Vejledning til prøverne i faget matematik

Transkript

1 Vejledning til prøverne i faget matematik Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Center for Kvalitetsudvikling, Prøver og Eksamen Marts 2013

2 Indhold Forord Indledning...5 Prøvernes forskellige dele FSA Generelt om prøven Matematiske færdigheder Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder Endelig karakterfastsættelse Matematisk problemløsning Prøveoplægget Hjælpemidler Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning Karakterfastsættelse Mundtlig gruppeprøve Tekstopgivelser Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøveoplæg Hjælpemidler og it Prøvens forløb Vurderingskriterier Endelig karakterfastsættelse FS Generelt om de to dele af prøven Den skriftlige prøve Hvad adskiller prøven fra FSA Prøveoplægget Hjælpemidler...47 Side 2 af 97

3 Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik Karakterfastsættelse Den mundtlige gruppeprøve Generelt om den mundtlige prøve Prøveform A Prøveform B Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver Lærernes forberedelse og undervisning...97 Side 3 af 97

4 Forord 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag. Prøvebekendtgørelsen Formålet med denne vejledning er at præcisere og uddybe de prøvekrav, der stilles i prøvebekendtgørelsen, og at tydeliggøre den sammenhæng, der er mellem prøvebekendtgørelsen og folkeskolens formål, fagets formål, de centrale kundskabs- og færdighedsområder, slut- og trinmål samt den vejledende læseplan. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 4, skal lærer og elev løbende samarbejde om fastlæggelse af målene for elevens arbejde, og undervisningsformer, metoder og stofvalg skal i videst muligt omfang foregå i samarbejde mellem lærer og elever. Denne paragraf skal naturligvis ses i lyset af såvel den overordnede formålsbestemmelse samt formålet for faget matematik, de centrale kundskabs- og færdighedsområder og trin- og slutmål. Kravene i faget matematik, som de er beskrevet i Fælles Mål 2009 og prøvebekendtgørelsen, er grundlaget for tilrettelæggelsen af prøven i matematik. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 3 skal undervisningens indhold fastlægges således, at kravene ved prøverne i de enkelte fag kan opfyldes. Eleverne skal inden prøven orienteres om prøvekravene og vurderingskriterierne, og om hvordan prøvernes enkelte dele foregår. Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Center for Kvalitetsudvikling, Prøver og Eksamen Side 4 af 97

5 1. Indledning Prøven efter 9. klasse (FSA) og prøven efter 10. klasse (FS10) består hver især af både en skriftlig og en mundtlig del. Den mundtlige del af prøven er en gruppeprøve bl.a. fordi: Gruppeprøver er en vigtig øvelse i samarbejde og faglig sparring, som afspejler den virkelighed, eleverne blandt andet vil møde i deres videre uddannelse og på arbejdsmarkedet. Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppearbejde, dialog og idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en virkelighedsnær undervisning. Gruppeprøven giver eleverne mulighed for gennem diskussioner at behandle matematiske problemstillinger i en proces, hvor den enkelte elevs besiddelse af matematiske kompetencer og arbejdsmåder kan vurderes. Desuden er samarbejde nævnt i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder: arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål 2009 Selv om der i en del år ikke har været en mundtlig prøve i matematik efter 9. klasse, har det mundtlige arbejde i faget hele tiden været en del af både slut- og trinmål, og eleverne har hele tiden fået standpunktskarakterer i mundtlig matematik i 8. og 9. klasse. Gruppeprøven efter 9. klasse er i sin form som den tidligere gruppeprøve fra 1997, men indholdet er delvist anderledes, da prøverne skal evaluere elevernes opfyldelse af Fælles Mål Det er de matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder, eleverne prøves i. De otte matematiske kompetencer blev beskrevet første gang i faghæftet i 2003 og blev i Fælles Mål 2009 et af de fire centrale kundskabs- og færdighedsområder (CKF) og dermed en central del af mål og indhold i matematikundervisningen. Den mundtlige prøve efter 10. klasse er ligeledes en gruppeprøve, både prøveform A og B. Begge prøveformer skal ligesom i 9. klasse prøve eleverne i matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder. Prøvernes forskellige dele Den skriftlige del af FSA er en obligatorisk og bunden prøve og består af to dele: matematiske færdigheder af en times varighed og med en selvstændig karakter matematisk problemløsning af tre timers varighed og med en selvstændig karakter. Den mundtlige del af FSA er til udtræk i gruppen af naturfag sammen med geografi og biologi. Det betyder, at eleverne i cirka hver tredje 9. klasse skal aflægge prøve i mundtlig matematik. FS10 prøven er frivillig og består af en skriftlig og en mundtlig del med hver sin karakter. Side 5 af 97

