Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden

VELFÆRDS KOMMISSIONEN Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden Niels Haldrup Arbejdsrapport 2004:3

Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden. Niels Haldrup Institut for Økonomi Afdeling for Nationaløkonomi Aarhus Universitet. 15. Maj, 2004. Abstract Dette notat præsenterer fremskrivninger af aldersbetingede dødelighedsrater, aldersbetingede restlevetider (herunder middellevetider), og overlevelsestavler for Danmark for perioden 2002-2100 ved anvendelse af den såkaldte Lee-Carter metode. Den underliggende model for fremskrivningerne er baseret på en struktur, hvor de logaritmetransformerede dødelighedsrater modelleres ved alders-specifikke parametre samt et underliggende tidsvarierende mortalitetsindeks, der antages at være fælles på tværs af aldersgrupper. Gennem interaktionen mellem mortalitetsindekset og de aldersspecifikke parametre sikres en høj grad af modelfleksibilitet. Modelleringen af det underliggende mortalitetsindeks er afgørende for de fremskrivninger, der foretages. Under forudsætning af at de historiske tendenser fortsætter viser beregningerne bl.a., at middellevetiden i Danmark de næste 50 år vil vokse med cirka 4-4.5 år for såvel mænd som kvinder med en 95% usikkerhedsmargin på ca. +/- 1.5 år. Contents 1 Introduktion 2 2 Beskrivelse af Datagrundlaget 3 2.1 Interpolationtilækvidistanteobservationer... 4 2.2 Ekstrapolation af dødelighedsrater til de ældste aldersgrupper.. 4 2.3 Deskriptivbeskrivelseafdatasættet... 5 Dette projekt er finansieret af Velfærdskommissionen. Esben Anton Schultz takkes for hjælp i forbindelse med etableringen af den anvendte database. 1

3 Lee-Carter metoden til fremskrivning af dødelighedsrater 6 3.1 Modellen... 6 3.2 Estimation... 7 3.3 Fremskrivninger... 8 4 Estimationsresultater 9 4.1 Estimation af modellens parametre samt mortalitetsindekset k. 9 5 Fremskrivninger 2002-2100 11 5.1 Modellering og ekstrapolation af mortalitetsindekset k... 11 5.2 Fremskrivninger... 12 5.2.1 Aldersbetingedemiddellevetider... 12 5.2.2 Overlevelsestabeller... 13 6 Figurer og tabeller 13 1 Introduktion Globalt set har de industrialiserede lande de seneste hundrede år oplevet en meget kraftig reduktion i dødshyppighederne, hvorved middellevetiderne er vokset ganske markant. Ved starten af 1900 tallet var middellevetiden for kvinder 56.2 år mens den for mænd var 52.9 år. Ved udgangen af århundredet var disse tal vokset til henholdsvis 79.2 år og 74.6 år. En ganske væsentlig årsag til denne stigning er den faldende børnedødelighed, men generelt har alle aldersgruppe oplevet kraftigt reducerede dødelighedsrater. I dette notat anvendes Lee-Carter metoden (Lee og Carter, 1992, og Carter og Lee, 1992) til fremskrivninger af centrale demografiske variable for perioden 2002-2100. Lee-Carter metoden har vundet stor udbredelse de senere år i forbindelse med demografiske studier. Grundlaget for metoden er en model, hvor logaritmen til de aldersspecifikke dødelighedsrater forklares dels af alderspecifikke parametre, dels et mortalitetsindeks, som er fælles for alle aldersgrupper, og som beskriver tidstrenden i de observerede dødelighedsrater. Idet mortalitetsindekset indgår ikke-lineært med de aldersspecifikke parametre er modellen ret fleksibel. Lee-Carter metoden foreslår hvorledes de aldersspecifikke parametre og mortalitetsindekset kan estimeres baseret på historiske observationer af dødelighedsraterne. Næste trin består i at opstille en tidsseriemodel for mortalitetsindekset som kan benyttes for fremskrivninger. Idet de aldersspecifikke parametre antages konstante over tid vil de forventede fremtidige aldersbetingede dødelighedsrater således kunne estimeres. Disse vil efterfølgende kunne benyttes som input for beregning af fremtidige aldersbetingede restlevetider, herunder middellevetider fra fødsel, overlevelsestabeller og lignende. Konfidensgrænser for fremskrivningerne vil ligeledes kunne beregnes. Baseret på data for perioden 1900-2001 vil Lee-Carter modellen beskrive mellem 94 og 97 % af den samlede variation i log dødelighedsraterne målt over tid og målt over aldersgrupper. Mortalitetsindekset for mænd og kvinder i 2

Danmark findes på langt sigt at følge en lineær trend, hvorfor dødelighedsraterne vil være eksponentielt aftagende i forecastperioden. Beregningerne viser, at middellevetiden for kvinder og mænd i 2050 vil være henholdsvis 83.5 år og 78.5 år og hvis vi kigger yderligere 50 år frem i tiden til år 2100 vil middellevetiderne være vokset til 87.0 år og 81.2 år. Selvom der er tale om øgede middellevetider er der dog også tale om en vis moderering i udviklingen sammenlignet med de foregående 100 år. Lee-Carter metoden har en række begrænsninger som man naturligvis bør notere sig. Metoden tager udgangspunkt i historiske observationer til estimation af modellens parametre og det forudsættes således, at den udvikling og de tendenser man har noteret sig i de historiske dødelighedsrater vil fortsætte i fremtiden. Der er altså tale om fremskrivninger, hvor de aldersbetingede parametre antages konstante ligesom den stokastiske proces for mortalitetsindekset, der beskriver udviklingen over tid, antages at være uændret i forecast-perioden. Dette behøver ingenlunde at holde stik. F.eks. kan man forstille sig innovationer på det bio-medicinske område som markant vil reducere dødelighedsraterne for de ældre aldersgrupper og potentielt vil give anledning til strukturelle skift, der vil øge middellevetiderne udover det der er grundlaget for den analyse, der er foretaget i dette notat. Tilsvarende kan man ikke afvise, at vi i fremtiden vil observere sygdomme, epidemier, forureningsulykker eller krige, som markant vil påvirke dødelighedsraterne i den modsatte retning. Sådanne faktorer har vi selvsagt ingen mulighed for at forudsige, hvorfor sådanne forhold bidrager til en øget usikkerhed udover den statistiske usikkerhed, der knytter sig til de foretagne beregninger. Notatet er struktureret som følger: Først foretages en beskrivelse af datagrundlaget og de beregninger og antagelser, der har været nødvendige for at skabe en konsistent database. Herefter beskrives Lee-Carter metoden mere detaljeret efterfulgt af en præsentation af estimationsresultater og fremskrivninger af aldersbetingede restlevetider og overlevelsestabeller. Det har været nødvendigt at være meget selektiv med hensyn til hvilke resultater, der er rapporteret i dette notat. Det bagved-liggende datagrundlag er meget omfattende og de rapporterede resultater er inkluderet i rapporten som en illustration af hvilke muligheder der er for præsentation og analyse af data. 2 Beskrivelse af Datagrundlaget Datagrundlaget for denne analyse er historiske observationer fra Danmarks Statistik for faktiske aldersbetingede dødelighedsrater (dødshyppigheder) i Danmark for henholdsvis mænd og kvinder. Dataperioden starter i 1900 og slutter i 2001. For perioden 1900-1965 forefindes dødelighedsraterne på femårsintervaller for et-års aldersgrupperne 0-90 år. Siden 1963 har årlige regstreringer fundet sted og siden 1978 er også aldersgrupperne 91-99 inddraget i de årlige tællinger. Den rå database er således ikke intakt, idet der for hele dataperioden ikke forefindes ækvidistante observationer ligesom de registrerede længere middellevetider i observationsperioden har nødvendiggjort en udvidelse af alder- 3

