Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard
Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9.
Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet i ateati og fysi ed enet det srå ast ed luftodstand eller so et oplæg til et studieretningsprojet. Noten er udforet, så læseren selv sal udfylde detaljer genne løsning af opgaver. For det srå ast uden luftodstand er stedfuntionen so beendt givet ved følgende udtry, hvor det antages, at () = y() = og at genstanden starter i puntet (,) til tiden t = sat at hastighedsvetoren har størrelsen v og danner en vinel på α i forhold til -asen: () ( t) = v cos( α) y( t) = g t + v sin( α) Forlerne er standard i gynasiet og vi vil ie udlede de her. Når der regnes ed en luftodstand bliver situationen en del sværere og ere broget. For det første bliver der un tale o tilnærede odeller og så bør an endda benytte forsellige odeller i forsellige situationer. En indiator for, hvornår an bør anvende hvilen odel er det såaldte Reynolds tal (Reynolds nuber): () Re = L ρ v η hvor ρ er densiteten af det ediu, genstanden bevæger sig igenne, η er ediets dynaise visositet (dynaic viscosity), v er hastigheden af genstanden i forhold til ediet og L er en arateristis længde for objetet, for esepel diaeteren i tilfældet ed en ugle. Esepel Lad os sige, at vi har at gøre ed en tennisbold, so sendes af sted ed en hastighed af 5 35 /s. Mediet er luft ed en dynais visositet på,8 N s/. Densiteten af atosfæris luft ved stueteperatur er,4 g/ 3. En tennisbold har en diaeter oring 6,5 c. Dered fås den diensionsløse størrelse: (3) L ρ v,65,4 g/ 35/s Re = = = 5 5 η,8 N s/ 3 Erfaringer har vist, at hvis Re<, så er det en god odel at antage at luftodstanden er proportional ed hastigheden. Hvis deriod < Re< 3, så er det en bedre odel at antage at luftodstanden er odsat rettet hastigheden og proportional ed vadratet på farten. For Reynoldstal ielle og er situationen en elleting. Hvis Reynoldstallet er lille, så er flowet rundt o genstanden lainær (lainar), hvilet betyder, at der ie dannes hvirvler. Hvis deriod Reynoldstallet er stort, så er flowet turbulent. Hvis Reynoldstallet sal være indre end, så sal genstanden enten befinde sig i en væse ed ret stor visositet eller også sal genstanden være yderst lille og ie
4 Eri Vestergaard www.ateatisider.d have for stor hastighed. Dette vil sjældent være tilfældet for bevægelse i atosfæris luft. Alligevel vil vi starte ed at betragte dette tilfælde, da probleet forholdsvist net lader sig løse ateatis. Læseren opfordres til at løse opgaverne undervejs. Der forudsættes endsab til den indledende teori for differentialligninger af første orden.. Hastighedsproportional luftodstand - odel I dette afsnit sal vi undersøge tilfældet hvor luftodstanden er proportional ed hastighedsvetoren. Nærere bestet er luftodstanden en raftvetor, so er odsat rettet bevægelsen, altså odsat rettet hastighedsvetoren v, og størrelsen er proportional ed genstandens fart v. Opgave Benyt fysise arguenter, herunder Newtons. lov, til at arguentere for at genstanden sal tilfredsstille følgende differentialligning: (4) v = g v eller srevet ud i oordinater v = ( v, v ) : (5a) ( v) = v (5b) ( vy ) = vy g y Vis desuden, at hvis genstanden til tiden t= befinder sig i (,) og hastighedsvetoren til sae tidspunt danner vinlen α ed -asen, så har vi følgende randbetingelser, hvor r ( t) = ( ( t), y( t)) er genstandens stedvetor: (6) () = y() = (7) v () = v cos( α ), v () = v sin( α ) y
