 a a + a Reducer: x + 5y + x y Bogstavet a symboliserer et tal. Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. Når a står alene, er det det samme som a 5 a a+ a = a eller blot a Man kan regne x er sammen, man kan regne y er sammen, og man kan regne tal sammen. x+ 5 y + x y = x+ x+ 5 y y = x+ y 7 Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: - eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - agurker + agurk = agurker - eksemplet til højre til: æbler + 5 pærer + æble pærer = æbler + pærer 7 Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. Reducer: a 6a : + a Reducer: x + x x x a 6a : + a = 8a a+ a = 6a Læg mærke til at 6a : bliver til a. Det svarer til det halve af 6a x x + x x x x = + x x = x + x Man kan ikke regne x er og x er sammen Prøv at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). 6 : + = 9 + = 8. Det er det samme som 6 a, altså 6. Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt) : + 5 = = 0. Det er stadig det samme som 6 a, altså 6 5. Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 6 tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. Bogstavregning Side 7

52 De sidste eksempler med reduktion er nok lidt svære: Reducer: 5a + ( a) + Reducer: b (b 5 + a) + 6a Reducer: 5 ( + a) + (8a 6) : 5a+ ( a) + = 5a+ - a+ = 5a- a+ + = a+ 7 b (b 5 + a) + 6a = b b+ 5 a+ 6a = a+ b+ 5 5 ( + a) + (8a 6) a+ 8a 0 + 0a+ a = a+ 7 : : = 6 : = Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. Ligninger En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. Løs ligningen: = x + 5 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Løs ligningen: x + = 0 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Du kan sikkert straks se, at x må være 7. Man skriver x = 7 Det kaldes at gætte en løsning. Du kan måske se, at x må være 6. Man skriver x = 6 For at være sikker kan man regne efter: 6 + = = 0 0 = 0 Bogstavregning Side 8

53 Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at bladre videre til de næste sider. Løs ligningen: 5 x 6 = 5 Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 5? Tænk også på x som et tal der er pakket ind i nogle beregninger. Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. 5 x 6 = 5 Når 5x 6 er lig med 5, kan man lægge 6 til på begge sider af lighedstegnet. 5 x = Der kommer til at stå noget andet på begge sider, 5 x = men lighedstegnet gælder stadig. Man lægger 6 til for at ophæve 6. 5 x = 5 x = 5 x = 5 5 x =, Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x 6, og x er blevet pakket delvist ud. Bagefter dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at der står 5 foran x. Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud, at x er,. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 5 x 6 = 5 5 x = x = x = 5 x =, Ligningen ovenfor kan også løses på en anden og lidt uautoriseret måde. Man spørger jo: Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 5? Det kan vises på en tegning på denne måde. Hvis man kendte værdien af x, kunne man regne sig frem til tallet 5 ved at gå fra venstre mod højre på tegningen. Når man kender tallet 5, kan man regne sig tilbage til x, ved at gå fra højre mod venstre. Man får først =, og derefter : 5 =, Metoden er rigtig smart og let at forstå, og den kan bruges mange gange men desværre i alle ligninger. x 5 x 6 = 5 5 : Bogstavregning Side 9

54 Når man løser ligninger, må man: - lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. - trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. - gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. - dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Løs ligningen: x 7 = 9 x 7 = 9 x = x = x = 6 Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet for at ophæve 7. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x 7 = 9 x = x = 6 Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal. Løs ligningen: 7 = x = x+ 9 Man trækker 9 fra på begge sider af lighedstegnet 7 9 = x+ 9 9 for at ophæve = x Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 8 = x x = 8 7 = x = x 8 = x Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre side, er kun til pynt. x = 8 Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal. Bogstavregning Side 50

55 Løs ligningen: x = = x x = = x 6 = x Man ganger med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve at x bliver divideret med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre side, er kun til pynt. = x = x 6 = x x = 6 x = 6 Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal. Løs ligningen: x = x = x = x = x = 8 Man dividerer med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at x bliver ganget med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x = x = x = 8 Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal. Bogstavregning Side 5

56 Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud: Løs ligningen: = 9 - x = 9 x + x = 9 x = 9 x = Løs ligningen: 5 5 = x 5 = 5 x = 5 x = 5 x 5 5 x = Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse tricks : - til venstre fjerner man x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet. - til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet. Her kommer nogle mere indviklede eksempler: Løs ligningen: x 7 = x 7 = x = + 7 x = 0 x = 0 x = 0 Først lægger man 7 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 7 flyttes over på den anden side og ændres til +7). Derefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Man kunne måske finde på først at dividere med i eksemplet ovenfor, men hvis man gør det, skal man dividere hele venstre side, både x og 7, med, og så er man lige vidt. Tænk på reglen om, at man ved almindelig udregning skal gange før man trækker fra (gange og division før plus og minus). Når man løser ligninger, skal man arbejde baglæns (plus og minus før gange og division). Bogstavregning Side 5

57 Løs ligningen: 5 x = 7 5 x = 7 5 x = 7 5 x = 8 5 x = x = 9 x = 9 5 x = 7,8 Først ganger man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter lægger man til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til +). Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 5 flyttes over på den anden side og ændres til : 5. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Her arbejder man også baglæns af de almindelige udregningsregler. Skulle venstre side udregnes alene, ville man først gange x med 5, derefter trække fra og til sidst dividere med. Her starter man med at gange med, så lægger man til, og til sidst dividerer man med 5. Løs ligningen: 6x 6 = x + 6 x 6 = x+ 6 x = x x x = + 6 x = 7 x = 7 x =,5 Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 6 flyttes over på den anden side og ændres til +6). Derefter trækker man x fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om x flyttes over på den anden side og ændres til x). Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet. Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn). Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man: 6,5 6 =,5 + 6 = + 5 = 5 Bogstavregning Side 5