6 Alle prøverne tager udgangspunkt i Fælles Mål De enkelte delprøver skal prøve eleverne i noget forskelligt og knytter derfor an til forskellige elementer af Fælles Mål. For at anskueliggøre, hvad de tre forskellige prøver i FSA skal kunne vurdere, kan der tages udgangspunkt i Jan de Langes Assessment Pyramide. Den vises herunder i oversat og bearbejdet form: Vurderingspyramiden Pyramiden illustrerer tre forskellige niveauer af matematisk tænkning, som kan bruges til at kategorisere de mål, vi knytter til matematikundervisningen. Det laveste niveau vedrører viden om objekter, definitioner, tekniske færdigheder og algoritmer. Det mellemste niveau sigter på sammenhængen mellem flere begreber eller procedurer, og det højeste niveau sigter på komplekse former for matematik, fx problemløsning, matematisk argumentation, modellering og generalisering. Inden for hvert niveau kan målene have forskellige sværhedsgrader - se de følgende eksempler. Det skal understreges, at pyramiden ikke skal forbindes med selve matematikundervisningen. Fx skal den ikke antyde en progression i elevernes udvikling af matematisk kunnen eller en fordeling af arbejdsmængden indenfor de tre forskellige niveauer af tækning. Pyramiden kan til gengæld bruges til at belyse relationen mellem de tre dele af folkeskolens afgangsprøve i matematik. FSA-prøven i matematiske færdigheder vil rumme flest opgaver, som er rettet mod niveau 1 og få opgaver, som er rettet mod niveau 2. Matematisk problemløsning har flest opgaver på niveau 2 med enkelte opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve skal vise elevernes viden og kunnen på niveau 3. Her er det de matematiske kompetencer og arbejdsmåder, der skal udgøre indholdet. De er temmelig vanskelige at prøve i de skriftlige prøver og passer bedst som hovedindhold i en mundtlig prøve. Side 6 af 97

7 Ved FS10 vil den skriftlige prøve ligeledes have hovedparten af opgaverne på niveau 2 og et mindre antal opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve vil som ved FSA prøve eleverne på niveau 3, matematiske kompetencer og arbejdsmåder. Eksempler fra FSA 2012 Niveau 1, reproduktion af viden og færdigheder Eksemplerne er fra prøven i matematiske færdigheder. Let Middel Svær Niveau 2, sammenhænge mellem begreber eller procedurer Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. Let Side 7 af 97

8 Middel Svær Niveau 3, komplekse former for matematisk virksomhed Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. Middel Side 8 af 97

9 Svær Der vil være to eksempler på mundtlige prøveoplæg på niveau 3 i afsnittet om den mundtlige prøve. 2. FSA 2.1 Generelt om prøven Folkeskolens afgangsprøve indeholder en skriftlig del med to prøver og en mundtlig del med en prøve: Matematiske færdigheder, der er skriftlig og bunden Matematisk problemløsning, der er skriftlig og bunden Mundtlig gruppeprøve til udtræk. Side 9 af 97

10 De to skriftlige prøver afholdes i forlængelse af hinanden og varer henholdsvis en time og tre timer. Den mundtlige prøve varer to timer. I særlige tilfælde kan en elev undtages fra en eller flere af prøvens tre dele. Det sker efter reglerne i prøvebekendtgørelsen: 14. Skolens leder skal tilbyde særlige prøvevilkår til elever med psykisk eller fysisk funktionsnedsættelse eller med andre specifikke vanskeligheder, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen. Det er en forudsætning, at der med tilbuddet ikke sker en ændring af prøvens faglige niveau. Stk. 2. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene. 15. Elever, for hvem prøveaflæggelse på grund af betydelig funktionsnedsættelse eller utilstrækkelige danskkundskaber ikke skønnes hensigtsmæssig, kan fritages for at aflægge folkeskolens obligatoriske afgangsprøver. Fritagelse kan omfatte en eller flere prøver eller delprøver. Stk. 2. Beslutningen om fritagelse forudsætter, at der er taget stilling til, om eleven vil kunne aflægge prøve på særlige vilkår, jf. 14. Der skal samtidig tages stilling til, hvordan elevens udbytte af undervisningen evalueres på anden vis. Stk. 3. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene. Prøvebekendtgørelsen De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission beskikket af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne i prøveoplægget ud fra Fælles Mål 2009 og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere. Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgiver ikke facitlister til de to skriftlige prøver. Det skyldes bl.a.: at der i færdighedsprøven kan forekomme flere resultater, der kan anses for korrekte at der i problemløsning skal bedømmes meget andet end facit. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne resultater, kan man deltage i et af de mange evalueringsmøder, der afholdes over hele landet i ugerne efter prøven, eller man kan følge med i diskussionerne om afgangsprøverne på SkoleKoms konference for matematiklærere. Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års afgangsprøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på Matematiske færdigheder 2.3. Til besvarelsen af prøven i matematiske færdigheder gives der 1 time Der prøves i de matematiske emner: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed samt enkel anvendelse af matematik Som hjælpemidler må der alene benyttes skrive- og tegneredskaber, dog ikke elektroniske Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Side 10 af 97

