Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a Torsdag den 1. august 010 kl

2 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, f.eks. af typen: 1 OP = t + 3, hvor t R, og hvor OP er stedvektor til punktet P = (, xy), som ligger på linjen og er afhængig af parameteren t. Vi kan betragte punktet P= ( x, y), som en partikel, der over tid gennemløber linjen. Dvs partiklens position på linjen til tiden t er bestemt ved stedfunktionen 1 t st () = 3+ t, hvor t R. Fx er partiklens position til tiden t = beskrevet ved stedvektoren 1 0 s() = = Dvs partiklen befinder sig på y -aksen i punktet P = (0,7), når t =. Tilsvarende kan partiklens position bestemmes ved en stedvektor for enhver værdi af t, således at partiklen gennemløber hele linjen, når t gennemløber de reelle tal. Nedenfor ses parameterkurven (dvs linjen) for stedfunktionen s() t, hvor partiklens position til forskellige tidspunkter er indtegnet sammen med de tilhørende stedvektorer. Tabellen til højre beskriver partiklens position til en række tidspunkter. Figur 1 Ovenstående kan generaliseres til at omfatte meget andet end linjer, idet stedfunktionen for en partikel, der gennemløber en given parameterkurve over tid er defineret ved Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

3 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning st () x() t = yt (), hvor t R, og funktionerne x( t) og yt ( ) er reelle funktioner. Disse kaldes koordinatfunktioner for stedfunktionen. Parameterkurven for s() t består af de punkter, der har s() t som stedvektor, når t gennemløber de reelle tal eller et interval i de reelle tal. Eksempel 1 Vi betragter parameterkurven for stedfunktionen 9 t st () = 3 t 4t 1 4, hvor t R. Når man tegner parameterkurver i et matematikprogram, så skal man typisk angive skridtlængden for parameteren t samt det interval, parameteren skal gennemløbe. Parameterkurver er helt glatte kruver, ligesom grafer for reelle funktioner. Men hvis den skridtlængde, man vælger, er for lang, så vil kurven i nogle programmer vises, som var den sammensat at linjestykker. I disse tilfælde må man ændre skridtlængden, så kurven fremstår glat. På figuren nedenfor har vi anvendt skridtlængde 0.1, og vi har tegnet kurven i parameterintervallet 5 t 5. På figur ses de beregnede punkter, og på figur 3 fremstår parameterkurven sammenhængende. Desuden ses på begge figurer stedvektorerne til 3 udvalgte punkter. Figur Figur 3 Vi bestemmer parameterkurvens skæringspunkter med akserne. Stedfunktionen har koordinatfunktionerne x() t 9 = t og yt= t t. 1 3 () 4 4 Vi bestemmer skæringspunkter med x -aksen, idet vi sætter y -koordinatfunktionen lig med nul, dvs vi løser ligningen 1 3 t 4t 0 4 =, 1 3 og med CAS, dvs solve( t 4t= 0, t), får vi 4 t= 4 t= 0 t= 4. Dvs parameterkurven skærer x -aksen, når t = 4, t = 0 og når t = 4. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

4 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Vi bestemmer x -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i x - koordinatfunktionen. Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med x -aksen t = 0 x (0) = 9 P 0 = (9,0) t = 4 x( 4) = 7 P 4 = ( 7,0) t = 4 x (4) = 7 P 4 = ( 7,0) Heraf ses, at punktet ( 7,0) er et dobbeltpunkt, hvilket også fremgår af figuren ovenfor. Skæringspunkterne med y -aksen bestemmes ligesom ovenfor, nu er det jo blot x -koordinatfunktionen, der skal være nul. Dvs vi løser ligningen 9 t 0 =, og med CAS, dvs solve(9 t = 0, t), får vi t= 3 t= 3. Dvs parameterkurven skærer y -aksen, når t = 3 og t = 3. Vi bestemmer y -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i y -koordinatfunktionen. Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med y -aksen t = 3 y( 3) = 5.5 P 3 = (0,5.5) t = 3 y( 3) = 5.5 P 3 = (0, 5.5) Nedenfor er alle 5 skæringspunkter indtegnet. Figur 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 3 af 14

5 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 1 Tegn parameterkurven og gennemfør ovenstående beregninger i dit CAS-program. Øvelse På figuren ses parameterkurven for stedfunktionen t st () = t t, hvor t R. Parameterkurven er en parabel. Figur 5 Beregn koordinatsættene til udvalgte punkter, hvor 1 t 3, og benyt dette til at argumentere for at parablens gennemløb går fra parablens venstre gren ned mod toppunktet videre op ad parablens højre gren som vist på figuren. Øvelse 3 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 4 4t t st () = 3, hvor t R. t 3t b) Bestem koordinatsættene for de punkter, hvori parameterkurven skærer koordinatsystemets akser. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 4 af 14

6 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Hastighedsvektor og tangent Vi definerer en hastighedsfunktion vt () x () t vt () = s () t = y () t, hvor t R til stedfunktionen x() t st () = yt (), hvor t R, ved og hvor x () t og y () t er koordinatfunktionernes afledede funktioner. Dvs når man differentierer en stedfunktion ved at differentiere hver koordinatfunktion for sig, så får man hastighedsfunktionen. Hastighedsfunktionen vt () kaldes også for hastighedsvektoren i punktet med parameterværdien t, og man kan vise, at hvis den ikke er nulvektoren, er den retningsvektor for parameterkurvens tangent i punktet med parameterværdi tiden t. Eksempel : En stedfunktion er givet ved 3 4t t st () =, hvor t R. 4 t t Koordinatfunktionerne er her x() t 4t t 3 = og y() t 4t t =. De afledede af koordinatfunktionerne er x () t = 8t 3t og y () t = 4 t. Hastighedsfunktion er således givet ved 8t 3t vt () =, hvor t R. 4 t Vi bestemmer hastighedsvektoren til parameterkurven i punktet, hvor parameterværdien er t = 1, dvs i punktet P1 = ( x(1), y(1)) = (3,3). Vi indsætter derfor t = 1 i hastighedsfunktionen, og vi får x (1) 5 v(1) = = y (1). Hastighedsvektoren i punktet P 1 = (3,3) er således 5 v(1) =. Vi vil nu bestemme det punkt, hvori hastighedsvektoren er vandret, dvs det punkt, hvori parameterkurven har vandret tangent. Hastighedsvektorens koordinatfunktioner er () = 8 3 og y () t 4 x t t t = t. Hastighedsvektoren er netop vandret, når dens lodrette udstrækning er nul, dvs når y - koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen y () t = 0, og med CAS, dvs solve( y ( t) = 0, t), får vi t =. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 5 af 14

7 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Dvs hastighedsvektoren er vandret, når t =, dvs i punktet P = ( x(), y()) = (8,4). Hastighedsvektorens koordinater er x () 4 v() = = y () 0. Vi vil nu bestemme de punkter, hvori hastighedsvektoren er lodret, dvs de punkter, hvori parameterkurven har lodret tangent. Hastighedsvektoren er netop lodret, når dens vandrette udstrækning er nul, dvs når x -koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen x () t = 0 og med CAS, dvs solve( x ( t) = 0, t), får vi t= 0 t= Dvs hastighedsvektoren er lodret, når t = 0, og når t = 3, dvs i punkterne P0 = ( x(0), y(0)) = (0,0) og P = ( x( ), y( )) = (, ) = (9.48,3.56) De to hastighedsvektorer har altså koordinaterne x (0) 0 v(0) = = y (0) 4 og x () 0 0 v() = = = ( ) y 3 3 De tre hastighedsvektorer er alle tegnet ind på parameterkurven nedenfor. Figur 6 Vi ser, at parameterkurven har et dobbeltpunkt i (0,0). I dette punkt er der således både en lodret tangent og en skrå tangent. Vi bestemmer den skrå hastighedsvektor, idet vi bestemmer den anden parameterværdi i dobbeltpunktet ved at løse ligningen 0 st () = 0 og med CAS, dvs 0 solve( s( t) =, t) 0, får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 6 af 14

8 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning t= 0 t= 4. Dvs den anden parameterværdi er t = 4, og den skrå hastighedsvektor i dobbeltpunktet bliver da x (4) 16 v(4) = = y (4) 4. Nedenfor er også denne hastighedsvektor tegnet ind sammen med de vandrette og de lodrette hastighedsvektorer. Figur 7 Eksempel 3 En stedfunktion er givet ved t 3 st () = 3, hvor t R. t 4t Parameterkurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t =, dvs i punktet 3 Q= ( 3, 4 ) = Q(1,0). Vi tegner parameterkurven Figur 8. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 7 af 14

9 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Vi vil bestemme vinklen mellem parameterkurvens to tangenter i dobbeltpunktet. Først bestemmer vi hastighedsvektorerne. Hastighedsfunktion er givet ved t vt () = 3t 4, hvor t R. Hastighedsvektorerne til parameterkurven i dobbeltpunktet, hvor parameterværdierne er t = og t =, har derfor koordinaterne ( ) 4 v( ) = = 3( ) v() = = Vi kan bestemme vinklen mellem disse to hastighedsvektorer ved den sædvanlige formel til beregning af vinkler mellem vektorer, dvs v( ) v() cos( θ) =. v( ) v() Vi skal altså bestemme hastighedsvektorernes længder. Vi beregner længden af vektorerne ved den sædvanlige længdeformel, dvs v = + = ( ) ( 4) 8 80 v = + = () Vi indsætter nu i vinkelformlen, dvs cos( θ) = = og dermed er vinklen mellem vektorerne θ = 53,1.. Begge hastighedsvektorer samt vinklen imellem dem er tegnet ind på parameterkurven nedenfor. Figur 9 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 8 af 14

10 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Bemærk, at hastighedsvektorens retning er afhængig af den måde, hvorpå punktet gennemløber kurven, når t gennemløber de reelle tal. Vi bestemmer en ligning for hver af tangenterne, l 1 og l, idet hastighedsvektorerne er retningsvektorer for tangenterne. Dvs tværvektorerne til disse er normalvektorer for tangenterne. Vi får da, at normalvektoren for 8 l 1 er n 8 l = 1 4, og normalvektoren for l er n l = 4. Vi ved at dobbeltpunktet Q(1,0) ligger på begge tangenter, så derfor bliver ligningerne for de to tangenter l : 8( x 1) + ( 4)( y 0) = 0 1 8x 4y+ 8= 0 og l1 : 8( x 1) + 4( y 0) = 0. 8x+ 4y+ 8= 0 Nedenfor ses parameterkurven, hvor de to tangenter er indtegnet. Figur 10 Øvelse 4 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 3 t 3t st () =, t 1 hvor t R. b) Bestem parameterværdien i de punkter på kurven, hvori der enten er vandret eller lodret tangent, og bestem koordinatsættet til disse punkter. Kurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = 3 og t = 3. c) Bestem de to hastighedsvektorer i dobbeltpunktet, og bestem vinklen imellem disse. d) Bestem ligningerne for hver af de to tangenter i dobbeltpunktet. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 9 af 14

11 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Cirkler som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge cirkler som parameterkurver. Eksempel 4 På figuren nedenfor ses stedfunktionen for parameterkurven cos( t) st () =, hvor 0 t π. sin( t) Figur 11 Parameterkurven er en enhedscirkel, dvs en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Parameterkurven fremkommer ved, at vi for alle værdierne t i parameterintervallet 0 t π bestemmer stedvektoren og afsætter det tilhørende punkt. Nedenfor ses de tre stedvektorer for parameterværdierne π π 5π t =, t = og t = Figur 1 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 10 af 14

12 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 5 Bestem tre andre punkter på enhedscirklen. Stedfunktionen for cirkler med en anden radius og et andet centrum, får vi ved at ændre på koordinatfunktionerne i stedfunktionen. Øvelsen nedenfor behandler netop dette. Øvelse 6 Parameterkurven for stedfunktionen 3cos( t) st () = +, hvor 0 t π, 3sin( t) 4 er en cirkel. a) Tegn parameterkurven, og bestem centrum og radius for denne cirkel. Undersøg nu stedfunktionen rcos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π, rsin( t) y0 ved på skift at lade x 0, y0 og r variere. b) Sæt x 0 = og y 0 = 4. Lad r variere. Hvilken betydning har r for parameterkurvens udseende? c) Sæt x 0 = og r = 3. Lad y 0 variere. Hvilken betydning har y0 for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y 0 = 4 og r = 3. Lad x 0 variere. Hvilken betydning har x0 for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 7 a) Bestem stedfunktionen for en cirkel med radius på 5 og centrum i (3,7). b) Tegn cirklen. Øvelse 8 Betragt stedfunktionen 3cos( t) st () = +, hvor 0 t π. 3sin( t) 4 π a) Bestem hastighedsvektoren for t =. 3 b) Tegn parameterkurven og den fundne hastighedsvektor. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 11 af 14

13 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Ellipser som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge ellipser som parameterkurver. Eksempel 5 Figuren viser parameterkurven for stedfunktionen 5cos( t) 3 st () = +, hvor 0 t π. sin( t) 4 Figur 13 Parameterkurven kaldes en ellipse med centrum i ( 3,4 ), storakse a = 5 = 10og lilleakse b = = 4. Øvelse 9 Undersøg stedfunktionen acos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π, bsin( t) y0 ved på skift at lade x 0, y 0, a og b variere. a) Sæt x 0 = 3, y 0 = 4 og b =. Lad a variere. Hvilken betydning har a for parameterkurvens udseende? b) Sæt x 0 = 3, y 0 = 4 og a = 5. Lad b variere. Hvilken betydning har b for parameterkurvens udseende? c) Sæt x 0 = 3, a = 5 og b =. Lad y 0 variere. Hvilken betydning har y0 for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y 0 = 4, a = 5 og b =. Lad x 0 variere. Hvilken betydning har x0 for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 10 a) Bestem en stedfunktion for en ellipse med centrum i ( 1,), vandret storakse på 14 og lodret lilleakse 6. b) Tegn parameterkurven for ellipsen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

14 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i (0,0) og storakse a samt lilleakse b (se figur), hvor a> b. Ellipsens brændpunkter, F1 og F, er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med centrum P= (0, b), og radius a. Figur 14 Øvelse 11 Vis, at afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er 1 = =, hvor a b OF OF a b >. Øvelse 1 Betragt en ellipse med centrum i C= ( x0, y0), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b. Vis, at denne ellipse har brændpunkterne F = ( x a b, y ) og F = ( x + a b, y ). 0 0 Hvis P= ( x, y) er et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne PF1 og PF brændstrålerne fra P. Øvelse 13 a) Bestem F 1 og F for ellipsen i eksempel 5. b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven. c) Bestem længden af brændstrålerne fra P. d) Undersøg ved at variere P= ( x, y), hvad der gælder for afstanden PF1 + PF. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 13 af 14