58 Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder: Løs ligningen: x = 9 Løs ligningen: x = x = 9 x = x = ± x = ± 7 9 x = x = 6 I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Tænk på at x må være x. I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens. Tænk på at ( x ) må være x. Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder: Løs ligningen: Løs ligningen: x = x = 8 x = x = 8 x x = = 0,5 x = ± x = ± 5,5 0,5 Man skal først have x eller x = 8 + x = x = x = x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler. Bogstavregning Side 5

59 Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Omkreds og areal af andre figurer Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber og redskaber Målestoksforhold og ligedannethed Rumfang Omregning mellem rumfangsenheder Massefylde Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning)... 7 Rumfang ()... 7 Regne baglæns... 7 I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. Geometri Side 55

60 Længdemål og omregning mellem længdemål Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: - decimeter (dm). Der går 0 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. - centimeter (cm). Der går 00 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. - millimeter (mm). Der går 000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder. m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Her er sammenhængen mellem måleenhederne stillet op i en tabel: m = 0 dm = 00 cm =.000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm mm Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. - en kilometer (km) er.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm. Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Omregn 97,5 cm til mm. Omregn.50 m til km. I skemaet står der 0 fordi, hver cm svarer til 0 mm. 97,5 cm = 97,5 mm 0 = 975 mm I skemaet står der :. 000 fordi, hver km svarer til.000 m..50 m =.50 km :.000 =,50 km Geometri Side 56

61 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Et rektangel er en firkant, hvor: - siderne er parvis lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på rektangler: Et kvadrat er en firkant, hvor: - alle sider er lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på kvadrater: Et kvadrat er et særligt pænt rektangel Find omkreds og areal af et rektangel med længden m og bredden m. Find arealet af et rektangel med længden 50 cm og bredden,50 m. Omkredsen findes ved: - enten at sige: m + m + m + m = m - eller at sige: m + m = m Arealet findes ved at bruge formlen: Areal = længde bredde eller blot A = l b A = m m = m Tegningen viser, at rektanglet svarer til kvadrater, som måler m på hver led. Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter ( m ) m Man kan ikke regne med både m og cm, så 50 cm laves om til,50 m. A =,50 m,50 m = 8,75 m Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m. 50 cm =,50 m,50 m m Hvis du er usikker på, hvorledes man omregner længdemål, så blad en side tilbage. Der er et par eksempler. Geometri Side 57

62 Omkreds og areal af andre figurer Tegningen til højre er en skitse af et hus. Find husets areal. 6 m m For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. Det kan f.eks. gøres således: 7 m 0 m Der mangler tilsyneladende nogle mål for det nederste rektangel, men ved at kikke på tallene på skitsen kan man regne ud at: - arealet af det øverste rektangel må være: - arealet af det nederste rektangel må være: I alt er huset derfor: A = m 6 m = A = 5 m m = 7 m 0 m 9 m Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde cm. A = h g = 5 cm cm = 7,5 cm Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden cm. A = h g højde grundlinie Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde uden for. Geometri Side 58

63 Find arealet af et parallelogram med grundlinie cm og højde cm. A = h g = cm cm = cm A = h g Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til arealet af et rektangel, med længden cm og højden cm. Du klipper venstre ende af og flytter stykket mod højre. højde grundlinie Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og cm og højden er cm. A = h (a + b) = cm (6 cm + cm) = 8 cm Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om til et rektangel, med længden,5 cm og højden cm. A = h (a + b) a højde b Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være skæve. Geometri Side 59

64 Find omkredsen af en cirkel med en radius på,5 cm. (Det svarer til en diameter på cm) - enten O = π d = π cm = 9, cm - eller O = π r = π,5 cm = 9, cm O = π d eller O = π r radius diameter Tegningerne viser en cirkel, der rulles ud. Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. Dette tal kaldes π (læses pi). π er et uendeligt decimaltal, som starter med, Mange regnemaskiner har en π -knap. radius diameter radius diameter omkreds Find arealet af en cirkel med en radius på,5 cm. A = π r = π,5 = 9,6 cm På regnemaskinen tastes: π X,5 x = På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt omvendt. Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. Resultatet vil ligne et rektangel. Længden bliver en halv omkreds - altså π,5 Højden bliver lig med radius - altså,5 cm Arealet bliver derfor π,5,5 = π,5 = A = π r cm 7,85.. cm 9,6 cm radius Geometri Side 60

65 Skitsen viser en lille løbebane. Banen (det grå område) er 0 m bred. Find banens længde langs indersiden og banens areal. 5 m 5 m 5 m Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker. Banens omkreds bliver: Omkreds af cirkel: O = π d = π 5 0 m Linjestykker: 5 = 90 m Omkreds i alt 00 m Når man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå) og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten. Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder. Areal af hele området: Cirkel: A = π r = π 7,5 =.76 m Rektangel: A = l b = 5 55 =.75 m Areal i alt:.85 m Areal af det midterste område: Cirkel: A = π r = π 7,5 = 96 m Rektangel: A = l b = 5 5 =.575 m Areal i alt: Arealet af banen bliver derfor: m =. m.57 m Find arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm. Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet af en trekant ( A = h g ), fordi man ikke kender en højde. a b Men man kan i stedet for bruge Herons formel. c Først findes den halve omkreds. A = s (s a) (s b) (s c) a + b + c s = = = = 9 cm Hvor s er den halve omkreds: a + b + c Derefter findes arealet. s = A = s (s a) (s b) (s c) = 9 (9 5) (9 6) 9 7) = 9 = 6 =,7 cm Geometri Side 6

