P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
|
|
- Frederik Astrup
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet er kombinatorik: grafteori og optimering. Ordet kombinatorik har omtrent samme betydning som udtrykket diskret matematik, der navnet på et af kurserne på 2. semester og den lærebog [1] vi bruger i kurset. Kombinatorik er en gren af matematikken hvor man studerer endelige strukturer eller strukturer, der er næsten endelige. Udtrykket kombinatorik bruges ofte i betydningen optælling af elementer i en endelig struktur. Men her bruges ordet altså i en bredere betydning, der omfatter grafteori og kombinatorisk (eller diskret) optimering. En graf er i denne sammenhæng en endelig struktur, der består af et antal punkter (også kaldet knuder) og forbindelser mellem punkterne. Punkterne tegnes tit som små cirkler. Forbindelserne, der kaldes kanter, tegnes som kurver, der forbinder to punkter. Kanterne kan eventuelt have en orientering (retning). Se figur 1 og 2. Grafer kan benyttes i forbindelse med matematisk modellering af fysiske netværk som f.eks. elektriske netværk, vejnet, eller lign., men de benyttes også ved modellering af mere abstrakte relationer mellem objekter. Oprindelig sammensat af Leif K. Jørgensen leif@math.aau.dk diego@math.aau.dk 1
2 Figure 1: En ikke-orienteret graf På figur 3 vises f.eks. en graf hvor hvert punkt svarer til en mængde af tal. To punkter er forbundet med en kant hvis fællesmængden af de to tilhørende mængder er tom. Et andet eksempel er en graf, der beskriver relationer mellem et antal personer. Her vil hvert punkt svare til en person og der er en kant mellem to personer, der kender hinanden. Veje og kredse er begreber der ofte bruges i studiet af grafer. En vej fra et punkt A til et punkt B består af en række kanter som man kan følge for at komme fra A til B. I en orienteret graf skal man naturligvis følge kanternes retning. Der kan desuden være krav om at hver kant kun bruges én gang eller at vejen ikke må gå gennem et punkt to gange. Den orienterede graf i figur 2 har f. eks. 4 veje fra A til B. En kreds er en vej der vender tilbage til det punkt hvor den startede altså B = A. Optimering handler om at bestemme maksimum eller minimum for en funktion. F.eks. kender I en metode til bestemmelse af maksimum og minimum for en differentiabel funktion f : R R. I kombinatorisk optimering skal vi finde maksimum eller minimum for en funktion f : S R, hvor S er en endelig (eller næsten endelig) mængde med en bestemt struktur. S kan f.eks. være mængden af veje fra A til B i en graf. Man er så interesseret i at finde den korteste vej fra A til B. I optimering beskæftiger man sig ofte med vægtede grafer. Det vil sige at hver kant har tilknyttet et tal (en vægt), som f.eks. kan angive længden af kanten. Længden af en vej vil så være summen af længder af de kanter, der gennemløbes. I optimering vil vi være interesserede i at finde systematisk fremgangmåde til at bestemme en optimal løsning. En sådan fremgangsmåde kaldes en 2
3 B A Figure 2: En orienteret graf {1, 2} {4,5} {3,4} {1, 5} {3, 5} {2, 4} {1, 3} {2, 3} {1, 4} {2, 5} Figure 3: Petersen grafen 3
4 algoritme. Når vi så har konstrueret en algoritme, der finder f.eks. korteste veje i en graf, så vil det være interessant at vide hvor mange udregninger, der kræves for at finde en optimal løsning. Antallet af udregninger vil blandt andet afhænge af grafens størrelse. En øvre grænse for antal udregninger kan altså angives som en funktion af antallet af punkter i grafen. Den funktion kaldes algoritmens kompleksitet. Hvis en algoritme bygger på afprøvning af alle muligheder f.eks. find alle veje fra A til B og bestem længden af hver af dem, så vil algoritmens kompleksitet måske være af størrelsesorden 2 n, hvor n er antal punkter i grafen. En sådan algoritme kan i praksis kun anvendes på små grafer. Men hvis man finder en algoritme, der har kompleksitet f.eks. n 2, så kan man også løse optimeringsproblemet for ret store grafer. Algoritmer og kompleksitet er altså vigtige begreber i forbindelse med optimering. På P2 skal I arbejde med projekter inden for grafteori og optimering. Matematik-økonomi studerende skal vælge et projektemne inden