Vejledning til prøverne i matematik

Transkript

1 Vejledning til prøverne i matematik Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Februar af 78

2 Indholdsfortegnelse 1. Indledning FP Prøve i matematik uden hjælpemidler Prøve i matematik med hjælpemidler Prøveoplægget Hjælpemidler Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i prøven med hjælpemidler Karakterfastsættelse Mundtlig gruppeprøve Tekstopgivelser Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøveoplæg Hjælpemidler og it Prøvens forløb Vurderingskriterier Endelig karakterfastsættelse FP Generelt om de to dele af prøven Den skriftlige prøve Hvad adskiller prøven fra FP Prøveoplægget Hjælpemidler Formelsamling Anvendelse af computer Kommunikation Elevens aflevering af sin besvarelse Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik af 78

3 Karakterfastsættelse Mundtlig gruppeprøve Generelt om den mundtlige prøve Prøveform A Prøveform B Særlige prøvevilkår og fritagelse fra prøve Særlige prøvevilkår Fritagelse fra prøve Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver Lærernes forberedelse og undervisning af 78

4 Forord Formålet med denne vejledning er at præcisere og uddybe de prøvekrav, der stilles i prøvebekendtgørelsen, og at tydeliggøre den sammenhæng der er mellem prøvebekendtgørelsen og folkeskolens formål, fagformålet og Fælles Måls kompetencemål og underliggende færdigheds-vidensmål i matematik. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 4, skal elever og lærere løbende samarbejde om fastlæggelse af målene, elevernes arbejde, og undervisningsformer, metoder og stofvalg skal i videst muligt omfang foregå i samarbejde mellem lærer og elever. Denne paragraf skal naturligvis ses i lyset af såvel den overordnede formålsbestemmelse samt fagformålet og Fælles Mål. Kravene i faget matematik, som de er beskrevet i Fælles Mål og i gældende bekendtgørelser, er grundlaget for folkeskolens prøver og tilrettelæggelsen af dem. Ifølge folkeskolelovens 18, stk. 3, skal undervisningens indhold fastlægges så kravene ved prøverne i faget kan opfyldes. Eleverne skal inden prøverne orienteres om prøvekravene og vurderingskriterierne, og om hvordan prøvernes enkelte dele foregår. Denne vejledning er justeret i henhold til BEK nr af 16/12/2015. Findes på: 3e9d420aa301 Spørgsmål vedrørende prøverne i matematik rettes til: [email protected] eller [email protected] 4 af 78

5 1. Indledning Prøven efter 9. klasse (FP9) og prøven efter 10. klasse (FP10) består hver især af både en skriftlig og en mundtlig del. Den mundtlige del af prøven er en gruppeprøve. Prøvernes forskellige dele Den skriftlige del af FP9 er en obligatorisk og bunden prøve og består af to dele: Prøven uden hjælpemidler af en times varighed og med en selvstændig karakter Prøven med hjælpemidler af tre timers varighed og med en selvstændig karakter. Den mundtlige del af FP9 er til udtræk i gruppen af naturfag sammen med geografi, biologi og Idræt. Det betyder, at eleverne i cirka hver fjerde 9. klasse i 2016 skal aflægge prøve i mundtlig matematik. FP10 prøven er frivillig og består af en skriftlig og en mundtlig del med hver sin karakter. Alle prøverne tager udgangspunkt i Fælles Mål. De enkelte delprøver skal prøve eleverne i noget forskelligt og knytter derfor an til forskellige elementer af Fælles Mål. For at anskueliggøre, hvad de tre forskellige prøver i FP9 skal kunne vurdere, kan der tages udgangspunkt i Jan de Langes Assessment Pyramide. Den vises herunder i oversat og bearbejdet form: Pyramiden illustrerer tre forskellige niveauer af matematisk tænkning, som kan bruges til at kategorisere de mål, vi knytter til matematikundervisningen. Det laveste niveau vedrører viden om objekter, definitioner, tekniske færdigheder og algoritmer. Det mellemste niveau sigter på sammenhængen mellem flere begreber eller procedurer, og det højeste niveau sigter på komplekse former for matematik, fx problemløsning, matematisk argumentation, modellering og generalisering. Inden for hvert niveau kan målene have forskellige sværhedsgrader se de følgende eksempler. Det skal understreges, at pyramiden ikke skal forbindes med selve matematikundervisningen. Fx skal den ikke antyde en progression i elevernes udvikling af matematisk kunnen eller en fordeling af 5 af 78

6 arbejdsmængden indenfor de tre forskellige niveauer af tænkning. Pyramiden kan til gengæld bruges til at belyse relationen mellem de tre dele af folkeskolens prøve i matematik. Prøven uden hjælpemidler vil rumme flest opgaver, som er rettet mod niveau 1 og få opgaver, som er rettet mod niveau 2. Prøven med hjælpemidler har flest opgaver på niveau 2 med enkelte opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve skal vise elevernes viden og kunnen på niveau 3. Her er det de matematiske kompetencer, der skal udgøre indholdet. De er temmelig vanskelige at prøve i de skriftlige prøver og passer bedst som hovedindhold i en mundtlig prøve. Ved FP10 vil den skriftlige prøve ligeledes have hovedparten af opgaverne på niveau 2 og et mindre antal opgaver på niveau 1 og 3. Den mundtlige prøve vil som ved FP9 prøve eleverne på niveau 3, matematiske kompetencer. Eksempler fra FSA 2012 Niveau 1, reproduktion af viden og færdigheder Eksemplerne er fra prøven i matematiske færdigheder. Let Middel Svær Niveau 2, sammenhænge mellem begreber eller procedurer Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. 6 af 78

7 Let Middel Svær 7 af 78

8 Niveau 3, komplekse former for matematisk virksomhed Eksemplerne er fra prøven i matematisk problemløsning. Middel Svær Der vil være to eksempler på mundtlige prøveoplæg på niveau 3 i afsnit om den mundtlige prøve. 8 af 78

9 2. FP9 Folkeskolens prøve efter 9. klasse indeholder en skriftlig del med to prøver og en mundtlig del med én prøve: Prøve uden hjælpemidler, der er skriftlig og bunden Prøve med hjælpemidler, der er skriftlig og bunden Mundtlig gruppeprøve til udtræk. De to skriftlige prøver afholdes på to forskellige dage og varer henholdsvis en time og tre timer. Den mundtlige prøve varer to timer. I særlige tilfælde kan en elev fritages fra en eller flere af prøvens tre dele, se afsnit 4.1 De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission beskikket af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne i prøveoplægget ud fra Fælles Mål og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere. Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling udgiver uddybende rettevejledninger til de to skriftlige prøver. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne besvarelser, kan man følge med i diskussionerne om prøverne på SkoleKoms konference for matematiklærere. Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års prøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på Prøve i matematik uden hjælpemidler 2.3. Til besvarelse af prøven i matematik uden hjælpemidler gives der 1 time Der prøves i de matematiske stofområder: Tal og algebra, geometri og måling, samt statistik og sandsynlighed Der må ikke benyttes medbragte hjælpemidler Der gives én karakter Prøven kan afholdes som digital selvrettende prøve, jf. 51, stk Vurdering af besvarelser i prøven uden hjælpemidler Hvis prøven uden hjælpemidler gennemføres som digital selvrettende prøve, medvirker ikke censor og bedømmelse sker automatisk i ministeriets digitale prøveafviklingssystem. Hvis prøven uden hjælpemidler udfærdiges på papir, foretages bedømmelsen af prøven af en kvalificeret lærer udpeget af skolens leder, dog ikke holdets faglærer. I vurderingen af elevens besvarelse ses alene på det resultat, der er anført. Løsningsmetoder og eventuelle mellemregninger er derfor uden for bedømmelse med mindre, der spørges om dette. Har en elev givet to forskellige svar på samme opgave, skal opgaven vurderes som forkert, også selv om det ene svar er korrekt. 9 af 78

10 Hver opgave, der er rigtigt besvaret, tildeles et point. Senest to uger efter prøvens afholdelse vil Styrelsen for Undervisning og Kvalitet offentliggøre en omsætningstabel, som angiver karakteren for de forskellige pointintervaller. Der gives én karakter for prøven. Opgaveløsningerne vil ofte være entydige, men en del opgaver vil have flere løsningsmuligheder. Entydige resultater kan tit skrives på flere måder, der alle skal anerkendes som korrekte. Eksempel: Reduktion af udtrykket: 6b + 3 (8a 2b) 2b. Følgende resultater skal alle betragtes som rigtige: 24 a 2 b ; 24a 2b ; -2 b + 24 a ; -2b + 24a ; -b 2 + a 24 ; a 24 b 2 Opgaver af nedenstående type kræver et resultat med anvendelse af variable, som dog ikke kræves reduceret til korteste form: Medmindre der er stillet krav om en bestemt notationsform (for eksempel skriv som decimaltal ), må det accepteres, at samme resultat kan angives på forskellige måder. Det betyder for eksempel, at brøker ikke nødvendigvis skal forkortes eller om muligt omregnes til blandet tal, og at resultatet kan opgives som brøk, decimaltal eller procenttal. I forbindelse med tegning af geometriske figurer og lignende accepteres en vis usikkerhed. Ved måling på tegninger og aflæsning af grafer og diagrammer kan resultater inden for et passende interval godkendes. Hjælp til vurderingen af elevbesvarelser kan hentes flere steder. Ud over de før nævnte og SkoleKomkonference, kan evalueringen af tidligere års afgangsprøver være anvendelige. Disse såkaldte PEUpublikationer, kan findes på 10 af 78

11 2.2 Prøve i matematik med hjælpemidler 2.8. Til besvarelse af prøven i matematik med hjælpemidler gives der 3 timer Der prøves i anvendelse af matematik til behandling af problemer fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og behandling af matematiske problemstillinger I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling udgivne formelsamling Der gives én karakter Prøveoplægget Et prøveoplæg består et antal opgaver, der indeholder et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, mens et mindre antal er på niveau 1 og 3. De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra daglig, fritids-, uddannelses-, arbejds- og/eller samfundsliv, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng. Der vil være både åbne og lukkede opgaver. De kontekster, der vælges til de skriftlige prøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de: kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle og fremtidige daglig-, fritids-, uddannelses-, arbejds- og samfundsliv. (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle elever har et forhåndskendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uafhængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden. Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i afgangsprøven. Et prøvesæt i prøven med hjælpemidler vil indeholde både tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne. Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindelse med matematiske begreber og problemstillinger, og efterfølgende kan anvendes i kommunikationen af problemløsningen Hjælpemidler Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling udgivne formelsamling. Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som 11 af 78

12 urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen 23: Skolens leder skal sikre, at eleven har hensigtsmæssige arbejdsforhold under prøven, og at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres smartphone som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler, kommunikeres med andre osv. Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortrolige med og vil have brug for og glæde af i en tretimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få Formelsamling Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestillings formelsamling kan findes på Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens prøver i matematik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i prøverne. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at blive fortrolig med dens indhold og opbygning. Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden eksempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske stofområder Anvendelse af computer Eleverne må anvende computer ved prøven. Dog skal skolens leder sikre, at eleven ikke kan kommunikere utilsigtet. 23. Skolens leder skal sikre, at eleven har hensigtsmæssige arbejdsforhold under prøven, og at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende, idet skolen sikrer, at der i det medbragte ikke findes programmer, der sætter eleven i stand til at kommunikere utilsigtet. Eleverne kan under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne. 12 af 78

13 Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens UNI login. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstændige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet. Flere og flere af opgaverne i prøven med hjælpemidler, kan med fordel løses ved hjælp af it. Prøven med hjælpemidler giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling. Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram. Disse eksempelopgaver kan findes på Kommunikation I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens brug af faglige begrundelser, herunder anvendelse af matematiske modeller, samt elevens anvendelse af forklarende tekst, algebraiske udtryk, tegninger og grafer. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan vurdere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsen af besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven uden hjælpemidler. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonneopstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunikeres mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, og der må meget gerne være en variation i kommunikationen. Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA maj 2012: Opgave 1.2 Simons timeløn er 55,35 kr. og han forventer at tjene kr. i Hvor mange timer skal han arbejde i 2012? Simon skal arbejde ca. 434 timer 13 af 78

