R bezeichnet. Ein 9HNWRU in diesem Raum ist ein n-tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen:

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1 *UDSKVFKH'DWHHUDUEHWJ für Vektoren und Matrizen rof. Dr.-Ing. Detlef Krömker *RHWKH8HUVWlWÃUDNIUW *UDSKVFKHÃ'DWHHUDUEHWJ 'HUNOGVFKH5D Ein n-dimensionaler NOGVFKHU5D sei mit R bezeichnet. Ein 9HNWRU in diesem Raum ist ein n-tupel, also eine geordnete iste reeller ahlen: R mit R, nennt man Koeffizienten oder Komponenten 2

2 einen Vektor nennen wir OOHNWRU 6SHHOOH9HNWRUH für einen Vektor gilt dann : Ein Vektor kann sowohl als unkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete inie vom Ursprung zu diesem unkt, also als Richtungsvektor, interpretiert werden. 3 Anmerkungen zum NOGVFKH5D Der NOGVFKH5D ist die Grundlage der klassischen HNOGVFKH*HRHWUH Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie, erstmals systematisch beschrieben in den OHHWHGHVNOG365v.Chr. 3 v.chr.. Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze und insbesondere auch das NOGVFKH3DUDOOHOHDR: Ä/HJWH3NW3FKWDIHHU*HUDGHJGDJEWHV JJHDHH3DUDOOHOHSGUFKGH3NW3³ 4 2

3 FKWHNOGVFKH5lH :HUGH*HRHWUHHUVWHKWGHUHUVWHKWDOOHVGHU:HOW Galileo Galilei Erst im 9. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die HOOSWVFKH *HRHWUH oder die KSHUEROVFKH*HRHWUHsystematisch zu beschreiben, in denen das euklidische arallelenaxiom FKW gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie. Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie. 5 Addition: + 2SHUDWRUHDI9HNWRUH NOGVFKH5D R Multiplikation mit einem Skalar D R : D D D D R 6 3

4 5HFKHUHJHOI U9HNWRURSHUDWRH NOGVFKH5D Assoziativgesetz Kommutativgesetz + + DE DE D + E D + E D + D + E Distributivgesetz Distributivgesetz 7 %HWUDJHHV9HNWRUV HJORU 2 Es gelten die folgende Regeln :,,, D D + + Dreiecksungleichung Cauchy Schwarz Ungleichung 8 4

5 6NDODUSURGNW NOGVFKH5D HUHV3URGNW3NWSURGNW Im Euklidischen Raum ist ein 6NDODUSURGNW definiert: Es gelten folgende Regeln: + + D D Die letzte Regel sagt: wei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander sind RUWKRJRDO, engl. perpendicular wenn ihr Skalarprodukt ist. 9 2UWKRJRDOH3URMHNWR HHV9HNWRUV Die orthogonale rojektion eines Vektors auf einen Vektor ist gleich mit Eine solche rojektion liefert eine orthogonale Dekomposition von in und, d.h. 5

6 *HRHWUVFKH,WHUSUHWDWRGHV 6NDODUSURGNWHV φ φ Der Vektor wird orthogonal auf den Vektor projiziert. 9HNWRUSURGNW.UHSURGNW Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im R 3 ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: 2 3 mit φ ist der kleinste Winkel zwischen und und sinφ, bilden ein Rechtssystem φ 2 6

7 7 3 JHVFKDIWHGHV9HNWRUSURGNWV + + E D E D zu sich das Kreuzprodukt orthonormalen Basis berechnet In einer sind parallel und 4 /HDUH8DEKlJJNHWR9HNWRUH G%DVVHHV9HNWRUUDHV Die Vektoren sind genau dann OHDUDEKlJJ, wenn gilt: Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig. Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine %DVVdes durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor dieses Raumes kann dann als inearkombination der Basisvektoren geschrieben werden:,,, R,,,

8 6SHHOOH%DVH Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt M M heißt RUWKRJRDO. Gilt zusätzlich, M M, M dann heißt diese Basis RUWKRRUDO. 5 :HWHUH5HJHO Für eine orthonormale Basis,,, und einen beliebigen Vektor SS S S gilt: S S Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis H, bei welcher der i-te Basisvektor H i in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist im dreidimensionalen: H, H H, H H H, 2 6 8

9 DWUH Unter einer DWUvom Typ m,n oder mxn-matrix versteht man ein rechteckiges Schema von ahlen,,,,, mit m eilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente MN reelle oder auch komplexe ahlen. M heißt quadratisch, wenn mn gilt. 9HNWRUH sind spezielle Matrizen vom Typ m,, genannt Spaltenvektoren oder,n, genannt eilenvektoren. 7 Die mxn - Matrix 2 Die nxn - Matrix heißt KHWVD WU Eine Matrix bei der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiago nalen gleich null sind, nennt heißt OODWU,,,, 6SHHOOHDWUH man Dreiecksma trix.,, 8 9

10 m T T kj 7UDVSRHUWHWUDVSRVH DGMJHUWH GDGMNWH DGMRW DWUH, die WUDVSRH UWH einer Matrix MN für alle k,,n, j,,m ÅHOHÃ GÃ6SDOWH HNWRUHÃV GÃHUWD VFKWÅ ist eine nxm - Matrix bei der gilt Geht man so erhält man die DGMJHUW H Matrix m kj Sei d ij M ij MN wenn man die i - te Reihe und die j - te Spalte die Elemente der DGMNWH a zusätzlich zu den konjugiert komplexen Werten über, für alle k, einer nxn - Matrix d + M M ij,n, j, die Subdetermi nante FRIDFWRU, die man erhält Matrix Ã,m $ DGM von streicht, dann sind 9 :HWHUHVSHHOOHDWUH Sei eine nxn-matrix. bezeichne die adjungierte Matrix für reelle Matrizen gilt T *: i A heißt genau dann VHOEVWDGMJHUWwenn * ii A heißt genau dann VFKHIDGMJHUWwenn -* iii A heißt genau dann WlU RUWKRJRDO, wenn * * iv A heißt genau dann RUDO, wenn * * Die Matrizen i-iii sind normal. 2

11 JHVFKDIWH WlUHU RUWKRJRDOHUDWUH Wenn eine unitäre orthogonale Matrix ist, dann gilt: ± 7 ist auch unitär orthogonal 7 wenn und unitär so ist auch unitär orthogonal orthogonal sind, 2 2UWKRRUDOH GRUWKRJRDOH DWUH Die Standardbasis H H H ist orthonormal, die Matrix ist orthogonal. Beachte : eine orthogonale Matrix ist etwas anderes als ein orthogonaler Satz von Vektoren Basis. Nicht jeder orthogonaler Satz von Vektoren Basis erzeugt eine orthogonale Matrix. 22

12 Für zwei mxn-matrizen und gilt komponentenweise Addition Rechenregeln: 2SHUDWRHDIDWUH $GGWR $ + mit Dij M + M für i,,m, j,,n / + + / SHUDWRHDIDWUH OWSONDWR6NDODUDWU Ein Skalar D und eine Matrix können multipliziert werden, so daß das rodukt 7 D mit W M D M Rechenregeln: D E DE D D + E D + E D + D + D 24 2

13 2SHUDWRHDIDWUH DWUDWU Für die pxq-matrix und die qxr-matrix also für verkettete Matrizen ist das roduktmatrix 7 eine pxr-matrix mit 7 7 mit t S, T T S,,, S, M, U, T, U S, T T, T, U ij, M T T S,, U, U Rechenregeln: / / / + / + gilt nicht allgemein 25 'HWHUDWHHHUDWU Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert: det ' für n für n π sgnπd 2 ist 3 ist 2 D 22 m,m, m det ' det ' n sgn π das Vorzeichen der entsprechenden ermutation D sind die ermutationen der ahlen,2,,n und 2 22 mit

14 6SU7UDFHHHUDWU Unter der Spur tr der nxn-matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente: WU D + D D 27 :HWHUHJHVFKDIWH GHU'HWHUDWH Für 3x3-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spaltenvektoren mit,,, dann gilt :,, Eine Basis ist genau dann rechtshändig right-handed, wenn ihre Determinante positiv ist E E E > Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig left-handed 28 4

15 5HFKHUHJHOI U'HWHUDWH Für eine nxn Matrix gilt D D 7 Eine Determinante verändert ihr Vorzeichen, wenn man zwei Spalten oder zwei eilen miteinander Eine Determinante verändert sich nicht, vertauscht. wenn man zu einer eile Spalte das Vielfache einer anderen addiert. Eine Determinante ist gleich null, wenn sie zwei gleiche eilen oder Spalten besitzt. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem rodukt der Diagonalelemente. 29,HUVH HHUDWU existiert nur für quadratische Matrizen deren Determinante ist. Dann gilt NM DGM MN oder 5HFKHUHJHO

16 JHHUWHGJHHNWRUH Es sei $ eine nxn - Matrix,, λ ein Skalar. nennt man JHHNRU und λ, JHHUW $ λ charakteristische Gleichung der Matrix $,wenn 3 6