- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK"

Transkript

1 - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Termodynamik og Statistisk mekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1977 til januar 2013 Redigeret af Lyt Baden og Bo Jakobsen august 2013 nr. 495a

2 Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK Roskilde Tel: Fax: Opgavesamling til Termodynamik og Statistisk mekanik Redigeret af Lyt Baden & Bo Jakobsen, august 2013 IMFUFA tekst nr. 495a/ sider ISSN: Denne tekst indeholder eksamensopgaver i termodynamik og statistisk mekanik stillet i perioden januar 1977 til januar Tekst nr. 495 består af tre dele: Nr. 495a: Opgavesamling til Termodynamik og Statistisk mekanik Nr. 495b: Opgavesamling til Elektrodynamik og Relativitetsteori Nr. 495c: Opgavesamling til Kvantemekanik Tilsammen indeholder de opgaverne fra tekst nr. 429/2004, 406/2001 og 25/1980 og erstatter dermed disse. I en længere periode bestod eksamenssættene til de såkaldte dybdekurser af opgaver i flere teoribygninger. I denne tekstserie (495 a c) er disse opgaver fordelt i de relevante tekster. Ønsker man at studere de originale, samlede eksamenssæt, henvises til tekst nr. 429/2004. En del af eksamenssættene findes på engelsk, dels fra eksamener, som blev givet på engelsk, og dels fra senere oversættelser.

3 Indhold Januar 1977: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 1979: Termodynamik og generel dynamik (Dansk) Juni 1981: Termodynamik (Dansk) Januar 1988: Termodynamik (Dansk) Juni 1988: Termodynamik (Dansk) Juni 1989: Statistisk mekanik (Dansk) Januar 1992: Termodynamik (Dansk) Juni 1992: Termodynamik (Dansk) Januar 1993: Termodynamik (Dansk) January 1993: Thermodynamics (English translation) Januar 1994: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Juni 1994: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 1996: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Juni 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 2000: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 2002: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Januar 2004: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2004: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Januar 2006: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Juni 2006: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) June 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Januar 2008: Golden Sheet (Dansk) Januar 2008: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2008: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Januar 2009: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2009: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Efterår 2009: Golden Sheet (Dansk) Januar 2010: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2010: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Autumn 2010: Golden Sheet (English) Januar 2011: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2011: Thermodynamics and statistical mechanics (English)

4 4 INDHOLD Juni 2011: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) June 2011: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Autumn 2011: Golden Sheet (English) Januar 2012: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2012: Thermodynamics and statistical mechanics (English) Juni 2012: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) June 2012: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Autumn 2012: Golden Sheet (English) Januar 2013: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) January 2013: Thermodynamics and statistical mechanics (English)

5 Januar 1977: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 5

6 6 Januar 1977: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

7 Januar 1977: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 7

8 8

9 Januar 1979: Termodynamik og generel dynamik (Dansk) 9

10 10 Januar 1979: Termodynamik og generel dynamik (Dansk)

11 Januar 1979: Termodynamik og generel dynamik (Dansk) 11

12 12 Januar 1979: Termodynamik og generel dynamik (Dansk)

13 Juni 1981: Termodynamik (Dansk) 13

14 14 Juni 1981: Termodynamik (Dansk)

15 Juni 1981: Termodynamik (Dansk) 15

16 16

17 Januar 1988: Termodynamik (Dansk) 17

18 18 Januar 1988: Termodynamik (Dansk)

19 Juni 1988: Termodynamik (Dansk) 19

20 20 Juni 1988: Termodynamik (Dansk)

21 Juni 1989: Statistisk mekanik (Dansk) 21

22 22 Juni 1989: Statistisk mekanik (Dansk)

23 Januar 1992: Termodynamik (Dansk) 23

24 24 Januar 1992: Termodynamik (Dansk)

25 Juni 1992: Termodynamik (Dansk) 25

26 26

27 Januar 1993: Termodynamik (Dansk) 27

28 28 Januar 1993: Termodynamik (Dansk)

29 January 1993: Thermodynamics (English translation) 29 Thermodynamics Tuesday January 12, 1993 Translated by Bo Jakobsen (Autumn 2010) The course was 9 ECTS points, and the exam an open book exam. The exam consists of 6 related problems. The molar entropy and energy is given by the following expression for an ideal gas: S = R ln(αvt µ ); u = RµT (1) where T is the absolute temperature, and v the molar volume. R is the gas constant, and α and µ are substance dependent constants. 1) State the value for µ of an mono-atomic ideal-gas. Furthermore, state for any value of µ the molar specific heat at constant pressure and volume. Two containers, both with volume V, are connected by a narrow tube through which a reversible working pump can transport gas from one container to the other. The volume of the tube can be neglected. 2) State the total entropy S and energy U, when container 1 contains n (1 + ɛ) mole and container 2 contains n (1 ɛ) mole of the ideal gas, and when both containers are in thermal equilibrium with a heat reservoir at temperature T. 3) Show that S is maximal for ɛ = 0, and state an approximated expression for S when ɛ 1, by Taylor expansion to 2. order in ɛ. 4) The system is isolated when it is in the state with temperature T and displacement parameter ɛ. The passage trough the tube is now opened, allowing the gas to flow freely from one container to the other. Give the temperature T, entropy S, and energy U for the new equilibrium state. 5) If one now uses the pressure difference for performing reversible work on the surroundings (instead of free flow as in 4) ), what is the temperature T, entropy S and energy U of the final state. 6) The pressure difference is now (like in problem 5) used for reversible work, but we let the containers have a heat conducting contact to a heat reservoir throughout the whole process, so that the temperature is fixed at T. Will the system under this process receive or give up heat to the heat reservoir? (Justify your answer). 1

30 30

31 Januar 1994: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 31

32 32

33 Juni 1994: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 33

34 34

35 Januar 1996: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 35

36 36 Januar 1996: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

37 Januar 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 37

38 38 Januar 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

39 Juni 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 39

40 40 Juni 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

41 Juni 1998: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 41

42 42

43 Januar 2000: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 43

44 44

45 Januar 2002: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 45

46 46 Januar 2002: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

47 Januar 2004: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 47

48 48 Januar 2004: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk)

49 January 2004: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) 49 Written 4 hour exam in Thermodynamics and statistical mechanics Thursday, January , at Translated by Bo Jakobsen (Autumn 2010) The course was 9 ECTS points. The exam consists of 2 problems. The weights of the problems are given. All usual helping aids are allowed. Problem 1 (50%) A system consists of three Ising spins σ 1, σ 2, and σ 3, which each can take the values +1 or 1. The system hence have 8 micro states. The energy of system is, in a given state, given by: E = J(σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 σ 2 σ 3 ) + m B B i σ i (1) with J a positive constant, m B is the Bohr magneton and B is an external magnetic field. In part a) to d) we have B = 0. a) Show that the system has 6 states with energy J, and 2 states with energy +3J. Preferably give a physical interpretation of the two types of states. b) Calculate the energy and specific heat of the system as function of temperature. c) Calculate the entropy of the system as function of temperature. d) Find the entropy in the limit T 0 and in the limit T, and give a physical interpretation of the results. e) Now let B > 0. State the entropy of the system in the limit T 0. 1