15 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 14 Vi ser igen på en ellipse med centrum i C= ( x0, y0), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b, som jo har stedfunktionen acos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π. bsin( t) y0 Lad P= ( x, y) være et punkt på ellipsen. Vis, at PF1 + PF = a, når F 1 og F betegner ellipsens brændpunkter. Øvelse 15 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 5. a) Tegn ellipsen, og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven. b) Tegn brændstrålerne fra P, og tegn tangenten til parameterkurven i punktet P. c) Bestem vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur). Når en lysstråle rammer en tangent til en kurve i et punkt P, så vil den vinkel lysstrålen rammer tangenten med være den samme som den vinkel lysstrålen forlader tangenten med. Dette udnyttes i en nyrestensknuser, hvor man knuser nyresten med ultralyd dvs uden operative indgreb. Ultralydskilden er placeret i en ellipses ene brændpunkt, mens patientens nyre placeres i det andet brændpunkt. Herefter sendes ultralyd ud mod ellipsen, hvor det reflekteres og sendes præcist over i det andet brændpunkt, hvor det rammer nyrestenen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 14 af 14

16 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs10-matn/a Torsdag den 1. august 010 kl

17 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

18 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 En vektor a er givet ved 8 a =. 6 a) Bestem længden af a. b) Bestem parameterfremstillingen for den linje l, der har a som retningsvektor og går gennem punktet P = (7,3). Opgave To rette linjer l og m er givet ved l : y = x+ 8 og m : y= 3x+ 8. a) Bestem koordinatsættet til det punkt på linjen l, hvor x = 7. b) Bestem skæringspunktet mellem l og m. Opgave 3 En cirkel har centrum i C (,3) og radius r = 5. a) Bestem en ligning for cirklen. Opgave 4 På internettet findes en on-line adressebog, som har et stærkt stigende antal brugere. I en model antages det, at antallet af brugere af kan beskrives ved funktionen Nt ( ) = ,084 t, hvor N( t) angiver antallet af brugere til tiden t, og t angiver tiden målt i måneder efter 1. januar 003. a) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i antallet af brugere af

19 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side af 6 Opgave 5 Tre forskellige vækstmodeller f, g og h er givet ved f( x) = x+ 3, gx= ( ) 3 0,8 x og 5 På figuren nedenfor er graferne for f, g og h skitseret. hx ( ) 3 0,5 = x. () B A C 1 1 (1) a) Bestem hvilken af de tre grafer A, B og C, der hører til hver af de tre funktioner f, g og h. Begrund dit svar. Opgave 6 På figuren ses grafen for en funktion f. Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i intervallet [ 1;] en punktmængde M, der har et areal. Det oplyses, at 4 1 f( x) dx= 5, og at () 4 f( x) dx=,6. M -1 4 (1) a) Bestem arealet af M.

20 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 3 af 6 Opgave 7 En funktion f har forskriften 3 f() x = x 3x + 4. a) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 8 a) Bestem integralet 5 4 x 3 5x e + dx. Opgave 9 På figuren nedenfor ses en model af en rektangulær have på 00 m. Haven skal indhegnes, således at der er hæk på de tre sider og stengærde på den sidste side. Sidelængderne betegnes som vist på figuren. Stengærde h x Prisen for stengærdet er 900 kr. pr. m, og prisen for hækken er 300 kr. pr. m. a) Bestem den samlede pris for indhegningen udtrykt ved x. b) Bestem x, så den samlede pris for indhegningen er mindst mulig. Besvarelsen afleveres kl

21 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 4 af 6 Delprøve Kl Opgave 10 I tabellen nedenfor ses udbyttetabet i vårsæd ved givne ukrudtsmængder. Ukrudtsmængde (målt i hkg pr. ha.) Udbyttetab (målt i hkg pr. ha.) 1,88 3,05 4,05 4,95 5,79 I det følgende antages det, at udbyttetabet som funktion af ukrudtsmængden kan beskrives ved en funktion af typen a ux ( ) = bx, hvor x angiver ukrudtsmængden (målt i hkg pr. ha.), og uxangiver ( ) udbyttetabet (målt i hkg pr. ha.). a) Bestem a og b. b) Bestem ændringen i udbyttetabet, når ukrudtsmængden stiger med10%. Kilde: Publikation fra Miljøministeriet om ukrudt. Opgave 11 En stedfunktion er givet ved 3 t 3t+ 4 st () =, hvor t R. t + 3 a) Tegn parameterkurven, og bestem koordinatsættet til det punkt på kurven, hvori t = 3. b) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter på parameterkurven, hvor tangenten er lodret. Opgave 1 En ellipse er bestemt ved stedfunktionen 7cos( t) 1 st () = + 4sin( t) 3, hvor t R. a) Angiv ellipsens storakse og lilleakse samt koordinatsættet for ellipsens centrum, og bestem ellipsens brændpunkter.

22 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 5 af 6 Opgave 13 På figuren nedenfor ses et skævt tetraeder indtegnet i et koordinatsystem, således at hjørnerne er markeret ved punkterne O, A, B og C. Disse har koordinaterne O = (0,0,0), A = (10,18, 1), B = (13,0,0) og C = (13,8,11). z C O y x B A a) Bestem ligningen for den plan, α, der indeholder trekant OBC. Den plan β, der indeholder trekant ABC, har ligningen 06x+ 33y 4z 678 = 0. b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. Opgave 14 Når en varmluftballon svæver, så styres svævehøjden af temperaturen af luften i ballonen. I en model antages det, at ballonens højde over jorden kan beskrives ved funktionen π f ( x) = sin x 00, 0 x 350, hvor x angiver tiden i minutter, og f ( x ) angiver højden over jorden målt i meter. a) Tegn grafen for f, og bestem ballonens maksimale og minimale højde over jorden under flyvningen. b) Bestem f (00), og giv en fortolkning af dette resultat.

23 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 6 af 6 Opgave 15 Ved et sygdomsudbrud i Sydamerika vurderes det, at udviklingen af antal smittede som funktion af tiden t, målt i uger, kan beskrives ved differentialligningen 7 ( ) =,96 10 ( ) ( ( )), S t S t S t hvor St () er antal smittede til tiden t. Det oplyses, at der fra starttidspunktet er 5000 smittede personer. a) Bestem forskriften for S. b) Tegn grafen for funktionen S i et passende koordinatsystem, og beskriv, hvad tallet betyder for udviklingen i antal smittede ifølge modellen. Opgave 16 I den norske Tippeligaen i fodbold vandt Rosenborg mesterskabet både i 009 og 010. Undervejs i 009 sæsonen vandt de 0 kampe ud af de 30 kampe, som sæsonen bestod af. I den netop overståede 010 sæson lå Rosenborg nr. 1 pr. 9/8 010 og havde vundet 15 ud af de spillede kampe. En norsk avis udtalte dengang, at Rosenborg i 010 resultatmæssigt var endnu bedre end i sæsonen 009. a) Opstil en hypotese, og undersøg på et signifikansniveau på 5 % om, der er belæg for udtalelsen fra den norske avis. Opgave 17 t Parameterkurven for stedfunktionen st () =, hvor t R, er en parabel, der er t symmetrisk omkring x -aksen som vist på figuren. Punktet F = (1,0) kaldes parablens brændpunkt, og FP kaldes brændstrålen, hvor P er et vilkårligt punkt på parablen. På figuren ses tangenten til grafen i punktet P samt linjen l, der går gennem P og er parallel med x -aksen. Vinklen mellem tangenten og linjen l kaldes v, og vinklen mellem tangenten og brændstrålen FP kaldes w. P v l w 1 F 1 a) Bestem v og w, når P = (4,4), og vis, at v= w uanset, hvorpå parablen P ligger.

24 STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT 010/011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til den skriftelige prøve: Prøvesæt 010/011

25 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

26 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Komplekse tal Når vi skal løse andengradsligningen ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsningsformlen -b b -4ac x =. a Ligningens diskriminant opskriver vi som det selvstændige udtryk d = b - 4ac, fordi diskriminanten jo har afgørende betydning for antallet af løsning til andengradsligningen. Der gælder som bekendt, at når d < 0, så har ligningen ingen løsninger. Andengradsligningen x + 1= 0, har ingen løsninger, idet der ikke er noget reelt tal, der ganget med sig selv giver - 1. Havde der været en løsning, så skulle vi kunne give mening til udtrykket - 1, fordi når vi løser ligningen efter de sædvanlige regler, så får vi x =-1 x = - 1. Accepterer vi nu, at der findes et sådant tal, så skal der jo gælde, at ( - 1) =- 1. I det følgende vil vi antage at tallet i har den egenskab, at i =- 1. Ud fra ovenstående er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal. Ligningen ovenfor har ingen reelle tal som løsninger, men ligningen har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsninger. Vi vil i det følgende vise, at enhver andengradsligning altid har to løsninger, når vi arbejder inden for de komplekse tal. Definition 1 De komplekse tal består af alle tal på formen z= x+ y i, hvor x og y er reelle tal. Tallet x kaldes den reelle del af z og skrives også Re( z ), mens y kaldes imaginærdelen af z og skrives Im( z ). Øvelse 1 Eksempler på komplekse tal: z1 = + 3i, z = 4 og z3 =-5i. a) Angiv den reelle del af de tre komplekse tal z 1, z og z 3. b) Opskriv selv tre nye komplekse tal. Regning med komplekse tal Addition (lægge til), subtraktion (trække fra), multiplikation (gange) og division (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal. Man skal blot huske på, at i =-1. Man kan altid kunne reducere sit regneudtryk, så resultatet ender med at stå på formen x + y i. To komplekse tal er givet ved z1 = + 3i og z = 4-5i. Vi illustrerer de tre første regneoperationer med disse to komplekse tal: Addition ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) z1+ z = + 3i + 4-5i = + 3i+ 4-5i= i- 5i = 6- i. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 1 af 17

27 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Subtraktion (-) ( ) ( ) ( ) ( ) z1- z = + 3i - 4-5i = + 3i- 4+ 5i= i+ 5i =- + 8 i. Multiplikation ( ) ( ) ( ) z1 z = + 3i 4-5i = 4-5i+ 3i 4-3i 5i= 8-10i+ 1i-15i Nu udnytter vi at i =-1, og så får vi z1 z = 8+ i-15 ( - 1) = 8+ i+ 15= 3+ i Division af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og inden vi introducerer den regneoperation vil vi indføre en ny regneoperation, som er knyttet specielt til de komplekse tal, nemlig kompleks konjugering. Definition Ved den kompleks konjugerede til et komplekst tal z= x+ y i forstås det komplekse tal z = x- y i. Vi illustrerer nu den sidste af de fire regneoperation med de samme to komplekse tal som ovenfor: Division (:) Vi vil udføre divisionen z z 1 + 3i = 4-5i, idet vi benytter den kompleks konjugerede til z, dvs. z = 4-5i= 4+ 5i, til i første omgang at forlænge brøken z1 + 3i + 3i 4-5i + 3i 4+ 5 i (+ 3 i) (4+ 5 i) = = = =, z 4-5i 4-5i 4-5i 4-5i 4+ 5 i (4-5 i) (4+ 5 i) Vi ganger parenteserne ud, idet vi i nævneren udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får z z i+ 1i+ 15i - 7+ i - 7+ i -7 = = = = + i=- 0,17 + 0,54 i. 16-5i Eksempel 1 Der gælder, at z z= x + y. Vi kan eftervise dette ved multiplikation af de to komplekse tal z= x+ y i og z = x- y i, idet vi igen udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får ( ) ( ) z z= x-y i x+ y i = x -( y i ) = x + y. Regning med komplekse tal kan nemt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Interactive), idet tallet i findes som et indbygget symbol ligesom e og p : ( i) ( 5-7 i) = i og i - = i. 6-7 i Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side af 17

28 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 1 Bestem ved håndregning nedenstående 3 komplekse tal og kontrollér resultaterne vha. et CAS-værktøj: a) ( + 3i) -( 7-4i) b) ( + 3 ) ( 7+ 6 ) i i c) ( + i) ( 7+ 6i) 3. Den komplekse talplan Man kan afbilde det komplekse tal z1 = x1 + y1i i Imaginær akse punktet ( x1, y 1) i en plan med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Alle komplekse tal på formen x + 0i repræsenterer z1 1 4i blot alle de reelle tal, fordi den imaginære del er nul. z1 z 3 3i Disse tal afbildes på 1.aksen, og man kalder derfor denne akse for den reelle akse. Der gælder altså, at alle de reeelle tal er indeholdt i de komplekse tal. Specielt ser vi, at tallet 1 afbildes i punktet (1,0) svarende til at enheden på den reelle akse er 1. Reel akse z i Alle komplekse tal på formen 0 + yi, hvor den reelle del er nul kaldes rent imaginære tal. Disse tal afbildes på.aksen, som derfor kaldes den imaginære akse. Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i punktet (0,1), og derfor kalder vi i den imaginære enhed. æ ö 1 I vektorregning kalder vi vektoren = a OA ç çèa fra begyndelsespunktet (0,0) til punktet A( a1, a) for ø stedvektoren til A, og addition af to komplekse tal svarer geometrisk set til addition af stedvektorerne til de punkter som repræsenterer de komplekse tal i den komplekse talplan. Eksempel To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. Ved addition får vi: z + z = ( x + x ) + ( y + y ) i, og derfor afbildes det komplekse tal z1+ zi punktet ( x1+ x, y1+ y ). Dette punkt har netop sumvektoren for de to stedvektorer til hhv. z 1 og z som æ ö æ ö æ 1 1+ ö stedvektor: x x + = x x ç ç ç +. èy ø èy ø èy y ø 1 1 Øvelse To komplekse tal er givet ved z1 = 6+ i og z = 7 i. a) Tegn de to punkter, der repræsenterer z 1 og z i den komplekse talplan. b) Bestem længden af stedvektorerne til hvert af de to punkter, som repræsenterer de komplekse tal z1 og z. c) Bestem for hvert af de komplekse tal z1 og z den vinkel som disse stedvektorer danner med x-aksen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 17

29 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 3 To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. a) Bestem z1- z, og giv en geometrisk fortolkning af tallet. Øvelse 4 Overvej, at den kompleks konjugerede til z1 = x1 + y1i, dvs. z1 = x1- y1i, geometrisk set blot svarer til at spejle z 1 i den reelle akse. Modulus og argument Ved multiplikation og division af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på en anden form. I den forbindelse får vi brug for begreberne modulus af et komplekst tal og argument for et komplekst tal. Definition 3 Et komplekst tal er givet ved z= x+ yi. Ved modulus af z, som betegnes z, forstår vi længden af stedvektoren til det punkt ( x, y ), der repræsenterer z i den komplekse talplan, dvs. z = x + y. Sætning 1 Et komplekst tal er givet ved z= x+ yi. Da gælder der, at z z = z. Øvelse 5 a) Vis, at sætning 1 gælder for det komplekse tal z =- + 5i. b) Bevis sætning 1. Betragt et komplekst tal z= x+ yi. Vi vil vise, at ( cos ) sin( ) ) z= z ( q + q i, hvor z er modulus for z, og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, der repræsenterer z i den komplekse talplan (se figur). Im x yi Re Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 17

30 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved z1 = 3+ i. a) Tegn stedvektoren til z 1, og bestem vinklen q 1 mellem stedvektoren til z og førsteaksen regnet i positiv omløbsretning. b) Bestem modulus af z 1, og udregn x1= z1 cos ( q 1) og y1= z1 sin ( q 1). Dernæst ser vi på det generelle tilfælde: Betragt et komplekst tal z= x+ yi. Lad være q vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan. c) Vis, at x= z co s( q ) og y= z si n( q ). d) Vis nu, at z= z ( cos q) + sin( q) i ) (. Definition 4 Ved de polære koordinater for det komplekse tal z forstås talparret ( r, q ), hvor r= z og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan. Tallet z kan skrives på formen ( + in( ) ) z= r cos( q) s q i. Dette skriver vi også som z r θ = e i, og vi siger i begge tilfælde, at z er angivet på polær form. Vinklen q kaldes argumentet for z, og angives som: Arg( z ). Den overraskende skrivemåde med brug af e θ i anvendes af CAS-værktøjerne og bag dette ligger en sammenhæng mellem eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner, som netop viser sig i den komplekse talplan, men som vi ikke vil komme nærmere ind på her. CAS-værktøjerne kan let regne frem og tilbage mellem polære og rektangulære koordinater (her TI- Interactive): (.14 i) / 3 ( 3 4 ) topolar e 5 og 5 e ( p i - + i ) i. Bemærk, at vinklerne her er regnet i radianer. Im Im 3 4i,5 4,330i,14 Re 3 Re Hvis (, ) r, q+ p p, pîz repræsentere det samme komplekse tal, fordi når vi lægger p p til q, så svarer det jo blot til at løbe et helt antal gange rundt om (0,0). Den værdi blandt + p, pîz - p, p kaldes hovedargumentet for z. r q repræsenterer et komplekst tal z på polær form, så vil ( ) q p, der ligger i intervallet ] ] Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 17

31 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Bemærk, at tallet 0 i den komplekse talplan svarer til skæringspunktet mellem den reelle akse og den imaginære akse. Vi vil fremover kalde dette punkt for O. Øvelse 7 Tre komplekse tal er givet ved z1 = + 3 i, z = - 3 i, z3 =- 7 i og z4 =-3-4 i. a) Tegn de punkter som repræsenterer z1, z og z3i den komplekse talplan. b) Angiv z1, z og z3 på polær form, og kontroller modulus og argument for hvert af de tre komplekse tal på figuren fra a). Øvelse 8 Beregn modulus af og argumentet for hvert af de komplekse tal: a) z1 = + i b) z = -i c) z 3 = ( + i) ( - i ). Sætning Bevis: For ethvert kompleks tal z gælder, der at Arg( z) =-Arg( z ) og z = z. Skriver vi z på polær form z r ( cos( q) + sin( q) ) = i, dvs. z = r og Arg( z) = q, fås ( ( q) + sin( q) i) ( os( q) -sin( q i ) z = r cos = r c ), og da - sin( q) = sin( -q) og cos( q) = cos( -q), så får vi ( ) z = r cos( -q) + sin( -q) i. Heraf ses, at z = r og Arg( z ) =- q. Multiplikation og division i polære koordinater Hvis to komplekse tal z1 og z er givet i polære koordinater, altså ved modulus og argument, kan multiplikation og division udtrykkes simpelt. Sætning 3 For ethvert komplekst tal z ¹ 0 gælder der, at 1 1 = og z z æ1ö Argç =-Arg( z). çèz ø Bevis: Vi skriver z på formen z= r ( cos( q) + sin( q) i), hvor r= z og q = Arg( z). Da er den komplekst konjugerede til z givet ved z = r ( cos( -q) + sin( -q) i) og derfor får vi ved at forlænge med z og anvende sætning 1: ( cos( q) + sin( -q) i), 1 1 z z r - = = = = 1 ( c o s( -q) + si n ( -q ) i). z z z z r r Nu er 1 z skrevet på polær form, og vi ser, at = = z r z og at æ1ö Argç =-q çè z. ø Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 6 af 17

32 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Sætning 4 For to komplekse tal z 1 og z gælder der, at Bevis: Vi skriver z 1 og z på formen z1 z = z1 z og Arg( z1 z) = Arg( z1) + Arg( z). z = r ( cos( q ) + sin( q ) i ) og = ( cos( ) + sin( ) ) z r q q i, hvor r 1 = z 1 og q 1 = Arg( z1), og tilsvarende r = z og q = Arg( z). Ved multiplikation får vi således ( cos( q ) + sin( q ) i) ( cos( q ) + sin( q ) i) z z = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) sin( q ) i sin( q )cos( q ) i sin( q1)sin ( q) i ) z z = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) sin( q ) i+ sin( q )cos( q ) i sin( q )sin( q )) (( cos( ) cos( ) sin( ) sin ( )) ( cos( ) sin( ) sin( )cos( )) ) z z = r r + - z z = r r q q - q q + q q + q q i ved brug af de to additionsformler for de trigonometriske funktioner: cos( q + q ) = cos( q ) cos( q )- sin( q ) sin( q ) følger det nu at sin( q + q ) = cos( q ) sin( q ) + sin( q ) cos( q ) ( cos( + ) + sin( + ) ) z z = r r q q q q i Nu er z1 zskrevet på polær form, og det fremgår at z1 z = r1 r = z1 z og Arg( z z ) = q + q =Arg( z ) + Arg( z ) q i Øvelse 9 Et komplekst tal er givet ved z = e = cos( q) + sin( q) i, dvs. z har modulus 1, z = 1. j Et andet komplekst tal er givet ved e i w= w = w (cos( j) + sin( j) i ). a) Tegn en skitse, der viser de punkter i den komplekse talplan, som repræsenterer de tre komplekse tal z, w og z w. b) Formuler på baggrund af skitsen en påstand om, hvilken sammenhæng der er mellem de to komplekse tal w og z w, når z har modulus 1. 4 Øvelse 10 To komplekse tal er givet ved z1 = 3+ i og z = e. 4 a) Benyt resultatet af øvelsen ovenfor til at bestemme de to komplekse tal, der π fremkommer ved at dreje hhv. z 1 og z vinklen omkring O. 3 π i Sætning 5 For to komplekse tal z 1 og z gælder der, at z z z æz ö Arg ç = Arg -Arg = og ( 1) ( ) z ç z z z çè ø Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 7 af 17

33 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 11 Bevis sætning 5 ved at anvende sætning 4 på ligningen: z z = z1. z1 Øvelse 1 To komplekse tal er givet ved z1=-- 4 i og z = 1-7 i. a) Bestem modulus og argument for z 1 og z, og angiv z 1 og z på polær form. z1 b) Angiv ved anvendelse af sætning 4 og sætning 5 z1 z og z z1 c) Tegn de fire komplekse tal z 1, z, z1 z og z To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. på polær form. ind i et koordinatsystem. z1 d) Giv en geometriske beskrivelse af, hvordan de to komplekse tal z1 z og z fremkommer af z 1 og z. Sætning 6 For et komplekst tal z gælder der, at n z = z n n og Arg( ) = Arg( ) z n z, hvor n er et helt tal. Bevis: Beviset er et induktionsbevis, som bygger på at en bestemt egenskab går i arv fra et tal i rækken til det næste tal i rækken. Denne bevistype anvendes ofte, når man skal vise, at en bestemt formel gælder for alle naturlige tal 1,, 3, 4,... Vi sikrer os allerførst, at det første tal i rækken er bærer af egenskaben, dvs. at vores formler giver mening for det første tal i rækken, som er n = 1. Når n = 1, så får vi z = z = z og Arg( ) = Arg( ) = 1 Arg( ) z z z, dvs. formlen gælder for n = 1. Fortsætter vi til det næste tal i rækken n = z z = z z = z og Arg( z ) Arg( z) Arg( z) Arg( z) = + =,, så får vi altså gælder sætningen også for n =. Dvs. det første (og det andet) tal i rækken er bærer af egenskaben. Sådan kunne vi fortsætte, hvis talrækken var begrænset, men her skal vi jo vise, at formlerne gælder for alle hele tal. Derfor laver man det lille trick, at man antager, at et tilfældigt tal i rækken er bærer af egenskaben, og derefter viser man så, at det efterfølgende tal bliver bærer af egenskaben, og dermed har man jo vist at alle tallene i rækken er bærer af egenskaben. Vi antager derfor nu, at det m te tal i rækken er bærer af egenskaben, dvs. at formlen gælder for n= m m z = z m m og Arg( ) = Arg( ) z m z. Vi vil nu vise, at så bliver det næste tal i rækken n= m+ 1 også bærer af egenskaben, dvs. så vil formlerne også gælde for n= m + 1 m z = z m 1 og Arg ( m+ ) = ( + 1) Arg( ) z m z. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 8 af 17

34 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ved brug af potensregnereglerne og sætning 4 samt antagelsen om, at sætningen gælder for n= m, får vi og m 1 m m m m+1 z + = z z = z z = z z = z Arg m ( + 1 m z ) = Arg( z z) m = Arg( z ) + Arg( z) ( ) Arg( ) ( z) = m Arg z + z = ( m+ 1) Arg. Vi har nu vist, at tallet n= m + 1 er bærer af egenskaben, netop hvis tallet før n= m er bærer af egenskaben altså hvis et tal i rækken er bærer, så arver det næste tal i rækken egenskaben! Men vi ved jo, at n = 1 er bærer, altså er alle de efterfølgende tal i rækken også bærere! Hermed er induktionsbeviset fuldført. Vi kan altså ifølge sætning 6 skrive det komplekse tal hvor q = Arg( z). n ( cos( ) sin( ) ) n z = z n q + n q i, n z på formen 6 Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved z = 1,1 e p i. Im n Så kan tallene z, hvor n = 1,...,0, afbildes i den komplekse talplan som vist på figuren. Ved omskrivning får vi nemlig p p i n i n 6 n n 6 z = (1,1 e ) = 1,1 e n n p p z = 1,1 (cos( n ) + sin( n ) i ). 6 6 i Re n n Da z = 1,1> 1, så vil z = z = 1,1 blive n større og større, når n gennemløber n = 1,...,0, og tilsvarende vil Arg n ( ) = Arg( ) z n z blive større og større, når n gennemløber n = 1,...,0. 4 Øvelse 13 Et komplekst tal er givet ved z =,3 e p i. n a) Tegn punkterne der repræsenterer de komplekse tal z, n= 1,...,0 i den komplekse talplan. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 9 af 17

35 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ligningen z n = a Inden vi går i gang med andengradsligningen, vil vi først se på n te-gradsligningen den simple andengradsligning z = a, hvor a er et komplekst tal. n z = a, og derefter på Sætning 7 Bevis: Ligningen n z hvor q = ( a) = a, hvor a er et komplekst tal, har løsningerne q pp q pp ( i n n n n ) z= n a cos( + ) + sin( + ), p= 0,1,,..., n-1, Arg. Vi finder først modulus af z. Ifølge sætning 6 gælder n z og da z n = n = z, a får vi n z = z = a, n og dermed z = n a. Herefter finder vi argumentet for z. Ifølge sætning 6 gælder der, at dvs. n ( z ) n ( z) ( a) Arg = Arg = Arg, Arg( a) Arg ( z) =. n Som tidligere nævnt repræsenterer (, ) r q og ( r, q+ p ) samme komplekse tal. Da argumentet for a er θ, så vil ( r, q+ p ) helt tal, også være argument for a Arg a = q+ p p, pîz ( ) og dermed n Arg z = q+ p p, pîz ( ) og ved division med n får vi q p Arg( z) = + p, p ÎZ. n n Bemærk, at dette giver forskellige vinkler for p= 0,1,,... n- 1. p, hvor p er et helt tal, det n Derfor kan løsningerne til ligningen z = a skrives som n q pp q pp z= a cos( + ) + sin( + ) i, p= 0,1,,..., n-1. ( n n n n ) p, hvor p er et n Af løsningsformlen til ligningen z = a ser vi, at alle løsninger har samme modulus. Har man fundet løsningen for p = 0 og afsat den i den komplekse plan, finder vi blot den næste løsning ved at dreje den første løsning vinklen p omkring O. De n løsninger vil altså ligge som hjørner i en regulær n-kant med n centrum i O. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 10 af 17

36 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Man bruger ofte symbolet n a for en vilkårlig af de n løsninger i ligningen ligning, vælger man så n a til at være én bestemt løsning. n z = a. Når man løser en konkret Eksempel 4 Vi vil løse ligningen z 5 = 3. Modulus af z er givet ved z = 5 3 =. Argumentet af z er 0, da 3 ligger på den positive del af den reelle akse. Argumenterne for de 5 løsninger er så p Arg( z ) = 0 + p = 0, p = 0,1,,3, 4. 5 Altså er argumenterne til løsningerne Løsningerne til ligningen 5 z = , p, p, p og p bliver derfor = 1= p i = p i 3 = p i 4 = p i z, z e, z e, z e og z e. De 5 løsninger er illustreret på figuren nedenfor. Im z1 e i 5 z e 4 i 5 i 1 z0 Re z3 e 6 i 5 z4 e 8 i 5 5 Løsninger til ligningen z 3 Ligningen kan også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Interactive): 5 csolve( z 3, z) = z= z= z= z= z= 1,5664 i -1,5664 i,5137 i -,5137 i e or e or e or e or. Bemærk at CAS-programmet angiver hovedargumentet for de komplekse tal, dvs. det argument der ligger i intervallet ] π; π] -. Fx er hovedargumentet for z = e 5 6 p i 4 lig med - p»-, Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 11 af 17