sgrupperingen. For at drage fuld nytte af de tilgængelige data har det været nødvendigt med pragmatiske men plausible løsninger på disse to problemer. 2.1 Interpolation til ækvidistante observationer For at anvende de senere beskrevne analysemetoder er det nødvendigt at benytte ækvidistante observationer. Én mulighed er at foretage analysen udelukkende på femårs-intervaller. Dette vil imidlertid smide en del information (af nyere dato) bort, som faktisk ville kunne vise sig at være nyttig. På den anden side set kræver analyse af data på et-års-intervaller, at forsimplende antagelser foretages til interpolation over de faktiske dødelighedsrater baseret på femårsintervallerne. Vi antager her, at forskellene i dødelighedsrater på femårsintervaller fordeler sig ligeligt på de mellemliggende år. Med den usikkerhed der i forvejen er til data synes en sådan approksimation rimelig. Tag for eksempel de registrerede (empiriske) dødelighedsrater for 1901-1905 samt 1906-1910, som vi benævner m x,1901 1905,m x,1906 1910, hvor x refererer til en given aldersgruppe. Lineær interpolation til etårs-intervaller er således bestemt som m x,1903 = m x,1901 1905 m x,1903+i = m x,1903+i 1 + m x,1906 1910 m x,1901 1905 5 for i =1, 2, 3, 4 m x,1908 = m x,1906 1910 o.s.v. Generalisering til de øvrige femårsintervaller følger samme mønster. Beregningerne er foretaget for alle aldersgrupper indtil 1963, hvorefter de faktiske årlige registreringer er benyttet i den endelige database. 2.2 Ekstrapolation af dødelighedsrater til de ældste aldersgrupper Som nævnt opererede Danmarks Statistik før 1978 med en aldersgruppering, hvor aldersgruppen på 90 år og derover var residual bestemt. Det er et kendt fænomen i literaturen at især de ældre aldersgrupper kan give problemer i forbindelse med mortalitetsfremskrivninger, se for eksempel Coale og Guo (1989), Coale og Kisker (1990), Lee og Carter (1992) og Renshaw og Haberman (2003). Problemet er, at i takt med de øgede middellevetider vil de ældre generationer blive relativt større, hvorfor man bør være varsom med, hvorledes disse generationer behandles i demografiske analyser. Det vil således være en væsentlig potentiel fejlkilde, at andelen af personer der optræder i det sidste (åbne) aldersinterval bliver for stor. Det er blevet vist af Coale og Kisker (1990), at i populationer med befolkningsstatistik af god kvalitet (især for de ældre generationer) vil dødelighedsrater ikke vokse med en konstant rate med alderen, men snarere med en lineært aftagende rate. Populært sagt bliver de ældre generationer mere hårdhudede jo flere år de overlever. Denne adfærd synes meget konsistent i internationale komparative studier omend der er forskelle mellem kontinenterne, se Coale og Guo (1989). Coale og Guo (1989) har foreslået en metode til ekstrapolation af dødelighedsrater for de ældre generationer. De relevante ekstrapolationsformler er dog ikke direkte anvendelige på danske tal, idet 4

vi her opererer med etårs-aldersintervaller og ikke femårsintervaller som i Coale og Guo s studier. Imidlertid har vi siden 1978 ganske gode data til rådighed for aldersgrupperne 90-99 år, som vi kan benytte til at replikere de beregninger, som ligger til grund for Coale og Guo s analyse, se også Renshaw og Haberman (2003). Som grundlag for analysen benyttes de empiriske dødelighedsrater bm x for de individuelle aldersgrupper x = 80, 81,..., 99 baseret på observationer fra årene 1978-2001. Herefter fittes regressionsligninger af typen log( bm x+1 ) log( bm x )=A + Bx + ε x. Dette resulterer i følgende parameterskøn (med standardfejl i parentes) ba Mænd =.2447 (.0281) bb Mænd =.0019 (.0003) ba Kvinder =.3177 (.0183) bb Kvinder =.0025 (.0002) Parameterskønnene er alle stærkt signifikante og de negative skøn på parameteren B for både mænd og kvinder bekræfter Coale-Guo antagelserne om at væksten i dødelighedsraterne er aftagende med alderen. Ovennævnte beregningsformler er efterfølgende blevet benyttet til at ekstrapolere dødelighedsraterne for 90-99 årige for perioden 1903-1977. Den endelige database består således af aldersbetingede dødelighedsrater for perioden 1903-2001 for aldersgrupperne 0-99 år. 2.3 Deskriptiv beskrivelse af datasættet I figur 1 og 2 er udviklingen i logaritmen til dødelighedsraterne for mænd og kvinder vist for udvalgte aldersgrupper for perioden 1903-2001. Som det fremgår har der i de foregående 100 år været tale om generelt faldende dødelighedsrater for alle aldersgrupper omend faldet noteret for de 0-1 årige er særligt markant. Idet dødelighedsraterne er logaritmetransformerede synes der approksimativt at være tale om eksponentielt faldende dødelighedsrater, en egenskab som senere vil blive udnyttet i forbindelse med implementeringen af Lee-Carter metoden for modellering og fremskrivning af dødelighedsrater og middellevetider. Figur 1 Figur 2 Figur 3 5