14 Opgave 1.4 Undersøgelse af Simons årsløn, hvis hans skattepligtige indkomst skal være kr., når beskæftigelsesfradraget er 4,4 % og arbejdsmarkedsbidraget er 8 %. Jeg bruger målsøgning i et regneark: Årsløn kr ,99 Beskæftigelsesfradrag kr ,35 Arbejdsmarkedsbidrag kr ,64 Skattepligtig indkomst kr ,00 Simons årsløn kan højst være ca kr. Opgave 4.4 A og D er forkerte. A er forkert, fordi der er en parentes, som gør, at noget bliver regnet sammen, før end det er meningen. D er forkert, fordi de sidste 0,25 kommer med i brøken, hvor de ikke hører hjemme. Opgave Opgaven er løst i programmet GeoGebra. 14 af 78

15 Det er ikke god kommunikation, hvis eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med Elevens aflevering af sin besvarelse Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestemt farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleveret ark indeholder følgende oplysninger: skolens navn prøvens og opgavens art elevens UNI login arknummer og det samlede antal ark Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Det er således ikke den enkelte side, der skal nummereres. Eleven afgør selv, hvilke ark der skal indgå i besvarelsen, og som afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af: håndskrevne ark udskrevne ark fra computer tegninger og grafer på specialpapir udfyldte svarark Det er vigtigt, at eleven sikrer sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Anvendes digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse. Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere: at eleven har identificeret sig med sit UNI login at antallet af afleverede ark stemmer overens med det noterede antal på forsiden at arkene er fortløbende nummereret 15 af 78

16 Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse Vurdering af besvarelser i prøven med hjælpemidler Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor. Opgavekommissionen udarbejder en uddybende rettevejledning med eksempler på besvarelser og antal point for besvarelserne. Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hver delopgave i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på dagen efter prøvens afholdelse. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til svære opgaver end til lette. Pointfordelingen skal hjælpe censor til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse. En del opgaver i prøven med hjælpemidler har ikke et resultat eller en bestemt metode, der skal bedømmes. Det kan fx være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder. Der er i prøven med hjælpemidler i modsætning til prøven uden hjælpemidler krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder blandt andet i kommunikationen. Eksempler: Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster. I opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af regnearket. Fra FS10 maj af 78

17 Fra FS10 maj 2012 Lån Rente Ydelse ,00 kr. 2,12% pr. måned 1.000,00 kr. pr. måned Antal måneder Rente-tilskrivning Ydelse Saldo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 352, , ,00-640,33 Lånet er tilbagebetalt efter måneder 17 af 78

18 Lån Rente Ydelse 7.348,48 kr. 2,12% pr. måned 700,00 kr. pr. måned Antal måneder Rente-tilskrivning Ydelse Saldo , ,79 700, , ,25 700, , ,47 700, , ,44 700, , ,15 700, , ,60 700, , ,79 700, , ,70 700, , ,34 700, , ,70 700, , ,76 700,00 685, ,53 700,00 0,00 De kan låne 7348 kr. Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram anvendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning. Fra FSA maj af 78

19 Pointtildeling Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat beskriver en korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv. bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogram eller et CAS-program til at finde løsningen på en stillet opgave har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og diagrammer gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder for eksempelved beregning, at dette facit er en korrekt løsning løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekte resultater fra en tidligere opgave. Point kan tildeles, når eleven har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignende. Antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignende ud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven. Ingen point gives, når opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mellem to, tre eller fire mulige løsninger. Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende aspekter af kommunikations- samt repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen: Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar? Har eleven anvendt særligt gode løsningsmetoder? 19 af 78

20 Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn? Er resultatet eller konklusion skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne? Er der et passende antal decimaler? Er der afrundet korrekt? Er store tal skrevet på læsevenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller kr. frem for kr.? Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at orientere sig i? Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtalsseparator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +, -, og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i håndskrift og i print fra en computer. At eleven benytter andre separatorer og tegn medfører ikke fradrag i pointtildelingen, hvis eleven er konsekvent i sin brug af disse. Karakterfastsættelse Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen sammen med den uddybende rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter. Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger pointtallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen samt repræsentation og symbolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02. Som en hjælp til den afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bør de vejledende karakterbeskrivelser benyttes. Disse findes på Karakterfastsættelse 44. Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling beskikker censorer til prøver med skriftlig besvarelse. Ministeriet kan beskikke censorer til andre prøver. 20 af 78

21 2.3 Mundtlig gruppeprøve Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen Prøven foregår i grupper bestående af 2-3 elever. Prøven tilrettelægges, så højst 6 elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at arbejde undersøgende i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder indenfor det opgivne stof Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence, modelleringskompetence, ræsonnements- og tankegangskompetence, kommunikationskompetence og hjælpemiddelkompetence Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og især kunnen på niveau 3 i vurderingspyramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Prøven er til udtræk sammen med de digitale prøver i biologi, geografi og idræt. Det betyder, at hver fjerde 9. klasse kommer til den mundtlige prøve i matematik Tekstopgivelser Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen. 21 af 78

22 Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være; Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnements- og tankegangskompetencen Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne og anvendelsesformål skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og antal prøveoplæg Prøven foregår i grupper bestående af 2-3 elever. Prøven tilrettelægges, så højst 6 elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 28-32). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de seks matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål. Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse dog ikke i den samme prøverunde. 21 stk. 2: Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet er fastsat i bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækning skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Udtrukne muligheder kan anvendes op til to gange. Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, 22 af 78

23 at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer stofområderne i Fælles Mål. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over mere end 1-2 stofområder på en gang. Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser. Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved forskellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe. Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme prøverunde. Antal elever 1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prøveoplæ g 12 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 2 1 gruppe á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene 2 grupper á grupper á 2 2 grupper á 3 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 2 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á af 78

24 2.3.3 Prøveoplæg Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at arbejde undersøgende i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder indenfor det opgivne stof. Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, og eleverne skal arbejde med alle problemstillingerne i et prøveoplæg. I den endelige vurdering medtages elevernes arbejde med alle de udleverede problemstillinger Disse problemstillinger kan både være rene matematiske problemer såvel som anvendte, og de skal som regel være åbne og ikke lukkede. På ligger til inspiration og vejledning et antal eksempler på prøveoplæg, men de må ikke anvendes ved folkeskolens af prøver. Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres beherskelse af de matematiske kompetencer. Problemstillingerne skal i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et matematisk problem defineres ifølge rapporten Kompetencer og matematiklæring 2002 (KOM-rapporten) som en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. (KOM-rapporten side 49). Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de seks matematiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål. De matematiske kompetencer og deres vægtning i prøveoplæggene beskrives nærmere i afsnit Som nævnt skal alle oplæggene give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsdelen af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence. Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnement- og tankegangskompetencen eller knytte an til flere kompetencer. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange fx En fuldstændig modellering En delvis modellering Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model. Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som Find rumfanget af, Hvor meget koster vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der fx medfølger bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Udgangspunktet kan være en undersøgelse af fx en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersøges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere. 24 af 78

25 Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere stofområderne i Fælles Mål. Prøveoplæg bør have et lokalt islæt, da dette giver eleverne et stærkere ejerskab til problemstillingerne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som eventuelle links er opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geometriprogram mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven. Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleveres under prøven. To eksempler på mundtlige prøveoplæg. Det ene er med en ren matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstilling, hvor internet skal anvendes. Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres senere i prøveforløbet. Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker som vist herunder. I kan også se Tages kvadrat på bilag 1. Tage Werner påstod bl.a., at 1) de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange 2) der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes 25 af 78

26 3) størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer, kan findes ved beregninger. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet. I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer. Ideer: Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10. Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at måle? Læg mærke til nogle af figurerne, der gemmer sig i Tages kvadrat: Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede makkere? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på, at figurerne er kongruente og/eller ligedannede? Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer. Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27? Kan I finde vinklens størrelse på flere forskellige måder? Kan I bruge resultatet fra før til at beregne størrelsen af flere vinkler i Tages kvadrat? 26 af 78

27 Bilag 1 Tages kvadrat 27 af 78

28 Hjælpemiddel Kommunikation Repræsentation og symbolbehandling Ræsonnement og tankegang Modellering Problembehandling Tages kvadrat - Lærervejledning Forberedelse: Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx GeoGebra og flere kopier af bilag 1. Faglige fokuspunkter: Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med mange af de færdigheds- og vidensmål, som er knyttet til stofområdet Geometri og måling. Her er det Geometriske egenskaber og sammenhænge og Måling der er taget udgangspunkt i. Oplægget lægger især op til ræsonnement- og tankegangskompetencen, som vil være i fokus, men vil ligeledes give mulighed for at eleverne kan vise problembehandlings- og hjælpemiddelkompetencen. Tal og algebra Geometri og måling Statistik og sandsynlighed Ræsonnement og tankegang, udskoling fase 3 Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer Eleven har viden om enkle matematiske beviser Geometri og måling, geometriske egenskaber og sammenhænge, fase 3 Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter Eleven har viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter Geometri og måling, måling, fase 2 Eleven kan bestemme mål i figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer Eleven har viden om formler og digitale værktøjer, der kan anvendes ved bestemmelse af omkreds, areal og rumfang af figurer Geometri og måling, måling, fase 3 Eleven kan bestemme afstande med beregning Eleven har viden om metoder til afstandsbestemmelse Ideer til udfordringer og støtte: Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometriprogram. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da sidelængden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med oplægget. En mulighed er at vælge sidelængden 28 af 78

29 10. Dette tal giver rimelig runde tal i beregningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en tilfældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet. Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsningerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i forbindelse med udfordringerne - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne. For nogle elever kan det være en fordel at klippe delfigurer ud af bilag 1 i forbindelse med deres arbejde med påstand 2). Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret under ideer ), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser, vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler. Skolevejen Jernbaneoverskæring Emil Agerkrogen 2 Skolen Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg Hvor langt har du egentlig til skole? Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet lige uden for skolen. Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg 29 af 78

30 gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu sveder jeg, griner Emil, Hvad med dig? Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg, svarer Maria. Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks, siger Emil og kigger på uret på sin mobil. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden. I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole. I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid, det tager. I skal sammenligne rejsevejledninger på og Ideer til oplægget - I kan taste jeres egen skolevej ind i og og kommentere, hvordan foreslagene passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj. - På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der kan foretages beregninger. På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN. En elev har målt, at hun har 650 meter til skole. I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har foretaget turen på forskellige måder. [regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation] 30 af 78

31 Kommentarer til SKOLEVEJEN Materialer: Eleverne skal have obligatorisk adgang til computer med adgang til internettet. Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort. Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både og Vurdering af elevernes matematiske kompetencer kan foregå på baggrund af følgende tre spørgsmål: a) Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? b) Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? c) Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? d) Kan eleven kommunikere med og om matematik? Vedr. a) I oplægget har eleverne mulighed for vise kendskab til modelleringskompetencen, som kan indeholde disse proceselementer: Kan eleverne definere og afgrænse problemet? Kan eleverne opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med en problemstilling? Kan eleverne udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleverne analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleverne anvende modellen i andre sammenhænge? Vedr. b) Eleverne har mulighed for i oplægget at bringe sin faglige viden om måling af afstand, tid og hastighed og målestok i spil. Desuden har eleverne mulighed for at demonstrere viden og kunnen i arbejdet med regneark, enten på egen hånd eller med assistance af det bearbejdede regneark, der kan udleveres. Vedr. c) Eleverne har mulighed for at undersøge og eksperimentere, blandt andet ved hjælp af regneark. Eleverne 31 af 78

32 skal anvende dialogen i gruppen til at afgøre, hvordan afstande mellem destinationer kan måles, og hvordan anvendelse af de forskellige transportmuligheder influerer på farten Desuden skal der bedømmes om eleverne kan samarbejde fagligt med gruppen på punkter som disse: Bliver der lavet en arbejdsplan, og er gruppen i stand til at arbejde bevidst i henhold til denne? Tager de enkelte elever initiativer? Er gruppen i stand til at konkludere på diskussioner? Vedr. d) I kommunikation vægtes det, om eleverne kan indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe, og om eleven kan fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog og med vekslen mellem hverdagssprog og matematisk sprog Hjælpemidler og it Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger med videre. Eleverne skal have mulighed for at anvende computer ved prøven. Det er mest praktisk, at grupperne har adgang til hver deres computer. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende. Eleverne kan under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af utilsigtet overtrædelse af bestemmelserne eller snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at lærer og censor fører det nødvendige tilsyn med grupperne under prøven Prøvens forløb Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale. Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på minutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum, dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden. En runde varer 120 min., og der bør afsættes ca. ½ time til at: 32 af 78