66 Omregning mellem arealenheder Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. Når der skal 0 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 0 dm til en m, men tegningen herunder viser bl.a., at der går 0 0 = 00 dm til en m. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse. m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm mm Her er sammenhængen mellem arealenhederne stillet op i en tabel: m = 00 dm = cm = mm dm = 00 cm = mm cm = 00 mm Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Omregn 500 cm til m. Omregn,5 cm til mm. I skemaet står der : fordi, hver m svarer til cm. 500 cm = 500 m :0.000 = 0,5 m I skemaet står der 00 fordi, hver cm svarer til 00 mm.,5 cm =,5 mm 00 = 50 mm Geometri Side 6

67 Nogle geometriske begreber og redskaber. Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over lineal ofte brug for en passer og en vinkelmåler. Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan også anvendes til andre tegneopgaver. Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også bruge et computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden. Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt. Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse. Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her. Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant. Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver. A B En linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang, men det kan man naturligvis ikke tegne. Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet. Altså en streg med en bestemt længde. Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q. Hvis man skriver PQ, betyder det længden af PQ. To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle, hvis der er et fast afstand mellem dem. Ligesom et par togskinner. P Q To linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden, hvis de danner en ret vinkel (se næste side). Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi. Afstanden fra periferi til periferi gennem centrum kaldes cirklens diameter. Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius. Man skal kende radius for at tegne cirklen med en passer. Periferi Korde Radius Et linjestykke fra periferi til periferi, der er mindre end diameteren, kaldes en korde. En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt, kaldes en tangent. Diameter Tangent Geometri Side 6

68 En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen af et hjørne (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. En cirkel måler 60 (læses 60 grader) hele vejen rundt. Et lige hjørne måler 90 og kaldes en ret vinkel. Det er en kvart cirkel. En vinkel på mindre end 90 kaldes en spids vinkel. Den viste vinkel er 60 En vinkel på mere end 90 kaldes en stump vinkel. Den viste vinkel er 0 Nogle særligt pæne trekanter har specielle navne: I en ligesidet trekant er alle siderne lige lange, og alle vinklerne er 60. I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange og to af vinklerne lige store. I en retvinklet trekant er en af vinklerne ret - altså 90. Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekant altid er 80 tilsammen. A = D, B = E og C = F. Og D, E og F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel. E F C D Man kan altid dele en firkant op i to trekanter som vist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklerne i en firkant altid er 80 = 60 tilsammen. A B Man kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv. På den måde kan man vise, at der gælder denne formel for vinklerne i en mange-kant: v = (n ) 80 hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen), og n er antal kanter. En mange-kant kaldes også en polygon. Geometri Side 6

69 Særligt pæne figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: Regulær sekskant I en regulær figur er alle sider og alle vinkler lige store. Symmetrisk figur med vandret symmetriakse (eller spejlingsakse). Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter: Midtnormaler Vinkelhalveringslinjer Medianer Midtnormaler går gennem midtpunktet på siderne, og de står vinkelret på siderne. Vinkelhalveringslinjerne deler vinklerne op i to lige store vinkler. Medianerne går fra vinkelspidserne til midten af de modstående sider. Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne. Konstruer en trekant ABC som vist på skitsen, hvor a =,5 cm, c = 6 cm og A = 0. A b c a C B ) Derefter afsættes A = 0, og siden b skitseres som vist. ) Derefter tegnes en cirkelbue med centrum i B og radius på,5 cm. C a =,5 cm A 0 ) Først tegnes c = 6 cm. 0 c = 6 cm B A B ) Til sidst tegnes siden a, og de overflødige steger viskes ud. Geometri Side 65

70 Målestoksforhold og ligedannethed Man bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort. Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om man naturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort. Et målestoksforhold skrives fx således: : 00. Det betyder at en længdeenhed (mm, cm ) på tegningen eller på kortet svarer til 00 længdeenheder i virkeligheden. Tegningen viser et hus i målestoksforhold :00. Find husets længde og bredde. Find også husets areal. Grundrids af hus :00 Først måles længde og bredde på tegningen. Man får 7,5 cm og,0 cm. Så beregnes de rigtige mål ved at gange med længde: 7,5 cm 00 =.500 cm = 5,00 m - bredde:,0 cm 00 = 800 cm = 8,00 m Arealet beregnes til: 5 m 8 m = 0 m På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 00 gange mindre end i virkeligheden. Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 00 gange større end på tegningen. Men arealet af det rigtige hus er = gange større end arealet af tegningen. Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! En byggegrund har form som et rektangel. Længden er 0 m og bredden er 0 m. Lav en tegning i målestoksforhold :500 Tegningens mål findes ved at dividere med længde: 0 m : 500 = 0,06 m = 6 cm - bredde: 0 m : 500 = 0,0 m = cm Tegningen ser ud som til højre. Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 0 m 0 m :500 Geometri Side 66

71 Nogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden. Tegningen viser et tværsnit af en knappenål. I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet? Først måler man på tegningen. 0 mm - hovedets diameter: 5 cm = 50 mm - nålens længde: cm = 0 mm 8 mm Nu kan man finde målestoksforholdet på to måder: Enten som 50 :0 = 5 : eller som 0 :8 = 5 : Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først. I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til mm i virkeligheden. Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer. De to trekanter I og II er ligedannede. II Find længden af c og d. I Først finder man størrelsesforholdet ved at sammenligne siderne b og e. Størrelsesforholdet er :5 (eller 5:). Det betyder, at hver gang man har længdeenheder på trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II. Det er lettest at omregne forholdet til et tal. e : b = 5 : =,5 b = cm Siderne i trekant II er altså,5 gange større end siderne i trekant I. Derefter får man: d =,5 a =,5 9,6 = cm og c = f :,5 = :,5 = 0, cm a = 9,6 cm c d e =5 cm f = cm Bemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed. Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden. Geometri Side 67

