Vejledning til prøverne i faget matematik

Transkript

1 Vejledning til prøverne i faget matematik Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Center for Prøver, Eksamen og Test Marts 2014

2 Indhold Forord Indledning... 5 Prøvernes forskellige dele FSA Generelt om prøven Matematiske færdigheder Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder Endelig karakterfastsættelse Matematisk problemløsning Prøveoplægget Hjælpemidler Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning Karakterfastsættelse Mundtlig gruppeprøve Tekstopgivelser Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøveoplæg Hjælpemidler og it Prøvens forløb Vurderingskriterier Endelig karakterfastsættelse FS Generelt om de to dele af prøven Den skriftlige prøve Hvad adskiller prøven fra FSA Prøveoplægget Hjælpemidler Side 2 af 97

3 Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik Karakterfastsættelse Den mundtlige gruppeprøve Generelt om den mundtlige prøve Prøveform A Prøveform B Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver Lærernes forberedelse og undervisning Side 3 af 97

4 Forord 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag. Prøvebekendtgørelsen Formålet med denne vejledning er at præcisere og uddybe de prøvekrav, der stilles i prøvebekendtgørelsen, og at tydeliggøre den sammenhæng, der er mellem prøvebekendtgørelsen og folkeskolens formål, fagets formål, de centrale kundskabs- og færdighedsområder, slut- og trinmål samt den vejledende læseplan. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 4, skal lærer og elev løbende samarbejde om fastlæggelse af målene for elevens arbejde, og undervisningsformer, metoder og stofvalg skal i videst muligt omfang foregå i samarbejde mellem lærer og elever. Denne paragraf skal naturligvis ses i lyset af såvel den overordnede formålsbestemmelse samt formålet for faget matematik, de centrale kundskabs- og færdighedsområder og trin- og slutmål. Kravene i faget matematik, som de er beskrevet i Fælles Mål 2009 og prøvebekendtgørelsen, er grundlaget for tilrettelæggelsen af prøven i matematik. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 3 skal undervisningens indhold fastlægges således, at kravene ved prøverne i de enkelte fag kan opfyldes. Eleverne skal inden prøven orienteres om prøvekravene og vurderingskriterierne, og om hvordan prøvernes enkelte dele foregår. Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Center for Prøver, Eksamen og Test Side 4 af 97

5 1. Indledning Prøven efter 9. klasse (FSA) og prøven efter 10. klasse (FS10) består hver især af både en skriftlig og en mundtlig del. Den mundtlige del af prøven er en gruppeprøve bl.a. fordi: Gruppeprøver er en vigtig øvelse i samarbejde og faglig sparring, som afspejler den virkelighed, eleverne blandt andet vil møde i deres videre uddannelse og på arbejdsmarkedet. Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppearbejde, dialog og idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en virkelighedsnær undervisning. Gruppeprøven giver eleverne mulighed for gennem diskussioner at behandle matematiske problemstillinger i en proces, hvor den enkelte elevs besiddelse af matematiske kompetencer og arbejdsmåder kan vurderes. Desuden er samarbejde nævnt i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder: arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål 2009 Selv om der i en del år ikke har været en mundtlig prøve i matematik efter 9. klasse, har det mundtlige arbejde i faget hele tiden været en del af både slut- og trinmål, og eleverne har hele tiden fået standpunktskarakterer i mundtlig matematik i 8. og 9. klasse. Gruppeprøven efter 9. klasse er i sin form som den tidligere gruppeprøve fra 1997, men indholdet er delvist anderledes, da prøverne skal evaluere elevernes opfyldelse af Fælles Mål Det er de matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder, eleverne prøves i. De otte matematiske kompetencer blev beskrevet første gang i faghæftet i 2003 og blev i Fælles Mål 2009 et af de fire centrale kundskabs- og færdighedsområder (CKF) og dermed en central del af mål og indhold i matematikundervisningen. Den mundtlige prøve efter 10. klasse er ligeledes en gruppeprøve, både prøveform A og B. Begge prøveformer skal ligesom i 9. klasse prøve eleverne i matematiske kompetencer og matematiske arbejdsmåder. Prøvernes forskellige dele Den skriftlige del af FSA er en obligatorisk og bunden prøve og består af to dele: matematiske færdigheder af en times varighed og med en selvstændig karakter matematisk problemløsning af tre timers varighed og med en selvstændig karakter. Den mundtlige del af FSA er til udtræk i gruppen af naturfag sammen med geografi og biologi. Det betyder, at eleverne i cirka hver tredje 9. klasse skal aflægge prøve i mundtlig matematik. FS10 prøven er frivillig og består af en skriftlig og en mundtlig del med hver sin karakter. Side 5 af 97

6 Alle prøverne tager udgangspunkt i Fælles Mål De enkelte delprøver skal prøve eleverne i noget forskelligt og knytter derfor an til forskellige elementer af Fælles Mål. For at anskueliggøre, hvad de tre forskellige prøver i FSA skal kunne vurdere, kan der tages udgangspunkt i Jan de Langes Assessment Pyramide. Den vises herunder i oversat og bearbejdet form: Vurderingspyramiden Pyramiden illustrerer tre forskellige niveauer af matematisk tænkning, som kan bruges til at kategorisere de mål, vi knytter til matematikundervisningen. Det laveste niveau vedrører viden om objekter, definitioner, tekniske færdigheder og algoritmer. Det mellemste niveau sigter på sammenhængen mellem flere begreber eller procedurer, og det højeste niveau sigter på komplekse former for matematik, fx problemløsning, matematisk argumentation, modellering og generalisering. Inden for hvert niveau kan målene have forskellige sværhedsgrader - se de følgende eksempler. Det skal understreges, at pyramiden ikke skal forbindes med selve matematikundervisningen. Fx skal den ikke antyde en progression i elevernes udvikling af matematisk kunnen eller en fordeling af arbejdsmængden indenfor de tre forskellige niveauer af tækning. Pyramiden kan til gengæld bruges til at belyse relationen mellem de tre dele af folkeskolens afgangsprøve i matematik. FSA-prøven i matematiske færdigheder vil rumme flest opgaver, som er rettet mod niveau 1 og få opgaver, som er rettet mod niveau 2. Matematisk problemløsning har flest opgaver på niveau 2 med enkelte opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve skal vise elevernes viden og kunnen på niveau 3. Her er det de matematiske kompetencer og arbejdsmåder, der skal udgøre indholdet. De er temmelig vanskelige at prøve i de skriftlige prøver og passer bedst som hovedindhold i en mundtlig prøve. Side 6 af 97

7 Ved FS10 vil den skriftlige prøve ligeledes have hovedparten af opgaverne på niveau 2 og et mindre antal opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve vil som ved FSA prøve eleverne på niveau 3, matematiske kompetencer og arbejdsmåder. Eksempler fra FSA 2012 Niveau 1, reproduktion af viden og færdigheder Eksemplerne er fra prøven i matematiske færdigheder. Let Middel Svær Niveau 2, sammenhænge mellem begreber eller procedurer Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. Let Side 7 af 97

8 Middel Svær Niveau 3, komplekse former for matematisk virksomhed Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. Middel Side 8 af 97