33 Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca min. Votering ca min. Eleverne får deres karakterer eventuelt med en kort begrundelse. Der er hermed cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupperne og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således: 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition. 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. Både censor og faglærer tager notater under samtalerne. Notaterne skal bruges under voteringen til at give en retvisende og fair karakter til den enkelte elev. Notaterne opbevares i et år efter prøven af censor og faglærer til bedømmernes egen brug - for eksempel ved en efterfølgende klagesag over en eksamination eller bedømmelse Vurderingskriterier Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence, modelleringskompetence, ræsonnements- og tankegangskompetence, kommunikationskompetence og hjælpemiddelkompetence. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de 6 matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål. De har deres baggrund i Kompetencer og matematiklæring udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på også kaldet KOM-rapporten. I KOM-rapporten defineres matematisk kompetence som det at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Om den enkelte kompetence står der i rapporten: En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring. Vurdering af matematiske kompetencer i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle med overblik og dømmekraft i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? Kan eleven kommunikere med og om matematik? Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompetencerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer skal lægges på dem. Det drejer sig om problembehandling-, modellerings- og ræsonnement- og tankegangskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt 33 af 78

34 de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der én kompetence repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg. Problembehandlingskompetence Eleven kan planlægge og gennemføre problemløsningsprocesser/eleven har viden om elementer i problemløsningsprocesser Eleven kan vurdere problemløsningsprocesser/eleven har viden om problemløsningsprocesser Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? Modelleringskompetence Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model/ Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering/ Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering Eleven kan vurdere matematiske modeller/ Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandlings-, repræsentations- og symbolbehandlings samt ræsonnement- og tankegangskompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? Ræsonnements- og tankegangskompetencen Eleven kan skelne mellem hypoteser, definitioner og sætninger/ Eleven har viden om hypoteser, definitioner og sætninger Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer/ Eleven har viden om forskel på generaliserede matematiske resultater og resultater, der gælder i enkelttilfælde Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer/ Eleven har viden om enkle matematiske beviser 34 af 78

35 Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i stofområdet geometri og måling, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen samt hjælpemiddelkompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisserargumenterkonklusion Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? Kommunikationskompetence Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik med faglig præcision/ Eleven har viden om fagord og begreber samt enkelt matematisk symbolsprog Eleven kan kritisk søge matematisk information, herunder med digitale medier/ Eleven har viden om informationssøgning og vurdering af kilder Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig præcision/ Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompetence, som er central, når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? Hjælpemiddelkompetence Eleven kan vælge og vurdere hjælpemidler til samme matematiske situation/ Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. Opmærksomhedsfelt: Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation/ Eleven har viden om styrker og svagheder ved repræsentationer, der udtrykker samme matematiske situation Eleven kan anvende udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer/eleven har viden om notationsformer, opstilling og omskrivning af udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer 35 af 78

36 Kompetencen i prøvesammenhæng Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den ikke er en kompetence, som hovedvægten kan lægges på, kan læreren godt hjælpe elever med for eksempel symbolsprog i en modelleringsproces, hvor hovedvægten lægges på denne kompetence. Det kan indgå i vurderingen, hvorvidt eleverne kan oversætte mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse? Kan eleven afkode symboler? Kan eleven bruge symboler? Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.? Endelig karakterfastsættelse Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede dog kan skolelederen tillade at ikke erfarne lærere kan overvære voteringen (jf. 22 stk. 6). Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder følgende regler: 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Som hjælp til bedømmelsen findes de vejledende karakterbeskrivelser på 3. FP Generelt om de to dele af prøven Prøven i matematik er i to dele, der kan aflægges hver for sig: Skriftlig matematik, en 4 timers prøve Mundtlig matematik, gruppeprøve med to prøveformer Eleverne i 10. klasse kan selv sammensætte deres prøve, så de har mulighed for at gentage prøverne fra 9. klasse undtagen den mundtlige prøve, der er til udtræk og derfor ikke kan aflægges i 10. klasse. De har også mulighed for at kombinere prøverne fx kan en elev vælge at gå til 9. klasse prøven i matematik uden hjælpemidler og FP10 mundtlig matematik prøveform B. 36 af 78

37 De skriftlige prøveoplæg er fremstillet af en opgavekommission beskikket af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling. Opgavekommissionen udarbejder opgaverne i prøveoplægget ud fra Fælles Mål og øvrige gældende regler. Prøveoplæggene gennemgås både fagligt og sprogligt af eksterne kvalitetssikrere. Hvis man som lærer gerne vil kontrollere egne besvarelser, kan man følge med i diskussionerne om prøverne på SkoleKoms konference for matematiklærere. Hvis man gerne vil gå i dybden med tidligere års prøver, kan man læse de årlige PEU-publikationer, der kan findes på Den skriftlige prøve 2.1. Prøven består af en skriftlig og en mundtlig del, som kan afsluttes hver for sig Den skriftlige del af prøven består af et opgavesæt. Til besvarelsen gives 4 timer Der prøves i anvendelse af matematik til behandling af problemer af rutinemæssig og af åben karakter fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold og behandling af matematiske problemstillinger i bredden og i dybden I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anvendelse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling udgivne formelsamling Der gives én karakter Hvad adskiller prøven fra FP9? Der er ingen særskilt prøve i matematik uden hjælpemidler ved FP10. Derfor vil der ved FP 10 prøven være flere opgaver på niveau 1 i vurderingspyramiden end i matematik med hjælpemidler ved FP9. Mange af opgaverne på niveau to er endvidere mere komplekse end i FP9. Der er generelt flere og mere arbejdskrævende opgaver Prøveoplægget Prøven i skriftlig matematik varer fire timer, og der gives en karakter. Et prøveoplæg består et antal opgaver, der indeholder et antal delopgaver. De fleste af delopgaverne er på vurderingspyramidens niveau 2, mens et mindre antal er på niveau 1 og 3. De fleste opgaver er i en kontekst med problemer fra daglig, fritids-, uddannelses-, arbejds- og/eller samfundsliv, mens et mindre antal rummer behandling af matematiske problemstillinger i en ren matematisk sammenhæng. Der vil være både åbne og lukkede opgaver. De kontekster, der vælges til de skriftlige prøver, skal give eleverne mulighed for at vise, at de: kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle og fremtidige daglig-, fritids-, uddannelses-, arbejds- og samfundsliv. (stk. 1 i formål for faget). Der vil være kontekster, som ikke alle 37 af 78

38 elever har et forhåndskendskab til. Problemstillingerne og formuleringerne i de enkelte opgaver vil imidlertid enten være uafhængige af et forhåndskendskab til konteksten, eller de vil være ledsaget af en forklaring, som kan etablere sammenhængen til konteksten. Endvidere vil de fleste delopgaver kunne løses uafhængigt af hinanden. Den matematik, eleverne skal anvende for at løse opgaven, skal til gengæld være kendt. Et kendetegn ved matematik er netop, at den samme matematik kan anvendes til at belyse mange forskellige forhold fra virkeligheden. Det er evnen til at indse og benytte dette, der er det centrale indhold i prøven. Et prøvesæt i skriftlig matematik vil indeholde både tekst og illustrationer. Opgaverne formuleres, så de fremstår med klare problemstillinger. Illustrationerne i form af fotos og tegninger er udvalgt for at understøtte læsningen og forståelsen af opgaverne. Det forventes, at eleverne kender almindelige ord og begreber fra det danske sprog, som indgår i forbindelse med matematiske begreber og problemstillinger og som efterfølgende kan anvendes i kommunikationen om problemløsningen Hjælpemidler 2.5. Til prøven må anvendes alle de hjælpemidler, som eleven har anvendt i den daglige undervisning, samt den af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling udgivne formelsamling. Hjælpemidler kan fx være lommeregner, grafregner, smartphone, tablet og computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger mv. Der er kun en begrænsning, som fremgår af prøvebekendtgørelsen 23: Skolens leder skal sikre, at eleven har hensigtsmæssige arbejdsforhold under prøven, og at prøverne gennemføres under forhold, der er egnede til at udelukke, at eleven kommunikerer utilsigtet. Derfor skal opsynet under prøven være særlig opmærksom på elever, der f.eks. bruger deres smartphone som lommeregner, idet der ikke må afsendes eller læses SMS, foretages telefonsamtaler, kommunikeres med andre osv. Inden for disse rammer er det er vigtigt, at læreren drøfter med eleverne, hvilke hjælpemidler de er fortrolige med og vil have brug for og glæde af i en firetimers prøve. Det vil for de fleste elever være relativt få Formelsamling Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestillings formelsamling kan findes på Hensigten med at udarbejde en særlig formelsamling til brug ved folkeskolens prøver i matematik er bl.a. at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i prøverne. Det kan derfor være en fordel, at eleverne har formelsamlingen til rådighed allerede fra 7. klasse, så der er god tid til at blive fortrolig med dens indhold og opbygning. I 10. klasse kan det være en fordel at bygge videre på den enkelte elevs arbejde med formelsamlingen fra klasse. Formelsamlingen er opbygget således, at de fleste venstresider indeholder formler mv., næsten uden eksempler, mens eleverne på de kvadrerede højresider kan skrive egne eksempler og forklaringer, som han eller hun selv har fremstillet. Denne opdeling af formelsamlingen har sit udgangspunkt i Fælles Mål, hvor det er et mål, at eleverne selv deltager i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske stofområder. 38 af 78

39 Anvendelse af computer Eleverne må anvende computer ved prøven. Skolens leder skal sikre, at den ovenfor citerede 23 overholdes. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende, idet skolen sikrer, at der i det medbragte ikke findes programmer, der sætter eleven i stand til at kommunikere utilsigtet. Eleverne kan under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at skolelederen gennem tilsyn og it-foranstaltninger sikrer, at eleverne ikke overtræder reglerne. Anvender eleven computer, kan det være praktisk, hvis skolen har fremstillet en skabelon med sidehoved, hvor der er skrevet skolens navn, prøvens navn, dato og plads til elevens UNI-Login. Derimod skal man ikke arbejde med faste skabeloner for opstillingen af besvarelserne i matematik, da elevens selvstændige kommunikation indgår i bedømmelsen. Har eleverne selvstændigt i årets løb arbejdet med skabeloner til bestemte opgavetyper, må de medbringes som en del af elevernes elektroniske noter på fx en usb-nøgle eller på internettet. Flere og flere af opgaverne i den skriftlige prøve, kan med fordel løses ved hjælp af it. Den skriftlige prøve giver desuden eleverne mulighed for at benytte filer med fx regneark med indlagte oplysninger til brug for løsning af en eller flere opgaver eller billeder, der skal analyseres i et dynamisk geometriprogram. Disse filer kan downloades forud for den skriftlige prøve af skolelederen. Vejledning om det praktiske i forbindelse med håndtering af filerne er i et dokument, der ligger sammen med øvrige oplysninger i pakken med prøveoplæggene, som fremsendes af Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling. Til brug for elevernes forberedelse på de nye muligheder har Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling offentliggjort en række eksempelopgaver, der alle er forsynet med regneark. Der er desuden eksempelopgaver til geometri, hvor der skal bruges et dynamisk geometriprogram. Disse eksempelopgaver kan findes på Kommunikation 2.4. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på elevens faglige begrundelser for de fundne resultater, herunder anvendelse af matematiske modeller. Ligeledes indgår det i bedømmelsen, hvordan eleven har anvendt forklarende tekst samt benyttet algebraiske udtryk, tegninger og grafer m.v. ved opgavebesvarelsen. I de mere åbne opgaver vurderes det, hvorledes eleven på grundlag af de foreliggende oplysninger og data kan formulere problemer, beskrive løsningsstrategier og udarbejde løsninger ved hjælp af matematikken. Elevens kommunikation af løsningsmetoder indgår i bedømmelsen af besvarelsen. Det er således ikke nok at angive et facit på de stillede opgaver, som man skal i prøven uden hjælpemidler. Opgaveløsningen er sammensat af proces, resultat og kommunikation. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. 39 af 78

40 Traditionelt har opstilling af besvarelserne været lodret kolonneopstilling hentet fra bogholderifaget. Det er ikke en opstilling, der er egnet til alle opgavetyper. Elevens kommunikationskompetence kan komme til udtryk ved, at der vælges mellem forskellige former for opstilling, så den enkelte opgavetype kommunikeres mest hensigtsmæssigt. Der kræves således ikke en bestemt måde at opstille samtlige opgaver på, og der må meget gerne være en variation i kommunikationen. Eksempler på besvarelse af opgaver Eksempler på besvarelse af opgaver fra FSA 2012: Opgave Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag Gennemsnitligt salg pr. dag Uge 27 Salg i kr Summeret salg i kr Uge 28 Salg i kr Summeret salg i kr Opgave 1.4 Opgave 1.5 Det samlede issalg er størst i uge 27. I begge uger stiger issalget støt op mod weekenden. Det summerede salg er højst i uge 28 indtil uge 27 s summerede salg overhaler i løbet af torsdag. Opgave 2.3 Rumfanget af Indlandsisen er: Rumfanget af indlandsisen er ca km 3 40 af 78