72 Rumfang Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange m (kubikmeter) kan det rumme? Rumfanget findes ved at bruge formlen: Rumfang = længde bredde højde eller blot V = l b h (Bogstavet V bruges for rumfang) V = 8 m m m = 8 m Det betyder, at ladet kan rumme 8 terninge-formede kasser, som måler m på hver led. En sådan terning kaldes en kubikmeter (m ). m 8 X m m 7 m En kasse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange liter kan den rumme? Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ). (se evt. næste side om rumfangsenheder) Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. V = = 7,5 dm dm dm 90 dm eller 90 liter 0 cm 75 cm 0 cm 5 cm En dåse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 9 cm Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm ) og dåsen har form som en cylinder. V = π r h = π 5 9 = 707 cm eller 707 ml På regnemaskinen tastes: π X 5 x X 9 = V = π r h radius Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. Der findes en række andre formler, som du også kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. højde Geometri Side 68

73 Omregning mellem rumfangsenheder Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. Tegningen herunder viser bl.a., at der går =.000 dm til en m. dm =.000 cm m =.000 dm cm Her er sammenhængen mellem rumfangsenhederne vist i en tabel: m =.000 dm = cm = mm dm =.000 cm = mm cm =.000 mm Man måler også rumfang med liter-enheder: liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. Det er vigtigt at vide, at: liter dl cl ml - dm er det samme som en liter (l) - cm er det samme som en milliliter (ml) Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: liter = 0 dl = 00 cl =.000 ml dl = 0 cl = 00 ml cl = 0 ml Omregn,5 m til liter. En liter er det samme som en dm. Derfor skal man gange med.000.,5 m = =,5 dm dm =.500 liter Geometri Side 69

74 Massefylde Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen kan også omskrives som vist herunder: Massefylde = Vægt Rumfang Vægt = Rumfang Massefylde eller Rumfang = Vægt Massefylde Hvis et materiale har massefylden,5 g pr. cm, betyder det, at en cm (en kubikcentimeter-terning) vejer,5 g. Vand har en massefylde på g pr. cm. Massefylde er vægt pr. rumfangsenhed. Fx vægt pr. cm. Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under g pr. cm. Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), har en massefylde på over g pr. cm. Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og vægtenhederne. ton =.000 kg = g ton kg =.000 g kg g En metalklods vejer g og har et rumfang på 85 cm. Hvad er massefylden? Hvor meget vejer 5 m grus, når massefylden for gruset er, tons pr. m? Hvor meget fylder 0,5 kg alkohol, når massefylden er 0,8 kg pr. liter? g Massefylde = 85 cm =,8 g pr.cm Vægt = 5 m =,5 tons, tons pr.m 0,5 kg Rumfang = 0,8 kg pr. liter = 0,65 liter I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! Geometri Side 70

75 Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning) Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. Han levede i Grækenland for mere end.000 år siden. B Det mest enkle eksempel er en såkaldt --5-trekant. Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler cm, cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. Det gælder naturligvis også, hvis man bruger andre måleenheder. Fx m, m og 5 m. Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: A c = 5 cm b = cm a = cm C Man navngiver hjørner med store bogstaver og sider med små bogstaver. a + b = c Hvis du regner efter, får du at: og det er jo ganske rigtigt. = + 5 eller = 5, Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. Tegningen viser en retvinklet trekant. A c = a = cm B b = 5 cm Find den manglende sidelængde c. C Skitsen viser en stige, der er stillet op ad en høj mur. Stigens længde er,50 m. 0 cm Hvor højt når stigen op? Man sætter ind i formlen og løser en ligning: + 5 = c + 5 = c 69 = c c = 69 = cm a + b = c Stigen, muren og jorden danner en retvinklet trekant, hvor c =,50 m og en af de korte sider er 0 cm =,0 m. Denne side kaldes a. Siden langs muren kaldes b og findes således:,0 + b,+ b b =,50 = 0,5 = 0,5, = 9,0 b = 9,0 =,6 m Geometri Side 7

76 Rumfang () Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal: Skitserne viser to kaffekrus. Det ene er sammensat af en cylinder og en halvkugle. Det andet har form som en keglestub. Sammenlign rumfang og indvendig overfladeareal på de to krus. 8 cm 5 cm 8 cm 9 cm Først finder man de nødvendige formler. De er vist til højre undervejs. 6 cm Vi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre. Rumfang af cylinder: V = π r h = π 5 = 5, cm Rumfang af halvkugle: V = π r = π =,0 cm Rumfang i alt: 85, cm Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 85, ml, da cm og ml jo er det samme. Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre. Krum overflade af cylinder: Overflade af halvkugle: O = π r h = π 5 = 5,7 cm O π = r = = 00,5 cm Overflade i alt: 6, cm Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man være opmærksom på, at formlen giver den krumme overflade. Top og bund er ikke med. I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund, men det skal man måske i andre opgaver. Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen. π Rumfang cylinder: V = π r h Krum overflade af cylinder: O = π r h h er højden r er radius radius Rumfang kugle: V = π r Overflade af kugle: O = π r r er radius radius højde Geometri Side 7

