Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2009 HHX092-MAA Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning Undervisningsministeriet Fredag den 14. august 2009 kl. 9.00-10.00
Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time. Hjælpemidler bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. 082345.indd 2 30/06/09 13:56:36
Side 1 af 1 side Side 1 af 1 sider Opgave 1 For trekant ABC kendes følgende størrelser: sin( B) = 0,6 a = 4 c = 7 a) Bestem arealet af trekant ABC. Opgave 2 Prisen p () som funktion af afsætningen er givet ved forskriften p( ) = 0,5 + 500 a) Bestem p 1 (2000) og forklar betydningen. Opgave 3 Vektorerne a, b og c er givet ved a 1 6 =, b = og c 3 = 3 2 9 a) Gør rede for, at a og b er ortogonale, og at a og c er parallelle. Opgave 4 2 Funktionen f har forskriften f ( ) = 6. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet ( 1, 6). Opgave 5 Grafen for funktionen f ( ) = 3 16 er vist på figuren. a) Gør rede for, at det samlede areal af områderne O 1 og O 2 ikke er identisk med det bestemte integral 4 4 f ( ) d. y 25 20 15 f 10 O 1 5-8 -6-4 -2 2 4 6 8-5 O 2-10 -15-20 -25 082345.indd 3 30/06/09 13:56:36
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001 Un 082345.indd 4 30/06/09 13:56:36
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2009 HHX092-MAA Matematik A Delprøven med hjælpemidler Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning Undervisningsministeriet Fredag den 14. august 2009 kl. 9.00-14.00 082345.indd 5 30/06/09 13:56:36
Matematik A Prøven med hjælpemidler Prøvens varighed er 5 timer. Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. I prøvens første time må hjælpemidler ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst. 082345.indd 6 30/06/09 13:56:36
Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider Opgave 1 To vektorer er givet ved 2 1 a = og b = 3 2 a) Bestem den spidse vinkel mellem vektorerne a og b. Vektor c er bestemt ved t c =. 2t 1 Parallelogrammet udspændt af vektorerne a og c har arealet 10 for to værdier af t. b) Bestem disse værdier af t. Opgave 2 I forbindelse med et bilkøb låner Olsen 50.000 kr. i banken. Det aftales, at lånet skal tilbagebetales med 10 halvårlige ydelser, hvoraf de første 9 er på 6.000 kr., mens den 10. ydelse bliver mindre. Renten fastsættes til 3 % pr. halvår. Ved lånets oprettelse får Olsen udleveret en amortisationsplan af banken. På planen kan han følge lånets afvikling termin for termin. Første ydelse betales én termin efter lånets oprettelse. I tabellen herunder er vist begyndelsen af amortisationsplanen. Tabellen er ligeledes gengivet i bilag 1. TERMIN RESTGÆLD RESTGÆLD YDELSE RENTEBELØB AFDRAG PRIMO ULTIMO 1 50.000,00 6.000,00 1.500,00 4.500,00 45.500,00 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) Udfyld rækken for 2. termin i tabellen. Benyt bilag 1. b) Bestem størrelsen af den 10. ydelse. 082345.indd 7 30/06/09 13:56:36
Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider Opgave 3 I produktionsvirksomheden NYSTED kan omkostningerne ved produktion af varen BETA beskrives ved funktionen 3 2 C ( ) = 0,03 4,5 + 420 + 12450 0 hvor angiver det producerede antal styk BETA. NYSTED kan afsætte hele sin produktion til prisen 519 kr. pr. styk. Omsætningen ved salg af styk kan derfor beskrives ved funktionen R, der har forskriften R ( ) = 519 0 Graferne for funktionerne C() og R() ses nedenfor. 80000 y. 70000 60000 50000 40000 R C 30000 20000 10000 20 40 50 60 80 100 120 140 160 Overskuddet defineres som funktionen O( ) = R( ) C( ). a) Bestem det antal styk BETA, der giver størst overskud og bestem dette største overskud. 082345.indd 8 30/06/09 13:56:37
Side 3 af 8 sider Side 3 af 8 sider Grænseomkostningerne, der ofte kaldes GROMK, defineres som de ekstra omkostninger virksomheden får ved at producere 1 enhed mere. I praksis sættes GROMK ved mængden lig med værdien for omkostningsfunktionens afledte funktion C (). Tilsvarende defineres grænseomsætningen, GROMS, som den ekstra omsætning virksomheden opnår ved at afsætte 1 enhed mere. GROMS ved mængden sættes derfor lig med værdien af omsætningsfunktionens afledte funktion R (). Graferne for GROMK og GROMS ses nedenfor. 1400 y 1200 1000 800 600 GROMS 400 200 GROMK 20 40 50 60 80 100 L 120 140 160 I ligevægtssituationen er GROMK = GROMS - det vil sige, at virksomhedens omkostninger ved udvidelse af produktionen med 1 enhed stiger med det samme som omsætningen. b) Bestem ligevægtsmængden L for BETA, hvor GROMK = GROMS og sammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a). c) Bestem arealet af (GROMS GROMK) fra = 50 til = L og sammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a). 082345.indd 9 30/06/09 13:56:37
Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider Opgave 4 Funktionen f er givet ved forskriften f ( ) = 2 e. Vi ønsker at undersøge forløbet af grafen for funktionen f, hvorfor f '( ) bestemmes og ligningen f '( ) = 0 skal løses. a) Forklaring til nedenstående tre linjer skal gives. Benyt bilag 2. f ( ) = 2 e Funktionen f er givet. f '( ) 2 = e + 2 e Funktionen f er differentieret. 2 e + 2 e = 0 Vi sætter f '( ) lig med 0. e ( 2 + 2) = 0 e 2 = 0 + 2 = 0 = 0 = 2 b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f. 082345.indd 10 30/06/09 13:56:37
Side 5 af 8 sider Side 5 af 8 sider Opgave 5 På figuren herunder ses grafen for funktionen f () og grafen for en stamfunktion F ( ) = f ( ) d. Graferne er angivet som Graf 1 og Graf 2. y Graf 1 8 Graf 2 6 4 2-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2 -4-6 -8 a) Gør rede for hvilken af graferne, der er graf for f () og hvilken, der er graf for F (). 082345.indd 11 30/06/09 13:56:37
Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider Opgave 6 En virksomhed producerer og sælger produkterne Mini og Midi. Produkterne skal forarbejdes i afdelingerne A og B. I afdeling A tager det 1½ time at forarbejde et styk Mini og 3 timer at forarbejde et styk Midi. I afdeling B tager det 1 time at forarbejde et styk Mini og 1 time at forarbejde et styk Midi. Til produktion af Mini og Midi har virksomheden 24 timer pr. uge i afdeling A og 11 timer pr. uge i afdeling B. Funktionen f (, y) = 1000 + 1500y angiver det samlede dækningsbidrag. Polygonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det skraverede område i koordinatsystemet herunder. Koordinatsystemet er tillige vist i bilag 3. 12 y 11 10 9 8 7 y = -0,5+8 6 5 4 3 y = - +11 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a) Bestem det antal Mini og det antal Midi, der skal produceres pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag. b) Bestem indenfor hvilket interval dækningsbidraget for Mini kan varieres, såfremt dækningsbidraget for Midi fastholdes på 1.500 kr. pr. styk, og produktionen fundet i spørgsmål a) fastholdes. 082345.indd 12 30/06/09 13:56:37
Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider Opgave 7 En virksomhed producerer 2 varer: FIX og FAX. For varen FIX er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved: p ( ) = + 800 0 < < 800 hvor angiver afsætningen i stk., og p() er prisen i kroner pr. stk. For varen FAX er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved: q ( y) = 4y + 1600 0 < y < 400 hvor y angiver afsætningen i stk., og q(y) er prisen i kroner pr. stk. a) Gør rede for, at den samlede omsætning kan beskrives ved funktionen: 2 2 O(, y) = + 800 4y + 1600y Niveaukurven N (t) er defineret ved O (, y) = t. b) Gør rede for, at niveaukurven N(70000) bestemt ved O(, y) = 70000 denne samt begrænsningsområdet i et koordinatsystem. er en ellipse og tegn c) Bestem den mængde af FIX og den mængde af FAX, der giver den største samlede omsætning. 082345.indd 13 30/06/09 13:56:38
Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. Opgave 8A I tabellen herunder ses resultatet af en undersøgelse af 100 århusianske husstandes årlige vandforbrug i m 3. Årligt vandforbrug i m 3 Intervalfrekvens ] 60; 80] 0,04 ] 80; 100] 0,16 ]100; 120] 0,20 ]120; 140] 0,30 ]140; 160] 0,24 ]160; 180] 0,06 a) Tegn sumkurven for fordelingen. b) Bestem gennemsnittet og standardafvigelsen for fordelingen af vandforbruget. I København var det gennemsnitlige vandforbrug i samme periode på 120 m 3 med en standardafvigelse på 35 m 3. c) Giv en vurdering af vandforbruget i Århus sammenlignet med vandforbruget i København. Opgave 8B Funktionen f har forskriften 3 2 f ( ) = 6 + 12 4 a) Gør rede for, at funktionen f er voksende. b) Gør rede for, at grafen for f skifter krumning fra konkav til konveks. Grafen for funktionen f har to tangenter med hældningskoefficienten 3. c) Bestem en ligning for hver af disse to tangenter. 082345.indd 14 30/06/09 13:56:38
082345.indd 15 30/06/09 13:56:38
082345.indd 16 30/06/09 13:56:38 Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Bilag 1 til opgave 2 (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Hold: Eksamensnr. Navn: TERMIN RESTGÆLD PRIMO YDELSE RENTEBELØB AFDRAG RESTGÆLD ULTIMO 1 50.000,00 6.000,00 1.500,00 4.500,00 45.500,00 2 3 4 5 6 7 8 9 10 082345.indd 17 30/06/09 13:56:38
082345.indd 18 30/06/09 13:56:38
Bilag 2 til opgave 4 a) (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: a) Forklaring til nedenstående tre linjer skal gives. f ( ) = 2 e Funktionen f er givet. f '( ) 2 = e + 2 e Funktionen f er differentieret. 2 e + 2 e = 0 Vi sætter f '( ) lig med 0. e ( 2 + 2) = 0 e 2 = 0 + 2 = 0 = 0 = 2 082345.indd 19 30/06/09 13:56:38
082345.indd 20 30/06/09 13:56:38
Bilag 3 til opgave 6 (med hjælpemidler) skal afleveres. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 12 y 11 10 9 8 7 y = -0,5+8 6 5 4 3 y = - +11 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 082345.indd 21 30/06/09 13:56:38