50 50 January 2004: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Problem 2 (50%) We consider a mono-atomic ideal gas. a) Derive an expression for the isothermal compressibility, κ T. b) Show that the adiabatic compressibility is given by κ S = 3 5 P 1. We now consider a system consisting of two chambers, one of which can change its volume by use of a piston: Each chamber is filled with a mono-atomic ideal-gas, and the (fixed) partition between the chambers is a good thermal conductor. N 1 and N 2 are the numbers of particles in chamber 1 and 2 respectively. V 1 and V 2 are the volumes of chamber 1 and 2 respectively. V 1 is constant and V 2 can be changed by the piston. T 1 and T 2 are the temperatures in chamber 1 and 2 respectively. c) We now let the total system be in good thermal contact with the surroundings, and define a isothermal compressibility for chamber 2 (P 2 is the pressure in chamber 2): κ T,2 1 ( ) V2 (2) V 2 P 2 Calculate κ T,2 and compare it to κ T for the mono-atomic ideal-gas. d) The total system is now isolated from the surroundings, and we define a adiabatic compressibility for chamber 2: κ S,2 1 ( ) V2 (3) V 2 P 2 (Note that it is the total entropy that is kept constant). Derive an expression for κ S,2. e) Give κ S,2 in the limit of N 1 N 2 and in the limit N 1 N 2, and give a physical interpretations of the results. T S 2

51 Januar 2006: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 51 Ì ÊÅÇ Æ ÅÁÃÇ ËÌ ÌÁËÌÁËÃÅ Ã ÆÁÃ Ì Ö º¾  ÒÙ Ö¾¼¼ к½¼º¼¼¹½ º¼¼ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌË ÆÌ Ê Ë Ö ØÐ ¹Ø Ñ Ö ÔÖ Ú ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð ÖØ ÐРغ ÇÔ Ú ØØ Ø ØÖ ØÓÓÔ Ú ÖºÎ ØÒ Ò Ö Ò Ú ØÔÓÔ Ú ÖÒ º ØØ Ö Ñ ØØ Ö¹ÔÐ Ö Ö Ö ØÔÐ Ø Ð Ø ØÓÑÔ Ò ØØ Ö¹ÔÐ µ ÇÔ Ú ½ ¼±µ Î ØÖ Ø Ö ÒÑÓ Ð ÚÓÖ ÒØ ØÓÑ Ö Ò Ö Ø½¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÑÐ Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ð Ø Ò Ö Ð ǫº Ð ÓÔ Ú Ò Ö ØØ Ò Ò Ø ØÝÔ Ú ÐÚ Ö Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ó Ò Ñ ǫø ÐØ Ð Ø Ò Ò ÑÐ Ò Ö ÚÓÖǫ Ö ÒÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒغÁ Ö Ø ÀÚ ØÓÒ ÓÔÐ Ö ØØ Ö Ø Ö Ø Ø ØÓÑ Ö Ö ØØ Ò Ö Ò ǫó ½Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ö Ò0ǫº Ö Òºµ Ö Ò Ý Ø Ñ Ø ÒØÖÓÔ Ø ÖÑ Ð Ú Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ¹ µ Ö ÒÑ Ð Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ð Ú Ø ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙ¹ µî Ø Ý Ø Ñ Ø Ö Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ö Ò 2ǫ Ø Ð Ø Ò Ñ ØÙÖ Òº Ó Ú Ò Ý ÚÓÖδ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ ÐÐ Ö ÒÙкÁ Ø Ð ÓÔ Ú Ò Ö Ò Ö Ò ÓÖØÓÐ Ò Ò Ö ÙÐØ Ø ÖÒ º ÖÒ ÓØ Ð ÒÚ Ú Ö ØØ Ø Ö ÔδØ ÐØ Ð Ø Ò Ò ÑÐ Ò Ö ÁÑÓ ÐÐ ÒÑ Ø ÒÙ ØÓÑ ÖÒ ÒØ Ö Ø ÓÒÑ Ú Ò ÀÚ Ø ØÓÑ µ Ò ÒØÖÓÔ Ò ÖÒ ÒT 0Ó ÖÒ ÒT Ø Ð Ø Ò Ò Ø Ö ØÓÚ Ò ÓÖ Ð ǫ + µ Ò Ú ÒØÖÓÔ Ò Ý Ø Ñ Ø ÖÒ ÒT 0 ÓÖ Ò ÓÐ Ú δ>0 ½ Ó δ< 0º 2δº

52 52 Januar 2006: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Ó ÒØ Ò Ù Ú Ð Ó ÒØ ÒÓ Ò ÓØ ÖÑ ÓÑÔÖ Ð Ø Ø ÇÔ Ú ¾ ¼±µ µî Ø Ö Ò Ö ÐØ Ð Ö Ð Ò ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐ ÑØÖÝ Ø Ò Ò ¹ Ø Ý Ø ÑÑÓ ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ø Ð Ø Ò ÙÑ ÚÓÖX bó y ÖÔÓ ¹ ½µ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Öµ ¾µ ÓÔ ÝÐ ÖÐ Ò Ò ½µº ] Ò Ö Ø ÖÑ Ð Ú Øº µ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ò Ó Ø ÖÚ ØØ Ð Ø Ò Ð Ò Ò Ò N Z T y 2 Ò 0 ÚÓÖE Ö Ý Ø Ñ Ø ÒØ ÖÒ µî Ø Ö ÓÖÑÓ ÐÐ Ò Ð Ö( E = T SÓÔ ÝÐ Ö Ò Ò Ö ÐÐ ÑÑ Ò¹ µ Ø ÑC PÓ C V µ Ø ÑÑÓ ÐÐ Ò Ø ÓÑÔÖ Ð Ø Ø κ S ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ P Ó Vº Ø ÖÚ Ø Ø ÙÒ Ò Ù ØÖÝ ÓÖκ Ø ÖÒ bó y µ Ú Ò Ý ÓÖØÓÐ Ò Ò ÑÓ ÐÐ ÒºÀÚ Ö ÓÖØÓÐ Ò Ò Ò ÓÒ Ø Ò¹ µ C P ( ) P T V = α P κ T [ (V Nb) = X N V ) T V αp 2 κs = κt ¾