77 Nu finder vi rumfanget af kruset til højre. Rumfang: V = = π h (R π 9 ( = 8,7 cm + r + + R r) + ) Her kan man naturligvis også skrive 8,7 ml. Beregningen ovenfor er lidt kompliceret. Man kan godt indtaste π 9 ( + + ) i en beregning på regnemaskine på denne måde: X π X 9 X ( x + x + X ) = Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre, kan du roligt dele beregningen op i flere dele. Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side. Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras sætning: Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist. Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden, og den anden katete er forskellen på R og r. h 9 Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9, cm, men man bør medtage nogle flere decimaler i sine mellemregninger. Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre. Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund. Krum overflade af keglestub: O = π ( R + r) s = π ( + ) 9, = 99, cm Areal af bund: + (R r) + ( - ) O = s = s 8 + = s 8 = s s = π 8 = 9, cm π Rumfang af keglestub: V = π h (R = r = = 8, cm Overflade i alt: 7, cm h R-r + r + R r) Krum overflade af keglestub: O = π (R + r) s h er højden R er den store radius r er den lille radius s er den skrå side skrå side s r R 8 cm 6 cm højde 9 cm Til sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er 85, - 7,8 = 7,5 cm større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store, men arealet af kruset til højre er dog 7, - 6, =, cm større end kruset til venstre. Geometri Side 7

78 Regne baglæns Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder. Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark. Find bredden af et rektangel med arealet m og længden,8 m. Formlen for arealet af et rektangel er: A = l b Man sætter de kendte tal ind i formlen og regner baglæns (løser en ligning): A = l b =,8 b,8 = b,5 = b b =,5 m Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m og har længden 5 cm og bredden 80 cm. Rumfangs-formlen lyder: V = l b h For at enhederne kan passe sammen laves 5 cm om til,5 m og 80 cm laves om til 0,80 m 0,87 =,5 0,80 h 0,87 =,6 h 0,87,6 V = l b h = h 0,75 = h h = 0,75 m = 75 cm Find arealet af en cirkel der har en omkreds på cm. Der er ingen formel, der direkte forbinder omkreds og areal, men man kan finde radius med denne formel: O = π r 6,8 = π r = 6,8 r = r r = 7,0 cm Nu findes arealet med formlen: A = π r = π 7,0 = A = π r 5,9 cm Find radius i en cylinder der er 60 cm høj og kan rumme 8 liter. Rumfangs-formlen lyder: V = π r h For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm om til 6 dm (husk at liter = dm ). 8 = π r 6 8 = 8,85 r 8 8,85 V = π r h = r 6,6 = r r = 6,6 =,5dm = 5cm Geometri Side 7

79 Statistik Middelværdi med mere Hyppighed og frekvens Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Grupperede observationer... 8 Statistik Side 75

80 Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik. Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV. Du skal: - kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer. - selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger. Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at: En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige: I gennemsnit er temperaturen meget behagelig. Middelværdi med mere På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 8 kursister. Den første siger fag, den næste siger 5 fag osv. Her er alle svarerne:, 5,,, 5,,,,,,, 5,,,,,, Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. Find typetal og middelværdi. Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får fag. Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag. Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 = fag. Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får fag. Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar = =, fag pr. kursist. 8 8 Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme. Statistik Side 76

81 Hyppighed og frekvens (fortsat) På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 8 kursister. Her er svarerne:, 5,,, 5,,,,,,, 5,,,,,, Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret, hvor mange der har svaret osv. Antal fag 5 I alt Hyppighed 6 8 I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. 00 Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for fag er = %. 8 Tabellen udvides og man får: Antal fag 5 I alt Hyppighed 6 8 Frekvens % 6% % % 7% 00% I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, men lad være med at skrive hele rækken af decimaler. Det er en stor fordel at lave frekvenstabeller i et regneark. Så kan man lave en formel, der beregner den første frekvens og så kopiere denne formel. I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. Bemærk: Hvis man skal finde hyppigheder og frekvenser er det en stor fordel få tallene sorteret efter størrelse. Det kan man let gøre, hvis man har tallene i et regneark. Så vil talrækken overfor se således ud:,,,,,,,,,,,,,,,,,. Det er mere overskueligt. Man kan også få regneark (og andre programmer) til at tælle, hvor mange der er af hvert tal, men det er lidt mere avanceret. Statistik Side 77

82 Diagrammer Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve. Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC. (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 8 kursister. Svarene er vist i tabellen: Antal fag 5 I alt Hyppighed 6 8 Lav et pindediagram over hyppighederne. Pindediagrammet kan se således ud: 7 6 Hyppighed Antal fag Pindediagrammet kaldes også et søjlediagram. Man bruger de to ord lidt på må og få. Hvis man har tabellen med hyppighederne i et regneark, kan man let få regnearket til at lave diagrammet. Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden. Statistik Side 78

83 Et hold med 8 VUC-kursister bliver spurgt om, hvorledes de kommer til VUC. Svarene er vist i tabellen. Lav et cirkeldiagram over tallene. Man kan lynhurtigt lave et cirkeldiagram i et regneark, men her vil jeg forklare, hvordan man laver diagrammet med passer og vinkelmåler. Transportmiddel Antal personer Til fods Cykel 6 Bus Bil 5 I alt 8 En hel cirkel er 60º (60 grader). Cirklen skal inddeles i lagkagestykker. En for hver transportform. 60 Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 60º. = 80º 8 8 De andre lagkagestykker bliver 0º, 60º og 00º. Regn selv efter. Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler. Til fods Cykel Til fods Bus Bil Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser). Frekvensen for Til fods er fx,% (regn selv efter)., 60 Hvis du vil bruge procent-tallet, bliver regnestykket: Man kan også blive bedt om at aflæse på et cirkeldiagram. Så skal man måle, hvor mange grader lagkagestykkerne er og omregne disse grad-tal til enten antal procent eller antal personer. Hvis man ud fra cirkeldiagrammet ovenfor skal beregne, hvor mange der kører med bus, skal man først måle lagkagestykket for Bus. Det er Der er altså af personerne, der kører med bus Det kan enten omregnes til antal procent på denne måde: = % eller til antal personer på denne måde: = personer. 60 Statistik Side 79

84 I august starter der 8 kursister på et VUC-hold. I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe. Tabellen viser antal kursister måned for måned. Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj Antal kursister Lav et diagram over tallene. Der er flere mulige diagrammer, men det er vigtigt, at man kan se, at tallet både stiger og falder i løbet af året. Her har jeg valgt at lave det, som man kalder en kurve. Hvis man bruger regneark, skal man vælge det, der hedder et punkt-diagram eller et x-y-diagram. 5 Antal kursister Maj April Marts Feb. Jan. Dec. Nov. Okt. Sept. Aug. Måned Hvilket diagram er bedst? Der findes ingen helt faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer. Men her er et par tommelfinger-regler. Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tid. Søjle- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt. Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden. Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele. Statistik Side 80

85 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i grupper. Det kaldes intervaller. På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC. Der er 8 kursister. Svarene er: 0,, 8, 6,,,,, 9, 8,,,, 0, 0,, Grupper svarene i intervallerne 0 - km, 5-9 km o.s.v. Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Lav et diagram over frekvensfordelingen. Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist. Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0,,, eller km. Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. Osv. Tabellen ser således ud: Antal km I alt Hyppighed Frekvens % % 8% % 6% 00% Diagrammet kan se således ud: 50% 0% Frekvens 0% 0% 0% 0% Antal km Statistik Side 8

86 Tabellen og diagrammet på forrige side ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV. Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på. Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn. Her er nogle eksempler: Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval [0 ; 5] ] 0 ; 5[ [0 ; 5[ ] 0 ; 5] 0 x 5 0 < x < 5 0 x < 5 0 < x eller 0,0-5,0 eller 0, -,9 eller 0,0 -,9 eller 0, - 5,0 eller 0,00-5,00 eller 0,0 -,99 eller 0,00 -,99 eller 0,0-5,00 eller. eller. eller. eller. Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således: Antal km [0 ; 5[ [5 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 0[ [0 ; 5[ I alt Hyppighed Frekvens % % 8% % 6% 00% Diagrammer for grupperede observationer laves nogle gange således. Det kaldes et histogram: 50% 0% 0% 0% 0% 0% I et histogram, er det i virkeligheden arealet på diagrammet, der er et mål for, hvor mange procent der er i hvert interval. Hvis et interval er bredere end de andre, skal søjlen over intervallet være forholdsvis lavere, men det er lidt kompliceret. Du kan evt. læse mere andre steder. Statistik Side 8

87 Funktioner Introduktion til grafer og koordinatsystemer... 8 Lineære funktioner Andre funktioner... 9 Funktioner Side 8

88 Introduktion til grafer og koordinatsystemer Et supermarked sælger kartofler for kr. pr. kg. Lav en graf i et koordinatsystem. Billige kartofler Kun kr. pr. kg - Vej selv af - Først beregnes nogle priser: - kg kartofler koster = kr. - kg kartofler koster = kr. - og så videre.. og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr. Man kan lave en tabel som denne: Antal kg kartofler 0 5 Pris i kr Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder: Pris i kr ,5 kg koster 5 kr 0 5 Antal kg kartofler Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene i tabellen. Men man behøver ikke at købe et helt antal kg kartofler. Det viser den skrå streg gennem prikkerne. Man kan f.eks. se, at,5 kg kartofler koster 5 kr. Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system. Prikkerne kaldes punkter. Den skrå streg kaldes en graf. Man behøver ikke at beregne alle tal i sin tabel enkeltvis. Hvis man bruger et regneark, kan man lave en formel, der beregner det første tal. Derefter kan man kopiere formlen og få regnearket til at beregne resten af tallene. Man kan også få regnearket til at lave grafen. Funktioner Side 8

89 Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse. Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse. Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse. Herunder er vist to koordinatsystemer. I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter. Det ene punkt ligger lige over -tallet på x-aksen og lige ud for -tallet på y-aksen. Derfor hedder punktet (,). Tallene og kaldes punktets koordinater. Det andet punkt har koordinaterne og. Derfor hedder punktet (,). Tallet kaldes x-koordinat eller første-koordinat. Tallet kaldes y-koordinat eller anden-koordinat. Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (,0) 5 0 (, ) (, ) (, 0) 0 5 I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer. Den skrå graf går igennem alle de punkter, hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens. For eksempel (0,0) og (,). Den vandrette graf går igennem alle de punkter, hvor y-koordinaten er,5. For eksempel (0 ;,5) og ( ;,5). Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når der er komma (,) i koordinaterne Funktioner Side 85

90 I koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til 5, men tal-akserne kan indrettes på mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler: ,0 0,8 0,6 ( ; 0,5) 0 (70, 0) 0, 0 0, , Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med. Det er vist herunder: 5 (-, ) (-, -) (, -) Funktioner Side 86

91 Lineære funktioner En funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser. Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden. Her er et par eksempler: Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører. En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang. Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde. Prisen er en funktion af antal km. Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer. Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt. En funktion kan beskrives ved hjælp af: - en tabel - en graf i et koordinatsystem - en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktion Grafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion. Tre biludlejnings-firmaer tager forskellige priser, når man skal leje en bil i en dag. Sammenlign priserne ved at: - lave tabeller - tegne grafer i et koordinatsystem - opstille funktioner Først udregnes prisen for nogle forskellige antal km hos Andersen Biler: - ved 00 km bliver prisen: = = 650 kr. - ved 00 km bliver prisen: = = 850 kr. - og så videre.. Andersen Biler kr. pr. km 50 kr. i fast afgift Byens Biludlejning,50 kr. pr. km Ingen fast afgift City-Biler.500 kr. pr. dag uanset antal km. Tallene skrives ind i en tabel. Det letteste er at lave tabellen i et regneark. Så behøver man kun at beregne prisen for det første antal km. Derefter kan man kopiere sin beregning. Funktioner Side 87