9 Svær Der vil være to eksempler på mundtlige prøveoplæg på niveau 3 i afsnittet om den mundtlige prøve. 2. FSA 2.1 Generelt om prøven Folkeskolens afgangsprøve indeholder en skriftlig del med to prøver og en mundtlig del med en prøve: Matematiske færdigheder, der er skriftlig og bunden Matematisk problemløsning, der er skriftlig og bunden Mundtlig gruppeprøve til udtræk. Side 9 af 97

10 De to skriftlige prøver afholdes i forlængelse af hinanden og varer henholdsvis en time og tre timer. Den mundtlige prøve varer to timer. I særlige tilfælde kan en elev undtages fra en eller flere af prøvens tre dele. Det sker efter reglerne i prøvebekendtgørelsen: 14. Skolens leder skal tilbyde særlige prøvevilkår til elever med psykisk eller fysisk funktionsnedsættelse eller med andre specifikke vanskeligheder, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen. Det er en forudsætning, at der med tilbuddet ikke sker en ændring af prøvens faglige niveau. Stk. 2. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene. 15. Elever, for hvem prøveaflæggelse på grund af betydelig funktionsnedsættelse eller utilstrækkelige danskkundskaber ikke skønnes hensigtsmæssig, kan fritages for at aflægge folkeskolens obligatoriske afgangsprøver. Fritagelse kan omfatte en eller flere prøver eller delprøver. Stk. 2. Beslutningen om fritagelse forudsætter, at der er taget stilling til, om eleven vil kunne aflægge prøve på særlige vilkår, jf. 14. Der skal samtidig tages stilling til, hvordan elevens udbytte af undervisningen evalueres på anden vis. Stk. 3. Beslutningen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og forældrene. Prøvebekendtgørelsen De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission beskikket af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne i prøveoplægget ud fra Fælles Mål 2009 og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere. Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgiver ikke facitlister til de to skriftlige prøver. Det skyldes bl.a.: at der i færdighedsprøven kan forekomme flere resultater, der kan anses for korrekte at der i problemløsning skal bedømmes meget andet end facit. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne resultater, kan man deltage i et af de mange evalueringsmøder, der afholdes over hele landet i ugerne efter prøven, eller man kan følge med i diskussionerne om afgangsprøverne på SkoleKoms konference for matematiklærere. Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års afgangsprøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på Matematiske færdigheder 2.3. Til besvarelsen af prøven i matematiske færdigheder gives der 1 time Der prøves i de matematiske emner: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed samt enkel anvendelse af matematik Som hjælpemidler må der alene benyttes skrive- og tegneredskaber, dog ikke elektroniske Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Side 10 af 97

11 Prøven i matematiske færdigheder varer en time og indeholder 50 opgaver. Under prøven må eleven kun anvende skriveredskaber og tegneredskaber som for eksempel passer, lineal og vinkelmåler. Eleverne må selv vælge skriveværktøj. Alle færdighedsområder fra Fælles Mål 2009 s slutmål og trinmål efter 9.klasse kan indgå i prøven. Der prøves i de matematiske emner: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed samt i enkel anvendelse af matematik, som tilsammen dækker de to centrale kundskabs- og færdighedsområder: Matematiske emner og matematik i anvendelse. De fleste opgaver er på vurderingspyramidens niveau 1 med forskellige sværhedsgrader, og enkelte opgaver er på niveau 2. De fleste opgaver vil være traditionelle opgavetyper inden for et bredt udvalg af matematiske færdigheder. Det er dog ikke alle faglige områder inden for matematiske færdigheder, der prøves hvert år. En stor del af opgaverne kan med fordel løses ved hjælp uformelle metoder fx hovedregning og noter frem for standardiserede algoritmer og metoder. Kun løsninger på det udleverede ark vurderes. Der må kun være et svar på hver opgave, medmindre der kræves flere Vurdering af besvarelser i matematiske færdigheder Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes matematiklærer. I vurderingen af elevens besvarelse ses alene på det resultat, der er anført. Løsningsmetoder og eventuelle mellemregninger er derfor uden for bedømmelse med mindre, der spørges om dette. Har en elev givet to forskellige svar på samme opgave, skal opgaven vurderes som forkert, hvis det ene svar er korrekt. Hver opgave, der er rigtigt besvaret, tildeles et point. Senest to uger efter prøvens afholdelse vil Kvalitetsog Tilsynsstyrelsen offentliggøre en omsætningstabel, som angiver karakteren for de forskellige pointintervaller. Der gives én karakter for prøven. Opgaveløsningerne vil ofte være entydige, men en del opgaver vil have flere løsningsmuligheder. Entydige resultater kan tit skrives på flere måder, der alle må anerkendes som korrekte. Eksempel: Reduktion af udtrykket: 6b + 3 (8a 2b) 2b. Følgende resultater skal alle betragtes som rigtige: 24 a 2 b ; 24a 2b ; -2 b + 24 a ; -2b + 24a ; -b 2 + a 24 ; a 24 b 2 Opgaver af nedenstående type kræver et resultat med anvendelse af variable, som dog ikke kræves reduceret til korteste form: Side 11 af 97

12 Medmindre der er stillet krav om en bestemt notationsform (for eksempel skriv som decimaltal ), må det accepteres, at samme resultat kan angives på forskellige måder. Det betyder for eksempel, at brøker ikke nødvendigvis skal forkortes eller om muligt omregnes til blandet tal, og at resultatet kan opgives som brøk, decimaltal eller procenttal. I forbindelse med tegning af geometriske figurer og lignende accepteres en vis usikkerhed. Ved måling på tegninger og aflæsning af grafer og diagrammer kan resultater inden for et passende interval godkendes. Hjælp til vurderingen af elevbesvarelser kan hentes flere steder. Ud over de før nævnte evalueringsmøder og SkoleKom-konferencen, kan evalueringen af tidligere års afgangsprøver være anvendelige. Disse såkaldte PEU-publikationer, kan findes på Endelig karakterfastsættelse Karakteren gives ud fra omsætningstabellen. Den endelige karakter gives efter en drøftelse mellem elevernes faglærer og den beskikkede censor. Da faglærer og censor retter og bedømmer både matematiske færdigheder og matematisk problemløsning, beskrives de nærmere regler i afsnit Matematisk problemløsning 2.7. Til besvarelsen af prøven i matematisk problemløsning gives der 3 timer Der prøves i anvendelse af matematik til behandling af problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og behandling af matematiske problemstillinger I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Prøveoplægget Prøven i matematisk problemløsning varer tre timer, og der gives en karakter. Side 12 af 97

13 Et prøveoplæg består et antal opgaver, der indeholder et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, mens et mindre antal er på niveau 1 og 3. De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra dagligliv, samfundsliv og/eller naturforhold, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng. Der vil være både åbne og lukkede opgaver. De kontekster, der vælges til de skriftlige afgangsprøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de er i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhåndskendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uafhængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden. Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven. Et prøvesæt i matematisk problemløsning vil indeholde både tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne. Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindelse med matematiske begreber og problemstillinger, og efterfølgende kan anvendes i kommunikationen af problemløsningen. Elever med særlige behov For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens afsluttende prøver på særlige vilkår. Disse beskrives i prøvebekendtgørelsens bilag 5 og i Vejledning om fravigelse af bestemmelserne ved folkeskolens afsluttende prøver, som begge kan findes på Der er også mulighed for at bestille specielt fremstillede prøvesæt hos Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. For elever, der af forskellige årsager ikke kan gennemføre en eller flere af folkeskolens obligatoriske prøver, er der mulighed for fritagelse, se prøvebekendtgørelsens bilag Hjælpemidler Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling. Prøvebekendtgørelsen Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, mobiltelefon, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen 10: Skolens leder skal sikre, at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres mobiltelefon som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler osv. Side 13 af 97