53 January 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) 53 Written 4-hour exam in: Thermodynamics and Statistical mechanics Tuesday January 24, 2006, at Translated by Bo Jakobsen The course was 9 ects points The exam consists of 2 problems. The weights of the problems are given. All usual helping aids are allowed. Problem 1 (50%) We consider a model where 3 identical atoms are in a one-dimensional lattice with 5 lattice-positions (there can only be one atom per lattice-position). If two neighbor places in the lattice both are occupied by an atom this contributes ɛ to the total energy of the state (ɛ is a positive constant). In the first part of the problem this is the only type of interaction in the model, and the total energy of the sketched state is therefore ɛ. a) Show that the system has 3 states with energy 2ɛ, 6 states with energy ɛ and one state with energy 0ɛ. b) Calculate the mean energy in thermal equilibrium as function of temperature. c) Calculate the entropy of the system in thermal equilibrium as function of temperature. d) Find the entropy in the limit T 0 and in the limit T, give an physical interpretation of the results. The interaction of the atoms with the wall are now included in the model; If an atom is neighbor to a wall this gives a contribution of δ to the total energy of the state (δ is a constant different from 0). The energy of the sketched states is therefore now ɛ + 2δ. e) State the entropy of the system in the limit T 0 for δ > 0 and δ < 0 respectively. 1

54 54 January 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Problem 2 (50%) a) Show that the following general relation between the pressure coefficient, the thermal expansion coefficient and the isothermal compressibility holds: ( ) P = α P (1) T κ T A system is modeled by the following partition function (where X, b and y are positive constants): Z = V [ ] N (V Nb) X T y/2 (2) N b) Determine the equation of state for this system, and show that the equation of state fulfills equation (1). c) Show that for this model ( ) E V = 0, where E is the internal energy of the T system in thermal equilibrium. d) Determine C P and C V e) For the model, determine the adiabatic compressibility, κ S, as function of P and V. Show that the found expression for κ S fulfills the general relation κ S = κ T T V α2 P C P (3) f) Give a physical interpretation of the model. What is the interpretation of the constants b and y? Added hints in the translation: You may use that: C P = C V + T V α2 P κ T (4) 2

55 Ì ÊÅÇ Æ ÅÁÃÇ ËÌ ÌÁËÌÁËÃÅ Ã ÆÁà ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌË ÆÌ Ê Ö º ÂÙÒ ¾¼¼ к½¼º¼¼¹½ º¼¼ Ë Ö ØÐ ¹Ø Ñ Ö ÔÖ Ú ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð ÖØ ÐРغ ÇÔ Ú ØØ Ø ØÖ ØÓÓÔ Ú ÖºÎ ØÒ Ò Ö Ò Ú ØÔÓÔ Ú ÖÒ º ÚÓÖaÓ α ÖÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Ö ÇÔ Ú ½ ¼±µ ØØ ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ö Ö Ø Ö Ö ØÚ Ð Ò ÒØÖÓÔ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓØ ÖÑ ÓÑÔÖ Ð Ø Ø Ö Ú Ú bó λ ÖÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Öµ ½µ ¾µ S(T, V ) = at α V. µ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ò º )º pº º Ò Ú Ö Ú Ø ØØÖÝ Ø ÖÑÓ ÒÙÐ ÖÒ ÒT 0Ó V ÚÓÐÙÑ ÒÒ Ö Ò º µ Ò Ú ÑÑ Ò Ò ÒÑ ÐÐ ÑÌÓ ÎÚ ÒÖ Ú Ö Ð Ø µí Ð ØÙ ØÖÝ ÓÖ Ý Ø Ñ Ø Ó Ö Ù Ú Ð Ó ÒØ α pº Vº µ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø ÒØ ÖÒ Ò Ö E(T, V µ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø Ó ÓÖ Ú ÖÑ Ô Ø Ø C ÒÓÚ Ö º Ö ÖN ÒØ ØÓÑ Ö ÓÑ Ò ÓÖ Ö ÔM ÓÖ Ð¹ ÇÔ Ú ¾ ¼±µÎ ØÖ Ø Ö ÒÑÓ Ð ÓÖ ÓÖ Ø ÓÒ ØÓÑ ÖÔ µ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø Ó Ö Ú ÖÑ Ô Ø Ø C Ö Ø Ö Ö ØÚ Ò Ö Ò1ǫÓ ¼± ØÝÔ Ò Ö Ø Ö Ö ØÚ Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ½± ØÝÔ Ò Ö Ø Ö Ö ØÚ Ò Ö Ò0ǫ ± ØÝÔ Ò ¹ 2ǫº µ Ò Ý Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ò ÙÑ ÒØ ÐÒÖÑ Ð ÖÙ ÒÝØØ Ö 1µº Ö Ö ØÝÔ Ö ÓÖ Ø ÓÒ ¹ Ð ÔÙÒ Ø ÖÔÓÚ Ö Ò M >> N >> µ Ò Ý Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÖÑ Ð Ú Ø Ó ÓÑÑ ÒØ Ö ÖÒ ÖÒ µ Ò Ú ÓÖ ÓÐ ØÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÐÐ Ø ØÓÑ Ö ÓÖ Ö Ø ØÝÔ Ó 1 ÒÒ Ø ÐÒÖÑ Ð Ò ÒÚ Ò Ö Ø Ò ÓÔ Ú Òµº º º M >> N >> ÔÙÒ Ø ÖºÃÓÑÑ ÒØ Ö ÖÒ ÖÒ T 0Ó T ½ º ǫ T 0Ó T µàú ÖÚ ÖÑ Ô Ø Ø Ò ÖÒ ÒkT << µ Ò Ú Ý Ø Ñ Ø ÒØÖÓÔ ÖÒ ÒT Juni 2006: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 55 κ T = bv λ,

56 56

57 June 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) 57 Written 4-hour exam in: Thermodynamics and Statistical mechanics Friday June 9, 2006, at Translated by Bo Jakobsen The course was 9 ects points The exam consists of 2 problems. The weights of the problems are given. All usual helping aids are allowed. Problem 1 (60%) A thermodynamical system is characterized by the following entropy function, where a and α are positive constants: S(T, V ) = at α V. The isothermal compressibility is given by (b and λ are positive constants): κ T = bv λ, Furthermore, it is known that the pressure goes to zero in the limit T 0 and V. a) Determine the equation of state for the system. b) Derive an expression for the isobaric expansion coefficient, α p. c) Determine the internal energy of the system, E(T, V ). d) Determine the isochoric specific heat of the system, C V. e) Determine the isobaric specific heat of the system, C p. f) State the connection between T and V in a reversible volume change. 1