11 Prøven i matematiske færdigheder varer en time og indeholder 50 opgaver. Under prøven må eleven kun anvende skriveredskaber og tegneredskaber som for eksempel passer, lineal og vinkelmåler. Eleverne må selv vælge skriveværktøj. Alle færdighedsområder fra Fælles Mål 2009 s slutmål og trinmål efter 9.klasse kan indgå i prøven. Der prøves i de matematiske emner: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed samt i enkel anvendelse af matematik, som tilsammen dækker de to centrale kundskabs- og færdighedsområder: Matematiske emner og matematik i anvendelse. De fleste opgaver er på vurderingspyramidens niveau 1 med forskellige sværhedsgrader, og enkelte opgaver er på niveau 2. De fleste opgaver vil være traditionelle opgavetyper inden for et bredt udvalg af matematiske færdigheder. Det er dog ikke alle faglige områder inden for matematiske færdigheder, der prøves hvert år. En stor del af opgaverne kan med fordel løses ved hjælp uformelle metoder fx hovedregning og noter frem for standardiserede algoritmer og metoder. Kun løsninger på det udleverede ark vurderes. Der må kun være et svar på hver opgave, medmindre der kræves flere Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes matematiklærer. I vurderingen af elevens besvarelse ses alene på det resultat, der er anført. Løsningsmetoder og eventuelle mellemregninger er derfor uden for bedømmelse med mindre, der spørges om dette. Har en elev givet to forskellige svar på samme opgave, skal opgaven vurderes som forkert, hvis det ene svar er korrekt. Hver opgave, der er rigtigt besvaret, tildeles et point. Senest to uger efter prøvens afholdelse vil Kvalitetsog Tilsynsstyrelsen offentliggøre en omsætningstabel, som angiver karakteren for de forskellige pointintervaller. Der gives én karakter for prøven. Opgaveløsningerne vil ofte være entydige, men en del opgaver vil have flere løsningsmuligheder. Entydige resultater kan tit skrives på flere måder, der alle må anerkendes som korrekte. Eksempel: Reduktion af udtrykket: 6b + 3 (8a 2b) 2b. Følgende resultater skal alle betragtes som rigtige: 24 a 2 b ; 24a 2b ; -2 b + 24 a ; -2b + 24a ; -b 2 + a 24 ; a 24 b 2 Opgaver af nedenstående type kræver et resultat med anvendelse af variable, som dog ikke kræves reduceret til korteste form: Side 11 af 97

12 Medmindre der er stillet krav om en bestemt notationsform (for eksempel skriv som decimaltal ), må det accepteres, at samme resultat kan angives på forskellige måder. Det betyder for eksempel, at brøker ikke nødvendigvis skal forkortes eller om muligt omregnes til blandet tal, og at resultatet kan opgives som brøk, decimaltal eller procenttal. I forbindelse med tegning af geometriske figurer og lignende accepteres en vis usikkerhed. Ved måling på tegninger og aflæsning af grafer og diagrammer kan resultater inden for et passende interval godkendes. Hjælp til vurderingen af elevbesvarelser kan hentes flere steder. Ud over de før nævnte evalueringsmøder og SkoleKom-konferencen, kan evalueringen af tidligere års afgangsprøver være anvendelige. Disse såkaldte PEU-publikationer, kan findes på Endelig karakterfastsættelse Karakteren gives ud fra omsætningstabellen. Den endelige karakter gives efter en drøftelse mellem elevernes faglærer og den beskikkede censor. Da faglærer og censor retter og bedømmer både matematiske færdigheder og matematisk problemløsning, beskrives de nærmere regler i afsnit Matematisk problemløsning 2.7. Til besvarelsen af prøven i matematisk problemløsning gives der 3 timer Der prøves i anvendelse af matematik til behandling af problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og behandling af matematiske problemstillinger I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Prøveoplægget Prøven i matematisk problemløsning varer tre timer, og der gives en karakter. Side 12 af 97