for optimering, som giver mulighed for at se på anvendelser i økonomi. Matematik studerende kan enten vælge et projektemne inden for optimering eller et emne som er et teoretisk studie af grafer og deres struktur. Projektarbejdet skal resultere i udarbejdelsen af en P2-rapport og en P2- procesanalyse. P2-rapporten skal behandle matematiske/matematik-økonomiske aspekter og kontekstuelle aspekter. I vejledes i disse emner af henholdvis hovedvejleder og bivejleder. I de følgende afsnit beskrives den matematik I kan arbejde med i projekterne. I dette projektkatalog giver vi dog kun løse beskrivelser af begreberne. Det overlades til jeres projektarbejde at give præcise matematiske definitioner. 2 Euler-kredse: ruter gennem alle kanter. Grafteori er en matematisk disciplin, der har fået sit store gennembrud i det tyvende århundrede. Der er dog også ældre problemstillinger i grafteori. Man kan sige at grafteori blev grundlagt i 1736 af den svejtsiske matematiker Leonhard Euler, der er en af de største matematikere gennem tiderne. 4
5 Euler havde hørt om et problem fra den østprøjsiske by Königsberg (Kaliningrad): Floden Pregel løber gennem Königsberg og deler byen i to flodbreder og to øer. Disse fire områder er forbundet med syv broer. Kan man gå en tur i byen sådan at man passerer over hver af de syv broer præcis én gang. Euler indså hurtigt at det kan man ikke. Han oversatte så problemet til et grafteoretisk problem: Kan man finde en rute (en vej) i en graf som går gennem hver kant præcis én gang. Dette problem løste han ved at give en karakterisation af de grafer, der har en sådan rute. Senere har man så opkaldt disse ruter efter Euler. Man kan tale om en Euler-kreds hvis ruten vender tilbage til start-punktet. Ellers taler man om en Euler-vej. Det er i dag et standard emne i grafteori-lærebøger at bevise Eulers karakterisation og at angive en algoritme der finder ruten. Hvis der ikke er en Euler-kreds i grafen så står man med et mere kompliceret problem: find en korteste rute som går gennem hver kant mindst én gang. Problemet studeres som regel i vægtede grafer hvor hver kant har en længde. Et postbud skal gå igennem alle gader i sit distrikt mindst én gang. Hvis han vil planlægge ruten så han går kortest muligt, så har han netop det ovenstående problem. Problemet kaldes derfor det kinesiske postbuds problem. Samme problemstilling opstår for skraldebilen, sneploven eller andre, der skal igennem alle gader. 3 Graffarvning: firefarve problemet. Et andet klassisk problem, der har givet anledning til teoretiske studier af grafer er det såkaldte firefarve problem. Firefarve problemet spørger om man kan farve landene i et vilkårligt landkort med fire forskellige farver sådan at to lande, der har en fælles grænse skal have forskellig farve. Lande der ikke grænser op til hinanden må gerne få samme farve. Ud fra et landkort kan vi konstruere to grafer, der begge er planare. At de er planare betyder at de kan tegnes i planen uden kanter der krydser hinanden. Den ene af disse grafer har grænserne som kanter og punkterne er de steder hvor tre eller flere lande mødes. Den anden graf har et punkt for hvert land med en kant mellem to punkter hvis de tilsvarende lande har en fælles grænse. Firefarve problemet kan nu formuleres som et grafteoretisk problem: kan 5
6 punkterne i en vilkårlig planar graf tildeles farver sådan at to punkter, der er forbundet med en kant, har forskellig farve. Dette problem har beskæftiget mange matematikere gennem det tyvende århundrede og i sidste halvdel af nittende århundrede. Deres arbejde har resulteret i mange delresultater. Men det endelige bevis for firefarve sætningen har gjort intensivt brug af computere til at analysere utallige tilfælde. Desuden bygger beviset på de mange tidligere delresultater. Sætningen blev første gang bevist i Et mere gennemarbejdet bevis kom i I 1976 var det helt nyt at man kunne bevise matematiske sætninger ved brug af computere. Beviset førte derfor til en debat om hvad man forstår ved et bevis: skal det f.eks. kunne læses af mennesker. Som eksempel på en sætning, der blev bevist tidligt uden brug af computer kan nævnes at landkort kan farves med to farver hvis og kun hvis grafen, der består af grænser, har en Euler-kreds. 