41 Opgave 3.5 Undersøgelse af lånets størrelse, når de kan betale 700 kr. i månedlig ydelse over 12 måneder. Jeg bruger målsøgning i regnearket. Lån Rente Ydelse 7.348,48 kr. 2,12% pr. måned 700,00 kr. pr. måned Antal måneder Rentetilskrivning Ydelse Saldo , ,79 700, , ,25 700, , ,47 700, , ,44 700, , ,15 700, , ,60 700, , ,79 700, , ,70 700, , ,34 700, , ,70 700, , ,76 700,00 685, ,53 700,00 0,00 De kan låne ca kr. Opgave Opgaverne er løst i ved hjælp af programmet GeoGebra. 41 af 78

42 Det er ikke god kommunikation, hvis eleven benytter en fast skabelon for opstilling, som eleven ikke selv har ejerskab til. Derfor er det vigtigt, at eleverne gennem undervisningen har fundet den form for opstilling og kommunikation, som passer til den problemstilling, der arbejdes med Elevens aflevering af sin besvarelse Der er ingen krav om holdbar skrift, så eleven vælger selv sit skriveredskab. Der er ligeledes heller ikke krav om en bestemt farve papir, og begrebet kladde benyttes ikke mere. Derimod er der krav om, at hvert afleveret ark indeholder følgende oplysninger: skolens navn prøvens og opgavens art elevens UNI login arknummer og det samlede antal ark. Ved et ark forstås fx et A4 papir med print, et foldet A3 med håndskrift, et millimeterpapir eller et svarark. Det er således ikke den enkelte side, der skal nummereres. Eleven afgør selv, hvilke ark der skal indgå i besvarelsen, og som afleveres til bedømmelse. Elevens samlede besvarelse kan bestå af: håndskrevne ark udskrevne ark fra computer tegninger og grafer på specialpapir udfyldte svarark. Det er vigtigt, at eleven sikrer sig, at der kun er en version af hver opgave. Er en eller flere opgaver i mere end en version, kan censor vælge ikke at bedømme disse opgaver. Eleven bør heller ikke i sin besvarelse henvise til bilag eller et svarark, der ikke er vedlagt. Anvendes digitalt afleverede filer med fx et forberedt regneark, skal elevens arbejde i filen enten indsættes i den øvrige computerbaserede besvarelse og printes ud eller printes ud for sig selv og vedlægges den samlede besvarelse. Den tilsynsførende skal sikre sig og kontrollere at: eleven har identificeret sig med sit UNI login antallet af ark svarer til det i felterne noterede arkene er fortløbende nummereret Den tilsynsførende skal med sin underskrift attestere, at besvarelsen er endeligt afleveret til bedømmelse Vurdering af besvarelser i skriftlig matematik Bedømmelse og karakterfastsættelse af prøven foretages af en statsligt beskikket censor. Opgavekommissionen fastsætter et antal point til hver delopgave i et opgavesæt. Pointfordelingen kan findes på dagen efter prøvens afholdelse. De tildelte pointtal kan bruges til en differentieret bedømmelse af besvarelser af den enkelte delopgave ud fra vurderingskriterierne. Der tildeles ikke generelt flere point til svære opgaver end til lette. Pointfordelingen skal hjælpe censor til at give den enkelte elev en sikker og fair bedømmelse. Karakteren gives på baggrund af dels pointtallet dels en afsluttende vurdering af den samlede besvarelse. 42 af 78

43 En del opgaver i skriftlig matematik har ikke et resultat eller en bestemt metode, der skal bedømmes. Det kan fx være åbne opgaver med flere løsningsmuligheder. Der er i skriftlig matematik krav om en vis grad af forklaring og kommunikation. I besvarelsen af opgaverne skal der normalt indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning eller lignende. Anvender eleven computer til sin besvarelse, skal eleven ikke forklare, hvordan programmerne fungerer og regner/tegner, men eleven skal bruge det enkelte programs muligheder blandt andet i kommunikationen. Eksempler: Eleven skal fremstille et cirkeldiagram og bruger et regneark. Der kræves ikke redegørelse for beregning af de vinkelstørrelser, der bruges til diagrammet. Men eleven skal anvende programmets muligheder til for eksempel at indsætte tal eller procenter samt tekster. I opgaver, hvor eleven har anvendt et digitalt leveret regneark, kræves ikke regneudtryk eller fremvisning af anvendte formler, men udelukkende et print af regnearket. Fra FS10 maj 2010 Fra FS10 maj 2012 Lån Rente Ydelse ,00 kr. 2,12% pr. måned 1.000,00 kr. pr. måned 43 af 78

44 Antal måneder Rente-tilskrivning Ydelse Saldo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 352, , ,00-640,33 Lånet er tilbagebetalt efter måneder Eleven skal tegne en trekant og bruger et dynamisk geometriprogram og får programmet til at måle vinkler og sider samt angive arealet. Her kræves ikke redegørelse for anvendelse af trigonometri, Pythagoras eller arealformler. Hvis der i opgaven kræves en forklaring, skal den også skrives, når et geometriprogram anvendes. Er der i opgaven et krav om at beregne for eksempel en side i en trekant, skal eleven, der bruger geometriprogram, vise sin beregning. Fra FSA maj af 78

45 Fuldt pointtal opnås, når eleven med et korrekt resultat beskriver en korrekt løsningsmetode. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk, en tegning mv. bruger funktioner i et regneark, et dynamisk geometriprogram eller et CAS-program til at finde løsningen på en stillet opgave har en passende nøjagtighed ved tegning af figurer og kurver i hånden og aflæsning af grafer og diagrammer gætter sig frem til et resultat ud fra de givne oplysninger og derefter fagligt begrunder for eksempelved beregning, at dette facit er en korrekt løsning løser en delopgave korrekt, selv om løsningen bygger på ukorrekte resultater fra en tidligere opgave. Point kan tildeles, når eleven har et korrekt resultat uden begrundelse i form af regneudtryk, tegninger, argumenter eller anden kommunikation (se dog det sidste punkt), antallet af point vurderes ud fra opgavens karakter delvist har løst opgaven. Antallet af point vurderes ud fra de rigtige løsningselementer har et korrekt resultat, der er fremkommet på grundlag af et forkert algebraisk udtryk eller lignende. Antallet af point vurderes ud fra fejlens karakter har elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, indtastningsfejl og lignende ud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af den pågældende del af opgaven. Ingen point gives, når opgavebesvarelsen er helt uden rigtige elementer eleven har angivet et korrekt facit uden begrundelse i opgaver, hvor facit kan findes ud fra gæt mellem to, tre eller fire mulige løsninger. Afsluttende vurdering af den samlede besvarelse Den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse skal bygge på et helhedsindtryk og skal bl.a. inddrage følgende aspekter af kommunikations- samt repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen: Er der relevante og korrekte benævnelser i elevens angivelse af det endelige svar? 45 af 78

46 Har eleven anvendt særligt gode løsningsmetoder? Er der gennemgående korrekt brug af lighedstegn? Er resultatet eller konklusion skrevet med et passende antal betydende cifre på baggrund af antal betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne? Er der et passende antal decimaler? Er der afrundet korrekt? Er store tal skrevet på læsevenlige måder i det endelige svar? Fx 27,3 mia. kr. eller kr. frem for kr.? Er opgavebesvarelsen overskuelig og let at orientere sig i? Almindeligvis skal tal skrives med komma som decimal-separator og et mindre mellemrum som tusindtalsseparator. Ligeledes bruges almindeligvis regnetegnene +,, og : samt brøkstreg. Men med anvendelsen af computere og lommeregnere er der mange elever, der anvender andre separatorer og tegn både i håndskrift og i print fra en computer. At eleven benytter andre separatorer og tegn bør ikke medføre fradrag i pointtildelingen, hvis eleven er konsekvent i sin brug af disse. Karakterfastsættelse Pointtallet for eleven kan blive til en karakter ud fra omsætningstabellen, som offentliggøres senest to uger efter prøveafholdelsen i den såkaldte rettevejledning. Den enkelte elevs pointtal kan dog ikke alene danne grundlag for en karakter. Inden karakterfastsættelsen skal den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse indgå. Ligger pointtallet i nærheden af grænsen til nabokarakteren, kan den afsluttende vurdering rykke karakteren et trin. Viser den afsluttende vurdering af den samlede besvarelse væsentlige mangler i kommunikationen samt repræsentation og symbolbehandlingen, bør karakteren rykkes en ned, hvis pointtildelingen viser topkarakteren 12. Derimod vil denne type mangler betyde mindre ved de lave karakterer som 00 og 02. Som en hjælp til den afsluttende vurdering og karakterfastsættelsen bør de vejledende karakterbeskrivelser benyttes. Disse findes på Karakterfastsættelse Den endelige karakter fastsættes af en statslig beskikket censor. 46 af 78

47 3.3 Mundtlig gruppeprøve Generelt om den mundtlige prøve 2.7. Ved afholdelse af den mundtlige prøve vælges der mellem enten prøveform A, jf. pkt , eller prøveform B, jf. pkt Den valgte prøveform er fælles for alle elever på samme hold. Ved skoleårets begyndelse træffer skolens leder bestemmelse om prøveformen. Den mundtlige prøve afvikles som en gruppeprøve i begge prøveformer. Ovenstående har især betydning, hvis man ønsker at bruge prøveform B, der bygger på elevernes portfolio, som er samlet i løbet af skoleåret. Kommer der nye elever til klassen i løbet af året, vil prøveformen ofte betyde, at der skal gøres særlige foranstaltninger. Der er flere muligheder for at løse en sådan situation: de nye elever deltager i matematikundervisningen i en anden klasse, der har valgt prøveform A de nye elever arbejder ekstra med at udbygge deres portfolio de nye elever samles på et særligt hold, der går op i prøveform A. Ved den mundtlige prøve skal eleverne kunne vise deres viden og kunnen på niveau 3 i vurderingspyramiden. Det betyder, at det først og fremmest er elevens besiddelse af matematiske kompetencer, der er til vurdering. Desuden indgår elevernes matematiske arbejdsmåder i bedømmelsen Prøveform A 2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at arbejde undersøgende i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder indenfor det opgivne stof Ved prøven må eleverne anvende alle hjælpemidler. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence modelleringskompetence 47 af 78

48 ræsonnements- og tankegangskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence Desuden bedømmes elevens faglige overblik og dømmekraft i matematiske sammenhænge Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter. Prøven er i form og indhold identisk med den mundtlige prøve efter 9. klasse, men det forventes, at dækningsgraden af de matematiske kompetencer er større i 10. klasse, og at de færdigheds- og vidensmål, der er særlige for 10. klasse inddrages i prøveoplæggene Tekstopgivelser 2.9. Der opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Desuden opgives evt. temaer og projekter, klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i den daglige undervisning. Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være; Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnements- og tankegangskompetencen Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne og anvendelsesformål skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og prøveoplæg Prøven foregår i grupper af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne. Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. 48 af 78

49 Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 28-32). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de seks matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål. Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive, herunder til trækning af prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. Hvert prøveoplæg må anvendes to gange under prøven i en klasse dog ikke i den samme prøverunde. 21 stk. 2: Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet er fastsat i bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækning skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Udtrukne muligheder kan anvendes op til to gange. Beregning af minimumsantallet af prøveoplæg sker efter ovenstående regler. Man optæller antallet af grupper inklusiv eventuelle elever, der går til prøve alene, dividerer med to, runder op til helt tal og lægger tre til. Dermed har man det mindste antal prøveoplæg. Uanset klasse- eller holdstørrelse skal man sikre sig, at det samlede antal prøveoplæg alsidigt repræsenterer stofområderne i Fælles Mål. Det kræver som regel 8-10 prøveoplæg, da det enkelte prøveoplæg ikke skal brede sig ud over mere end 1-2 stofområder på en gang. Læreren skal sikre, at eleverne ikke medbringer prøveoplæg og noter ud af prøvelokalet efter prøven. Disse skal indsamles af læreren og opbevares sikkert, indtil de mundtlige prøver er overstået. Læreren skal også sikre, at filer, der er arbejdet med på computeren, bliver slettet. Alt dette gælder ikke mindst, hvis lærerne på en skole samarbejder om at fremstille prøveoplæg til deres klasser. Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper, gruppestørrelse samt minimum antal prøveoplæg ved forskellige klassestørrelser. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der udmærket kan være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe. Når prøveoplæggene kan anvendes to gange i samme klasse eller hold, skal læreren sikre sig, at samme prøveoplæg ikke kan blive trukket af to grupper i samme prøverunde. Antal elever 1. runde 2. runde 3. runde 4. runde 5. runde Minimum antal prøveoplæ g 12 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 2 1 gruppe á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 3 2 grupper á 2 1 elev alene 2 grupper á grupper á 2 2 grupper á 3 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 elev alene 8 49 af 78