13 Et prøveoplæg består et antal opgaver, der indeholder et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, mens et mindre antal er på niveau 1 og 3. De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra dagligliv, samfundsliv og/eller naturforhold, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng. Der vil være både åbne og lukkede opgaver. De kontekster, der vælges til de skriftlige afgangsprøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de er i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhåndskendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uafhængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden. Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven. Et prøvesæt i matematisk problemløsning vil indeholde både tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne. Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindelse med matematiske begreber og problemstillinger, og efterfølgende kan anvendes i kommunikationen af problemløsningen. Elever med særlige behov For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens afsluttende prøver på særlige vilkår. Disse beskrives i prøvebekendtgørelsens bilag 5 og i Vejledning om fravigelse af bestemmelserne ved folkeskolens afsluttende prøver, som begge kan findes på Der er også mulighed for at bestille specielt fremstillede prøvesæt hos Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. For elever, der af forskellige årsager ikke kan gennemføre en eller flere af folkeskolens obligatoriske prøver, er der mulighed for fritagelse, se prøvebekendtgørelsens bilag Hjælpemidler Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling. Prøvebekendtgørelsen Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, mobiltelefon, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen 10: Skolens leder skal sikre, at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres mobiltelefon som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler osv. Side 13 af 97

14 Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortrolige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få Formelsamling Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens formelsamling kan findes på Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens afsluttende prøver i matematik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at blive fortrolig med dens indhold og opbygning. Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden eksempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål 2009, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner. I forordet til formelsamlingen står der til eleverne: På højresiderne kan du bl.a.: skrive formlerne i den form, du er mest fortrolig med skrive dine egne eksempler på, hvordan formlerne bruges skrive andre formler, du mener, du kan få brug for Anvendelse af computer Eleverne må anvende computer ved prøven med den begrænsning, der fremgår af prøvebekendtgørelses 11 Stk. 2. Skolens leder kan beslutte at begrænse adgangen til at anvende elektroniske hjælpemidler, herunder medbragte elektroniske hjælpemidler, hvis det er nødvendigt af kapacitetsmæssige grunde. Ligeledes skal skolen leder sikre, at den ovenfor citerede 10 overholdes. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende, idet skolen sikrer, at der i det medbragte ikke findes programmer, der sætter eleven i stand til at kommunikere utilsigtet. Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere eller tablets, mobiltelefoner eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne. Side 14 af 97

15 Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens navn og nummer. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstændige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet. Implementeringen af Fælles Mål 2009 har bl.a. medført, at flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve, matematisk problemløsning med fordel kan løses ved hjælp af it. De skriftlige prøver i matematik giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver, eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram Kommunikation 2.9. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. Prøvebekendtgørelsen Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsenaf besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven Matematiske færdigheder. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonneopstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunikeres mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, og der må meget gerne være en variation i kommunikationen. Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA maj 2012: Opgave 1.2 Simons timeløn er 55,35 kr. og han forventer at tjene kr. i Hvor mange timer skal han arbejde i 2012? Simon skal arbejde ca. 434 timer Side 15 af 97

16 Opgave 1.4 Undersøgelse af Simons årsløn, hvis hans skattepligtige indkomst skal være kr., når beskæftigelsesfradraget er 4,4 % og arbejdsmarkedsbidraget er 8 %. Jeg bruger målsøgning i et regneark: Årsløn kr ,99 Beskæftigelsesfradrag kr ,35 Arbejdsmarkedsbidrag kr ,64 Skattepligtig indkomst kr ,00 Simons årsløn kan højst være ca kr. Opgave 4.4 A og D er forkerte. A er forkert, fordi der er en parentes, som gør, at noget bliver regnet sammen, før end det er meningen. D er forkert, fordi de sidste 0,25 kommer med i brøken, hvor de ikke hører hjemme. Opgave Opgaven er løst i programmet GeoGebra. Side 16 af 97