4 Korteste veje. Et af de mest grundlæggende emner i kombinatorisk optimering er korteste vej problemet. Dette har en umiddelbar anvendelse i trafikken hvis man skal finde en korteste rute fra punkt A til punkt B. Men der mange andre anvendelser af korteste veje. F.eks. indgår problemet i løsningen af visse andre optimeringsproblemer, som f.eks. det kinesiske postbuds problem. I visse anvendelser vil længden af en kant altid være et positivt tal, men i andre anvendelser tillader man negative kant-længder. Der findes et stort antal algoritmer til bestemmelse af korteste veje. Hvilken algoritme, der er bedst egnet til en konkret anvendelse afhænger blandt af om der er kanter med negativ længde. 5 Lineær programmering. Lineær programmering kan delvis opfattes som et kombinatorisk optimeringsproblem, idet vi ved at maksimum/minimum skal findes i et af de endeligt mange hjørnepunkter. Men grunden til at lineær programmering nævnes her er at en del af de optimeringsproblemer, der vedrører grafer, kan formuleres som lineære programmerings-problemer. Det gælder f.eks. korteste vej. Betragt en orienteret graf med kanter 6
7 e 1,..., e m med længder henholdsvis l 1,..., l m. Vi skal finde en korteste vej fra punktet A til punktet B. Vi indfører variable x 1,..., x m, der skal angive hvilke kanter vejen går gennem. Hvis vejen går gennem kanten e i så sætter vi x i = 1 og ellers x i = 0. Følgende vil så være opfyldt: For ethvert i = 1,..., m er 0 x i 1. For ethvert punkt v i grafen, undtagen A og B er x i = x i, i Ind(v) i Ud(v) hvor der i første sum summeres over de tal i, der opfylder at kanten e i er orienteret ind i v og i anden sum summeres over tal i, der opfylder at e i er orienteret ud fra v. Desuden er og x i = 0, i Ind(A) x i = 1, i Ind(B) x i = 1 i Ud(A) x i = 0. i Ud(B) Længden af vejen er x 1 l x m l m. Vi skal altså minimere funktionen x 1 l x m l m under betingelsen at overstående uligheder og ligninger skal være opfyldt. Egentlig er der det yderligere krav at alle variable x i skal have en heltallig værdig. Problemet er altså et heltals lineært programmeringsproblem. Heltals lineære programmeringsproblemer er i almindelighed vanskelige. Men i det konkrete problem kan man overbevise sig om at der en optimal løsning til vores lineære programmerings problem hvor alle x i er hele tal altså enten 0 eller 1. 6 Transport i netværk. Antag vi skal transportere nogle varer fra A til B gennem et netværk (altså: en orienteret graf med vægte på kanterne). Vægten på en kant skal i dette tilfælde opfattes som en kapacitet af kanten (altså: det største antal varer, der kan kan transporteres gennem denne kant). En sådan transport kaldes 7
8 en strømning. Det skal naturligvis være sådan at antal varer, der strømmer ind i et punkt v er lig med antal varer, der strømmer ud af v, undtagen hvis v = A eller v = B. Vi skal nu bestemme det største antal varer, der kan transporteres fra A til B. Der findes flere gode algoritmer til at finde en maksimal strømning. Nogle af dem skal undervejs bestemme korteste veje. Hvis den maksimale strømning fra A til B har værdi s (Der sendes altså s varer fra A til B.) så kan man bevise at der findes en mængde af kanter hvis samlede kapacitet er s og som opfylder at hvis man fjerner dem fra grafen så er der ikke længere nogen vej fra A til B. Dette resultat kaldes max-flow-min-cut sætningen. Max-flow-min-cut sætningen er også et fundamentalt resultat i det teoretiske studium af grafers struktur: Hvis alle kanters kapacitet sættes til 1, udtaler sætningen sig om grafens sammenhængsgrad og sætningen kaldes i dette tilfælde Mengers sætning. Strømning i netværk er et problem, der naturligt kan formuleres som et lineært programmerings problem. Max-flow-min-cut sætningen kan da opfattes som et korollar til dualitetssætningen i lineær programmering. Strømning har har også anvendelse i forbindelse med optimale parringer i to-delte grafer (se afsnit 9, nedenfor) og i forbindelse med det kinesiske postbuds problem i orienterede grafer. 