58 58 June 2006: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Problem 2 (40%) In the following we study a model for adsorption of atoms onto a surface. There are N identical atoms, which can be adsorbed at M different points on the surface (M N 1). There are three different kinds of absorptions points: 1% of type A characterized by an energy of 0ɛ, 9% of type B characterized by an energy of 1ɛ, and 90% of type C characterized by an energy of 2ɛ. a) Find the partition function for the system, in an approximation that utilizes M N 1 (this approximation can be used in the rest of the problem). b) State the ratio between the number of atoms adsorbed at type A and C points. Comment on the limits T 0 and T. c) Find the energy of the system when in thermal equilibrium, and comment on the limits T 0 and T. d) What is the specific heat in the limit k B T ɛ? e) State the entropy of the system in the limit T. 2

59 Januar 2008: Golden Sheet (Dansk) 59 Roskilde 17. januar 2008 Golden sheet, ver Termodynamik Termodynamikkens 1. lov: du = q + w = q pdv Termodynamikkens 2. lov (isoleret system): S 0, S = k ln Ω Termodynamikkens 3. lov: T 0 S 0, C x 0 Entropitilvækst ved tilført varme: ds q T ds = q (Quasistatisk, Reversibelt) T Ækvipartitionsprincippet: U = f Nk 2 BT, f = # frihedsgrader. Termodynamiske potentialer: Potentiale Dierentialform Maxwell relation U du = +T ds P dv + µdn ( T V H = U + P V dh = +T ds + V dp + µdn ( T P F = U T S df = SdT P dv + µdn ( S V G = U + P V T S = µn dg = SdT + V dp + µdn ( S P Linære responsefunktioner (dn=0): Varmekapacitet C v = ( ) U T Udvidelseskoecient α p = + 1 V Kompressibilitet κ T = 1 V Bulkmodul ) Trykkoecient = T ( ) S ( V T V ) ( T P V ) P T K T = V ( ) P = 1 V T κ T β V = ( P T V V ) = ( ) P ) S,N S = + ( ) V ) S,N S = + ( ) P ) T,N T = ( ) V T,N T C p = ( ) H = T ( ) S T ( P T α S = 1 V ) V ( T S κ S = 1 V ) V P S K S = V ( ) P = 1 V S κ S β S = ( ) P T dv = 0: Isochor; dp = 0: Isobar; dt = 0: Isoterm; ds = 0: Adiabat Z betragtes som en funktion af X og Y : ( Z X ) Y = [( X Z ) Y ] 1 = ( Z Q ) Y ( Q X ) Y Z = Z(X, Y ) dz = ( ) Z X Y dx + ( ) Z Y X ) dy / ( ) Y Z Z. ( ( Z ) ) ( Z ) X X Y X X = ( Y X S Y = ( Y P V,N P,N V,N P,N Y ) X.

60 60 Januar 2008: Golden Sheet (Dansk) Golden sheet, ver Side 2 af 2 2 Statistisk mekanik I termisk ligevægt med omgivelserne: p(s) = e βe(s) Z, β 1 k B T Tilstandssummen: Z = s e βe(s) ( s p(s) = 1) Middelværdi af variablen A: A = s A(s)p(s) = s Middelenergi: U = E = ln(z) β = 1 Z Z β A(s) e βe(s) Z Helmholtz fri energi: F = k B T ln(z) Skelnelige, uafhængige "partikler": Z = Z 1 Z 2 Z 3 Z 4... (E = E 1 + E 2 + E 3 + E ) Uskelnelige, uafhængige partikler: Z = Z N 1 /N! Gibb's statistik, KUN FOR 9 ECTS: I termisk og diusiv ligevægt med omgivelserne: p(s) = e β(e(s) µn(s)) /Z Gibbssummen: Z = s e β(e(s) µn(s)) ( s p(s) = 1) 3 Matematik Binomial-koecienten: ( ) N n = N! n!(n n)! Stirling: ln(n!) N ln(n) N (N >> 1) Taylor udvikling: f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) 3! (x a) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x sin(x) = x x3 3! + x5 5!... cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! x = 1 + x + x2 + x 3 + x ) = α(α 1)(α 2)...(α n+1) (1 + x) α = n=0 ( α n) x n, hvor ( α n 0 x n exp( ax 2 I(n,a) ) = I(n, a), a = I(n + 2, a) I(0, a) = 1 2 πa 1/2 I(2, a) = 1 4 πa 3/2 I(4, a) = 8 3 πa 5/2 I(1, a) = 1 2 a 1 I(3, a) = 1 2 a 2 I(5, a) = a 3 4 Ideal-gas pv = Nk B T = nrt, Z = 1 N! ( V Zint v Q ) N, vq = n! Adiabat: pv γ = const, γ = C P ( ) 3 h 2πmkT C V = f+2 f 5 Konstanter k B = J/K = ev/k R = J/(mol K) N A = h = J s = ev s 1 atm = bar = N/m 2 = Pa 1 ev = J 1 u = kg

61 Januar 2008: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 61 Skriftlig 4-timers prøve i TERMODYNAMIK OG STATISTISK MEKANIK Fredag d. 18 Januar 2008, kl Opgavesættet består af tre opgaver på to sider. Vægtning er angivet på opgaverne. Skriveredskaber og en simpel lommeregner tilladt. Golden Sheet vedlagt. Ingen øvrige hjælpemidler tilladt. 7.5 ECTS (Bachelorkurset) Opgave 1 (40%) Vi betragter et system bestående af N uafhængige magnetiske spin. Placeret i et magnetfelt af størrelsen B har hvert enkelt spin tre mulige tilstande med energierne henholdsvis +µ B B, 0 og µ B B, hvor µ B er Bohr s magneton. a) Opskriv tilstandsummen Z for det samlede system bestående af N uafhængige spin. b) Beregn Helmholtz fri energi F for systemet. c) Beregn systemets entropi som funktion af temperaturen. d) Find entropien i grænsen T 0 og i grænsen T, og giv en fysisk fortolkning af resultaterne. e) Vi betragter nu et system identisk med det ovenstående, bortset fra at energierne af de tre tilstande for de enkelte spin nu er givet ved henholdsvis +µ B B, µ B B og µ B B. Angiv entropien af systemet i grænsen T 0. Opgave 2 (20%) a) Bevis formlen:. b) Bevis formlen:. < E >= 1 Z Z β C v = < E2 > < E > 2 k B T 2 1

62 62 Januar 2008: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Opgave 3 (40%) a) Vis at der generelt gælder følgende sammenhæng mellem den adiabatiske udvidelseskoefficient, den isochore varmekapacitet og den isochore trykkoefficient: α S = C v. (1) T V β V Vi betragter nu en gas med følgende tilstandsligning, hvor a og b er positive konstanter: p = Nk ( ) BT N 2 V Nb a. (2) V Gassens indre energi er givet ved: U = f 2 Nk BT N a N V (3) b) Beregn gassens isochore trykstigningskoefficient β V. c) Beregn gassens adiabatiske udvidelseskoefficient α S. d) Gassen placeres i en beholder der er termisk isoleret fra omgivelserne. Vha. et stempel øges beholderens volumen nu langsomt med 5%. Opskriv et udtryk for den resulterende temperaturændring. e) Vi ser nu på samme proces som i spørgsmål d), men gassen er nu en diatomisk ideal-gas. Start-temperaturen er 30 C. Hvad er slut-temperaturen? 2