50 18 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 2 grupper á gruppe á 3 1 gruppe á 3 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á 2 1 gruppe á 2 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 2 grupper á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 2 gruppe á 2 1 gruppe á 3 1 elev alene 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 1 gruppe á 3 1 gruppe á grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á 2 3 grupper á Prøveoplæg Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at arbejde undersøgende i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder indenfor det opgivne stof. Prøveoplægget skal indeholde en eller flere problemstillinger, og eleverne skal arbejde med alle problemstillingerne i et prøveoplæg. I den endelige vurdering medtages elevernes arbejde med alle de udleverede problemstillinger Disse problemstillinger kan både være rene matematiske problemer såvel som anvendte, og de skal som regel være åbne og ikke lukkede. På ligger til inspiration og vejledning et antal eksempler på prøveoplæg, men de må ikke anvendes ved folkeskolens af prøver. Alle prøveoplæg skal give eleverne mulighed for på forskellige niveauer at arbejde med matematik og vise deres beherskelse af de matematiske kompetencer. Problemstillingerne skal i alle prøveoplæg lægge op til problemløsning for eleverne. Et matematisk problem defineres ifølge rapporten Kompetencer og matematiklæring 2002 (KOM-rapporten) som en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. (KOM-rapporten side 49). Problemstillingerne skal lægge op til aktiviteter, der kan skabe situationer, hvor eleverne kan vise deres matematiske kompetencer. Med matematiske kompetencer menes der i denne sammenhæng de seks matematiske kompetencer, som er beskrevet i Fælles Mål. De beskrives nærmere i afsnit af 78

51 Som nævnt skal alle oplæggene give alle elever mulighed for at arbejde med problemløsningsdelen af problembehandlingskompetencen. Det forventes også, at alle oplæg vil give eleverne mulighed for at vise kommunikations- og hjælpemiddelkompetence. Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnement- og tankegangskompetencen eller knytte an til flere kompetencer. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange fx En fuldstændig modellering En delvis modellering Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model. Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som Find rumfanget af, Hvor meget koster vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der er i de vejledende prøveoplæg eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. Det kan ofte være en hjælp for eleverne i arbejdet med deres prøveoplæg, at der fx medfølger bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Udgangspunktet kan være en undersøgelse af fx en ukendt figur eller et ukendt mønster, der skal undersøges for at opnå større viden og for evt. at kunne generalisere. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere stofområderne i Fælles Mål. Prøveoplæg bør have et lokalt islæt, da dette giver eleverne et stærkere ejerskab til problemstillingerne. Det kan både være oplæg med problemstillinger fra lokalområdet og prøveoplæg, der knytter an til en skoles særlige profil. Prøveoplæggene skal indeholde så nye tal og andre oplysninger som muligt, lige som eventuelle links er opdaterede. Desuden kan et prøveoplæg indeholde filer til regneark, dynamiske geometriprogram mv., som eleverne kan arbejde videre med under prøven. Læreren kan vedlægge de enkelte prøveoplæg en kort vejledning til censor, hvor der for eksempel angives den eller de matematiske kompetencer, der er i fokus, og eventuelle idelister, der efter behov kan udleveres under prøven. Eksempler på mundtligt prøveoplæg. Det ene er med en ren matematisk problemstilling, det andet med en anvendelsesorienteret problemstilling, hvor internet skal anvendes. Læreren skal overveje, om idelisterne skal gives til grupperne i prøveoplægget eller om de skal udleveres senere i prøveforløbet. 51 af 78

52 Skolevejen Jernbaneoverskæring Skolen Emil Agerkrogen 2 Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg Hvor langt har du egentlig til skole? Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet lige uden for skolen. Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu sveder jeg, griner Emil, Hvad med dig? Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg, svarer Maria. Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks, siger Emil og kigger på uret på sin mobil. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden. I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre end 1 kilometer til skole. I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid, det tager. I skal sammenligne rejsevejledninger på og 52 af 78

53 Ideer til oplægget - I kan taste jeres egen skolevej ind i og og kommentere, hvordan forslagene passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj. - På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der kan foretages beregninger. På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN. En elev har målt, at hun har 650 meter til skole. I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har foretaget turen på forskellige måder. [regnearket bør designes til den aktuelle prøvesituation] Kommentarer til SKOLEVEJEN Materialer: Eleverne skal have obligatorisk adgang til computer med adgang til internettet. Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort. Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både og 53 af 78

54 Vurdering af elevernes matematiske kompetencer kan foregå på baggrund af følgende tre spørgsmål: e) Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? f) Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? g) Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? h) Kan eleven kommunikere med og om matematik? Vedr. a) I oplægget har eleverne mulighed for vise kendskab til modelleringskompetencen, som kan indeholde disse proceselementer: Kan eleverne definere og afgrænse problemet? Kan eleverne opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med en problemstilling? Kan eleverne udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleverne analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleverne anvende modellen i andre sammenhænge? Vedr. b) Eleverne har mulighed for i oplægget at bringe sin faglige viden om måling af afstand, tid og hastighed og målestok i spil. Desuden har eleverne mulighed for at demonstrere viden og kunnen i arbejdet med regneark, enten på egen hånd eller med assistance af det bearbejdede regneark, der kan udleveres. Vedr. c) Eleverne har mulighed for at undersøge og eksperimentere, blandt andet ved hjælp af regneark. Eleverne skal anvende dialogen i gruppen til at afgøre, hvordan afstande mellem destinationer kan måles, og hvordan anvendelse af de forskellige transportmuligheder influerer på farten Desuden skal det bedømmes, om eleverne kan samarbejde fagligt med gruppen på punkter som disse: Bliver der lavet en arbejdsplan, og er gruppen i stand til at arbejde bevidst i henhold til denne? Tager de enkelte elever initiativer? Er gruppen i stand til at konkludere på diskussioner? Vedr. d) I kommunikation vægtes det, om eleverne kan indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe, og om eleven kan fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog og med vekslen mellemhverdagssprog og matematisk sprog. 54 af 78

55 Hjælpemidler og it Ved prøven må eleverne anvende alle hjælpemidler. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger med videre. Eleverne skal have mulighed for at anvende computer ved prøven. Det er mest praktisk, at grupperne har adgang til hver deres computer. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende. Eleverne kan under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af utilsigtet overtrædelse af bestemmelserne eller snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at lærer og censor fører det nødvendige tilsyn med grupperne under prøven Prøvens forløb Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale. Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på minutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum, dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden. En runde varer 120 min., og der bør afsættes ca. ½ time til at: Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca min. Votering ca min. Eleverne får deres karakterer eventuelt med en kort begrundelse. Der er hermed cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupperne og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således: 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition. 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. Både censor og faglærer tager notater under samtalerne. Notaterne skal bruges under voteringen til at give en retvisende og fair karakter til den enkelte elev. Notaterne opbevares i et år efter prøven af censor og 55 af 78

56 faglærer til bedømmernes egen brug - for eksempel ved en efterfølgende klagesag over en eksamination eller bedømmelse Vurderingskriterier Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence modelleringskompetence ræsonnements- og tankegangskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Desuden bedømmes elevens faglige overblik og dømmekraft i matematiske sammenhænge. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de 6 matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål. De har deres baggrund i Kompetencer og matematiklæring udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på også kaldet KOM-rapporten. I KOM-rapporten defineres matematisk kompetence som det at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Om den enkelte kompetence står der i rapporten: En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring. Vurdering af matematiske kompetencer i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? Kan eleven kommunikere med og om matematik? Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompetencerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om problembehandling-, modellerings- og ræsonnement- og tankegangskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der én kompetence repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg. Problembehandlingskompetence Eleven kan planlægge og gennemføre problemløsningsprocesser/eleven har viden om elementer i problemløsningsprocesser Eleven kan vurdere problemløsningsprocesser/eleven har viden om problemløsningsprocesser 56 af 78

57 Eleven kan afgrænse og præcisere matematiske problemer/ Eleven har viden om faglige sammenhænge indenfor matematiske fagområder Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? Modelleringskompetence Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model/ Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering/ Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering Eleven kan vurdere matematiske modeller/ Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser/ Eleven har viden om hele modelleringsprocesser Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandlings-, repræsentations- og symbolbehandlings samt ræsonnement- og tankegangskompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? Ræsonnements- og tankegangskompetencen Eleven kan skelne mellem hypoteser, definitioner og sætninger/ Eleven har viden om hypoteser, definitioner og sætninger Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer/ Eleven har viden om forskel på generaliserede matematiske resultater og resultater, der gælder i enkelttilfælde Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer/ Eleven har viden om enkle matematiske beviser Eleven kan skelne mellem matematiske beviser og andre matematiske former for ræsonnementer/ Eleven har viden karakteristika ved matematisk bevisførelse Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i stofområdet geometri og måling, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal 57 af 78

58 bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen samt hjælpemiddelkompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisserargumenterkonklusion Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? Kommunikationskompetence Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik med faglig præcision/ Eleven har viden om fagord og begreber samt enkelt matematisk symbolsprog Eleven kan kritisk søge matematisk information, herunder med digitale medier/ Eleven har viden om informationssøgning og vurdering af kilder Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig præcision/ Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation Eleven kan fortolke andres skriftlige og visuelle matematiske kommunikation/ Eleven har viden om karakteristika ved skriftlig og visuel matematisk kommunikation Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompetence, som er central, når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? Hjælpemiddelkompetence Eleven kan vælge og vurdere hjælpemidler til samme matematiske situation/ Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. Opmærksomhedsfelt: Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation/ Eleven har viden om styrker og svagheder ved repræsentationer, der udtrykker samme matematiske situation Eleven kan anvende udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer/eleven har viden om notationsformer, opstilling og omskrivning af udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer 58 af 78

59 Eleven kan opstille og omskrive udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer/ Eleven har viden om sammenhængen mellem udtryk med variable og andre repræsentationer Kompetencen i prøvesammenhæng Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den ikke er en kompetence, som hovedvægten kan lægges på, kan læreren godt hjælpe elever med for eksempel symbolsprog i en modelleringsproces, hvor hovedvægten lægges på denne kompetence. Det kan indgå i vurderingen, hvorvidt eleverne kan oversætte mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse? Kan eleven afkode symboler? Kan eleven bruge symboler? Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.? Endelig karakterfastsættelse Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter. Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede dog kan skolelederen tillade at ikke erfarne lærere kan overvære voteringen (jf. 22 stk. 6). Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder følgende regler: 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Som hjælp til bedømmelsen findes de vejledende karakterbeskrivelser på Prøveform B Der opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Af opgivelserne skal desuden fremgå, hvilke it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen, kravene til de skriftlige redegørelser, jf. pkt. 2.19, og titlerne på de enkelte elevers opgivne skriftlige redegørelser Prøven foregår i grupper bestående af 2-3 elever og tilrettelægges, så højst 6 elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne Hver elev samler i årets løb en portfolio fra mindst fire undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have baggrund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven i samarbejde med andre elever eller individuelt en skriftlig redegørelse på 2-5 sider, som indeholder de problemstillinger og faglige områder, der er arbejdet med, eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt links og kilde- og litteraturhenvisninger. I starten af skoleåret udarbejder læreren i 59 af 78