7 Hamilton-kredse og den handelsrejsendes problem. En Hamilton-kreds i en graf er en kreds, der besøger hvert punkt præcis én gang bortset fra at startpunkt=slutpunkt. Definitionen af en Hamiltonkreds minder altså lidt om definitionen af en Euler-kreds. Der er dog en væsentlig forskel når vi går dybere i teorien. Der findes et simpelt kriterium, der afgør om en graf har Euler-kreds. Men det er meget svært at afgøre om en graf har en Hamilton-kreds. Antag vi har en vægtet ikke-orienteret graf; helst med en kant mellem hvert par af punkter så vi er sikre på at der mange Hamilton-kredse. Så vil vi gerne finde den korteste Hamilton-kreds i grafen. Dette kaldes den handelsrejsendes problem, idet vi forestiller os en handelsrejsende, der skal besøge et antal byer. Der er uden betydning i hvilken rækkefølge byerne besøges, men vi vil gerne gøre det så den samlede rejse bliver så kort som 8
9 muligt. Det forudsættes at vi kender afstanden mellem alle par af byer. Det samme problem optræder i mange andre sammenhænge. Man kan f.eks. forestille sig en industrirobot, der skal bore huller på bestemte punkter i en genstand. Den skal helst bevæge sig kortest muligt og vende tilbage til startpositionen så den er klar til et nyt emne. Der kendes ikke nogen effektiv algoritme til løsning af den handelsrejsendes problem. Man kunne forsøge at konstruere samtlige Hamilton-kredse i grafen og beregne længden af hver af dem. Men antallet af Hamilton-kredse er alt for stort til det er en realistisk fremgangsmåde, undtagen i små grafer. Men der findes hurtige algoritmer, der ikke finder optimal løsning, men en Hamilton-kreds der kun er lidt længere end den optimale. F.eks. findes der algoritmer, hvor man kan bevise at den konstruerede Hamiltonkreds er højst 2 eller 3 gange så lang som den optimale. Disse algoritmer bygger på 2 minimum vægt udspændende træer, parringer og Euler-kredse. 8 Minimum vægt udspændende træer. Et udspændende træ i en ikke-orienteret graf består af alle grafens punkter og en delmængde af dens kanter, udvalgt sådan at der er veje mellem alle par af punkter, men er ingen kredse. Et træ altså en minimal måde at forbinde punkterne. Der kan være mange forskellige udspændende træer i en graf. Hvis grafen har n punkter og der er en kant mellem hvert par af punkter, så er der præcis n n 2 udspændende træer. For andre grafer kan antallet f.eks. udtrykkes som determinanten af en bestemt matrix. Et minimum vægt udspændende træ i en vægtet graf er et udspændende træ, hvor summen af vægtene af træets kanter er minimalt. Til trods for at antallet af udspændende træer i en graf kan være meget stort, så findes der faktisk effektive algoritmer, der finder det træ som har mindst vægt. Minimum vægt udspændende træer finder anvendelse hvor skal forbinde et antal punkter så billigt som muligt. Der er også anvendelser f.eks. ved opdeling af en mængde af objekter i grupper af objekter, der ligner hinanden. 9 Parring. En parring i en ikke-orienteret graf er en inddeling af punkterne i par af to punkter, som er forbundet med en kant. Hvert punkt er i højst (evt. præcis) 9
10 Figure 4: Petersen grafen fra figur 3 med en parring. Kanter tegnet med en tyk linie betyder at punkterne er parret. I dette eksempel er alle punkter parret. ét af disse par. I optimering er man tit interesseret i bestemme en parring i en vægtet graf med størst mulig samlet vægt (eller mindst mulig samlet vægt). I mange tilfælde har grafen to typer af punkter og hver kant forbinder to punkter af forskellig type. F.eks.: visse punkter svarer til jobs, der skal udføres og de andre punkter svarer til personer. En kant mellem et job og en person angiver at personen kan udføre dette job. Kantens vægt kan være prisen for udførelsen. Man er så interesseret i få alle jobs udført (af forskellige personer) sådan at prisen bliver så lille som muligt. Der findes særlige algoritmer, der finder en optimal parring i disse såkaldt to-delte grafer. Man er også interesseret i at finde en optimal parring i generelle grafer. Altså grafer der ikke er to-delte. Dette har f.eks. anvendelse i forbindelse med løsning det kinesiske postbuds problem og den handelsrejsendes problem. Der findes også en algoritme, der løser problemet generelle grafer, men den er naturligvis mere kompliceret end den algoritme, der kun skal løse problem for to-delte grafer. 10 Projekterne Eulerkredse og det kinesiske postbuds problem Hamiltonkredse og den handelsrejsendes problem 10