63 January 2008: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) 63 Written 4-hour exam in: Thermodynamics and Statistical mechanics Friday January 18, 2008, at Translated by Bo Jakobsen The exam consists of three problems on two pages. The weights of the problems are given. Writing aids and a simple calculator are allowed. The Golden sheet is included with this exam. No further helping aids are allowed. 7.5 ECTS (Bachelor course) Problem 1 (40%) Consider a system consisting of N independent magnetic spins. They are placed in a magnetic field of size B and each spin has three possible states with energy: +µ B B, 0, and µ B B respectively (µ B is the Bohr magneton). a) State the partition function, Z, for the total system consisting of N independent spins. b) Calculate the Helmholtz free energy, F, for the system. c) Calculate the entropy of the system as function of temperature. d) Find the entropy in the limit T 0 and in the limit T, give a physical interpretation of the results. e) We now consider a system identical to the one treated above, except for the energies of the three states of the individual spins, which now are given by +µ B B, µ B B, and µ B B respectively. State the entropy in the limit T 0. 1

64 64 January 2008: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) Problem 2 (20%) a) Prove the formula: E = 1 Z Z β. (1) b) Prove the formula: C V = E2 E 2 k B T 2. (2) Problem 3 (40%) a) Show that the following general relation holds between the adiabatic thermal expansion coefficient, the isochoric specific heat, and the isochoric pressure coefficient: α S = C V T V β V. (3) We now consider a gas with the following equation of state (a and b are positive constants): P = Nk ( ) 2 BT N V Nb a. (4) V The thermal energy of the gas is given by: U = f 2 Nk BT Na N V. (5) b) Calculate the isochoric pressure coefficient, β V, of the gas. c) Calculate the adiabatic thermal expansion coefficient, α S, of the gas. d) The gas is placed in a container which is thermally isolated from the surroundings. The volume of the container is now slowly increased by 5% utilizing a piston. Give an expression for the resulting temperature change. e) We now consider the same process as in question d), however the gas is now a diatomic ideal gas. Initial temperature is 30 C. What is the end temperature? 2

65 Januar 2009: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) 65 Skriftlig 4-timers prøve i TERMODYNAMIK OG STATISTISK MEKANIK Onsdag d. 21 Januar 2009, kl Opgavesættet består af tre opgaver på to sider. Vægtning er angivet på opgaverne. Skriveredskaber og en simpel lommeregner tilladt. Golden Sheet vedlagt. Ingen øvrige hjælpemidler tilladt. Opgave 1 (30%) a) Vis at der generelt gælder følgende sammenhæng mellem den adiabatiske trykstigningskoefficient β S, den isobare varmekapacitet og den isobare udvidelseskoefficient: β S = C p. (1) T V α p b) Vi betragter nu en diatomisk idealgas. Udled et udtryk for β S som funktion af p og T. c) Den diatomiske idealgas placeres i en beholder der er termisk isoleret fra omgivelserne. Begyndelses-temperaturen er 30 C. Vha. et stempel øges trykket i beholderen nu langsomt med 7%. Hvad er den resulterende temperatur? Ville den resulterende temperatur være større hvis der var tale om en monoatomisk idealgas? Opgave 2 (30%) a) Bevis Maxwell relationen: ( ) S P T,N = ( ) V T P,N (2) b) Bevis formlen: p = k BT Z ( ) Z V T c) Opskriv Z for en monoatomisk idealgas (se golden sheet), og eftervis at denne opfylder ovenstående formel (3). (3) 1

66 66 Januar 2009: Termodynamik og statistisk mekanik (Dansk) Opgave 3 (40%) Vi betragter et system bestående af 2 identiske atomer der befinder sig i et to dimensionelt gitter med 9 pladser. Når de to atomer er nærmeste naboer (ikke diagonalt) bidrager dette med ɛ til tilstandens energi. Et atom der befinder sig på randen bidrager med δ til tilstandens energi. Der er ikke andre bidrag til systemets energi. ɛ er en positiv konstant. δ = 0 i opgave a), b) og c). a) Vis at systemet har 36 tilstande ialt. Vis at systemet (δ = 0) har 12 tilstande med energien ɛ. b) Beregn middelenergien i termisk ligevægt som funktion af temperaturen T. (δ = 0). c) Find middelenergien i grænserne T 0 og T, og giv en fysisk fortolkning af resultaterne. (δ = 0). d) Angiv entropien i grænserne T 0 og T for δ = 0. Angiv entropien i grænsen T 0 for henholdsvis δ > 0 og δ < 0. 2

67 January 2009: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) 67 Written 4-hour exam in: Thermodynamics and Statistical mechanics Friday January 21, 2009, at Translated by Bo Jakobsen The course was 7.5 ECTS. The exam consists of three problems on two pages. The weights of the problems are given. Writing aids and a simple calculator are allowed. The Golden sheet is included with this exam. No further helping aids are allowed. Problem 1 (30%) a) Show that the following relation is true in general: β S = C P T V α P (1) with β S the adiabatic (isentropic) pressure coefficient, C P the isobaric specific heat and α P the isobaric thermal expansion coefficient. b) Consider now a diatomic ideal gas. Derive an expression for β S as function of P and T for this gas. c) The diatomic ideal gas is placed in a container which is thermally isolated from the surroundings. The initial temperature is 30 C. The pressure in the container is now raised slowly by 7%, using a piston. What is the resulting temperature? Would the resulting temperature be greater if it was a mono-atomic ideal gas? Problem 2 (30%) a) Prove the Maxwell relation: ( ) S P T,N ( ) V = T P,N (2) b) Prove the formula: P = k BT Z ( ) Z V T (3) 1

68 68 January 2009: Thermodynamics and statistical mechanics (English translation) (c) The partition function, Z, is for an ideal gas given by: Z = 1 ( ) N ( ) 3 V Zint h, v Q = (4) N! 2πmkT v Q show that it satisfies the above equation (3). Problem 3 (40%) Consider a system consisting of two identical atoms in a two dimensional lattice with 9 places. When the two atoms are nearest neighbors (not on a diagonal) they contribute ɛ to the energy of the state. An atom on the edge contributes δ to the energy of the state. No other energy contributions exist. ɛ is a positive constant. In part a), b), and c) we have δ = 0 a) Show that the system has 36 states altogether. Show that the system (δ = 0) has 12 states with energy ɛ. b) Calculate the mean energy in thermal equilibrium as function of temperature T (δ = 0). c) Find the mean energy in the limit T 0 and T, and give a physical interpretation of the result (δ = 0). d) Find the entropy in the limits T 0 and T for δ = 0. Find the entropy in the limit T 0 for δ > 0 and δ < 0 respectively. 2