Figur 3 afbilder effekten af de faldende dødelighedsrater på de afledte middellevetider for mænd og kvinder. Der har i det 20 århundrede været tale om endog meget markante stigninger i middellevetiderne for såvel mænd som kvinder med kvinderne som de længst levende. Kvinders middellevetid er således vokset med ca. 23 år mens mænds middelevetid er vokset med 21 år fra dets initiale niveau. Spændet mellem mænd og kvinders middellevetider synes generelt at have været voksende gennem de sidste 50 år og er idag mellem 4 og 5 år. 3 Lee-Carter metoden til fremskrivning af dødelighedsrater 3.1 Modellen Lee og Carter (1992) har udviklet en metode til modellering og prædiktion af dødelighedsrater som idag er meget almindelig i demografiske fremskrivninger. Modellen tager udelukkende udgangspunkt i historiske dataserier for de aldersbetingede dødelighedsrater og angiver en log (ikke)-lineær sammenhæng mellem aldersbetingede koefficienter og en stokastisk tidstrend, som antages at være fælles for alle aldersgrupper. Modellen tager følgende form ln(m xt ) = a x + b x k t + ε xt, (1) x = 0, 1, 2,..., m, t = t 1,t 1 +1,..., t n (2) hvor m xt angiver dødelighedsraten for aldersgruppe x på tidspunkt t. Koefficienten a x måler grundliggende formen på aldersprofilen udjævnet over tid, mens koefficienten b x angiver mønsteret i afvigelser fra aldersprofilen. k t er et tidsvarierende indeks for niveauet af dødelighedsraten og vi vil betegne dette indeks mortalitetsindekset i det følgende. Sammenholdt med k t angiver b x således, hvorledes de forskellige aldersgruppers dødelighedsrater påvirkes, når det (fælles) generelle niveau for dødelighedsraterne ændres. I praksis vil mortalitetsindekset være en aftagende funktion af tiden og b x vil være positiv, hvilket afspejler faldende dødelighedsrater for de individuelle aldersgrupper over tid. Men i princippet kunne dødelighedsraterne for visse aldersgrupper også stige over tid afhængigt af parametrenes fortegn. Hvis k t er en lineært aftagende funktion vil dødelighedsraterne m xt =exp(a x + b x k t + ε xt ) være eksponentielt aftagende. I praktiske anvendelser finder man imidlertid ofte, at k t udover en lineær trend vil indeholde et stokastisk trend element, hvorfor k t typiske er en I(1) stokastisk proces med drift. Det er dog driften, der vil dominere serien på langt sigt. Modellen (1) indeholder endelig et fejlled ε xt som vil have middelværdi 0 og varians σ 2 ε. Fejlleddet vil fange den variationen i de empiriske dødelighedsrater som modellen ikke er istand til at forklare. 6

3.2 Estimation Lee-Carter modellens parametre kan vises at være uidentificerede og er altså ikke entydigt givne. Specielt vil k t kun være bestemt op til en vilkårlig lineær transformation, b x er kun bestemt op til en multiplikativ konstant, mens a x kun er bestemt op til en lineær tilpasning med b x, se f.eks. Lee og Carter (1992). Det er således nødvendigt at pålægge modellen restriktioner, som binder parametrene til at være entydige. Følgende identifikationsrestriktioner kan pålægges: t n X k t = 0 (3) t=t 1 X b x = 1 (4) Alle x Disse restriktioner fastlægger et skøn på a x : Ã Y tn ba x =ln bm 1/h xt t=t 1 hvor h = t n t 1 +1angiver antallet af kalenderår (ved årlige observationer). Når restriktionerne (3) og (4) pålægges vil der ialt være 2m + h 2 frie parametre. En trinvis estimationsprocedure er nu givet som følger: ³ Qtn (a) Estimér først a x som ba x = ln t=t 1 bm 1/h xt, altså logaritmen til det geometriske gennemsnit (over tid) af de rene empiriske dødelighedsrater. (b) Konstruér en matrise af dimension m h indeholdende elementerne z xt = ln( bm xt ) ba x og estimér k t og b x respektivt som den første højre og første venstre singulære vektor in en "singulær værdi dekomponering" (SVD: Singular Value Decomposition) af matrisen z xt under hensyn til restritionerne (3) og (4). (c) Lad bm xt = d xt /e xt hvor d xt og e xt er henholdsvis antal døde og antal personer disponeret for dødsrisiko i aldersgruppe x på tidspunkt t. Mortalitetsindekset k t fundet i trin (b) kan nu opdateres, således at det samlede antal døde i et givet år, P Alle x d xt, er lig det totale forventede antal døde P Alle x exp(ba x+ b b x b kt ).Hvisd xt,e xt ikke er tilgængelige, men udelukkende de empiriske dødsrater bm xt forefindes, da vil en alternativ justering kunne foretages hvor e xt =1hvorved d xt = bm xt. Daderikkeernogenanalytisk løsning for dette sidste trin c erdetnødvendigtatbenytteennumerisk søgealgoritme til at finde b k t.! 7

Detvilsikkertværenyttigtkortatdiskuteretrin(b) i ovennævnte procedure. Der er en vis analogi mellem SVD af matrisen z xt og principal component analyse. Grundliggende søger vi efter de linearkombinationer af data, der bidrager mest til den samlede variation i dødelighedsraterne. I det konkrete tilfælde er vi interesserede i at finde de linearkombination af z xt -demiddelværdi korrigerede log dødelighedsrater - som bidrager mest til variationen over tid (svarende til mortalitetsindekset k t ) og variationen over aldersgrupper (d.v.s b x ). Disse linearkombinationer kan deduceres fra den første principale komponent (svarende til den største af de ordnede egenværdier af varianskovariansmatrisen for z xt ). Algebraisk kan modellen nu reformuleres som (se Renshaw og Haberman (2003)) min(h,m) X ln(m xt )=a x + s 1 u 1 (x)v 1 (t)+ s i u i (x)v i (t) (5) hvilket giver en attraktiv fortolkning af modellens residualudtryk. I (5) svarer s i,u i (x),v i (t) til de ordnede (efter størrelse) egenværdier der følger SVD problemet, samt de tilsvarende venstre og højre singulære vektorer. Idet vi lader i=2 b x k t = s 1 u 1 (x)v 1 (t) (under hensyntagen til modelrestriktionerne beskrevet ovenfor) vil en nyttig tolkning af fejlleddet i (1) være ε xt = min(h,m) X i=2 s i u i (x)v i (t) =ln(m xt ) a x s 1 u 1 (x)v 1 (t) For at minimere residualvariationen i modellen kunne man overveje at inddrage flere principale componenter end den første. Dette ville dog give fortolkningsmæssige problemer ligesom erfaringen viser, at inddragelsen af blot den første principale component giver en endog meget høj forklaringsevne. Til yderligere at forbedre modellens fit er der i analysen i dette notat foretaget et ekstra trin sammenlignet med metoden foreslået af Lee og Carter (1992). Ideen er, efter at skønnet på b k t fra trin (b) foreligger, at tage dette skøn på mortalitetsindekset for givet og reestimere modellen ved mindste kvadraters metode. Dette giver nye (opdaterede) skøn på henholdsvis a x og b x og med en residualvariation, der vil blive reduceret i forhold til det foregående trin. 3.3 Fremskrivninger Antag at skøn på a x,b x og k t foreligger baseret på fremgangsmåden beskrevet ovenfor. Fremskrivninger af den demografiske model kan nu foretages ved at bygge en tidsseriemodel for k t af ARIMA-typen, se Box og Jenkins (1970). I mange studier findes et random walk med drift (et eksempel på en unit root proces) at beskrive mortalitetsindekset k t godt. Hvorvidt k t indeholder et stokastisk 8

trend (unit root) element er naturligvis en hypotese som kan testes, se for eksempel Fuller (1976) og Dickey og Fuller (1979). Som vi senere skal se vil en random walk specifikation for Danmark være for enkel, idet en AR(1) proces af førstedifferenserne (inklusiv en konstant) synes at beskrive mortalitetsindeksene ganske godt rent statistisk. Dette ændrer dog ikke ved det faktum, at den deterministiske del af processen (driften) vil dominere på langt sigt, således at man for så vidt angår fremskrivninger på det længere sigt vil modellere dødelighedsraterne som værende eksponentielt aftagende. Eller med andre ord, langt sigts skønnet på log dødelighedsraterne vil udvikle sig lineært for de enkelte aldersgrupper. Når en passende tidsseriemodel for k t er estimeret er det forholdsvis enkelt at benytte denne til ekstrapolation for fremtidige værdier af k t. Disse vil således kunne levere input til konstruktion af forventede aldersbetingede dødelighedsrater, middellevetider og overlevelsestabeller. Konfidensgrænser for fremtidige værdier af mortalitetsindekset kan konstrueres ved standardprocedurer for tidsrækkemodeller. Men umiddelbart vil der være problemer med udgangspunkt i konfidensgrænserne for k t alene at beregne konfidensgrænser for dødelighedsrater og middellevetider, da der også skal tages hensyn til usikkerheden forbundet med estimationen af a x og b x. Lee og Carter (1992) viser imidlertid ved bootstrap-metoder, at usikkerheden forbundet med skønnene på a x og b x er lille sammenlignet med usikkerheden forbundet med prædiktion af mortalitetsindekset k t. Dette resultat letter beregningsarbejdet væsentligt, idet parameterskønnene a x og b x kan antages faste for praktiske formål. I dette notatet har vi fulgte disse anbefalinger i konstruktionen af konfidensgrænserne for fremtidige dødelighedsrater og middellevetider. 4 Estimationsresultater Proceduren beskrevet i afsnit 3 er blevet programmeret i programpakken Ox (Doornik, 2001) og er anvendt på de danske tal. I det følgende præsenteres først estimationsresultaterne efterfulgt af udvalgte modelfremskrivninger. 4.1 Estimation af modellens parametre samt mortalitetsindekset k I tabel 1 er skønnene på a x og b x tabuleret for mænd og kvinder for samtlige aldersgrupper, x =0, 1, 2,..., 99, der indgår i datamaterialet. Specielt koefficienterne b x er interessante i denne sammenhæng. I figur 4 er b x tabuleret for mænd og kvinder for aldersgrupperne. b x er som tidligere nævnt et udtryk for hvorledes en bestemt aldersgruppes dødelighedsrate påvirkes (reduceres) ved ændringer i mortalitetsindekset. Som det ses er der forskelle mellem mænd og kvinder. Således falder dødeligheden relativt hurtigere for yngre mænd (drenge) samtkvinderover60år,nårderfinder en reduktion sted i de generelle mortalitetsindeks for henholdsvis mænd og kvinder. 9

Tabel 1 Figur 4 Figur 5 Figur 5 illustrerer skønnene for mortalitetsindekset k t for henholdsvis mænd og kvinder. Det er bemærkelsesværdigt, men ikke overraskende set i lyset af udviklingen i middellevetiderne i figur 3, at mortalitetsindekset for kvinder har været kraftigere aftagende sammenlignet med indekset for mænd. Dette afspejler blot det forhold, at kvinder generelt i observationsperioden har fået endnu lavere dødelighedsrater i forhold til mænd og har udvidet spændet i middellevetiderne som tidligere er omtalt. Figurerne 6+7 samt 8+9 er medtaget for at illustrere Lee-Carter modellens fit af de faktiske data. Figur 6 og 7 illustrerer for hvert år i observationsperioden de faktiske og estimerede log dødelighedsrater for udvalgte aldersgrupper. Som det fremgår er der over tid tale om ganske enestående fit. Figur 8 og 9 foretager tilsvarende sammenligninger, men her er det de faktiske og estimerede dødelighedsrater på tværs af aldersgrupper, der er illustreret for udvalgte år. Modellen synes generelt af forklare de yngste aldersgrupper dårligere end de ældre, altså de aldersgrupper der i forvejen er eksponeret for en lille dødsrisiko. Dette fænomen er også observeret i mange andre studier inklusiv studierne af Carter og Lee (1992) og Lee og Carter (1992). Imidlertid har dette ikke stor betydning for middellevetidsberegninger m.v. netop fordi der er tale om aldersgrupper med en minimal dødsrisiko. Lee-Carter modellens overordnet fit målt ved determinationskoefficienten R 2 er givet ved 97.1% for kvinder og 94.5% for mænd. På tværs af aldersgrupper er det typiske fit (for hvert år) større end 99% for begge køn. Hvis vi i stedet måler modellens fit på tværs af år (for givne aldersgrupper) er der noget større variation. Både for mænd og kvinder ligger forklaringsevnen over 80 % og lagt de fleste endda noget over 90%. Figur 6 Figur 7 Figur 8 Figur 9 10

5 Fremskrivninger 2002-2100 5.1 Modellering og ekstrapolation af mortalitetsindekset k Mortalitetsindekset for mænd og kvinder illustreret i figur 5 ligger til grund for de egentlige fremskrivninger af dødelighedsraterne. Det umiddelbare indtryk af begge serier er at de følger en lineær trend hvorom store og persistente fluktuationer finder sted. En sådan tidsserieadfærd er karakteristisk for processer integreret af orden én (I(1), se Engle og Granger (1987)), der samtidig har en drift. Test for tilstedeværelsen af enhedsrødder er foretaget ved udvidede Dickey-Fuller test (Fuller (1976, Dickey og Fuller (1979)) og hverken for mænd eller kvinder kan tilstedeværelsen af enhedsrødder forkastes. Efterfølgende er tidsseriemodeller for k t = k t k t 1 blevet modelleret. Følgende ARIMA(1,1,0) processer er estimeret for henholdsvis mænd og kvinder: Mænd : k t = k t 1.7842 +.4601 k t 1 (.2545) (.0912) R 2 =.992 σ ε = 2.1559 Kvinder : k t = k t 1 1.0029 +.4161 k t 1 (.2576) (.0949) R 2 =.989 σ ε = 1.9524 Forbådemændogkvindererdertaleomstatistiskvelspecificerede modeller. De to estimationsligninger ligner hinanden meget omend det bemærkes at driften i processen er numerisk større for kvinder end for mænd, hvilket helt er i overensstemmelse med vore forventninger. Da de estimerede processer for k t indeholder en drift vil serierne på langt sigt blive domineret af en lineær trend og i forbindelse med fremskrivninger vil det autoregressive led kun spille en rolle for de helt korte forecast-horisonter. Efter få perioder vil driften dominere, hvorfor forecast-skønnet på k t på langt sigt vil følge et lineært trendforløb. For mænd vil hældningen på denne trend være.7841 1.4601 = 1.4525. For kvinder vil hældningen på trenden være 1.0029 1.4161 = 1.7175. Som tidligere omtalt følger det, at vore skøn på dødelighedsraterne på langt sigt vil være eksponentielt aftagende. Ovenstående modeller er blevet anvendt til fremskrivninger af mortalitetsindekset. I figur10og11erk t illustreret for både observationsperioden og forecastperioden 2002-2100 sammen med 95% konfidensgrænser. Idet mortalitetsindekset synes at følge en I(1) proces med drift bør man være meget opmærksom 11

på følsomheden af de fremkomne resultater. Hvis en for kort estimationsperiode benyttes vil den estimerede drift være meget følsom overfor de faktiske udsving umiddelbart inden forecastperioden. Det er derfor vigtig at benytte så lange dataserier som muligt i studier som disse. Figur 10 Figur 11 5.2 Fremskrivninger 5.2.1 Aldersbetingede middellevetider Med udgangspunkt i de fremskrevne mortalitetsindeks for mænd og kvinder er de aldersbetingede restlevetider beregnet. I tabel 2 og 3 er disse tabuleret for udvalgte år og udvalgte aldersgrupper. Mereinteressanterdetsikkertatsepådefremskrevnemiddellevetiderfra fødsel. Disse er rapporteret i figur 12 og 13 med tilhørende 95% konfidensbånd. Fra 1903 til 1950 voksede middellevetiderne for mænd og kvinder med henholdsvis 15.7 og 14.9 år. Siden 1950 er de respektive middellevetider vokset med henholdsvis 6 og 8 år. Vort skøn på de næste 50 år indikerer at middellevetiderne for mænd og kvinder vil blive øget med yderligere 4-4.5 år (+/- ca. 1.5 år med en 95% margin). Tabel 2 Tabel 3 Figur 12 Figur 13 Idet mortalitetsindekset på langt sigt følger et lineært forløb og dødelighedsraterne vil aftage eksponentielt vil middellevetidskurverne generelt have et konkavt forløb, når tidshorisonten bliver lang nok. Fremskrivninger af middellevetider baseret på historiske middellevetider (istedet for de underliggende dødelighedsrater) vil derfor ofte give et fejlagtigt (og højst sandsynligt overvurderet) skøn på fremtidige middellevetider med mindre man på en eller ande måde tager højde for det ikke-lineære forløb. Lee og Carter (1992) ser da også den her anvendte metode, hvor de underliggende dødelighedsrater ligger til grund for middellevetidsberegningerne, som en klar fordel fremfor fremskrivninger baseret direkte på middellevetiderne. Selvom man måske kunne føle sig fristet hertil, så vil lineær ekstrapolation af de empiriske middellevetider give et fejlagtigt billede af fremtidige middellevetider som typisk vil blive overvurderede. 12

5.2.2 Overlevelsestabeller Tabel 4 og 5 viser overlevelsestabeller for en hypotetisk population bestående af 100.000 mænd eller kvinder. Tabellerne viser de forskydninger der vil finde sted i befolkningen som følge af de højere middellevetider. F.eks kan det af tabellen aflæses, at der i 2040 vil være ca. 20% flere mænd og kvinder der er mere end 80 år sammenlignet med idag. Tilsvarende vil der være mellem 54 og 58% flere mænd og kvinder der bliver mere end 90 år. Aldersforskydningerne er også søgt anskueliggjort i figur 14 og 15 hvoraf det fremgår, at det generelt især er kvinderne som bidrager til forskydningerne i aldersfordelingen. 6 Figurer og tabeller Se bilag. References Tabel 4 Tabel 5 Figur 14 Figur 15 [1] Box, G. E. P. and G. M. Jenkins, 1976, Time Series Analysis: Forecsting and Control (Holden-Day, San Francisco). [2] Carter, L. R., and R. D. Lee, 1992, Forecasting demographic components. Modeling and forecasting US sex differentials in mortality, International Journal of Forecasting 8, 393-411. [3] Coale, A., and G. Guo, 1989, Revised regional model life tables at very low levels of mortality, Population Index 55, 613-643. [4] Coale, A., and E. E. Kisker, 1990, Defects in data on old age mortality in the United States: New procedures for calculating approximately accurate mortality schedules and life tables at the highest ages, Asian and Pacific Population Forum 4, 1-31. [5] Dickey, D. A., and W.A. Fuller, (1979). Distribution of the estimators of autoregressive time series with a unit root, Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431. [6] Doornik, J. A., 2001, Ox: An object-oriented matrix language (4th edition), London: Timberlake Consultants Press. 13

[7] Engle, R. F., and C.W.J. Granger, 1987, Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing, Econometrica 55, 251-276. [8] Fuller, W. A, (1976). Introduction to statistical time series, New York, John Wiley & Sons. [9] Lee, R. D., and L. R. Carter, 1992, Modeling and Forecasting U.S. Mortality, Journal of the American Statistical Association 87, 659-671. [10] Renshaw, A., and S. Habermann, 2003, Lee-Carter mortality forecasting: a parallel generalized linear modelling approach for England and Wales mortality projections, Applied Statistics 52, 119-137. 14

ln(m(x,t)) Figur 1. Udviklingen i logaritmen til de empiriske dødelighedsrater for mænd. 12 10 8 6 4 2 0 1900 1920 1940 1960 1980 2000 år 0 år 5 år 10 år 15 år 20 år 25 år 30 år 35 år 40 år 45 år 50 år 55 år 60 år 65 år 70 år 75 år 80 år 85 år 90 år 95 år 99 år ln(m(x,t)) Figur 2. Udviklingen i logaritmen til de empiriske dødelighedsrater for kvinder. 12 10 8 6 4 2 0 1900 1920 1940 1960 1980 2000 år 0 år 5 år 10 år 15 år 20 år 25 år 30 år 35 år 40 år 45 år 50 år 55 år 60 år 65 år 70 år 75 år 80 år 85 år 90 år 95 år 99 år

Figur 3. Middellevetid fra fødsel for mænd og kvinder. 85 80 75 Middellevetid fra fødsel i år 70 65 60 55 50 45 40 1900 1920 1940 1960 1980 2000 år Mænd Kvinder Figur 4. Sammenligning af bx for mænd og kvinder 0,035 0,03 0,025 0,02 bx 0,015 0,01 0,005 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Aldersgruppe Mænd Kvinder

Figur 5. Estimeret Mortalitetsindeks k for perioden 1903-2001. 100 80 60 40 Mortalitetsindeks 20 0-20 1900 1920 1940 1960 1980 2000-40 -60-80 -100-120 Mænd Kvinder

Figur 6. Faktiske og estimerede log dødelighedsrater, 1903-2001, for udvalgte aldersgrupper for mænd. Faktisk og estimeret dødelighedsrate 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1900 1920 1940 1960 1980 2000 0 år Fit 0 år 20 år fit 20 år 40 år fit 40 år 60 år fit 60 år 80 år fit 80 år 99 år fit 99 år Figur 7. Faktiske og estimerede log dødelighedsrater, 1903-2001, for udvalgte aldersgrupper for kvinder Faktiske og estimerede dødelighedsrater 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 0 år fit 0 år 20 år fit 20 år 40 år fit 40 år 60 år fit 60 år 80 år fit 80 år 99 år fit 99 år

Figur 8. Sammenligning af faktiske og estimerede log dødelighedsrater ordnet efter aldersgruppe for udvalgte år. Mænd. 12 Aldersspecifikke log dødelighedsrater 10 8 6 4 1903 1925 1950 1975 2001 2 0 0 20 40 60 80 100 120 Aldersgruppe Figur 9. Sammenligning af faktiske og estimerede log dødelighedsrater ordnet efter aldersgruppe for udvalgte år. Kvinder. 12 Aldersspecifikke log dødelighedsrater 10 8 6 4 2 1903 1925 1950 1975 2001 0 0 20 40 60 80 100 120 Aldersgruppe

Figur 10. Estimeret (1903-2001) og forecast (2002-2100) af mortalitetsindekset k med 95% konfidensgrænser. Mænd. Mortalitetsindeks k 100 50 0 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 2060 2080 2100-50 -100-150 -200-250 -300 Estimeret og forecasted k(t) 95% øvre grænse 95% nedre grænse Figur 11. Estimeret (1903-2001) og forecast (2002-2100) af mortalitetsindekset k med 95% konfidensgrænser. Kvinder. Mortalitetsindeks k 100 50 0 1900-50 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 2060 2080 2100-100 -150-200 -250-300 -350 Estimeret og forecasted k(t) 95% øvre grænse 95% nedre grænse

Figur 12. Middellevetid med 95% konfidensinterval for forecastperioden 2002-2100, Mænd 90 85 80 75 70 65 60 55 50 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 Middellevetid Øvre 95% konfidensgrænse Nedre 95% konfidensgrænse Figur 13. Middellevetid med 95% konfidensinterval for forecastperioden 2002-2100, Kvinder. 90 85 80 75 70 65 60 55 50 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 Middellevetid Øvre 95% konfidensgrænse Nedre 95% konfidensgrænse

Figur 14. Overlevelseskurver for udvalgte år, Mænd. 120000 100000 80000 60000 40000 2001 2020 2040 2060 2080 2100 20000 0 0 20 40 60 80 100 120 Aldersgruppe Figur 15. Overlevelskurver for udvalgte år, Kvinder. 120000 100000 80000 60000 40000 2001 2020 2040 2060 2080 2100 20000 0 0 20 40 60 80 100 120 Aldersgruppe

Tabel 1. Estimerede værdier af ax og bx for mænd og kvinder for 1903-2001 baseret på Lee-Carter metoden. Mænd Kvinder Mænd Kvinder Alder ax bx ax bx Alder ax bx ax Bx 0-3,43891 0,027662-3,7082 0,018326 50-4,91963 0,006337-5,16424 0,005752 1-5,798 0,033131-5,95118 0,021415 51-4,83383 0,006063-5,09693 0,005397 2-6,45058 0,028202-6,62694 0,018701 52-4,74481 0,006016-5,03108 0,005091 3-6,75453 0,02613-6,96854 0,017979 53-4,65149 0,005667-4,93461 0,005024 4-6,99964 0,025384-7,17773 0,017391 54-4,55494 0,005295-4,86337 0,004861 5-7,13967 0,024779-7,38513 0,017315 55-4,47459 0,004922-4,7878 0,004773 6-7,24025 0,024174-7,52562 0,017477 56-4,39082 0,00459-4,70589 0,00471 7-7,28675 0,023463-7,59636 0,017733 57-4,29426 0,004403-4,62244 0,004574 8-7,34007 0,022863-7,64655 0,017284 58-4,19917 0,004174-4,54348 0,004512 9-7,37579 0,022326-7,69225 0,016273 59-4,11269 0,003954-4,4545 0,004581 10-7,43845 0,022396-7,72378 0,015967 60-4,02129 0,003736-4,36293 0,0046 11-7,52233 0,022563-7,762 0,016116 61-3,93068 0,00353-4,27719 0,004447 12-7,5168 0,021817-7,7529 0,01641 62-3,84818 0,003355-4,17714 0,004526 13-7,38481 0,01996-7,6715 0,016358 63-3,75596 0,003273-4,08294 0,004591 14-7,22719 0,019171-7,52043 0,015667 64-3,66096 0,003205-3,99119 0,004622 15-7,05523 0,01833-7,35607 0,015832 65-3,57311 0,003073-3,89334 0,004749 16-6,86401 0,017009-7,22518 0,015839 66-3,48005 0,002882-3,80268 0,004803 17-6,66698 0,01574-7,11316 0,0157 67-3,39187 0,002786-3,70471 0,004875 18-6,48267 0,014178-7,02007 0,01551 68-3,30393 0,002842-3,60954 0,004912 19-6,37637 0,014429-6,96914 0,015787 69-3,20802 0,002711-3,48595 0,004711 20-6,33724 0,015494-6,96314 0,016402 70-3,11709 0,002701-3,4061 0,004934 21-6,32982 0,01621-6,95923 0,016722 71-3,02744 0,002735-3,30709 0,004943 22-6,34034 0,016617-6,90391 0,016837 72-2,93424 0,002767-3,20247 0,005053 23-6,35435 0,016401-6,86059 0,016742 73-2,84685 0,002825-3,10187 0,005209 24-6,34849 0,016095-6,84105 0,016885 74-2,75295 0,002815-3,00234 0,005325 25-6,32932 0,015732-6,80013 0,01692 75-2,68409 0,002153-2,89664 0,005287 26-6,33408 0,015306-6,76169 0,016411 76-2,57109 0,002988-2,7954 0,00515 27-6,33413 0,01536-6,71889 0,016184 77-2,47291 0,003014-2,69643 0,005117 28-6,29905 0,015367-6,65372 0,015795 78-2,38149 0,003057-2,60185 0,004993 29-6,26322 0,014995-6,57796 0,015164 79-2,28786 0,003169-2,49724 0,004982 30-6,23162 0,01478-6,53666 0,014906 80-2,20041 0,00331-2,39072 0,004948 31-6,20819 0,014207-6,5034 0,014364 81-2,1134 0,003313-2,29544 0,004796 32-6,19142 0,013729-6,42596 0,013665 82-2,02087 0,003285-2,19676 0,004639 33-6,14877 0,013281-6,37181 0,013369 83-1,93824 0,003469-2,09905 0,004516 34-6,09973 0,013068-6,31856 0,012968 84-1,85776 0,003551-2,00893 0,004346 35-6,04437 0,012943-6,24057 0,012343 85-1,77723 0,003357-1,92275 0,004112 36-5,98628 0,012416-6,17607 0,011772 86-1,69929 0,003152-1,83705 0,003816 37-5,91759 0,012117-6,10732 0,011163 87-1,61229 0,003326-1,74289 0,00365 38-5,84906 0,011625-6,03688 0,010635 88-1,52919 0,003425-1,64914 0,003548 39-5,78692 0,010835-5,95496 0,009957 89-1,45817 0,003233-1,57374 0,003237 40-5,71628 0,010257-5,89887 0,009347 90-1,38606 0,003201-1,4947 0,003087 41-5,65083 0,009891-5,84638 0,008892 91-1,30951 0,003097-1,41385 0,002909 42-5,57873 0,009458-5,77822 0,008337 92-1,23344 0,003002-1,3363 0,002771 43-5,50761 0,009009-5,69737 0,007731 93-1,16831 0,00315-1,26421 0,002716 44-5,43813 0,008663-5,60611 0,007332 94-1,10089 0,00315-1,19111 0,002596 45-5,35015 0,008459-5,54018 0,00726 95-1,03099 0,003059-1,12281 0,002543 46-5,2593 0,007907-5,48448 0,006828 96-0,96446 0,002919-1,05431 0,002439 47-5,17585 0,007309-5,39435 0,006181 97-0,90234 0,00282-0,99006 0,002388 48-5,09297 0,007246-5,30995 0,005993 98-0,84949 0,003043-0,93242 0,002449 49-5,005 0,006926-5,23827 0,005964 99-0,79737 0,003328-0,86921 0,002343

Tabel 2. Fremskrivninger af aldersbetingede restlevetider for mænd. 2001 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2075 2100 0 år 74,64674 75,90348 76,62092 77,28601 77,91107 78,50506 79,07453 79,89301 81,18729 1 år 74,05745 75,08426 75,74293 76,36832 76,96658 77,54247 78,09974 78,90695 80,19248 5 år 70,1425 71,11572 71,76386 72,38226 72,97588 73,54869 74,1039 74,90923 76,19332 10 år 65,1892 66,1417 66,78249 67,39562 67,98545 68,55555 69,10882 69,91221 71,19462 20 år 55,41249 56,25541 56,87272 57,4673 58,04246 58,60093 59,14498 59,93798 61,20934 30 år 45,80227 46,46385 47,04049 47,60227 48,15101 48,6882 49,21512 49,98851 51,23856 40 år 36,3182 36,76109 37,29107 37,81349 38,32903 38,83824 39,34158 40,08635 41,30237 50 år 27,29233 27,44512 27,90748 28,36894 28,82951 29,28917 29,74785 30,43378 31,57003 60 år 19,0365 19,04058 19,41923 19,80126 20,18648 20,57465 20,96551 21,55617 22,54946 70 år 11,95581 12,17996 12,48705 12,79868 13,11462 13,43459 13,75829 14,25007 15,08328 80 år 6,71579 7,148782 7,391993 7,638893 7,889214 8,142652 8,398882 8,7877 9,444568 90 år 3,388888 3,750079 3,889614 4,030617 4,172858 4,316095 4,46008 4,676923 5,038602 99 år 1,093 1,17058 1,186125 1,200935 1,215046 1,228492 1,241303 1,259396 1,286782 Tabel 3. Fremskrivninger af aldersbetingede restlevetider for kvinder. 2001 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2075 2100 0 år 79,21198 80,11013 81,04454 81,92204 82,7515 83,5396 84,29133 85,3587 86,99733 1 år 78,58311 79,3769 80,24151 81,06739 81,8587 82,61862 83,34956 84,39551 86,01443 5 år 74,67189 75,42905 76,27935 77,09485 77,87864 78,6331 79,36008 80,40203 82,01737 10 år 69,70646 70,4581 71,30124 72,11134 72,89105 73,64243 74,3671 75,4066 77,01961 20 år 59,81615 60,53065 61,35725 62,15455 62,92437 63,66812 64,38688 65,41997 67,02655 30 år 49,97019 50,63445 51,43687 52,21559 52,97114 53,70394 54,4143 55,43832 57,03593 40 år 40,26893 40,86565 41,62825 42,374 43,10227 43,81249 44,50417 45,50602 47,07817 50 år 30,95263 31,49565 32,19773 32,88857 33,56704 34,23212 34,8829 35,83054 37,32858 60 år 22,24769 22,7886 23,41679 24,03697 24,64795 25,24865 25,83809 26,69925 28,06731 70 år 14,58825 14,99188 15,51092 16,02495 16,53291 17,03385 17,52688 18,2499 19,40534 80 år 8,438558 8,515147 8,857207 9,198586 9,538607 9,876628 10,21203 10,70898 11,51635 90 år 4,0181 4,09967 4,249124 4,399215 4,549676 4,700251 4,850685 5,075533 5,446182 99 år 1,16907 1,17541 1,188207 1,200501 1,212309 1,223652 1,234548 1,250091 1,274001

Tabel 4. Fremskrivninger af antal overlevende til en given alder ud af 100000 fødsler. Mænd. 2001 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2075 2100 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 0 år 99649,88 99762,06 99840,78 99893,46 99928,71 99952,3 99968,08 99982,53 99993,6 1 år 99628,6 99748,64 99832,49 99888,33 99925,54 99950,34 99966,87 99981,94 99993,42 5 år 99575,1 99711,54 99807,14 99871,01 99913,7 99942,25 99961,34 99978,81 99992,21 10 år 99523,88 99674,37 99780,51 99851,94 99900,05 99932,47 99954,33 99974,57 99990,37 20 år 99242,51 99449,67 99602,61 99710,99 99788,3 99843,81 99883,94 99924,69 99962,18 30 år 98731,72 99038,03 99273,95 99448,71 99579,05 99676,9 99750,81 99829,88 99908,33 40 år 97796,45 98245,39 98607,07 98887,85 99107,45 99280,39 99417,43 99572,8 99741,48 50 år 95139,28 95847,15 96453,58 96955,51 97374,42 97726,63 98024,71 98391,16 98843,05 60 år 87349,82 88473,32 89498,62 90403,15 91206,93 91925,55 92571,4 93424,92 94600,54 70 år 68512,22 70087,97 71606,93 73020,17 74341,14 75580,44 76746,54 78373,32 80801,89 80 år 36910,68 38738,94 40599,16 42419,66 44202,29 45948,07 47657,53 50153,97 54133,4 90 år 8274,167 9342,599 10521,87 11768,04 13078,34 14449,47 15877,7 18118,08 22076,08 99 år 419,8659 549,5495 715,1993 916,4662 1157,724 1443,294 1777,361 2377,998 3673,097 Tabel 5. Fremskrivninger af antal overlevende til en given alder ud af 100000 fødsler. Kvinder. 2001 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2075 2100 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 0 år 99572,75 99667,64 99757,22 99822,65 99870,45 99905,37 99930,87 99956,84 99980,32 1 år 99539,18 99642,6 99739,86 99810,62 99862,11 99899,59 99926,87 99954,54 99979,4 5 år 99473,8 99591,43 99702,2 99782,92 99841,74 99884,6 99915,85 99947,58 99976,17 10 år 99426 99553,47 99673,76 99761,61 99825,78 99872,65 99906,89 99941,77 99973,35 20 år 99277,25 99433,68 99582,43 99692 99772,72 99832,23 99876,1 99921,3 99962,98 30 år 99028,62 99233,95 99430,58 99576,6 99685,04 99765,6 99825,48 99887,77 99946,1 40 år 98351,2 98653,05 98951,3 99181,11 99358,62 99496,09 99602,86 99720,49 99841,93 50 år 96224,25 96705,37 97207,85 97621,35 97963,72 98248,93 98487,95 98778,23 99129,97 60 år 90872,25 91657,56 92521,72 93275,64 93937,16 94520,7 95037,93 95709,75 96610,28 70 år 78867,04 80272,95 81886,41 83356,39 84698,43 85925,87 87050,17 88564,63 90697,16 80 år 53969,36 56380,9 59266,84 62008,37 64605,91 67061,18 69376,84 72596,31 77321,31 90 år 16845,24 18734,13 21188,52 23728,82 26336,55 28993,59 31682,45 35739,37 42441,54 99 år 1136,913 1407,775 1808,566 2284,211 2840,202 3481,145 4210,621 5475,958 8046,416