11 Figure 5: En todelt graf med parring. Eksempel: punkter til venstre er personer der vil donere en nyre. Punkter til højre er patienter med behov for ny nyre. En kant angiver at donerens nyre er egnet til patienten. Parringen viser hvordan man vælger at foredele nyrerne. Strømning i netværk Farvelægning: firefarve problemet Parring Udspændende træer References [1] Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, seventh edition, McGraw-Hill
P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mere.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereHamilton-veje og kredse:
Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereAf jord er vi kommet
Evaluering af Matematik for 5 og 6 kl.: Af jord er vi kommet Heden, Samsø, Ulla Fredsøe Undervisningsplan Emne: Af jord er vi kommet Fag: Matematik 6. kl. Forløbsperiode: August September 2013 Begrundelse
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereGrafer / Otto Knudsen 20-11-06
Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A
Læs mereUndersøgelser i nyere geometri
Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereElektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005
Elektriske netværk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereTalteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning
1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mere18 Multivejstræer og B-træer.
18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereRegler. Dansk Arbejder Idrætsforbund. En verden af gode oplevelser www.dai-sport.dk. Dansk Arbejder Idrætsforbund
Dansk Arbejder Idrætsforbund En verden af gode oplevelser www.dai-sport.dk Regler Dansk Arbejder Idrætsforbund Idrættens Hus, Brøndby Stadion 20 2605 Brøndby Tlf. 43 26 23 84 Fax: 43 26 23 86 E-mail: dai@dai-sport.dk
Læs mereBjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365
Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereDansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2
. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og har lært om linjer på formen f(x) = ax + b. Han har prøvet at tegne nogle linjer på papir for at finde ud af hvilke koordinater
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Ny ordning. Forberedelsesmateriale. ny-stx191-mat/a
Matematik A Studentereksamen Ny ordning Forberedelsesmateriale ny-stx191-mat/a-24042019 Onsdag den 24. april 2019 Forberedelsesmateriale til stx-a MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige
Læs mereBONUSMATERIALE TIL INSTITUTIONER Hvem er du? Spil VÆR LYDHØR, OPMÆRKSOM OG EMPATISK
BONUSMATERIALE TIL INSTITUTIONER Hvem er du? Spil Spillet, der spilles i grupper på fire medarbejdere, indledes med, at de 34 spillekort lægges i rækkefølge. Nu trækkes et kort ad gangen, og spørgsmålet
Læs mereEt generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige
Læs mereMål, undervisningsdifferentiering og evaluering
Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering Artikel af pædagogisk konsulent Lise Steinmüller Denne artikel beskriver sammenhænge mellem faglige mål, individuelle mål og evaluering, herunder evalueringens
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter
Læs mereByen som geotop. 1. Indledning. 2. Sammenhængende beskrivelse af Geotopen
Byen som geotop 1. Indledning I det 20. århundrede er befolkningen i verdens byer vokset fra 220 mio. til 2,8 mia. og 2008 markerer tidspunktet, hvor mere end halvdelen af verdens indbyggere bor i byer.
Læs mereMatematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder
14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig
Læs mereBilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.
Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen
Læs mereMatematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen
avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereDMG Bachelor Maj/Juni 2002
Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING... 2 1.1 PROBLEMFORMULERING... 2 1.2 FORMÅL... 2 1.3 MÅL... 2 2 PROBLEMANALYSE... 3 2.1 INDLEDNING... 3 2.2 TRANSPARENTE BROER I COMPUTERNETVÆRK... 3 2.3 ROUTERE I COMPUTERNETVÆRK...