14 Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortrolige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få Formelsamling Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens formelsamling kan findes på Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens afsluttende prøver i matematik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at blive fortrolig med dens indhold og opbygning. Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden eksempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål 2009, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner. I forordet til formelsamlingen står der til eleverne: På højresiderne kan du bl.a.: skrive formlerne i den form, du er mest fortrolig med skrive dine egne eksempler på, hvordan formlerne bruges skrive andre formler, du mener, du kan få brug for Anvendelse af computer Eleverne må anvende computer ved prøven med den begrænsning, der fremgår af prøvebekendtgørelses 11 Stk. 2. Skolens leder kan beslutte at begrænse adgangen til at anvende elektroniske hjælpemidler, herunder medbragte elektroniske hjælpemidler, hvis det er nødvendigt af kapacitetsmæssige grunde. Ligeledes skal skolen leder sikre, at den ovenfor citerede 10 overholdes. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende, idet skolen sikrer, at der i det medbragte ikke findes programmer, der sætter eleven i stand til at kommunikere utilsigtet. Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere eller tablets, mobiltelefoner eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne. Side 14 af 97

15 Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens navn og nummer. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstændige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet. Implementeringen af Fælles Mål 2009 har bl.a. medført, at flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve, matematisk problemløsning med fordel kan løses ved hjælp af it. De skriftlige prøver i matematik giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver, eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram Kommunikation 2.9. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. Prøvebekendtgørelsen Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsenaf besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven Matematiske færdigheder. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonneopstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunikeres mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, og der må meget gerne være en variation i kommunikationen. Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA maj 2012: Opgave 1.2 Simons timeløn er 55,35 kr. og han forventer at tjene kr. i Hvor mange timer skal han arbejde i 2012? Simon skal arbejde ca. 434 timer Side 15 af 97

16 Opgave 1.4 Undersøgelse af Simons årsløn, hvis hans skattepligtige indkomst skal være kr., når beskæftigelsesfradraget er 4,4 % og arbejdsmarkedsbidraget er 8 %. Jeg bruger målsøgning i et regneark: Årsløn kr ,99 Beskæftigelsesfradrag kr ,35 Arbejdsmarkedsbidrag kr ,64 Skattepligtig indkomst kr ,00 Simons årsløn kan højst være ca kr. Opgave 4.4 A og D er forkerte. A er forkert, fordi der er en parentes, som gør, at noget bliver regnet sammen, før end det er meningen. D er forkert, fordi de sidste 0,25 kommer med i brøken, hvor de ikke hører hjemme. Opgave Opgaven er løst i programmet GeoGebra. Side 16 af 97

17 Det er ikke god kommunikation, hvis eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med Elevens aflevering af sin besvarelse Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestemt farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleveret ark indeholder følgende oplysninger: elevens navn elevens nummer ifølge karakterlisten skolens navn prøvens og opgavens art klasse eller hold arknummer og det samlede antal ark. Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Det er således ikke den enkelte side, der skal nummereres. Eleven afgør selv, hvilke ark der skal indgå i besvarelsen, og som afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af: håndskrevne ark udskrevne ark fra computer tegninger og grafer på specialpapir udfyldte svarark. Side 17 af 97

18 Det er vigtigt, at eleven sikrer sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Anvendes digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse. Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere: at alle identifikationsoplysninger er på besvarelsen at antallet af ark svarer til det i felterne noterede at arkene er fortløbende nummereret at eleven har underskrevet første side af besvarelsen. Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse Vurdering af besvarelser i matematisk problemløsning Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes matematiklærer. Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hver delopgave i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på dagen efter prøvens afholdelse. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til svære opgaver end til lette. Pointfordelingen skal hjælpe censor og faglærer til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse. En del opgaver i matematisk problemløsning har ikke et resultat eller en bestemt metode, der skal bedømmes. Det kan fx være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder. Der er i matematisk problemløsning i modsætning til matematiske færdigheder krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder blandt andet i kommunikationen. Eksempler: Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster.i opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af regnearket. Side 18 af 97

19 Fra FS10 maj 2010 Fra FS10 maj 2012 Lån Rente Ydelse ,00 kr. 2,12% pr. måned 1.000,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,22 Side 19 af 97

20 7 106, , , , , , , , , , , , , ,00 352, , ,00-640,33 Lånet er tilbagebetalt efter måneder Lån Rente Ydelse 7.348,48 kr. 2,12% pr. måned 700,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , ,79 700, , ,25 700, , ,47 700, , ,44 700, , ,15 700, , ,60 700, , ,79 700, , ,70 700, , ,34 700, , ,70 700, , ,76 700,00 685, ,53 700,00 0,00 De kan låne 7348 kr. Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram anvendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning. Side 20 af 97

21 Fra FSA maj 2012 Pointtildeling Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat beskriveren korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv. bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogrameller et CAS-program til at finde løsningen på en stillet opgave. har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og diagrammer gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder for eksempel ved beregning, at dette facit er en korrekt løsning løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekteresultater fra en tidligere opgave. Point kan tildeles, når eleven har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter Side 21 af 97

22 delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignende. Antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignendeud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven. Ingen point gives, når opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mellem to eller tre mulige løsninger. Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende aspekter af kommunikations- og symbolbehandlingskompetencen: Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar? Har eleven anvendt særligt gode løsningsmetoder? Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn? Er resultatet skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne? Er der et passende antal decimaler? Er der afrundet korrekt? Er store tal skrevet på læsevenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller kr. frem for kr. Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at orientere sig i? Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtalsseparator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, -, og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i håndskrift og i print fra en computer. Det bør normalt ikke medføre fradrag i pointtildelingen. Ved anvendelse af mere avancerede programmer ser det ud til, at man uden stort besvær kan skrive, som det er almindeligt i Danmark, dog ikke i de fleste geometriprogrammer. Karakterfastsættelse Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter. Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger pointtallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen og symbolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02. Som en hjælp til den afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bringes de vejledende karakterbeskrivelser herunder. Side 22 af 97

23 Karakter Betegnelse Vejledende beskrivelse 12 Fremragende Eleven vælger og anvender med sikkerhed hensigtsmæssige metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer sikker viden om fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger med ingen eller få uvæsentlige fejl. Eleven anvender med sikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger på en hensigtsmæssig måde både inden for matematisk problemløsning og matematik i anvendelse. Eleven anvender hjælpemidler på en sikker og hensigtsmæssig måde. Eleven kan udforme en veldisponeret besvarelse med en sikker brug af faglige begrundelser, hvor tankegangen fremgår klart og overskueligt, og der veksles sikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 7 Godt Eleven demonstrerer kendskab til og anvendelse af metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer god viden om mange af fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger på en del forelagte problemer. Eleven anvender med nogen usikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger. Eleven anvender hjælpemidler på en god måde. Eleven kan udforme en opgavebesvarelse med god sammenhæng inden for de enkelte spørgsmål og med brug af faglige begrundelser. Eleven kan veksle mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 02 Tilstrækkeligt Eleven demonstrerer nogen kendskab til fremgangsmåder i behandlingen af simple praktiske og matematiske problemer. Eleven kan anvende simple formler og udføre enkle beregninger. Eleven udformer en noget usammenhængende besvarelse med få faglige begrundelser, og der veksles usikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. Side 23 af 97