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),

Læs mere

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the

Læs mere

Help / Hjælp

Help / Hjælp Home page Lisa & Petur www.lisapetur.dk Help / Hjælp Help / Hjælp General The purpose of our Homepage is to allow external access to pictures and videos taken/made by the Gunnarsson family. The Association

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Aktivering af Survey funktionalitet

Aktivering af Survey funktionalitet Surveys i REDCap REDCap gør det muligt at eksponere ét eller flere instrumenter som et survey (spørgeskema) som derefter kan udfyldes direkte af patienten eller forsøgspersonen over internettet. Dette

Læs mere

The X Factor. Målgruppe. Læringsmål. Introduktion til læreren klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen

The X Factor. Målgruppe. Læringsmål. Introduktion til læreren klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen The X Factor Målgruppe 7-10 klasse & ungdomsuddannelser Engelskundervisningen Læringsmål Eleven kan give sammenhængende fremstillinger på basis af indhentede informationer Eleven har viden om at søge og

Læs mere

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com. 052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov.

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. På dansk/in Danish: Aarhus d. 10. januar 2013/ the 10 th of January 2013 Kære alle Chefer i MUS-regi! Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. Og

Læs mere

Unitel EDI MT940 June 2010. Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004)

Unitel EDI MT940 June 2010. Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004) Unitel EDI MT940 June 2010 Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004) Contents 1. Introduction...3 2. General...3 3. Description of the MT940 message...3 3.1.

Læs mere

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ

Læs mere

To the reader: Information regarding this document

To the reader: Information regarding this document To the reader: Information regarding this document All text to be shown to respondents in this study is going to be in Danish. The Danish version of the text (the one, respondents are going to see) appears

Læs mere

Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17)

Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Campus Lørdag, den 15. Januar 2005 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Kære Omdeler Julen venter rundt om hjørnet. Og netop julen er årsagen til, at NORDJYSKE Distributions mange omdelere har ekstra travlt med at

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Den ny havn i Tejn Havn Bornholms Regionskommune er gået i gang med at udvide Tejn Havn, og det er med til at gøre det muligt, at vi kan være

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande

Læs mere

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):

Læs mere

deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j

deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ

Læs mere

Boligsøgning / Search for accommodation!

Boligsøgning / Search for accommodation! Boligsøgning / Search for accommodation! For at guide dig frem til den rigtige vejledning, skal du lige svare på et par spørgsmål: To make sure you are using the correct guide for applying you must answer

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 11. juni Opgavesættet består af 4 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

Statistik for MPH: 7

Statistik for MPH: 7 Statistik for MPH: 7 3. november 2011 www.biostat.ku.dk/~pka/mph11 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:

Læs mere

Nanotermodynamik formelsamling

Nanotermodynamik formelsamling Nanotermodynamik formelsamling Af Asmus Ougaard Dohn & Sune Klamer Jørgensen 2. november 2005 ndhold 1 Kombinatorik 2 2 Termodynamik 3 3 deal gasser: 5 4 Entropi og temp.: 7 5 Kemisk potential: 7 6 Gibbs

Læs mere

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer.

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. What is a continuous variable? Give two illustrations. 2 Hvorfor kan man bedre drage konklusioner

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 English version further down Der bliver landet fisk men ikke mange Her er det Johnny Nielsen, Søløven, fra Tejn, som i denne uge fangede 13,0 kg nord for

Læs mere

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Modtager man økonomisk støtte til et danseprojekt, har en premieredato og er professionel bruger af Dansehallerne har man mulighed for

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Den første dag i Bornholmerlaks konkurrencen Formanden for Bornholms Trollingklub, Anders Schou Jensen (og meddomer i TMB) fik

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

Bachelorprojekt. Forår 2013 DMD10

Bachelorprojekt. Forår 2013 DMD10 + Bachelorprojekt Forår 2013 DMD10 +! 1. Om at skrive bachelorprojekt! 2. Typer af bachelorprojekter! 3. To eksempler på DMD-projekter! 4. Overvejelser over samarbejdsformer, proces, sprog! 5. ITUs generelle

Læs mere

Calculus II Project. Calculus II Projekt. (26.3.2012 12.00 to 30.3.2012 12.00) (26.3.2012 12.00 til 30.3.2012 12.00)

Calculus II Project. Calculus II Projekt. (26.3.2012 12.00 to 30.3.2012 12.00) (26.3.2012 12.00 til 30.3.2012 12.00) Calculus II Project Calculus II Projekt (26.3.212 12. to 3.3.212 12.) (26.3.212 12. til 3.3.212 12.) You have to solve the project questions on your own, i. e. you are not allowed to do it together in

Læs mere

Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level.

Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level. Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level Application form Must be completed on the computer in Danish or English All

Læs mere

Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August Application form

Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August Application form Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August 2017 Application form Must be completed on the computer in Danish or English All fields are mandatory PERSONLIGE

Læs mere

Nyhedsmail, november 2013 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, november 2013 (scroll down for English version) Nyhedsmail, november 2013 (scroll down for English version) Kære Omdeler Uret er stillet til vintertid, og antallet af lyse timer i døgnet er fortsat faldende. Vintermørket er kort sagt over os, og det

Læs mere

JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM

JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ

Læs mere

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0 Userguide NN Markedsdata for Microsoft Dynamics CRM 2011 v. 1.0 NN Markedsdata www. Introduction Navne & Numre Web Services for Microsoft Dynamics CRM hereafter termed NN-DynCRM enable integration to Microsoft

Læs mere

The River Underground, Additional Work

The River Underground, Additional Work 39 (104) The River Underground, Additional Work The River Underground Crosswords Across 1 Another word for "hard to cope with", "unendurable", "insufferable" (10) 5 Another word for "think", "believe",

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 English version further down Johnny Nielsen med 8,6 kg laks Laksen blev fanget seks sømil ud for Tejn. Det var faktisk dobbelthug, så et kig ned i køletasken

Læs mere

GUIDE TIL BREVSKRIVNING

GUIDE TIL BREVSKRIVNING GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for

Læs mere

Reexam questions in Statistics and Evidence-based medicine, august sem. Medis/Medicin, Modul 2.4.