92 Tabellen ser således ud: Antal km på en dag: Pris hos Andersen Biler: Det er måske ikke så realistisk med 0 km, men tallet er taget med for systemets skyld. Derefter udregnes priser hos Byens Biludlejning: - ved 00 km, bliver prisen:,50 00 = 50 kr. - ved 00 km, bliver prisen:,50 00 = 700 kr. - og så videre.. Hos City-Biler er prisen.500 kr. uanset antal km. Nu kan tabellen udviddes: Antal km på en dag: Pris hos Andersen Biler: Pris hos Byens Biludlejning: Pris hos City-Biler: Nu kan du lave disse grafer ud fra tallene i tabellen. Hvis du har lavet din tabel i et regneark, kan du også få regnearket til at tegne graferne ud fra tabellen City-Biler Pris i kr Andersen Biler Byens Biler Antal km Funktioner Side 88

93 Graferne viser bl.a. at: - at Byens Biler er billigst, hvis man kører under 00 km på en dag. - at Byens Biler og Andersen Biler er lige dyre, hvis man kører præcis 00 km på en dag. - at Andersen Biler er billigst, hvis man kører mellem 00 og 55 km på en dag. - at Andersen Biler og City-Biler er lige dyre, hvis man kører præcis 55 km på en dag. - at City-Film er billigst, hvis man kører over 55 km på en dag. Alt efter hvor langt man skal køre, kan man så vælge det ene eller det andet firma. Nu kaldes antallet af km på en dag for x, og prisen kaldes for y. y er en funktion af x, og y kaldes for funktionsværdien af x. Sammenhængen mellem x og y kan beskrives med disse funktions-forskrifter: Firma Funktion Andersen Biler y = x + 50 Byens Biludlejning y =,50 x City-Biler y =. 500 Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier. Lineære funktioner kan generelt skrives på formen: y = a x + b I funktionen y = x + 50 er a = og b = 50. I funktionen y =,50 x er a =,50 og b = 0. Men man skriver ikke nullet. I funktionen y =. 500 er a = 0 og b =.500. Men man skriver ikke 0 x. Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal eller hældningskoefficient. Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl. Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad. Hvis a = 0 er grafen vandret. Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen starter. Hvis b = 0, så funktionen kan skrives på formen y = a x, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt. Når x bliver fordoblet, bliver y også fordoblet. Alle tre funktioner er lineære, men det er kun hos Byens Biler, at prisen er ligefrem proportional med antallet af km. Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes. Man kan fx beregne, hvor grafen for Andersen Biler og grafen for Byens Biler skærer hinanden ved at løse ligningen: x + 50 =,50 x Man finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden. Kontroller selv, at man får x = 00. Det betyder, at priserne bliver ens ved 00 km. Funktioner Side 89

94 Det er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter, men andre bogstaver kan bruges også. Funktionerne kan selv have bogstav-navne. Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y. Man siger f af x. Tegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner: f(x) = 0,5 x + g(x) = x + Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x = 0: f(x) = 0,5 0 + = 0 + = 0 - hvis x = : f(x) = 0,5 + = 0,5 + =,5 - hvis x = : f(x) = 0,5 + = + = 5 og så videre. Tallene sættes ind i en tabel: 8 x 0 f(x),5 5 5,5 6 Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g. Regn selv efter: x 0 g(x) Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem. Læg mærke til, at: - grafen for f går hen og 0,5 op - grafen for g går hen og op - grafen for f skærer y-aksen i - grafen for g skærer y-aksen i 6 y = 0,5x+ Grafen går hen og 0,5 op. y = x+ Grafen går hen og op Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med bil-priserne. Andre funktioner er ren tal-gymnastik som eksemplet herover. Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med bil-priserne. Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover. Nogle computerprogrammer, som fx Geogebra, kan tegne grafer for funktioner uden, at man først skal lave en tabel. Man behøver kun at skrive funktionsforskriften. Men i starten, når man arbejder med funktioner, giver det en bedre forståelse, hvis man også laver en tabel. Funktioner Side 90

95 Andre funktioner Mange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner. Men du kan også støde på funktioner, hvis grafer ikke er rette linier. Her er et par eksempler: Et skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat). Arealet skal være m. - Lav en tabel og en graf over mulige mål. - Opstil også en funktion Den anden side (bredde) Den ene side (længde) m Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder: - hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side = m 6 - hvis den ene side er 5 m, så bliver den anden side, 5 og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede): Den ene side i m Den anden side i meter 6,,7,5,,, I virkeligheden vil man næppe lave et skur, hvor den ene side er m og den anden side er meter, men muligheden er med for systemets skyld. Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre. Grafen er ikke en ret linie men en blød bue. Man kan opstille denne funktion: y =, x hvor x er den ene side, og y er den anden side. Læg mærke til at graf og tabel er symmetriske. Når er x = så er y =, og omvendt når x =, så er y =. Man siger, at x og y er omvendt proportionale, fordi y bliver halveret, når x bliver fordoblet Funktioner Side 9

96 Tegn en graf for funktionen f(x) = x 6x + 8. Start med at udfylde en tabel som denne: x f(x) Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x = 0: f(x) = = = 8 - hvis x = : f(x) = = = - hvis x = : f(x) = = + 8 = 0 og så videre. Tabellen ser således ud: x f(x) Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før Funktioner Side 9

97 Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 9 Kombinatorik Sandsynlighed og kombinatorik Kombinatorik og kugletrækning Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 9