17 Det er ikke god kommunikation, hvis eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med Elevens aflevering af sin besvarelse Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestemt farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleveret ark indeholder følgende oplysninger: elevens navn elevens nummer ifølge karakterlisten skolens navn prøvens og opgavens art klasse eller hold arknummer og det samlede antal ark. Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Det er således ikke den enkelte side, der skal nummereres. Eleven afgør selv, hvilke ark der skal indgå i besvarelsen, og som afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af: håndskrevne ark udskrevne ark fra computer tegninger og grafer på specialpapir udfyldte svarark. Side 17 af 97

18 Det er vigtigt, at eleven sikrer sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Anvendes digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse. Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere: at alle identifikationsoplysninger er på besvarelsen at antallet af ark svarer til det i felterne noterede at arkene er fortløbende nummereret at eleven har underskrevet første side af besvarelsen. Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes matematiklærer. Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hver delopgave i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på dagen efter prøvens afholdelse. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til svære opgaver end til lette. Pointfordelingen skal hjælpe censor og faglærer til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse. En del opgaver i matematisk problemløsning har ikke et resultat eller en bestemt metode, der skal bedømmes. Det kan fx være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder. Der er i matematisk problemløsning i modsætning til matematiske færdigheder krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder blandt andet i kommunikationen. Eksempler: Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster.i opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af regnearket. Side 18 af 97

19 Fra FS10 maj 2010 Fra FS10 maj 2012 Lån Rente Ydelse ,00 kr. 2,12% pr. måned 1.000,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,22 Side 19 af 97

20 7 106, , , , , , , , , , , , , ,00 352, , ,00-640,33 Lånet er tilbagebetalt efter måneder Lån Rente Ydelse 7.348,48 kr. 2,12% pr. måned 700,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , ,79 700, , ,25 700, , ,47 700, , ,44 700, , ,15 700, , ,60 700, , ,79 700, , ,70 700, , ,34 700, , ,70 700, , ,76 700,00 685, ,53 700,00 0,00 De kan låne 7348 kr. Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram anvendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning. Side 20 af 97

21 Fra FSA maj 2012 Pointtildeling Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat beskriveren korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv. bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogrameller et CAS-program til at finde løsningen på en stillet opgave. har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og diagrammer gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder for eksempel ved beregning, at dette facit er en korrekt løsning løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekteresultater fra en tidligere opgave. Point kan tildeles, når eleven har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter Side 21 af 97

22 delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignende. Antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignendeud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven. Ingen point gives, når opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mellem to eller tre mulige løsninger. Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende aspekter af kommunikations- og symbolbehandlingskompetencen: Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar? Har eleven anvendt særligt gode løsningsmetoder? Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn? Er resultatet skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne? Er der et passende antal decimaler? Er der afrundet korrekt? Er store tal skrevet på læsevenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller kr. frem for kr. Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at orientere sig i? Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtalsseparator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, -, og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i håndskrift og i print fra en computer. Det bør normalt ikke medføre fradrag i pointtildelingen. Ved anvendelse af mere avancerede programmer ser det ud til, at man uden stort besvær kan skrive, som det er almindeligt i Danmark, dog ikke i de fleste geometriprogrammer. Karakterfastsættelse Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter. Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger pointtallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen og symbolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02. Som en hjælp til den afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bringes de vejledende karakterbeskrivelser herunder. Side 22 af 97

23 Karakter Betegnelse Vejledende beskrivelse 12 Fremragende Eleven vælger og anvender med sikkerhed hensigtsmæssige metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer sikker viden om fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger med ingen eller få uvæsentlige fejl. Eleven anvender med sikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger på en hensigtsmæssig måde både inden for matematisk problemløsning og matematik i anvendelse. Eleven anvender hjælpemidler på en sikker og hensigtsmæssig måde. Eleven kan udforme en veldisponeret besvarelse med en sikker brug af faglige begrundelser, hvor tankegangen fremgår klart og overskueligt, og der veksles sikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 7 Godt Eleven demonstrerer kendskab til og anvendelse af metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer god viden om mange af fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger på en del forelagte problemer. Eleven anvender med nogen usikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger. Eleven anvender hjælpemidler på en god måde. Eleven kan udforme en opgavebesvarelse med god sammenhæng inden for de enkelte spørgsmål og med brug af faglige begrundelser. Eleven kan veksle mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 02 Tilstrækkeligt Eleven demonstrerer nogen kendskab til fremgangsmåder i behandlingen af simple praktiske og matematiske problemer. Eleven kan anvende simple formler og udføre enkle beregninger. Eleven udformer en noget usammenhængende besvarelse med få faglige begrundelser, og der veksles usikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. Side 23 af 97

24 Karakterfastsættelse Den endelige karakterfastsættelse sker ved en drøftelse mellem den statsligt beskikkede censor og faglæreren. Dette foregår ved følgende procedure: Umiddelbart efter prøvens afholdelse sender skolen elevbesvarelserne og karakterliste som anbefalet post til den statsligt beskikkede censor, som retter og vurderer. Censor sender som anbefalet post: elevbesvarelserne og kontaktoplysninger til skolen (faglæreren) samtkarakterlisten, som vedlægges i en lukket konvolut med oplysninger om holdets/klassens betegnelse uden på. Skolens leder udleverer elevbesvarelserne og censors kontaktoplysninger til faglæreren, som retter og vurderer.skolens leder opbevarer karakterlisten. Faglæreren sender sin karakterliste til censor enten pr. brev eller i en mail. Herefter skal skolens leder udlevere censors karakterliste til faglæreren. Faglæreren kontakter censor, inden for de tidsrum statslig censor har angivet i sine kontaktoplysninger. Censor og faglærer drøfter og fastsætter de endelige karakterer efter karakter-bekendtgørelsen: 13. Bedømmelse af præstationer og standpunkter skal ske på grundlag af de faglige mål, der er opstillet for det pågældende fag eller flerfaglige forløb (absolut karaktergivning). Præstationen og standpunktet skal bedømmes ud fra såvel fagets eller forløbets formål som undervisningens beskrevne indhold. Der må ikke tilstræbes nogen bestemt fordeling af karaktererne (relativ karaktergivning). 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Når bedømmelsen er afsluttet, underskriver censor og faglærer hver sin karakterliste med de endelige karakterer. Kun de endelige karakterer må fremgå af karakterlisten. Hvis der er rettet i karakterlisten, skal tidligere afgivne karakterer være ulæselige. Censor sender karakterlisten til skolens leder, og faglærer afleverer elevbesvarelserne og karakterlisten til skolens leder. Skolens leder kontrollerer, at der er overensstemmelse mellem de to karakterlister. Skolens leder må først være bekendt med karaktererne, når de er endelig fastsat af statslig censor og faglærer. Der er også en anden procedure, som kan anvendes, hvis der er to enslydende eksemplarer af elevbesvarelserne. Denne procedure kan findes i Orientering om folkeskolens afsluttende prøver på Her kan man også hvert år finde de konkrete datoer, hvor der skal være fremsendt opgaver, karakterlister osv. Procedurerne for forsendelse og karakterfastsættelse samt andre forhold vedrørende censur er desuden uddybet i censorvejledningen for de statsligt beskikkede censorer. Censorvejledningen kan læses af alle på Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside. Side 24 af 97

25 2.4. Mundtlig gruppeprøve Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabsog færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Prøvebekendtgørelsen Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og især kunnen på niveau 3 i vurderingspyramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen. Prøven er til udtræk sammen med de digitale prøver i biologi og geografi. Det betyder, at hver tredje 9. klasse kommer til den mundtlige prøve i matematik. Side 25 af 97

26 Prøven er en gruppeprøve, hvilket bl.a. har sin baggrund i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder: arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål Tekstopgivelser Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen. Prøvebekendtgørelsen Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen. Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. Prøvebekendtgørelsen 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilrettelægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven. Prøvebekendtgørelsen Side 26 af 97

27 Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 14). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse. 9. Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet fremgår af reglerne om de enkelte prøver, jf. nærmere herom bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækningen skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Prøvebekendtgørelsen Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer samtlige områder inden for det opgivne stof. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over store dele af det opgivne stof. Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser. Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved forskellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe. Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme runde. Side 27 af 97

28 Antal elever 1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prøveoplæg 12 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 2 1 gruppe á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene 2 grupper á grupper á 2 2 grupper á 3 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 2 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á Prøveoplæg Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Prøvebekendtgørelsen Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, som eleverne skal arbejde med i prøvetiden. Disse problemstillinger kan både være rene matematiske problemer såvel som anvendte, og de skal som regel være åbne og ikke lukkede. På ligger til inspiration og vejledning et antal eksemplariske prøveoplæg, men de må ikke anvendes ved folkeskolens afsluttende prøver. Side 28 af 97