24 Karakterfastsættelse Den endelige karakterfastsættelse sker ved en drøftelse mellem den statsligt beskikkede censor og faglæreren. Dette foregår ved følgende procedure: Umiddelbart efter prøvens afholdelse sender skolen elevbesvarelserne og karakterliste som anbefalet post til den statsligt beskikkede censor, som retter og vurderer. Censor sender som anbefalet post: elevbesvarelserne og kontaktoplysninger til skolen (faglæreren) samtkarakterlisten, som vedlægges i en lukket konvolut med oplysninger om holdets/klassens betegnelse uden på. Skolens leder udleverer elevbesvarelserne og censors kontaktoplysninger til faglæreren, som retter og vurderer.skolens leder opbevarer karakterlisten. Faglæreren sender sin karakterliste til censor enten pr. brev eller i en mail. Herefter skal skolens leder udlevere censors karakterliste til faglæreren. Faglæreren kontakter censor, inden for de tidsrum statslig censor har angivet i sine kontaktoplysninger. Censor og faglærer drøfter og fastsætter de endelige karakterer efter karakter-bekendtgørelsen: 13. Bedømmelse af præstationer og standpunkter skal ske på grundlag af de faglige mål, der er opstillet for det pågældende fag eller flerfaglige forløb (absolut karaktergivning). Præstationen og standpunktet skal bedømmes ud fra såvel fagets eller forløbets formål som undervisningens beskrevne indhold. Der må ikke tilstræbes nogen bestemt fordeling af karaktererne (relativ karaktergivning). 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Når bedømmelsen er afsluttet, underskriver censor og faglærer hver sin karakterliste med de endelige karakterer. Kun de endelige karakterer må fremgå af karakterlisten. Hvis der er rettet i karakterlisten, skal tidligere afgivne karakterer være ulæselige. Censor sender karakterlisten til skolens leder, og faglærer afleverer elevbesvarelserne og karakterlisten til skolens leder. Skolens leder kontrollerer, at der er overensstemmelse mellem de to karakterlister. Skolens leder må først være bekendt med karaktererne, når de er endelig fastsat af statslig censor og faglærer. Der er også en anden procedure, som kan anvendes, hvis der er to enslydende eksemplarer af elevbesvarelserne. Denne procedure kan findes i Orientering om folkeskolens afsluttende prøver på Her kan man også hvert år finde de konkrete datoer, hvor der skal være fremsendt opgaver, karakterlister osv. Procedurerne for forsendelse og karakterfastsættelse samt andre forhold vedrørende censur er desuden uddybet i censorvejledningen for de statsligt beskikkede censorer. Censorvejledningen kan læses af alle på Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside. Side 24 af 97

25 2.4. Mundtlig gruppeprøve Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabsog færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Prøvebekendtgørelsen Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og især kunnen på niveau 3 i vurderingspyramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen. Prøven er til udtræk sammen med de digitale prøver i biologi og geografi. Det betyder, at hver tredje 9. klasse kommer til den mundtlige prøve i matematik. Side 25 af 97

26 Prøven er en gruppeprøve, hvilket bl.a. har sin baggrund i tre af trinmålene efter 9. klasse i matematiske arbejdsmåder: arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål Tekstopgivelser Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen. Prøvebekendtgørelsen Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen. Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. Prøvebekendtgørelsen 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilrettelægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven. Prøvebekendtgørelsen Side 26 af 97

27 Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 14). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse. 9. Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet fremgår af reglerne om de enkelte prøver, jf. nærmere herom bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækningen skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Prøvebekendtgørelsen Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer samtlige områder inden for det opgivne stof. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over store dele af det opgivne stof. Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser. Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved forskellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe. Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme runde. Side 27 af 97

28 Antal elever 1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prøveoplæg 12 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 2 1 gruppe á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene 2 grupper á grupper á 2 2 grupper á 3 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 2 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á Prøveoplæg Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Prøvebekendtgørelsen Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, som eleverne skal arbejde med i prøvetiden. Disse problemstillinger kan både være rene matematiske problemer såvel som anvendte, og de skal som regel være åbne og ikke lukkede. På ligger til inspiration og vejledning et antal eksemplariske prøveoplæg, men de må ikke anvendes ved folkeskolens afsluttende prøver. Side 28 af 97

29 Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres viden og kunnen. Problemstillingerne bør så vidt muligt i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et matematisk problem defineres ifølge rapporten Kompetencer og matematiklæring 2002 (KOM-rapporten) som en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. (KOM-rapporten side 49). Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål De beskrives nærmere i afsnit Desuden skal der være mulighed for, at eleverne kan benytte matematiske arbejdsmåder. Som nævnt bør oplæggene så vidt muligt give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsdelen af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence. Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnementskompetencen, knytte an til flere kompetencer eller eventuelt dem alle. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange fx En fuldstændig modellering En delvis modellering Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model. Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som Find rumfanget af, Hvor meget koster vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der medfølger fx bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Udgangspunktet kan være en undersøgelse af fx en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersøges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere. Det samlede antal prøveoplæg skal dække det opgivne stofpå en alsidig mådeog dermed store dele af Fælles Mål. Prøveoplæg må gerne have et lokalt islæt, som kan give eleverne et stærkere ejerskab til problemstillingerne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som evt. link er opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geometriprogram mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven. Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleveres under prøven. Side 29 af 97

30 To eksempler på mundtlige prøveoplæg Det ene er med en ren matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstilling, hvor internet skal anvendes. Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres senere i prøveforløbet. Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker som vist herunder. I kan også se Tages kvadrat på bilag 1. Tage Werner påstod bl.a., at 1) de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange 2) der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes 3) størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved beregninger. Problemstilling Side 30 af 97

31 Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet. I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer. Ideer: Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10. Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at måle? Læg mærke til nogle af figurerne, der gemmer sig i Tages kvadrat: Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede makkere? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på, at figurerne er kongruente og/eller ligedannede? Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer. Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27? Kan I finde vinklens størrelse på flere forskellige måder? Kan I bruge resultatet fra før til at beregne størrelsen af flere vinkler i Tages kvadrat? Side 31 af 97

32 Bilag 1 Tages kvadrat Tages kvadrat - Lærervejledning Forberedelse: Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx GeoGebra og flere kopier af bilag 1. Faglige fokuspunkter: Side 32 af 97

33 Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med næsten alle de trinmål, som er knyttet til fagområdet geometri. Fra et kompetenceperspektiv er det ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men oplægget giver også eleverne gode muligheder for at vise problemløsningskompetence og hjælpemiddelkompetence. I forbindelse med arbejdsmåder er det især trinmålet: undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere, der er i spil. Ideer til udfordringer og støtte: Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometriprogram. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da sidelængden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med oplægget. En mulighed er at vælge sidelængden 10. Dette tal giver rimelig runde tal i beregningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en tilfældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet. Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsningerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i forbindelse med deres arbejde - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres Side 33 af 97