37 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ligningen z = a Inden vi går i gang med den generelle andengradsligning, vil vi først se på den simple andengradsligning, z = a. Sætning 8 Andengradsligningen z = a har løsningerne q q z= a (cos( ) + sin( ) i ) hvor a er modulus af a, og ( a) Arg = q. Bevis: Af sætning 7 ses, at ligningen z = a har rødderne q q = ( cos( ) + sin( ) i ) og z = a ( cos( + ) + sin( + ) ) z a q q 0 p p i. 1 q q cos( + p) =- cos( ) og sin( + p) =- sin( ) ifølge enhedscirklen, gælder der, at q q Da q q q q ( cos( ) sin( ) i) ( cos( ) sin( ) i ) z = a - - =- a + dvs. z1 =- z0. Altså har ligningen 1 z = a løsningerne ( ) q q z = a cos( ) + sin( ) i. Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved kvadratroden af et komplekst tal: Definition 5 Kvadratroden af et komplekst tal a er givet ved hvor q = Arg( a). ( ) q q a = a cos( ) + sin( ) i, Med denne definition kunne vi formulere sætning 8 således: Andengradsligningen z = a har rødderne a. Vi vil se på beregningen af kvadratrødder i nogle eksempler. Eksempel 5 Vi vil løse ligningen z = 4. Tallet a = 4 er jo et reelt tal, som ligger på den positive del af den reelle talakse. Derfor er argumentet for a : q =Arg( a) = 0, og modulus af a : a = = 4. Heraf følger, at q = 0 og a =, og dermed bliver løsningerne til ligningen som ventet z = (cos(0) + sin(0) i ) =. z = 4 Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovenfor med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ³ 0 a har samme betydning inde for de reelle tal og de komplekse tal, når altså blot a ³ 0., kan vi se, at symbolet Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 1 af 17

38 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Eksempel 6 Vi vil løse ligningen z =- 1. Tallet a =- 1 er et reelt tal, som ligger på den negative reelle akse. Modulus af a er: q p a =1, og argumentet for a er: Arg( a ) = θ = π. Dermed er a = 1, og =. Løsninger til ligningen z =-1bliver således = 1(cos( ) + sin( ) i) = i. p p z p p Ved brug af definitionen ovenfor får vi: - 1= 1(cos( ) + sin( ) i) = i. Vi ser altså, at det stemmer overens med det valg, vi foretog ved indførelsen af de komplekse tal. Øvelse 14 Vis ved at generalisere ud fra eksemplet ovenfor, at hvis a ³ 0, så er - a = a i. Eksempel 7 Vi vil løse ligningen Her er 13 3,60555 z = -3i. a = = og = ( ) Løsningerne bliver derfor eller q q Arg a =-0,9879, dvs. 0,49140 =-. z = 3,60555 (cos( - 0,49140) + sin( -0,49140) i) z = ( 1, ,89598 i ). Vi har nu set tre eksempler på beregning af kvadratrødder af komplekse tal. Man kan ifølge definition 5 uddrage kvadratroden af alle komplekse tal, mens man indenfor de reelle tal kun kan uddrage kvadratroden af et tal, som er større end eller lig med nul. Inden for de reelle tal gælder forskellige regneregler for rødder, som fx ab = a b. Disse regneregler gælder ikke altid inden for de komplekse tal. Øvelse 15 Sæt a= b=- 1 og vis, at brug af regnereglen ab = a b kan føre til en modstrid. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 13 af 17

39 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Andengradsligningen az + bz + c = 0 Sætning 9 Andengradsligningen az bz c + + = 0, a 0, har løsningerne hvor d b 4ac = -. -b d z =, a Bevis: Da a 0, kan vi omskrive andengradsligningen som følger: az bz c + + =0 + + = Ganger med 4a 4a z 4abz 4ac 0 az + abz+ b = b- ac Lægger ( ) 4 b til og trækker 4ac fra på begge sider az + b = b - ac Anvender kvadratsætning på venstre side Nu kalder vi det, der står på venstre side af lighedstegnet for y og det, der står på højre side for d, og får så ligningen y = d. Denne ligning har ifølge sætning 8 løsningen q q y= d (cos( ) + sin( ) i ), hvor q er et argument for d. q q Da netop d = d (cos( ) + sin( ) i ), får vi y= d, og dermed for y= az+ b: az + b = d -b z = a d Trækker b fra og dividerer med a på begge sider Vi får altså, at løsningsformlen får det samme udseende som for reelle tal. Eksempel 8 Vi vil løse ligningen Ligningen har diskriminanten z + (1-5 i) z-8-4i = 0. d = (1-5 i) -4 1 ( -8-4 i) = 8 + 6i. Vi får så modulus af d til 8 6 de to ligninger cos( q ) = og sin( q ) = Løsningen er q = 0,64350 q = 0,3175. d = = 10, og vi finder argumentet q for d ud fra og dermed er Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 14 af 17

40 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Nu kan vi beregne kvadratroden af d ved d = 10(cos(0,3175) + sin(0,3175) i) = 3+ i, og endelig kan vi beregne løsningerne til -(1-5 i) (3 + i) ì 1+ 3 z ï i = =í 1 ïî ï - + i. Ligningen kan også løses med et CAS-værktøj (her TI-Interactive): csolve( z + (1-5 i) z-8-4 i= 0, z) z= 1+ 3 i or z=- + i. Andengradsligninger med reelle koefficienter Sætning 10 Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i andengradsligningen az bz c hinandens konjugerede. + + = 0, hvor a 0, Bevis: Fra øvelse 14 ved vi, at a = a i, hvor a er et reelt tal. Her er d et reelt negativt tal, dvs. modulus af d er: d Vi får nu d = -d i= d i. b d z =- 1 a + a i og b d z =- a - a i. =- d, og dermed er -b Da og a d a begge er reelle tal, er z = z 1 og omvendt z1 = z. Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor en andengradsligning med reelle koefficienter ikke har nogen reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hinandens konjugerede. Eksempel 9 Vi vil løse andengradsligningen Ligningen har diskriminanten z z - z+ = 0. d = (-) -4 1 =- 4, dvs. d = d i= 4 i= i, og løsningerne bliver således z1 - i = = 1-i. + i = = 1+ i og Øvelse 16 Løs andengradsligningen talplan. z 1z =, og illustrér løsningerne i den komplekse Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 15 af 17

41 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning En simpel anvendelse De komplekse tal har mange anvendelser bla. indenfor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm. Det vil føre for vidt at komme ind på disse her. I stedet vil vi illustrere en simpel anvendelse indenfor plangeometrien. Eksempel 10 Betragt trekant ABC, hvor A(1,), B( - 3,4) og C(5, 6). Vi vil rotere denne trekant 33 omkring O til en ny trekant A1BC 1 1. Vi kan betragte trekanten i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne repræsenterer de komplekse tal A = 1+ i, B =- 3+ 4i og C = 5+ 6i Da 33 = p= p= 0, radianer fremkommer den nye trekant ved at , i multiplicere tallene A, B og C med z = e = 0, , i. Vi gennemfører beregningerne i et CAS-program (her TI-Interactive!): A: = 1+ i:: B: = i:: C: = 5+ 6 i:: z: = e A1 : = A z i B1 : = B z i C : = C z i p i 180 Dvs. hjørnepunkterne i den nye trekant (se figur) repræsenter de tre komplekse tal A = i B = i C = i Im C 1 B C B 1 A 33 1 O i 1 A Re Ved at betragte trekanten i den komplekse talplan kan vi ligeledes let finde er række størrelser og punkter i trekanten: Midtpunktet af siden AB: Tyngdepunktet for trekant ABC: A+ B 1+ i + ( i) = =- 1+ 3i A+ B+ C (1+ ) i + (- 3+ 4) i + (5+ 6) i 3+ 1i = = = 1+ 4i Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 16 af 17

42 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning æb Aö Vinkel A: Arg - ç = Arg( B-A) -Arg( C- A) = 108,4. çèc- A ø Im B A B 108,4 108,4 A i O 1 C C A Re Øvelse 17 Rotér trekant ABC i ovenstående eksempel 55 omkring O, og illustrér resultatet i den komplekse talplan. Øvelse 18 Betragt trekant ABC i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne er repræsentanter for de komplekse tal A =- + 6i, B = 1+ 5i og C = 1-8i. a) Bestem midtpunktet af hver af de tre sider i trekanten. b) Bestem vinklerne i trekanten. c) Bestem trekantens tyngdepunkt. Trekant ABC roteres 105 omkring O, hvorved der fremkommer en ny trekant A BC d) Bestem de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant A1BC 1 1 er repræsentanter for i den komplekse talplan, og illustrér trekant ABC og trekant A1BC 1 1 i den komplekse talplan. Materialet er en let omskrevet version af en note, som er skrevet af Hanne Østergaard, Næstved Gymnasium, og venligt stillet til rådighed for kommissionen. Noten kan findes her: Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 17 af 17

43 STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ /011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 010/011 Kl Prøvesæt 010/011

44 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

45 STX-Matematik A Net Prøvesæt 010/011 side 1 af 8 Delprøve 1 Kl Opgave 1 a) Bestem ligningen y ax b og Q ( 8,9). = + for den rette linje, der går igennem punkterne P( 5,17) Opgave Et observationssæt har kvartilsættet ( 4, 11, 17 ). Den mindste observation er, og den største observation er 4. a) Tegn et boksplot for observationssættet, og forklar betydningen af tallet 17. Opgave 3 Om en funktion f oplyses, at f () = 5 og f () =- 4. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (, f ()). Opgave 4 I en model kan antallet af mobilabonnementer i Afrika beskrives ved Nt ( ) = 4,087 1,498 t, hvor N( t ) betegner antal mobilabonnementer (målt i mio.) til tidspunktet t (målt i år efter år 00). a) Gør rede for, hvad konstanterne i forskriften fortæller om udviklingen i antallet af mobilabonnementer i Afrika efter år 00. Kilde: Opgave 5 I en trekant ABC er A = 40 og B = 60. Med vc betegnes vinkelhalveringslinjen for vinkel C, og med hc betegnes højden fra C. a) Tegn en skitse af trekant ABC, hvor v C og hc er indtegnet, og bestem vinklen mellem vc og h c.

46 Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side af 8 Opgave 6 Funktionen f har forskriften f( x) = 5x+ 3. a) Bestem f ( x). Opgave 7 En funktion f er givet ved f( x) = x+ e x. a) Bestem forskriften for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (0,1). Opgave 8 På figuren ses graferne A og B for de to funktioner henholdsvis f og dennes afledede f. () A B (1) a) Gør rede for, hvilken af graferne A og B, der er graf for f, og hvilken, der er graf for f. Opgave 9 I tabellen ses en række sammenhørende værdier af x og f ( x ) for en eksponentiel funktion f. x f ( x ) a) Benyt tabellens oplysninger til at bestemme fremskrivningsfaktoren for f samt f (0).

47 Opgave 10 a) Vis, at f ( x) = xln( x) + x er løsning til differentialligningen dy y + x =. dx x Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side 3 af 8 Opgave 11 A c D 5 c B C I et hushjørne ligger en udbygning, hvis grundplan har form som en kvartcirkel med radius m (se figur). En 5m lang stige placeres, så den rører de to vægge i punkterne A og B samtidig med, at den rører udbygningen i punktet D. Afstanden fra A til D betegnes c. a) Gør rede for, at 5 -c =. c b) Bestem de mulige værdier af c. Besvarelsen afleveres kl

48 Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side 5 af 8 Delprøve Kl Opgave 1 Foto: Når en bil bremses stiger temperaturen i bremserne. Tabellen viser sammenhørende værdier af bilens hastighed x (målt i km/t) og temperaturstigningen y (målt i C ) i bremserne for en bestemt bil, der bremses helt ned. x 5 50 y 3,9 95,0 a I en model kan sammenhængen beskrives ved y = b x. a) Bestem konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme temperaturstigningen i bremserne, når bilen bremses helt ned fra 150 km/t, og bestem hastigheden, når temperaturstigningen er 10 C. Opgave 13 I et koordinatsystem i rummet er givet en plan α med ligningen 15x- 17 y+ 16z+ 13 = 0 og en linje l med parameterfremstillingen æxö æ ö æ 9 ö y 10 t 4 = ç z ç 9 ç 1 è ø è ø è ø a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og α.

49 Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side 6 af 8 Opgave 14 En andengradsligning er givet ved z + z+ 5= 0, hvor z er et komplekst tal. a) Bestem diskriminanten for andengradsligningen, og bestem samtlige løsninger til ligningen. Opgave 15 6 a) Løs ligningen z = 79, hvor z er et komplekst tal, og beskriv den figur, der fremkommer, når de punkter, der repræsenterer løsningerne i den komplekse talplan, forbindes med linjestykker. Opgave 16 I tabellen ses en opgørelse over antal scorede mål for de fire bedste danske spillere ved håndbold EM for kvinder i 010 samt hver af disse spilleres procentvise andel af det samlede antal skudforsøg for disse fire spillere. Spiller Scorede mål Skudforsøg Maibritt Kviesgaard 18,0% Camilla Dalby 5 9,% Trine Troelsen 0 31,5% Ann Grete Nørgård 7 1,3% I alt % Vi vil undersøge følgende nulhypotese: Fordelingen af scorede mål følger fordelingen for skudforsøg for de fire spillere. a) Bestem teststørrelsen, og undersøg på et 5 % signifikans niveau, om der er forskel på fordelingen af scorede mål og fordelingen af skudforsøg for de fire spillere. Kilde:

50 Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side 7 af 8 Opgave 17 I et laboratorieforsøg har man over tid undersøgt udviklingen i udbredelsen af en bestemt type alger. Forsøget viste, at algeudbredelsen som funktion af tiden er løsning til differentialligningen dn 0, 05 N (5 N) dt = -, hvor N( t) er algeudbredelsen (målt i mm ) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at algeudbredelsen til tidspunktet t = 0 var 0,0 mm. a) Bestem en forskrift for N( t ). b) Bestem det tidspunkt, hvor algeudbredelsen foregår hurtigst. Opgave 18 Betragt trekant ABC i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne er repræsentanter for de komplekse tal A = 1+ 8i, B = 1 + 5i og C = 10-i. a) Tegn en skitse af trekant ABC i den komplekse talplan. Trekant ABC roteres 45 omkring O i den komplekse talplan, hvorved der fremkommer en ny trekant ABC b) Bestem de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant ABC 1 1 1er repræsentanter for i den komplekse talplan. VEND!