98 Sandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen. Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning. Men man kan dog: - både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik. Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed. - og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning. Simpel sandsynlighed Sandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed = Antal gunstige udfald Antal mulige udfald Du kaster med en almindelig terning. - hvad er sandsynligheden for at få en 6 er? - hvad er sandsynligheden for at få et lige tal? Terningen kan lande på 6 måder, så der er 6 mulige udfald. Men kun et af udfaldene (6 er) er gunstigt. som kan omregnes til 0,7 = 7 % 6 Der er stadig 6 mulige udfald. Nu er af udfaldene (, og 6) gunstige. = som kan omregnes til 0,5 = 50 % 6 Hvad er sandsynligheden for, at en bus er forsinket over 5 min? 6 = = 0,8 = 8% En optælling viser at: - 9 busser kørte præcis til tiden - busser var forsinket - 5 min. - 6 busser var forsinket over 5 min. Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed. Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 9

99 Kombinatorik Du kaster med en sort og en hvid terning. På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande? Begge terninger kan lande på 6 måder. 6 6 = 6 = 6 kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist som 6 felter i skemaet til højre. Pilen peger på kombinationen af en sort er og en hvid er. Der er også 6 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens. Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man få kombinationen en 5 er og en 6 er (eller en 6 er og en 5 er) dobbelt så ofte som kombinationen to 6 ere. På en restaurant kan man frit sammensætte en retters-menu ud fra det viste menu-kort. Hvor mange kombinationsmuligheder er der? Forret Salat Suppe Hovedret Bøf Steg Pizza Lasagne Dessert Is Kage Frugt = kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist på tegningen til højre. Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man: - først vælger mellem forretter - derefter vælger mellem hovedretter Suppe Bøf Steg Pizza Lasagne Is Kage Frugt - til sidst vælger mellem desserter Hver grenspids svarer til en kombinationsmulighed, men der er ikke plads til at skrive tekst over alt. Salat Den øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kage Den nederste pil peger på: Salat - steg - frugt Tælletræer er gode til at vise kombinatorik, men de er svære at tegne. De bliver let for store. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 95

100 Eksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige. Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene. En alarm har de viste tryk-knapper. For at slå alarmen fra skal man indtaste en kode på bogstaver. - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis hvert bogstav må bruges flere gange? F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB. Det første bogstav kan vælges på 6 måder, det andet bogstav kan vælges på 6 måder, og så videre = 6 =.96 kombinationsmuligheder - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis hvert bogstav kun må bruges en gang? F.eks. FEAB. Det første bogstav kan vælges på 6 måder, men det andet bogstav kan kun vælges på 5 måder, da der allerede er valgt et bogstav. Det tredje bogstav kan vælges på måder og det fjerde bogstav på måder. 6 5 = 60 kombinationsmuligheder På et VUC-hold med disse kursister skal der vælges personer til skolens kursistråd. - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, når der: - først vælges et medlem til rådet - derefter vælges en suppleant? Medlemmet kan vælges på måder. Suppleanten kan kun vælges på måder, da der allerede er valgt en person. = kombinationsmuligheder F.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant, eller Bo som medlem og Ida som suppleant, eller.. Anna Carl Ida Kaj Mie Pia Bo Else Jens Lis Ole Ulf - Hvor mange kombinationsmuligheder er der, når begge personer skal være medlemmer af rådet? Det første medlem kan vælges på måder. Det andet medlem kan kun vælges på måder, da der allerede er valgt en person. Men man får kun: = 66 kombinationsmuligheder fordi mulighederne er parvis ens. Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 96

101 Sandsynlighed og kombinatorik Ved en fodboldturnering kan man gætte på resultatet af nogle kampe. Man skal udfylde den viste tipskupon. Hvad er sandsynligheden for at gætte alle resultaterne rigtigt? Man skal først finde antal kombinationsmuligheder. Den første kamp kan ende på måder (sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg). Den næste kamp kan også ende på måder o.s.v. Der er i alt = 5 = muligheder, fordi der er 5 kampe. Sandsynligheden for at ramme den rigtige er: = 0,00 = 0,% Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, men det er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt X Kombinatorik og kugletrækning Alle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til, at man et antal gange skal trække en kugle fra en pose med et antal kugler. (Men det kan være svært at oversætte) Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellem et antal valgmuligheder. Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man gange (ud for hver kamp) vælge mellem valgmuligheder (, X eller ). Det svarer til, at man gange trækker en kugle fra en pose med kugler. Hvis man kaster terninger, skal terningerne gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder. Det svarer til, at man gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler. På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller". Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 97

102 : På hvor mange måder kan man sammensætte en -retters menu ud fra et menukort med forretter, hovedretter og desserter? Opgaven svarer til, at man har forskellige poser, med forskellige antal kugler. Der er: = kombinationsmuligheder Poserne er forskellige: : Hvor mange kombinationsmuligheder er der på en cykellås med 6 trykknapper, der kan stå i positioner? Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser, med kugler i hver pose, eller at man bruger den samme pose 6 gange og lægger den trukne kugle tilbage efter hver trækning. Der er:... = 6 = 79 kombinationsmuligheder Posen kan genbruges. Kuglerne lægges tilbage. : I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælges en formand, en næstformand og en kasserer. På hvor mange måder kan det gøres? Opgaven svarer til, at man gange fra den samme pose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler i posen, og der må ikke lægges tilbage. Der er: 5 = 60 kombinationsmuligheder. Posen kan genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen har betydning. Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig. : På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på 5 medlemmer finde personer til en arbejdsgruppe? 5 Der er = 0 kombinationsmuligheder. Man kunne tro, at der var 5 = 0 muligheder, men mulighederne er parvis ens. (De samme personer fundet i forskellig rækkefølge). : På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på 5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på personer? 5 Der er = 0 kombinationsmuligheder. Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der 5 = 60 muligheder, men mulighederne kan samles i grupper af muligheder med de samme personer fundet i forskellige rækkefølger. Og personer kan findes på = 6 måder. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 98