34 viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne. For nogle elever kan det være en fordel at klippe delfigurer ud af bilag 1 i forbindelse med deres arbejde med påstand 2). Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret under ideer ), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser, vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler. Skolevejen Jernbaneoverskæring Emil Agerkrogen 2 Skolen Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg Hvor langt har du egentlig til skole? Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet lige uden for skolen. Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu sveder jeg, griner Emil, Hvad med dig? Side 34 af 97

35 Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg, svarer Maria. Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks, siger Emil og kigger på uret på sin mobil. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden. I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole. I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid, det tager. I skal sammenligne rejsevejledninger på og Ideer til oplægget - I kan taste jeres egen skolevej ind i og og kommentere, hvordan foreslagene passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj. - På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der kan foretages beregninger. På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN. En elev har målt, at hun har 650 meter til skole. I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har foretaget turen på forskellige måder. [regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation] Side 35 af 97

36 Kommentarer til SKOLEVEJEN Materialer: Eleverne skal have obligatorisk adgang til computer med adgang til internettet. Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort. Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både og Vurdering af elevernes matematiske kompetencer kan foregå på baggrund af følgende tre spørgsmål: a) Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? b) Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? c) Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? d) Kan eleven kommunikere med og om matematik? Vedr. a) I oplægget har eleverne mulighed for vise kendskab til modelleringskompetencen, som kan indeholde disse proceselementer: Kan eleverne definere og afgrænse problemet? Kan eleverne opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med en problemstilling? Kan eleverne udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleverne analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleverne anvende modellen i andre sammenhænge? Vedr. b) Eleverne har mulighed for i oplægget at bringe sin faglige viden om måling af afstand, tid og hastighed og målestok i spil. Desuden har eleverne mulighed for at demonstrere viden og kunnen i arbejdet med regneark, enten på egen hånd eller med assistance af det bearbejdede regneark, der kan udleveres. Vedr. c) Eleverne har mulighed for at undersøge og eksperimentere, blandt andet vedhjælp af regneark. Eleverne Side 36 af 97

37 skal anvende dialogen i gruppen til at afgøre, hvordan afstande mellem destinationer kan måles, og hvordan anvendelse af de forskellige transportmuligheder influerer på farten Desuden skal der bedømmes om eleverne kan samarbejde fagligt med gruppen på punkter som disse: Bliver der lavet en arbejdsplan, og er gruppen i stand til at arbejde bevidst i henhold til denne? Tager de enkelte elever initiativer? Er gruppen i stand til at konkludere på diskussioner? Vedr. d) I kommunikation vægtes det, om eleverne kan indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe, og om eleven kan fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog og med vekslen mellem hverdagssprog og matematisk sprog Hjælpemidler og it Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Prøvebekendtgørelsen Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger med videre. Eleverne skal have mulighed for at anvende computer ved prøven. Det er mest praktisk, at grupperne har adgang til hver deres computer. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende. Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere eller tablets, mobiltelefoner eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af utilsigtet overtrædelse af bestemmelserne eller snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at lærer og censor fører det nødvendige tilsyn med grupperne under prøven. Side 37 af 97

38 Prøvens forløb Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale. Prøvebekendtgørelsen Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på minutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum, dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden. En runde varer 120 min., og der bør afsættes ca. ½ time til at: Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca min. Votering ca min. Eleverne får deres karakterer eventuelt med en kort begrundelse. Der er hermed cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupperne og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således: 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition. 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. Både censor og faglærer tager notater under samtalerne. Notaterne skal bruges under voteringen til at give en retvisende og fair karakter til den enkelte elev. Notaterne opbevares i et år efter prøven af censor og faglærer til bedømmernes egen brug - for eksempel ved en efterfølgende klagesag over en eksamination eller bedømmelse Vurderingskriterier Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Eleverne skal vurderes og bedømmes individuelt. Prøvebekendtgørelsen Side 38 af 97

39 Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de 8 matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål De har deres baggrund i Kompetencer og matematiklæring udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på også kaldet KOM-rapporten. I KOM-rapporten defineres matematisk kompetence som det at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Om den enkelte kompetence står der i rapporten: En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring. Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? Kan eleven kommunikere med og om matematik? Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompetencerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om modellerings- og ræsonnementskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der tre kompetencer, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg. Elevens brug af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder indgår ved bedømmelsen af alle prøveoplæg med en vis vægt. Problembehandlingskompetence erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? Side 39 af 97

40 Modelleringskompetence udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandling, symbolbehandling og ræsonnement, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? Ræsonnementskompetence udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i det faglige område geometri, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx symbolbehandling og hjælpemiddelkompetence, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisser argumenter konklusion Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? Kommunikationskompetence udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål) indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse) Side 40 af 97

41 Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompetence, som er central når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? Hjælpemiddelkompetence kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (Slutmål) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg.. Opmærksomhedsfelt: Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? Tankegangskompetence stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes (slutmål) skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng Tankegangskompetencen er ikke med i de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Den vil indirekte være med i de fleste prøveoplæg, da den nærmest afgør, om der er tale om matematisk virksomhed, og den kan derfor indgå ved bedømmelsen med en mindre vægt. Side 41 af 97

42 Repræsentationskompetence danne, forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer eller problemer (slutmål) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng Kompetencen spiller ikke en central rolle ved den mundtlige prøve. I nogle prøveoplæg kan det blive en kompetence, der bør indgå i vurderingen. Opmærksomhedsfelt: Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse? Symbolbehandlingskompetence forstå og afkode symbolsprog og formler og oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog (slutmål) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den ikke er en af de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på, kan læreren godt hjælpe elever med for eksempel symbolsprog i en modelleringsproces, hvor hovedvægten lægges på denne kompetence. Det kan indgå i vurderingen, hvorvidt eleverne kan oversætte mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven afkode symboler? Kan eleven bruge symboler? Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv. Side 42 af 97

43 Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder De tre områder knytter an til det 4. CKF-område, Matematiske arbejdsmåder med følgende trinmål: Faglige begreber: Metoder: Arbejdsmåder: læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger Fælles Mål I prøvesammenhæng vil de tre områder indgå ved bedømmelsen af de fleste elevpræstationer. Opmærksomhedsfelter: Bruger eleven faglige begreber hensigtsmæssigt og korrekt? Kan eleven bruge forskellige metoder i arbejdet med problemstillingen? Gennemfører eleven i sin gruppe matematiske undersøgelser? Kan eleven bringe sin matematiske faglighed i spil i sin gruppe? Endelig karakterfastsættelse Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Prøvebekendtgørelsen Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede. Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder følgende regler: 13. Bedømmelse af præstationer og standpunkter skal ske på grundlag af de faglige mål, der er opstillet for det pågældende fag eller flerfaglige forløb (absolut karaktergivning). Præstationen og standpunktet skal bedømmes ud fra såvel fagets eller forløbets formål som undervisningens beskrevne indhold. Der må ikke tilstræbes nogen bestemt fordeling af karaktererne (relativ karaktergivning). 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Side 43 af 97