Reexam questions in Statistics and Evidence-based medicine, august sem. Medis/Medicin, Modul 2.4. Reexam questions in Statistics and Evidence-based medicine, august 2013 2. sem. Medis/Medicin, Modul 2.4. Statistics : ESSAY-TYPE QUESTION 1. Intelligence tests are constructed such that the average score

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Motorway effects on local population and labor market

Motorway effects on local population and labor market Motorway effects on local population and labor market Per Homann Jespersen Associate Professor, Roskilde University Jean P. Endres phd student, Roskilde University Trafikdage 23-08-16 Motorways and the

Læs mere

Measuring the Impact of Bicycle Marketing Messages. Thomas Krag Mobility Advice Trafikdage i Aalborg, 27.08.2013

Measuring the Impact of Bicycle Marketing Messages. Thomas Krag Mobility Advice Trafikdage i Aalborg, 27.08.2013 Measuring the Impact of Bicycle Marketing Messages Thomas Krag Mobility Advice Trafikdage i Aalborg, 27.08.2013 The challenge Compare The pilot pictures The choice The survey technique Only one picture

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7 English version further down Så var det omsider fiskevejr En af dem, der kom på vandet i en af hullerne, mellem den hårde vestenvind var Lejf K. Pedersen,

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Sæsonen er ved at komme i omdrejninger. Her er det John Eriksen fra Nexø med 95 cm og en kontrolleret vægt på 11,8 kg fanget på østkysten af

Læs mere

Chengdu FASE 2 - VALGMODUL KINA INFORMATION, VEJLEDNING OG DOKUMENTER

Chengdu FASE 2 - VALGMODUL KINA INFORMATION, VEJLEDNING OG DOKUMENTER Chengdu FASE 2 - VALGMODUL KINA INFORMATION, VEJLEDNING OG DOKUMENTER FASE 2 - INFORMATION, VEJLEDNING OG DOKUMENTER INFORMATION, VEJLEDNING OG DOKUMENTER Vi behandler de indkomne ansøgninger hurtigst

Læs mere

ATEX direktivet. Vedligeholdelse af ATEX certifikater mv. Steen Christensen stec@teknologisk.dk www.atexdirektivet.

ATEX direktivet. Vedligeholdelse af ATEX certifikater mv. Steen Christensen stec@teknologisk.dk www.atexdirektivet. ATEX direktivet Vedligeholdelse af ATEX certifikater mv. Steen Christensen stec@teknologisk.dk www.atexdirektivet.dk tlf: 7220 2693 Vedligeholdelse af Certifikater / tekniske dossier / overensstemmelseserklæringen.

Læs mere

Statistik for MPH: oktober Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: , )

Statistik for MPH: oktober Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: , ) Statistik for MPH: 7 29. oktober 2015 www.biostat.ku.dk/~pka/mph15 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:

Læs mere

Timetable will be aviable after sep. 5. when the sing up ends. Provicius timetable on the next sites.

Timetable will be aviable after sep. 5. when the sing up ends. Provicius timetable on the next sites. English Information about the race. Practise Friday oct. 9 from 12.00 to 23.00 Saturday oct. 10. door open at 8.00 to breakfast/coffee Both days it will be possible to buy food and drinks in the racecenter.

Læs mere

Opgaver til Fysik 3 Termodynamik

Opgaver til Fysik 3 Termodynamik Opgaver til Fysik 3 Termodynamik Disse opgaver er taget fra forskellige kilder. Nomenklaturen kan derfor afvige fra lærebogens. Opgave 1 What is the probability of getting either a seven or a six when

Læs mere

Varenr.: 553925 90 højre 553926 90 venstre 554027 90º højre med coating 554028 90º venstre med coating

Varenr.: 553925 90 højre 553926 90 venstre 554027 90º højre med coating 554028 90º venstre med coating DK GH Skiftespor Varenr.: 55395 90 højre 55396 90 venstre 55407 90º højre med coating 55408 90º venstre med coating 553991 60º højre 553995 60º venstre 551058 60º højre med coating 551059 60º venstre med

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Status på det trådløse netværk

Status på det trådløse netværk Status på det trådløse netværk Der er stadig problemer med det trådløse netværk, se status her: http://driftstatus.sdu.dk/?f=&antal=200&driftid=1671#1671 IT-service arbejder stadig med at løse problemerne

Læs mere

Kenneth Steenberg Jaquet Brandrådgiver

Kenneth Steenberg Jaquet Brandrådgiver Min baggrund: 1998 2007 Beredskabschef Rosenholm/Rønde Kommuner (nu Syddjurs) Brandteknisk byggesagsbehandling Indsatsledelse 2007 2009 Beredskabsinspektør Odense Brandvæsen Brandteknisk byggesagsbehandling

Læs mere

DONG-område Resten af landet

DONG-område Resten af landet TDC A/S regulering@tdc.dk Fremsendes alene via mail Tillægsafgørelse vedrørende fastsættelse af priser for BSA leveret via TDC s fibernet 1 Indledning traf fredag den 15. april 2011 LRAIC-prisafgørelse

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Gadeoptræden.... er meget velkommen på byens gågader og pladser. Læs reglerne her...

Gadeoptræden.... er meget velkommen på byens gågader og pladser. Læs reglerne her... Gadeoptræden... er meget velkommen på byens gågader og pladser Læs reglerne her... Gadeoptræden er meget velkommen på byens gågader og pladser uden tilladelse, så længe du tager hensyn og følger et sæt

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Statistical information form the Danish EPC database - use for the building stock model in Denmark

Statistical information form the Danish EPC database - use for the building stock model in Denmark Statistical information form the Danish EPC database - use for the building stock model in Denmark Kim B. Wittchen Danish Building Research Institute, SBi AALBORG UNIVERSITY Certification of buildings

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Trolling Master Bornholm 2013 Husk at tjekke jeres reservationer! Vi ved, at der er nogen, som har lavet reservationer af overnatning, og at

Læs mere

Titel: Hungry - Fedtbjerget

Titel: Hungry - Fedtbjerget Titel: Hungry - Fedtbjerget Tema: fedme, kærlighed, relationer Fag: Engelsk Målgruppe: 8.-10.kl. Data om læremidlet: Tv-udsendelse: TV0000006275 25 min. DR Undervisning 29-01-2001 Denne pædagogiske vejledning

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Så er ballet åbnet, 16,64 kg: Det er Kim Christiansen, som i mange år også har deltaget i TMB, der tirsdag landede denne laks. Den måler 120

Læs mere

Strategic Capital ApS has requested Danionics A/S to make the following announcement prior to the annual general meeting on 23 April 2013:

Strategic Capital ApS has requested Danionics A/S to make the following announcement prior to the annual general meeting on 23 April 2013: Copenhagen, 23 April 2013 Announcement No. 9/2013 Danionics A/S Dr. Tværgade 9, 1. DK 1302 Copenhagen K, Denmark Tel: +45 88 91 98 70 Fax: +45 88 91 98 01 E-mail: investor@danionics.dk Website: www.danionics.dk

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Fortæl om Ausumgaard s historie Der er hele tiden snak om værdier, men hvad er det for nogle værdier? uddyb forklar definer