51 Stx matematik A-Net Prøvesæt 010/011 side 8 af 8 Opgave 19 En funktion f er bestemt ved f( x) = sin( x) + x+ 0,5. Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 5 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. () f (1) En vase har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360 om førsteaksen, og enheden i koordinatsystemet svarer til 1 dm. a) Bestem vasens volumen. Det oplyses, at den krumme overflade af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f( x), a x b drejes 360 omkring førsteaksen, kan beregnes ved b ò ( ). a O= π f ( x) 1 + f ( x) dx b) Bestem arealet af vasens krumme overflade. Opgave 0 En bestemt type plastikskraldespande har form som en cylinder sammensat med en halvkugle som vist på figuren. radius radius Cylinderrumfanget af en af disse skraldespande skal være 10 dm 3. a) Indfør passende variable, og bestem radius i skraldespandens bundflade, så skraldespandens samlede overfladeareal bliver mindst muligt.

52 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs111-matn/a Onsdag den 7. april 011

53 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

54 Forberedelsesmateriale: Matricer Form: 6 timer med vejledning Matricer Introduktion Dette forberedelsesmateriale omhandler emnet matricer samt anvendelser af matricer i modeller for populationer. Materialet er opbygget således, at ny teori introduceres gennem eksempler og øvelser, hvorefter teorien præciseres og generaliseres ved definitioner og sætninger. Eksempel 1: I en population med kaniner, vælger vi at sige, at en kanin er ung det første leveår og herefter er den gammel. Unge hunkaniners chance for at overleve det første leveår er 70%, mens en gammel hunkanins chance for at overleve til det næste år er 40%. Unge hunkaniner får i gennemsnit unger om året og gamle hunkaniner får i gennemsnit 1,5 kaniner om året. Hvordan udvikler denne population af hunkaniner sig som årene går? Vi indfører først nogle variable til beskrivelse af populationens udvikling: Antallet af unge hunkaniner i år n betegnes x n, og antallet af gamle hunkaniner i år n betegnes y n. Antallet af unge hunkaniner det næste år, dvs. år n + 1, betegnes x n + 1, og antallet af gamle hunkaniner i år n + 1betegnes y n + 1. Ud fra informationen om populationens udvikling kan sammenhænge mellem de fire variable angives ved ligningssystemet: xn+ 1 = xn yn y = 0.7 x y n+ 1 n n Øvelse 1: Forklar med naturligt sprog, hvordan informationerne om populationens udvikling kommer til udtryk i ligningssystemet. Øvelse : Det antages, at der er 100 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner i år 0, dvs. når n = 0. Udregn på baggrund heraf populationen de efterfølgende år og udfyld tabellen nedenfor. n x n y n Ved at indføre begrebet matricer kan vi automatisere disse beregninger, således at arbejdet med at bestemme populationens udvikling fra et år til et andet bliver meget lettere. En matrice er i princippet et talskema, man kan regne med ud fra bestemte regneregler. Matricen, der beskriver kaninpopulationen ovenfor er 1.5, mens startpopulationen kan beskrives

55 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning 100 som en vektor. For at bestemme populationens sammensætning et år senere multipliceres matricen og 0 vektoren. Fxx kan populationens sammensætningg efter det første år beregnes til =, og populationens sammensætning efter fire år kan beregnes til = Dvs. at der efter 1 år er 00 unge hunkaniner og 70 gamle hunkaniner i populationen, p, og efter 4 år er der 3155 unge hunkaniner og 105 gamle hunkaniner i populationen. Med et CAS-værktøj kan vi nemt bestemme de to produkter: og. Øvelse 3: Vælg andre startpopulationer, og bestem ved hjælp af et CAS-værktøj populationens sammensætning for hver af disse efter 3, 7 og 10 år. Regning med matricer For at få helt styr på matricebegrebet, så definerer vi begrebet fra forrige afsnit, som følger: Definitionn 1: En matrice er et talskema, som kan skrives ved a c M =, b d hvor a, b, c og d er reelle tal. a c Matricen består af to søjler og samt to rækker a c b d og b d. Multiplikation af en matrice M = a b c d medd en vektor x v = y er bestemt ved a c x ax + cy M v = =. b d y bx + dy Multiplikation af et reelt tal k med en matrice a c M = b d er bestemt ved k M = a c k a k c k =. b d k b k d Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side af 15

56 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Øvelse 4: a) Forklar med egne ord multiplikationsprocedurerne ovenfor, dvs. M v og k M. b) Bestem ved håndregning og med et CAS-værktøj. I eksemplet med kaninpopulationen multiplicerede vi den samme matrice med sig selv flere gange, nemlig da vi beregnede populationen det 4. år, hvor vi udregnede: = Definition : To matricer M og N er givet ved a1 c1 M = og b1 d1 N a c. = b d Matriceproduktet M N er da defineret ved a1 c1 a c aa 1 + cb 1 ac 1 + cd 1 M N = =. b1 d1 b d ba 1 + d1b bc 1 + d1d Produktet M N bestemmes altså ved pladsvist at multiplicere rækkeelementerne i M med søjleelementerne i N og summere disse to produkter. På kan man se, hvordan matricemultiplikation udføres i praksis. Øvelse 5: a) Kontroller at dit CAS-værktøj beregner M N som beskrevet i definitionen. To matricer A og B er givet ved 9 6 A = 8 5 og 4 B = b) Bestem A B og B A både ved håndregning og med et CAS-værktøj. c) Vælg selv andre matricer, og bestem produkterne A B og B A med et CAS-værktøj. Ovenstående beregninger viser, at matricemultiplikation ikke opfylder den kommutative lov, dvs. M N = N M, er ikke opfyldt. a3 c3 d) En matrice R er givet ved R =. Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om b3 d3 R ( M N) = ( R M) N (den associative lov) er opfyldt. e) Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om R ( N + M) = R N + R M (den distributive lov) er opfyldt. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 15

57 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Invers matrice Definition 3: Matricen 1 0 E = 0 1 kaldes enhedsmatricen. Sætning 1: Alle matricer M opfylder ligningerne M E = M og E M = M, hvor E er enhedsmatricen. Øvelse 6: Benyt matricemultiplikation med M a c = b d til at bevise Sætning 1. Eksempel : Et ligningssystem kan bestå af to ligninger med to ubekendte: 3x+ 4y = 7 x+ 9y = 8. Dette ligningssystem kan løses med et CAS-værktøj: ( ) solve 3x+ 4y = 7 and x+ 9y = 8, x, y, x= 1 and y = 1. Dvs. løsningen til ligningssystemet er x = 1og y = 1. Ligningssystemet kan også løses med matricer, idet ligningssystemet omskrives ved hjælp af en matrice og to vektorer, hvor koefficienterne til x og y beskrives ved matricen 3 4 M =, de 1 9 x 7 ubekendte beskrives ved vektoren v = og højresiden beskrives ved vektoren u =. y 8 Den samlede omskrivning af ligningssystemet bliver således M v = u. Øvelse 7: Udregn M v, og opstil ligningen M v = u 3 x + 4 y = 7. Sammenlign denne ligning med ligningssystemet x+ 9y = 8. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 15

58 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Eksempel 3: Matricen kaldes den inverse matrice til 3 4, da der gælder, at = og omvendt, at Ligningssystem ovenfor kan løses ved hjælp af den inverse matrice som følger: 3 4 x 7 = 1 9 y x = y x 1 = 0 1 y 1 x 1 =. y = Øvelse 8: Der gælder, at = a) Kontroller, at = og, at = Definition 4: En matrice M har en invers matrice, netop hvis der findes en matrice N, så M N = E og N M = E. Matricen N betegnes i så fald 1 M. Øvelse 9: 6 7 Bestem den inverse matrice til hver af matricerne M 11 1 = og M =, og gør rede for, at = E og M M 1 M M = E er opfyldt for begge matricer, som definitionen ovenfor foreskriver. 5 Hvis vi forsøger, at bestemme den inverse matrice til matricen N = 15 6 en fejlmelding, fordi denne matrice ikke har nogen invers matrice! med et CAS-værktøjet, så får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 15

59 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Betingelsen, der sikrer, at en matrice har en invers matrice bygger på begrebet determinant, som vi kender fra vektorer i to dimensioner. Definition 5: Determinanten det( M ) for en matrice det( M ) = a d b c. a c M = b d er bestemt ved Man kan bestemme determinanten med et CAS-værktøj fx: =. Øvelse 10: Bestem determinanten for og Øvelse 11: Opskriv to vektorer med tilfældigt valgte koordinater, og opstil en matrice, hvor søjlerne er givet ved de to vektorer. Stemmer determinanten for de to vektorer overens med determinanten for matricen? 5 Beregner vi determinanten for matricen N =, så får vi det( N ) = 0, hvilket netop er grunden til at 15 6 CAS-væktøjet gav en fejlmelding, da vi forsøgte at bestemme den inverse matrice til N ovenfor. Der gælder nemlig: Sætning : Matricen M er givet ved a c M =. Hvis det( M ) 0, så har M en invers matrice, der er givet ved b d X 1 d c =. det( M ) b a Øvelse 1: Bevis Sætning ved at vise, at X netop opfylder, at X M = E og M X = E. Hvorfor er betingelsen det( M ) 0 nødvendig? Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 6 af 15

60 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Øvelse 13: Omskriv ligningssystemet 5x+ 11y= 3 7x 8y = 30 til matriceform. Bestem determinanten til ligningssystemets matrice, og bestem en løsning til ligningssystemet ved brug af den inverse matrice. Eksempel 4: I Eksempel 1 med kaninpopulationen kan vi opstille ligningssystemet 1.5 xn xn+ 1 = y y n n+ 1 Da 1,5 det = = 0.5 0, så har matricen en invers matrice. 300 Hvis populationssammensætningen er 90 populationssammensætningen i n = 1, så er udgangspunktet x1 kan således bestemmes ved: y1 i år n =, og vi vil bestemme x = y x1 60 = y x1 300 = y1 90 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 7 af 15

61 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Ligevægte I eksempler med populationer kan det være interessant at kigge på stabile populationer, dvs. populationer som befinder sig i en form for ligevægt. Eksempel 5: I en stor granplantage rammes træerne til tider af svampesygdom. Træerne kan groft inddeles i to grupper: Raske og syge. Man har konstateret, at et raskt træ med 6% sandsynlighed vil blive sygt året efter. Ligeledes vil et sygt træ med 7% sandsynlighed blive raskt året efter. Vi antager endvidere, at ingen træer dør af sygdommen eller af andre årsager, og at der heller ikke plantes nye træer. Det oplyses, at der er i alt 6000 træer i plantagen. Ud fra disse oplysninger kan vi opstille en model for udviklingen af syge og raske træer i plantagen. Lad r n hhv. s n betegne antallet af raske træer hhv. syge træer i år n. De raske træer året efter, dvs. i år n + 1 betegnes r n + 1. Disse udgør 94% af de raske træer året før, dvs r n, samt 7% af de syge træer året før, dvs. 0.7 s n. På samme måde kan vi opstille sammenhænge mellem antallet af syge træer i år n og år n + 1, således at vi får udviklingen i antallet af raske og syge træer i plantagen beskrevet ved modellen rn rn+ 1 = sn sn+ 1 Det antages at de 6000 træer i år 0, dvs. når n = 0, er fordelt således, at der er raske og syge træer. Herefter kan fordelingen af raske og syge træer i år 0 til 4 bestemmes som vist i tabellen: n rn sn Tabellen viser en tendens til at populationen af raske og syge træer stabiliserer sig. Spørgsmålet er hvilken fordeling, der er den stabile? Øvelse 14: Kontroller at populationerne i tabellen i Eksempel 5 er korrekte og bestem populationen for n lig med 6, 8 og 10 år, og giv et skøn over antallet af raske og syge træer i granplantagen, når populationen har stabiliseret sig. Definition 6: En vektor * v siges at være en ligevægt for en matrice M, hvis * *. M v = v Følgende konsekvens af Definition 6 er central: M v * = M M v * = M v * = v *. ( ) n * * Denne overvejelse kan generaliseres til M v = v (overvej!) og i følge Definition 6 betyder det, at når der opnås stabilitet i udviklingen, forbliver populationen i ligevægt! Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 8 af 15

62 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Øvelse 15: Vi ønsker nu at bestemme ligevægten, dvs. den værdi af r og af s, hvor der ikke sker nogen ændring fra år ær ö * L til år. Skrives ligevægten på vektorform v =ç ç ç s, og angiver M matricen fra Eksempel 5, så skal vi altså çè Lø * bestemme ligevægten v * * ved at løse ligningen: M v = v. a) Vis, at æ * 1 sö v =ç ç ç çè s ø er en løsning til * * M v = v, når s betegner antallet af syge træer. b) Opstil en ligning som s skal opfylde, når granplantagen består af 6000 træer, og angiv ligevægten. Øvelse 16: Findes der en ligevægtstilstand for kaninerne i Eksempel 1? Nogle specielle matricer, som kaldes overgangsmatricer, er særligt interessante, når vi arbejder med ligevægt for populationssammensætninger. Definition 7: a c En matrice M = er en overgangsmatrice, hvis følgende er opfyldt b d 1) a, b, c og d er positive reelle tal eller nul. ) a+ b= 1 og c+ d = 1. Øvelse 17: Er matricen M fra Eksempel 5 en overgangsmatrice? Er matricen M fra Eksempel 1 en overgangsmatrice? Sætning 3: Lad a c M = b d være en overgangsmatrice, hvor c ¹ 0 og b ¹ 0. Så er vektoren v = k b * c, hvor k ¹ 0 er et reelt tal, ligevægt for matricen M. Øvelse 18: Bevis Sætning 3 ved at udregne * M v og udnytte, at a+ b= 1 og c+ d = 1. Øvelse 19: Bestem ved hjælp af Sætning 3 k for ligevægten i Eksempel 5 (jf. Øvelse 15). Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 9 af 15

63 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7: 1.5 Vi betragter igen M = fra Eksempel 1, hvor vi minder om, at denne matrice er en matematisk model, der modellerer ændringen i kaninpopulationen fra et år til det næste år. Vi antog, at der var 100 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner fra start. Vi betegner startpopulationen med v 0, dvs. v =. 0 Øvelserne i forbindelse med Eksempel 1 viste, at der med tiden bliver cirka 3 gange så mange unge som gamle hunkaniner. Eksempelvis finder vi, at M v0 = = Ligeledes kan vi ud fra tabellen i Øvelse se, at populationen cirka vokser med en faktor.5 pr. år, idet vi får =, = og = Hvis vi tager udgangspunkt i, at forholdet mellem unge og gamle hunkaniner allerede i starten er 3, 3 x0 og at antallet af gamle hunkaniner er x 0, svarende til v0 =, så kan vi på baggrund af x0 ovenstående opstille følgende udtryk for populationen i år 1, som vi betegner v 1 : x0 7.5 x0 v1 = M v0 = = =.5 v x0.5 x0 Altså gælder der, at M v 0 =.5 v. 0 Resultatet falder tilbage på sammenhængen mellem M og faktoren,5, som vi eksperimenterede os frem til ved at bruge skemaet fra Øvelse. Forsøger vi nu at fremskrive én gang mere til år, får vi x x0 = 1 = 0 = = = = x0 6.5 x0 v M v M v v v. Dette er en helt speciel egenskab, som vi vender tilbage til lidt senere. Øvelse 0: Tjek udregninger ovenfor vha. et CAS-værktøj. Det centrale her er, at vi kunne have brugt faktoren,5 som kaldes en egenværdi for M til at fremskrive uden at bruge M i udregningerne. Sammenhængen vil vi arbejde videre med nu. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 10 af 15

64 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Eksempel 8: Betragt matricen 3 1 M = 4 og vektoren v =. 11 Vi multiplicerer M med v og får M v = = =, dvs. ved multiplikationen bliver v blot multipliceret med. Det er netop den egenskab, vi også så i Eksempel 7, og det giver anledning til følgende definition: Definition 8: Vektoren v kaldes en egenvektor for en matrice M, når M v = λ v, hvor λ er et tal, og v 0. λ kaldes for egenværdien for den pågældende egenvektor. Af Eksempel 7 følger beregningen x0 7.5 x0 v1 = M v0 = = =.5 v0, x0.5 x0 1.5 dvs. tallet,5 er ifølge Definition 8 en egenværdi for M = med tilhørende egenvektor v 3 x. Fortsættes får vi v = M v 1 = M M v 0 = M.5 v 0 =.5 M v 0 =.5.5 v 0 =.5 v = x0 Øvelse 1: Vis, at 1 v = er en egenvektor for 3 1 M =, og bestem den tilsvarende egenværdi. 4 Øvelse : Bestem en vektor, som ikke er egenvektor for 3 1 M =. 4 Selve definitionen af egenværdi og egenvektor giver ikke en metode til at bestemme egenvektorer og egenværdier. Det får vi brug for, og følgende sætning udtaler sig om dette: Sætning 4: λ er en egenværdi for en matrice M, netop hvis det( M λe ) = 0. Den tilhørende egenvektor v kan bestemmes som løsningen til ligningen ( M λ E) v = 0. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 11 af 15

65 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Eksempel 9: Vi illustrerer anvendelsen af Sætning 4 på matricen fra tidligere, før vi beviser sætningen. 3 1 Lad M =. Vi bestemmer λ 0 3 λ 1 M λ E = λ = = λ 4 λ, og beregner determinanten for denne matrice æ3 λ 1 ö é - ù ê ú = - + çêç 4-λú èë û ø det λ 7λ 10. Løses andengradsligningen λ 7λ+ 10= 0får vi λ = og λ = 5, hvilket stemmer med eksempel 8 og øvelse 1. Ydermere fortæller det os, at der ikke er flere egenværdier end disse to. Hvis vi vil bestemme egenvektorerne svarende til λ =, så løser vi ( M E) v = 0, og med CASværktøj får vi æé3 1ù é1 0ùö éxù é0ù é x+ y= 0 ù ê - =,. çêç èë ú û ê ë ú û ø ê ëyú û ê ë0ú û ê ëx+ y= 0ú û Heraf følger, at der er uendeligt mange egenvektorer til matricen M, fordi der er uendeligt mange løsninger til ligningssystemet, blot med krav om, at x = y. Øvelse 3: Bestem egenværdier og tilhørende egenvektorer til matricen M = Øvelse 4: Vis, at matricen 4 M = 3 1 ikke har nogen egenværdier. Øvelse 5: Vi vender nu tilbage til Sætning 4. I sætningen står netop hvis, hvilket betyder, at sætningen består af to udsagn, nemlig: 1) Hvis λ er en egenværdi for en matrice M, så er det( M λe) = 0, og omvendt: ) Hvis det( M λe) = 0, så er λ en egenværdi for matricen M. Vi beviser først 1), dvs. vi antager, at λ er en egenværdi for M, og vi skal så vise, at det( M λe) = 0. Af definitionen på egenværdi har vi, at der findes en egentlig vektor v (dvs. v ¹ 0 ), så M v = λ v, og heraf følger, at M v-λ v = 0 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 1 af 15

66 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning M v-λ E v = 0 ( M -λ E) v= 0 Men denne ligning har ikke alene v men også nulvektoren som løsning, dvs. der er altså mindst to løsninger. Hvis determinanten for et ligningssystem er forskellig fra 0, så vil der jo være præcis én løsning, så derfor kan vi konkludere, at determinanten her må være nul, dvs. det( M λe) = 0. Hermed har vi bevist 1). Vi beviser nu ), dvs. vi antager, at det( M λe) = 0, og vi skal så vise, at λ er en egenværdi for M. Når vi skal vise, at λ en egenværdi for M, så skal vi vise, at der findes en egentlig vektor egenvektor for M, dvs. u skal opfylde, at M u= λ u, eller som ovenfor, at ( M -λ E) u= 0. æxö u = ç çèy, som er ø Opstil det tilsvarende ligningssystem, idet æa cö M =ç ç ç çè b d ø : ( a-λ) x+ c y= 0 (*) b x+ ( d-λ) y= 0. (**) Vi ved jo at determinanten for ligningssystemet er 0, så derfor får vi ( a-λ) ( d- λ) + c ( - b) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (*) og vis, at hvis vi vælger æd - λö u =ç ç çè -b, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æd - λö u =ç ç çè -b også opfylder ligningen i (**). ø Således er u en egenvektor for M. Determinantudtrykket i (***) kan omskrives til (overvej!) b - ( c) + ( d-λ) ( a- λ) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (**) og vis, at hvis vi vælger æ - c ö w =ç ç çèa -λ, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æ - c ö w =ç ç çèa -λ ø også opfylder ligningen i (*). Således er w en egenvektor for M. Men kan vi være sikre på, at u og w er egentlige vektorer eller kunne u og w være nulvektoren? Hvis u og w var nulvektoren, så ville der gælde, at æd λö æ0ö - = è ç -b ø çè0 ø, dvs. d- λ = 0 - b= 0 og, at Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 13 af 15

67 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning æ c ö æ0ö - = çèa -λ ø çè0 ø, dvs. - c= 0 a- λ = 0, hvilket betyder, at b= c= 0 d- λ= a- λ= 0, og dermed, at a= d. Men så ville M jo være æa 0ö æ1 0ö M = = a = a E 0 a 0 1, çè ø çè ø og denne matrice har jo alle vektorer som egenvektorer (overvej!) og ikke kun de to u og w, som vi fandt ovenfor. Altså er u og w egentlige vektorer. Vi har således vist, at der findes en egentlig vektor, der er egenvektor for M og dermed, at λ er egenværdi for M. Hermed har vi bevist Sætning 4. Hvis vi afslutningsvist igen vender os mod Eksempel 1 med kaninpopulationen, kan vi nu udlede den sammenhæng mellem ligevægten i en population og egenværdierne, som blev sandsynliggjort tidligere. Ofte vil man nemlig være interesseret i at kende udviklingen af v n, når n bliver stor. Sætning 5: n Når n bliver stor, vil v n = M v nærme sig 1n 0 c λ v, hvor c er en konstant, λ 1 er den største af de to egenværdier til M, (dvs. λ1 > λ ), med tilhørende egenvektor v. Sætningen kan også formuleres med matematisk notation: n n v = M v c λ v for n n 0 1 n Da vn c λ1 v, når n er stor, gælder det også, at n 1 n n v n 1 c λ + 1 v = λ 1 c λ 1 v = λ + 1 ( c λ 1 v) λ 1 vn. Fortolkningen er interessant: For store værdier af n, kan man fremskrive en population blot ved at gange v n med λ 1. Eller sagt på en anden måde: Populationen vokser med en faktor λ 1 ved hver fremskrivning. Fremskrivning af en population over flere perioder, kan altså generaliseres ved blot at gange v n med den rette potens af λ 1. Sætningen vises ikke, men resultatet føres tilbage til Eksempel 1 med kaninpopulationen. Her var 1.5 populationsmatricen M =, og udregninger senere viste, at egenværdien for matricen var λ 1 = x0 3 x0 3 x0 med tilhørende egenvektor v0 =. Den videre udregning viste, at v = λ1 =.5, x0 x0 x0 hvilket er i overensstemmelse med Sætning 5. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 14 af 15

68 Forberedelsesmateriale sommertermin timer med vejledning Populationen kan altså fremskrives udelukkende vha. af egenvektoren og egenværdien og så selvfølgelig startpopulationen! Der gælder ligeledes en sætning for overgangsmatricerne, som gør, at vi kan bruge egenvektoren til at finde en populations ligevægt. Dette anskueliggøres ud fra Eksempel 5, hvor vi først finder en af egenvektorerne og den tilsvarende egenværdi til matricen i eksemplet. Øvelse 6: Eftervis ved at benytte Definition 8, at v = er en egenvektor til overgangsmatricen M = med tilhørende egenvektor λ = 1. Det betyder, at M v = v. Hvilken yderligere egenskab har v dermed i denne sammenhæng? Øvelse 7: I Øvelse 14 var M v0 = Hvordan hænger dette sammen med egenvektoren v =? 1 Vi har nu sandsynliggjort, at der er en klar sammenhæng mellem en populations ligevægt og egenvektoren, som vi kan formulere i en sætning: Sætning 6: * Hvis M er en overgangsmatrice, og v * er en ligevægt for M, så er v en egenvektor med tilhørende egenværdi 1. * Det gælder desuden, at 1 er den største egenværdi for M, og at vn k v, hvor k er en konstant, når n. Sætningen siger netop, at en populations ligevægt er proportional med egenvektoren. Det betyder altså, at forholdet mellem egenvektorens koordinater kan genfindes i koordinatsættet for populationens ligevægt. Bemærk, at Sætning 3 siger, at dette forhold faktisk også kan genfindes mellem c og b i selve overgangsmatricen M! I øvelserne før Sætning 6 fremgår det fx, at forholdet mellem koordinaterne i populationens ligevægt v0 M v0 = er 1, ligesom i egenvektoren v =. Det samme forhold findes mellem 0,7 og 0,06 i M. Materialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK KVL, 006, Henrik Laurberg Pedersen & Thomas Vils Pedersen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 15 af 15

69 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet 1frs111-MATn/A Onsdag den 18. maj 011 kl

70 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

71 STX-Matematik A Net maj 011 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 a) Reducér udtrykket ( a+ b)( a b) + ( a+ b) ab. Opgave a) Løs andengradsligningen x 8x+ 15= 0. Opgave 3 To vektorer a og b er givet ved 8 a = 7 og 3 b =. 4 a) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. b) Undersøg, om vinklen mellem a og b er stump. Opgave 4 På figuren ses graferne for tre andengradspolynomier f, g og h, som har forskrifterne f( x) = x x+, gx ( ) = x+ x og hx ( ) = x + 4x+. a) Argumentér for, hvilken af graferne A, B og C, der er graf for f, g og h. Opgave 5 I en skov er der i 008 en træmasse svarende til 3000 m 3. Træmassen i skoven stiger med 4% om året. a) Indfør passende variable, og opstil en model for udviklingen i træmassen som funktion af antal år efter 008.

72 Stx matematik A Net maj 011 side af 6 Opgave 6 Figuren viser et rektangel ABCD, det er delt i to rektangler ABGE og EGCD. F er skæringspunktet mellem diagonalen AC og siden EG. B G 4 C 10 F A 8 E D a) Bestem EF. b) Bestem AB. Opgave 7 En funktion f er givet ved () f x x x 4 ( ) = (1) På figuren ses en skitse af grafen for f. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). f b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 8 På figuren ses en ret linje l gennem punkterne A og B. Desuden er et rektangel indskrevet i trekant OAB som vist på figuren. l () A(0,4) a) Bestem arealet af rektanglet som funktion af x. b) Bestem den værdi af x, der gør arealet af rektanglet størst mulig. O x B(,0) (1) Besvarelsen afleveres kl

73 Stx matematik A Net maj 011 side 3 af 6 Delprøve Kl Opgave 9 Mælk pasteuriseres ved varmebehandling. Tabellen nedenfor viser sammenhørende værdier af behandlingstiden (målt i sekunder), og den temperatur (målt i C) mælken skal behandles med for at blive pasteuriseret. Behandlingstid Temperatur I en model kan sammenhængen mellem behandlingstiden og temperaturen beskrives ved en funktion af typen a f ( x) = b x, hvor x er behandlingstiden (målt i sekunder), og f ( x) er temperaturen (målt i C). a) Bestem a og b. b) Bestem temperaturen, når behandlingstiden er 100 sekunder. c) Bestem den procentvise ændring i temperaturen, når behandlingstiden stiger med 90%. Opgave 10 På en skole har man opgjort det gennemsnitlige fravær for eleverne på to forskellige studieretninger. Tabellen viser antallet af elever fordelt på studieretning og gennemsnitligt fravær. Studieretning\Fravær 0-5% 5-10% over 10% A B a) Opstil en nulhypotese, og undersøg, om der på et 5% signifikansniveau er forskel i elevernes fravær på de to studieretninger. Opgave 11 En vektor v og en matrice M er givet ved a) Bestem 1 v = 5 M v. og 0 M =. 0,9 0,

74 Stx matematik A Net maj 011 side 4 af 6 Opgave 1 På figuren ses et solsejl indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på akserne. I en model antages det, at solsejlet er en del af en plan α, og at solsejlets hjørner er fastgjort i punkterne: A (4, 0, 3.), B(0, 0, 3.5) og C (0, 5, 3.). z B A C x y a) Bestem en ligning for den plan α, som solsejlet er en del af. Solens stråler er på et bestemt tidspunkt på dagen parallelle med vektoren 1 v = 1. b) Bestem vinklen mellem solens stråler og solsejlet. Opgave 13 En lampe ses fra siden. () f a (1) På figuren er lampen placeret i et koordinatsystem, hvor lampens øvre profil følger grafen for funktionen f, og den nedre profil følger førsteaksen. Funktionen f har forskriften f( x) sin x 33 a) Bestem lampens maksimale højde a (se figur). b) Bestem lampens tværsnitsareal., hvor 0 x 33.

75 Stx matematik A Net maj 011 side 5 af 6 Opgave 14 På et bestemt gymnasium sælges to slags sodavand A og B. På gymnasiet gennemføres jævnligt spørgerunder blandt de elever, der drikker sodavand, om de vælger A eller B. Det antages, at 10 % af eleverne skifter fra A til B, og % skifter fra B til A fra spørgerunde til spørgerunde. Antallet af elever, der drikker henholdsvis sodavand A og sodavand B i spørgerunde n betegnes henholdsvis a n og b n. a) Gør rede for, at udviklingen i fordelingen mellem antal elever, der drikker sodavand A og sodavand B, kan beskrives ved an+ 1 0,9 0, an = b 0,1 0,78 b n+ 1 n. 0,9 0, b) Bestem en egenvektor for, når egenværdien er 1. Hvad fortæller den 0,1 0, 78 fundne egenvektor om forholdet mellem antal elever, der vælger sodavand A henholdsvis B? Opgave 15 I en model kan udviklingen i massen af et bestemt radioaktivt stof i en lukket beholder beskrives ved en funktion ( ) Mt, der er løsning til differentialligningen M M 0,0096 t 0,069 9,67 e, hvor Mter ( ) massen (målt i mg) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at M (0) = 0. a) Bestem en forskrift for Mt, ( ) og skitser grafen for 0 t 100. b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden er 0.

76 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet frs111-matn/a Tirsdag den 4. maj 011 kl

77 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

78 Stx matematik A Net maj 011 side 1 af 6 Delprøve1 Kl Opgave 1 a) Løs ligningen x 10x =. Opgave Et andengradspolynomium er givet ved f( x) = 3x 1x+ 8. b) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 3 I en model kan en persons makspuls, dvs personens maksimale antal pulsslag pr. minut, beskrives ved funktionen M ( x) = 08 0,7x, hvor x betegner personens alder i år, og M ( x) betegner personens makspuls. a) Bestem makspulsen for en person på 0 år. b) Gør rede for, hvad konstanterne 08 og 0,7 fortæller om udviklingen i en persons makspuls i relation til personens alder. Opgave 4 a) Bestem 3 (3x + ) 0 xdx. Opgave 5 To rette linjer l og m er givet ved l: x 0 = + t y 1 4 og m: x+ y = 0. a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og m.

79 Stx matematik A Net maj 011 side af 6 Opgave 6 Hr. Hansen kan tværs over åen fra sin hoveddør A se et udsigtstårn P (se figur). For at bestemme, hvor langt der er fra hans hoveddør over til udsigtstårnet, foretager han en opmåling. Først går han 900 m vinkelret på sigtelinjen fra A til P til punktet B, og fra B går han 400 m vinkelret på AB til punktet C. Fra C går han langs sigtelinjen fra C til P, indtil han krydser sin vej fra A til B, og her markerer han punktet D. Herefter måler han afstanden fra D til A, som er 600 m. C B D A Å P a) Hvor langt er der fra Hr. Hansens hoveddør i A til udsigtstårnet i P? Opgave 7 På figuren ses grafen for en funktion f. f () (1) Det oplyses, at en af nedenstående tre grafer A, B eller C er graf for f. A () () B (1) (1) () C (1) a) Gør rede for, hvilken af de tre grafer, der er graf for f.

80 Stx matematik A Net maj 011 side 3 af 6 Opgave 8 En funktion f er givet ved f ( x) = x ln( x), x > 0. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). Opgave 9 I en model kan antallet af skarvkolonier i Danmark i perioden beskrives ved en funktion S af tiden t (målt i år efter 198). Den hastighed, hvormed antallet af skarvkolonier vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af skarvkolonier til tidspunktet t og forskellen mellem 67 og antallet af skarvkolonier til tidspunktet t. Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er k = 0,009. a) Opskriv en differentialligning, som S må opfylde. Kilde: Forvaltningsplan for skarv i Danmark, Skov- og Naturstyrelsen, Miljøministeriet, 009. Opgave 10 En metalplade har form som vist på figuren, hvor nogle af metalpladens mål er angivet 3 cm x y 4 cm a) Bestem metalpladens omkreds udtrykt ved x og y. b) Bestem x og y, når det oplyses, at metalpladens omkreds er 8 cm, og metalpladens areal er 38 cm. Besvarelsen afleveres kl

81 Stx matematik A Net maj 011 side 4 af 6 Delprøve Kl Opgave 11 Når en basketball rammer gulvet springer den op igen. På figuren er de første tre opspring skitseret. Opspringshøjde 1. opspring. opspring 3. opspring Tabellen viser sammenhørende værdier af det x te opspring og opspringshøjden y (målt i mm). x y I en model kan sammenhængen mellem det x te opspring og opspringshøjden y (målt i mm) beskrives ved y x = ba. a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange procent opspringshøjden aftager med pr. opspring, og bestem halveringskonstanten. Opgave 1 En varmluftsballon er tøjret med to stålwirer, som begge er monteret i det samme punkt Q på ballonkurvens underside og dernæst fastgjort i jorden i to punkter P 1 og P, hvis indbyrdes afstand er 100 meter. Det oplyses, at den ene stålwire i P1 danner en vinkel på 55 med linjen gennem P 1 og P, mens den anden stålwire i P danner en vinkel på 50 med linjen gennem P 1 og P. a) Tegn en skitse af situationen, og bestem længden af den stålwire, der går fra Q til P 1. Opgave 13 En vektor v og to matricer M og N er givet ved 3 v =, 5 5 M = 7 9 og 1 4 N =. 7 3 a) Bestem M v og M N.

82 Stx matematik A Net maj 011 side 5 af 6 Opgave 14 I en model for en bestemt population af mus, der bliver op til år gamle, betegnes mus i alderen 0-1 år som unge, og mus i alderen 1- år betegnes som gamle. De unge mus får i gennemsnit 4 unger pr. år, og halvdelen af de unge mus bliver gamle. De gamle mus får i gennemsnit unger pr. år og dør efter deres andet leveår. Antallet af unge og gamle mus til tiden n betegnes henholdsvis x n og y n. a) Gør rede for, at udviklingen i fordelingen af antal unge og gamle mus kan beskrives ved xn+ 1 4 xn = y 0,5 0 y n+ 1 n. 4 b) Bestem egenværdierne for, og forklar, hvad den største af egenværdierne 0,5 0 fortæller om populationen af mus. Opgave 15 I 001 fandt amerikanske og canadiske forskere, at sammenhængen mellem den oplevede temperatur og den aktuelle temperatur ved forskellige vindhastigheder, det såkaldte windchill indeks, kan beskrives ved w 13,3 0,6 t 13,95 v 0,486 t v 0,16 0,16 = + - +, hvor w er windchill indekset (målt i C ), t er den aktuelle målte temperatur (målt i C ), og v er vindhastigheden (målt i m/s). a) Bestem windchill indekset, når den aktuelle temperatur er - 5C, og vindhastigheden er 0 m/s. b) Bestem den vindhastighed, der ved en temperatur på - 3Cgiver et windchill indeks på -10 C. Kilde: Opgave 16 I sæsonen 009/010 var den procentvise resultatfordeling af kampene i en engelsk fodboldliga som vist i tabel 1. Tabel 1 Sæson Hjemmesejr Uafgjort Udesejr I alt 009/010 50,8% 5,3% 3,9% 100% Pr. 14/ var resultatfordelingen for den igangværende sæson, 010/011, som vist i tabel. Tabel Sæson Hjemmesejr Uafgjort Udesejr I alt 010/ a) Opstil en nulhypotese, og undersøg på et 5% signifikansniveau, om resultatfordelingen pr. 14/11 for sæsonen 010/011 følger samme fordeling som resultatfordelingen for sæsonen 009/010.

83 Stx matematik A Net maj 011 side 6 af 6 Opgave 17 A(39,39,54) B(78,78,0) C(0,110,0) D(0,54,54) T(0,0,450) z T x A B D C y Foto: Kommissionen Billedet viser et tårn med et ottekantet spir. Figuren viser en model af spiret indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1 cm. Nogle af spirets samlepunkter er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan α, der indeholder tagfladen ABCD. Det oplyses, at en ligning for den plan β, der indeholder tagfladen ADT er givet ved 110 x+86 y+39 z = b) Bestem vinklen mellem tagfladerne ABCD og ADT. Opgave 18 To funktioner f og g er givet ved 3 f ( x) 0,01x 0,03x 0,8x = + + og g( x) 0,05x 0,35x =. Graferne for f og g afgrænser i første og fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figur). () g a) Bestem koordinatsættet for skæringspunkterne mellem graferne for f og g, og bestem arealet af M. b) Bestem den største lodrette afstand d mellem de to grafer (se figur). M d f (1)

84 STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 011 Kl frs11-matn/a

85 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

86 STX-Matematik A Net august 011 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 a) Bestem en ligning for den linje, der går gennem punkterne A (1, ) og B (3,8). Opgave To vektorer a og b er bestemt ved 1 a = t og b 4 =, hvor t er et tal. a) Bestem t, når det oplyses, at a og b er ortogonale. Opgave 3 a) Bestem integralet ( x ) dx. Opgave 4 Udviklingen i antal individer i en bestemt population kan beskrives ved Nt () = 500 0,95 t, hvor N() t er antal individer til tidspunktet t (målt i døgn). a) Gør rede for, hvad tallene 500 og 0,95 fortæller om udviklingen i antal individer i populationen. Opgave 5 En cirkel har centrum i punktet C (,3) og radius 5. a) Opskriv en ligning for cirklen. b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen med ligningen y = x.

87 Stx matematik A Net august 011 side af 6 Opgave 6 BMI (Body Mass Index) anvendes i vurdering af en persons risiko for at udvikle sygdomme som følge af overvægt. I tabellen til højre ses sammenhængen mellem BMI og risikovurderingen. På et gymnasium har man undersøgt 31 pigers BMI. Resultatet af undersøgelsen er illustreret ved nedenstående boksplot. BMI Risiko for følgesygdomme 18,4 Forhøjet / moderat forhøjet 18,5-4,9 Middel 5 9,9 Let Forhøjet 30 34,9 Forhøjet 35 39,9 Svært forhøjet 40 Meget svært forhøjet a) Bestem kvartilsættet for pigernes BMI, og vurdér på baggrund heraf pigernes risiko for følgesygdomme. Opgave 7 En billedramme har form som vist på figuren h a) Opskriv rammens omkreds udtrykt ved h. b) Bestem det areal, som rammen dækker, når omkredsen er 54. Opgave 8 Figuren viser graferne for tre funktioner f, g og h. Hver af de tre funktioner er løsning til netop en af differentialligningerne: A: dy = 0 dx B : dy = dx C: dy = 0,1 y dx a) Gør rede for, hvilken af differentialligningerne A, B og C, der hører til hvilken af funktionerne f, g og h.

88 Stx matematik A Net august 011 side 3 af 6 Opgave 9 En funktion f er bestemt ved f( x) = ln x x, x> 0. a) Bestem monotoniforholdene for f. Den rette linje l er bestemt ved ligningen y = x+ 1. Grafen for f har en tangent t, der er parallel med l. b) Bestem førstekoordinaten til røringspunktet mellem t og grafen for f. Besvarelsen afleveres kl

89 Stx matematik A Net august 011 side 4 af 6 Delprøve Kl Opgave 10 Foto: Tabellen viser udviklingen i antallet af ynglende skarver i Danmark i perioden År Antal a) Indfør passende variable, og opstil en eksponentiel model, som beskriver antallet af ynglende skarver i Danmark som funktion af antal år efter 005. b) Hvornår vil antallet af ynglende skarver i Danmark ifølge modellen være under 0000? Opgave 11 Figuren viser trekant ABC, hvor sidelængderne er AB = 6, AC = 7 og BC = 4. a) Bestem B. Vinkelhalveringslinjen fra B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem arealet af trekant ABD.

90 Stx matematik A Net august 011 side 5 af 6 Opgave 1 To vektorer i rummet er givet ved a = 3 6 og 3 b = 5. 4 a) Bestem arealet af det parallelogram, der er udspændt af a og b. Planen β har ligningen 3x+ 6y z+ 8= 0, og punktet P har koordinaterne P(0, 10,18). b) Bestem afstanden fra P til β. Opgave 13 a) Løs ligningen 4 x 5 =. 5 3 y 6 Opgave 14 I en model inddeles en bestemt population i to kategorier A og B. Antallet af individer i henholdsvis kategori A og B i år n betegnes a n og b n. Det oplyses, at udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år kan beskrives ved an+ 1 an = M, b b n+ 1 n hvor 0,8 0,4 M =. 0, 0,6 Det oplyses, at a 0 = 0 og b 0 = 30. a) Bestem a 4 og b 4. b) Gør rede for, hvad tallene i matricen M fortæller om udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år.