44 Karakterbekendtgørelsen Som hjælp til bedømmelsen er her en vejledende karakterbeskrivelse. Karakter Betegnelse Vejledende beskrivelse 12 Fremragende Eleven handler sikkert og indsigtsfuldt i arbejdet med de forelagte problemstillinger og viser bred dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencen. Eleven benytter sikkert og indsigtsfuldt sin viden om og færdigheder i matematik i forhold til de forlagte problemstillinger. Eleven viser sikkerhed i valg og anvendelse af hjælpemidler, herunder computer, og foretager ved brug heraf hensigtsmæssige valg af programmer. Eleven arbejder på en sikker måde undersøgende og systematisk med problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan samarbejde fagligt med sin gruppe på en hensigtsmæssig måde. Eleven fremlægger velstruktureret med sikker brug af faglige begrundelser og udtrykker sig klart med sikker anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog. Eleven indgår på en sikker måde i dialog om forelagte problemer. 7 Godt Eleven handler hensigtsmæssig i arbejdet med de forelagte problemstillinger og viser delvis dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencen. Eleven benytter en del viden og færdigheder i forhold til de forlagte problemstillinger. Eleven anvender hjælpemidler, herunder computer, på en hensigtsmæssig måde i flere sammenhænge. Eleven arbejder undersøgende og delvist systematisk med problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan samarbejde fagligt med sin gruppe. Eleven fremlægger sammenhængende med en del faglige begrundelser og udtrykker sig med anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog. Eleven indgår i dialog om forelagte problemer. Side 44 af 97

45 3. FS10 02 Tilstrækkeligt Eleven handler usikkert i arbejdet med de forelagte problemstillinger og viser svag dækning af en eller flere af de matematiske kompetencer: Modellerings-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencen Generelt om de to dele af prøven Prøven i matematik er i to dele, der kan aflægges hver for sig: Eleven demonstrerer nogen viden og enkle færdigheder i forhold til de forlagte problemstillinger. Eleven viser usikkerhed i valg og anvendelse af hjælpemidler. Eleven viser usikkerhed i undersøgende arbejde med problemstillinger. Eleven viser kun få initiativer og er usikker i det faglige samarbejde med sin gruppe. Eleven fremlægger noget usammenhængende med få faglige begrundelser og med usikker anvendelse af hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog. Skriftlig matematik, en 4 timers prøve Mundtlig matematik, gruppeprøve med to prøveformer Eleverne i 10. klasse kan selv sammensætte deres prøve, så de har mulighed for at gentage prøverne fra 9. klasse undtagen den mundtlige prøve, der er til udtræk og derfor ikke kan aflægges i 10. klasse. De har også mulighed for at kombinere prøverne fx kan en elev vælge at gå til 9. klasse prøven matematiske færdigheder og FS10 mundtlig matematik prøveform B. De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission nedsat af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne ud fra Fælles Mål 2009 og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere. Kvalitets- og tilsynsstyrelsen udgiver ikke facitliste til den skriftlige prøve, da der er meget andet end facit, der skal bedømmes. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne resultater, kan man deltage i et af de mange evalueringsmøder, der afholdes over hele landet i ugerne efter prøven, eller man kan følge med i diskussionerne af afgangsprøverne på Skolekoms konference for matematiklærere. Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års afgangsprøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på Side 45 af 97

46 3.2. Den skriftlige prøve 2.1. Prøven består af en skriftlig og en mundtlig del, som kan afsluttes hver for sig Den skriftlige del af prøven består af et opgavesæt. Til besvarelsen gives 4 timer. Opgaverne stilles af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Der prøves i anvendelse af matematik til behandling af problemer af rutinemæssig og af åben karakter fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og behandling af matematiske problemstillinger i bredden og i dybden I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anvendelse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Hvad adskiller prøven fra FSA Der er ingen særskilt prøve i færdigheder ved FS10. Derfor vil der ved FS 10 prøven være flere opgaver på niveau 1 i vurderingspyramiden end i matematisk problemløsning ved FSA. Mange af opgaverne på niveau to er endvidere mere komplekse end i FSA. Der er generelt flere og mere arbejdskrævende opgaver Prøveoplægget Prøven i skriftlig matematik varer fire timer, og der gives en karakter. Et prøveoplæg består af et antal opgaver, hver med et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, med et mindre antal spørgsmål fra niveau 1 og 3. De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng.der vil være både åbne og lukkede opgaver. De kontekster, der vælges til de skriftlige afgangsprøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de er i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhåndskendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uafhængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden. Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven. Et prøvesæt i skriftlig matematik vil ofte indeholde en del tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne. Side 46 af 97

47 Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindelse med matematiske begreber og problemstillinger og som efterfølgende kan anvendes i kommunikationen om problemløsningen. Elever med særlige behov For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens afsluttende prøver på særlige vilkår. Disse beskrives i prøvebekendtgørelsens bilag 5 og i Vejledning om fravigelse af bestemmelserne ved folkeskolens afsluttende prøver, som begge kan findes på Der er også mulighed for at bestille specielt fremstillede prøvesæt hos Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. For elever, der af forskellige årsager ikke kan gennemføre en eller flere af folkeskolens obligatoriske prøver, er der mulighed for fritagelse, se prøvebekendtgørelsens bilag Hjælpemidler 2.5. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen udgivne formelsamling. Prøvebekendtgørelsen Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, mobiltelefon, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen 10: Skolens leder skal sikre, at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres mobiltelefon som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler osv. Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortrolige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få Formelsamling Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens formelsamling kan findes på Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens afsluttende prøver i matematik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at sætte sig ind i indholdet. I 10. klasse kan det være en fordel at bygge videre på den enkelte elevs arbejde med formelsamlingen fra klasse. Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden eksempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål 2009, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner. Side 47 af 97

48 I forordet til formelsamlingen står der til eleverne: På højresiderne kan du bl.a.: skrive formlerne i den form, du er mest fortrolig med skrive dine egne eksempler på, hvordan formlerne bruges skrive andre formler, du mener, du kan få brug for Anvendelse af computer Eleverne må anvende computer ved prøven med den begrænsning, der fremgår af prøvebekendtgørelses 11 Stk. 2. Skolens leder kan beslutte at begrænse adgangen til at anvende elektroniske hjælpemidler, herunder medbragte elektroniske hjælpemidler, hvis det er nødvendigt af kapacitetsmæssige grunde. Ligeledes skal skolen leder sikre, at den ovenfor citerede 10 overholdes. Hvis skolens leder har givet tilladelse til det, kan eleverne under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets, mobiltelefoner eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne. Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens navn og nummer. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstændige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet. Implementeringen af Fælles Mål 2009 har bl.a. medført, at flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve med fordel kan løses ved hjælp af it. De skriftlige prøver i matematik giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver, eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen. Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram Kommunikation 2.4. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anvendelse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst Side 48 af 97

49 samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. Prøvebekendtgørelsen Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsen af besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven Matematiske færdigheder. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonne opstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunikeres mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, der må meget gerne være en variation i kommunikationen. Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA 2012: Opgave Uge 27 Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag Gennemsnitligt salg pr. dag Salg i kr Summeret salg i kr Uge 28 Salg i kr Summeret salg i kr Opgave 1.4 Side 49 af 97