60 samarbejde med eleverne faglige og formmæssige krav til de skriftlige redegørelser, som opfylder fagets mål og indhold I passende tid inden den skriftlige prøve sammensættes de grupper, som eleverne aflægger prøve i. Inden de skriftlige prøver udvælger gruppen de fire undervisningsforløb, der skal trækkes lod indenfor. Har gruppen forskellige redegørelser fra et undervisningsforløb, skal den beslutte, om redegørelserne skal sammenskrives til én, eller om hver elev fremlægger sin individuelle redegørelse under prøven. Grupper, som vælger at sammenskrive deres redegørelser, skal gives tid til dette arbejde i undervisningen. Inden den skriftlige prøve trækker gruppen lod mellem de valgte undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Resultatet af lodtrækningen afsløres først ved prøvens begyndelse Læreren udarbejder et kort prøveoplæg til hver gruppe med en problemstilling, som tager udgangspunkt i det lodtrukne undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Prøveoplæggene sendes til censor sammen med de tilhørende elevredegørelser Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. I samtalen indgår en kort fremlæggelse af den skriftlige redegørelse. Prøven afsluttes med en uddybende samtale Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence modelleringskompetence ræsonnements- og tankegangskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence Desuden bedømmes elevens faglige overblik og dømmekraft i matematiske sammenhænge samt elevens fremlæggelse af sin skriftlige redegørelse Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter. Prøveform B adskiller sig fra prøveform A ved at bygge på en redegørelse fra elevens portfolio, der er opbygget gennem 10. klasse. Men prøveform B indeholder også et prøveoplæg med en problemstilling, der dog er mindre i omfang end oplæggene i prøveform A. Elevernes arbejde med prøveoplægget og redegørelsen vægtes nogenlunde ligeligt i tidsomfang ved prøven. Begge dele indgår i vurdering af elevernes præstation Tekstopgivelser Der opgives et alsidigt sammensat stof indenfor de områder, som fagets kompetencemål vedrører. Af opgivelserne skal desuden fremgå, hvilke it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen, kravene til de skriftlige redegørelser, jf. pkt. 2.19, og titlerne på de enkelte elevers opgivne skriftlige redegørelser. Tekstopgivelser kan ikke udelukkende være en samling af de faglige områder, eleverne har været undervist i. Der skal være eksempler på matematikholdige situationer, hvor eleverne har kunnet udvikle deres matematiske kompetencer. Det kan fx være; 60 af 78

61 Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings, modellerings- eller ræsonnements- og tankegangskompetencen Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. Disse kan indgå i elevens portfolio og danne grundlag for udarbejdelsen af de fire redegørelser, der skal bruges til prøven. Af hensyn til censors forberedelse og dialogen med eleverne under prøven, bør det i tekstopgivelsen fremgå, om eleverne kender de matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. Dette har ikke betydning for bedømmelsen, men skyldes alene praktisk pædagogiske forhold i forbindelse med dialogen. De anvendte it- værktøjer med programnavne og anvendelsesformål skal fremgå. Der skal desuden angives anvendte lærebøger, andet bogligt eller kopieret materiale samt internetbaserede læremidler. Endelig vil det være hensigtsmæssigt, at arbejds- og organisationsmåder angives, så censor kan have en fornemmelse af klassens måder at arbejde på Regler for gruppestørrelse og prøveoplæg Prøven foregår i grupper bestående af 2-3 elever og tilrettelægges, så højst 6 elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted indenfor samme tidsrum. Skolens leder kan beslutte et andet antal elever i grupperne. Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve med gruppestørrelser på 2-3 elever. Har en klasse været undervist i grupper på fx 4, har skolelederen mulighed for at tillade den gruppestørrelse dog inden for reglen om at højst seks elever til prøve samtidigt. I særlige tilfælde kan skolelederen beslutte, at en elev aflægger prøven individuelt. Det kan fx være en elev, der pga. sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Skolelederen kan ligeledes tilbyde elever med fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse at aflægge prøven individuelt, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen (jævnfør prøvebekendtgørelsen 28-32). De faglige mål og prøvens form stiller krav til, at undervisningen i overbygningen har givet eleverne mulighed dels for at arbejde i grupper, dels for at erhverve sig matematiske kompetencer. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de seks matematiske kompetencer, der er beskrevet i Fælles Mål. Prøvetiden er sat til 2 timer alt inklusive: Eleverne får at vide, hvilke redegørelser de skal prøves i og får deres prøveoplæg, votering og formidling af de givne karakterer til eleverne, evt. med en kort begrundelse. Der må højst være 6 elever i hver prøverunde á 2 timer. 21 stk. 2: Opgaverne til prøver med mundtlig besvarelse fordeles ved lodtrækning blandt eleverne, medmindre andet er fastsat i bilag 1 og 2. Hver elev skal kunne vælge mellem mindst fire muligheder. Ved lodtrækning skal eksaminator samt censor eller skolens leder være til stede. Udtrukne muligheder kan anvendes op til to gange. Denne paragraf overholdes ved, at eleverne trækker lod mellem deres fire redegørelser lige før den skriftlige prøve, men de får først resultatet at vide, når prøven starter. Da prøveoplægget knytter an til den lodtrukne redegørelser, skal der kun fremstilles et prøveoplæg til hver gruppe. 61 af 78

62 Nedenfor er eksempler på fordeling af grupper og gruppestørrelse. Det skal understreges, at det er eksempler, og at der kan udmærket være andre gruppestørrelser og fordelinger på de enkelte runder. Læreren skal blot sikre sig, at der ikke er mere end 6 elever i hver runde á 2 timer, og at skolelederen har godkendt eventuelle andre gruppestørrelser end de foreskrevne 2-3 elever pr. gruppe Arbejdet med portfolio Hver elev samler i årets løb en portfolio fra mindst fire undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have baggrund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven i samarbejde med andre elever eller individuelt en skriftlig redegørelse på 2-5 sider, som indeholder de problemstillinger og faglige områder, der er arbejdet med, eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt links og kilde- og litteraturhenvisninger. I starten af skoleåret udarbejder læreren i samarbejde med eleverne faglige og formmæssige krav til de skriftlige redegørelser, som opfylder fagets mål og indhold I passende tid inden den skriftlige prøve sammensættes de grupper, som eleverne aflægger prøve i. Inden de skriftlige prøver udvælger gruppen de fire undervisningsforløb, der skal trækkes lod indenfor. Har gruppen forskellige redegørelser fra et undervisningsforløb, skal den beslutte, om redegørelserne skal sammenskrives til én, eller om hver elev fremlægger sin individuelle redegørelse under prøven. Grupper, som vælger at sammenskrive deres redegørelser, skal gives tid til dette arbejde i undervisningen. Inden den skriftlige prøve trækker gruppen lod mellem de valgte undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Resultatet af lodtrækningen afsløres først ved prøvens begyndelse. Eleverne samler individuelt i årets løb en portfolio fra mindst 4 undervisningsforløb, hvoraf et eller flere kan have baggrund i den enkelte elevs brobygning eller praktik. Til hvert undervisningsforløb udarbejder eleven, gerne i samarbejde med andre elever, en skriftlig redegørelse på 2-5 A4 sider, der indeholder de problemstillinger og de stofområder, der er arbejdet med. Læreren skal fra skoleårets start afgøre, om eleverne skal kende de 6 matematiske kompetencer som begreber og deres indhold, eller om eleverne alene er i stand til at udøve det indhold, kompetencerne har. I redegørelserne skal indgå eventuelle fotos af konkrete produkter eller situationer samt kildehenvisninger. Prøven i mundtlig matematik er en gruppeprøve. Prøvegrupperne sammensættes først, når den mundtlige prøve nærmer sig. Det behøver ikke at være de samme, som arbejdsgrupperne i årets undervisningsforløb, se senere. I starten af skoleåret udarbejder læreren i samarbejde med eleverne en række krav til de skriftlige redegørelser både fagligt og formmæssigt, således at fagets mål og indhold tilgodeses. Ud over de områder, der er nævnt ovenover, kan det fx være: at redegørelserne afleveres elektronisk at eleverne fremstiller en plakat i A3 størrelse med det vigtigste fra undervisningsforløbet at der i et eller flere forløb indgår konkrete produkter som fx en rumlig model, en digital præsentation, en planche eller en rapport. Et eksempel på krav til redegørelser: Overskrift Problemstillinger der er arbejdet med. Problemstillingerne bruges som afsæt til at komme i gang med en opgave. Hvad er det, I skal undersøge? Der skal redegøres for, hvordan de enkelte fagområder kan anvendes, og hvordan man bruger matematikken til at beskrive daglig, fritids-, uddannelses-, arbejdsog/eller samfundsliv? 62 af 78

63 En redegørelse, der indeholder de faglige områder og evt. de matematiske kompetencer, der er arbejdet med. Redegørelsen skal indeholde de tegninger og matematiske beregninger, der er brugt Formler og begreber. Det skal fremgå tydeligt, hvilken faglig viden I har gjort brug af Egne noter, for eksempel kommentarer til formler, egne observationer og huskeliste Litteratur, der er brugt i forløbet Hjemmesider, links og evt. fotos Værktøjer, der er brugt. Hver elev i gruppen afleverer en redegørelse. Redegørelserne behøver ikke at være helt ens i gruppen. Undervisningsforløbene kan tage udgangspunkt i praktiske problemstillinger, som eleverne arbejder med matematik, for eksempel: I har startet en fyrfadslysfabrik. I skal produktudvikle forskellige størrelser og former for lys. Opstil budget og overveje emballage og transport Ud fra din største fritidsinteresse skal du vælge en eller flere praktiske problemer, du kan bearbejde matematisk Undersøg hvilken matematik, der anvendes på den virksomhed eller uddannelse, du tilbragte din brobygningsperiode på Udgangspunktet kan også være et fagligt emne, der arbejdes med på forskellig vis fx: Undersøg anvendelsen af lineære funktioner i forskellige praktiske situationer Undersøg forskellige former for vækst, deres anvendelse og forskelle Undersøg i et dynamisk geometriprogram linjerne ved trekanten, deres skæringspunkter og skæringspunkternes indbyrdes placering. Læreren bør fremstille et oplæg til hvert undervisningsforløb, der kan sætte eleverne i gang med arbejdet. Ofte vil det være en fordel, at klassen arbejder under den samme overskrift, men læreren og klassen kan også beslutte, at et eller flere forløb er ud fra elevernes individuelle valg. Det er en fordel, hvis eleverne efter et forløb har mulighed for at få respons på deres arbejde, for eksempel i forbindelse med en mundtlig fremlæggelse for klassen. Det vil dels styrke det mundtlige arbejde, dels give læreren et indtryk af, om eleven kan forstå og fremlægge sin redegørelse. Eleverne må gerne arbejde sammen i de forskellige forløb, men skal aflevere individuelle redegørelser. Det er ikke nødvendigt, at eleverne arbejder i de samme grupper hele skoleåret, man kan sagtens skifte gruppe flere gange. Det er baggrunden for, at redegørelserne skal udarbejdes af hver elev til portfolioen. Først når den mundtlige prøve nærmer sig, dannes de grupper, som eleverne skal være i til prøven. Disse grupper kan være af en anden sammensætning end grupperne i årets løb. Derfor har den enkelte elev brug for sin egen portfolio med sine egne redegørelser til arbejdet i prøvegruppen. 10 eksempler på undervisningsforløb, der kan danne grundlag for elevens portfolio: 1. Sport (a) Indhold: Tal og algebra (fx klubøkonomi), geometri og måling (fx tegning og beregning af baner), statistik (medlemstal). 63 af 78

64 (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Emnet er et traditionelt folkeskoleemne. Det har optrådt i mange mundtlige prøveoplæg og været temaet i mange skriftlige prøvesæt. Der er derfor mulighed for at arbejde både mundtligt og skriftligt med temaet. 2. Matematikmorgener (a) Indhold: Find matematikken i dit liv - fra du vågner, til du er i skolen. Alle faglige emner kan komme i brug. (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Udgangspunktet kan være et andet end morgenen. 3. Statistik i medierne (a) Indhold: Statistik og sandsynlighed. Udgangspunkt i mediernes brug. Gennemførelse af egne undersøgelser med statistiskbearbejdning. Bearbejdning af data fra for eksempel Danmarks Statistik. (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Knytter an til et lidt overset stofområde for 10. klasse samt fagets formålsparagraf stk Flytte hjemmefra (a) Indhold: Økonomi omkring emnet. Opsparing, gæld, budgetlægning mv. (b) Kompetencer: Hjælpemiddelkompetencen. (c) Kommentarer: Klassisk tema brugt i mange undervisningsforløb. 5. Astronomi (a) Indhold: Tal og algebra, geometri. (b) Kompetencer: Modellerings- samt repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen. (c) Kommentarer: Et tema, der kan arbejdes på mange niveauer. 6. Kost og motion (a) Indhold: Tal og algebra. (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Et tema, som altid er aktuelt og evt. kan indgå i samarbejde med andre fag eller de obligatoriske emner. 64 af 78