Eri Vestergaard www.ateatisider.d 5 Opgave 3 I denne opgave vil du blive ledt fre til en løsning til det differentialligningssyste, der blev opstillet i opgave. a) Beær først, at differentialligningerne (5a) og (5b) begge er af velendte standardtyper! Benyt din viden o løsningerne til disse typer til at vise, at løsningerne til (5a) og (5b) er på følgende for, hvor c og c er arbitrære onstanter: v = c e y ( ) ( ) v = c e g b) Benyt randbetingelserne (6) til at finde de arbitrære onstanter. Vis at (8) v = v cos( α) e ( ) g ( ) vy = v sin( α ) + e g c) Nu har du bestet hastighedsoordinaterne. For at bestee stedoordinaterne sal du integrere. Vis, at stedoordinaterne er på følgende for, hvor c 3 og c 4 er arbitrære onstanter: ( ) ( t) = v cos( α) e + c3 g g y( t) = v sin( α ) + e t + c d) Benyt randbetingelserne (6) til at vise at: c c ( ) 4 = v cos( α) g = v sin( α ) + 3 4 e) Indsæt værdierne for de arbitrære onstanter fra d) og osriv stedoordinaterne fra c) til følgende udtry: (9) ( t) r ( t) = = y( t) v cos( α) ( ( ) e ) g g v e t ( ) sin( α ) + ( ) Med resultatet i (9) har vi løst bevægelsesprobleet. På næste side er afbildet baneurven for en tennisbold ed asse =,575 g, begyndelsesfart v = 35 /s og startvinel α = 5. Luftodstandsparaeteren er =, 65 N/(/s) og g = 9,8 /s. Baneurven er saenlignet ed den, an ville få, hvis der ie var nogen luftodstand. So nævnt er denne odel ie optial i den givne situation, da Reynoldstallet
6 Eri Vestergaard www.ateatisider.d er for stort. Vi sal dog senere se, at urven ie er så langt fra den urve an ville få ved at benytte den ere orrete odel, so vi sal se på i næste afsnit. 3. Hastighedsvadratis luftodstand - odel Ifølge afsnit er det for langt de fleste ast i atosfæris luft ere nøjagtigt at benytte odel, hvor luftodstanden antages odsat rettet bevægelsen og i størrelse er proportional ed vadratet på farten. Opgave 4 Arguenter for, at vi i odel for det srå ast sal løse følgende differentialligning, hvor D er en onstant: () v = g D v v og srevet ud i oordinater: () ( + ) ( ) v = D v v v y v = g D v + v v y y y Det viser sig, at den salede odstandsoefficient D afhænger af ediets densitet ρ, tværsnitsarealet A vinelret på genstandens bevægelse sat genstandens for og overfladefrition. De to sidstnævnte er indeholdt i den såaldte Drag Coefficient, C d. Man har fundet følgende udtry for den salede odstandsoefficient D: () D = ρ C A d Esepel 5 Lad os bestee den salede odstandsoefficient for en tennisbold, so bevæger sig i atosfæris luft ved en teperatur på C. En tennisbold har typis en diaeter på 6,5 c. Dered an vi bestee det areal, so vender op od bevægelsesretningen:
Eri Vestergaard www.ateatisider.d 7 A= π d = π (,65) =,338. Luftens assefylde ved C er på,4 4 4 g/ 3. Drag oefficienten for en tennisbold er typis,5-,6. Vi sætter den til,5. Det giver følgende værdi for tennisboldens salede odstandsoefficient: = ρ 3 d =,4 g/,5, =,9 g/ D C A Differentialligningssysteet () er desværre ie af en sipel natur. For det første er systeet oblet, hvored enes at de to uendte funtioner, v og v y, so vi ønser at bestee, figurerer i begge ligninger. Man an dered ie løse ligningerne hver for sig, undtagen i specialtilfælde. Desuden er differentialligningssysteet ie lineært, hvilet betyder at den ofattende teori, an ender ohandlede lineære differentialligninger, ie an anvendes. Ovenstående betyder, at vi ie an finde løsninger i for af færdige funtionsudtry. Vi å nøjes ed at bestee tilnærede funtionsværdier for løsningerne i en ræe punter ved hjælp af såaldte nuerise etoder. Før vi gør det, sal vi dog i opgave 6 se på et specieltilfælde, hvor det lader sig gøre at bestee en løsnings på funtionsfor. Opgaven er ie helt ne og ræver endsab til den løsningsetode, so går under navnet separation-af-variable-etoden. Opgave 6 (Det frie fald ed luftodstand) I tilfældet ed det frie fald bliver probleet -diensionalt. Vi an nøjes ed at regne ed en y-oordinat, so afhænger at tiden t. a) Lav en tegning af situationen, hvor du tegner raftpile på genstanden. Arguenter for at vi sal løse følgende differentialligning: (3) v = g + D v b) Indfør for oversuelighedens syld en størrelse givet ved = g D og vis, at ligningen (3) an osrives til: D (4) v = ( v ) Konstater ved separation af variable, at vi sal løse følgende ligning: D (5) dv dt = v c) For at unne bestee integralet på venstre side i (5) er det en stor fordel at deoponere integranden i partialbrøer (Partial-Fraction Decoposition) før an foretager integrationen. Vis at (6) v = v v+ d) Vis at integrationen af (5) fører til følgende ligning: D v D (7) ln v ln v+ = t + c ln = t + c v+ hvor c er en arbitrær onstant.