50 Opgave 1.5 Det samlede issalg er størst i uge 27. I begge uger stiger issalget støt op mod weekenden. Det summerede salg er højst i uge 28 indtil uge 27 s summerede salg overhaler i løbet af torsdag. Opgave 2.3 Rumfanget af Indlandsisen er: Rumfanget af indlandsisen er ca km 3 Opgave 3.5 Undersøgelse af lånets størrelse, når de kan betale 700 kr. i månedlig ydelse over 12 måneder. Jeg bruger målsøgning i regnearket. Lån Rente Ydelse 7.348,48 kr. 2,12% pr. måned 700,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , ,79 700, , ,25 700, , ,47 700, , ,44 700, , ,15 700, , ,60 700, , ,79 700, , ,70 700, , ,34 700, , ,70 700, , ,76 700,00 685, ,53 700,00 0,00 De kan låne ca kr. Opgave Opgaverne er løst i ved hjælp af programmet GeoGebra. Side 50 af 97

51 Det er ikke god kommunikation, at eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med Elevens aflevering af sin besvarelse Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestem farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleveret ark indeholder følgende oplysninger: elevens navn elevens nummer ifølge karakterlisten skolens navn prøvens og opgavens art klasse eller hold arknummer og det samlede antal ark. Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Des er således ikke den enkelte side, der skal nummereres. Eleven afgør selv, hvilke ark der indgår i besvarelsen, som skal afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af: håndskrevne ark udskrevne ark fra computer tegninger og grafer på specialpapir Side 51 af 97

52 udfyldte svarark. Det er vigtigt, at eleven sikre sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud, eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse. Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere: at alle identifikationsoplysninger er på besvarelsen at antallet af ark svarer til det i felterne noterede at arkene er fortløbende nummereret at eleven har underskrevet første side af besvarelsen. Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor og elevernes matematiklærer. Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hvert delspørgsmål i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på dagen efter prøvens afvikling. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til svære opgaver end til lette. Pointfordelingen skal hjælpe censor og faglærer til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse. En del opgaver i skriftlig matematik har ikke et entydigt resultat eller en bestemt metode, der skal bedømmes. Det kan for eksempel være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder. Der er i skriftlig matematik krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder bl.a. i kommunikationen. Eksempler: Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster. I opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af regnearket. Side 52 af 97

53 Fra FS10 maj 2010 Fra FS10 maj 2012 Lån Rente Ydelse ,00 kr. 2,12% pr. måned 1.000,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 352, , ,00-640,33 Side 53 af 97

54 Lånet er tilbagebetalt efter måneder Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram anvendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning. Fra FSA maj 2012 Pointtildeling Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat beskriver en korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv. Side 54 af 97

55 bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogrameller et CAS-program til at finde løsningen på en stillet opgave har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og diagrammer gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder, for eksempel ved beregning, at dette facit er en korrekt løsning. løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekte resultater fra en tidligere opgave. Point kan tildeles, når eleven har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignende, antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignende ud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven. Ingen point gives når opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mellem to eller tre mulige løsninger. Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende elementer af kommunikations- og symbolbehandlingskompetencen: Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar? Har eleven anvendt særlige gode løsningsmetoder? Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn? Er resultatet skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne? Er der et passende antal decimaler? Er der afrundet korrekt? Er store tal skrevet på læservenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller kr. frem for kr. Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at finde rundt i? Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtals separator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, -, og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i håndskrift og i print fra en computer. Det bør normalt ikke medføre fradrag i pointtildelingen. Ved anvendelse af Side 55 af 97

56 mere avancerede programmer ser det ud til, at man uden stort besvær kan skrive, som det er almindeligt i Danmark, dog ikke i de fleste geometriprogrammer. Karakterfastsættelse Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter. Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger pointtallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen og symbolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02. Som en hjælp til det afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bringes de vejledende karakterbeskrivelser herunder. Karakter Betegnelse Vejledende beskrivelse 12 Fremragende Eleven vælger og anvender med sikkerhed hensigtsmæssige metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer sikker viden om fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde løsninger med ingen eller få uvæsentlige fejl. Eleven anvender med sikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger på en hensigtsmæssig måde både inden for matematisk problemløsning og matematik i anvendelse. Eleven anvender hjælpemidler på en sikker og hensigtsmæssig måde. Eleven kan udforme en veldisponeret besvarelse med en sikker brug af faglige begrundelser, hvor tankegangen fremgår klart og overskueligt, og der veksles sikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 7 Godt Eleven demonstrerer kendskab til og anvendelse af metoder til behandling af forelagte praktiske og matematiske problemer. Eleven demonstrerer god viden om mange af fagets begreber og metoder og kan anvende dem til at udarbejde Side 56 af 97

57 løsninger på en del forelagte problemer. Eleven anvender med nogen usikkerhed matematiske modeller, algebraiske udtryk, grafer og tegninger. Eleven anvender hjælpemidler på en god måde. Eleven kan udforme en opgavebesvarelse med god sammenhæng inden for de enkelte spørgsmål og med brug af faglige begrundelser. Eleven kan veksle mellem hverdagssprog og matematikkens sprog. 02 Tilstrækkeligt Eleven demonstrerer nogen kendskab til fremgangsmåder i behandlingen af simple praktiske og matematiske problemer. Eleven kan anvende simple formler og udføre enkle beregninger. Eleven udformer en noget usammenhængende besvarelse med få faglige begrundelser, og der veksles usikkert mellem hverdagssprog og matematikkens sprog Karakterfastsættelse Den endelige karakterfastsættelse sker ved en samtale mellem den statsligt beskikkede censor og faglæreren. Dette foregår ved følgende procedure: Umiddelbart efter prøvens afholdelse sender skolen elevbesvarelserne og karakterliste som anbefalet post til den statsligt beskikkede censor, som retter og vurderer. Censor sender som anbefalet post: elevbesvarelserne og kontaktoplysninger til skolen (faglæreren) samt karakterlisten, som vedlægges i en lukket konvolut med oplysninger om holdets/klassens betegnelse uden på. Skolens leder udleverer elevbesvarelserne og censors kontaktoplysninger til faglæreren, som retter og vurderer besvarelserne. Skolens leder opbevarer karakterlisten. Faglæreren sender sin karakterliste til censor enten pr. brev eller i en mail. Herefter skal skolens leder udlevere censors karakterliste til faglæreren. Faglæreren kontakter censor, inden for de tidsrum statslig censor har angivet i sine kontaktoplysninger. Censor og faglærer drøfter og fastsætter de endelige karakterer efter karakterbekendtgørelsen: 13. Bedømmelse af præstationer og standpunkter skal ske på grundlag af de faglige mål, der er opstillet for det pågældende fag eller flerfaglige forløb (absolut karaktergivning). Præstationen og standpunktet skal bedømmes ud fra såvel fagets eller forløbets formål som undervisningens beskrevne indhold. Der må ikke tilstræbes nogen bestemt fordeling af karaktererne (relativ karaktergivning). 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Side 57 af 97

