Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00
Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 11 med i alt 13 spørgsmål. De 18 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point. Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler: ost kvittering pris-afsætning
Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 10.00 Opgave 1 Værdien af en bil aftager eksponentielt og er illustreret grafisk herunder og i bilag 1. 350000 værdi i kr. 300000 250000 200000 150000 100000 50000 2 4 6 8 10 år a) Bestem halveringstiden for bilens værdi. Bilag 1 kan benyttes. Opgave 2 1 2 En funktion f har forskriften f ( x) = x 8x + 2. a) Bestem f '( x) og undersøg, om f har ekstremum i x = 4. 2 Opgave 3 a) Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende: definitionsmængden er Dm ( f ) = [ 8;7 ] funktionen har nulpunkt i x = 2 funktionen har en vandret tangent i x = 3 Bilag 2 kan benyttes.
Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider Opgave 4 2 a) Undersøg, om x = 4 er løsning til ligningen x = 2 ( x + 3) + x. Opgave 5 I en produktionsvirksomhed kan den marginale omsætning omkostninger forskrifterne 1 R m ( x) = x + 350, 0 < x < 35 000 100 R m (i mio. kr.) og de marginale C m (i mio. kr.) ved produktion af en vare beskrives ved funktionerne med C m ( x) = 100, 0 < x < 35000 hvor x er produktionsstørrelsen. 400 mio. kr 300 Rm m 200 100 Cm m 10000 20000 30000 40000 10000 20000 30000 40000 prod.størrelse Den optimale produktionsstørrelse er den x-værdi, hvor den marginale omsætning er lig de marginale omkostninger. a) Bestem den optimale produktionsstørrelse. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Side 3 af 8 sider Side 3 af 8 sider Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 13.00 Opgave 6 0,75 2 5 0,25 a) Løs ligningen m (800 m) = 0 eventuelt ved hjælp af et CAS-værktøj. n 1,02 1 b) Ligningen 10000 = 400 0,02 er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 3 kan benyttes. n 1,02 1 10000 = 400 0,02 Ligningen er skrevet op. 10000 0,02 = 1,02 400 n 1 n 1,02 = 1,5 n ln( 1,02) = ln(1,5) n = 20,48
Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider Opgave 7 En virksomhed producerer og sælger en vare. Omsætningen R (i 1000 kr.) og omkostningerne C (i 1000 kr.) kan bestemmes ved funktionerne med forskrifterne 2 R ( x) = x + 30x, 0 x 30 3 2 C ( x) = 0,04x 1,2 x + 20x + 50, 0 x 30 hvor x angiver afsætningen i tons. Overskuddet kan bestemmes ved overskud = omsætning - omkostninger a) Gør rede for, at overskuddet P (i 1000 kr.) kan beskrives ved funktionen med forskriften 3 2 P ( x) = 0,04x + 0,2x + 10x 50, 0 x 30 og bestem, i hvilket interval overskuddet er positivt. b) Bestem den afsætning, der giver maksimalt overskud og bestem dette overskud. 1000 kr. 300 C 200 R 100 P afsætning 10 20 30
Side 5 af 8 sider Side 5 af 8 sider Opgave 8 I koordinatsystemet er grafen for en funktion f og for den afledede funktion f ' vist. y A B x 10 16 22 a) Gør rede for, hvilken af de to grafer A eller B, der viser grafen for funktionen f. Opgave 9 Et mejeri producerer en bestemt ost, der sælges i 800 grams indpakninger. I en stikprøve registreres vægten af 150 tilfældigt udvalgte oste. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ost. Vægt 798 792 809 : a) Lav en grafisk præsentation af fordelingen af ostenes vægte. b) Bestem følgende 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af ostenes vægte: gennemsnit, median og 25%-fraktilen. Antag, at ostenes vægte er normalfordelt med middelværdi μ = 800 gram og spredning σ = 12 dvs. X ~ N (800,12). gram c) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 gram. d) Skriv en kort sammenfatning til mejeriets kontrolchef, hvor du præsenterer resultatet af dine svar til spørgsmålene a), b) og c).
Side 6 af 8 sider Opgave 10 En dagligvarebutik påstår, at hvorvidt der er fejl på en kvittering eller ej er uafhængigt af, om varen er en udsalgsvare eller ikke en udsalgsvare. Dagligvarebutikken udtager derfor en stikprøve på 564 kvitteringer. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen kvittering. Varer Fejlstatus Ikke udsalg Ikke fejl Ikke udsalg Ikke fejl Ikke udsalg Fejl Udsalg Fejl : : a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra stikprøven. Ikke udsalg Udsalg Total Fejl Ikke fejl Total 564 b) Undersøg med et signifikansniveau på 5%, om dagligvarebutikkens påstand er sand.
Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 11A En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem pris og afsætning på et af deres produkter. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen pris-afsætning. Afsætning i stk. Pris i kr. 12 000 125 11 500 140 10 000 155 : : a) Lav et xy-plot af sammenhængen mellem afsætning i stk. x og pris i kr. y, og opstil en lineær regressionsmodel p ( x) = ax + b, der beskriver denne sammenhæng. b) Benyt p til at bestemme afsætningen ved en pris på 150 kr. Opgave 11B Sofie ønsker at låne 60 000 kr. Banken tilbyder Sofie et lån, der skal tilbagebetales over 5 år med en fast månedlig ydelse og en månedlig rente på 0,7%. a) Bestem den månedlige ydelse på lånetilbuddet. Imidlertid viser det sig, at Sofie kun har råd til en fast månedlig ydelse på 1000 kr., hvilket indebærer, at banken så kræver 0,8% i månedlig rente. b) Bestem antal ydelser på lånet under de nye vilkår.
Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Opgave 11C En virksomhed producerer og afsætter to typer etuier til en bestemt type mobiltelefon: RUBBER og SKINLOOK. Lad x angive antal producerede og afsatte RUBBER og lad y angive antal producerede og afsatte SKINLOOK. Produktionen er underlagt følgende kapacitetsbegrænsninger: 10x + 20y 480 60x + 40y 1600 0 x 20 0 y 40 Dækningsbidraget på RUBBER er 10 kr. pr. stk. og dækningsbidraget på SKINLOOK er 15 kr. pr stk. Funktionen f ( x, y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag pr. dag. a) Bestem forskriften for funktionen f og tegn polygonområdet defineret ved ovenstående kapacitetsbegrænsninger. b) Bestem det antal producerede og afsatte RUBBER pr. dag og det antal producerede og afsatte SKINLOOK pr. dag, der giver virksomheden det største samlede dækningsbidrag pr. dag.
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Bilag 1 til opgave 1. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 350000 værdi i kr. 300000 250000 200000 150000 100000 50000 2 4 6 8 10 år
Bilag 2 til opgave 3. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 x -2-3 -4-5 -6-7 -8-9
Bilag 3 til opgave 6. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: n 1,02 1 10000 = 400 0,02 Ligningen er skrevet op. 10000 0,02 = 1,02 400 n 1 n 1,02 = 1,5 n ln( 1,02) = ln(1,5) n = 20,48