8 Eri Vestergaard www.ateatisider.d e) Lad os vedtage, at genstanden slippes til tidspuntet t=. Vis at i dette tilfælde sal hastighedsløsningen v (til 7) opfylde: (8) v = e v+ D NB! Hus at du un betragter den løsning, so går igenne puntet ( t, v ) = (,). f) Isoler v i (8) og vis at an får følgende: (9) D D D D g D g e e e g e e v = D = D D = D D g D g e e e + + e + e Eller hvis an foretræer de hyperbolse funtioner: g D g () v( t) = tanh D Ved integration af () for at finde stedfuntionen y( t ) an an vise, at an får følgende endelige løsning til probleet: D g () y( t) = ln cosh t + y D Lad os se på et par onsevenser af ovenstående løsninger. g) Vis ved hjælp af den sidste ligning i (9), at an har følgende grænseværdi: g () v( t) for t D Overvej hvad () betyder fysis set. Vil det sae se for alle typer genstande?
Eri Vestergaard www.ateatisider.d 9 Den sidste del af noten er ret avanceret. So tidligere nævnt å an ty til nuerise etoder, når an sal bestee løsninger til den generelle differentialligning (). For at unne gøre det, sal vi osrive differentialligningssysteet lidt, så det bliver af. orden! Det an gøres ved et lille tric ved at indføre to nye oordinater, so er lig ed henholdsvis hastigheden i -asens retning ( t) = ( t) og hastigheden i y-asens retning 4 ( t) = y ( t). ( t) = ( t) (3) ( t) = ( t) = v ( t) ( t) = y( t) 3 ( t) = y ( t) = v ( t) 4 y Opgave 7 Vis at differentialligningssysteet () giver anledning til følgende syste af differentialligninger af. orden, ed ovenstående for øje: (4) ed randbetingelserne: (5) d dt d dt d3 dt d4 dt = 4 ( ) D = + = 4 ( ) D = g + () = () = v cos( α) () = 3 () = v sin( α) 4 4 4 idet vi ønser at bevægelsen starter i (,): ( (), y ()) = (, ) og at hastigheden til tiden er givet ved: ( (), y ()) = ( v cos( α), v sin( α )). Differentialligningssysteet i (4) og (5) er et esepel på et syste, so vi lidt ere generelt og abstrat an srive på følgende vetorfor : dx (6) = F( t, X ) ; X ( t) = X dt hvor X ( t) = ( ( t), ( t ),, n( t)) og hvor F( t, X ) = ( f( t, X ), f( t, X ),, fn( t, X )) for givne funtioner f ( t, X ), i=,,, n. I dette tilfælde har vi altså: i
Eri Vestergaard www.ateatisider.d (7) hvor (8) f( t,,, 3, 4) f( t,,, 3, 4) F( t, X ) = f3( t,,, 3, 4 ) f4( t,,, 3, 4) f ( t,,,, ) = 3 4 ( ) D f ( t,,,, ) = + 3 4 4 f ( t,,,, ) = 3 3 4 4 ( ) D f ( t,,,, ) = g + 4 3 4 4 4 I dette tilfælde har vi at gøre ed et autonot syste, da t ie figurerer på højre side! Opgave 8 (CAS værtøj til løsning af odel ) Du an forsøge at løse differentialligningssysteet fra opgave 7 ved at benytte et avanceret CAS progra, såso Maple. Du an passende benytte den såaldte lassise 4. ordens Runge Kutta etode. Opgave 7 (Svær Microsoft Ecel til løsning af odel ) Hvis du ie har et CAS værtøj til rådighed, og du er hård til at prograere, så an du selv lave et lille Ecel VBA-progra, hvor du ipleenterer den lassise 4. ordens Runge Kutta etode til løsning af differentialligningssysteet. På vetorfor lyder etoden således: Antag at et datapunt ( t, X ) er endt. Det næste punt ved sridt på h i tid fås på følgende åde: (9) K = F( t, X ) K = F( t + h, X + h K ) K3 = F( t + h, X + h K ) K4 = F( t + h, X + h K3) K+ K+ K3+ K4 K = 6 Næste punt: ( t+, X + ) = ( t + h; X + h K).
Eri Vestergaard www.ateatisider.d Forslag til yderligere undersøgelser Undersøg astelængden og astehøjden, når der er luftodstand. Undersøg, hvor an sal sigte, hvis an sal rae en genstand i en given position. Man å nødvendigvis sigte højere Du an eventuelt nøjes ed at igge på tilfældet uden luftodstand her.