58 Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Når bedømmelsen er afsluttet, underskriver censor og faglærer hver sin karakterliste med de endelige karakterer. Kun de endelige karakterer må fremgå af karakterlisten. Hvis der er rettet i karakterlisten, skal tidligere afgivne karakterer være ulæselige. Censor sender karakterlisten til skolens leder, og faglærer afleverer elevbesvarelserne og karakterlisten til skolens leder. Skolens leder kontrollerer, at der er overensstemmelse mellem de to karakterlister. Skolens leder må først være bekendt med karaktererne, når de er endelig fastsat af censor og faglærer. Der også en anden procedure, der kan anvendes, hvis der er to enslydende eksemplarer af elevbesvarelserne. Denne procedure kan findes i Orientering om folkeskolens afsluttende prøver på Her kan man også hvert år finde de konkrete datoer, hvor der skal være fremsendt opgaver, karakterlister osv. Procedurerne for forsendelse og karakterfastsættelse samt andre forhold vedrørende censur er desuden uddybet i censorvejledningen for de statsligt beskikkede censorer. Censorvejledningen kan læses på Kvalitets- og Tilsynsstyrelsens hjemmeside Den mundtlige gruppeprøve Generelt om den mundtlige prøve 2.7. Ved afholdelse af den mundtlige prøve vælges der mellem enten prøveform A, jf. pkt , eller prøveform B, jf. pkt Den valgte prøveform er fælles for alle elever på samme hold. Ved skoleårets begyndelse træffer skolens leder bestemmelse om prøveformen. Prøvebekendtgørelsen Den mundtlige prøve afvikles som en gruppeprøve i begge prøveformer. Ovenstående har især betydning, hvis man ønsker at bruge prøveform B, der bygger på elevernes portfolio, som er samlet i løbet af skoleåret. Kommer der nye elever til klassen i løbet af året, vil prøveformen ofte betyde, at der skal gøres særlige foranstaltninger. Der er flere muligheder for at løse en sådan situation: de nye elever deltager i matematikundervisningen i en anden klasse, der har valgt prøveform A de nye elever arbejder ekstra med at udbygge deres portfolio de nye elever samles på et særligt hold, der går op i prøveform A. Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og kunnen på niveau 3 i vurderingspyramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen. Prøven er en gruppeprøve, hvilket bl.a. har sin baggrund i tre af trinmålene efter 10. klasse i matematiske arbejdsmåder: Side 58 af 97

59 arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt Prøveform A 2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof Ved prøven må eleverne anvende alle hjælpemidler. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Desuden bedømmes elevens faglige fordybelse og forståelse af større sammenhænge Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter. Prøvebekendtgørelsen Prøven er i form og indhold identisk med den mundtlige prøve efter 9. klasse, men det forventes, at dækningsgraden af de matematiske kompetencer er større i 10. klasse, og at slutmål, der er særlige for 10. klasse, inddrages i prøveoplæggene. Side 59 af 97

60 Tekstopgivelser 2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning. Prøvebekendtgørelsen Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en opremsning af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal også være eksempler på matematiske situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen. Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det I tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne. Prøvebekendtgørelsen 8. Stk. 2. Skolens leder kan i særlige tilfælde beslutte, at en prøve, som er tilrettelagt som gruppeprøve, i stedet tilrettelægges som en individuel prøve for en elev, når det er begrundet i hensyn vedrørende eleven Prøvebekendtgørelsen Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om, at højst seks elever er til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Side 60 af 97

61 Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 14). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de otte matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse. 9. Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet fremgår af reglerne om de enkelte prøver, jf. nærmere herom bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækningen skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Prøvebekendtgørelsen Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer samtlige områder inden for det opgivne stof. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over store dele af det opgivne stof Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser. Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved forskellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe. Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme runde Antal elever 1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prøveoplæg 12 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 2 1 gruppe á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á 2 6 Side 61 af 97

62 15 2 grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene 2 grupper á grupper á 2 2 grupper á 3 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 2 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á Prøveoplæg Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Prøvebekendtgørelsen Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, som eleverne skal arbejde med i prøvetiden. Disse problemstillinger kan både være rene matematiske problemer, såvel som anvendte, og de skal som regel være åbne og ikke lukkede. På ligger til inspiration og vejledning et antal eksemplariske prøveoplæg, men disse må ikke anvendes ved folkeskolens afsluttende prøver.. Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres viden og kunnen. Problemstillingerne bør så vidt muligt i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et matematisk problem defineres ifølge rapporten Kompetencer og matematiklæring 2002 (KOM-rapporten) som en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. (KOM-rapporten side 49). Side 62 af 97

63 Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de matematiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål De beskrives nærmere i afsnit Desuden skal der være mulighed for, at eleverne kan benytte matematiske arbejdsmåder. Som nævnt bør oplæggene så vidt muligt give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsdelen af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence. Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence for eksempel modellerings- eller ræsonnementskompetencen, knytte an til flere kompetencer eller eventuelt dem alle. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange for eksempel: En fuldstændig modellering En delvis modellering Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model. Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som Find rumfanget af, Hvor meget koster vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der medfølger fx bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Udgangspunktet kan være en undersøgelse af for eksempel en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersøges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere. Det samlede antal prøveoplæg skal dække det opgivne stof på en alsidig måde og dermed store dele af Fælles Mål. Prøveoplæg må gerne have et lokalt islæt, som kan give eleverne et stærkere ejerskab til problemstillingerne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som evt. link skal være opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geometriprogrammer mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven. Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleveres under prøven. To eksempler på mundtlige prøveoplæg. Det ene er med en ren matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstilling, hvor internet skal anvendes. Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres senere i prøveforløbet. Side 63 af 97

64 Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker som vist herunder. I kan også se Tages kvadrat på bilag 1. Tage Werner påstod bl.a., at 1) de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange 2) der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes 3) størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved beregninger. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet. I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer. Ideer: Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10. Side 64 af 97

65 Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at måle? Læg mærke til nogle af figurerne, der gemmer sig i Tages kvadrat: Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede makkere? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på, at figurerne er kongruente og/eller ligedannede? Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer. Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27? Kan I finde vinklens størrelse på flere forskellige måder? Kan I bruge resultatet fra før til at beregne størrelsen af flere vinkler i Tages kvadrat? Side 65 af 97

66 Bilag 1 Tages kvadrat Tages kvadrat - Lærervejledning Forberedelse: Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx GeoGebra og flere kopier af bilag 1. Side 66 af 97

67 Faglige fokuspunkter: Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med næsten alle de trinmål, som er knyttet til fagområdet geometri. Fra et kompetenceperspektiv er det ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men oplægget giver også eleverne gode muligheder for at vise problemløsningskompetence og hjælpemiddelkompetence. I forbindelse med arbejdsmåder er det især trinmålet: undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere, der er i spil. Ideer til udfordringer og støtte: Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometriprogram. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da sidelængden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med oplægget. En mulighed er at vælge sidelængden 10. Dette tal giver rimelig runde tal i beregningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en tilfældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet. Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsningerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i forbindelse med udfordringerne - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres Side 67 af 97

68 viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne. For nogle elever kan det være en fordel at klippe delfigurer ud af bilag 1 i forbindelse med deres arbejde med påstand 2). Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret under ideer ), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser, vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler. Skolevejen Jernbaneoverskæring Emil Agerkrogen 2 Skolen Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg Hvor langt har du egentlig til skole? Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet lige uden for skolen. Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu sveder jeg, griner Emil, Hvad med dig? Side 68 af 97

69 Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg, svarer Maria. Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks, siger Emil og kigger på uret på sin mobil. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden. I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole. I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid, det tager. I skal sammenligne rejsevejledninger på og Ideer til oplægget - I kan taste jeres egen skolevej ind i og og kommentere, hvordan forslagene passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj. - På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der kan foretages beregninger. På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN. En elev har målt, at hun har 650 meter til skole. I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har foretaget turen på forskellige måder. [regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation] Side 69 af 97