65 7. Naturen (a) Indhold: Fibonacci talrækken; model for population og føde (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Den første del er velbeskrevet i mange lærebøger. 8. Funktioner i forskellige repræsentationer. (a) Indhold: Tal og algebra, koordinatsystem. (b) Kompetencer: Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen samt modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Et klassisk tema beskrevet i flere lærebøger. 9. Mønstre (a) Indhold: Talfølger og talmønstre, algebra med udgangspunkt i geometriske figurer. Geometri og måling. (b) Kompetencer: Modellerings- samt repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen. (c) Kommentarer: Et lidt overset stofområde. 10. Vækstfunktioner (a) Indhold: Tal og algebra, koordinatsystem. (b) Kompetencer: Modelleringskompetencen. (c) Kommentarer: Med i flere lærebøger og i formelsamlingen. Før den skriftlige prøve sammensættes prøvegrupperne, og det er op til læreren at finde et passende tidspunkt. Grupperne udvælger fire undervisningsforløb, der skal være ens for hele gruppen. I prøvegruppen kan eleverne vælge mellem flere muligheder, de kan vælge: at skrive en fælles redegørelse på baggrund af de individuelle redegørelser. Eleverne skal sikre sig, at alle i gruppen har ejerskab til den fælles redegørelse at skrive hver sin redegørelse om ud fra den læring, der er sket siden redegørelsen blev skrevet at aflevere de individuelle redegørelser, som de er i elevernes portfolio. Det kan være en fordel for nogle elever at kunne tilrette redegørelsen inden afleveringen ud fra den læring, der måske er sket efter forløbet. Men på den anden side er det udtryk for en god dækningsgrad af de matematiske kompetencer, når elever i deres fremlæggelse kan forholde sig kritisk til deres egen redegørelse og rette evt. fejl eller komme med forbedringer af problemløsningen. Lige før den skriftlige prøve afleverer eleverne deres fire redegørelser eller en disposition for deres redegørelse, hvis de vælger at skrive redegørelserne om eller udarbejde en fælles redegørelse. 65 af 78

66 Eleverne trækker gruppevis lod mellem deres fire redegørelser eller dispositioner, men får ikke resultatet før prøven begynder. Herefter udarbejder læreren korte prøveoplæg til hver gruppe. Tekstopgivelserne, de udtrukne redegørelser eller dispositioner samt prøveoplæg sendes til censor. Elever, der har valgt at skrive deres redegørelser om, afleverer disse senest hverdagen før de mundtlige prøver starter. To eksempler på disposition for elevredegørelser: Titel: Flytte hjemmefra Problemstilling. Hvad koster det at flytte hjemmefra, og hvordan får man pengene til at slå til? Matematisk indhold: Sammenligning af priser på forskellige boligtyper. Undersøgelse af forskellige lån ved hjælp af regneark. Boligindretning med grundplans-tegning i geometriprogram. Budgetlægning i regneark. Disposition til en mundtlig fremlæggelse: Mit budget i regneark med forklaring af formler Gennemgang af gældsannuitet i et regneark Tegning af min bolig i programmet GeoGebra Produkter: GeoGebra-film af min konstruktion. Regneark med simpel fremskrivning af annuiteter. Budget. Kilder: Den Danske Bank, Dankredit, Finansrådet. Titel: Vækst Problemstilling. Hvordan kan man beskrive en vækst på forskellige måder, og hvordan finder man ud af, hvilken vækstfunktion, der er bedst? Matematisk indhold: Lineær vækst, både sammenhængende, punktvis og stykkevis. Eksponentiel vækst Disposition til en mundtlig fremlæggelse: Gennemgang af lineær vækst med et praktisk eksempel: Opsparing uden rente Gennemgang af eksponentiel vækst med to eksempler: Bakteriekoloni og opsparing med rente Produkt: GeoGebra-film og regneark med diagrammer Kilder: Lærebogen og formelsamlingen. Et ofte stillet spørgsmål er: Hvad gør man med elever, der er startet i klassen midt i skoleåret? Der er flere muligheder for at løse sådanne problemer: De nye elever deltager i matematikundervisningen i en anden klasse, der har valgt prøveform A De nye elever arbejder ekstra med at udbygge deres portfolio De nye elever samles på et særligt hold, der går op i prøveform A. Et andet hyppigt stillet spørgsmål er: Hvad gør man med elever, der ikke afleverer fire redegørelser? Efter de gældende regler, kan de ikke gå til den mundtlige prøve. Prøven er ikke obligatorisk, så eleven kan undlade at melde sig til denne prøve. I særlige tilfælde kan skolens leder beslutte at anvende en af de ovenstående muligheder. 66 af 78

67 Prøveoplæg Læreren udarbejder et kort prøveoplæg til hver gruppe med en problemstilling, som tager udgangspunkt i det lodtrukne undervisningsforløb og tilhørende redegørelser. Prøveoplæggene sendes til censor sammen med de tilhørende elevredegørelser. Forud for selve prøven udarbejder læreren et kort prøveoplæg med en problemformulering, der tager udgangspunkt i den lodtrukne redegørelse. Prøveoplægget sendes til censor sammen med elevens redegørelse eller disposition. Prøveoplægget kan have en praktisk eller en matematisk problemstilling, og der kan lægges op til en undersøgelse af et matematisk emne med udgangspunkt i elevernes redegørelse. Oplægget skal være meget kort og som regel uden bilag. Da eleverne i vidt omfang har arbejdet med de samme emner og temaer, vil fremstillingen af de korte prøveoplæg være relativt nemmere end i prøveform A, da der kan udarbejdes små variationer over den samme læst, som dog skal svare til den enkelte elevs redegørelse Hjælpemidler og it Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Eleverne må medbringe alt, hvad de har anvendt i det daglige. Det kan være lommeregner, grafregner, computer med alle de programmer eleven kender, skrive- og tegneredskaber, egne udførte noter og opgaver (rettede som urettede), elevens lærebog, matematiske opslagsværker, lærerens selvproducerede kompendier, ordbøger med videre. Eleverne skal have mulighed for at anvende computer ved prøven. Det er mest praktisk, at grupperne har adgang til hver deres computer. Eleverne må anvende alle de programmer, de har brugt i den daglige undervisning og dermed er fortrolige med. Ligeledes må eleverne medbringe egne noter elektronisk på en usb-nøgle eller lignende. Eleverne kan under prøven benytte internetbaserede hjælpemidler fx egne noter, formelsamling og opslagsbøger. Ligeledes kan søgninger på internettet efter oplysninger og data være hensigtsmæssigt under arbejdet med prøveoplæggets problemstillinger. Ved tilladelse til brug af internet må eleverne fortsat ikke kommunikere ud af prøvelokalet eller med de andre grupper, og derfor må eleverne ikke under prøven benytte adgangen til , SMS eller sociale medier som fx Messenger, Facebook, Twitter med flere. Adgangen til internettet kan foregå på computere, tablets eller smartphones. Det er vigtigt, at skolelederen informerer eleverne grundigt om såvel reglerne for brugen af internettet som konsekvenserne af utilsigtet overtrædelse af bestemmelserne eller snyd under prøverne. Adgangen til internettet forudsætter, at lærer og censor fører det nødvendige tilsyn med grupperne under prøven Prøvens forløb Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. I samtalen indgår en kort fremlæggelse af den skriftlige redegørelse. Prøven afsluttes med en uddybende samtale. 67 af 78

68 Når læreren planlægger sin klasses mundtlige prøve, er det en god ide at indlægge en pause på minutter mellem hver runde, dels for at sikre lærer og censor et pusterum dels for at have en buffer, hvis en runde går over tiden. En runde varer 120 min. Der bør afsættes ca. ½ time til: Eleverne får resultatet af lodtrækningen at vide og finder den aktuelle redegørelse, ca. 5 min. Votering ca min. Eleverne får deres karakterer - eventuelt med en kort begrundelse. Der er hermed 90 min. til elevernes arbejde i grupperne, fremlæggelse af redegørelsen og samtalerne mellem eleverne, lærer og censor. En mulig opdeling af tiden til samtaler kan være således: 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition 2. samtale: Elevernes fremlæggelse af redegørelsen. Der bør være lige meget tid til alle i gruppen Yderligere 1-2 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og evt. censor Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. Både censor og faglærer tager notater under samtalerne. Notaterne skal bruges under voteringen til at give en retvisende og fair karakter til den enkelte elev. Notaterne opbevares i et år efter prøven af censor og faglærer til bedømmernes egen brug for eksempel ved en efterfølgende klagesag over en eksamination eller bedømmelse Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: problembehandlingskompetence modelleringskompetence ræsonnements- og tankegangskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence Desuden bedømmes elevens faglige overblik og dømmekraft i matematiske sammenhænge samt elevens fremlæggelse af sin skriftlige redegørelse. Elevens fremlæggelse af sin/gruppens redegørelse indgår i bedømmelsen. Den skriftlige redegørelse indgår ikke i bedømmelsen. Matematiske kompetencer er i denne sammenhæng de 6 matematiske kompetencer, som de fremgår af Fælles Mål. De har deres baggrund i Kompetencer og matematiklæring udgivet af ministeriet i 2002 (kan findes på også kaldet KOM-rapporten. I KOM-rapporten defineres matematisk kompetence som det at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Om den enkelte kompetence står der i rapporten: En matematisk 68 af 78

69 kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring. Vurdering af matematiske kompetencer i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, og bringer eleven sin faglighed i spil i sin gruppe? Kan eleven kommunikere med og om matematik? Herunder er en gennemgang af de matematiske kompetencer i prøvesammenhæng. Nogle af kompetencerne er af en karakter, så hovedvægten i bedømmelsen af elevernes præstationer kan lægges på dem. Det drejer sig om problembehandling-, modellerings- og ræsonnement- og tankegangskompetencen. Andre kompetencer er underliggende og vil naturligt indgå i bedømmelsen i langt de fleste prøveoplæg med nogen vægt. Endelig er der én kompetence repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, der ikke er nævnt særskilt i bekendtgørelsen, men som kan indgå i bedømmelsen med mindre vægt i nogle prøveoplæg. Problembehandlingskompetence Eleven kan planlægge og gennemføre problemløsningsprocesser/eleven har viden om elementer i problemløsningsprocesser Eleven kan vurdere problemløsningsprocesser/eleven har viden om problemløsningsprocesser Eleven kan afgrænse og præcisere matematiske problemer/ Eleven har viden om faglige sammenhænge indenfor matematiske fagområder Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? Modelleringskompetence Eleven kan afgrænse problemstillinger fra omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model/ Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering/ Eleven har viden om elementer i modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering Eleven kan vurdere matematiske modeller/ Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser/ Eleven har viden om hele modelleringsprocesser Kompetencen i prøvesammenhæng 69 af 78

70 En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandlings-, repræsentations- og symbolbehandlings samt ræsonnement- og tankegangskompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? Ræsonnements- og tankegangskompetencen Eleven kan skelne mellem hypoteser, definitioner og sætninger/ Eleven har viden om hypoteser, definitioner og sætninger Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer/ Eleven har viden om forskel på generaliserede matematiske resultater og resultater, der gælder i enkelttilfælde Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer/ Eleven har viden om enkle matematiske beviser Eleven kan skelne mellem matematiske beviser og andre matematiske former for ræsonnementer/ Eleven har viden karakteristika ved matematisk bevisførelse Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i stofområdet geometri og måling, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen samt hjælpemiddelkompetencen, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisserargumenterkonklusion Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? Kommunikationskompetence Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik med faglig præcision/ Eleven har viden om fagord og begreber samt enkelt matematisk symbolsprog Eleven kan kritisk søge matematisk information, herunder med digitale medier/ Eleven har viden om informationssøgning og vurdering af kilder Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig præcision/ Eleven har viden om afsender og modtager forhold i faglig kommunikation Eleven kan fortolke andres skriftlige og visuelle matematiske kommunikation/ Eleven har viden om karakteristika ved skriftlig og visuel matematisk kommunikation Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence indgår ved bedømmelsen af alle elevpræstationer. Det er en underliggende kompetence, som er central, når eleven formidler sit arbejde med matematik. Dialogen med censor og faglærer vil ligeledes indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: 70 af 78

71 Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? Hjælpemiddelkompetence Eleven kan vælge og vurdere hjælpemidler til samme matematiske situation/ Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence kan spille en central rolle for eksempel ved bedømmelsen af en præstation, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag for det videre arbejde med problemstillingen. Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. Opmærksomhedsfelt: Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen Eleven kan argumentere for valg af matematisk repræsentation/ Eleven har viden om styrker og svagheder ved repræsentationer, der udtrykker samme matematiske situation Eleven kan anvende udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer/eleven har viden om notationsformer, opstilling og omskrivning af udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer Eleven kan opstille og omskrive udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer/ Eleven har viden om sammenhængen mellem udtryk med variable og andre repræsentationer Kompetencen i prøvesammenhæng Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den ikke er en kompetence, som hovedvægten kan lægges på, kan læreren godt hjælpe elever med for eksempel symbolsprog i en modelleringsproces, hvor hovedvægten lægges på denne kompetence. Det kan indgå i vurderingen, hvorvidt eleverne kan oversætte mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse? Kan eleven afkode symboler? Kan eleven bruge symboler? Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.? Endelig karakterfastsættelse Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter. Karakteren fastsættes ved en votering, hvor kun censor og faglærer er til stede dog kan skolelederen tillade at ikke erfarne lærere kan overvære voteringen (jf. 22 stk. 6). Censor afgiver sin karakter først, derefter faglæreren. Ved uenighed gennemføres en drøftelse ud fra vurderingskriterierne med det formål at opnå enighed. I øvrigt gælder følgende regler: 14. Hvor en censor eller eksaminator medvirker, fastsætter denne karakteren. Hvor der ved bedømmelsen medvirker både en censor og en eksaminator, fastsættes karakteren efter drøftelse mellem dem. 71 af 78

72 Stk. 2. Hvis censor og eksaminator ikke er enige om en fælles bedømmelse, giver de hver en karakter. Karakteren for prøven er gennemsnittet af disse karakterer afrundet til nærmeste karakter i karakterskalaen. Hvis gennemsnittet ligger midt imellem to karakterer, er den endelige karakter nærmeste højere karakter, hvis censor har givet den højeste karakter, og ellers den nærmeste lavere karakter. Karakterbekendtgørelsen Som hjælp til bedømmelsen findes de vejledende karakterbeskrivelser på 4. Særlige prøvevilkår og fritagelse fra prøve 4.1. Særlige prøvevilkår For elever med særlige behov er der mulighed for at tage folkeskolens prøver på særlige vilkår. 28. Skolens leder skal tilbyde særlige prøvevilkår til elever med psykisk eller fysisk funktionsnedsættelse eller tilsvarende vanskeligheder, når dette er nødvendigt for at ligestille disse elever med andre i prøvesituationen. Det er en forudsætning, at der ikke sker en ændring af prøvens faglige niveau. Stk. 2. Afgørelsen træffes af skolens leder på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering og efter samråd med eleven og dennes forældre. Elevens synspunkter skal tillægges passende vægt under hensyntagen til elevens alder og modenhed. Stk. 3. Inddragelse af pædagogisk-psykologisk rådgivning kan undlades, hvis skolens leder vurderer, at det ikke er nødvendigt, og hvis forældrene er enige heri. Stk. 4. Skolens leder skal sikre, at forældrene orienteres om, at de til enhver tid kan anmode om, at pædagogiskpsykologisk rådgivning inddrages. 29. Særlige prøvevilkår efter 28 kan omfatte en særlig tilrettelagt prøve for elever, der på grund af deres psykiske eller fysiske funktionsnedsættelse eller tilsvarende vanskeligheder har et særligt behov herfor. Den særlige tilrettelæggelse kan omfatte følgende: 1) Prøvens form og rammer. 2) Brug af hjælpemidler. 3) Tildeling af ekstra tid. 4) Fravigelse af krav om, at en prøve aflægges som en gruppeprøve. 5) Ændring af opgaven. Stk. 2. Det er en forudsætning for særlig tilrettelæggelse af en prøve, at formålet med prøven fastholdes. Prøverne skal tilrettelægges på samme vilkår, som har været gældende for elevens forudgående undervisning, så prøven afspejler elevens måde at arbejde på. Stk. 3. En afgørelse om aflæggelse af prøve på særlige vilkår skal være truffet inden den 1. december forud for prøveterminen maj-juni og inden den 1. oktober forud for prøveterminen december-januar. 72 af 78

73 Fritagelse fra prøve I særlige tilfælde kan en elev fritages fra en eller flere af prøvens tre dele. Det sker efter reglerne i prøvebekendtgørelsen: 33. Elever, for hvem prøveaflæggelse på grund af betydelig funktionsnedsættelse eller utilstrækkelige danskkundskaber ikke skønnes hensigtsmæssig, kan fritages for at aflægge folkeskolens obligatoriske prøver. Fritagelse kan omfatte en eller flere prøver eller delprøver. Stk. 2. Beslutningen om fritagelse forudsætter, at der forinden er taget stilling til, om eleven vil kunne aflægge prøve på særlige vilkår, jf Antager klasselæreren i samråd med det øvrige personale, der underviser eleven, at prøveaflæggelse for en elev ikke vil være hensigtsmæssig, orienteres eleven og dennes forældre om muligheden for fritagelse for prøveaflæggelse i en eller flere prøver eller delprøver. Der skal i en sådan orientering indgå et forslag til, hvordan elevens udbytte af undervisningen kan evalueres på anden vis. Stk. 2. Indstilling om fritagelse for prøveaflæggelse afgives af klasselæreren til skolens leder. Stk. 3. Skolens leder træffer på baggrund af indstillingen fra klasselæreren og efter samråd med elevens forældre og lærere i de berørte fag afgørelse om fritagelse for prøveaflæggelse. Elevens synspunkter skal tillægges passende vægt under hensyntagen til elevens alder og modenhed. Stk. 4. Afgørelse efter stk. 1 træffes på baggrund af en pædagogisk-psykologisk vurdering om, at eleven på grund af sine vanskeligheder ikke på hensigtsmæssig måde kan aflægge prøven, herunder aflægge prøven på særlige vilkår. Andre sagkyndige kan inddrages. Stk. 5. Inddragelse af pædagogisk-psykologisk rådgivning kan undlades, hvis skolens leder vurderer, at det ikke er nødvendigt, og hvis forældrene er enige heri. Stk. 6. Skolens leder skal sikre, at forældrene orienteres om, at de til enhver tid kan anmode om, at pædagogisk-psykologisk rådgivning inddrages. 35. Afgørelse om fritagelse for aflæggelse af prøve skal ledsages af en beslutning om, hvordan elevens udbytte af undervisningen kan evalueres på anden vis. Evalueringen, der skal træde i stedet for prøven, skal finde sted i samme prøvetermin. Er en elev fritaget for prøveaflæggelse i et fag, der ikke bliver udtrukket til prøve, skal der ikke ske en evaluering af elevens udbytte af undervisningen i dette fag. Stk. 2. En afgørelse om fritagelse for prøveaflæggelse skal være truffet inden den 1. december forud for prøveterminen maj-juni og inden den 1. oktober forud for prøveterminen december-januar. Elever med særlige behov 5. Vejledning af eleverne før de skriftlige prøver I forbindelse med det daglige arbejde med mundtlig matematik og med skriftlige opgaver, skal læreren i god tid inden de afsluttende skriftlige og mundtlige prøver orientere eleverne om de retningslinjer og særlige forhold, der gælder for prøverne. Det er derfor væsentligt, at skolens ledelse og lærere følger med i eventuelle ændringer, som vil kunne læses på samt i evalueringen af prøverne i de årlige PEU-publikationer. Følgende tekst kan udleveres til eleverne i forbindelse med orienteringen om de afsluttende prøver i faget: FP9, prøven uden hjælpemidler på papir: Du vælger selv skriveredskab, men tal og tekst skal kunne læses entydigt, for at du får point for opgaven Du må kun skrive dine løsninger på det udleverede opgaveark Du må bruge praktiske hjælpemidler som eksempelvis lineal, vinkelmåler, passer Denne del af prøven varer 60 minutter, og du får én karakter. 73 af 78

74 FP9, prøven uden hjælpemidler digitalt: Du kan skifte mellem de forskellige opgaver i opgavesættet, som du ønsker opgaverne skal altså ikke løses kronologisk Du skal selv afslutte prøven, når der er gået en time tilsynsførende siger til når tiden er gået Denne del af prøven varer 60 minutter, og du får én karakter Du kan finde eksempler på den digitale prøve uden hjælpemidler på FP9, Prøven med hjælpemidler og FP10, skriftlig matematik: Du må medbringe formelsamlingen med dine noter, dine egne optegnelser, din matematikbog, opslagsbøger og andet du mener at få brug for Du må benytte de nødvendige praktiske hjælpemidler som lineal, vinkelmåler, passer, lommeregner mv. Du må ikke snyde ved at give andre elever dine resultater eller selv modtage resultater. Hvis du har adgang til internettet, må du ikke gå på Facebook, Twitter og lignende, og du må ikke sende eller modtage beskeder. Konsekvensen af snyd er bortvisning Du er selv ansvarlig for at samle de ark, du vil have bedømt. Ved ark forstås ikke sider, for eksempel er et foldet svarark eller foldet papir i A3-format ét ark. Du vælger selv, hvad der skal afleveres til bedømmelse. Du skal nummerere hvert afleveret ark, skrive det samlede antal ark og identificere dig med dit UNI-Login. Du må i din besvarelse ikke henvise til bilag, du ikke afleverer. Du må ikke aflevere opgaver i to versioner. De risikerer ikke at blive bedømt. Den tilsynsførende kontrollerer, at alt er korrekt, og underskriver Du må i den besvarelse ikke kun skrive et facit, du skal også skrive tekst og regneudtryk i de fleste opgaver FP9 varer i tre timer og FP10 varer i fire timer du får én karakter. Mundtlig gruppeprøve: Prøve er udtræk, men du skal være godt forberedt gennem undervisningen Du får at vide, om du skal til mundtlig prøve samtidig med de andre prøver, der er til udtræk Du skal være med til at vælge grupper på 2-3 elever, der går til prøve sammen I er højst 6 elever til prøve samtidig I får et prøveoplæg og måske nogle filer til computeren, bilag med oplysninger og konkrete materialer I skal samarbejde om at løse nogle matematiske problemer Din lærer og en censor kommer rundt og snakker med jer om det, I har fundet ud af. Derfor er det godt med nogle notater, men I skal ikke aflevere noget som til den skriftlige prøve Prøven varer 2 timer, og I får hver en karakter, og det behøver ikke at være den samme. 74 af 78

75 6. Lærernes forberedelse og undervisning Som lærer i matematik i overbygningen er der en del tekster, der skal læses, fordi de er nødvendige i forberedelsen af undervisningen og forberedelse af eleverne til afgangsprøven. De vigtigste nævnes her: Fælles Mål, læseplan og dele af undervisningsvejledningen Formelsamlingen, som bl.a. angiver hvilket matematiske stofområder og områder, der forventes arbejdet med, som i vidt omfang er citeret i dette skrift Prøvevejledningen, som du læser nu Eksempler på mundtlige prøveoplæg og eksempelprøver til arbejde med it ved de skriftlige prøver PEU-publikationen, som evaluerer årets prøver og giver gode råd til undervisningen Karakterbekendtgørelsen og de vejledende karakterbeskrivelser Orientering om folkeskolens prøver, der udgives hvert år og bl.a. indeholder alt om regler og procedurer På Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestillings hjemmeside, kan du finde alle teksterne eller links til dem Da der sommetider sker ændringer, bør man regelmæssigt tjekke, om der er sket ændringer i nogle af teksterne. Læreren skal forberede eleverne til prøven gennem det daglige arbejde med matematik. Ofte vil det foregå ved, at eleverne løser tidligere års prøvesæt og får en tilbagemelding samt en karakter for deres besvarelser. Men også andre arbejdsformer har betydning for forberedelse af eleverne til prøven. I det skriftlige arbejde kan der også med fordel arbejdes med procesorienteret problemløsning. Læreren og/eller kammerater kan indgå som responsgivere. Endelig kan der også overvejes andre former for skriftligt arbejde for eksempel små faglige rapporter. Det mundtlige arbejde med matematik skal præge undervisningen, da det er en væsentlig del af Fælles Mål, eleven skal have en standpunktskarakter i mundtlig matematik og eleven kan komme til en mundtlig prøve. På Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestillings hjemmeside, er der eksempler på prøveoplæg til den mundtlige prøve. Lærerne kan få meget information og hjælp på: Her kan man finde 7-trinsskalaen samt publikationer og andre informationer, der kan have betydning for lærerens arbejde Her kan man finde Fælles Mål, læseplanen samt undervisningsvejledningen Her kan man finde alt vedrørende prøverne. 75 af 78