HTX Matematik A Onsdag den 11. maj 2011 Kl. 09.00-14.00 GL111 - MAA - HTX 1
2
Side 1 af 7 sider Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation. 3
20 Side 1 af 6 Side 2 af 7 sider Opgave 1 På billedet ses en barnestol. Stolens sæde er vandret. Gengivet med tilladelse fra IKEA Figur 1 Stolen placeres i et koordinatsystem som vist på figur 1. Punkterne A og B har koordinaterne A(55; 0; 0) og B(44; 10; 56). Alle mål er i cm. a) Bestem parameterfremstillingen for linjen gennem punkterne A og B. Punktet E ligger i højden z = 91. Parameterfremstillingen for linjen gennem C, D og E er givet ved! x$! 0 $! 11$ # y & = # & + t # '10 & t (! # & # 50 & # & #" 56 &% #" z &% " 0 % b) Vis, at punktet E har koordinaterne E(17,875; 33,75; 91). Ryglænet ligger i den plan, der er udspændt af E og punkterne F(20; 19; 56) og G(20; 31; 56), se figur 2. c) Bestem ligningen for den plan som ryglænet er en del af. d) Bestem den stumpe vinkel mellem sæde og ryglæn. Figur 2 4
Side 3 af 7 sider Opgave 2 Ud fra klimadata for perioden 1961 1990 fra DMI kan dagtemperaturen i Sisimiut for et kalenderår tilnærmelsesvis beskrives ved modellen # f (t) = 10,5!sin " &!t + 4,2 $ % 6 ' ( t )[0;12[ hvor t angives i måneder og f(t) er temperaturen i C. t = 0 svarer til den 1. januar. a) Tegn grafen for f. b) Bestem amplituden for f, og gør rede for, hvad den fortæller om dagtemperaturerne i Sisimiut. c) Bestem den periode af året, hvor modellen forudsiger, at der er frostfrit om dagen i Sisimiut. Middeltemperaturen for en periode [a; b] kan beregnes som T = 1 b b! a " f (t)dt a d) Bestem middeltemperaturen i den frostfri periode. 5
Side 4 af 7 sider Opgave 3 Billedet viser facaden på Malik svømmehal i Nuuk. Svømmehallen er tegnet af KHR arkitekterne. Taget understøttes af 14 skrå stivere (figur 3). Afstandene mellem stiverne er 6 m ved jorden. Gengivet med tilladelse fra KHR arkitekterne Et tværsnit af taget indlægges i et koordinatsystem som vist på figur 3. En del af taget kan i intervallet [0; 26] tilnærmelsesvis beskrives ved funktionen f. Denne del er markeret med rødt på figuren. Alle mål er i meter. Figur 3 Funktionen f er givet ved f (x) = 1,55 10 4 x 3 2,7 10 2 x 2 + 0,78x + 4,4 a) Bestem højden, h, der er givet ved grafens skæring med y-aksen (figur 3). b) Bestem længden af stiveren AB (figur 3). c) Bestem vinklen, v, mellem taget og lodret (figur 3). d) Bestem tagets maksimale højde. 6
Side 5 af 7 sider Opgave 4 På billedet ses en lampeskærm. Lampeskærmen består af en ydre og en indre glasskål. Den ydre skål har form som en kuglekalot. Målene fremgår af tværsnittet på figur 4. a) Bestem overfladearealet af kuglekalotten. b) Bestem radius i den kugle som den ydre skål er en del af. Et tværsnit gennem lampen indlægges i et koordinatsystem som vist på figur 5. Tværsnittet af den indre skål er vist med rødt. Den øverste del af tværsnittet følger grafen for funktionen, f, givet ved Figur 4 f (x) = 4 ax + b Grafen for f går gennem punkterne A(-2,925; 1,5) og B. c) Bestem konstanterne a og b. Figur 5 7
Side 6 af 7 sider Af opgaverne 5A, 5B og 5C må kun 2 afleveres til bedømmelse. Hvis mere end 2 opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første 2 opgaver. Opgave 5A Funktionen f er givet ved f (x) = 3x3 + x! 4 x 2! 2x + 1 a) Bestem definitionsmængden for f. b) Bestem en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f. c) Bestem de værdier af x, hvor grafen for f har tangenthældningen 2. Opgave 5B Udviklingen af vægten for en klumpfisk i fangenskab kan beskrives ved den logistiske differentialligning dm dt = M!( 0,15-0,001M ) hvor M er vægten målt i kg, og t er tiden målt i måneder. Til t = 0 vejede klumpfisken 32 kg. a) Bestem den løsning til differentialligningen, y = M(t), som opfylder ovenstående betingelse. b) Bestem vægten efter 12 måneder. c) Hvor tung forventes klumpfisken at blive? Begrund dit svar. Klumpfisken Andrea 8
Side 7 af 7 sider Opgave 5C Billedet viser et forstenet havdyr en ammonit. Indlægges ammonitten i et koordinatsystem som vist på figur 6, følger den kurven givet ved vektorfunktionen! " r(t) = e0,1!t!cos(t)% t ([)6,5; 18,5] # $ e 0,1!t!sin(t)& ' a) Bestem et udtryk for tangentvektoren! r '(t). Figur 6 Kurven er kendetegnet ved, at vinklen v mellem stedvektoren! r(t) og tangentvektoren! r '(t) er den samme overalt. Vinklen er altså uafhængig af t. b) Bestem vinklen v. Længden af en kurve givet ved forskriften r(t)!! = x(t) $ # &, hvor t '[a;b], er givet ved formlen " y(t) % L =! b a x'(t) 2 + y'(t) 2 dt c) Bestem længden af kurven vist på figur 6. 9
10
11
Naqinneqarfia Tryk: Inerisaavik 12 Kultureqarnermut, Ilinniartitaanermut, Ilisimatusarnermut, Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Kultur, Uddannelse, Forskning og Kirke