Læs mere

Eksempel på eksamensspørgsmål til caseeksamen

Eksempel på eksamensspørgsmål til caseeksamen Eksempel på eksamensspørgsmål til caseeksamen Engelsk niveau E, TIVOLI 2004/2005: in a British traveller s magazine. Make an advertisement presenting Tivoli as an amusement park. In your advertisement,

Læs mere

USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION

USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION USERTEC USER PRACTICES, TECHNOLOGIES AND RESIDENTIAL ENERGY CONSUMPTION P E R H E I S E L BERG I N S T I T U T F OR BYGGERI OG A N L Æ G BEREGNEDE OG FAKTISKE FORBRUG I BOLIGER Fra SBi rapport 2016:09

Læs mere

Managing stakeholders on major projects. - Learnings from Odense Letbane. Benthe Vestergård Communication director Odense Letbane P/S

Managing stakeholders on major projects. - Learnings from Odense Letbane. Benthe Vestergård Communication director Odense Letbane P/S Managing stakeholders on major projects - Learnings from Odense Letbane Benthe Vestergård Communication director Odense Letbane P/S Light Rail Day, Bergen 15 November 2016 Slide om Odense Nedenstående

Læs mere

FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve

FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Fremragende vejr og laks hele vejen rundt om øen Weekendens fremragende vejr (se selv de bare arme) lokkede mange bornholmske

Læs mere

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer. Indhold Vejledning til at, komme på nettet. (DANSK)... 2 Gælder alle systemer.... 2 Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.... 2 Windows 7... 2 Windows Vista... 2 Windows XP...

Læs mere

NOTIFICATION. - An expression of care

NOTIFICATION. - An expression of care NOTIFICATION - An expression of care Professionals who work with children and young people have a special responsibility to ensure that children who show signs of failure to thrive get the wright help.

Læs mere

Anvendt BioKemi: MM2. Anvendt BioKemi: Struktur. 1) MM2- Opsummering. Aminosyrer og proteiner som buffere

Anvendt BioKemi: MM2. Anvendt BioKemi: Struktur. 1) MM2- Opsummering. Aminosyrer og proteiner som buffere Anvendt BioKemi: Struktur 1) MM1 Intro: Terminologi, Enheder Math/ biokemi : Kemiske ligninger, syre, baser, buffer Små / Store molekyler: Aminosyre, proteiner 2) MM2 Anvendelse: blod som et kemisk system

Læs mere

applies equally to HRT and tibolone this should be made clear by replacing HRT with HRT or tibolone in the tibolone SmPC.

applies equally to HRT and tibolone this should be made clear by replacing HRT with HRT or tibolone in the tibolone SmPC. Annex I English wording to be implemented SmPC The texts of the 3 rd revision of the Core SPC for HRT products, as published on the CMD(h) website, should be included in the SmPC. Where a statement in

Læs mere

Financial Literacy among 5-7 years old children

Financial Literacy among 5-7 years old children Financial Literacy among 5-7 years old children -based on a market research survey among the parents in Denmark, Sweden, Norway, Finland, Northern Ireland and Republic of Ireland Page 1 Purpose of the

Læs mere

Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140

Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140 Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140 Læs vejledningen godt igennem før du begynder. Read the assembly instruction carefully before you start. OLIVER FURNITURE /

Læs mere

Remember the Ship, Additional Work

Remember the Ship, Additional Work 51 (104) Remember the Ship, Additional Work Remember the Ship Crosswords Across 3 A prejudiced person who is intolerant of any opinions differing from his own (5) 4 Another word for language (6) 6 The

Læs mere

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Improving data services by creating a question database Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Background Pressure on the students Decrease in response rates The users want more Why a question database?

Læs mere

MultiProgrammer Manual

MultiProgrammer Manual MultiProgrammer Manual MultiProgrammeren bruges til at læse og skrive værdier til ModBus register i LS Controls frekvensomformer E 1045. Dansk Version side 2 til 4 The MultiProgrammer is used for the writing

Læs mere

Matematiklærerdag 2008

Matematiklærerdag 2008 Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit

Læs mere

Must I be a registered company in Denmark? That is not required. Both Danish and foreign companies can trade at Gaspoint Nordic.

Must I be a registered company in Denmark? That is not required. Both Danish and foreign companies can trade at Gaspoint Nordic. General Questions What kind of information do you need before I can start trading? Please visit our webpage www.gaspointnordic.com under the heading How to become a participant Is it possible to trade

Læs mere

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Vi er nødsaget til at få adgang til din lejlighed!! Hvis Kridahl (VVS firma) har bedt om adgang til din/jeres lejlighed og nøgler,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

The size of the project.

The size of the project. Apartment type B System integrator - COWI Prices from 3-6 million kr. per The size of the project. Suppl. package kr. 400-1,000,000 Why smart-house? The most user-friendly bus- Delivered by DUPLINE The

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK

KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN

Læs mere

SEPA Direct Debit. Mandat Vejledning 2013.03.15. Nets Lautrupbjerg 10 DK-2750 Ballerup

SEPA Direct Debit. Mandat Vejledning 2013.03.15. Nets Lautrupbjerg 10 DK-2750 Ballerup SEPA Direct Debit Mandat Vejledning 2013.03.15 Nets Lautrupbjerg 10 DK-2750 Ballerup Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 1.1 Tilknyttet dokumentation... 3 1.2 Kontakt til Nets... 3 2. Krav til SEPA

Læs mere

Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320

Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320 *36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø

Læs mere

Løsning af skyline-problemet

Løsning af skyline-problemet Løsning af skyline-problemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Efter at have overvejet problemet en stund er min første indskydelse, at jeg kan opnå en løsning ved at tilføje en bygning til den aktuelle

Læs mere

Sport for the elderly

Sport for the elderly Sport for the elderly - Teenagers of the future Play the Game 2013 Aarhus, 29 October 2013 Ditte Toft Danish Institute for Sports Studies +45 3266 1037 ditte.toft@idan.dk A growing group in the population

Læs mere

Aquatic Ecology and Marine Biology

Aquatic Ecology and Marine Biology Faculty of Science and Technology University of the Faroe Islands Exam in Aquatic Ecology and Marine Biology 3527.11 29 February 2012 Kl. 9-13 The exam includes 4 tasks The students are allowed to answer

Læs mere

Brug af logbog i undervisning. Karen Lauterbach Center for Afrikastudier Adjunktpædagogikum 19. Juni 2013

Brug af logbog i undervisning. Karen Lauterbach Center for Afrikastudier Adjunktpædagogikum 19. Juni 2013 Brug af logbog i undervisning Karen Lauterbach Center for Afrikastudier Adjunktpædagogikum 19. Juni 2013 Motivation og projektidé Modsætning mellem undervisningsideal (deltagende og reflekterende studerende

Læs mere

Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student)

Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere