Sammenligning af indsamlingsomkostninger for to scenarier ved indsamling af ressourcefraktioner

Transkript

1 Forfatter: Morten Kofod Frank Bjerregaard Nielsen Vejleder: Sanne Wøhlk Sammenligning af indsamlingsomkostninger for to scenarier ved indsamling af ressourcefraktioner Case study: Reno Djurs Department of Business Studies, Business and Social Sciences, Aarhus University August, 2013

2 Abstract Background This master thesis has been made in collaboration with Reno Djurs I/S, a municipal waste management company located on Djursland. Djursland is a rural area scattered with towns, villages, single houses and farms. This thesis concentrates on how refuse collection should be organized in order to minimize the costs of collecting the waste. Currently Reno Djurs collects general waste and paper separately. In this thesis we explore the possibility of collecting four kinds of recyclable materials in addition to the general waste. The four materials are paper, plastic, glass and metal. Objective The purpose of this paper is to explore what possibilities Reno Djurs has regarding collection of the four recyclable materials. We explore two of many scenarios proposed to Reno Djurs by a consultancy company. In the first scenario four-chamber containers are emptied by a special four-chamber vehicle. In the other scenario two two-chamber containers are emptied by two two-chamber vehicles. Among other things, we compare the distance that the vehicles need to drive and the number of trucks needed to perform the operations. Methodology Refuse collection is a classic example of a Capacitated Arc Routing Problem (CARP). CARP problems are problems where one or more vehicles have to service a number of arcs in a network in the best possible way subject to their capacity. Given the large number of arcs in this problem, we have reviewed the literature for heuristics to be used to make an initial solution and meta heuristics to be used to improve this initial solution. Path Scanning (PS) and Variable Neighborhood Descent (VND) were chosen as construction and improvement heuristics, respectively. In order to improve the solution time of the VND algorithm, we have reduced the dataset by merging several edges without compromising the quality of the dataset. Results The tuning of our VND shows, that it has potential to decrease the total distance driven by up to percent compared to the PS solution, without decreasing the number of routes. It also confirmed that the solution time is significantly lower on the dataset with the merged edges that we created than on the original dataset. Comparing the two scenarios it is clear that the scenario that uses the four-chamber vehicles traverses significantly less than the scenario with two-chamber vehicles. The four-chamber scenario proved to provide a total distance of 2, kilometers on a four week basis, while the 2-chamber scenario results in a total distance of 3, kilometers.

3 Conclusion Regarding the distance the four-chamber scenario is better than the two-chamber scenario. Whether or not the new system is profitable depends on more than just the total distance of the routes. Therefore other costs and earnings have been estimated to provide an estimate of the profitability. We have come to the conclusion that it is necessary for Reno Djurs to increase the residential fee in order to cover the extra costs of collecting the recyclable materials.

4 Indhold 1. Indledning Problemformulering Metode Specialets struktur Afgrænsning Begrebsdefinitioner Situationsbeskrivelse Virksomhedsbeskrivelser Reno Djurs MiljøTeam Case beskrivelse kammerspanden kammerspanden Erfaringer fra andre steder Litteraturgennemgang Affaldshåndtering som et CARP problem Kantrutelægning i et historisk perspektiv Chinese Postman Problem Capacitated Chinese Postman Problem Capacitated Arc Routing Problem Videreudviklede CARP versioner Shortest Path Konstruktions heuristikker Algoritmiske procedurer Metaheuristikker Tabu Search Simulated Annealing Genetic og Memetic Algorithm Variable Neighborhood Search Guided Local Search Ant Colony System Districting Datagrundlag Geografi Etageboliger Deltagende husstande Vægt og vægtfylde Overordnet mængde af affald Fordeling af affald Mængden af affald pr. husstand Bil kapaciteter Affaldsmængde i forhold til spand Ændringer af datasættet... 44

5 Sammenlægning af kanter Fjernelse af blinde veje uden efterspørgsel Fjernelse af parallelle veje Fjernelse af veje med samme start- og slutnode Samlet reduktion Kanternes data Fordele og ulemper ved reducering af datasættet Ændringer af det ikke-reducerede datasæt Model design Rutenotation Path Scanning VND Procedurerne PASTE SWITCH SHORTEN CUT FindPath, CopyPath og Soluiton Summary moduler Tuning Begrænset datasæt Base Case Tuning af TimeMax Gruppering af ruter Tune på SHORTEN proceduren Tuning af m Tuning af n Tune på kapaciteten på 4-kammerbil Resultat af tuning Resultater og følsomhedsanalyse Ruter til 4-kammerbil Ruter til 2-kammerbil Følsomhedsanalyse Usikkerhed omkring affaldsgenerering Komprimering Vægtfylde Økonomi Kapitalbinding Pris på affaldsbeholdere Pris på bilerne Affaldsanlægget i Glatved Transport fra Glatved til modtageranlæggene Tidsforbrug Kørsel Tømning... 81

6 Aflæsning Indtægter Brugerbetaling Afregningspriser Indtjening på salg af ressourcer Længere ruter for restaffald Effekt på genbrugspladser og kuber Indsamlingsomkostninger Bemanding Kørte kilometer Samlet økonomisk påvirkning Konklusion Perspektivering og forbedring Litteratur liste Bilag 1 - Ordbog og definitioner Bilag 2 - Mini 1 Path Scanning og VND1 ruter Bilag 3 - Oversigt over filer på DVD-ROM Bilag 4 Ruter for en 4-kammerbil uden komprimering

7 1. Indledning I en tid hvor global opvarmning ofte er omtalt i medierne og hvor bæredygtig supply chain management er et varmt emne i mange virksomheder, er ressourceoptimering blevet en vigtig del af at drive en virksomhed. Det er ikke kun i virksomhederne at bæredygtighed er blevet et vigtigt emne; det er det også i samfundet som en helhed. En måde at tilstræbe sig denne bæredygtighed på er at øge genanvendelsen af det affald der genereres hos borgerne og i virksomhederne, samt ved at optimere indsamlingen af affaldet. Også fra politisk side er der interesse i og ønske om en bedre affaldshåndtering i fremtiden. EU udgiver løbende affaldsdirektiver som skal ligge til grund for hvert medlemslands affaldsstrategier. I det seneste direktiv fra 2008 (2008/98/EF) stilles der krav om at medlemslandene fra 2020 som minimum skal genanvende mindst 50 procent af papir, metal, plastik og glas fra husholdningen, jævnfør artikel 11, 2, a. Yderligere skal der senest i 2015 indføres særskilt indsamling for som minimum papir, metal, plastik og glas, såfremt det er teknisk, miljømæssigt og økonomisk muligt, jævnfør artikel 11, 1. Dette vil have betydning for de fleste kommuner i Danmark, da det er de færreste som i dag opnår de 50 procent genanvendelse og som har særskilt indsamling for de fire ovennævnte affaldsfraktioner. Også i Nord- og Syddjurs kommuner vil man skulle ændre på den nuværende ordning for at kunne opfylde disse krav. Reno Djurs, som er et fælleskommunalt selskab ejet af Nord- og Syddjurs kommuner, er derfor nødt til at udvide aktiviteterne for at bringe genanvendelsesprocenten op. Dette skal ske på en så økonomisk og hensigtsmæssig måde som mulig. Der er flere ting Reno Djurs kan gøre for både at blive mere miljøvenlige og for at opfylde kravene. Det være sig med hensyn til ruteplanlægningen for de lastbiler der skal køre rundt og indsamle affaldet, og den måde affaldet skal indsamles på. Det er derfor i den nærmeste fremtid nødvendigt at træffe valg med hensyn til hvordan affaldet på Djursland skal indsamles fremover. I denne forbindelse har Reno Djurs A/S og Institut for Økonomi på AU, BSS indgået et samarbejde omkring optimering af den logistiske problemstilling som en ny affaldsordning vil give. Dette speciale er et af flere som omhandler dette. Side 1 af 96

8 1.1. Problemformulering Dette speciale vil omhandle Reno Djurs muligheder for at tilrettelægge affaldsindsamlingen så den følger lovgivningen. Valget af indsamlingsmetode har betydning for omkostningerne til indsamling og mulighederne for at afsætte ressourcerne efterfølgende. Af hensyn til borgernes brugerbetaling er Reno Djurs interesseret i at holde omkostningerne så langt nede som muligt. Det overordnede problem, som dette speciale søger at løse er derfor: Hvordan skal Reno Djurs organisere indsamlingen af ressourceaffald? Med organisering, menes både hvordan ruterne skal planlægges samt hvilke spande og lastbiler der skal bruges til at indsamle affaldet. I dette speciale vil der blive foretaget sammenligninger af to scenarier for at vurdere hvilket der vil være bedst for Reno Djurs. Scenarierne stammer fra en rapport de har fået udarbejdet af et konsulentfirma med henblik på at vurdere forskellige ordninger for indsamling af dagrenovation. Det ene scenarie er en ordning, hvor husstandene får opstillet en 4- kammerspand, som skal tømmes af en speciel 4-kammerbil. I det andet scenarie får husstandene i stedet opstillet to 2-kammerspande, som bliver tømt at to 2-kammerbiler. De fire fraktioner der indsamles i spandene er metal, plastik, glas og papir. Målet er, at reducere omkostningerne ved ressourceindsamlingen gennem tilrettelæggelse af indsamlingen. Samtidig vil en bedre ruteplanlægning også resultere i færre kørte kilometer på vejene hvilket reducerer gener for borgerne og CO 2 udledningen. For at kunne vurdere hvorledes affaldsindsamlingen skal organiseres, er det nødvendigt, at kende til de præmisser der eksisterer for affaldsindsamling. Der vil derfor i specialets første del blive beskrevet hvordan situationen ser ud og hvilke krav der stilles til affaldsindsamlingen. Der vil herefter blive analyseret hvordan problemet skal gribes an og hvordan det bedst kan løses. Løsningsmodellen vil herefter blive udarbejdet og tunet, for til sidst at lave en følsomhedsanalyse på den valgte løsning. Slutteligt vil der også gives en økonomisk vurdering af løsningen i forhold til at implementere den. Side 2 af 96

9 1.2. Metode Specialet vil blive inddelt i fem dele som i alt består af 10 kapitler. Hver del har sit eget kundskabsmæssige formål og bidrager dermed på forskellig vis til besvarelsen af problemformuleringen. Det kundskabsmæssige formål afhænger af hvad formålet med delen er og er desuden bestemmende for hvordan der arbejdes med hver del. De kundskabsmæssige formål kan deles op i fem kategorier som ses i nedenstående figur. Figur 1: De kundskabsmæssige formål Kilde: Andersen, 1997 Specialets første del er den beskrivende del, som har til formål at frembringe de oplysninger der er relevante for at kunne løse specialets overordnede problem. Anden del er den teoretiske del, som bidrager med mulige løsningsforslag. Tredje del er den normative del, som har et problemløsende formål idet den besvarer problemformuleringen. Fjerde og sidste del er den afsluttende del, hvor der konkluderes på specialets resultater og reflekteres over dem. Hovedvægten i specialet er lagt på den normative del, med fokus på ruteplanlægning af affaldsindsamlingen Specialets struktur Dette afsnit har til formål at anskueliggøre specialets overordnede struktur. I figur 2 nedenfor, vises strukturen i specialet ved hjælp af kapitlerne, som er inddelt i fire dele i forhold til deres kundskabsmæssige formål. Side 3 af 96

10 Figur 2: Specialets struktur Kilde: Egen tilvirkning Den beskrivende del, vil indeholde en beskrivelse af de relevante aktører, kravene til affaldsindsamling, og en gennemgang af casen. Den beskrivende del har til formål at tydeliggøre hvilken situation Reno Djurs befinder sig i, og i hvilke rammer problemstillingen skal løses. I anden del, som er den teoretiske del, vil der blive gennemgået hvilke metoder der tidligere er blevet brugt for at løse lignende problemer. Tredje del, som er den normative og problemløsende del, indeholder kapitlerne 4 til 8. Kapitel 4 omhandler datagrundlaget og de ændringer der er foretaget for at afpasse det til problemstillingens rammer. Kapitel 5 omhandler den valgte løsningsmodel. Først vurderes hvilken løsningsmetode fra den teoretiske del der egner sig bedst. Derefter vil den valgte metode blive beskrevet yderligere i forhold til i litteraturafsnittet, og det vil fremgå hvorledes den bliver implementeret i dette speciale. Kapitel 6 omhandler tuning, hvor den valgte models parametre bliver ændret for at sammenligne de deraf følgende resultater. Formålet med tuningsprocessen er at bidrage til at forbedre modellen. Kapitel 7 omhandler den endelige models resultater for hvert af de to scenarier. Disse resultater vil blive brugt i kapitel 8, hvor Side 4 af 96

11 de indtægter og omkostninger, der udspringer af implementeringen af scenarierne vil blive behandlet. I fjerde og sidste del, vil der i kapitel 9 blive konkluderet på specialets vigtigste punkter. Desuden vil der i kapitel 10 blive perspektiveret over specialets svar på problemformuleringen Afgrænsning Specialet afgrænser sig først og fremmest til kun at fokusere på det sydøstlige område af Djursland, svarende til den gamle Ebeltoft kommune. Dette område bliver i specialet omtalt som område 3. Grunden til dette er at det udleverede data kun omhandler dette område, og det er desuden rigeligt stort til at kunne udvikle en løsningsmodel på. Idet restaffaldet indsamles separat og behandles ens i de to scenarier vil der blive set bort fra dette. Andre specialeprojekter beskæftiger sig med indsamlingen af restaffald og vi vil derfor henvise til dem, vedrørende restaffaldsindsamling. Der er i dette speciale valgt ikke at indsamle ressourcer ved sommerhuse. Dette skyldes, dels at sommerhusene har et meget ujævnt forbrug hen over året, og dels at der på nuværende tidspunkt heller ikke er muligt at få indsamlet pap og papir ved sommerhusene, som det er tilfældet for helårsboliger. Der er desuden valgt ikke at indsamle ressourcer ved etageboliger og andre bebyggelser hvor husstandene deles om store affaldscontainere. Dette skyldes, at disse husstande leverer så meget affald, at det vil være uhensigtsmæssigt at stille flere affaldsspande ud til dem. Det vil desuden heller ikke være muligt at tømme store affaldscontainere i lastbilerne, fordi de enten har et 4- eller 2-kammersystem Begrebsdefinitioner Bilag 1 indeholder en liste over de ord og forkortelser, som bliver brugt i specialet. Listen indeholder blandt andet en oversættelse af engelske udtryk fra litteraturen. Begrebet fraktion dækker over de forskellige typer affald. For eksempel er metalaffald én fraktion ligesom glas er en anden. Det engelske begreb edge bliver i dette speciale omtalt som vejstykke eller kant, mens begrebet node bliver oversat som knude, node eller vejkryds. Side 5 af 96

12 Normalt benyttes udtrykket ressourcerfraktionen om glas, metal og plastik fraktionerne, samlet under en. I dette speciale, dækker begrebet dog også over papir, således alle fire fraktioner der skal indsamles er samlet. Det er muligt at en betegnelse for en variabel kan have flere forskellige betydninger alt efter hvor den står i specialet. Under litteratur gennemgangen kan de forskellige metoder godt bruge den samme betegnelse for to forskellige variable. For eksempel kan c betyde længden på en kant i den matematiske formulering af CARP, mens den i VND heuristikken fungerer som en tæller for hvor mange naboløsninger man har lavet i et nabolag. 2. Situationsbeskrivelse I dette kapitel, vil der blive beskrevet hvordan situationen for affaldsindsamlingen ser ud i dag. Der vil både blive beskrevet hvilke aktører der er på markedet, mulighederne for affaldsindsamling samt hvilke erfaringer andre har gjort sig med ressourceindsamling Virksomhedsbeskrivelser Der er to virksomheder, som har med affaldsindsamlingen på Djursland at gøre. For at klarlægge hvad deres ansvar og arbejdsopgaver er, følger her en beskrivelse af hver virksomhed Reno Djurs Reno Djurs I/S er et fælleskommunalt non-profit selskab, ejet af Norddjurs og Syddjurs kommuner. Selskabet blev oprettet af de otte daværende kommuner på Djursland 1 tilbage i Reno Djurs står for affaldsordninger for alle private husstande, sommerhuse og virksomheder på Djursland og driften af 10 genbrugsstationer, samt behandlings- og deponianlægget i Glatved. De indbyggere på Djursland fordeler sig i omkring boliger og der er yderligere omkring sommerhuse, samt tilmeldte virksomheder. I 2011 blev der i alt håndteret tons affald, hvoraf tons kom fra husholdningerne (Reno Djurs, 2013). 1 Rougsø, Nørre Djurs, Sønderhald, Grenå, Midtdjurs, Rosenholm, Rønde og Ebeltoft kommuner Side 6 af 96

13 Reno Djurs står selv for en meget lille del af udførslen af alle de opgaver de skal varetage og hele 71 procent af deres udgifter går til køb af varer og tjenesteydelser hos andre selskaber. Transporten og indsamlingen af affaldet er udliciteret til MiljøTeam A/S, som derfor står for den ruteplanlægningen til affaldsindsamlingen, som vi i specialet vil se på MiljøTeam MiljøTeam A/S vandt ved sidste udlicitering retten til at udføre indsamlingen af skrald hos Reno Djurs kunder. MiljøTeam blev etableret i 2000 som et datterselskab til Århus MiljøCenter, men senere blev DSV Miljø A/S også medejere. I dag er MiljøTeam dog 100 procent ejet af DSVM Group (tidligere DSV Miljø A/S). MiljøTeam opererer i hele landet og de tilbyder landsdækkende løsninger til virksomheder, og derudover byder de ind når der offentligt bliver udbudt opgaver fra kommunernes side. På Djursland står MiljøTeams biler placeret på adressen Bysvinget 1 i Dråby ved Ebeltoft og tømningsruterne skal derfor starte og slutte på denne position. I tilfælde af at det indsamlede skrald skal omlæsses skal dette dog ske på Reno Djurs deponianlæg i Glatved. Som situationen er nu bruger MiljøTeam seks biler til at dække skraldeindsamlingen i det område som svarer til den gamle Ebeltoft kommune. Fem enkeltkammerbiler til at indsamle restaffaldet og en enkeltkammerbil til indsamling af papirfraktionen (MiljøTeam, 2013) Case beskrivelse I dag indsamler Reno Djurs dagsrenovation fra borgerne ved at tilbyde dem uge eller 14- dages tømning af en af fem forskellige beholdertyper til deres restaffald; fra en 110 liters affaldssæk til en 600 liters container 2. Reno Djurs tilbyder derudover også de tilmeldte helårs husstande en spand til pap og papir med månedstømning, som der betales igennem grundgebyret. 80 % af helårs husstandene har taget imod dette tilbud og fået opstillet en spand til papir og pap. For sommerhusene kan der vælges mellem fem forskellige beholdertyper og fem forskellige tømningsfrekvenser. Ydermere kan forbrugerne også komme af med deres affald i de glas- og papirs kuber der er opstillet over 200 steder rundt omkring på Djursland eller på en af de 10 genbrugsstationer (Reno Djurs, 2013). Ifølge skraldemændenes overenskomst skal de foretage tømninger pr. uge, hvilket svarer til 210 tømninger pr. dag, da de har en arbejdsuge på fem dage liters sækken bliver dog udfaset i 2014 pga. arbejdsmiljøforhold Side 7 af 96

14 Som nævnt ovenfor afgrænser dette speciale sig til den sydøstlige del af Djursland hvor der i dag benyttes seks skraldebiler til indsamlingen. Med den nuværende ordning opnår Reno Djurs en genanvendelsesprocent på 31, hvilket de er meget stolte af og tilfredse med (Reno Djurs, 2013). Som det blev nævnt i indledningen stræbes der i EU's seneste affaldsdirektiv efter at medlemslandene skal opnå en genanvendelse af papir, glas, plast og metal på 50 procent i 2020 (Europa-Parlamentet, 2008). Det forventes at den danske regering snart udkommer med den nyeste affaldsstrategi 3 og branchen forudser at den vil sætte et krav om en genanvendelse på omkring procent i dagsrenovationen. Da Reno Djurs kun opnår en genanvendelse på 31 procent i dag er de altså nødt til at udvide deres nuværende ordning på den ene eller den anden måde. I den forbindelse fik Reno Djurs i foråret 2012 udarbejdet et idekatalog med forskellige scenarier for hvordan den fremtidige affaldsindsamling kan løses. EU direktivet ligger i artikel 11, 1 også op til at der fra 2015 skal være en særskilt indsamling af de fire ressourcefraktioner; papir, glas, plast og metal. Dette er dog kun såfremt det er teknisk, miljømæssigt og økonomisk muligt, men med den hurtige tekniske udvikling og den stigende fokus på miljø og bæredygtighed, kunne dette nemt tænkes snart at blive aktuelt kammerspanden Det svenske firma PWS producerer de omtalte 4-kammerspande som kan fås i to størrelser. En lille med 240 liters kapacitet og en lidt større på 370 liter. Hver spand har en skillevæg og en indsatsspand på hver side heraf. Indsatsen er for 240 liters spandens vedkommende på 30 liter, mens den for 370 liters spanden enten kan være på 30 eller 45 liter. Figur 3 herunder viser en 240 liters spand med indsatser og den tilhørende lastbil. I en 240 liters spand vil kapaciteten være 2 x 90 liter og 2 x 30 liter. Idet indsatsspandene ikke når helt ned til bunden af affaldsspanden er der mere kapacitet udenfor indsatsspanden end der umiddelbart ser ud til at være. Alle spandens fire kamre tømmes på en gang. Lastbilen har fire rum hvor indholdet fra de fire spande bliver fyldt i. 3 Seneste udmelding fra regeringen melder at den tidligst kommer til høring efter sommerferien ifølge Side 8 af 96

15 Figur 3: 240 liters spand med indsatser og 4-kammerbilen Kilde: PWS, 2013 Lastbilens fire kamre har som det ses af figur 3 forskellige størrelser med et stort rum, to mellem og et lille rum. Da der er fire separate kamre i bilen vil de fire ressourcer der indsamles ikke blive blandet. De to indsatsspande tømmes i bilens to øverste kamre, mens selve spanden tømmes ud i de to nederste kamre. Bilen kan komprimere ressourcerne, hvilket ifølge PWS skulle gøre det muligt at servicere omkring 300 husstande inden bilen er fuld. Samles ressourcerne uden at blive blandet, vil det være lettere at genanvende dem. Det vil derfor også være muligt at opnå en højere pris for ressourcerne hvis de ikke blandes. Alternativt skulle de blandede fraktioner sorteres centralt efter indsamlingen, men dette vil også være forbundet med omkostninger og vil ikke altid være muligt. Blandes glas for eksempel med plast, vil glasskårene blande sig med plasten og det vil være svært at genanvende plasten kammerspanden En 2-kammerspand minder i høj grad om en 4-kammerspand. Eneste forskel er at der ikke er sat en indsats ned i den. 2-kammerspanden fås desuden i mindre størrelser end 4- kammerspanden idet de fås i størrelserne 190, 240 og 370 liter (PWS, 2013). 2- kammerspanden tømmes ligesom 4-kammerspanden på én gang bagerst i lastbilen, men da 2- kammerspanden ikke har indsatser er den hurtigere at tømme, i forhold til en 4-kammerspand. Idet der kun er to rum i en 2-kammerspand, vil det være nødvendigt at give hver husstand to spande for at give dem mulighed for at sortere i alle fire fraktioner Erfaringer fra andre steder I Danmark har Herlev Kommune allerede introduceret 4-kammerspanden til deres borgere. I april 2012 startede en ny ordning hvor borgerne skulle sortere deres ressourcer i en 4- kammerspand. Inden ordningen blev sat i kraft havde de kørt med en forsøgsordning. Side 9 af 96

16 Forsøgsordningen startede i juli 2011 med 50 husstande og havde til formål at identificere eventuelle opstartssygdomme ved projektet (Otzen, Christina, 2011). Forsøgsordningen afslørede at mængden af plast var højere end først antaget og dette førte til en omfordeling i beholderne hvor glas og plast blev byttet om. Da forsøgsordningen sluttede, var der tilmeldt 218 husstande. Kun 10 procent af husstandene i Herlev kommune har i dag valgt ikke at deltage i den nye affaldsordning (Otzen, Christina, 2012). I Herlev Kommune blev ordningen med indsamling af ressourcerne i opstartsfasen beregnet til at koste 250 kr. pr. år pr. husstand. Denne omkostning er fratrukket merindtægterne ved salg af papir og metal. Glasset går lige op, men bidrager dog med lavere forbrændingsomkostninger. Plastaffaldet vil ikke bidrage med yderligere udgifter end ved forbrænding (Andersen, Ellen, 2012). Herlev kommune har udliciteret indsamlingen af affaldet til RenoNorden, som derved eger den 4-kammerbil som bliver brugt. I Sverige er markedet for 4-kammerspandene meget større og meget mere modent, og i dag har over 20 kommuner, primært beliggende i det sydlige Sverige, implementeret 4- kammerspande. I de svenske kommuner får borgerne endda stillet to 4-kammerspande til rådighed, så de derved kan sortere i otte fraktioner. Derved får de også indsamlet kildesorteret organisk dagsrenovation (KOD) og restaffald ind igennem 4-kammerbilerne. Derudover sorteres også farvet og klart glat for sig, samt pap og papir for sig. Efterhånden som flere kommuner i Sverige har indført 4-kammerspandene er markedet for afsætningen af det kildesorterede affald vokset, hvilket betyder at priserne for forbrugerne i dag er ganske fornuftige. I de tre kommuner som Norra Åsbo Renhållnings AB servicerer, er prisen SEK pr. år for et standardabonnement som gælder for en villa. Dette er mindre end de DKK som man i dag skal give på Djursland for en 140 liters spand med ugetømning. Disse priser skal man dog ikke regne med vil være muligt i Danmark, før end at markedet er modnet. 3. Litteraturgennemgang Af problemformuleringen fremgår det at ruteplanlægning er en væsentlig del af specialet. Formålet med at forbedre ruteplanlægningen er at minimere deadheading. Deadheading er den distance lastbilerne kører uden at servicere kanter, hvilket også kaldes for traversering. Den distance lastbilerne kører, på de servicerer kanter, vil altid være konstant, lige meget hvordan Side 10 af 96

17 ruterne planlægges. Bedre planlagte ruter vil derved resultere i mindre deadheading og dermed i kortere ruter. Ved at reducere distancen, reduceres omkostninger som dieselforbrug og slitage på lastbilen, samtidig med at der opnås samfundsøkonomiske gevinster såsom mindre miljøpåvirkning i form af partikel- og CO 2 udledning samt støjgener. Det vil også betyde mindre tidsforbrug og derved lavere lønninger til skraldemanden fordi han ikke har så meget spildtid hvor han bare traversere kanter. Hvis løsningen fra dette speciale skal implementeres vil det af de ovenstående grunde være vigtigt at ruterne er så gode som muligt og derfor gennemgår vi her litteraturen for at finde løsningsmetoder til ruteplanlægningsproblemet Affaldshåndtering som et CARP problem Affaldshåndteringen på Djursland kan betragtes som et klassisk Capacitated arc routing Problem (CARP). Reno Djurs skal indsamle affald fra husstandene i det område de dækker. Det vil sige at de er nødt til at sende en skraldebil rundt på de veje hvorpå der er huse. Skraldebilen indsamler affaldet og vender tilbage til depotet. Da skraldebilerne hverken har kapacitet eller tid til at servicere alle husstande på en rute, er det nødvendigt for Reno Djurs at have flere ruter. Denne problemstilling svarer, med en enkelt undtagelse, til et klassisk CARP problem hvor ruterne skal tilrettelægges så man minimerer den totale kørte distance. Undtagelsen er, at i dette problem kører skraldebilen ikke tilbage til depotet for at aflæsse affaldet, men derimod til affaldsanlægget i Glatved, for herefter at vende tilbage til depotet. Dette er en lille forskel, men det forhindre ikke problemet i at blive løst som et CARP problem. For at omdanne situationen til et CARP problem, bliver Reno Djurs område inddelt i vejstykker. Hvert vejstykke har en efterspørgsel som skraldebilen skal dække og denne efterspørgsel afhænger af hvor mange husstande der ligger på vejstykket. I CARP terminologien svarer vejstykker til kanter mens vejkryds svarer til knuder. I VRP og CARP problemer er det ofte sådan at henholdsvis knuderne eller kanterne har en efterspørgsel som bliver dækket ved at bilen afleverer noget på kanten. I Reno Djurs tilfælde skal der indsamles affald i stedet for at noget skal afleveres. Dette er dog ikke et problem idet man kan anskue problemet anderledes. Man kan se problemet som en skraldebil der starter med at have fuld kapacitet og kører rundt og afleverer noget af kapaciteten hver gang en Side 11 af 96

18 kant serviceres. Når der ikke er mere kapacitet betyder det at skraldebilen er fuld nødt til at afslutte ruten, få aflæsset og vende tilbage til depotet. I litteraturen ser man også mange eksempler hvori CARP er blevet brugt til at definere en skraldeindsamlingsproblemstilling. Amponsah og Salhi (2004) og Mouráo og Amado (2005) er to eksempler hvor CARP er blevet brugt i case studies omkring indsamling af skrald Kantrutelægning i et historisk perspektiv Capacitated Arc Routing er ikke noget der opstod fra den ene dag til den anden. Gennem tiden er der blevet udviklet på CARP. Denne udvikling afspejler et større behov for at få løst de problemer et CARP problem kan løse. Noget andet der også har spillet ind er den teknologiske udvikling der har gjort det muligt at løse stadig mere komplicerede problemer ved hjælp af computerkraft. I de følgende afsnit vil der blive givet en kort beskrivelse af de problemer der ledte til udviklingen af CARP. Herefter vil der blive givet en mere dybdegående beskrivelse af CARP problemet, som altså er den problemstilling som passer til specialets problemstilling. Slutteligt vil der kort blive gennemgået videreudviklinger af CARP. Der vil ikke blive givet en udtømmende beskrivelse af de variationer der findes, men kun blive fokuseret på de mest vigtige. Det første bidrag indenfor kantrutelægning udkom i 1736, med Leonhard Eulers artikel omkring Königsberg problemet. Denne artikel søgte at løse et problem om hvorvidt man kunne krydse de syv broer i Königsberg på én gåtur uden at krydse den samme bro to gange. Forud for Eulers artikel var der ingen der havde bevist at det var muligt eller bevist at det ikke var muligt at løse problemet. Euler fremlagde en forudsætning for problemet og beviste at Königsberg problemet ikke kunne løses (Sachs, Stiebitz og Wilson, 1988). Euler betragtede problemet og mente det skulle løses ved hjælp af geometri of position senere kaldet graf teori. I modsætning til almindelig geometri fokuserede Euler på punkternes indbyrdes placering i stedet for afstanden og vinklerne mellem dem. Euler brugte begreberne node og kant, hvor noder er punkter og kanterne, i dette tilfælde er broerne, forbinder noderne. Eulers forudsætning var at der til hver node skulle være et lige antal kanter for at man kunne lave en sammenhængende rute gennem alle noder uden at man benyttede den samme kant to gange. Euler fokuserede ikke på at optimere den sammenhængende tur idet han ikke forholdt sig til distancen mellem noderne. Da han kun forholdte sig til noderne og kanternes indbyrdes Side 12 af 96

19 placering og ikke afstande eller kapacitet, kan man udtrykke hans graf som G=(N, E), hvor N er noder og E er kanter Chinese Postman Problem Den kinesiske matematikker Kwan Mei-Ko udvidede i 1962 arc routing problemet. Han tilføjede en ny dimension til Eulers problem, hvor der tages højde for afstanden mellem noderne. Til gengæld løsnede han op for Eulers restriktion om at en kant kun må benyttes én gang. Problemet er derfor at minimere distancen på den rute, der traverserer alle kanterne mindst én gang. Idet der i CPP yderligere tages højde for distancen mellem noderne i forhold til Eulers definition af problemet kan man udtrykke grafen som G=(N, E, C), hvor C er en distancematrix der angiver afstanden mellem noderne (Wøhlk, 2008) Capacitated Chinese Postman Problem I 1973 blev CPP udvidet til også at omfatte kapacitetsbegrænsninger. I et capacitated chinese postman problem (CCPP) lægges der på alle kanter en positiv efterspørgsel som skal efterkommes hvis den pågældende kant serviceres. Hver kant må gerne traverseres mere end en gang, men den skal kun serviceres en gang. Ligesom i det almindelige chinese postman problem er formålet at minimere den totale distance. For at der skal være en mulig løsning på problemet er det nødvendigt at alle kanter har en efterspørgsel der er mindre end køretøjets kapacitet (Christofides, 1973) Capacitated Arc Routing Problem Golden og Wong (1981) var de første til rigtigt at berøre problemet om capacitated arc routing (CARP). I deres artikel formulerede de et CARP problem og løste det. De definerede et CARP problem som et capacitated chinese postman problem, hvor der ikke nødvendigvis er efterspørgsel på alle kanter. Deres definition på et CARP problem var derfor: For en u- orienteret graf G=(N, E, C, Q) med kantefterspørgsel q ij >0 for hver kant (i,j) som skal serviceres, af en række biler med kapaciteten W, find et antal ruter som starter og slutter i depotet og som opfylder efterspørgslen til den lavest mulige omkostning. Side 13 af 96

20 Golden og Wong formulerede deres definition matematisk på følgende måde: Minimize (1) subject to =0 =1. =1. (2) ( + )= (, ) (3) (, ) =1. (4) =1. (5) =1,, =1,,2 1 (6) + 1; + 0,1 2,3,,, 0,1 (7) Her er n antallet af noder; k er de noder der ikke er depotnode; K er det højest tilladte antal af lastbiler; q ij er efterspørgslen på kant (i, j); W er lastbilens kapacitet; c ij er længden af kant (i, j); =1 hvis kant (i,j) bliver traverseret af bil p og ellers nul; =1 hvis kant (i, j) serviceres af bil p og ellers nul. Side 14 af 96

21 Objektivfunktionen (1) søger at finde den løsning der traverserer mindst muligt. Grunden til at objektivfunktionen ikke også forsøger at minimere den distance der serviceres, er at den er konstant og afhænger af efterspørgselen og ikke af ruteplanlægningen. Ligning 2 sikrer at de lastbiler der kommer til en node også forlader noden igen. Ligning 3 sikrer at hver kant med efterspørgsel bliver serviceret, men ikke mere end en gang. Ligning 4 sikrer at en kant kun kan servicers af en lastbil hvis samme lastbil kører ad kanten. Ligning 5 sikrer at enhver lastbil ikke servicerer flere kanter end dens kapacitet tillader. Ligningerne til punkt 6 forhindrer subtours og ligning 7 angiver at variablene og er binære. Denne matematiske opstilling giver et godt indblik i CARP problemet med hensyn til hvad man forsøger at opnå og hvilke betingelser der skal opfyldes. Ovenstående er et minimeringsproblem, som kan løses med et resultat der er den optimale værdi. For store CARP problemer er det dog ikke muligt at løse problemet optimalt indenfor rimelig tid idet problemstillingen bliver for stor. Et CARP problem kan ikke løses i polynomiel tid 4 og er derfor NP-hard. Det betyder dermed at man er nødt til at anvende heuristikker til at finde mulige løsninger. Både for løsninger der er lavet eksakt og løsninger der er lavet med heuristikker gælder et dog at begrænsningerne skal overholdes Videreudviklede CARP versioner Der er gennem tiderne udviklet mange forskellige versioner af det klassiske CARP problem. Disse versioner er udviklet for at kunne anvende CARP til virkelige problemer der skulle løses. Wøhlk (2008) giver et kort indblik i nogle af de variationer der er lavet af det klassiske CARP problem. Et eksempel på dette er orienterede CARP problemer, hvor der er lagt restriktioner på i hvilken retning man må traversere en kant. Dette er relevant i de tilfælde hvor en vej for eksempel er ensrettet og ikke kan traverseres i begge retninger. CARP problemer hvor der er en restriktion på hvornår en kant må serviceres betegnes som CARP with time windows (CARPTW). Multi depot problemer omhandler tilfælde, hvor der findes flere depoter. Hver bil skal enten returnere til det depot den startede sin tur fra eller til et af de andre depoter. En nært beslægtet 4 Løsningstiden for en eksakt løsningsmodel stiger eksponentielt i forhold til størrelsen på problemet. Side 15 af 96

22 variant af dette problem er CARP-IF hvor nogle noder fungerer som mellemliggende faciliteter, hvor bilens kapacitet forøges. Disse problemer fungerer med ét depot og en til flere noder der fungerer som mellemliggende faciliteter. Dette problem anvendes tit i forbindelse med indsamling af affald hvor bilerne kan aflæsse affald på lossepladser eller indenfor vejsaltning hvor det er muligt at få fyldt bilen andre steder end i depotnoden. CARP problemer med mobile depoter finder sted i de tilfælde hvor nogle af bilerne ikke servicerer kanterne. I stedet fungerer de som mobile depoter ved at mødes med de biler der servicerer kanterne og overtager deres indsamlede materiale. Hvis ikke alle biler kan servicere en given kant er der tale om et CARP problem hvor der er afhængighed mellem bilerne der servicerer og de enkelte kanter. Et sådant problem omtales som et CARP problem med vehicle/site dependencies. Periodiske CARP problemer er problemer hvor man ser problemet over en længere tidshorisont. I disse tilfælde skal kanterne serviceres mere end en gang. Dette problem tager højde for hvor lang tid der mindst skal og højst må gå mellem hver servicering af kanten. Stokastiske CARP problemer minder meget om det klassiske CARP problem. Der er dog den forskel at der i disse problemer er en tilfældig efterspørgsel på kanterne Shortest Path I de fleste heuristikker, også dem specialet benytter, støder man på et trin hvor heuristikken skal tage den korteste vej fra en node til en anden. Dette er et kendt problem og kan formuleres således: Givet en graf G = (N, E, C) og med en startnode s og en slutnode t; find den sti P fra s til t der har de mindste omkostninger forbundet. Problemet kan ses som et minimum cost flow problem, hvori start noden har et udbud på en og slutnoden har en efterspørgsel på en (Williams, 1999). Derved kan problemet formuleres som et LP-problem, hvori den binære variabel x ij tager værdien 1 hvis kanten fra node i til node j indgår i stien og 0 hvis den ikke gør (Balakrishnan et al., 2007). Den matematiske formulering kan ses på den følgende side. Side 16 af 96

23 min s.t. (, ) = 1 =1 0 =0 \, (, ) Denne LP-formuleringen er dog ikke særlig praktisk hvis man har med større datanetværk at gøre, da løsningstiden vil blive meget lang. En algoritme vil være mere passende og Dijkstra s algoritme kan bruges her (Dijkstra, 1959). Algoritmen bruges til at finde den korteste vej fra en node til alle andre noder i en orienteret eller u-orienteret graf. Den eneste betingelse er at omkostningen på alle kanter (c ij ) i grafen skal være større end eller lig med nul. I specialets datagrundlag er Dijkstra s algoritme brugt til at lave predecessor tabellen i Pred (reduceret).xlsx filen og distance matricen Dist (reduceret).xlsx filen. Predecessor tabellen er et output fra algoritmen og kan bruges til at finde ud af hvilke noder der indgår i stien fra en node til en anden. I distance matricen er længderne på stierne fra alle noder til alle andre noder indskrevet så man nemt kan slå det op. Matricen indeholder altså ikke kun distancer for de faktiske kanter i grafen, men også distancer for den korteste sti mellem alle noder Konstruktions heuristikker Som det blev nævnt ovenfor, er CARP problemstillingen NP-hard og løsningstiden vil derfor eksplodere hvis man vil løse større problemer eksakt. Forskere begyndte derfor i 1980 erne at fokusere på at udarbejde heuristikker til løsning af problemet. Ved at bruge en heuristik til at løse et problem er man ikke garanteret at løsningen bliver optimal, men til gengæld finder man en løsning inden for rimelig tid. Den første gruppe af heuristikker som vil blive gennemgået er en række forholdsvis simple konstruktionsheuristikker, som var nogle af de første løsningsmetoder der blev udviklet til CARP. Ifølge Wøhlk (2008) finder de gamle heuristikker typiske løsninger som er procent dårligere den optimale løsning. Side 17 af 96

24 I 1973 præsenterede Christofides (1973) en heuristik som kunne løse CCPP problemstillingen, som blev beskrevet ovenfor. Denne heuristik er senere blevet kendt som Construct-Strike heuristikken (Pearn, 1989). I den første del af algoritmen laver man mulige ruter som både overholder kapacitetsbegrænsningen og som, når de servicerede kanter på ruten fjernes fra grafen, ikke afskærer resten af grafen i flere separate komponenter. Når der er konstrueret så mange ruter som muligt der overholder de to begrænsninger, går man videre til den næste del af algoritmen hvori man matcher to noder der har et ulige antal tilstødende kanter og derved laver en modificeret graf. Derefter går man tilbage til den første del for at se om man nu kan lave nye mulige ruter og dette gør man indtil alle kanter med efterspørgsel er serviceret. Efterfølgende er der blevet lavet flere modifikationer af algoritmen, for eksempel Pearn (1989), men de vil ikke blive gennemgået her. En anden heuristik er Path-Scanning som blev udviklet af Baker et al. (1983) og den blev som Construct-Strike udviklet til CCPP. I heuristikken bliver en rute konstrueret en kant af gangen og ruten bliver forlænget ved at vælge den næste kant (i,j) som ser mest lovende ud, ud fra fem forskellige kriterier. Dette fortsætter så indtil kapaciteten på ruten er nået hvorefter den korteste vej til depotet bliver fulgt. Der genereres fem forskellige løsninger som bruger hver deres kriterium og den bedste af de fem udvælges som den endelige løsning. De fem kriterier er: 1. Distancen på kanten c ij, divideret med den tilbageværende kapacitet skal minimeres 2. Distancen på kanten c ij, divideret med den tilbageværende kapacitet skal maksimeres 3. Distancen fra node j til depotet minimeres 4. Distancen fra node j til depotet maksimeres 5. Hvis den tilbageværende kapacitet er større end halvdelen af kapaciteten skal distancen fra node j til depotet maksimeres. Modsat, hvis den tilbageværende kapacitet er mindre end halvdelen af kapaciteten skal distancen fra node j til depotet minimeres I det første kriterium søger man at servicere så mange kanter som muligt på den pågældende rute, og modsat i kriterium 2, søger man at servicere de største kanter (ift. efterspørgsel) først, så man har mindste kanter tilbage til sidst. I kriterium 3 søger man ikke at komme for langt væk fra depotet, hvorimod dette netop er ønsket i 4. De to sidste kombineres i kriterium 5, hvor der vælges blandt de to ud fra hvor langt man er på ruten. Det ses ud fra kriterierne at Path-Scanning heuristikken er en greedy algoritme som kun søger efter det bedste efterfølgende skridt uden at tage andre faktorer med i vurderingen. Det er blandt andet også derfor disse heuristikker sjældent finder den optimale løsning. Fordelen ved Side 18 af 96

25 dem er at de hurtigt kan finde en løsning, som så oftest bruges som en startløsning i metaheuristikkerne. Over årerne er der lavet forskellige modifikationer til Path-Scanning heuristikken og Pearn (1989) har med succes foreslået at man, i stedet for at lave fem ruter som bruger hver deres kriterium, vælger et af kriterierne ud fra en statistisk fordeling ved hver skridt. Wøhlk (2005) har også foreslået en modifikation af algoritmen som ændrer proceduren for den situation når ruten kommer til en node hvorfra alle kanter enten er servicerede eller har for stor efterspørgsel i forhold til den tilbageværende kapacitet. I stedet for at gå til den kant med den mindste efterspørgsel, skal algoritmen vælge at gå til den nærmeste kant med en efterspørgsel som er lille nok i forhold til kapaciteten. Denne modifikation skulle give en bedre løsning, dog på bekostning af en lidt længere løsningstid. Baker et al. (1983) præsenterede i samme artikel en anden simpel heuristik som kan løse CARP, kaldet Augment-Merge. Denne består af fire trin kaldet Initialize, Augment, Merge og Iterate. I det første trin laver man indledende ruter der servicerer bare en kant hver og som ellers følger den korteste vej til og fra kanten. I det næste trin søger man at servicere de korteste af de indledende ruter på en af de længere ruter. Derefter gentager man trin tre hvori man sammensmelter de nye ruter fra trin 2 ud fra hvor man kan opnå den største besparelse, selvfølgelig givet at man overholder kapacitetsbegrænsningen. En anden gammel konstruktions heuristik der er værd at nævne er Ulusoy s algoritme (Ulusoy, 1985). Denne algoritme løser en CARP ved først at slække på kapacitetsbegrænsningen og derved løse et CPP, hvilket giver én stor tur (Euler Tour) som servicerer alle kanter med efterspørgsel. Derefter opdeles den store tur så i en række mindre, mulige ture der overholder kapacitetsbegrænsningen og dette gøres ved at transformere grafen G med den store tur. På denne transformerede graf G* svarer hver node til en kant på G. Hver kant på G* svarer så til en mulig tur på G. I figur 4 er der vist et lille udsnit af en transformeret graf hvor der er noderne 7, 8 og 9 som hver repræsenterer kanterne (2,4), (4,6) og (6,9) på G. Der går så kanterne (7,8), (7,9) og (8,9) i G*. Kanten (7,9) svarer altså til turen (4, 6, 9) i G. Siden denne tur ikke er et loop bruges Dijkstra s algoritme til at finde den korteste vej tilbage til node 4 i G. Yderligere, da depotnoden 1 ikke indgår i denne tur bruges Dijkstra igen til at finde den korteste vej fra 1 til den tætteste af noderne på turen. Dernæst udregner man så omkostningerne for alle kanterne i G* ud fra omkostningerne i G og til sidst bruger man igen Dijkstra s algoritme til at finde den korteste vej igennem G* som så til sidst kan transformeres tilbage til et sæt mulige ture i den originale graf. Side 19 af 96

26 Figur 4: Udsnit af eksempel af G* graf Kilde: Ulusoy, 1985 Mange senere heuristikker og metaheuristikker bruger den del af Ulusoy s algoritme som splitter den store tur op i en række mindre, mulige ture, efter for eksempel at have lagt to eller flere ture sammen. Den Genetic Algoritm til CARP der er udviklet af Lacomme et al., der vil blive beskrevet senere, er et eksempel på en metaheuristik som bruger Ulusoy s algoritme. Der findes andre konstruktionsheuristikker som kan bruges, men dem der er blevet gennemgået her er dem som stadig er mest udbredte, og derfor begrænser vi os til at vælge imellem dem til vores egen løsning af case problemet Algoritmiske procedurer Nogle heuristikker indenfor kantrutelægning (blandt andet CARPET og VND) bruger en række procedurer til at finde naboløsninger og nye nabolag (Hertz, 2005). De to første procedurer POSTPONE og REVERSE kan bruges til at ændre på den rækkefølge som kanterne i en rute bliver serviceret eller traverseret. Begge procedurer skal som input bruge en tur T, en node v på turen og en retning for turen, og som output laver de en anden tur. Hvis en kant med efterspørgsel e optræder flere gange i turen udskyder POSTPONE serviceringen af den til den sidste traversering i forhold til startpunktet v. I REVERSE skal man i STEP 1 finde en node w så at stien fra v til w (v,w) bliver så lang som mulig og at resten af ruten (w,v) indeholder alle kanterne med efterspørgsel. Stien fra v til w kaldes for P og stien fra w til v kaldes for P. STEP 2 forsøger så at finde en kant (x,w) som går ind i w og som ikke skal serviceres. Hvis denne findes må de første kanter på P op til kant (x,w) (altså (w,x)) udgøre en rundtur C. Vend retningen på C og så tilbage til STEP 1. Den næste procedure, SHORTEN, bruges efter de to foregående til at lede efter en endnu kortere tur rundt til alle kanterne med efterspørgsel i grafen. Den er ganske simpel, idet den leder efter en kortere sti S vw mellem to endepunkter på en sti P der kun indeholder kanter som traverseres. Igen vælger man et startpunkt v på turen og en retning for turen og så sætter man Side 20 af 96

27 w til at være det første punkt på turen som er tilstødende til en kant med efterspørgsel (stien fra v til w hedder altså P). Hvis så længden af S vw (kaldet L vw ) er kortere end længden af P, erstattes P af S vw. Dette fortsættes på alle mulige startpunkter og i begge retninger, indtil man ikke finder forbedringer. Figur 5 illustrerer POSTPONE, REVERSE og SHORTEN procedurerne i et lille eksempel. 5a viser et billede af grafen, hvor de tykke streger indikerer at der er efterspørgsel. 5b viser en mulig tur som starter i node c og fra 5b til 5c har man brugt POSTPONE og derudover har man lavet STEP 1 i REVERSE ved at sætte node e til w. Da der er en rundtur fra w til w har man fra 5c til 5d ændret retningen på rundturen (STEP 2). Til sidst har man med SHORTEN forkortet stien fra c til a i 5e. Figur 5: Illustration af POSTPONE, REVERSE og SHORTEN Kilde: Hertz, 2005, s. 14 SWITCH ændre også på rækkefølgen i en startrute T, ved at vælge en node v som forekommer flere gange på T. Derefter skal man så vende retningen på alle minimal cycles mellem to forekomster af v. Figur 6 illustrerer denne procedure, og et eksempel på en minimal cycle er (a,d,c,d,a). Denne procedure bruges specielt i CARPET og VND algoritmerne. Side 21 af 96

28 Figur 6: Illustration af SWITCH Kilde: Hertz, 2005, s. 14 De næste to procedurer ADD og DROP kan henholdsvis tilføje en kant eller skære en kant (v,w) væk fra en tur T som dækker R kanter med efterspørgsel og derved lave en ny tur T. I ADD tilføjer man en kant med efterspørgsel som ikke er i R og der kan være følgende scenarier når man vil tilføje. Hvis hverken noderne v eller w ligger på T skal man finde en node z på T der minimerer længden fra z til v (L zv ) og længden fra w til z (L wz ). Dernæst tilføjes den korteste sti fra z tilbage til z som går over (v,w). Ellers kan v eller w (eller dem begge) være på T i forvejen og hvis det for eksempel er v så skal man tilføje rundturen (v,w,v) på T. Til sidst skal man forsøge at forkorte den nye tur ved hjælp af SHORTEN proceduren. I DROP vælger man, modsat ADD, en kant (v,w) som allerede er i R, tager den væk fra T og forsøger så at forkorte turen uden (v,w) med SHORTEN proceduren. De sidste to procedurer er PASTE og CUT, og de bruges oftest sammen. PASTE lægger to eller flere ruter sammen til en lang tur som dækker alle de kanter med efterspørgsel som ruterne før dækkede hver for sig. Efter sammenlægningen kan man eventuelt bruge SHORTEN for at forkorte turen, hvilket kan være mulig hvis den sidste kant på den ene rute og den første kant på den anden rute ikke bliver serviceret. Med PASTE er der en mulighed for at den nye rute ikke overholder kapacitetsbegrænsningen og derfor bruges PASTE oftest sammen med CUT. CUT deler nemlig en ikke-mulig tur T op i et antal mindre ture som overholder kapacitetsbegrænsningen Q. Figur 7 viser et eksempel på hvordan CUT splitter en lang ikke-mulig tur op i 4 mindre, mulige ture. Side 22 af 96

29 Figur 7: Illustration af CUT Kilde: Hertz, 2005, s. 17 Ruten T indeholder noderne (depot, v 1, v 2, v t, depot). I STEP 1 af CUT kontrollerer man om den samlede efterspørgsel D på T er mindre end eller lig med Q, for hvis det er tilfældet stoppe algoritmen. I STEP 2 vælger man først den største værdi for s, så kanten (v s-1, v s ) bliver serviceret og så stien fra depot til v s samtidig overholder kapaciteten. Dernæst vælger man den mindste værdi for r, så kanten (v r-1, v r ) bliver serviceret og så den samlede efterspørgsel på stien fra v r til depotet ikke overskrider Q( D/Q -1). Hvis r er større end eller lig med s sættes r = s og man kan gå til STEP 3. Hvis r er mindre, skal man for hver punkt q, hvor r q s, lade v q* være det første endepunkt på en kant med efterspørgsel som kommer efter v q på T, og lade være længden på stien fra v q til v q* på T. Man skal så vælge det punkt v q der minimerer =, +,. I STEP 3 laver man så selve cuttet, så den første tur går fra depot til v p og følger den korteste sti tilbage til depotet. T opdateres så den følger den korteste sti fra depot til v q* og går videre tilbage til depotet langs den gamle T. Derefter går man tilbage til STEP 1 og starter forfra. Der findes flere forskellige metoder til at dele en lang tur op i flere mindre ruter der hver især overholder bilens kapacitetsbegrænsning. I artiklen Tour splitting algorithms for vehicle Side 23 af 96

30 routing problems bruges en metode, der laver cuttene således, at den samlede kørte distance bliver mindst mulig. Algoritmens resultat afhænger dog af den rækkefølge kanterne står i inden de bliver cuttet (Prins et al., 2009). Algoritmen bygger en ekstra graf (auxiliary graph) H, med alle de kanter der skal serviceres i den rækkefølge som kanterne blev modtaget i. Grafens noder svarer til kanterne i den traditionelle graf. Herefter beregnes den korteste distance til hver node. Distancen gemmes sammen med nummeret på den node der blev besøgt tidligere på ruten for at gemme stien hen til noden. Som tidligere nævnt er algoritmen kun så god som rækkefølgen på de kanter der modtages er. Dette rettes der i artiklen op på ved at rotere (shifte) noderne i H. Her tages den første node ud af rækkefølgen, alle andre noder flyttes en plads tilbage i H og den første node indsættes til sidst. Dette gentages indtil alle noder har været hele turen rundt. For hver rotation udregnes distancen og den tilhørende rute som ovenfor beskrevet. Den bedste version af rotationen gemmes og bruges fremover. Det vil ofte være tilfældet at det vil være fordelagtigt at servicere kanterne i den modsatte retning end den som angives i grafmatrixen. Det vil sige at kanten serviceres ved at bevæge sig fra slutnode til startnode i stedet for fra startnode til slutnode. Man kan derfor forsøge at servicere kanterne bagfra og se om distancen er kortere. Denne metode kaldes split with flip i artiklen Metaheuristikker Heuristikkerne Path-Scanning, Construct-Strike og Augment-Merge var blandt de første heuristikker som kunne løse CARP, men en svaghed ved dem er at de nemt kan blive fanget i et lokalt optimum, hvorfor der ikke er nogen garanti for at den optimale løsning er fundet. Op igennem 1990 erne og især efter årtusindskiftet er der blevet udviklet en lang række nye heuristikker som præsterer bedre end de klassiske konstruktions heuristikker. Disse nye heuristikker er metaheuristikker som oftest forsøger at forbedre løsningerne fra de gamle heuristikker på forskellig vis, og de vil blive gennemgået i dette afsnit. Metaheuristikker er løsningsmetoder som ved hjælp af forskellige metoder kombinerer lokale forbedringsmetoder med metoder som på et højere niveau kan hjælpe til at slippe væk fra et eventuelt lokalt optimum (Glover & Kochenberger, 2003, s. xi). Side 24 af 96

31 Tabu Search Tabu Search (TS) er en metaheuristik, som første gang blev introduceret i 1986 af Fred Glover. Siden da er TS oftest blevet brugt til at løse kombinationsproblemer. Grunden til at TS ofte bliver brugt, er at den har vist sig at være en ganske udmærket metaheuristik, hvis resultat ligger tæt på optimum. TS er som andre metaheuristikker en overordnet heuristik, der skal guide de underordnede heuristikker rundt mellem alle, mulige løsninger. Formålet er, at tillade heuristikkerne at slippe ud af et lokalt optimum og søge mere bredt efter et globalt optimum. TS søger dermed efter lokale optimum, og når den når frem til dem, undersøger den et nyt område og søger efter et lokalt optimum der. Idet TS hopper væk fra et lokalt optimum vil det let kunne forekomme, at den hopper til en løsning der er dårligere end den løsning den kommer fra. Det er derfor nødvendigt at hele tiden lagre den bedste løsning. Et centralt element i TS er at heuristikken ikke skal vende tilbage til en lokal optimal løsning med det samme. Alle naboløsninger til et lokalt optimum vil være ringere end dette. For at undgå at heuristikken søger fra naboløsningen tilbage til det lokale optimum indføres der et tabu. Dette tabu består i at forhindre den ændring der vil fører tilbage til det lokale optimum. For at begrænse den mængde data der skal lagres for hvert tabu, bliver ikke-komplette løsninger gemt. Hvis en bestemt kant er flyttet fra rute 1 til rute 2, kan man tabubelægge at flytte kanten tilbage fra rute 2 til rute 1. Denne tabubelægning kan dog let omgås hvis kanten flyttes fra rute 2 via rute 3 til rute 1. I stedet kan tabuet være at kanten ikke må indgå i rute 1. Alternativt kan tabuet være at kanten skal være i rute 2. Listen med tabubelægninger har typisk en fast længde hvor nye tabuer erstatter de tidligere. Det vil sige at et tabu kun huskes for et begrænset antal iterationer. I nogle tilfælde kan det vise sig at tabuer er for bestemmende og derved ikke tillader træk der kan lede til en bedre løsning end bedste som er fundet indtil nu. Leder trækket til en løsning, der bliver den nye bedste løsning, har man ikke tidligere befundet sig i denne løsning, og man kan derfor roligt accepterer den. Sådanne træk bestemmes af et aspirationskriterium, som bestemmer, at et træk kan godkendes hvis dets løsning er bedre end den bedste løsning fundet hidtil (Glover & Kochenberger, 2003, s. 44). En pseudokode for TS heuristikken kan ses herunder i figur 8. Her søger koden at minimere funktionen f(s) ved at vælge det bedste træk for hver iteration. Heuristikken fortsætter indtil den når det fastsatte stop kriterium. Et sådan kriterium kan være et bestemt antal iterationer Side 25 af 96

32 eller CPU tid, et bestemt antal iterationer uden forbedring af løsningen eller når heuristikken når en fastsat funktionsværdi (Glover & Kochenberger, 2003, s. 45). Figur 8: Pseudokode for Tabu Search Kilde: Glover & Kochenberger, 2003 I og med at TS som udgangspunkt evaluerer alle naboløsninger for at finde den bedste er løsningstiden lang for store problemstillinger. Dette kan undgås ved kun at evaluere et begrænset antal naboløsningerne til den nuværende løsning. Dette medfører en reduceret sandsynlighed for at ryge ind i en cyklus og stiller et mindre krav til længden af tabu listen (Glover & Kochenberger, 2003, s. 45). Ved store problemer er det nødvendigt at forholde sig til hvordan man vil begive sig rundt i søgningsrummet. Dette er en vigtig del af designet af en god TS heuristik. Intensification er et begreb der bruges om at intensivere søgningen i lovende områder for at være sikker på at man finder den bedste løsning i disse områder. Dette kan gøres ved at man udvælger de variable der ikke har ændret sig i lang tid og fryse dem mens man søger blandt de ikke-frosne variable. En modsætning hertil er diversification som går ud på at tvinge heuristikken til at søge i større dele at søgningsrummet. Dette kan gøres hvis heuristikken ikke af sig selv vil Side 26 af 96

33 bevæge sig rundt i søgningsrummet, men vil have en tendens til at være mere lokalt orienteret. For problemer hvor det er krævende at beregne værdien af den sande objektivfunktion kan man opstille en surrogat objektivfunktion. Denne surrogat objektivfunktion skal være mindre krævende at udregne og korrelere med den sande objektivfunktion for at være nyttig. For de naboløsninger der har den bedste surrogatfunktionsværdi udregnes den sande funktionsværdi. Dermed undgås at skulle udregne den krævende funktionsværdi for alle naboløsningerne. TS er blandt andet blevet brugt til at løse CARP-problemer. Hertz et al. (2000) brugte en Tabu Search til at evaluere naboløsningerne, mens de havde en række andre værktøjer til at forbedre løsningen. Disse værktøjer blev kaldt CARPET og bestod af de procedurer som blev gennemgået i det forgående afsnit. Da den blev offentliggjort viste denne løsningsmetode sig at lave gode løsninger i forhold til de eksisterende metoder. Problemerne var dog forholdsvis små idet der ikke var mere end 100 kanter i nogle af problemerne der blev løst i deres artikel Simulated Annealing Simulated Annealing (SA) udspringer af teorien omkring metallers ændrede struktur ved gentagne opvarmninger og nedkølinger. Den er dermed ikke den eneste metaheuristik der kommer fra naturvidenskaben. Blandt andet er Genetic Algorithm (GA) og Ant Colony System (ACS) ligeledes heuristikker der er udsprunget af naturvidenskaben. SA blev introduceret i en udgave der kunne bruges inden for management science i 1983 af Kirkpatrik, Gellat og Vecchi (Pidd, 2009). Ligesom de andre heuristikker er SA også en metaheuristik der kan guide algoritmen rundt i hele søgningsrummet og derved reducere risikoen for at blive fanget i et lokalt optimum. SA guider løsningen ved altid at acceptere en naboløsning hvis den er bedre end den nuværende løsning. Hvis naboløsningen derimod ikke er bedre kan den med en vis sandsynlighed blive accepteret alligevel. Denne sandsynlighed falder efterhånden som heuristikken skrider frem. Dette betyder, at SA i starten vil være forholdsvis tilbøjelig til at hoppe bredt rundt i søgningsrummet, hvorimod den senere hen vil være mere tilbøjelig til at blive i sit eget nærområde (Pidd, 2009). SA udvælger én naboløsning til den nuværende løsning og evaluerer denne. Dette er forskelligt fra TS, der som udgangspunkt evaluerer alle naboløsninger til den nuværende løsning. En pseudokode for heuristikken som den fremgår af (Glover & Kochenberger, 2003) kan ses herunder i figur 9. Side 27 af 96

34 Ligesom de andre metaheuristikker har SA også været brugt til at løse en række CARP problemer. Blandt andre anvendte Eglese (1994) SA til rutelægning med hensyn til vejsaltning. Figur 9: Pseudokode for Simulated Annealing Kilde: Pidd, Genetic og Memetic Algorithm En anden metaheuristik som også er blevet adapteret til CARP problemet er Genetic Algorithm som for alvor kom frem i 1975 (Sastry, Golberg & Kendall, 2005). GA bygger på ideen om naturlig udvælgelse og mutation, og bruger udtryk som kromosomer, gener og generationer til at forklare algoritmen. En potentiel løsning til et problem kaldes indenfor GA for et kromosom som består af én lang række af gener som har en bestemt værdi (kaldet allele) og en generation er en gruppe af løsninger. I CARP kan man se kromosomet som en rute hvor hvert gen er et kantstykke. Til at bedømme hver kromosomløsning har man typisk et matematisk mål, som i CARP kunne være den totale længde for ruten. GA er en populationsbaseret metaheuristik (modsat local search) og man opererer derfor med en lang række løsninger samtidig (kaldet forældre) hvor man så udvælger de bedste og lader dem kombinere (crossover) og mutere, så de derved skaber afkom. Afkommet er derfor en population af nye løsninger som afløser forældrene og som man så igen udvælger de bedste af Side 28 af 96

35 og starter forfra med. Der findes mange forskellige metoder til at udføre både udvælgelsen, kombineringen, mutationen og afløsningen, men det vil være for omfattende at gennemgå her. En Memetic Algorithm (MA) er en videreudvikling af GA som implementerer en local search heuristik til at udføre mutationerne, som skal hjælpe heuristikken fra at blive fanget i et lokalt minimum. De fleste GA er blevet udviklet til Travelling Salesman Problemet, men i 2001 præsenterede Lacomme et al. (2001) en GA (det er egentlig en MA) til CARP. I heuristikken er kromosomerne lange, ikke-mulige ture hvor de så bruger Ulusoy s algoritme til at lave mindre, mulige ture og til at bedømme løsningerne. Deres heuristik er faktisk en hybridheuristik da de har implementeret simple local search moves, såsom 2-opt moves, til at udføre mutationerne. Tang et al. (2009) har senere præsenteret en anden MA, kaldet Memetic Algorithm with Extended Neighborhood Search, som laver en mere kompliceret local search ved hjælp at Merge-Split metoden Variable Neighborhood Search Hansen & Mladenović introducerede Variable Neighborhood Search (VNS) i 1997, som systematisk udnytter ideen om at skifte nabolag, både til at finde lokale optima og til at slippe væk fra disse lokale optima, for derved at afsøge om et bedre lokalt optimum findes i et andet nabolag i det globale løsningsområde (Hansen & Mladenović, 2005). VNS består i princippet af to dele: Variable Neighborhood Descent (VND) og Restricted Variable Neighborhood Search (RVNS). VND er en steepest descent heuritisk (også kaldet for best improvement local search) som begynder med en startløsning x, der ligger i nabolag N(x). Derfra går heuristikken i den retning som giver den bedste forbedring indtil den når et lokalt optimum i det pågældende nabolag. Hele nabolaget bliver altså gennemsøgt. Hvis der ikke er nogen retning med forbedring, stopper heuristikken. RVNS er så den del af VNS som kan hjælpe den væk fra et lokalt optimum i et nabolag over i et andet nabolag og det gøres ved tilfældighed. Når så VNS samler VND og RVNS indgår der altså både henholdsvis en deterministisk del og en stokastisk del. Hertz og Mittaz (2001) har lavet en adaption af VND til CARP problemstillingen. I denne metode søger man efter lokale optima i p nabolag N 1, N 2, N p. (den maximale værdi for p er den samlede efterspørgsel divideret med bilens kapacitet). Man begynder med en startløsning Side 29 af 96

36 x i det første nabolag N 1 (x) og søger i naboløsninger efter det lokale optimum ved at flytte en kant med efterspørgsel fra dens nuværende rute T 1 til en anden rute T 2. Den anden rute kan så enten være en helt ny rute eller det kan være en eksisterende rute med ledig kapacitet. Dette bliver gjort ved at bruge procedurerne ADD og DROP, som blev beskrevet ovenfor. Når et nabolag er blevet gennemsøgt for et lokalt optimum går algoritmen videre til det næste, for igen at søge efter et nyt lokalt optimum, og hvis dette er bedre vælges dette. For at finde løsninger i de næste nabolag (N p > 1) vælges, tilfældigt p ruter som lægges sammen til én lang tur. Denne tur bliver forbedret og bagefter splittet op i et antal ruter som overholder kapacitetsbegrænsningen, så man derved har en ny mulig løsning. Dette bliver udført med procedurerne SWITCH, CUT og SHORTEN. Denne skiften mellem at søge i et nabolag til at hoppe til et andet og afsøge dette, fortsættes indtil det sidste nabolag ikke giver nogen forbedringer. Værd at bemærke ved denne VND adaption er at den gennemsøger nabolagene forskelligt fra en normal VND. En normal VND vil gå tilbage til det første nabolag (sætte p = 1) og starte forfra, når den finder en bedre løsning i et nabolag. Hertz og Mittaz VND søger hvert nabolag igennem for derefter at begynde forfra hvis en bedre løsning blev fundet undervejs. Den ovenstående beskrivelse af VND adaptionen stemmer dog ikke helt overens med den faktiske algoritme som de har udviklet og testet imod andre heuristikker. Pseudokoden kan ses nedenfor i figur 10: Figur 10: VND-CARP Algoritme Step 1. Generate a tour covering all required edges by means of Frederickson s algorithm, and apply SHORTEN on it. Apply CUT on the resulting tour to obtain an initial feasible solution s. Step 2. Set i = / and s best = s. Step Set c = 1 (counter for the number of neighbors). Set f best = f(s) (best value of a neighbor) Select i routes in s and merge them into a single tour. Apply SWITCH and then CUT on this tour. Apply SHORTEN on each new route. Let s be the resulting solution If f(s ) < f best then set best_s = s and f best = f(s ). Set c = c + 1. If c <= M i then go to Step 3.2. Side 30 af 96

37 Step 4. If f best < f(s) then set s = best_s and go to Step 3. Set i = i 1. If i >= 1 then go to Step 3. Step 5. If f(s) < f(s best ) then go to Step 2; else stop. Kilde: Hertz og Mittaz 2001, s. 429 Som det fremgår ovenfor i figur 10, indgår den del hvor man tager en kant fra en rute og lægger over på en anden ved hjælp af ADD og DROP procedurerne ikke i denne algoritme. En anden forskel er at man går fra det største nabolag K og ned til 1, hvilket de gør da de har testet det mest effektivt. En anden betydelig forskel er at de kun laver op til M løsninger i hvert nabolag. Dette betyder at man, alt efter hvad man sætter M til at være, ikke nødvendigvis undersøger hele nabolaget og derved fjerner man altså det deterministiske som ifølge Hansen & Mladenović er meningen med VND en. Hertz og Mittaz begrunder det med at der kan være mange måder at udvælge i ruter og mange måder at udvælge v i SWITCH proceduren, og derved kan det på et stort datasæt være for tidskrævende at undersøge enhver mulighed. Derfor vælger de at lede efter den bedste løsning iblandt M tilfældigt genererede løsninger. En sidste forskel som også fremgår, er den måde som Hertz og Mittaz VND søger igennem nabolagene på, som nævnt ovenfor. I figur 11 ser man at man i en normal VND starter fra i = 1 og undersøger det første nabolag, og hvis der ikke er nogen forbedringer at finde fortsætter man til det næste nabolag (i = 2). Når man så finder en forbedring i et nabolag, indsættes denne og man går tilbage til start (i = 1). Figur 11: Pseudokode for almindelig VND Givet løsning s i = 1 While i <= I (i = 1,2,, I) s N i (x) Hvis f(s ) < f(s) Else Sæt s = s & i = 1 Sæt i = i + 1 End While Kilde: Hansen & Mladenović 2005, s. 217 Modsat starter man i VND-CARP oppefra (i = K) og bevæger sig nedad i nabolagene, og når man her finder en forbedring starter man forfra i det samme nabolag, og altså ikke tilbage til start (i = K). Man går først tilbage til start hvis man på vej mod i = 1 har fundet en forbedring. Side 31 af 96

38 Stop kriteriet for heuristikken er derved når man har gennemsøgt hele løsningsområdet uden at finde en forbedring Guided Local Search Guided Local Search (GLS) er en metaheuristik der blev fremsat af Voudouris og Tsang i 1996 og som på nogle områder minder om TS. Når GLS bliver fanget i et lokalt optimum, vil der blive pålagt en straf på løsningen og algoritmen vil blive tvunget i en anden retning. De egenskaber ved løsningen der har den største indflydelse pålægges så den største straf. Pålægningen af en straf svarer til tabubelægningen i TS. Denne metaheuristik er ikke særlig anvendt til at løse CARP problemer, men bliver dog anvendt af Buellens et al. (2003) Ant Colony System Ant Colony System er en forholdsvis ny metaheuristik som kom frem i midten af 1990 erne og den bygger på den måde som naturens myrer lægger duftspor ud for at kommunikere vejen til gode områder med mad til andre myrer (Dorigo & Stützle, 2003). Metaheuristikken kan bruges til at løse svære kombinationsproblem og derfor har man også brugt ACS til at løse CARP problemstillingen, men det er stadig i et begrænset omfang selvom nogle har rapporteret meget gode resultater. Selvom dette kun var et udpluk, findes der altså mange forskellige metaheuristikker som kan bruges til at forbedre den indledende løsning man får fra konstruktionsheuristikkerne og disse vil ligge til grund for udvælgelsen af løsningsmetode til specialets problemstilling Districting Som beskrevet tidligere, består datagrundlaget for specialet af en stor graf med kanter som repræsenterer vejstykkerne på den sydøstlige del af Djursland. Grafen består oprindeligt af 7551 noder og 8872 kanter hvilket betyder at det er en meget stor graf hvori specialet skal forsøge at finde næroptimale ruter. Det er allerede slået fast at det er næsten umuligt at finde de optimale ruter, indenfor rimelig tid, men selv en heuristik skal bruge lang tid på at komme frem til en fornuftig løsning, når der er tale om så stort et datasæt. De testgrafer som forskere normalt bruger på deres heuristikker er normalt ikke større end 100 noder, så de er altså betydeligt mindre og meget langt fra graferne som man vil finde i virkeligheden. En mulighed for at gøre det nemmere for løsningsheuristikkerne er derfor at dele grafen op i mindre grafer, hvilket alt andet lige vil kunne sænke løsningstiden. Side 32 af 96

39 Denne løsningstilgang hedder i litteraturen blandt andet Districting 5 og det defineres af Muyldermans et al. (2003) som opdelingen af en stor geografisk region (eller netværk) i mindre underdistrikter (undernetværker) og det bruges for eksempel til inddeling af politiske distrikter, skole distrikter, politi distrikter og lignende, men også til saltspredning på vejene om vinteren. De fleste tilgange til dette problem følger, ifølge Muyldermans et al., en sammenhobnings tilgang, hvori regionen inddeles i et stort antal små områder som så derefter bliver sammenhobet i distrikter i forhold til en række, i forvejen specificerede (eventuelt fiktive) distrikt centre. I Muyldermans et al. (2002) beskriver de en række retningslinjer til udformningen af distrikter og de slår fast at selve districting delen bør foregå på et strategisk og taktisk niveau hvorimod rutelægningen skal holdes på et operationelt niveau. En ulempe ved denne måde at gribe et stort CARP an på er, at inddelingen i distrikter ikke rigtig kan tage højde for hvor gode de ruter som bliver lavet ender med at blive. Many practitioners are aware of the danger of suboptimising by seperating depot location from vehicle routeing skriver Salhi og Rand (1983) i en artikel, hvori de også laver en række test som kan bevise denne påstand. På tre forskellige scenarier bruger de fire forskellige metoder til at udføre depot placering og allokering, samt en metode til at lave ruter. Derved kan de finde ud af om der er en kombination som hver gang laver det bedste resultat, ud fra de totale omkostninger. De konkluderer at der sjældent kan observeres tilfælde hvor at den metode som laver de mindste omkostninger efter lokaliseringsfasen også har de laveste totale omkostninger efter rutelægningsfasen. Dette viser altså at hvis man vil finde den optimale løsning kan man ikke ignorere ruteplanlægningsdelen når man udfører lokaliserings- og allokeringsdelen. I erkendelse af denne risiko for suboptimering ved at dele opdelingen og rutelægningen er der opstået en forholdsvis ny problemformulering kaldet Location Routing Problemer (LRP). I de fleste artikler omkring LRP er ruteplanlægningen et noderutelægnings problem (fx Travelling Salesman Problem og Vehicle Routing Problem) hvor det er noder som skal serviceres på ruterne (Yu et al., 2010). Problemet er som CARP NP-hard (Barreto et al., 2007), så der er derfor blevet udarbejdet en række metaheuristikker til at løse problemet som blandt andet bruger SA og TS. Senere hen er der så også blevet forsket i kantrutelægningen af LRP, kaldet Location-Arc Routing Problems (LARP). Ifølge Doulabi og Seifi (2013) kan man dele 5 Bliver også kaldt for Clustering Side 33 af 96

40 heuristikkerne til LRP problemerne op i to klasser: Location-Allocation-Routing og Allocation-Routing-Location. I den første klasse lokaliseres depoterne først i grafen, og alle kanterne der skal serviceres allokeres til et passende depot, hvorefter der til sidst udføres ruteplanlægning på de skabte grupper. I den anden klasse, som har vist de bedste resultater, inddeler man først kanterne i grupper og laver ruteplanlægning på dem, hvorefter man til sidst bestemmer hvor depoterne skal placeres i forhold til de skabte ruter. LARP og Districting er altså to metoder som kan benyttes til at takle det omfattende datasæt, og de bør derfor indgå i overvejelserne omkring løsningsmetoden for specialet. 4. Datagrundlag Reno Djurs har leveret det nødvendige data om deres kunder og det område de opererer i, der gør os i stand til at opstille et CARP problem. Helt konkret har vi fået en liste over samtlige husstande i det område vi skal koncentrere os om, som ligger i det sydøstlige hjørne af Djursland og som cirka svare til den gamle Ebeltoft kommune. Derudover har de også leveret en fil med information om hvert vejstykke. Dette har været en stor hjælp som har sparet os meget tid. Yderligere er vi blevet forsynet med en afstandsmatrix med afstanden mellem de forskellige knuder samt en predecessor tabel, hvoraf man kan aflæse hvordan man begiver sig den korteste vej mellem to knuder. Filen med alle husstandene der skal serviceres indeholder adressen samt hvilken tømningstype de er tilmeldt. Tømningstypen er bestemmende for hvor tit der skal tømmes restaffald. Almindelige husstande kan vælge mellem uge og 14-dages tømning, mens sommerhuse har flere alternativer. Man kan samtidig se om en husstand er et sommerhus eller et helårshus. Idet der i dette speciale kun fokuseres på helårshuse ved indsamling af ressourcer, ses der bort fra de adresser der er sommerhuse. Filen indeholder ikke større erhvervsejendomme, som specialet heller ikke medtager. Filen med vejdata indeholder information om hvilke adresser der findes på hvilke vejstykker. Derudover indeholder den koordinaterne og knudenumrene for knuderne i hver sin ende af vejstykket samt længden herpå. Disse informationer er brugt til at lave en liste (adjacency list) over hvor mange og hvilke kanter der har forbindelse til hver node. Dette har givet mulighed for at anvende Dijkstra s algoritme, der finder den korteste vej mellem to knuder. Side 34 af 96

41 4.1. Geografi Det geografiske område der fokuseres på i dette speciale er det sydøstlige kvadrant af Djursland. Nodernes position bliver angivet med et x- og et y-koordinat, hvor x-koordinatet svarer til nodens længdegrad og y-koordinatet svarer til noden breddegrad. Koordinatet er angivet i meter i modsætning til den mere almindelige angivelse i grader, minutter og sekunder. X-koordinatet angiver den omtrentlige afstand til 0-meridianen som passerer gennem Greenwich i England. Y-Koordinatet angiver afstanden til ækvator. Både x- og y- koordinatet er angivet i meter. To af koordinaterne har særlig betydning og vil derfor blive nævnt her. Det er depotet, som bilerne starter og slutter deres ruter i, samt affaldsanlægget i Glatved, hvor aflæsningen af affaldet skal ske. Depotet har koordinaterne: x=614005; y= og affaldsanlægget i Glatved har koordinaterne: x=605688; y= Etageboliger Der er i specialet valgt ikke at servicere etageboliger. Dette skyldes, at etageboliger har flere husstande og derfor tilsvarende mere affald der skal indsamles. Etageboliger benyttes i specialet som en samlet betegnelse for regulære etageboliger med flere husstande i en opgang, men også tæt beboelse med fælles affaldscontainere såsom rækkehuse, andelsboliger, og lignende. Efter at have talt med Reno Djurs, PWS, Reno Norden og Herlev Kommune er vi nået frem til at det ikke vil være hensigtsmæssigt at placere flere 2- eller 4-kammerspande ved en etagebolig. Opsættes der 400 eller 600 liters containere til hver af de fire fraktioner, vil det ikke være muligt at tømme dem i en 2- eller 4-kammerbil. Det vil derfor være nødvendigt at håndtere etageboliger særskilt og servicere dem med andre biler. Ud fra de oplysninger vi har om hver adresse er det ikke endegyldigt muligt at afgøre om det er en etagebolig eller et enfamiliehus. Vi har derfor valgt at betegne alle husstande med en 600 liters container som etagebolig. Husstande med 400 liters container har vi valgt at vurdere individuelt. På baggrund af antallet af spande, tømningsfrekvens og billeder af ejendommen har vi afgjort om husstanden skal betragtes som en etagebolig eller et enfamiliehus. Dette gør at offentlige institutioner og virksomheder også kan blive klassificeret som etageboliger. Det er dog ikke noget problem at der ikke skelnes mellem de to typer da de bliver behandlet ens i forhold til indsamlingsordningen. Herudover er alle husstande med betænkeligt mange Side 35 af 96

42 restaffaldsspande på adressen også blevet vurderet individuelt. Der er for eksempel blevet konstateret en adresse med 10 styk 140 liters spande Deltagende husstande Det vil ikke være alle husstande der har plads til eller er interesserede i at få flere spande i deres indkørsel. Reno Djurs vurderer at omkring 80 procent af husstandene vil være interesseret i at få en 4-kammerspand eller to 2-kammerspande. Resten vil enten ikke have dem i indkørslen eller vil hellere selv på genbrugspladsen med deres affald. For at udvælge de husstande der vil med i ordningen, er der i dette speciale taget udgangspunkt i den nuværende papirindsamlingsordning. Sammenligner man filerne med alle husstande i område 3 og de husstande der er med i papirindsamlingsordningen, fremgår det, at antallet af husstande der er med i papirindsamlingsordningen udgør 73 procent af helårsboligerne. Der vil derfor blive forudsat, at de husstande der tilmelder sig ressourceordningen, er de husstande, der i forvejen er med i papirordningen. Efter at have fjernet etageboliger og kun medtaget de husstande som nu er med i papirordningen ender vi ud med i alt 4348 husstande der skal have indsamlet ressourceaffald. Husstandene er identificeret ved at være markeret med rødt i kolonne I i BI Data arket af Restaffald Område 3 (reduceret).xlsm filen Vægt og vægtfylde De fire fraktioner fylder ikke lige meget i forhold til deres vægt idet de har forskellig vægtfylde. Som det ses af tabel 1 nedenfor er glas den tungeste fraktion med en vægt på 275 kg. pr. m 3. Herefter kommer papir med en vægt på 239 kg., metal med 46 kg. og til sidst plast med en vægt på 32 kg. pr. m 3. En gennemsnitlig husstand genererer i gennemsnit 15,4 kg. ressourcer på 4 uger. Heraf er hovedparten papir med 9,3 kg. og glas med 4 kg. Med hensyn til volumen genererer husstandene mest plast og papir. Af hensyn til rummenes størrelse i 4- kammerspanden, vil det være hensigtsmæssigt at tildele de fraktioner med lavest volumen til indsatserne og dermed tømme dem ud i lastbilens to øverste rum og tildele de fraktioner med en høj volumen til spandens større hovedrum og dermed tømme dem ud i lastbilens to nederste rum. Dette resulterer i at papir og plast bliver placeret i bunden af lastbilen, mens glas og metal skal op i det øverste lag. Side 36 af 96

43 Tabel 1: Fraktionernes vægt og fylde Fraktion Vægtfylde (kg/m 3 ) Gennemsnitlig vægt pr. husstand (kg.) Gennemsnitlig volumen pr. husstand (liter) Glas 275 4,0 14,6 Papir 239 9,3 38,9 Metal 46 0,7 15,2 Plast 32 1,4 43,8 I alt 15,4 112,5 Kilde: Reno Djurs, 2013 & Herlev, Papir skal have det store rum i bunden af lastbilen på 9,4 m 3. Plast skal have det andet rum i bunden på 4,8 m 3. I toppen skal glas have rummet på 4,4 m 3, mens metal skal have det mindste rum på 2,1 m 3. Denne fordeling er nødvendig for at have plads til det hele i spanden. Fordelingen ses af figur 12 nedenfor. Figur 12: Fordeling af fraktioner i lastbilen Kilde: PWS, 2013 med egne tilretninger Med hensyn til lastbilen, er denne fordeling dog ikke helt optimal, idet den resulterer i at glas og papir, som er de to tungeste fraktioner, skal i rummene i venstre side. Samtidig skal glas op i et af de øverste rum, hvilket vil flytte lastbilens tyngdepunkt opad. Størrelsen på lastbilens rum er designet ud fra en forventning om borgernes generering af ressourcefraktionerne, således alle rummene bliver fyldt op nogenlunde samtidig Overordnet mængde af affald Idet der ifølge RenoNorden (RenoNorden, 2013) og PWS (PWS, 2013) kan være affald fra cirka 250 husstande i en lastbil bliver det i dette speciale forudsat, at den varians der er i mængden af affald i de enkelte spande udligner sig selv. Det vil sige, at de spande der har mere end den gennemsnitlige mængde affald nogenlunde bliver udlignet af de spande, der har mindre end den gennemsnitlige mængde. Standardafvigelsen for en sum af uafhængige og ens Side 37 af 96

44 fordelte variable 6 er lig med kvadratroden af variansen divideret med stikprøvestørrelsen ( ). Hvis nu mængden af affald i hver spand har en standardafvigelse på 50 liter (tænkt eksempel), vil standardafvigelsen af den gennemsnitlige mængde affald, der skal samles ved hver husstand være 3,16 liter. For en lastbil der besøger 250 husstande vil det betyde, at standardafvigelsen på den samlede mængde affald der skal indsamles er 790,5 liter. Fordi afvigelserne udligner hinanden og fordi der er kapacitet til at besøge så mange husstande på en rute, vil der ikke være nogen stokastisk komponent i den mængde affald der genereres pr. husstand. I stedet anvendes en gennemsnitlig affaldsmængde pr. husstand, for de husstande der er ens. Den gennemsnitlige affaldsmængde, er afhængig af hvor stor affaldsspanden til husstandens restaffald er og hvor tit den bliver tømt. Dette grunder i en antagelse om at de husstande der genererer relativt meget restaffald også vil genererer relativt meget ressourceaffald. Det følgende afsnit beskæftiger sig med affaldsmængder pr. husstand Fordeling af affald Husholdningerne genererer ikke den samme mængde af alle affaldsfraktionerne og ser man på Herlev og Reno Djurs egne tal for hvordan affaldsfordelingen er, er disse ikke ens. I dette speciale, er tallene fra Herlev anvendt, da disse er indsamlet hvor 4-kammerordningen allerede er indført. Grunden til at vi gerne ville have tallene fra et sted hvor ordningen allerede er implementeret er, at vi forventer at sammensætningen af affald vil være anderledes efter indførelsen af ressourceindsamling ved adressen. Resultater fra Sverige har vist, at mængden af affald der afleveres på genbrugspladser og i kuber er faldet efter indførelsen af 4-kammerspande (PWS, 2013). Erfaringer fra Herlev har vist at papir er den fraktion der genererer suverænt mest affald med 60 procent af den samlede mængde målt i vægt. Herefter kom glas med 26 procent, plast med 9 procent og metal med 5 procent (Jakobsen, 2013). Tabel 2 sammenligner de to fordelinger. 6 Independent and identically distributed Side 38 af 96

45 Tabel 2: Procent fordeling mellem de 4 fraktioner. Fordeling Papir Plast Glas Metal Herlev 60,39 % 9,09 % 25,97 % 4,55 % Reno Djurs 60,53 % 15,79 % 15,79 % 7,89 % Kilde: Herlev Kommune, 2013 og Reno Djurs, 2013 Fordelingen fra Herlev Kommune forventes også at gælde for det område der fokuseres på i dette speciale. Det forudsættes at alle husstande genererer forholdsmæssigt de samme mængder ressourcer. Det vil sige, at den procentvise fordeling mellem de fire fraktioner er ens blandt husstande uanset deres størrelse Mængden af affald pr. husstand Ikke alle husstande er lige store og kan derfor ikke forventes at producere den samme mængde affald. For at estimere hvor meget ressourceaffald en husstand producerer, har vi i specialet valgt at bruge størrelsen af husstandens restaffaldsspand samt tømningshyppigheden som fordelingsnøgle. Det er derfor nødvendigt at forholde sig til hvor meget ressourceaffald hver enkelt husstand producere. Det forudsættes dermed, at en spand der bliver tømt en gang om ugen genererer dobbelt så meget affald som en spand der bliver tømt hver 14. dag. En spand på 240 liter producere samtidig 71,4 procent mere affald end en spand på 140 liter. Beregningen er lavet på den måde at der er beregnet hvor meget restaffald der genereres og hvor meget ressourceaffald der forventes genereret. Ved at summere kolonne Z i BI Data arket af Restaffald Område 3 (reduceret).xlsm filen, ser man at Reno Djurs skal tømme spande med en samlet kapacitet på liter på fire uger. Hvis de 4348 husstande der skal med i 4-kammerordningen hver i gennemsnit genererer 15,4 kg ressourceaffald på fire uger som de gør i Herlev, vil Reno Djurs skulle indsamle ,2 kg ressourcer på fire uger (Restaffald Område 3 (reduceret).xslm; BI Data; kolonne AA). Dette svarer til at en husstand producere 28,73 liter restaffald for hvert kilo ressourceaffald de producere. Dette tal er herefter ganget op med størrelsen på husstandens spand til restaffald for at estimere hvor mange kilo ressourceaffald husstanden producere på fire uger. Det kan selvfølgelig diskuteres om sammenhængen mellem mængden af restaffald og mængden af ressourceaffald er lineær uanset mængden af restaffald. Den mængde restaffald husstandene skal af med varierer en del. De husstande der skal af med den mindste mængde ressourceaffald skal af med 8,75 kg, mens de husstande der skal af med mest skal af med 67,18 kg. Er sammenhængen ikke lineær, kan det derfor ske at beregningen af Side 39 af 96

46 ressourcemængden for den enkelte husstand er for unøjagtig. Figur 13 nedenfor viser hvor mange husstande der er med hver mulig ressourcemængde. Figur 13: Histogram over ressourcemængder 1400 Antal husstande pr. ressourcemængde ,75 9,80 16,79 17,49 19,59 26,24 27,99 29,39 33,59 34,99 39,19 50,38 52,48 55,98 67,18 Antal husstande Kilde: Egen tilvirkning & Restaffald område 3 (Reduceret).xlsm Som det ses, af histogrammet har langt de fleste husstande en ressourcemængde under 20 kg. Det ses også at der ikke er så mange husstande der har en mængde der skiller sig væsentlig ud fra de andre. Vi mener derfor at antagelsen om at der er en lineær sammenhæng ikke vil være skyld i de store fejlestimater samlet set. Skulle der ske at være et aftagende marginalt ressourcebidrag, som fører til at de husstande der producere meget restaffald ikke producere så meget ressourceaffald som forventet ud fra den lineære sammenhæng, vil det ikke betyde så meget fordi der ikke er så mange af den type husstande. Det optimale ville være at opstille en model der estimerer hver husstands ressourceproduktion ud fra en række oplysninger om husstanden ved hjælp af regressionsanalyse eller lignende. Det har dog ikke været muligt i dette tilfælde at få data for hver enkelt husstand og sammenligne dem med oplysninger om husstanden for at bygge en sådan model Bil kapaciteter For yderligere at dele den samlede mængde ressourceaffald op i de fire fraktioner har vi brugt fordelingen fra Herlev fra ovenstående afsnit til at bestemme hvor meget af hver fraktion der genereres. Dette er nødvendigt idet lastbilen har 4 kamre, og dermed 4 kapacitetsbegrænsninger. Som udgangspunkt, antager vi at ressourcefordelingen er fastlagt på de givne procenter og vi kan derved også antage at det altid vil være den samme Side 40 af 96

47 ressourcefraktion som vil ramme dens kapacitetsbegrænsning først. Vi kan derved beregne os frem til hvilken ressource som har den knappe kapacitet og derved kun koncentrere os om den og beregningerne er som følger (Tabel 3): Tabel 3: Udregning af knap kapacitet for 4-kammerbilen Fraktion Papir Plast Glas Metal Vægtfylde l/kg 4,18 31,25 3,64 21,74 Bil kapacitet liter kg 2.246,6 153, ,6 (9.400/4,18) 240 l. med kg (i alt: 20,29 3,05 8,72 1,53 uge tømning Antal beholdere/bil 33,59 kg) (60,39 %) stk 110,75 (2.246,6/20,29) Kilde: Vægt og fylde på skraldebiler.xlsx 50,3 138,7 63,2 Ud fra det data omkring vægtfylder vi har modtaget fra Reno Djurs og 4-kammerbilens kammerstørrelser, som det blev beskrevet ovenfor, har vi først fundet ud af hvor mange kilo af de respektive fraktioner der kan være i deres allokerede kamre. For plast er der for eksempel plads til 153,6 kg i ukomprimeret tilstand. Dernæst har vi brugt en 240 liters restaffaldsbeholder med uge tømning som eksempel, som ifølge den beregning der blev beskrevet ovenfor, vil generere 33,59 kg ressourceaffald. Derved kan man så på nederst linje af tabellen finde frem til hvor mange af den specifikke beholder/mængde der kan tømmes på en 4-kammerbils kapacitet. Derved kan man så også konkludere at plast fraktionen er den som har det lavest mulige antal beholdere og er derfor den fraktion med den knappe kapacitet. Og i kraft af vores antagelse er det altså plast fraktionen som vi vil bruge som efterspørgsel på kanterne, hvilket man finder i kolonne R i Vejstykke arket i Vejdata og konstruktion heuristik (reduceret) filen. Bilens kapacitet sætter vi så til at være de 153,6 kg fra tabel 3, hvilket vil betyde at der skal 40 ruter til at indsamle de 6.086,6 kg plastressourcer som de tilmeldte husstande vil generere på fire uger. De samme udregninger har vi lavet for 2-kammerbilerne som skal bruges i scenarie D og udregningerne kan ses i tabel 4 nedenfor. Side 41 af 96

48 Tabel 4: Udregning af knap kapacitet for 2-kammerbiler Fraktion Papir Plast Glas Metal Vægtfylde l/kg 4,18 31,25 3,64 21,74 Bil kapacitet liter (15.000*0,6) kg (9.000/4,18) 240 l. med kg (i alt: 20,29 3,05 8,72 1,53 uge tømning 33,59 kg) (60,39 %) Antal beholdere/bil stk 106 (2.151/20,29) 94,3 189,1 180,6 Kilde: Vægt og fylde på skraldebiler.xlsx Vi har besluttet at 2-kammerbilerne skal have en kammerfordeling på 60/40 hvor at papir og plast skal fyldes i de to store kamre, men glas og metal skal fyldes i de to små kamre. Igen ser man at plast bliver den knappe kapacitet på grund af at det ukomprimerede plastik fylder meget i forhold til vægten. Bilens kapacitet i liter har vi sat så de tømninger pr. uge ikke bliver overskredet og det har vi udregnet ved først at udregne at der skal minimum 21 ruter til at indsamle ressourcer, fra de husstande som er tilmeldte, når der i gennemsnit bliver indsamlet 210 om dagen. Når man så tager det i forhold til de 6.086,6 kg plast der skal indsamles, kan det gøres med en 2-kammerbil med 15 m 3 som det fremgår i tabel 4 7. Derved giver det nemlig en kapacitet på 288 kg plast, hvor der derved skal bruges 22 ruter på at samle 6.086,6 kg ind. Den ene 2-kammerspand skal altså indeholde plast og glas fraktionerne, og den anden papir og metal. Grunden til at vi kun nøjes med at udregne et sæt ruter til indsamlingen i scenarie D, selvom det er to biler som skal rundt og indsamle, er at vi mener de bør kører ens ruter hver dag. Det mener vi er nødvendigt for at gøre det mere brugervenligt overfor borgerne, så de ikke skal stille den ene spand ud til skel om mandagen, mens den anden spand skal stilles ud om torsdagen. Vi har besluttet at de skal tømmes på samme dag, og derfor skal vi kun udregne et sæt tømningsruter som begge biler skal følge. Dette medfører selvfølgelig spild, i forhold til den uudnyttede kapacitet i de tre øvrige kamre end plast, men det er nødvendigt for at gøre det nemmest for kunden. 7 Vi antager at 15 m 3 er størrelsen på den mellem 2-kammerbil som vi har fået oplyst pris på, hvilket vil blive gennemgået i kapitlet om økonomi. Side 42 af 96

49 Bil kapaciteterne har vi som nævnt udregnet på baggrund af at de fire fraktioner ikke må komprimeres i bilen. Denne beslutning er taget, i og med vi ikke har kunnet få et ordentlig og entydigt svar på hvor meget det er muligt at komprimere fraktionerne i 4-kammerbilen. Derudover har vi også valgt at sige at ukomprimerede fraktioner, alt andet lige må give en bedre fraktionskvalitet 8 hvilket man vil kunne få en bedre pris for, som skal hjælpe til at dække omkostningerne ved implementeringen af de nye indsamlingsordninger. I følsomhedsanalysen senere i specialet, vil der dog bliver set på komprimeringens indflydelse på ruteplanlægningen Affaldsmængde i forhold til spand For at afprøve vores fordelingsnøgle for ressourceaffaldsgenerering er der i tabel 5 udregnet hvor mange liter det genererede affald hos husstandene fylder. Det kan vi så derefter sammenligne med 4-kammerspandenes størrelse. Tabel 5: Fylde i spand Spand Papir Plast Glas Metal 240 l. med uge Kg (i alt: 20,29 3,05 8,72 1,53 tømning 33,59 kg) (60,39 %) Liter 84,81 95,31 31,74 33,26 (4,18*20.29) Gennemsnitlig Kg (i alt: 9,28 1,40 4,00 0,70 Herlev husstand 15,4 kg) (60,39 %) Liter 38,79 (4,18*9,28) 43,75 14,56 15,21 Kilde: Egen tilvirkning Husstanden der er brugt som eksempel i tabel 5 har en 240 l. spand til restaffald som de får tømt hver uge og de er derved blandt de få husstande som genererer langt mere end gennemsnittet. Når man deler den samlede mængde ressourcer ud på hver fraktion og omregner det til liter ud fra de givne vægtfylder ser man at plast og papir fylder mest, hvilket stemmer godt overens med at de to fraktioner er blevet tildelt de store rum i spanden. For at denne husstand skal have plads til alt affaldet skal de have tildelt en 370 liters 4- kammerspand, hvor de to store rum vil være 140 liter og de to små 45 liter. Nederst i tabellen er også udregnet hvor meget det fylder for den gennemsnitlige husstand i Herlev som altså har 8 Med bedre fraktionskvalitet menes for eksempel at i og med at det ikke er mast sammen er det nemmere at sortere Side 43 af 96

50 vist sig at producere 15,4 kg på fire uger. Der vil den lille 4-kammerspand med små indsatse være stor nok i og med at de to store rum er på 90 liter og de to små er på 30 liter. Erfaringer fra Herlev Kommune har dog ifølge dem selv vist, at det er svært for borgerne at få plads til deres affald i en 240 liters 4-kammerspand. Dette skyldes måske blandt andet, at pladsen i en 4-kammerspand bliver udnyttet ret dårligt. Indsatserne går ikke helt ned til bunden af spanden og der er også plads på siden af indsatsen. Denne plads kan være svær at fylde op og udnytte, hvorfor den effektive volumen vil være mindre end spandens faktiske volumen. Af denne årsag har Herlev Kommune valgt at give alle husstande en 370 liters 4- kammerspand. Husstande med et lille forbrug, typisk husstande med kun en eller to beboere, har dog mulighed for at vælge en 240 liters spand hvis de foretrækker en sådan. Dette stemmer dog ikke helt overens med beregningerne med vores vægtfylder da de viser at en lille 4-kammerspand ikke engang burde blive halvt fyldt hos den gennemsnitlige husstand. Det kan altså indikere at nogle tal ikke stemmer helt overens med praksis. Vægtfylderne er dog vores bedste estimat, og vi vil derfor fortsætte med dem i specialet og bare gøre opmærksom på at dette ikke stemmer helt overens Ændringer af datasættet Det store datasæt i dette speciale vil have en stor indflydelse på løsningstiden for den løsningsheuristik som der senere vælges i specialet. For at afhjælpe dette problem har vi besluttet at reducere antallet af kanter og noder i datasættet, og vi forventer at det derved ikke er nødvendigt at benytte sig af en af Districting metoderne som blev gennemgået tidligere. I de følgende afsnit findes en omfattende forklaring af de foretagne ændringer Sammenlægning af kanter Mange af noderne har kun to tilstødende kanter. Disse noder har ingen praktisk mening i dette speciale, idet de ikke kan bruges til noget. Derudover kan vores løsning resultere i at en lastbil skal vende ved en node med kun to tilstødende kanter og køre tilbage af den samme kant den kom fra. Hvis noderne er sat på et lige vejstykke for at markere en bro eller lignende vil lastbilen ikke have mulighed for at vende rundt. Dette vil betyde at ruterne vil blive kortere end praktisk muligt. De ekstra noder resulterer derudover i at datasættet er større end det behøver være, hvilket vi formoder vil forlænge tiden heuristikkerne skal bruge til at lave ruterne. Hvis noderne med to tilstødende kanter fjernes og kanterne slås sammen, reduceres antallet af både kanter og noder. Dette er gjort i dette speciale. Når kanterne er slået sammen har den tilbageværende kant fået de korrekte koordinater tilknyttet til hver endenode og Side 44 af 96

51 efterspørgslen og distancen for de to oprindelige kanter er lagt sammen. I det oprindelige datasæt var der noder med kun to tilstødende kanter, som alle er blevet fjernet Fjernelse af blinde veje uden efterspørgsel Der er overordnet to grunde til at køre på en kant. Enten skal man servicere husstande på kanten eller også traverserer man gennem kanten for at komme hen til den næste kant der skal serviceres. Blinde veje uden efterspørgsel vil aldrig skulle serviceres og ruterne vil aldrig skulle traversere en sådan vej. Derudover vil det aldrig være hensigtsmæssigt at traversere gennem kanten idet man skal samme vej ud af kanten igen. Af disse to årsager kan man se bort fra blinde veje uden efterspørgsel. Idet der i dette projekt ikke indsamles ressourcer ved sommerhuse og etageboliger samt at ikke alle husstande skønnes at ville med i ressourceordningen er efterspørgslen for kanterne faldet. For mange kanter har det endda betydet, at efterspørgslen er blevet nul. Dette har resulteret i 953 blinde veje med en efterspørgsel på nul, som er blevet fjernet. Idet der gik blinde veje uden efterspørgsel ud fra knuder med tre tilstødende kanter er der fremkommet flere knuder med kun to tilstødende kanter efter fjernelsen af de blinde veje. Det har derfor været nødvendigt at fjerne de nye knuder med kun to tilstødende kanter. Dette drejer sig i anden omgang om 725 knuder Fjernelse af parallelle veje Af hensyn til vores heuristikker har det været nødvendigt at fjerne parallelle veje. Det vil sige to veje, der har samme start og slut koordinat. Dette er gjort på de to måder er der beskrevet i de følgende afsnit. Den første metode har været at sammenligne de to veje der er parallelle. Hvis den længste vej ikke har haft nogen efterspørgsel er den blevet slettet fra datasættet. Disse kanter kan uden problemer slettes idet de ikke skal serviceres og ikke vil blive traverseret når lastbilen skal den korteste rute fra en kant til den næste. 188 kanter er blevet fjernet på denne måde. Efter disse kanter er blevet fjernet, er der yderligere fremkommet 359 kanter med kun to tilstødende kanter. Disse er fjernet som ovenfor beskrevet. Herefter er nye blinde veje uden efterspørgsel slettet, hvilket drejer sig om 97 kanter. Den anden metode har tilføjet en ekstra node midt på den ene kant og derved delt den i to lige store dele. For at det koordinat der indsættes ikke falder sammen med et koordinat der allerede eksistere er der valgt at lægge en halv meter til et allerede eksisterende koordinat. Side 45 af 96

52 Alle originale knuder er opgivet som heltal, så ved at give de nye koordinater et decimaltal sikrer man sig at der ikke er sammenfald mellem to punkter. Denne procedure har dog resulteret i oprettelsen af flere knuder med kun to tilstødende kanter, som vi som ovenfor anført gerne ville have været foruden. 67 nye kanter er fremkommet på denne måde Fjernelse af veje med samme start- og slutnode Af hensyn til vores kode har det været nødvendigt at fjerne de kanter der har samme start og slutnode. Dette er gjort ved at ændre koordinatet på slutnoden, således at kanten bliver til en blind vej i stedet for en ring. Kantens længde er samtidig halveret for at distancen skal passe. Dette har ført til at antallet af noder er steget med 82 mens antallet af kanter er uforandret Samlet reduktion Den omfattende ændring af datasættet har bevirket at nodenumre og adjacency listen skal opdateres. Det samme gælder distance og predecessor tabellerne. Dette er gjort med de koder der fulgte med datasættet. Det samme gør sig gældende for kantnumre, som er ændret både i vejdata-filen og restaffald-filen. Dette gør, at der fortsat er registreret hvilke husstande der tilhører hvilken kant og derved kan man nemt finde ud af hvilke husstande der ligger på ruterne. Nedenstående figurer viser hvordan kanterne er slået sammen ud fra de principper der er beskrevet i de forgående afsnit. Figur 14: Illustration af reduktion af datasættet Kilde: Egen tilvirkning Anm: For hver kant er længden angivet med efterspørgslen i parentes. Side 46 af 96

53 Figur 14a viser det originale datasæt, mens Figur 14b viser det reducerede datasæt. Samlet set er antallet af noder reduceret fra til og antallet af kanter fra til 4.686, hvilket vi vil betegne som en betydelig reduktion Kanternes data Fordi der er blevet ændret i datasættet er det ikke muligt at regne med vejnavnene mere. En kant i det ændrede datasæt kan godt bestå af to veje med forskellige vejnavne der er slået sammen til en kant og dermed også et vejnavn. Det samme gør sig gældende for følgende kolonner i vejdata-filen: Underklasse, Vejmdtetyp, CPRvejkode, Trafik, samt kolonnerne lige og ulige numre. Det er dog stadig muligt at finde ud af hvilke adresser der ligger på hver kant. Dette kan aflæses i restaffald-filen, hvor der for hver adresse står hvilken kant adressen tilhører. Kantnummeret i restaffald-filen er opdateret hver gang der er ændret i vejdata-filen og kantnumrene er blevet ændret. I vejdata-filen er der tre kolonner som kræver lidt forklaring. Når to kanter er lagt sammen lægges deres længder også sammen. Det samme gør sig gældende for efterspørgslen på den pågældende kant. Når der indsættes en node for at fjerne forekomsten af parallelle veje, er længden og efterspørgslen af vejen der deles halveret og den anden halvdel er lagt til den nye kant. Den tredje kolonne er Antal husstande. Disse tal er baseret på restaffald-filen, som har et kantnummer for hver adresse. De steder, der er indsat en ekstra kant, er antallet af husstande delt i to. Dette resulterer i at der kan forekomme halve husstande på nogle kanter, men vi forventer ikke at dette vil skabe problemer da den opdelte kant højst sandsynligt vil blive serviceret på samme rute. Det har ikke været muligt at finde ud af hvor mange husstande der er på hver ny kant når en kant deles i to. Det har ikke været praktisk muligt at tildele en bestemt halvdel af husstandene på en kant til den nye kant. Derfor er værdierne af den gamle kant delt ligeligt ud mellem de to nye kanter. Resultatet bliver, at efterspørgslen på kanterne bliver halveret uden hensyntagen til om sammensætningen af husstande muliggør en halvering af efterspørgslen. Eller sagt med andre ord, det er ikke sikkert, at husstandene på kanten kan deles i to dele således hver del har samme efterspørgsel, som det forudsættes. Dette resulterer i at der kan komme uoverensstemmelser mellem hvad der faktisk indsamles på ruten og hvad der indsamles i forhold til vores data. Igen forventer vi at det ikke vil skabe store problemer i praksis. Side 47 af 96

54 De nederste kanter i vejdata-filen, som har et nummer i kolonnen hvor der burde være et vejnavn, er de kanter der er oprettet for at undgå parallelle veje og veje der har samme startog slutnode. Her er vejnavnet udskiftet med en reference til det kant ID som den hører sammen med Fordele og ulemper ved reducering af datasættet Der er både fordele og ulemper ved at reducere datasættet. Idet det er svært at opveje dem mod hinanden vil vores forbedringsheuristik blive kørt på både det originale, ikke reducerede og det reducerede datasæt. Fordelen ved det fulde datasæt er, at lastbilen vil have mulighed for at vende i de kryds hvorfra der udgår en blind vej. Herudover sker der også det, at når kanterne bliver slået sammen, vil længden stige. Lastbilen kan derfor komme ud for, at den vil være nødt til at fortsætte ud ad en lang vej selv om den kun skal samle affald op i starten af vejen, fordi der ikke er nogen node den kan vende i senere. Fordele ved det reducerede datasæt er til gengæld, at antallet af kanter bliver reduceret. Dette formoder vi vil medføre, at algoritmen vil arbejde hurtigere, hvilket giver den bedre tid til at finde forbedringer. Herudover har det også den fordel, at lastbilen ikke vil blive bedt om at vende rundt i en node hvor der ikke er fysisk plads til det. Her vil lastbilen rent praktisk alligevel fortsætte fremad til næste node, hvor det er muligt at vende. Der er desuden en ulempe ved at slå kanterne i datasættet sammen fordi deres efterspørgsel også bliver lagt sammen. Dette betyder, at der vil komme færre kanter, men som til gengæld vil have en højere gennemsnitlig efterspørgsel. Jo højere efterspørgslen bliver i forhold til lastbilens kapacitet, jo svære vil det blive at udnytte lastbilens kapacitet fuldt ud uden at skulle køre urimeligt langt efter den sidste efterspørgsel, som kan fylde lastbilen op. Resultatet kan blive at der vil opstå situationer, hvor der skal bruges flere ruter til at indsamle den samme mængde affald. Derved kan problemstillingen til at ligne et Bin Packing Problem Ændringer af det ikke-reducerede datasæt Af hensyn til heuristikkerne, har det været nødvendigt også at ændre i det originale datasæt. Her er der kun foretaget få ændringer i modsætning til det reducerede datasæt. Ændringerne der foretages er at der ikke må være parallelle veje og veje der har samme start og slutnode. Desuden er der også valgt at slette de blinde veje uden efterspørgsel. Disse veje vil aldrig blive serviceret eller traverseret og de vil derfor ikke have nogen indflydelse på den forskel Side 48 af 96

55 der er mellem det reducerede datasæt og det fulde datasæt med hensyn til sammenlægning af kanter. Dette har ført til, at det der er fjernet blinde veje uden efterspørgsel, 65 parallelle veje hvor den længste er uden efterspørgsel samt 33 kanter der danner en ring og som ikke har efterspørgsel. Desuden er der tilføjet ni noder for at fjerne parallelle veje, samt tre veje der har fået ændret koordinaterne for det ene endepunkt for at undgå de hver især danner en ring. I alt har det ført til at datasættet er reduceret fra kanter til kanter. Datasættet der ikke er reduceret har dermed klart flere kanter idet kanterne ikke er slået sammen hvor en node kun har to tilstødende kanter. Igen i dette datasæt er adresserne i restaffald-filen opdateret, således de har det rigtige kant id. 5. Model design I litteratur afsnittet i specialet blev der redegjort for en lang række mulige løsningsmetoder som kan løse netop det CARP problem vi står overfor i specialet. Hurtigt i forløbet besluttede vi os for at vælge en metaheuristik som har eksisteret i nogle år, for at undgå at vælge en heuristik som endnu ikke er fuldt udviklet og gennemtestet. Derved kan vi se bort fra GLS og ACS metaheuristikkerne. Vi besluttede også hurtigt at se bort fra de populationsbaserede metaheuristikker, som GA og MA for eksempel er en del af. Med specialets omfattende datasæt og den måde vi har valgt at skrive ruterne op på, synes vi at det vil være for meget at skulle holde styr på en stor population af mulige løsning som det vil være tilfældet i GA. Skulle man for eksempel have 100 forældreløsninger, med hver 40 ruter, som skal generere afkom vil det blive for mange løsninger at skulle holde styr på. Valget stod derfor mellem TS, VND og SA og det faldt på Hertz og Mittaz VND heuristik. Ideen med at have de forskellige procedurer som moduler i metaheuristikken tiltaler os, samt gør det nemmere for os at se strukturen af en VBA implementering af metoden. Mittaz har desuden bidraget med at udvikle en adaption af TS til CARP, indeholdende disse procedurer. TS var derfor også en kandidat, men VND blev valgt da vi følte mere for den. Vores implementering af metaheuristikken er dog ikke en fuldstændig efterligning af den som man finder i artiklen. Nogle procedurer er blevet modificeret så de passer på specialets problemstilling og proceduren CUT er blevet byttet ud med en mere grundig metode. Alt dette vil blive uddybet i dette kapitel af specialet. Side 49 af 96

56 5.1. Rutenotation I litteraturen omkring CARP er der brugt forskellige måder hvorpå man noterer en rute som servicerer en række kanter og traverserer nogle andre. Man kan for eksempel gøre det ved at nedskrive de kanter som der serviceres (e 1, e 2, e 3,, e n ), i den rækkefølge de bliver serviceret. Ind imellem disse servicerede kanter følger ruten så den korteste sti. Denne måde kan bruges når man har med en graf med orienterede kanter, og skal den bruges i en graf med u- orienterede kanter skal man yderligere bruge information om i hvilken retning som kanten serviceres. En anden måde at stille det op på er ved at skrive alle noderne som ruten går igennem (n 1, n 2, n 2,, n n ) og derved kan man nemt følge hele ruten. Her kender man, modsat før, retningen på alle kanterne, men man mangler information om mellem hvilke noder der serviceres. Disse ekstra oplysninger, for begge metoder, kan nemt medtages når det implementeres i VBA, og det vil kort blive gennemgået nedenfor. Fordelen ved at benytte den første metode, hvor kanterne skrives, er at det fylder meget mindre da stien mellem de servicerede kanter ikke er skrevet ud, men ulempen er så at man ikke umiddelbart ved hvilke kanter der traverseres. Dette kunne for eksempel være godt at vide hvis man forsøger at ligge en kant til ruten som skal serviceres, som ruten allerede traverserer. Dette er netop en fordel for den anden metode, hvor noderne skrives, men svagheden ved den er så at det fylder meget mere. Da specialet har valgt Hertz og Mittaz VND metode som metaheuristik, vil måden hvor man udskriver alle noderne blive brugt. Som det tidligere blev beskrevet, søger algoritmen i SWITCH proceduren efter noder der optræder flere gange på en rute og derved er det altså hensigtsmæssigt at denne metode bliver benyttet. Det er muligt at den anden metode også kan bruges, men vi ser det nemmest at bruge den valgte metode. For at vide om der traverseres eller serviceres fra en node til den næste, har vi yderligere tilføjet en oplysning. Når man ser på en mulig rute som er udskrevet i et Excel ark (fx Path Scanning løsningen i Solution arket i Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret).xlsm filen) kan det aflæses ved at nogle noder er skrevet med kursiv skrift. Når en node på listen står med kursiv indikerer det, at der traverseres til denne node fra den foregående. En liste med noderne 1, 2, 3, 4, 5 aflæses altså til at der skal serviceres fra 1 til 2 og fra 4 til 5, mens der traverseres fra 2 til 3 og fra 3 til 4. For at bibeholde dette system i VBA koderne er det blevet oversat til at ruterne læses ind i todimensionelle arrays, hvor den første dimension indeholder nodenumrene, mens den anden dimension indeholder enten et 1- eller 2-tal, hvor 2 Side 50 af 96

57 betyder det samme som kursiv. Den anden dimension af listen med noder fra før vil altså se sådan ud: 1, 1, 2, 2, 1. Dette bruges for eksempel i SHORTEN proceduren Path Scanning Vores VND heuristik skal bruge en indledende løsning som den så skal arbejde på at forbedre. I litteratur afsnittet blev der gennemgået en række forholdsvis simple konstruktionsheuristikker som netop kan bruges til at konstruere denne indledende løsning. Vores valg af konstruktionsheuristik faldt på Bakers Path-Scanning med Wøhlks modifikation fra Modifikationen betyder at når algoritmen kommer til en node hvor alle tilstødende kanter ikke kan bruges, går til den nærmeste kant med en efterspørgsel der er mindre end den tilbageværende kapacitet. Vi har valgt Path-Scanning på grund af den simple konstruktion som den bruger til at løse problemet, men er udmærket klar over at den muligvis ikke er den mest effektive af de simple konstruktions heuristikker. På grund af dens simple metode går vi ud fra at den er forholdsvis hurtigere til at konstruere løsningen og vi vil så hellere give vores metaheuristik mere tid at arbejde i. Path-Scanning algoritmen har i Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret) filen fået fem moduler som hver indeholder et af de fem kriterier hver. De er alle bygget ens op, og den eneste forskel er den funktion (fx Criterie3, der vil blive brugt som eksempel i den efterfølgende gennemgang) som bliver brugt til at udvælge den næste kant der skal serviceres. Til at bestemme hvornår algoritmen er færdig bruger den funktionen Alltrue der undersøger om alle kanterne enten er serviceret eller ikke har nogen efterspørgsel. Efterhånden som koden laver ruterne skrives de noder som ruten kommer igennem ud på Løsning3 arket. Algoritmen ved altså hele tiden hvilken node den står i nu (CurrentNode) og starter med at aflæse hvilke kanter som går ud af denne, for dernæst at indlæse oplysninger om længden og efterspørgslen på disse kanter. Disse oplysninger skal den nemlig bruge i funktionen Criterie3 som finder den næste kant den skal serviceres ud fra kriterium 3. Såfremt en af de tilstødende kanter kan bruges returneres denne, men er dette ikke tilfældet returneres Dette betyder altså at ruten skal traversere et stykke til den næste kant der skal serviceres, som findes ved hjælp af funktionen FindNextEdge. Den leder efter den nærmeste kant som der kan serviceres med den tilbageværende kapacitet. Hvis kapaciteten er for lille returnerer funktionen 9999 som et signal til at ruten skal afsluttes, hvilket medfører at ruten skal traversere til Glatved for at læsse affaldet af for derefter at returnere tilbage til depotet. Til at finde denne sti bruger den sub erne FindPath og CopyPath som kort er beskrevet senere i kapitlet. Side 51 af 96

58 Path-Scanning algoritmen vil altså altid søge efter at fylde bilen helt op inden den afslutter ruten, kører til aflæsning i Glatved og til sidst vender tilbage til depotet. Dette kan også observeres i Solution Summary arket af Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret) filen, hvor alle ruter undtagen den sidste har en samlet kapacitet der ligger meget tæt på de 153,6 kg der er bilen kapacitet. Dette kan altså være med til at sænke kvaliteten på dens løsning, da man risikerer at skulle traversere meget lang, og måske i den modsatte retning i forhold til Glatved, for at servicere den sidste kant som kan fylde bilen helt op. Dette kan samtidig også være en ulempe i forhold til vores VND metaheuristik, hvis hver rute bliver fyldt helt op. Da VND en laver nye nabolag ved at slå et antal ruter sammen vil det måske give den færre muligheder for at dele den sammenslåede rute op i nye mulige ruter. Hvis de ruter som bliver slået sammen alle fylder bilen op, er der mindre mulighed for at heuristikken kan flytte nogen af kanterne fra en rute til en anden. Det er dog noget som der skal testes på, og det vil vi gøre ved også at kører VND en på en indledende Path Scanning løsning hvor kapaciteten er sænket lidt i forhold til normalt. Når man så i VND en sætter kapaciteten til det normale får den bedre mulighed for at rykke rundt på kanterne mellem ruterne, hvilket muligvis kan føre til en bedre løsning VND VBA koden til vores VND implementering finder man i filen VND, under modulet Main i sub en VND. Pseudokoden til vores VND1 kan ses i figur 15 på næste side. Stop kriteriet for VND1 er først og fremmest at hvis ikke den har lavet nogen forbedringer skal den stoppe, men vi har også tilføjet et tids loft som stopper heuristikken. I kapitlet om tuning vil vi teste på hvor lang tid VND en skal have lov at køre, inden forbedringerne bliver for små i forhold til tidsforbruget. En anden variabel som der senere skal testes på er n, som indikerer hvor mange ruter der skal bruges til at lave en ny løsning ved hjælp af de forskellige procedurer. PASTE vil slå n+1 ruter sammen, så hvis man for eksempel sætter n til at være 2 vil den tage 3 ruter og finde naboløsninger til dem. Side 52 af 96

59 Figur 15: Pseudokode for VND1 While Tid < TidMax And ImprovementFound = True While i <= NumNeighborhoods Set n If demand for Routes(n+2)<=(n+1)*Capacity Then Set n=n+1 & NewN = True NormalN: Set Routes(n) StartOver: Set s best = s & f best = f(s) For 1 To M s = Apply PASTE, SWITCH, (SHORTEN), CUT and SHORTEN on Routes(n) in s If f(s ) < f best Then Set best_s = s & f best = f(s ) Next If f bext < f(s) Set s = best_s & ImprovementFound = True Goto StartOver If NewN = True Then Set n = n 1 & Goto NormalN Set i = i + 1 Wend End While n = antal ruter som skal slås sammen. 1 <=n <= ( / 1) NumNeighborhoods = ( / ) M = antal naboer som maximalt skal undersøges i et nabolag. 1 <= M <= (alle naboer) Kilde: Egen tilvirkning M variablen har stor betydning for gennemløbstiden for koden. Den bestemmer hvor mange gange der skal laves en løsning på de n+1 valgte ruter. Disse m løsninger bliver så forhåbentlig forskellige på grund af det stokastiske element i SWITCH proceduren og den bedste af disse løsninger bliver husket og sammenlignet med den originale løsning. Såfremt den nye løsning er bedre, indsættes den i løsningen og VND heuristikken starter forfra med at lave m nye løsninger på de netop opdaterede ruter. Såfremt der efterfølgende ikke findes nogen forbedringer fortsættes til næste nabolag ved at vælge de næste tre ruter i rækken af ruter. Figur 16a illustrerer hvordan de forskellige nabolag ligger i forhold til hinanden og at vi har valgt at lade dem overlappe hinanden, hvilket afviger fra den måde Hertz og Mittaz laver nabolagene på. De starter med at tage alle i ruter med i nabolaget og laver en ny løsning ved hjælp af procedurerne, hvorefter de så mindsker nabolaget (i) med én og tilfældigt udvælger i nye ruter til at lave en ny løsning med. På grund af det store datasæt, har vi valgt ikke at bruge denne tilgang da det vil tage for lang tid at kører procedurerne på de 40 ruter som der skal til for at indsamle alt affaldet i datasætte. Efter at have grupperet ruterne i den indledende Side 53 af 96

60 løsning, så de nogenlunde ligger geografisk pænt ved siden af hinanden, mener vi at vi godt kan bruge vores modificering hvor man kun slår n+1 ruter sammen. Figur 16: Illustration af nabolag og NewN udvidelsen Hele løsningsområdet a. Nabolag 1 (rute 1, 2 og 3) Nabolag 2 (rute 2, 3 og 4) Nabolag 3 (rute 3, 4 og 5) Hele løsningsområdet Nabolag 1 (rute 1, 2 og 3) b. Nabolag 2 (rute 2, 3 og 4) Rute 2, 3, 4 og Nabolag 3 (rute 3, 4 og 5) Kilde: Egen tilvirkning Figur 16b illustrerer den modifikation vi har lavet til VND heuristikken som omhandler variablen NewN i pseudokoden. I hvert nabolag skal heuristikken slå n+1 ruter sammen, men med vores modifikation undersøger den om den kan tage en ekstra rute med uden at overskride kapaciteten for de n+1 ruter. Dette har vi tilføjet da det kan blive aktuelt hvis CUT vælger at dele n+1 ruter op i n+2 ruter. Dette kan være tilfældet hvis en eller flere kanter som skal serviceres ligger langt væk fra resten af kanterne eller hvis kanternes rækkefølge efter SWITCH ikke muliggør en deling i n+1 ruter. Et andet scenarie, hvor det også kan blive aktuelt, er når lastbilens kapacitet i Path Scanningen under tuningen vil blive sat ned for at give CUT flere muligheder for at dele ruterne. I figur 16b er vist et eksempel, hvor der i nabolag 2 findes en bedre løsning hvori den laver en ekstra rute (rute 5). I det efterfølgende nabolag er der så en mulighed for at en ekstra rute kan medtages, hvis nu den nye rute som CUT lavede har en lav efterspørgsel. Heuristikken vil så først forsøge at lave en bedre løsning hvor en ekstra rute er medtaget og hvis der så ikke findes nogle forbedringer der, vil den sætte nabolaget tilbage til at medtage n+1 ruter og kører videre. Vi forventer dog ikke at det vil blive aktuelt særlig oftest, på grund af at Glatved ligger yderligt i grafen og langt væk fra Side 54 af 96

61 depotet. Der vil altså være en forholdsvis stor omkostning ved at lave en ekstra rute, men muligheden er der og derfor har vi tilføjet modifikationen. Antallet af nabolag den skal igennem afhænger af den samlede mængde affald (D), 4- kammerbilens kapacitet (Q) og n. I vores base case skal der 40 ruter til at indsamle alt affaldet og hvis n er 2 vil der være 38 nabolag at undersøge for bedre løsninger. For at mindske løsningstiden for forbedringsheuristikken har vi også lavet VND2 heuristikken hvor der er ændret på nabolagene for at mindske det samlede antal nabolag som skal gennemsøges. I stedet for at lade hvert nabolag overlappe hinanden, som de gør i VND1, vil nabolag 1 og 2 i figur 16a være 1, 2, 3 og 4, 5, 6, henholdsvis. Derved vil der kun i alt være 14 nabolag som skal gennemsøges, modsat 38 i base casen, og det vil derved reducere gennemløbs tiden betydeligt. Konsekvensen af dette vil selvfølgelig være at løsningsområdet ikke vil blive gennemsøgt nær så grundigt og at man derved ikke vil opnå de samme forbedringer. Hvis forbedringerne nærmer sig hvad der opnås med VND1, kan det være at den kortere løsningstid kan opveje effektivitetstabet. Forskellen i pseudokoden mellem VND1 og VND2 er at n ikke skal trækkes fra i udregningen af NumberofNeighborhoods og at i forøges med n+1 i stedet for 1, i bunden af koden i figur 15. Derudover, vil det i VND2 teoretisk heller ikke give mening at kører igennem løsningsområdet flere gange efter den første gennemkørsel. På grund af Goto StartOver linjen i koden vil heuristikken fortsætte med at forbedre i hvert nabolag indtil den ikke kan mere. Hvis den skal starte forfra efter det sidste nabolag, vil den ikke finde nogen forbedringer da alle nabolag er forbedret i forvejen. Hvis den finder en ny V i SWITCH som den ikke prøvede med før, kan den godt finde en bedre løsning, men hvis m er indstillet højt nok, burde dette ikke ske Procedurerne De procedurer som VND heuristikken bruger, vil i dette afsnit blive beskrevet og der vil blive redegjort for de ændringer som vi har lavet i forhold de originale procedurer PASTE PASTE proceduren i vores VND algoritme bruges til at slå n + 1 ruter sammen i hvert nabolag. I hver rute skærer den som hovedregel det traverserede stykke indtil den første servicerede kant, og det traverserede stykke efter den sidste servicerede kant, væk, når den smelter ruterne sammen. Den forbinder så den sidste node på den foregående rute med den første node på den efterfølgende rute. Undtagelserne er, når det er den første og sidste rute Side 55 af 96

62 den ser på, hvor den så selvfølgelig bare kopierer det første traverserede stykke og det sidste traverserede stykke med, henholdsvis. Dette betyder, at outputtet fra PASTE proceduren er én lang rute som starter i depotet og servicerer de samme kanter som blev serviceret i inputruterne og som efter den sidste servicerede kant, traverserer til Glatvednoden og herefter tilbage til depotnoden. Den sammenslåede rute findes i kolonne A i PASTE arket, og koden til PASTE findes i modulet PASTE SWITCH Efter at have kørt PASTE køres proceduren SWITCH. Dens funktion er at ændre på rækkefølgen hvoraf kanterne på den sammenslåede rute besøges. Herefter skal CUT opdele ruterne, hvilket muligvis vil resultere i en bedre løsning. Som det kort blev beskrevet i litteraturafsnittet, vælges der i SWITCH en node v som optræder flere gange på ruten, fordi der derved må forekomme en minimal cycle mellem de to forekomster af v, som så skal vendes. For at VND algoritmen skal være deterministisk, som den var tænkt af skaberne Hansen & Mladenović skal man undersøge alle de noder som er mulige at vælge som v, for derved at bestemme den bedste, men dette vil være meget tidskrævende når den påføres store datasæt. I vores VND vil det betyde at man for hver mulig v skal udføre CUT og SHORTEN for derved at finde den bedste v. Derfor har vi valgt at bruge en anden metode til at finde v. Vi ser følgende mulige metoder: 1. Udvælg den bedste ved at undersøge alle mulige noder 2. Vælg den første man støder på 3. Vælg den node som optræder flest gange 4. Vælg tilfældigt (uniformt) blandt de noder som optræder mere end en gang 5. Vælg tilfældigt blandt de noder som optræder mere end en gang, men med større sandsynlighed jo flere gange de optræder Den første metode har vi allerede argumenteret imod, da den vil kræve meget tid at udføre og metode 2 vil være et modstykke til den og derved være den hurtigste mulighed af de fem. Problemet er dog at den altid vil vælge den samme node i de m gange algoritmen laver nye mulige løsninger for derved at vælge den bedste. Samme problem kan metode 3 støde på hvis der er en node der alene optræder flest gange og igen er dette ikke ønskeligt. Derfor mener vi at man bør vælge enten metode 4 eller 5 som begge vælger tilfældigt ud af alle de mulige noder der findes på ruten. Forskellen mellem de to ligger i hvilken sandsynlighed de Side 56 af 96

63 forskellige noder skal have for at blive valgt. I den første har de lige stor mulighed, mens de noder som optræder fleste gange har en større sandsynlighed for at blive valgt, i metode 5. Da ideen med at bruge SWITCH inden CUT er at rykke rundt i rækkefølgen og derved skabe en anderledes løsning, kan det argumenteres at metode 5 giver mest mening, da der derved er større chance for at vælge en node der optræder mange gange. Og alt andet lige må en SWITCH med en v med mange forekomster give CUT mulighed for at lave en mere anderledes løsning, end en v med færre forekomster. En mere anderledes løsning er dog ikke nødvendigvis ensbetydende med en bedre løsning, og derfor er metode 5 god, da den vælger blandt alle mulige v er og derved giver mulighed for at vælge en node som kun optræder to gange på ruten. Et problem ved at benytte en af fem mulige metoder til udvælgelse af v, er at man derved indfører et stokastisk element i den ellers deterministiske VND. På store datasæt, som det i specialet, er det dog ikke realistisk at udføre en komplet søgning af et nabolag, hvis man vil have heuristikken til at arbejde indenfor en rimelig tid. Og da man netop bruger en heuristik for at begrænse løsningstiden, og derved accepterer at man ikke nødvendigvis ender med den optimale løsning, vurderer vi ikke det begrænser vores VND heuristik for meget. Derudover er det deterministiske element allerede fjernet da heuristikken kun ser på m løsninger i hvert nabolag SHORTEN I vores VND algoritme har vi også implementeret proceduren SHORTEN som et led i at lave en ny mulig løsning i et nabolag. SHORTEN kan blive anvendt både før eller efter CUT proceduren bliver anvendt. Altså enten på den sammenslåede ikke-mulige løsning fra PASTE proceduren eller på de mulige ruter som CUT laver. Hvornår det er mest optimalt at anvende den er noget som vil blive besvaret senere i kapitlet om tuning. Proceduren har sit eget modul (SHORTEN) i VND filen og indeholder en række subs som bruges afhængigt af om SHORTEN skal anvendes før eller efter CUT. I vores VND har vi valgt at slå procedurerne POSTPONE, REVERSE og SHORTEN sammen og samlet kalder vi dem for SHORTEN, da de alle altid bliver brugt i sammenhæng. SHORTEN proceduren, der er implementeret i specialet, afviger dog en smule fra det oprindelige design, hvilket vi har gjort for at forbedre løsningstiden for algoritmen. Oprindeligt vælger SHORTEN hver node på ruten som v og prøver i begge retninger, for derved at bestemme den bedste v og retning at forkorte ruten med. Overført til et stort Side 57 af 96

64 eksempel vil dette dog tage meget lang tid at udføre og derfor har vi valgt en anden og mere praktisk tilgang. Den implementerede SHORTEN søger i stedet efter kanter som serviceres og traverseres mindst en gang på ruten og vælger så den ene ende node som den første v og udfører så forkortningen i begge retninger. Såfremt ruten kan forkortes vælges den bedste af løsningerne fra de to retninger, hvorefter hele proceduren starter forfra. Såfremt der ikke bliver fundet en bedre løsning, vælges den modsatte node som v og der forkortes så igen i begge retninger. Såfremt ruten heller ikke ved denne node som v kan forkortes, fortsættes der med at lede efter andre kanter som serviceres og traverseres mindst en gang. Proceduren stopper så når den ikke kan finde nogle mulige v er (kanter som går igen) hvormed den kan forkorte ruten. En node som er bindeled for to kanter der bliver traverseret vil altså aldrig blive valgt som v i vores SHORTEN, hvilket godt kan være tilfældet i den oprindelige. Som vi ser det, er der størst chance for at en rute kan forkortes hvis der vælges en node som v der ligger op til en kant som serviceres og traverseres mindst en gang. Derfor er det altså dem som den leder efter for derved hurtigere at kunne finde en node som kan bruges. Figur 17: Pseudokode for SHORTEN For Each kant som bliver serviceret og traverseret mindst en gang In ruten For v = endenode 1 & endenode 2 For retning = samme retning & modsat retning POSTPONE REVERSE Set Besparelseretning = LP - Lvw Next If Besparelseretning > 0 Set P = Svw & Start forfra Next Next Kilde: Egen tilvirkning I figur 17 ses pseudokoden for vores implementering af SHORTEN. Som beskrevet ovenfor ser proceduren kun på kanter som bliver serviceret og traverseret mindst en gang. Når den finder en af disse kanter, løber den først koden igennem med den ene endenode (endenode 1) som v og hvis den ikke finder forbedringer med den prøver den med den anden endenode (endenode 2). Hvis ingen af dem giver nogen forbedringer fortsætter algoritmen med næste kant som svarer kriteriet. Når v er bestemt udfører den POSTPONE og REVERSE i begge retninger af ruten, og husker en eventuel besparelse. Hvis en af, eller begge retninger, giver en besparelse retter man ruten til og begynder forfra med hele proceduren. Hvis der ingen Side 58 af 96

65 forbedringer er, går den videre og prøver med næste v, eventuelt næste kant. POSTPONE og REVERSE er implementeret som de blev beskrevet tidligere i litteraturafsnittet. I de ruter som vores Path Scanning og VND laver, som skal bruges til at bestemme omkostningerne ved indførsel af ressourceordningen, er den sidste del af ruterne altid stien fra den sidste servicerede kant til Glatved og tilbage til depotet. Da SHORTEN proceduren fra den oprindelige artikel kun opererer med at der returneres til depotet efter den sidste servicerede kant, har det været nødvendigt at implementere en tilføjelse til SHORTEN. Da det sidste stykke udelukkende bliver traverseret vil det med meget stor sandsynlighed blive skåret væk af den almindelige SHORTEN da det kan medføre en stor besparelse, ved ikke at kører forbi Glatved. Derfor har vi forskellige steder i koden indsat linjer med kode som kontrollerer om Glatved noden (DropOffNode) er indeholdt i det stykke som den er i gang med at skære fra og hvis dette er tilfældet sendes koden videre til næste v, uden at foretage forkortelsen. Derudover, er der også mulighed for at SHORTEN, i dens Step 3, vender hele ruten om, eller dele af den, så den afkortede rute vil starte med at traversere til Glatved som det første, hvilket ikke kan bruges i virkeligheden. Derfor har vi også implementeret kode som forhindrer dette CUT Som tidligere beskrevet slås n+1 ruter sammen hvorefter de behandles for at finde en bedre rute gennem dem. Når dette er gjort skal de sammenlagte ruter igen deles op i ruter, der hver især overholder lastbilens kapacitetsbegrænsninger. Dette er gjort med en algoritme, der minimerer ruternes samlede længde ud fra den rækkefølge de har efter SWITCH. Koden til CUT proceduren er i modulet af samme navn. Den algoritme der er anvendt, svarer til algoritme 1 fra artiklen Tour splitting algorithms for vehicle routing problems (Prins et al., 2009). Algoritmen er udbygget, således den også overvejer hvilken retning lastbilen skal kører på kanterne samtidig med at den servicere. Dette svarer til det der i artiklen kaldes split with flip. Herudover foretages der også en rotation, således der bestemmes hvilken kant det er mest fordelagtigt at servicere som den første. Dette bliver i artiklen kaldt split with shift. Herudover tager vores algoritme også højde for at lastbilen skal forbi Glatved og tømmes inden den vender tilbage til depotet. En mere præcis forklaring af CUT følger herunder. I modsætning til de andre procedurer anvender CUT kanter i stedet for noder, til opdeling af ruter. Det første CUT gør, er derfor at omdanne listen med noder til en liste med de kanter der skal serviceres. Herefter bruges algoritme 1 fra artiklen til at identificere hvor de sammenlagte Side 59 af 96

66 ruter skal deles i mindre ruter, der ikke overskrider kapacitetsbegrænsningerne. Algoritmen bygger en ekstra graf (auxiliary graph) H (figur 18b), med alle de kanter der skal serviceres i den rækkefølge som kanterne blev modtaget i. Grafens kanter svarer til de kanter der har efterspørgsel i den traditionelle graf (figur 18a). Distancen i figur 18b gemmes sammen med nummeret på de noder der besøges i arrayene V() og P() for at finde det bedste antal ruter den sammenlagte rute skal inddeles i. I eksemplet herunder skal ruten deles i tre ruter, der følger de tre markerede pile i figur 18b. Figur 18: Illustration as CUT Kilde: Prins et al., 2009 Anm: Tilrettet Shift Rækkefølgen på kanterne der skulle serviceres i eksemplet ovenover er S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6. Denne rækkefølge kan dog forskubbes så den kommer til at hedde S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 1. Som det ses er S 1 blevet flyttet hen sidst i rækkefølgen. Den interne rækkefølge er dog uforandret. For en rute med 6 kanter, findes 6 versioner af shift. CUT beregner de optimale ruter for hver version af shift Flip Det er tilfældigt hvilken node der er startnode og slutnode for kanterne. Det vil sige, at i halvdelen af tilfældene vil det være fordelagtigt at servicere fra startnode til slutnode og i den anden halvdel vil det være bedst at servicere fra slutnode til startnode. Når afstanden i figur 18 ovenfor udregnes vil det derfor være nødvendigt at udregne fire distancer for hver kant, for Side 60 af 96

67 at finde ud af hvilken retning kanten skal køres ad. Af figur 19 herunder fremgår et eksempel på hvordan der for hver kant regnes en distance ud for at servicere alle kanter hen til den pågældende kant. De fire afstande adskiller sig ved om den pågældende kant og den forgående blev serviceret i den ene eller anden retning. Figur 19: Illustration af flip Kilde: Prins et al., 2009 Anm: Tilrettet 5.5. FindPath, CopyPath og Soluiton Summary moduler I modulerne i de forskellige procedurer finder man oftest en variation af de to subs FindPath og CopyPath. FindPath bliver brugt af de andre procedurer, når den skal fra den nuværende node til den næste kant som skal serviceres. FindPath bruger predecessor matricen til at aflæse den korteste sti mellem to noder. Hvis man for eksempel vil fra node 1 til node 5 i filen Pred (reduceret).xlsx, slår man op i række 1 og kolonne 5 og aflæser node 6. Så bliver man i række 1, men aflæser i kolonne 6 at node 9 er den næste. Sådan fortsætter man indtil man finder ens startnode. Stien er dermed 1, 10, 9, 6, 5 da koden faktisk aflæser i baglæns retning. Lige efter at have kørt FindPath køres CopyPath som kan varierer lidt alt efter hvilken procedure der har kaldt de to subs. CopyPath kopierer den netop fundne korteste sti over i det rette ark. Funktionen CreateSummary bruges af vores VND til at evaluere længden på de forskellige ruter som løbende bliver skabt. CreateSummary bruger distance matricen til at slå afstanden op mellem alle noder og akkumulerer dem så man får distancen for hele ruten. Funktionen er også i stand til at udregne den samlede efterspørgsel, samt antallet af husstande som en rute servicerer. 6. Tuning For at optimere heuristikken, er det nødvendigt at udfører en tuning, hvori man tester heuristikkens resultater mens man skifter de forskellige variable som kan ændres. Tidligere i specialet, under gennemgangen af VND en, blev det beskrevet hvilke variable der kan være Side 61 af 96

68 tale om. De følgende afsnit vil omhandle tuningen af VND1 og VND2, men først beskrives det datasæt som tuningen er blevet kørt på. Under tuningen har vi testet på variablene hver for sig for at undersøge hvilken indflydelse de har på det samlede resultat. Vi har derfor, med en undtagelse, ikke lavet tests hvor flere variable er ændret på samme tid. Det kan tænkes, at ændringerne kan have en indflydelse på hinanden i forhold til resultaterne, men på grund af specialets begrænsede omfang har vi valgt ikke at undersøge denne interaktion. Det vil kræve for meget tid at lave alle de forskellige kombination der skal laves og derfor holder vi os til den alt andet lige tilgang som vi har taget. Af samme årsag har vi heller ikke tunet på det store data sæt, hvilket ellers ville have været mere korrekt. Alle tallene fra resultaterne af tuningen kan findes i de relevante filer under mappen Tuning som er vedlagt på en DVD-rom. I bilag 3 findes en oversigt over de forskellige filer. Tuningen er udført på en computer med 2,3 GHz Intel Core i5 processer med 2 GB ram på et 32-bit system og en computer med 3,3 GHz Intel Core i3 processer med 4 GB ram på et 64- bit system. Da de to computere ikke er lige hurtige har vi indikeret hvilken computer der er brugt, de steder hvor vi har angivet løsningstiden. Vi er godt klar over problematikken i at sammenligne tiderne fra to forskellige computere, men af praktiske hensyn har vi været nødsaget til at gøre det Begrænset datasæt Vi har valgt at lave et datasæt som er mindre end det rigtige til at udføre tuningen på, da vores VND heuristik skal bruge forholdsvis lang tid på bare at løbe alle nabolagene igennem den første gang i det yderste loop. Vi har skabt mini eksemplet ved tilfældigt at slette efterspørgslen fra 75 procent af de kanter som har en efterspørgsel i det reducerede vejdata sæt. Vi kunne også have indskrænket det geografiske område som skal serviceres, ved for eksempel kun at se på adresser i Ebeltoft. Dette har vi dog fravalgt fordi man derved ikke bibeholder den blanding af tæt bebyggelse i byerne, og landdistrikter uden for byerne, som findes på Djursland. I figur 20, som viser et plot af den ene endenode på hver af de kanter der skal serviceres, ser man tydeligt hvordan kanterne stadig ligger spredt ud over hele område 3 på Djursland. Og man ser også tydeligt at Ebeltoft stadig har den største koncentration af kanter og vi mener derfor at dette er et meget repræsentativt mini eksempel at bruge. Det er indlysende at det vil være mest optimalt at tune på det rigtige datasæt, men vi mener at Mini Eksempel 1 er et godt kompromis. Side 62 af 96

69 Figur 20: Plot over Mini Eksempel 1 Kilde: Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1).xlsm 6.2. Base Case For at have et start resultat til at bruge i tuningen, har vi valgt at basisindstillingerne for VND1 skal være at m er sat til 15, n er sat til 2 og at SHORTEN proceduren ikke skal køres før CUT, men kun efter. Derudover er TimeMax variablen overflødiggjort da vi har fjernet det yderste While-loop, så den derved kun løber igennem nabolagene en enkelt gang. I mini eksemplet er der 1.552,9 kg affald af den knappe ressource, som er plast, og som er fordelt over 1.109,5 husstande. Med en kapacitet på 153,6 kg giver det 11 ruter og derved 9 nabolag som skal gennemsøges. I Path Scanning algoritmen er det kriterium 1 som laver den bedste løsning, hvilket aflæses i Summary Solution arket i Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1).xlsm filen. Den får indsamlet affaldet med en samlet distance på 933,31 km på 11 ruter. Når forbedringsheuristikken i VND1 med base case indstillingerne bliver fodret med den bedste Path Scanning løsning, hvor ruterne er grupperede, kan den forbedre den samlede distance til 842,85 km, og den bruger 288 minutter på det. Gruppering af ruter vil blive omtalt senere i kapitlet. Det er altså en forbedring på 9,7 procent, hvilket umiddelbart er ganske godt, men det kommer selvfølgelig an på hvor god inputløsningen fra Path Scanning har været. Dette kan være svært at sige noget om eftersom vi ikke kender den optimale løsning. Ved at se på ruterne tegnet ud i grafer i bilag 2 kan man i det øverste billede, som viser de grupperede Path Scanning ruter, se hvordan den i den tredje rute laver en afstikker vest på, væk fra Ebeltoft (der ligger syd for depotet), hvor største delen af ruten ellers koncentrerer sig. Dette kan være et eksempel på Path Scanningens svaghed da den altid vil fylde bilen helt op, og derved kan den risikere at bevæge sig i en mærkelig retning til sidst Side 63 af 96

70 på ruten. En sådan afstikker kan man dog ikke umiddelbart observeres i ruterne fra den forbedrede løsning, som findes i det nederste billede på bilaget. VND metaheuristikken virker altså som den var tiltænkt, idet den flytter kanter med efterspørgsel fra en rute til en anden, såfremt det kan betale sig. Med basisindstillingerne i VND2 heuristikken i VND2 Mini 1 2.xlsm filen bliver den samme Path Scanning løsning forbedret til 875,5 km i en løsningstid på 171 minutter. Som forventeligt forbedres løsningen ikke lige så meget her som i VND1. Det er højst sandsynligt fordi løsningsområdet ikke bliver undersøgt lige så grundigt i VND2. Det kan selvfølgelig også være tilfældigt i og med at v udvælges tilfældigt i SWITCH proceduren, men med en m sat til 15 burde der kun være en lille sandsynlighed for at det er tilfældet, hvilket fremgår af afsnittet om tuningen af m senere i kapitlet. I de følgende afsnit er basisindstillingerne brugt i de forskellige gennemkørsler med mindre andet er specificeret Tuning af TimeMax TimeMax variablen har betydning for hvor mange gange heuristikken skal kører igennem alle nabolagene i løsningsområdet, som kan ses i det yderste While-Loop i koden. For at tune på dette har vi kørt VND1 algoritmen med base case indstillingerne og noteret den samlede distance og løsningstiden efter hver runde den tager i løsningsområdet. Disse kørsler kan ses i tabel 6 nedenfor. Tabel 6: Resultater af TimeMax tuningen Løsning Distance Forbedring Forbedring (ift. Tid StartOver (km) (ift. PS) forrige runde) (Minutter) Path Scanning 933, VND1 Runde 1 842,80 9,70 % 9,7 % 288 (3,3 GHz) 25 VND1 Runde 2 832,65 10,79 % 1,2 % 137 (3,3 GHz) 7 VND1 Runde 3 831,09 10,95 % 0,18 % 91 (2,3 GHz) 3 VND1 Runde 4 828,05 11,28 % 0,37% 88 (2,3 GHz) 3 Kilde: Diverse filer Det ses tydeligt, at forbedringerne fra runde til runde er aftagende allerede efter runde 1 og kraftigt aftagende efter runde 2. Den første forbedring som også blev beskrevet ovenfor er ganske pæn, mens den næste på 1,2 procent noget mere beskeden. Derefter er forbedringerne næsten ikke eksisterende. At den forbedre mere i runde 4 end i runde 3 kan man ikke rigtig udlede noget konkret ud fra, da det kan skyldes mange ting, og 0,37 procent er stadig en næsten ubetydelig forbedring i forhold til at den skal bruge 88 minutter på det. I tabel 6 ser Side 64 af 96

71 man også at løsningstiden er faldende i hver runde, hvilket højst sandsynlig på grund af at heuristikken ikke laver så mange forbedringer i de senere runder. Antallet af runder med forbedringer som heuristikken laver, kan aflæses i summen af tallene i test2 arket i filerne. VND heuristikkerne er sat til at skulle starte forfra i et nabolag når de har lavet en forbedring, og det vil derved forlænge løsningstiden efterhånden som den forbedre løsningen. Det betyder altså at man ikke kan forudsige hvor lang tid det vil tage at løbe en runde igennem alle nabolagene og det vil gøre TimeMax variablen usikker og uhensigtsmæssig at bruge. Som beskrevet tidligere giver det ikke mening at kører flere runder i VND2, hvorfor den kun vil blive kørt en enkelt gang. Ud fra denne tuning af variablen TimeMax vil vi altså konkludere at der i det yderste While- Loop af VND1 heuristikken ikke skal bruges en TimeMax variabel som vi først havde tænkt det. I stedet for kan man lade heuristikken fortsætte med at forbedre indtil forbedringerne fra runde til runde falder under en fastsat procentsats. Fastsættelsen af denne procentsats er selvfølgelig svær at lave, og den vil afhænge af hvor store de første forbedringer er. Hvis heuristikken i de foregående runder har forbedret med omkring 1 til 2 procent og den i en efterfølgende runde kun forbedre med 0,2 procent, så burde den måske bare stoppe. På den anden side er der ingen garanti for at den næste runde også kun vil lave små og næsten ubetydelige forbedringer, fordi der måske efter hver runde bliver åbnet op for nye mulige ombytninger af kanter blandt ruterne. Her i tuningen er de cirka 10 km, der svarer til 1,2 procent, som anden runde forbedre stadig værd at tage med, hvorimod 4,6 km som de efterfølgende to runder forkorter ruterne med efterhånden ikke rigtig kan betale sig i forhold den tid det tager. Derudover afhænger det selvfølgelig også af hvor lang tid der bruges på at opnå forbedringerne. I forhold til at fastsætte procentsatsen når heuristikken skal bruges på det rigtige datasæt vil den blive fastsat ud fra længden på den indledende løsning. Med ubegrænset tid, bør man dog selvfølgelig lade heuristikken kører færdig til den ikke kan forbedre mere, for at opnå den bedste løsning Gruppering af ruter En anden ting, som kunne være interessant at teste på, er om der er forskel i forbedringerne fra VND heuristikkerne alt efter om inputruterne er grupperede efter geografisk lighed eller ej. Tidligere i specialet redegjorde vi for hvordan det kan tænkes at hjælpe heuristikken ved at gruppere ruterne. Når Path Scanning algoritmen har lavet den indledende løsning kommer ruterne i tilfældig rækkefølge alt efter hvordan den har lavet dem løbende. Der er derved Side 65 af 96

72 mulighed for at en rute der primært servicerer i Ebeltoft står ved siden af en rute der primært servicerer på Helgenæs og en anden som servicerer oppe omkring Glatved. Hvis disse tre ruter kommer i samme nabolag, vil der højst sandsynlig ikke være de store muligheder for metaheuristikken med hensyn til succesfyldt at flytte rundt på kanterne mellem ruterne og derved opnå forbedringer. Da der i base casen bliver kørt på de grupperede ruter kan vi bruge VND1 forbedringen fra tidligere som udgangspunkt i denne tuning, hvor den forbedrede den samlede længde til 842,8 km. Når VND1 bliver sat til at forbedre på de samme ruter, men hvor de er opstillet som Path Scanning laver dem, kan den kun forbedre den samlede længde til 865,37 km. Det bliver altså kun til en forbedring på 7,27 procent mod de 9,7 procent fra tidligere, hvilket stemmer overens med forventningerne om at VND en opnår bedre resultater når ruterne er grupperede. Begge gennemkørsler tager omkring 4,5 timer, og har cirka lige mange StartOvers, og forbedringerne må så være større når ruterne er grupperede Tune på SHORTEN proceduren Som det blev nævnt tidligere kan SHORTEN proceduren køres forskellige steder i Procedures-modulet i VND heuristikken og det er derfor relevant også at teste på dette. Hertz og Mittaz bruger SHORTEN på hver af de nye ruter som CUT laver og det gør vi derfor også, men i princippet kunne man også bruge SHORTEN til at forkorte den lange rute som PASTE laver. Løsningstiden må forventes at blive forlænget af dette, men dog ikke betydeligt da det kun er nødvendigt at gøre det når c er 1, ligesom vi også kun bruger PASTE i den første c af alle m er. Når man kører VND1 heuristikken med SHORTEN både før og efter CUT, er gennemkørselstiden dog faldet til omkring 165 minutter, modsat 288 minutter i base casen. Forklaringen for dette finder man ved at der kun er lavet 10 forbedringer (StartOver) i løbet af gennemkørslen, modsat de 25 i base casen. Den samlede længde bliver også kun reduceret til 869,01 km, hvilket bare er en forbedring på 6,8 procent mod 9,7 procent i base casen. Selvom dette kan være en tilfældighed, vil vi på baggrund af dette ikke bruge SHORTEN før CUT fremover Tuning af m En variabel med stor og vigtig betydning for præstationen af heuristikkerne er m som bestemmer hvor mange løsninger der skal laves i hvert nabolag. Som tidligere beskrevet, er variablen nødvendig på grund af at der er indført et stokastisk element i SWITCH proceduren, fordi det ellers vil tage for lang tid at finde den optimale v i SWITCH. Hvis man sætter m til en lille værdi vil heuristikken være hurtigere, men til gengæld er der større risiko for at der Side 66 af 96

73 kun vælges v er som ikke kan føre til nogen forbedringer af ruterne i nabolaget. Jo højere m bliver sat, jo langsommere vil heuristikken blive. Sættes den derimod for højt, risikerer man måske at finde den bedste v for mange gange og derved bare lave den samme løsning unødigt mange gange. Resultaterne fra tuningen kan findes i tabel 7. Tabel 7: Resultater af m tuning Løsning Distance (km) Forbedring Tid (minutter) StartOver (ift. PS) Path Scanning 933, VND2 (m=5) 887,35 5,92 % 52 (2,3 GHz) 8 VND2 (m=10) 875,50 6,20 % 171 (2,3 GHz) 13 VND2 (m=15) 867,60 7,04 % 198 (2,3 GHz) 11 VND2 (m=20) 866,31 7,18 % 291 (2,3 GHz) 11 Kilde: Diverse filer Af resultaterne i tabellen fremgår det, at jo større m bliver sat, jo bedre løsninger finder VND2 heuristikken, som er blevet brugt til denne tuning. Dette stemmer også overens med de forventninger vi havde omkring m. Derudover kan den øgede løsningstid også observeres i tabellen. Igen skal man tage lidt løst på løsningstiden da der ikke vælges de samme v er i SWITCH proceduren og at der derved ikke laves de samme forbedringer fra gang til gang. Derudover har antallet af forbedringer den laver, også en indflydelse på løsningstiden. I tabellen er antallet af forbedringer udtrykt med antallet af StartOvers som heuristikken laver, da den starter forfra hver gang den finder en bedre løsning i et nabolag. En måde at fjerne denne usikkerhed på ville være at fodre den med en række forudbestemte noder som skal være v, men på grund af specialets begrænsede omfang har vi valgt ikke at gøre dette. Da VND2 heuristikken ikke i denne test finder en særlig meget bedre løsning ved m sat til 20 i forhold til m sat til 15, på trods af at den bruger betydeligt mere tid, konkluderer vi at 15 er den bedste værdi for variablen m. Løsningstiden er godt nok ikke et kriterium hvorpå vi vil bedømme vores heuristik, da den ikke skal bruges til at planlægge ruter på daglig basis. Vi synes alligevel ikke at vi bare vil sætte m meget højt for derved at sikre at den finder den bedste v, da vores kode i forvejen ikke er specielt hurtig at køre Tuning af n Den optimale størrelse for n i heuristikken er umiddelbart noget sværere at forudsige end de forudgående variable som der er blevet tunet på. I base case indstillingen har vi tilfældigt sat Side 67 af 96

74 den til at være 2, så den derved slår tre ruter sammen for derefter at splitte dem op med CUT. Vi har yderligere testet med n sat til 1, 3 og 4 og resultaterne er samlet i tabel 8, nedenfor. Tabel 8: Resultater af n tuning Løsning Distance (Km) Forbedring Tid (minutter) StartOver (ift. PS) Path Scanning 933, VND1 (n=1) 855,45 8,34 % 322 (2,3 GHz) 28 VND1 (n=2) 842,80 9,70 % 288 (3,3 GHz) 25 VND1 (n=3) 867,54 7,05 % 409 (2,3 GHz) 15 VND1 (n=4) 866,56 7,15 % 326 (3,3 GHz) 16 Kilde: Diverse filer På forhånd havde vi forestillet os, at heuristikken ville være i stand til at lave bedre ruter hvis den får flere ruter at rykke kanterne rundt mellem, - jo højere n jo bedre en slutløsning. Det forventede vi så ville gå ud over løsningstiden som selvfølgelig ville stige. Men i tabellen ser man at denne test viser at det er startindstillingerne, med n=2, der giver den største forbedring på 9,7 procent i forhold til Path Scanning løsningen. Ser man på antallet af gange som de fire gennemkørsler har startet forfra i nabolagene (StartOver), kan man se at kørslerne med n sat til 3 og 4, har startet forfra betydeligt færre gange. Dette indikerer, at forbedringerne er større i disse gennemkørsler, men sammenlagt kommer de altså ikke frem til en bedre løsning. Det kan desuden tænkes, at de vil være bedre hvis man lader heuristikken køre en runde mere, så den kommer igennem alle nabolagene igen. Dette har vi valgt ikke at teste på, på grund af vores alt andet lige tilgang til tuningen. Selvom de alle laver nogle pæne forbedringer er det altså n = 2 som laver den største forbedringen og altså den som vi vil bruge når ruterne til det store datasæt skal forbedres Tune på kapaciteten på 4-kammerbil Tidligere i specialet kommenterede vi på at det kunne være interessant at lave en Path Scanning løsning hvor bilens kapacitet er sat ned, for at undersøge om det kunne være fordelagtigt for forbedringsheuristikken. Ved at lade VND heuristikken arbejde med den rigtige kapacitet var tanken at den måske derfor ville have bedre mulighed for at flytte rundt på kanterne mellem ruterne og derved opnå en bedre samlet distance. Vi har lavet tre nye Path Scanning løsninger, hvor kapaciteten er sat ned med 10 og 20 procent og den sidste hvor kapaciteten er sat til 115 kg, hvilket svare til cirka 25 procent. Idéen med den sidste kapacitet er at tvinge VND heuristikken til at medtage den ekstra rute i forbindelse med NewN Side 68 af 96

75 variablen i pseudokoden. Dette vil være muligt i og med at tre ruter á 153,6 kg er i stand til at servicere fire ruter á 115 kg. Resultaterne er samlet i tabel 9. Tabel 9: Tuning af Path Scanning kapacitet Løsning Path Scanning distance (km) Distance (Km) Forbedring (ift. PS) Antal ruter (fra - til) Tid (minutter) VND1 Base 933,31 842,80 9,70 % (3,3 GHz) Case VND1 (-10 %) 974,62 869,55 10,78 % (3,3 GHz) VND1 (-20 %) 997,30 882,60 11,50 % (2,3 GHz) VND1 (-20 %) - 853,10 14,46 % (2,3 GHz) Runde 2 VND1 (-20 %) - 839,13 15,86 % Runde 3 VND1 (115 Kg) 1049,01 905,07 13,72 % (2,3 GHz) Kilde: Diverse filer Ser man på længden på Path Scanning løsningerne og antallet af ruter i de forskellige scenarier, bliver det tydeligt at antallet af ruter har stor betydning for den samlede længde. Da alle ruterne skal forbi Glatved, som ligger helt yderligt på grafen, er der mange omkostninger ved at lave en ekstra rute, hvilket ses på disse tal. Det står derfor på forhånd klart at hvis VND heuristikken skal gøre det bedre end i base casen, som indtil videre har vist sig at være bedst, er det nødvendigt at den slår ruterne sammen så man kommer ned på 11 ruter igen. Kun i det første scenarie formår VND1 heuristikken at reducere det til 11 ruter, men den totale distance er stadig længere en base case løsningen. Heller ikke ved de to andre kapaciteter formår heuristikken at præstere bedre end base casen, selvom den procentvise forbedring i forhold til deres respektive PS løsninger er større. Selvom den ikke er bedre er det dog interessant at se på VND1 forbedringen af PS løsningen med 20 % mindre kapacitet. Selvom den skal bruge en ekstra rute, er den kun omkring 40 km længere den bedste løsning, hvilket alt andet lige må betyde, at selve ruterne er bedre. Derfor tænkte vi at det kunne være interessant at lade heuristikken kører sin anden runde igennem alle nabolagene, for at se om den kunne forbedre løsningen endnu mere, og måske reducere den til 11 ruter. Som det fremgår, bliver løsningen forbedret yderligere i den anden runde af heuristikken, men den gør det stadig på 12 ruter og er stadig omkring 10 km længere end base casen. Ser man i Summary Solution arket i VND Mini 1 8 runde 2 (20% reduktion).xlsm filen kan man se at rute 2, 4 og 9 tilsammen servicerer 307,14 kg plast hvilket lige præcist kan samles i to ruter á 153,6 kg. Derfor burde det være muligt at reducere ruterne med én, men da ruterne 2, 4 og 9, som det drejer sig om, ikke kommer til at være i samme nabolag vil det ikke ske, medmindre vi manuelt sætter dem Side 69 af 96

76 sammen. Om det er muligt at slå dem sammen vil selvfølgelig også afhænge af hvordan de tre ruter ser ud, for hvis de går i hver sin retning, er det ikke sikkert at det er bedre at slå dem sammen. For at teste det fuldt ud, har vi i den tredje runde placeret de tre ruter ved siden af hinanden som de første ruter og kørt heuristikken i det første nabolag, for at se om den vil lave en bedre løsning, hvor kun to ruter er nødvendige. Efter kun at have kørt i det første nabolag (i=1), havde heuristikken reduceret de tre ruter til to og derved reduceret den samlede distance til 839,13, hvilket er en bedre løsning end base casens første runde på 842,8. Men da den kun klarer det omkring 3 km bedre, er den altså ikke lige så god som vi havde forventet. I forhold til den tid den har brugt på at komme frem til resultatet er det umiddelbart ikke det værd. Tanken med VND metaheuristikken er også, at der ikke skal menneskelig indflydelse til for at hjælpe den. Vi vil derfor konkludere, at det stadig er base casen som laver den bedste løsning Resultat af tuning Denne tuning af VND1 heuristikken viste altså at basisindstillingerne fra base casen lavede den bedste løsning, men tuningen er dog præget af usikkerhed, på grund af det tilfældige element i SWITCH. Optimalt skulle vi have lavet flere gennemkørsler for hver indstilling af variablene og brugt de gennemsnitlige resultater som beslutningsgrundlag i tuningen. Dette har tiden ikke tilladt, idet heuristikken tager så lang tid at køre. Usikkerheden er illustreret i tabel 10 som viser resultaterne for fem ens gennemkørsler af VND2 heuristikken med m sat til 5. Med m sat til 5 er der selvfølgelig stor chance for at den ikke kommer frem til det samme, men det illustrere stadig problematikken, som vi altså vælger at se bort fra. Tabel 10: Resultater for VND2 (m = 5) Kørsel 1. gang 2. gang 3. gang 4. gang 5. gang Distance 887,35 893,28 903,80 915,42 914,17 Kilde: VND2 Mini 1 3 (m=5) 5 gange.xlsm Vi kunne selvfølgelig have lavet mini eksemplet meget mindre, for derved at mindske løsningstiden yderligere, men det føler vi vil gå ud over repræsentativiteten af mini eksemplet, så man derfor ikke kan overføre konklusionerne fra tuningen over på det rigtige data. I figur 21 ser man de 11 ruter som VND1 heuristikken laver efter anden runde igennem nabolagene. De har tilsammen en længde på 832,65 km, hvilket er en forbedring på 10,79 procent i forhold til de ruter som konstruktionsheuristikken kan lave. Side 70 af 96

77 Figur 21: Ruter for Mini Eksempel rute 1 rute 2 rute 3 rute 4 rute 5 rute 6 rute 7 rute 8 rute 9 rute 10 rute11 depot glatved Kilde: VND Mini 1 Runde 2.xlsm 7. Resultater og følsomhedsanalyse Efter at have fundet de bedste indstiller for variablene i heuristikken, i det foregående kapitel, vil resultaterne af kørslerne på de fulde datasæt blive præsenteret og analyseret i dette kapitel. Derudover vil kapitlet også indeholde en følsomhedsanalyse på eksterne parametre som kan hjælpe til at bedømme hvor robuste løsningerne fra heuristikken er Ruter til 4-kammerbil Som et led i at estimere de relevante omkostninger i forbindelse med at udvide affaldsindsamlingen på Djursland fokuserer specialet på at udarbejde et sæt ruter som vil minimere den kørte distance for skraldebilerne. Ruterne fra Path Scanning algoritmen og VND1 heuristikken kan findes i filerne Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret).xlsm og VND.xlsm, henholdsvis. Tabel 11 har samlet de relevante tal fra runderne i VND1 heuristikkens gennemkørsel for 4- kammerbilen på det endelige datasæt. Med hensyn til fastsættelse af den procentsats som skal få heuristikken til at stoppe, tager vi udgangspunkt i de 2.579,07 km som Path Scanning løsningen skal bruge til at indsamle alt affaldet. Når man er oppe omkring km vil en Side 71 af 96

78 forbedring på 0,5 procent være en forkortelse på 12,5 km og det er umiddelbart ved at være grænsen for hvornår det kan betale sig at forbedre mere på løsningen. 12,5 km er jo ikke meget over en 4-ugers periode, så vi sætter grænsen til 0,5 procent. Tabel 11: Resultater fra VND1 runderne for ruter til 4-kammerbil Kørsels runde Distance Forbedring (ift. PS) Forbedring (ift. forrige runde) StartOver Løsningstid (minutter) Path Scanning 2.579, VND 1. kørsel 2.528,61 1,96 % 1,96 % VND 2. kørsel 2.507,46 2,78 % 0,84 % VND 3. kørsel 2.492,77 3,35 % 0,59 % VND 4. kørsel 2.489,13 3,48 % 0,15 % Kilde: VND.xlsm VND1 heuristikken stoppede efter fire runder med forbedringer, da den sidste forbedring kun var på 0,15 procent, svarende til 3,6 km. I forhold til den indledende løsning har den opnået en forbedring på 3,48 %, så den samlede distance over 40 ruter ender på 2489,13 km. Tabel 12: Sammenligning af PS og VND1 løsning for 4-kammerbil Distance (km) Indsamlede ressourcer (kg) Antal husstande/tømninger PS VND1 PS VND1 PS VND1 Minimum 38,86 38,56 108,65 139, Middel 64,47 62,23 152,16 152,16 108,7 108,7 Maksimum 136,57 102,79 153,58 153, Kilde: Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret).xlsm og VND.xlsm Tabel 12 sammenligner yderligere forskellige tal fra Path Scanning og VND1 løsningerne. Mest interessant ved disse tal er, at VND heuristikken har formået at reducere længden på den længste tur betydeligt, hvorimod den korteste og den gennemsnitlige længde stort set er uændret. Derudover kan man også se at heuristikken deler affaldet mere jævnt ud på ruterne i og med den mindste mængde affald på en rute er steget fra 108,65 til 139,41 kg. Disse ændringer, vil vi tolke som at det er med til at gøre ruterne en smule bedre idet ruterne bliver mere ensformige ved at man reducerer ekstremerne. I og med at den begrænsende faktor for ruterne er bilens kapacitet og den genererede mængde ressourceaffald følger den udregning vi lavede i de foregående afsnit, kommer antallet af tømninger pr. rute ned på 108,7 i gennemsnit over de 40 ruter. Dette er langt fra de 210 tømninger pr. dag 9 som en skraldemand skal have, hvilket kan sætte spørgsmålstegn ved validiteten ved vores model. Men da tømninger pr. uge ifølge skraldemændenes overenskomst Side 72 af 96

79 udregningerne er baseret på faktiske observationer fra Herlev og de oplyste vægtfylder godtager vi dem umiddelbart. I følsomhedsanalysen nedenfor vil vi dog komme nærmere ind på dette. De forbedringer VND heuristikken har formået at lave på det reducerede datasæt er betydeligt mindre end hvad der blev opnået under tuningen. Vores bedste bud på hvorfor dette er tilfældet er at Path Scanning løsningen må være forholdsvis bedre på det store datasæt i forhold til det lille. I og med der er flere kanter med efterspørgsel, vil der måske ikke så oftest opstå den situation hvor ruten skal traverserer meget langt for at nå til det sidste kantstykke som den skal servicerer, inden den afslutter ruten. Det var for eksempel det som er illustreret ved den lange afstikker i den tredje rute i bilag 2. Muligvis er der større chance for at noget som dette sker i det lille datasæt, så VND en derved har større mulighed for at forbedre ruterne Ruter til 2-kammerbil Ligesom for 4-kammerbilerne har vi også brugt vores VND1 heuristik til at udarbejde nogle ruter for de 2-kammerbiler som skal bruges til at indsamle ressourceaffaldet i scenarie D. Den indledende løsning findes i filen Vejdata og konstruktions heuristik (2-kammerbil).xlsm og VND løsningen i VND 3.xlsm. Som det blev beskrevet tidligere, i afsnittet omkring datagrundlaget, har vi løst dette ved at sætte kapaciteten for bilen til 288 kg plast, hvilket svarer til omkring 200 husstande på hver rute. For at gøre det mest brugervenligt for borgerne, har vi valgt at lastbilerne skal servicerer de samme kanter hver dag, hvilket medfører, at den ene lastbil ikke får lov til at udnytte sin kapacitet fuldt ud. Resultaterne er samlet i tabel 13. Tabel 13: Resultater fra VND1 for 2-kammerbil Kørsels runde Distance Forbedring (ift. PS) StartOver Løsningstid (minutter) Path Scanning 1.813, VND 1.738,63 4,11% Kilde: VND - 3.xlsm Både Path Scanning algoritmen og VND1 heuristikken laver 22 ruter til at afdække efterspørgslen. VND en forbedrer løsningen med 4,11 % efter bare en gennemkørsel af nabolagene. Den samlede kørte distance ender på 1.738,63 km, men når man medregner at der skal køre to biler på ruterne, skal man altså hver måned næsten køre km længere end man skal med en 4-kammerbil. Det er altså betydeligt længere og der vil derfor umiddelbart være flere omkostninger i forbindelse med transporten for 2-kammerbilerne. Der er ude tvivl forskel på andre omkostninger end lige netop dem der er afhængige af distancen, som gør at Side 73 af 96

80 2-kammer bilen er værd at undersøge nærmere. Dette vil blive undersøgt i det følgende kapitel omkring det økonomiske aspekt af de nye indsamlingsmetoder. Vi har valgt kun at lade VND1 køre en runde gennem nabolagene, da den brugte over 24 timer på den første runde. Den høje løsningstid skyldes umiddelbart ikke at den har lavet specielt mange forbedringer, da den er startet forfra 37 gange, som er mindre end de 46 i den første runde som det ses i tabel 11. Vores bedste gæt på hvorfor løsningstiden er så markant længere i dette tilfælde er at ruterne er længere og derved indeholder flere noder. SHORTEN bruger derfor længere tid på grund det større antal noder som den skal igennem. Tabel 14: Sammenligning af PS og VND1 løsning for 2-kammerbil Distance (km) Indsamlede ressourcer (kg) Antal husstande/tømninger PS VND1 PS VND1 PS VND1 Minimum 46,24 46,05 44,88 71, Middel 82,42 79,03 276,66 267,66 197,64 197,64 Maksimum 165,43 134,92 287,97 287, Kilde: Vejdata og konstruktions heuristik (2-kammerbil).xlsm og VND 3.xlsm Ligesom ved ruterne til 4-kammerbilen, har vi i tabel 14 også samlet forskellige tal som kan fortælle lidt om ruterne. Igen, er VND heuristikken i stand til at forkorte den længste af ruterne samt hæve antallet af husstande og den indsamlede mængde ressource på den mindste rute. Igen vil vi tolke dette som en generel forbedring af ruterne Følsomhedsanalyse For at efterprøve hvor robuste vores ruter er i forhold til ændringer i den genererede mængde affald, komprimering af affaldet og vægtfylderne, bliver der i de følgende afsnit udarbejdet en følsomhedsanalyse for hvert af disse aspekter Usikkerhed omkring affaldsgenerering En forudsætning i specialet er, at den variation der vil være i affaldsgenereringen for de enkelte husstande samlet set vil udligne hinanden. Vi har derfor hidtil i specialet brugt et gennemsnitstal for hver enkelt husstand. Denne forudsætning vil vi her slække på for at bedømme om den holder. Denne følsomhedsanalyse skal undersøge hvor robuste ruterne fra VND heuristikken er. Vores argument, for at bruge en gennemsnitlig affaldsmængde, var at når man havde med så mange husstande at gøre ville over- og undergenerering i husstandene udligne hinanden. Ved at lade den genererede mængde ressourceaffald hos hver enkelt husstand variere med +/- 10 procent, og lave 500 simulationer af ruterne har vi testet på om Side 74 af 96

81 ruterne stadig kan bruges. Vi har set på hvor meget variation der er i den samlede mængde plastaffald og hvor meget plastaffald der er på den rute som tømmer den største mængde, for at bedømme hvor stort et problem variationen er i forhold til den fastsatte kapacitet. Tabel 15: Statistik fra følsomhedsanalyse Totale indsamlede ressourcer Maksimal kg ressourcer på rute Middelværdi 6.085,91 156,20 Standardafvigelse 5,92 0,78 Maksimum 6.106,12 158,84 Kilde: Følsomhedsanalyse.xlsm Af tabel 15 fremgår det, at middelværdien selvfølgelig ligger meget tæt op af de 6.086,6 kg plast som vi bruger i vores model. De +/- 10 procents variation vi har introduceret på husstandsniveau bliver som ventet meget lille når man aggregere den op, hvilket fremgår af den lille standardafvigelse på 5,92 kg. Den største mængde plastik der er indsamlet blandt de 500 simulationer, er kun omkring 20 kg højere over alle 40 ruter, hvilket må siges at være ubetydeligt. Det burde ikke være noget problem for bilen at have plads til 0,5 kg ekstra plast, hvis de ekstra kilo fordeler sig lige ud over ruterne. Selv hvis de ikke er delt ligeligt ud, burde det ikke være et problem, da det højst sandsynligt ikke alt sammen er samlet på én enkelt rute. Denne problemstilling er også undersøgt. I tabellens højre kolonne fremgår det, at den gennemsnitlige maksimale mængde afflad en rute skal indsamle er 2,6 kg over kapaciteten på 153,6 kg, hvilket er bare 1,7 procent. Det værste tilfælde der er registreret i de 500 simulationer ligger 5,24 kg over, hvilket svarer til 163,75 liter i et rum på liter. Det er altså 3,4 procent over kapaciteten, men eftersom vi i forvejen ikke komprimerer affaldet vil vi vurdere at det ikke burde være det store problem at medtage det ekstra affald, selv i de værste tilfælde. Alt i alt, vil vi mene, at vores ruter er robuste nok til at klare de variationer, der vil være i den virkelige verden samt at vores forudsætning omkring en fast affaldsgenerering holder Komprimering Tidligere i specialet tog vi beslutningen om ikke at komprimere de indsamlede ressourcer i 4- kammerbilen da vi ikke havde et ordentligt estimat på komprimeringen og fordi vi ønskede at få den bedst mulige fraktionskvalitet. Eftersom antallet af tømninger pr. rute ligger helt nede på 108,7 i gennemsnit for vores ruter, indikerer det at noget i vores beregning omkring vægtfylder, kapacitet ikke stemmer overens med praksis. RenoNorden, som anvender en 4- kammerbil i Herlev Kommune, har forklaret at de generelt ikke har problemer med at blive Side 75 af 96

82 begrænset af 4-kammerbilens kapacitet på en almindelig dagsrute. Dette må betyde, at de sagtens kan tømme de 210 spande som overenskomsten dikterer. Vi har derfor brugt VND1 heuristikken til at udarbejde et nyt sæt ruter hvori 4-kammerbilen må komprimere plast og metal fraktionerne med en faktor to. Derved ser udregningen af den nye knappe kapacitet ud som følgende. Tabel 16: Udregning af knap kapacitet for 4-kammerbilen med komprimering Fraktion Papir Plast Glas Metal Vægtfylde l/kg 4,18 31,25 3,64 21,74 Bil kapacitet liter kg 2.246,6 307, ,2 (9.400/4,18) 240 l. med kg (i alt: 20,29 3,05 8,72 1,53 uge tømning Antal beholdere/bil 33,59 kg) (60,39 %) stk 110,8 (2.246,6/20,29) Kilde: Vægt og fylde i skraldebiler.xlsx 100,7 138,7 126,3 Det eneste der er forskelligt fra tidligere er at bil kapaciteten for plast og metal er blevet dobbelt så stor, hvilket vil svare til at det kan komprimeres. Plast fraktionen er stadig den knappe kapacitet, men nu er der altså plads til i alt 307,2 kg plast og dette er derved den nye kapacitet i Path Scanning algoritmen og VND heuristikken. Det ses nu også at antallet af beholdere i de fire kamre ligger mere jævnt end tidligere, hvilket også stemmer overens med RenoNordens udtalelse om at de ikke mærker til problemet med dårlig udnyttelse af kamrene. Selvfølgelig er de ikke flydt lige meget op efter en dags indsamling, men det er ikke noget stort problem. (RenoNorden, 2013). Producenten af 4-kammerbilerne har selvfølgelig også optimeret størrelserne på kamrene, ud fra forbrugernes affaldsgenerering. Filerne Vejdata og konstruktions heuristik (komprimering).xlsm og VND 5.xlsm indeholder disse kørsler og tabel 17 indeholder resultaterne. Tabel 17: Resultater fra VND1 for 4-kammerbil med komprimering Kørsels runde Distance Forbedring (ift. PS) StartOver Løsningstid (minutter) Path Scanning 1.715, VND 1.659,88 3,25 % Kilde: VND 5.xlsm Outputtet fra VND heuristikken består med komprimering af plast og metal fraktionerne af 20 ruter med en samlet længde på 1.659,88 km. På grund af den meget høje løsningstid har VND heuristikken kun kørt en runde i nabolagene. Løsningstiden understøtter vores påstand fra Side 76 af 96

83 tidligere, om at jo længere ruterne er, jo længere tid skal heuristikken bruge. Distancen vil kunne blive forkortet endnu mere, med flere gennemkørsler af forbedringsheuristikken, men på grund løsningstiden, er det denne distance vi tager med videre i beregningerne. Hvis den givne komprimering tillades, vil man altså kunne spare omkring 830 km på affaldsindsamlingen over fire uger, og fordi der kun er 20 ruter vil én enkelt 4-kammerbil være nok til at servicere kanterne. Et problem er dog, at der på de 20 ruter i gennemsnit er 217,4 husstande, hvilket på en uge bliver mere end de tømninger, som er bestemt i overenskomsten. For at undgå dette kunne man meget simpelt have modificeret Path Scanning algoritmen og VND heuristikken ved at indsætte en ekstra kapacitetsbegrænsning, så ruterne ikke må blive længere end 210 husstande. Med hensyn til komprimering af de to fraktioner i 2-kammerbilerne er det ikke så lige til da ruterne i forvejen ligger tæt på de 210 husstande, med et gennemsnit på 197,6. Fordi 2- kammerbilerne fås i flere størrelser, satte vi bilernes kapacitet så de nogenlunde passede til antallet af tømninger der skal nås på en rute. Hvis man komprimerer, vil det ikke længere være plast, men papir, som bliver den knappe kapacitet og forhindre heuristikken i at lave færre end 19 ruter. Idet papir ikke kan komprimeres, vil der ikke kunne opnås nævneværdigt ved at komprimere ressourcerne i en 2-kammerbil. Vi har ikke testet en 2-kammerbil med en komprimering af plasten, idet vi ikke mener at reduktionen fra 20 til 19 ruter vil mindske distancen med omkring 800 kilometer. Om der må komprimeres eller ej har altså meget stor betydning for hvor mange ruter der skal til og hvor lang den samlede distance er for indsamlingen i scenariet med 4-kammerbilen. Dette vil blive taget med i overvejelserne i økonomi afsnittet Vægtfylde De vægtfylder vi har fået oplyst fra Reno Djurs kan også være medvirkende til at vi kun får 108,7 tømninger med i gennemsnit pr. rute. Ved at regne bagud kan vi få en idé om hvad vægtfylden skal være, hvis der skal være plads til 210 beholdere i bilen. De husstande som vil være tilmeldt ordningen kan besøges på 20,7 ruter, hvis der i gennemsnit skal tømmes 210 beholdere pr. tur. De 6.086,6 kg plast som skal indsamles på 21 ruter, må så medføre at der i bilen skal være plads til 289,84kg plast. Og med et rumfang på 4800 liter i 4- kammerbilens rum til plast skal vægtfylden være 16,56 liter/kg (60,39 kg/m 3 ). Det er altså næsten det halve af den vægtfylde som blev opgivet af Reno Djurs ifølge deres stikprøver. Side 77 af 96

84 Med de oplyste vægtfylder, kan det altså langt fra lade sig gøre at få plastaffaldet fra 210 husstande i en 4-kammerlastbil uden komprimering. 8. Økonomi Der vil i de følgende afsnit blive redegjort for forskellene i mellem de to scenarier ud fra et økonomisk perspektiv. For de to scenarier vil der være forskelle både med hensyn til omkostningerne og indtægterne. Omkostningerne i de to scenarier kan deles op i kapitalomkostninger og i driftsomkostninger. Kapitalomkostningerne er omkostningerne i forbindelse med at binde kapital i affaldsspande og lastbiler. Driftsomkostninger vedrører omkostningerne ved at indsamle ressourcerne og bortskaffelse af dem. På indtægtssiden stammer forskellen i indtægterne fra brugerbetaling og den pris Reno Djurs kan opnå for deres ressourcer Kapitalbinding Kapitalbinding er den kapital der bruges til anskaffelse af det nødvendige materiel. I Reno Djurs tilfælde vil det dreje sig om affaldsspande, lastbiler og affaldsanlægget i Glatved. Den kapital der investeres skal forrentes med en passende rentesats. Der er fra statens side sat grænser for kommunernes gældsætning. Disse grænser betyder, at en kommune ikke kan låne til hvilke som helst formål, og derfor må finansiere de fleste investeringer over driften. Dette betyder også at kommunerne ikke må dække underskud på driften ved at optage lån. Ifølge bekendtgørelsen om kommuners låntagning og meddelelse af garantier mv. 2 stk. 4 indgår investeringsudgiften til renovation i kommunernes låneramme (Civilstyrelsen, 2013). Det vil sige, at Nord- og Syddjurs kommuner er berettiget til at optage et lån til at dække investeringsudgiften. Det vil ikke være alle investeringer Reno Djurs skal stå for. Hvis indsamlingen af ressourcer udliciteres til et eksternt firma, som det er tilfældet i dag, vil det være det eksterne firma der skal investerer i lastbilerne. Det vil dog uforandret være Reno Djurs der skal investere i spandene og i affaldsanlægget i Glatved. Det eksterne firma vil desuden lægge deres kapitalomkostninger oven i tømningsprisen, hvilket i sidste ende betyder at det er Reno Djurs der betaler for kapitalbindingen under alle omstændigheder. Side 78 af 96

85 Pris på affaldsbeholdere En 4-kammerspand fra PWS koster kroner og har en forventet levetid på år. Der ydes 7 års garanti på spandene (PWS, 2013). For de husstande der forudsættes at deltage i ordningen vil det resultere i en kapitalbinding på kroner. En 2- kammerspand på 240 liter koster 730 kroner (Econet, 2012). Med to 2-kammerspande til hver husstand bliver kapitalbindingen derfor kroner. Scenariet med 4-kammersystemet vil altså være billigst på dette punkt Pris på bilerne Idet der i dette speciale kun fokuseres på ét af fire områder på Djursland forudsættes det, at overskydende kapacitet kan bruges i andre områder. Det vil sige, at hvis en lastbil ikke kan udnyttes fuldt ud vil den kunne bruges i andre områder. Dette er ikke nogen urimelig forudsætning, så længe det er det samme firma, der står for indsamlingen i alle fire områder. Prisen for en standard lastbil og ombygningen til en 4-kammerbil koster mellem 2,4 og 2,6 millioner kroner pr. bil (PWS, 2013). Prisen for en 2-kammerbil afhænger af størrelsen. En lille lastbil vil koste ca kroner mens en stor lastbil koster ca Der er valgt at lade de to 2-kammerlastbiler køre de samme ruter. Dette valg et truffet ud fra hensynet til borgerne, idet vi ønsker at alt deres ressourceaffald skal indsamles samme dag. De slipper således for at skulle have tømt den ene spand en dag og den anden spand en anden dag. Dette har dog en negativ effekt på ruternes længde, idet lastbilen der først når kapacitetsbegrænsningen også vil sætte en begrænsning for den anden lastbil, som må afslutte ruten med ledig kapacitet. Den 2-kammerbil der ikke rammer kapacitetsbegrænsningen kan derfor være mindre end den lastbil der rammer kapacitetsbegrænsningen. Dette har trods alt en positiv indflydelse på kapitalbindingen, som er mindre for en lille lastbil end den er for en stor lastbil. Hvis plast og metal kan komprimeres, og der kun skal bruges 20 ruter på at indsamle ressourcerne med en 4-kammerbil vil én bil være tilstrækkeligt. Kan det ikke komprimeres skal der bruges to biler, og kapitalbindingen i lastbiler og bemandingsudgiften vil alt andet lige være dobbelt så høj. Kapitalbindingen vil dermed være ca. 2,5 eller 5,0 millioner kroner afhængig af komprimeringsfaktoren. For 2-kammerbilernes vedkommende vil det være nødvendigt, at lave 22 ruter, der bliver serviceret af 15m 3 lastbiler, til indsamling af ressourcerne. Med en kapacitet, på 15 m 3 vil det Side 79 af 96

86 gennemsnitlige antal husstande pr. rute ikke overstige pr. uge. Kapaciteten på 15 m 3 vil svare til en mellem størrelse lastbil og prisen sættes derfor til Kapitalbindingen i den nødvendige lastbilkapacitet sættes derfor til kroner 10. Lastbilen der ikke rammer kapacitetsbegrænsningen, vil kunne nøjes med en kapacitet på 14 m 3. Denne forskel er dog ikke stor nok til vi mener det vil give nogen at anskaffe lastbiler med forskellig kapacitet Affaldsanlægget i Glatved Hvis affaldsanlægget i Glatved skal kunne håndtere ressourceaffaldet, vil det antageligt være nødvendigt at foretage investeringer der gør anlægget i stand til at håndtere ressourcerne på en effektiv måde. For eksempel kan det være en idé at have mulighed for at veje hver fraktion individuelt i stedet for at veje lastbilen før og efter hver aflæsning for at få vægten på hver ressourcefraktion. PWS er dog også ved at udvikle et system så vægten bliver indbygget på lastbilen, så den kan veje sig selv. Der skal desuden være faciliteter til at opbevare ressourcerne indtil der er indsamlet nok til det kan betale sig at transportere dem til modtageranlæggene Transport fra Glatved til modtageranlæggene Priserne for at transportere ressourcerne fra Glatved til modtageranlæggene er også en omkostning som skal medregnes. Transportomkostningen afhænger af om der er returlæs med tilbage til Glatved og om der køres en eller to containere ad gangen (Reno Djurs, 2013). Priserne herunder gælder for transport af to stk. 36 m 3 containere. Der forudsættes at være plads nok i Glatved til at opbevare ressourcerne indtil det er muligt at fylde to containere med de indsamlede ressourcer. Ved at fragte to containere ad gangen bliver det billigere pr. tons at transportere ressourcerne idet det ikke er dobbelt så dyrt at køre med to containere som det er at køre med én. Der forudsættes desuden at der ikke er mulighed for at få returlæs, som skal deponeres i Glatved, med på tilbageturen. Den gennemsnitlige kilometerpris er desuden afhængig af afstanden til modtageranlæggene samt at de første kilometer er dyrere end de følgende kilometer. 10 To biler kan servicere 20 ruter på fire uger. For at servicere to ruter til, kræves 10 procent ekstra kapacitet. (22/20)*(2* )= Side 80 af 96

87 Af nedenstående tabel fremgår afstanden fra affaldsanlægget i Glatved til de modtageranlæg der skal aftage ressourcerne. Tabel 18: Distance fra Glatved til modtageranlæggene Fraktion Destination Distance Pris Papir Stena Recycling, Anelystparken 51, 8381 Trige 62 km Glas Midtjysk flaskecentral, Karupvej 30, 7470 Karup 131 km * Metal Stena Recycling, Plutovej 3, 8500 Grenaa 18 km. 500* Plast Dansk Affald, Tingvejen 1, 6500 Vojens 193 km Kilde: Reno Djurs, 2013 *Anm: Priserne er skønnet baseret på mailkorrespondance med Reno Djurs 8.3. Tidsforbrug Tidsforbruget kan deles op i kørsel, tømning og aflæsning. Tidsforbruget vil være forskeligt for de to scenarier idet lastbilerne og spandene vil være forskellige. Der vil i fire følgende afsnit blive vurderet hvor stor forskellen er for de to scenarier. Herudover kommer der også noget tid til pause, men denne tid er fuldstændig uafhængig af hvilken type spand og lastbil der vælges Kørsel Den forskel der er på lastbilerne har noget at gøre med lastrummene og den måde spandene bliver tømt på. Lastbilerne bliver bygget på en platform af en standardlastbil, hvorfor køreegenskaberne ikke vil blive påvirket nævneværdigt af hvilken type skraldebil den er blevet konverteret til. Størrelsen på lastbilerne er også nogenlunde ens hvilket betyder at de vil kunne køre på de samme veje, vende de samme steder, krydse de samme broer, køre lige hurtigt, mv. Lastbilerne vil altså have de samme muligheder for at udnytte netværket af veje i det område de servicere. Alt dette gør, at kørselstiden i de to scenarier vil afhænge af ruteplanlægningen ud fra kapacitetsbegrænsningerne og forskellen må ligger i den samlede distance på ruterne Tømning Både 4-kammer- og 2-kammerspandene er plastspande på hjul. Tidsforbruget på at gå fra lastbilen hen til spanden, køre spanden til lastbilen og sætte den på plads ved huset igen samt gå tilbage til lastbilen for at køre videre, antages derfor ikke være forskellig for de to scenarier. Side 81 af 96

88 Der er dog en forskel i den tid det tager lastbilens systemer at tømme spanden. En 2- kammerspand skal ikke løftes så højt som en 4-kammerspand og der er ingen indsats, der skal tømmes separat. Derfor kan den tømmes på forholdsvis kort tid. Tømning af en 2- kammerspand har vi observeret til at tage omkring 8 sekunder. En 4-kammerspand tager derimod længere tid om at blive tømt ud i lastbilen. Dette skyldes, at indsatsspandene skal løftes separat. Selve operationen med at tømme en 4-kammerspand tager mellem 20 og 22 sekunder (PWS, 2013). Dette giver en tømningstid for 4-kammerspandene der er sekunder langsommere end tømningstiden for 2-kammerspande. Den længere tømningstid afspejler sig også i tømningsprisen som idékataloget har estimeret, som er 25 kroner for en 4-kammerspand men kun 20 kroner for en 2-kammerspand. Der findes flere versioner af 2-kammerbiler. Ved én version bliver det ene kammer fyldt bagfra mens det andet kammer bliver fyldt fra højre side lige bag førerhuset. Én anden version bliver begge kamre fyldt bagfra. Af hensyn til tidsforbruget skal der anvendes den version hvor begge kamre fyldes bagfra. Herved kan hele spanden tømmes i ét løft imod to løft hvis det ene kammer fyldes fra siden Aflæsning Både 2- og 4-kammerbilerne skal efter endt arbejdsdag køre til Glatved og aflæsse de indsamlede ressourcer. Aflæsningen vil utvivlsomt tage længere tid for en 4-kammerbil end for en 2-kammerbil, idet den har flere rum at tømme. Desuden skal hver fraktion aflæsses separat og lastbilen skal vejes efter aflæsning af hver fraktion hvis ikke affaldet kan vejes hvor det bliver læsset af. Vi har valgt ikke at lave specifikke beregninger på tidsforbruget for tømningsruterne, da vi ikke har nogle ordentlige estimater for kørselshastighed og lignende. Det er alt for svært at estimere hvor hurtigt der kan køres når der serviceres på en kant, kontra når der traverseres, samt hvad forskellen er mellem kørsel i byområde og landområde. Vi vil nøjes med at konkludere at 4-kammersystemet vil indebærer flere omkostninger end 2-kammersystemet, på dette punkt Indtægter Beslutter Reno Djurs at indsamle ressourcer ved borgernes privatadresser ligesom de gør for restaffald og papir nu, vil det ud over at have betydning for omkostningerne også have Side 82 af 96

89 betydning for deres indtægter. Der vil i de følgende afsnit blive redegjort for hvad det er for indtægter og hvorfor de opstår. Ligesom med nogle af omkostningerne vil det være for omfattende for dette speciale at sætte et præcist beløb på hvor store indtægterne er. Der vil derfor blive nævnt at indtægterne er der og lade det være op til yderligere analyse at vurdere hvor store indtægterne er Brugerbetaling Indtægterne fra bedre salgspriser for ressourcerne vil ikke være tilstrækkelige til at sikre en rentabel indsamling og det vil derfor være nødvendigt at opkræve penge gennem brugerbetaling. Der er to muligheder for at indføre brugerbetaling. Enten kan Reno Djurs indføre en tillægsbetaling for de husstande der får indsamlet ressourcer eller de kan forhøje grundtaksten således alle kommer til at betale for ordningen uanset om de er med i ordningen eller ikke er. Valget af betalingsform vil uden tvivl have betydning for hvor mange husstande der kommer med i ordningen. Hvis betalingen sker ved at hæve grundgebyret, vil alle husstande skulle betale og dette vil resultere i at flere vil tilmelde sig ordningen for at opleve at de får noget for pengene. Samtidig har de heller ikke noget økonomisk argument for ikke at melde sig ind i ordningen. Vælges der at opkræve betaling gennem grundgebyret, skal der laves et differentieret grundgebyr, således kun de husstande der bliver tilbudt at komme med i ordningen skal betale for ordningen. Det vil sige, at sommerhuse og etageboliger skal betale et lavere grundgebyr da de ikke har mulighed for at komme med i ordningen. Vælges i stedet en betalingsordning, hvor husstandene kun betaler hvis de melder sig ind i ordningen, vil der være en økonomisk grund til ikke at melde sig ind i ordningen, idet det vil kræve en merbetaling. Hvis borgerne derudover ikke mener at ville få nogle fordele ved at få afhentet ressourcer, vil det være meget tvivlsomt om de melder sig ind i ordningen. Baseret herpå anbefaler vi, at Reno Djurs opkræver en merbetaling over grundgebyret for de husstande som bliver tilbudt at komme med i ordningen. Dette sikre at så mange som muligt kommer med i ordningen. For denne ordning er det vigtigt at have så mange som muligt med for at udnytte de stordriftsfordele der er. Jo færre der kommer med i ordningen, jo forholdsvis dyrere vil det være pr. husstand at køre rundt og indsamle ressourcerne. Side 83 af 96

90 Afregningspriser Som følge af sorteringen og de deraf renere fraktioner, vil det være muligt for Reno Djurs at opnå bedre afregningspriser på det affald de indsamler. Det kommer sig af at der både er mindre affald som de skal betale for at få afbrændt, samtidig med at der er mere af det affald de får penge for. Erfaringer fra Herlev har vist at sorteringen af affaldet fra husstandenes side er tilfredsstillende (Spangsbjerg, 2013). Havde den ikke været det, ville det have været svært at opnå en god pris for ressourcerne idet de så skulle eftersorteres. Havde man valgt at indsamle i flere fraktioner, ville det være muligt at indsamle renere fraktioner. I Sverige har de i nogle kommuner to 4-kammerspande, hvilket resulterer i at de også indsamler pap, restaffald og organisk affald samt deler farvet glas og ufarvet glas (Norra Åsbo Renhållningsaktiebolag, 2013). En sådan indsamling vil give endnu renere fraktioner, men er ikke en del af de to scenarier der arbejdes med i dette speciale. Det indsamlede emballage fra kuberne består af glas, plast og metal (Reno Djurs, 2013). Ved at lade borgerne sortere affaldet i fraktioner i stedet for at blande plast og metal i kuberne kan der derfor opnås renere fraktioner, som Reno Djurs ikke efterfølgende skal sortere eller sælge til en lavere pris. Priserne som Reno Djurs enten betaler eller får for at komme af med affaldet er afhængig af markedsprisen. Det vil sige, at afregningspriserne ændrer sig løbende. Dette gør det svært at komme med en fast pris som der kan regnes med fremover. De afregningspriser, der bruges i specialet er oplyst af Reno Djurs i juli 2013 og adskiller sig væsentligt fra de afregningspriser der er oplyst i idékataloget som blev udarbejdet af Econet i marts Prisen for at afhænde restaffald til forbrænding er 560 kr. pr. ton (Econet, 2012). Enhver reduktion i restaffaldsmængden vil altså resultere i lavere omkostninger til at komme af med restaffaldet. Samtidig skal der køres færre ture til forbrændingsanlægget hvis der kan skæres ned på antallet af ruter. Modsat restaffaldet, som Reno Djurs skal betale for at komme af med, kan de få penge for det papir de afleverer. Når papiret afleveres i Trige, får Reno Djurs 670 kroner pr. tons (Reno Djurs, 2013). Glas opdeles i farvet og ufarvet glas. Hvis glasset er opdelt efter farve, vil det være muligt at opnå en bedre pris. Samtidig vil glas der ikke er skåret resultere i en højere pris end glas der er skåret. Idet glasset ikke kildesorteres efter farve og bliver skåret i lastbilen, er prisen ikke så god, som den potentielt kunne være. Side 84 af 96

91 Det glas der pt. bliver indsamlet i kuber og på genbrugspladserne bliver behandlet som blandet glas med en skårprocent på 30. Reno Djurs betaler ca. 170 kroner pr. tons for at komme af med glasset. Denne pris er dog noget ringere end Herlev og Randers Kommuner giver indtryk af at kunne sælge deres glas for, hvor de nævner, at udgiften til indsamling af glas går lige op med afsætningsprisen. Metal afleveres som ovenfor nævnt i Grenå, hvor Reno Djurs får kroner pr. tons (Reno Djurs, 2013). Reno Djurs har ikke kunne oplyse en pris på plastik, idet det ikke indsamles separat i kuber og de dermed ikke afsætter rent plastik som det er nu. Af idékataloget fremgår en pris på 50 kroner pr. ton i Reno Djurs favør. Dansk Affald, som skal modtage det indsamlede plastik har oplyst, at prisen på plast svinger fra at være i Reno Djurs favør til det modsatte. Randers Kommune har i juli 2013 oplyst at de kan sælge plast til en pris på op til 400 kr. pr. tons, fordi de håndsortere plasten efter type. Fordi plasten ikke sorteres efter type i de scenarier der arbejdes med i dette speciale, og der ikke kan oplyses nogen eksakt pris fra Reno Djurs side er afregningsprisen på plast sat til 50 kr. pr. tons i Reno Djurs favør, som den er oplyst i idékataloget. Som det ses, har alle ressourcer en bedre afregningspris end restaffaldet, hvilket retfærdiggør analysen af ressourceindsamlingens lønsomhed Indtjening på salg af ressourcer Med afregningspriserne, de gennemsnitlige affaldsmængder og transportomkostningerne kan det lade sig gøre at udregne hvad Reno Djurs reelt set får for ressourcerene efter transportomkostningerne er medregnet. Af nedenstående tabel, vil det fremgå hvor meget Reno Djurs får eller skal af med i løbet af en 4-ugers periode. Transportomkostningerne er baseret på tallene fra tabel 18 og hvor ofte der skal køres containere fra Glatved til modtageranlægget. Side 85 af 96

92 Tabel 19: Indtjening på salg af ressourcer Fraktion Kr. pr. tons Tons Afregning Transport omkostning pr. 4-uge** Samlet indtjening pr. 4-uge Papir , , , ,22 Metal* , ,85 229, ,89 Plast 50 6, , , ,83 Glas , , , ,99 I alt 66, , , ,29 Kilde: Egne udregninger. Se evt. Indtjening på salg af ressourcer.xlsx * Metal er komprimeret med en faktor 2 under transporten til modtageranlægget. Plasten mister sin komprimering under omlastningen. ** Transporten foregår med to 36m 3 containere på en lastbil med anhænger. Volumen begrænser mængden før vægten gør. Salget af ressourcer er dog ikke den eneste besparelse der er. I de to følgende afsnit vil der blive redegjort for hvilke afledte besparelser indførelse af ressourceordningen kan fører til Længere ruter for restaffald Idet borgerne får mulighed for lettere at komme af med deres sorterede affald antager vi, at de vil sortere deres affald bedre. Dette vil betyde, at mængden af restaffald vil falde fordi den ikke vil indeholde så mange ressourcer. I Herlev oplevede man et fald i mængden af restaffald efter indførelsen af indsamlingsordningen for ressourcer. Dette vil føre til, at kapacitetsbegrænsningen for lastbilen vil blive påvirket. Det vil i givet fald blive muligt at indsamle restaffald fra flere husstande ud fra et volumenmæssigt synspunkt. Hvis ruterne for indsamling af restaffald dog er begrænset af antallet af tømninger mandskabet kan nå, vil det ikke gøre nogen forskel om der er mindre restaffald at indsamle pr. husstand fordi tømningstiden for en husstand er uafhængig af mængden af restaffald den producerer. Hvis Reno Djurs kan indsamle restaffald fra flere husstande på hver rute, vil der være besparelser at hente i form af færre biler, mindre kørsel og mindre arbejdstid Effekt på genbrugspladser og kuber Efter indførelsen af 4-kammerspande i nogle områder af Sverige, er mængderne der indsamles på andre måder end husstandsindsamling også ændret. Helt konkret, er mængden af affald der indsamles med kuber faldet med 80 procent (PWS, 2013). Samtidig er mængden af ressourcer der indleveres på genbrugsstationer faldet med 20 procent. Dette betyder, at omkostningerne til at tømme kuberne og genbrugspladserne falder. Denne reducerede omkostning kan derfor medregnes ved vurderingen af om der skal indsamles kildesorterede Side 86 af 96

93 ressourcer. Hvorvidt der indsamles i to 2-kammerspande eller en 4-kammerspand vil ikke have nogen indflydelse på påvirkningen af kuber og genbrugspladser Indsamlingsomkostninger Omkostningerne til indsamling af ressourcerne afhænger af hvilke lastbiler der bruges, og om ressourcerne bliver komprimeret. Jo mere affald lastbilerne kan have med på deres ruter, jo færre ruter skal den kører og jo lavere bliver den samlede kørte distance. Antallet af ruter er desuden betydende for hvor mange lastbiler der skal bruges samt hvor meget arbejdskraft der skal bruges. I de følgende afsnit, vil der blive redegjort for indsamlingsomkostningerne. Nogle af omkostningerne er svære at sætte beløb på og vil derfor kun blive nævnt så de kan indgå i en senere analyse Bemanding Lastbilerne bliver i hvert scenarie bemandet med én mand. Den nuværende aftale med chaufførerne er, at de skal tømme restaffald ved husstande pr. uge pr. mand. Dette svarer til omkring 210 husstande pr. dag. Komprimeres ressourcerne ikke, vil der i gennemsnit være ca. 108 husstande på de 40 ruter, hvilket alt andet lige vil resultere i en kort arbejdsdag for chaufføren. Komprimeres plastikken og metallet, således alle lastbilens rum når kapacitetsbegrænsningen, vil der i gennemsnit være ca. 217 hustande på de 20 ruter, hvilket er lige i overkanten af hvad én mand kan nå på en arbejdsdag. Der vil i specialet ikke blive sat et beløb på hvad det koster at have en medarbejder ansat Kørte kilometer Ruternes distance har betydning for dieselforbruget og den tid der bruges på at køre rundt til husstandene. Derudover har det også vist sig under tuningen, at antallet af ruter ikke vil stige til mere end det laveste antal nødvendige for at overholde kapacitetsbegrænsningen. Fokus har derfor været på at nedbringe distancen under hensyntagen til lastbilernes kapacitet. Det er i specialet ikke estimeret en pris pr. kørt kilometer. Lastbiler har faste omkostninger, såsom forsikring, vægtafgift og til en vis grad afskrivning og service. Herudover kommer de variable omkostninger, såsom diesel, afskrivning og reparationer. I 4-kammerordningen, skal man over fire uger køre 2.489,13 kilometer, mens man i en 2- kammerordning skal køre 3.477,26 kilometer. Der er altså klar forskel mellem de to scenarier hvor 4-kammerordningen vil være den billigste i forhold til antallet af kørte kilometer. Side 87 af 96

94 8.7. Samlet økonomisk påvirkning På baggrund af ovenstående omkostninger og indtægter, mener vi at såfremt Reno Djurs vil indføre ressourceindsamlingsordningen bør vælge 4-kammersystemet. Mange omkostninger og indtægter vil være ens for de to scenarier, men specielt med hensyn til ruternes samlede længde viser 4-kammerordningen sig at præstere langt bedre. Uden komprimering af affaldet skal der investeres væsentligt mere i biler ved 4-kammerordningen, men hvis der kan komprimeres, udnyttes kapaciteten meget bedre og den nødvendige investering vil falde. Beløbene vil, hvis der komprimeres, ligge tæt på hinanden hvilket yderligere vil tale for 4- kammersystemet. Ud fra de oplysninger der er tilvejebragt, er det ikke muligt at lave en endelig omkostningsberegning, der viser hvad det vil koste at implementere indsamlingsordningen for ressourceaffaldet. I bilag 4 er vedlagt en grafisk oversigt over de 40 ruter, der bruges af en 4-kammerbil uden komprimering. 9. Konklusion Dette speciale har handlet om hvordan Reno Djurs i fremtiden skal organisere indsamlingen af affaldet hos Djurslands borgere. Specifikt er der blevet fokuseret på en særskilt indsamling af de fire ressourcefraktioner, papir, plastik, metal og glas, i to forskellige scenarier hvor borgerne selv skal kildesortere ressourcerne på husstanden. I det ene scenarie benyttes en 4- kammerspand og 4-kammerbiler, mens der i det andet benyttes to 2-kammerspande og 2- kammerbiler. I specialets indledende afsnit blev der beskrevet hvordan situationen ser ud i dag hvor Reno Djurs kun indsamler papir hos omkring 73 procent af helårsboligerne, og i specialet er det forudsat at de samme 73 procent vil tilmelde sig en ordning til indsamling af ressourcerne. I Danmark har kun Herlev Kommune indført de specielle 4-kammerspande, med rimelig succes, men i Sverige hvor markedet er fuldt udviklet har man stor succes, også økonomisk. En stor del af specialet har gået på at minimere den kørte distance på alle de ruter som der er nødvendige for at indsamle ressourceaffaldet. Derfor blev der udført en gennemgang af litteraturen, for at fastslå og udvælge hvilken løsningsmetode som skal bruges til at planlægge disse ruter, ud fra det data som blev stillet til rådighed fra Reno Djurs side. Valget faldt på Baker et al. s Path Scanning til at lave den indledende løsning som senere forbedres af Side 88 af 96

95 metaheuristikken. Derudover blev Hertz og Mittaz VND metaheuristik valgt på grund af dens modulære og overskuelige opbygning og fordi den er forholdsvis gennemtestet. For at være i stand til at håndtere det store datasæt, valgte vi at reducere det ved at slå forskellige vejkanter sammen, og vi endte med at reducere det betydeligt, hvilket senere hen havde stor betydning for løsningstiden og ruternes længde for vores ruteplanlægningsmodel. Datagrundlaget består af en liste med vejstykker (kanter), som er forbundet med hinanden af vejkryds (noder). Idet det område af Djursland der fokuseres på har mange vejstykker og vejkryds, er datasættet stort. Vi har derfor valgt at slå de kantstykker sammen, som er delt af en node med kun to tilstødende kanter. Derudover er der opstået flere blinde veje uden efterspørgsel fordi sommerhuse, etageboliger og 27 % af helårshusene ikke skal have indsamlet ressourcer. Reduceringen af datasættet har resulteret i at antallet af kanter er faldet fra til Reduktionen har betydet, at forbedringsheuristikken er hurtigere til at forbedre ruterne, men har dog også resulteret i en dårligere startløsning fra Path Scanning algoritmen, idet datasættet er blevet mindre fleksibelt. Løsningsmodellen, som bliver brugt i specialet, blev udviklet og implementeret i VBA. For at tilpasse metoderne til specialets problemstilling, er de blevet ændret lidt fra deres originale design. For det første, er der med hensyn til den overordnede VND heuristik, lavet om på strukturen i heuristikkens nabolag. Procedurerne SWITCH og SHORTEN er også blevet modificeret, så de bedre kan håndtere det store datasæt. Derudover er CUT proceduren blevet erstattet med en bedre metode udviklet af Prins et al. som integrerer hvad de kalder shift og flip. En tuning af modellen førte desuden til en lille ændring af designet og hjalp til at finde de bedste indstillinger for variablene i modellen. VND heuristikkens udarbejdelse af ruter til 4-kammerbilen resulterer i en samlet distance på 2.489,13 km over 40 ruter for at indsamle fire ugers ressourceaffaldsgenerering hos de tilmeldte borgere i den sydøstlige del af Djursland. For scenariet med 2-kammerbiler skal der køres en samlet distance på 3.477,26 km for at få indsamlet den samme mængde ressourceaffald, idet man skal have to 2-kammerbiler til at køre rundt til alle husstandene. Det er altså næsten km længere, hvilket må betegnes som en betydelig forskel som vil have indflydelse på de økonomiske aspekter for de to scenarier. Disse ruter blev testet i en følsomhedsanalyse, som viste at de var robuste nok til at håndtere den variation i affaldsgenereringen som der vil være i virkeligheden, og som løsningsmodellen ikke tog højde for. De værste tilfælde vil umiddelbart godt kunne håndteres med de udviklede ruter uden de store problemer. Side 89 af 96

96 Afsætningspriserne for ressourcerne har vist, at de alle er mere fordelagtige end at skulle betale for at få dem brændt af. Ved indførelse af ressourceindsamling, skal der investeres i lastbiler og omlastningsfaciliteter i Glatved. Der er desuden redegjort for, at indsamlingen med kuberne vil falde betydeligt med indførelsen af ressourceordningen, samt at mængden af de indleverede ressourcer på genbrugspladserne vil falde. Med hensyn til valg af indsamlingsmetode, anbefaler vi, at ressourcerne indsamles med en 4- kammerbil. Dette skyldes, at 4-kammerbilernes kapacitet bliver bedre udnyttet og at der kun skal én lastbil rundt på hver rute. Dette giver sammenlagt en kortere kørt distance i forhold til 2-kammerbilerne, til trods for at 2-kammerbilerne kan køre nogle længere ruter. 10. Perspektivering og forbedring Alt efter hvordan den kommende affaldsstrategi fra regeringen kommer til at lyde, står Reno Djurs overfor et valg med hensyn til hvordan de fremover skal indsamle affald hos borgerne. Såfremt de vælger at indsamle kildesorteret affald fra borgerne, er vi i dette speciale kommet frem til at scenariet med 4-kammerspanden vil være bedre end scenariet med to 2- kammerspande. Vores vurdering er selvfølgelig indenfor specialets rammer hvor det ikke har været muligt at medtage alle de relevante faktorer. For eksempel har vi ikke overvejet det tekniske aspekt, om hvorvidt 4-kammerbilen er et fuldt udviklet produkt som fungerer uden problemer. Dem vi har snakket med, og son har været involveret i implementeringen af 4- kammersystemet andre steder, har ikke berettet om disse problemer. Af den grund, vil vi derfor stadig anbefale 4-kammersystemet til Reno Djurs når vi tager det tekniske aspekt i betragtning. Løsningsmodellens eneste kriterium til at bedømme ruterne er den samlede distance. Derved tages der ikke højde for kørsels og tømningstider når ruterne konstrueres, og det blev fravalgt fordi det ville gøre modellen meget kompliceret. Derudover følte vi ikke, at vi havde fået nogle estimater som ville sætte os i stand til at udregne den brugte tid for en rute med tilstrækkelig sikkerhed. I forbindelse med at der kun optimeres ud fra distancen, tages der ikke hensyn til om vejene i samme kvarter bliver serviceret på samme rute. Hvilket vil være mere logisk set ud fra borgernes syn. Disse to aspekter kunne ligge til grund for en videreudvikling af vores løsningsmodel med districting og antal tømninger. Side 90 af 96

97 En anden videreudvikling som vi har været inde på tidligere i specialet, er at antallet af husstande pr. rute kunne indføres som en kapacitetsbegrænsning for ruterne både i konstruktions og forbedringsheuristikken. En svaghed ved vores VND implementering er at den er langsom til at forbedre den indledende løsning. En del af grunden dertil er at procedurerne skriver deres resultater ud i ark i Excel filerne. Det er specielt SHORTEN som er tidskrævende. Derfor lavede vi den om så den udelukkende arbejder i arrays og kun til sidst skriver dens resultat ud på et ark, hvorefter en efterfølgende procedure bruger dette resultat. Dette hjalp på hastigheden af heuristikken, men den er stadig ikke specielt hurtig. Det ville hjælpe, hvis hele heuristikken arbejdede i arrays, og havde der været mere tid til at udarbejde specialet havde vi kodet heuristikken om til dette. Vi vil dog påpege at det højst sandsynlig ikke vil gøre den særlig meget hurtigere, da det stadig er SHORTEN og CUT som bruger hovedparten af tiden, og de to procedurer arbejder i forvejen i arrays. Den lange løsningstid bevirkede også at der kun er tunet på en gennemkørsel af modellen og ikke flere simulationer, hvilket havde været bedre i forhold til kvaliteten af tuningen. Det er ikke muligt at validere vores løsningsmodel og de ruter som den producerer, fordi Reno Djurs på nuværende tidspunkt ikke indsamler de fire ressourcefraktioner hos borgerne. Vi har derfor selv været nødsaget til at estimere hvor meget ressourceaffald borgerne producere og vælge hvilken fordelingsnøgle der skulle benyttes. Vi baserede det ud fra de erfaringer som Herlev Kommune har gjort sig efter deres implementering, men det er svært at vurdere om det kan overføres til Djursland, blandt andet fordi Herlev er en bykommune modsat Syddjurs Kommune. Selvom vi ikke helt kan validere modellen i forhold til virkeligheden, kan vi godt verificere outputtet fra modellen, i og med ruterne altid får indsamlet den rigtige mængde affald hos det rigtige antal husstande i forhold til hvad vi giver modellen som input. Indtægts- og omkostningsberegningerne har været vanskelige at estimere. Dels fordi afregningspriserne på ressourcerne ændrer sig løbende og dels fordi vi ikke har kunnet få præcise tal på en række omkostninger. Dette giver en usikkerhed i forhold til anbefalingen, men vi mener ikke usikkerheden vil resulterer i et forkert valg, idet usikkerheden påvirker begge scenarier ens. Usikkerheden beror mere på hvad de samlede indtægter og omkostninger vil blive og hvor meget brugerbetalingen skal ændres for at finansiere ressourceindsamlingen. Side 91 af 96

98 Det endelige valg om hvor vidt Reno Djurs skal indføre indsamling af ressourcer ved hver enkelt husstand afhænger i sidste ende af borgernes indstilling til ordningen og kravene i regeringens kommende ressourcestrategi. Reno Djurs bør derfor afvente regeringens affaldsstrategi og samtidig høre befolkningen om hvad de mener om en indsamlingsordning for restaffald. Side 92 af 96

99 11. Litteratur liste Amponsah, S. K., Salhi S. (2004) The investigation of a class of capacitated arc routing problems: the collection of garbage in developing countries. Waste Management. Vol. 24. s Andersen, Ellen (2012) Madam skrald øger genbruget, Politiken, Lørdag den 14. januar 2012 Andersen, Ib (1997) Den skinbarlige virkelighed om valg af samfundsvidenskabelige metoder, 1. udgave, Samfundslitteratur, Frederiksberg C Baker, E. K., DeArmon, J. S. & Golden, B. L. (1983). Computational experiments with algorithms for a class og routing problems. Computers and Operations Research, 10(1), s Balakrishnan, N., Render, B. & Stair, R. H. (2007). Transportation, assignment and network models. I: Managerial decision modeling with spreadsheets. Prentice Hall, New Jersey. s Barreto, S., Ferreira, C., Paixao, J. & Santos, B. S. (2007). Using clustering analysis in a capacitated location-routing problem. European Journal of Operational Research. Vol s Christofides, N. (1973). The optimum traversal of a graph. OMEGA, The International Journal of Management Science, 1(6), s Civilstyrelsen (2013). Besøgt , Dijkstra, E. W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik. Vol 1. s Doulabi, S. H. H. & Seifi, A. (2013). Lower and upper bounds for location-arc routing problems with vehicle capacity constraintsi. European Journal of Operational Research. Vol s Dorigo, M. & Stützle, T. (2003). The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications and advances. I: Handbook of Metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, New York. s Econet (2012) Idékatalog: Ordninger for dagsrenovation, udarbejdet til Reno Djurs af konsulentvirksomheden Econet A/S Side 93 af 96

100 Eglese, R. W. (1994) Routing Winter Gritting Vehicle. Discrete Applied Mathematics, 48: Europa-Parlamentet (2008). Europa-parlamentets og rådets direktiv 2008/98/EF af 19. november 2008 om affald og om ophævelse af visse direktiver. Den Europæriske Unions Tidende. Glover, F. & Kochenberger, G. A. (2003). Handbook of metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, New York, USA Hansen, P. & Mladenović, N. (2005). Variable neighborhood search. I: Search methodologies Introduction tutorials in optimization and decision support techniques. Springer, New York, s Herlev Kommune (2013). Diverse korrespondancer med Herlev Kommune. Div. mails, præsentationer og lignende. Kontaktperson: Susanne Bruun Jakobsen Hertz, A. (2005). Recent trends in arc routing. I: Graph Theory, Combinatorics and Algorithms - Interdisciplinary Applications. Springer, New York. s Hertz, A. & Mittaz, M. (2001). A variable neighborhood descent algorithm for the undirected capacitated arc routing problem. Transportation Science. INFORMS. Vol. 35, No. 4. s Hertz, A., Laporte, G. & Mittaz, M. (2000). A tabu search heuristic for the capacitated arc routing problem. Operations research. INFORMS. Vol. 48, No. 1. S Jakobsen, Susanne (2013). Fremlæggelse på DAKOFA s konference den Lacomme, P., Prins, C. & Ramdana-Chérif, W. (2001). A genetic algorithm for the capacitated arc routing problem and its extensions. I: Applications of Evolutionary Computing. Springer Berlin Heidelberg. s MiljøTeam (2013). Diverse korrespondancer med MiljøTeam A/S. Div. mails og lignende, Lystrup Mouráo, M. C., Amado, L. (2005) Heuristic method for a mixed capacitated arc routing problem: A refuse collection application. European Journal of Operational Research. Vol s Muyldermans, L., Cattrysse, D., Van Oudheusden, D. & Lotan, T. (2002). Districting for salt spreading operations. European Journal of Operational Research. Vol s Side 94 af 96

101 Muyldermans, L., Cattrysse, D. & Van Oudheusden, D. (2003). District design for arc-routing applications. Journal of the Operational Research Society. Vol. 54, No. 11. s Norra Åsbo Renhållningsaktiebolag (2013). Besøgt , Otzen, Christina (2011) Madam Skrald er blevet godt modtaget, Herlev Bladet, Onsdag den 27. juli 2011 Otzen, Christina (2012) Der kommer snart en Madam hjem til dig, Herlev Bladet, Onsdag den 7. marts 2012 Pearn, W. L. (1989). Approximate Solutions for the Capacitated Arc Routing Problem. Computers & Operations Research, 16(6), s Pidd, Michael (2009). Tools for thinking, John Wiley & Sons Ltd. Chichester, UK PWS (2013). Diverse korrespondancer med PWS Danmark A/S. Hjemmeside, div. mails, præsentation og lignende. Kontaktperson: Kjeld Jensen, Rønde Reno Djurs (2013). Diverse korrespondancer med Reno Djurs I/S. Div. mails, præsentationer og lignende. Kontaktperson: Hardy Mikkelsen, Glatved RenoNorden (2013). Diverse korrespondancer med RenoNorden A/S. Div. samtaler og lignende. Kontaktperson: Carsten Lindeskov, Herfølge Sachs, H., Stiebitz, M. and Wilson, R.J. (1988) An Historical Note: Euler s Königsberg Letters. Journal of Graph Theory, Vol 12, nr. 1, Salhi, S. & Rand, G. K. (1983). The effect of ignoring routes when locating depots. European Journal of Operational Research. Vol. 39. s Sastry, K., Goldberg, D. & Kendall, G. (2005). Genetic algorithms. I: Seach Methodologies Introduction tutorials in optimization and decision support techniques. Springer, New York, s Spangsbjerg, Britt (2013) 850 tons affald i Madam Skrald på et år, Herlev Bladet, 17. april 2013, side 6 Tang, K., Mei, Y. & Yao, X. (2009). Memetic algorithm with extended neighborhood search for capacitated arc routing problems. IEEE Transactions on Evolutionay Computation, Vol. 13. s Side 95 af 96

102 Ulusoy, G. (1985). The fleet size and mix problem for capacitated arc routing. European Journal of Operational Research. Vol. 22. s Williams, H. P. (1999) Network models. I: Model building in mathematical programming. Wiley, West Sussex. s Wøhlk, S. (2005). Contributins to arc routing. PhD thesis, University of Southern Denmark Wøhlk, S. (2008). A Decade of Capacitated Arc Routing Problem. I: The Vehicle Routing Problem : Latest Advances and New Challenges. Springer, New York. s Yu, V. F., Lin, S-W., Lee, W. & Ting, C-j. (2010). A simulated annealing heuristic for the capacitated location routing problem. Computers and Industrial Engineering. Vol. 58. s Side 96 af 96

103 Bilag 1 - Ordbog og definitioner Afkom Oversættelse af der engelske udtryk offspring i forbindelse med Genetic Algorithm Euler tour En tur der traverserer hver kant præcis en gang Forældre Oversættelse af det engelske udtryk parents i forbindelse med Genetic Algorithm Ikke-mulig Oversættelse af det engelske udtryk non-feasible. Når en rute er ikke-mulig vil det sige at den ikke overholder alle begrænsninger Indledende løsning Oversættelse af det engelske udtryk initial solution Kant Oversættelse af det engelske udtryk edge Kantrutelægning Oversættelse af det engelske udtryk arc routing Kant med Oversættelse af det engelske udtryk required edge. Det betyder at efterspørgsel kanten har en efterspørgsel og derfor skal serviceres Knude Se node Kombinationsproblem Oversættelse af det engelske udtryk combinatorial problem Løsningsområde Oversættelse af det engelske udtryk solution space Mulig Oversættelse af det engelske udtryk feasible. En løsning er mulig hvis den overholder alle forudsætninger Nabolag/ Naboløsning Oversættelse af de engelske udtryk neighborhood og neighborhood solution Node Oversættelse af der engelske udtryk node Noderutelægning Oversættelse af det engelske udtryk node routing NP-hard Et problem er NP-hard når det ikke kan løses i polynomiel tid. Det vil sige den tid det tager at løse problemet stiger eksponentielt med antallet af variable. Problemer der er NP-hard skal løses med heuristikker frem for eksakte optimeringsmetoder hvis der er for mange variable Orienteret Oversættelse af det engelske udtryk directed. En kant er orienteret hvis den kun kan serviceres i den ene retning. F.eks. veje der er ensrettede Rundtur Oversættelse af det engelske udtryk circuit. En rundtur kan forekomme på en tur hvis turen krydser sig selv i en node efter den har lavet et loop rundt på nogle kanter Sammenhobning Oversættelse af det engelske udtryk agglomeration Servicere En kant serviceres når man gennemkører kanten og samtidig udfører en handling på den Startløsning Oversættelse af det engelske udtryk initial solution Tilstødende Oversættelse af det engelske udtryk adjacent. De kanter der ender i noden er tilstødende til den Traversere En kant traverseres når man gennemkører kanten, men ikke udfører en handling på den U-orienteret Oversættelse af det engelske udtryk undirected. En kant er u- orienteret hvis den kan serviceres i begge retninger. F.eks. veje der ikke er ensrettede

104 Bilag 2 Mini 1 Path Scanning og VND1 ruter Kilde: Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1).xslm Kilde: VND Mini 1.xlsm

105 Bilag 3 Oversigt over filer på DVD-ROM Fil navn Beskrivelse Sti: Hoved mappe Dist (reduceret) Distance matrix for det reducerede data \Hoved Mappe\Reduceret\Dist (reduceret).xlsx Pred (reduceret) Predecessor matrix for det reducerede data \Hoved Mappe\Reduceret\Pred (reduceret).xlsx Dist (ikke reduceret) Distance matrix for det ikke reducerede data \Hoved Mappe\Ikke reduceret\dist (ikke reduceret).xlsx Pred (ikke reduceret) Predecessor matrix for det \Hoved Mappe\Ikke reduceret Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret) Vejdata og konstruktions heuristik (forøgelse til 200 husstande) Vejdata og konstruktions heuristik (2-kammerbil) Vejdata og konstruktions heuristik (ikke reduceret) Vejdata og konstruktions heuristik (komprimering) VND VND 2 VND 3 VND - 4 VND - 5 Restaffald område 3 (reduceret) ikke reducerede data Vejdata og Path Scanning løsning på det reducerede data Vejdata og Path Scanning løsning med forhøjet kapacitet til 200 husstande Vejdata og Path Scanning løsning til 2-kammerbil Vejdata og Path Scanning løsning på det ikke reducerede data Vejdata og Path Scanning løsning med komprimering på faktor 2 VND1 Løsning på det reducerede data efter 4 runder VND1 Løsning på det PS løsning med forhøjet kapacitet til 200 husstande VND1 løsning på PS løsning lavet til 2- kammerbil VND1 løsning på PS løsning på det ikke reducerede data VND1 løsning på PS løsning med komprimeringsfaktor på 2 Tilmeldte adresser og kant specifikation for \Pred (ikke reduceret).xlsx \Hoved Mappe\Reduceret\Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret).xlsm \Hoved Mappe\Reduceret\Vejdata og konstruktions heuristik (forøgelse til 200 husstande).xlsm \Hoved Mappe\Reduceret \Vejdata og konstruktions heuristik (2-kammerbil).xlsm \Hoved Mappe\Ikke reduceret\vejdata og konstruktions heuristik (ikke reduceret).xlsm \Hoved Mappe\Ikke reduceret\vejdata og konstruktions heuristik (komprimering).xlsm \Hoved Mappe\Reduceret \VND.xlsm \Hoved Mappe\Reduceret\VND - 2.xlsm \Hoved Mappe\Reduceret\VND - 3.xlsm \Hoved Mappe\Ikke reduceret\vnd - 4.xlsm \Hoved Mappe\Ikke reduceret\vnd - 5.xlsm \Hoved Mappe\Reduceret \Restaffald område 3

106 Restaffald område 3 (ikke reduceret) Tuning Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion 10 % Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion 20 % Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion til 115 VND Mini 1 reduceret data Tilmeldte adresser og kant specifikation for ikke reduceret data Vejdata og Path Scanning løsning på mini eksempel 1 Vejdata og Path Scanning løsning med 10 % reduktion i kapacitet på mini eksempel 1 Vejdata og Path Scanning løsning med 20 % reduktion i kapacitet på mini eksempel 1 Vejdata og Path Scanning løsning med kapacitet sat til 115 på mini eksempel 1 Base case VND1 løsning på Mini eksempel 1 VND Mini 1 runde 2 VND1 løsning på VND Mini 1 VND Mini 1 runde 3 VND1 løsning på VND Mini 1 runde 2 VND Mini 1 runde 4 VND1 løsning på VND Mini 1 runde 3 VND2 Mini 1 (m=10) VND2 løsning på Mini eksempel 1 med m=10 VND2 Mini 1 2 (m=15) VND2 løsning på Mini eksempel 1 med m=15 (base case) VND2 Mini 1 3 (m=5) VND2 Mini 1 3 (m=5) 5 gange VND2 Mini 1 4 (m=20) VND Mini 1 2 VND Mini 1 3 VND2 løsning på Mini eksempel 1 med m=5 VND2 løsning på Mini eksempel 1 med m=5 VND2 løsning på Mini eksempel 1 med m=20 VND1 løsning med SHORTEN før og efter CUT på Mini eksempel 1 VND1 løsning på Mini eksempel 1 uden grupperede ruter (reduceret).xlsm \Hoved Mappe\Ikke reduceret\restaffald område 3 (ikke reduceret).xlsm \Tuning\Vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion 10 %.xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion 20%.xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vejdata og konstruktions heuristik (reduceret og mini 1) reduktion til 115.xlsm \Tuning\TimeMax\VND Mini 1.xlsm \Tuning\TimeMax\VND Mini 1 runde 2.xlsm \Tuning\TimeMax\VND Mini 1 runde 3.xlsm \Tuning\TimeMax\VND Mini 1 runde 4.xlsm \Tuning\M tuning\vnd2 Mini 1 (m=10).xlsm \Tuning\M tuning\vnd2 Mini 1 2 (m=15).xlsm \Tuning\M tuning\vnd2 Mini 1 3 (m=5).xlsm \Tuning\M tuning\vnd2 Mini 1 3 (m=5) 5 gange.xlsm \Tuning\M tuning\vnd2 Mini 1 4 (m=20).xlsm \Tuning\SHORTEN\VND Mini 1 2.xlsm \Tuning\Gruppering\VND Mini 1 3.xlsm VND Mini 1 4 (n=3) VND1 løsning på Mini eksempel 1 med n=3 \Tuning\n tuning\vnd Mini 1 4 (n=3).xlsm VND Mini 1 5 (n=4) VND1 løsning på Mini eksempel 1 med n=4 \Tuning\n tuning\vnd Mini 1 5(n=4).xlsm VND Mini 1 6 (n=1) VND1 løsning på Mini \Tuning\n tuning\vnd Mini 1

107 VND Mini 1 7 (10% reduktion) VND Mini 1 8 (20% reduktion) VND Mini 1 9 (reduktion til 115) VND Mini 1 8 runde 2 (20% reduktion) VND Mini 1 8 runde 3 (20% reduktion) Andet Vægt og fylde på skraldebiler Følsomhedsanalyse eksempel 1 med n=1 VND1 løsning på Mini eksempel 1 med 10 % nedsat kapacitet VND1 løsning på Mini eksempel 1 med 20 % nedsat kapacitet VND1 løsning på Mini eksempel 1 med nedsat kapacitet som passer til 115 husstande Runde 2 VND1 løsning på Mini eksempel 1 med 20 % nedsat kapacitet Runde 3 VND1 løsning på Mini eksempel 1 med 20 % nedsat kapacitet Beregninger af knap kapacitet og lignende Indeholder simulationer og statistik til følsomhedsanalyse 6(n=1).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vnd Mini 1 7 (10% reduktion).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vnd Mini 1 8 (20% reduktion).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vnd Mini 1 9 (reduktion til 115).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vnd Mini 1 8 runde 2 (20% reduktion).xlsm \Tuning\Kapacitets reduktion\vnd Mini 1 8 runde 3 (20% reduktion).xlsm \Andet\Vægt og fylde i skraldebiler.xlsx \Andet\Følsomhedsanalyse.xlsm

108 Bilag 4 Ruter for en 4-kammerbil uden komprimering Rute 1 Rute 2 Rute 3 Rute 4 Rute 5 Rute 6 Rute 7 Rute 8 Rute 9 Rute 10 Rute 11 Rute 12 Rute 13 Rute 14 Rute 15 Rute 16 Rute 17 Rute 18 Rute 19 Rute 20 Rute 21 Rute 22 Rute 23 Rute 24 Rute 25 Rute 26 Rute 27 Rute 28 Rute 29 Rute 30 Rute 31 Rute 32 Rute 33 Rute 34 Rute 35 Rute 36 Rute 37 Rute 38 Rute 39 Rute 40 Depot Glatved Kilde: VND.xlsm