Læs mereAppendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala
Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereP (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereJEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer
JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereLEKTION 22 FARVEBEHANDLING
LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer
Læs mereFFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015
FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål
Læs mereEvaluering Opland Netværkssted
Evaluering Opland Netværkssted November 2015 1 Indholdsfortegnelse Indhold Evalueringsrapportens struktur... 3 Intro til spørgeskemaundersøgelsen... 3 Antal brugere gennem Oplands første år... 3 Evaluering
Læs mereBilag 6. Transskription af interview med Emil
Bilag 6 Transskription af interview med Emil Alder? 18 år gammel Hvilket klassetrin? Jeg går i 2.g Dig med tre ord? Engageret målrettet, det ved jeg ikke hvad det tredje skulle være. Pligtopfyldende? Hvad
Læs mereMindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs merePAS PÅ DE SMÅ I TRAFIKKEN. Opgaver til dig og dine forældre
PAS PÅ DE SMÅ I TRAFIKKEN Opgaver til dig og dine forældre Det her er Arthur. Han er 6 år og lige begyndt i skole. Han har trænet skolevejen sammen med sin mor og far. Men der er stadig meget, han ikke
Læs mereHvem skal samle handsken op?
85 Hvem skal samle handsken op? Henrik Peter Bang, Christianshavns Gymnasium, Niels Grønbæk, Institut, Claus Richard Larsen, Christianshavns Gymnasium, Kommentar til Udfordringer ved undervisning i enzymer,
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11
Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ
Læs mereNogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.
Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter
Læs mereXM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereÅrsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013
Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Undervisere: Marianne Kvist (MKV) & Asger Poulsen (APO) Omfang: mandag kl. 10 00 11 20, onsdag kl. 10 00 11 20 4 lektioner pr. uge Matematikken i 6.c
Læs mereSpanielskolens Grundtræning 7-12 måneder.
s Grundtræning 7-12 måneder. Indledning. Vi har under hvalpe træningen lagt vægt på at præge hvalpen i rigtig retning og forberede den til dens fremtidige arbejdsopgaver. Vi skal nu i gang med at indarbejde
Læs mereÅrets overordnede mål inddelt i kategorier
Matematik 1. klasse Årsplan af Bo Kristensen, Katrinedals Skole Årets overordnede mål inddelt i kategorier Tallenes opbygning og indbyrdes hierarki Tælle til 100. Kende tælleremser som 10 20 30, 5 10 15,
Læs mereLyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys!
Og der blev lys! OPGAVEFORMULERING:... 2 DESIGN AF SEKVENS:... 3 PROGRAMMERING AF PEEL KREDS... 6 UDREGNING AF RC-LED CLOCK-GENERAOR:... 9 LYSDIODER:... 12 KOMPONENLISE:... 13 DIAGRAM:... 14 KONKLUSION:...
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel
I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse på RUC
Den Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse på RUC 1 Den Naturvidenskabelige Bacheloru Vil du bygge bro mellem to naturvidenskabelige fag? Eller har du lyst til at kombinere med et fag uden for naturvidenskab?
Læs mereFaglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.
Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte
Læs mereNiels Johnsen Problembehandlingskompetencen
Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen Kursus arrangeret af UCC og Danmarks Lærerforening Ringsted 18.9.2015 Matematiske problemer matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
Læs mereEn frafalden matematikers hverdag
En frafalden matematikers hverdag S.L. Gadegaard Department of Economics and Business Economics Aarhus BSS, Aarhus University 12. April 2019 Sune L. Gadegaard Alumnedag 12. April 2019 1 / 22 Hvem er jeg
Læs mereHvad er årsagen til, at du ikke forventer at afslutte din uddannelse denne sommer?
Uddannelsesevaluering 2012 Kandidat i Kommunikation (medier) Hvad er årsagen til, at du ikke forventer at afslutte din uddannelse denne sommer? I hvilken grad har uddannelsen levet op til dine forventninger?
Læs mereS o l r ø d G y m n a s i u m
S o l r ø d G y m n a s i u m HF Velkommen til HF på Solrød Gymnasium På HF-uddannelsen får du en almen, gymnasial uddannelse, som vi på Solrød Gymnasium har valgt at tone. Det gør vi igennem fagpakker,
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereOptimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet
Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereRUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK
98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mere