91 Stx matematik A Net august 011 side 6 af 6 Opgave 15 En funktion f er bestemt ved f( x) = (1 x)( x a), a> 1. a) Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og førsteaksen. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal. Ligeledes afgrænser grafen for f sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde N, der har et areal. b) Bestem arealet af M udtrykt ved a, og bestem tallet a, så arealerne af M og N bliver lige store. Opgave 16 I en model for udviklingen af en bestemt type kræftknude i mus kan væksten f (målt i mio. celler/døgn) som funktion af antal celler x (målt i mio.) beskrives ved sammenhængen f( x) = 0, x (9,36334 ln( x)), x> 0. a) Bestem ved hjælp af modellen, hvor mange celler der er i kræftknuden, når væksten er størst. b) Bestem ved hjælp af modellen det maksimale antal celler, der kan være i kræftknuden. Kilde: L. Simpson-Herren and H. H. Lloyd (1970), Kinetic parameters and growth curves for experimental tumor systems, Cancer Chemother. Rep. Part I, 54,

92 Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a Tirsdag den 8. maj 01

93 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

94 Test og hypoteser i statistik Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske data og hypotesetest... 3 Middelværdi, varians og spredning... 4 Stokastiske variable og empiriske størrelser... 4 Normalfordelte observationer... 5 Hypotesetest med et datasæt (en variabel)... 7 Anvendelse af t-test for et datasæt (en variabel) i Muffins Fordeling af t-teststørrelsen Hypotesetest med to datasæt (to variable) Anvendelse af t-test for to datasæt (to variable) i Muffins Kilder... 18

95 Indledning I statistik opstilles hypoteser for variable i en stikprøve. Dette forberedelsesmateriale omhandler to tests, som kan bruges, når du skal vurdere om en hypotese skal forkastes eller accepteres. Det ene test er -testet, som du allerede kender, og det andet test er t -testet. Materialet indeholder to dele. I første del genopfrisker vi centrale dele ved -testet, mens vi i anden del introducerer t -testet og anvender dette til at besvare spørgsmål, som kan være interessante at stille, når vi betragter et datamateriale. Datamaterialet som bruges i denne sammenhæng kaldes Muffins 1. Det indeholder en stor mængde rådata, som stammer fra en spørgeskemaundersøgelse blandt 539 unge tyskere. Vi anvender et større udklip herfra, som findes i den vedlagte fil: MuffinsUdklip.xls. Når man skal håndtere store datasæt, er det vigtigt at kunne sortere datamaterialet, således at de sammenhænge, man ønsker at undersøge, træder tydeligt frem, og data bliver tilgængeligt i den rigtige form. Fx kunne det i nogle tilfælde være interessant at sortere datamaterialet efter køn, således at pigernes svar er adskilt fra drengenes svar. En sådan sortering vil være aktuel, når man skal undersøge sammenhængen mellem køn og en anden kategorisk variabel. Man optæller så blot pigernes og drengenes svar i relation til den anden kategoriske variabel. Denne optælling kan foretages automatisk i et værktøjsprogram. Tilsvarende vil det være hensigtsmæssigt i behandling af datamaterialet at kunne opstille en krydstabel automatisk i et værktøjsprogram. Datamaterialet samt din bearbejdning af dette skal medbringes til eksamen. Du skal under prøven kunne importere data fra et regneark af samme slags som MuffinsUdklip.xls og bearbejde disse i dit værktøjsprogram. Opgaver indenfor -test hører under kernestoffet og er derfor en naturlig del af den skriftlige prøves. delprøve. Derudover vil den skriftlige prøves. delprøve indeholder opgaver, der handler om anvendelse af t-test. 1 Medien- und Freizeitgestaltung für interessanten Stochastikunterricht af Rolf Biehler, Klaus Kombrink, Stefan Schweynoch, 003. Se eventuelt 1

96 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning χ test I forbindelse med χ -test har du arbejdet med datasæt og krydstabeller fx fra en spørgeskemaundersøgelse med to eller flere kategoriske variable. Vi genopfrisker i følgende eksempel sammensat af en række øvelser anvendelsen af χ -uafhængighedstestet, hvor vi samtidigt får et indblik i data fra Muffins. Åben MuffinsUdklip.xls, og åben fanebladet Udklip1 heri. I Udklip1 er der to kategoriske variable: Køn og Hvor ofte man går i kirke. Øvelse 1: Sortering Hvor mange piger og drenge er der i udklippet? Sorter data efter køn og tæl op automatisk i dit værktøjsprogram. Øvelse : Krydstabel Nedenfor ses en krydstabel for de to nævnte variable fra Øvelse 1 (her vist i Excel): Opstil nu selv med udgangspunkt i Udklip1 krydstabellen ovenfor vha. dit værktøjsprogram. Øvelse 3: Stikprøve & population Gør rede for, hvilken af betegnelserne stikprøve og population der kan anvendes om datasættet i Udklip1. Øvelse 4: Nulhypotese Vi ønsker at undersøge, om der er sammenhæng mellem køn og hvor ofte man går i kirke (kaldes for overskuelighedens skyld nu kirkegang). Opstil en nulhypotese, som kan anvendes til at undersøge, om der er sammenhæng mellem køn og kirkegang. Øvelse 5: Forventede værdier Bestem vha. dit værktøjsprogram de forventede værdier under forudsætning af at din nulhypotese er sand, og opstil dem i en krydstabel svarende til krydstabellen for de observerede værdier. Øvelse 6: Kritisk værdi og p-værdi i χ -testet Beregn χ -teststørrelsen, og benyt dit værktøjsprogram til at bestemme den kritiske værdi svarende til et 5% signifikansniveau. Gør rede for, om nulhypotesen skal forkastes eller accepteres på baggrund af χ -teststørrelsen og den kritiske værdi. Gør rede for, at p-værdien sammenlignet med signifikansniveauet giver samme resultat. Bemærk: Nogle værktøjsprogrammer kan udføre dette χ -test automatisk ud fra de observerede værdier i krydstabellen.

97 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Numeriske data og hypotesetest Et datasæt kan også indeholde numeriske data, og disse skal behandles på en anden måde end de kategoriske. Hver søjle i et numerisk datasæt (tabellen med alle observationer) repræsenterer i den sammenhæng målinger af en variabel og i datasættet Muffins kan dette for eksempel være respondenternes højde. Kategoriske og numeriske variable Når vi analyserer et datasæt bestående af kategoriske data, sammenligner vi antallet af observationer i hver kategori på tværs af de variable. Når vi analyserer et datasæt bestående af numeriske data, tager vi udgangspunkt i de såkaldte empiriske størrelser: middelværdi og varians, og sammenligner hver af disse på tværs af de variable. For at illustrere forskellene på numeriske og kategoriske data betragter vi to forskellige datasæt. I afsnittet ovenfor om χ -testet, så vi på kategoriske data, hvor vi optalte antal piger og drenge efter hvor ofte de går i kirke. I Tabel 1 nedenfor har vi målt højden af en række piger og drenge og altså ikke optalt, antallet af drenge og piger med en bestemt højde. Tabel 1: Køn og Højde fra Udklip, som består af datasættene for de to variable fra Udklip1. I både afsnittet ovenfor og i Tabel 1 er der imidlertid tale om stikprøver. Vi har udtaget et forhåbentligt repræsentativt udsnit af den population, som vi ønsker at vide noget om, og ud fra behandling af disse udtaler vi os om bestemte egenskaber ved hele populationen. Øvelse 7: Diagrammer skaber overblik Konstruer relevante diagrammer for data fra både eksemplet med kategoriske data og fra Tabel 1 med numeriske data, og diskuter, hvad diagrammerne viser om de variable, der indgår. Data svarende til Tabel 1 finder du i MuffinsUdklip.xls under fanebladet Udklip. Du kan vælge boksplot, søjlediagrammer, prikplot, histogrammer eller andre relevante figurer evt. opdelt efter køn. 3

98 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Middelværdi, varians og spredning I Tabel 1 kan vi ikke sammenligne kønnene med de redskaber, vi har fra χ -testet, da søjlerne indeholder numeriske data. Vi får brug for en anden metode, og her anvender vi som nævnt størrelserne middelværdi og varians. Eller rettere sagt: De bedste bud vi ud fra Tabel 1 kan give på middelværdi og varians for højdemålingerne i stikprøven. Disse bedste bud kaldes de empiriske størrelser for middelværdi og varians, og de betegnes med de to matematiske symboler: x (empirisk middelværdi) og s (empirisk varians). Empirisk middelværdi, varians og spredning De empiriske størrelser x og s kan beregnes med formlerne: og 1 x1 x x3 x4... x x xi n n i 1 s ( x x), i n 1 i hvor x1, x, x3, x4,..., x n betegner observationerne, dvs. de værdier som variablen antager. Ud fra variansen kan vi også bestemme spredningen, som er kvadratroden af variansen: n s s. Vi har indført sumtegnet her for at forenkle opskrivningen, men de fleste værktøjsprogrammer kan bestemme de empiriske størrelser direkte ud fra observationerne. I Tabel 1 svarer x1, x, x3, x4,..., x n til de observerede højdemålinger, hvor indiceringen angiver målingens nummer i datasættet. n angiver det samlede antal målinger, som er henholdsvis 13 for drengene, og 49 for pigerne. Øvelse 8: Middelværdi, varians og spredning Benyt dit værktøjsprogram til at bestemme de empiriske størrelser for hhv. drengenes og pigernes højde i Tabel 1. Data finder du som tidligere nævnt i Udklip. Stokastiske variable og empiriske størrelser Forskellen på den empirisk middelværdi og den værdi, som vi i det følgende vil kalde den sande middelværdi, kan illustreres ved at betragte datasættet i Tabel nedenfor, som viser højdemålingerne for 5 drenge fra Udklip. Tabel : Uddrag af højdemålinger for 5 drenge i Muffins. 4

99 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Betragter vi for eksempel højdemålingen 1,9 meter, kan man gøre sig følgende overvejelse: Hvor præcist blev denne højde målt? Forestiller vi os, at fem personer en af gangen måler denne drengs højde, vil de fem personers målinger efter al sandsynlighed variere en smule. En vil måske måle højden til 1,895 m, en anden 1,900 m osv. Pointen her er, at denne variation ikke giver os mulighed for at udtale os om, hvad drengens sande højde er. Vi accepterer dog, at vi har et rimeligt godt bud på den sande højde. Når vi beregner middelværdi og spredning som ovenfor, så giver vi et empirisk bud på middelværdien for højden af henholdsvis piger og drenge i Udklip som jo ikke nødvendigvis er fuldstændigt entydigt korrekt. Derfor skelner vi mellem begreberne empiriske og sande størrelser, hvor de empiriske er knyttet til de faktiske observationer, mens de sande er teoretiske værdier. Stokastisk variabel I statistikkens verden kaldes de empiriske størrelser repræsentationer for de enkelte højdemålinger. Man indfører begrebet stokastisk variabel, som repræsentant for observationerne. Den stokastiske variabel betegnes X. I relation til Tabel 1 og taler man om den stokastiske variabel X i som repræsentant for højdemålingen x i. Der forekommer som nævnt en (tilfældig) variation i det konkrete udfald x i, men med den stokastiske variabel kan vi beskrive disse variationer. De værdier, som vi ovenfor har kaldt de sande værdier, betegnes matematisk som følger: Den sande middelværdi:. Den sande varians:. Den sande spredning:. Normalfordelte observationer For at vi kan komme nærmere en behandling og vurdering af middelværdien for højdemålingerne bag udsnittet i Tabel, kræves det, at højdemålinger følger en kendt fordeling. Dette krav indebærer, at der er en bestemt systematik i observationerne og at den stokastiske variabel, der ligger bag målingerne, kan beskrives systematisk med en matematisk model her normalfordelingen. Når man undersøger om et datasæt er normalfordelt gør man det grafisk med et fraktildiagram. I et fraktildiagram plotter man datasættets målinger på førsteaksen og de forventede værdier, under forudsætning af at datasættet er normalfordelt, på andenaksen. Hvis datasættet rent faktisk er normalfordelt, så vil alle målingerne derfor ligge præcist på en ret linje. Disse forventede værdier beregnes ved at anvende den omvendte funktion til standardnormalfordelingens tæthedsfunktion på i, hvor i betegner observationens nummer på den sorterede liste (her sorteret efter n stigende højde), og n betegner det samlede antal observationer i datasættet. Øvelse 9: Standardnormalfordelingen Hvad kendetegner standardnormalfordelingen? Søg fx oplysningerne på internettet. 5

100 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Øvelse 10: Fraktildiagram Sorter drengenes højde efter størrelse (stigende) i Udklip ved hjælp af dit værktøjsprogram. Opret to nye kolonner, som skal indeholde henholdsvis observationsnummer og den forventede værdi for hver af observationerne. De forventede værdier for højdemålingerne beregnes med værktøjsprogrammets indbyggede facilitet dertil. Her er det vist i Excel, hvor i = 1og n = 13, og hvor 0 og 1 er henholdsvis middelværdi og spredning i standardnormalfordelingen. Resultat: Fortsættes beregningerne for i =, i = 3 osv. dvs. for i fraktildiagrammet som følger: i n = 13, i 3 n = 13 osv., så bliver de første 6 punkter 1, 65;.60, 1, 65;,35, 1, 65;,19, 1, 68;, 08, 1, 68; 1,99, 1, 69; 1,91. Plot nu fraktildiagrammet med højdemålingerne på førsteaksen og de forventede værdier på andenaksen. Plot også den bedste rette linje (regressionslinjen) gennem punkterne. Hvis punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje, så kan vi opfatte højdemålingerne som normalfordelte. Hvis punkterne derimod afviger systematisk fra en ret linje, så må man lede efter en anden model for fordelingen. Typisk gælder det, at jo flere målinger, des mindre variation omkring en ret linje vil man forvente, og punkterne i et fraktildiagram må gerne sno sig omkring linjen. For drengene ser det ud som på Figur 1 nedenfor. Figur 1: Fraktildiagram for fordelingen af drengenes højdemålinger, som angivet i Tabel 1. De fleste værktøjsprogrammer kan dog lave fraktildiagrammer direkte, uden at du behøver at udregne de forventede værdier. Fraktildiagram Plot af punkter (observeret værdi, forventet værdi) for et datasæt, hvor den forventede værdi er baseret på standardnormalfordelingen. Hvis punkterne tilnærmelsesvist ligger på en ret linje, kan datasættet betragtes som værende normalfordelt. I mange værktøjsprogrammer kaldes denne omvendte normalfordelingstæthedsfunktion for norminv( ) eller invnorm( ). 6

101 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning En mindre præcis måde at vurdere på om et datasæt er normalfordelt, er ved at gruppere data og konstruere et søjlediagram. Er datasættet normalfordelt, vil man forvente at observationerne fordeler sig symmetrisk omkring den empiriske middelværdi, og at der er flest observationer tæt på middelværdien, mens der er færrest længst væk fra middelværdien. Fordelingen af observationerne siges at være klokkeformet. For alle højdemålingerne for drengene, som ligger bag udklippet i Tabel, ser den grupperede grafiske fremstilling (med intervalbredde 5 cm) ud som i Figur : Figur. Søjlediagram for fordelingen af alle højdemålingerne for drengene angivet i Tabel 1. Fraktildiagrammet og søjlediagrammet i Figur 1 og, giver god grund til tro, at drengenes højder er normalfordelte, og vi kan derfor gå ud fra, at fordelingen af højdemålingerne kan beskrives ved en normalfordeling. Vi siger også, at den stokastiske variabel X, der ligger bag data er normalfordelt, og vi skriver med matematisk notation: X N (, ). Med denne notationen fortæller vi samtidigt, at fordelingen er bestemt ud fra de to parametre, og. Det er jo disse parametre, vi estimerer, og vi vil i næste afsnit undersøge dem nærmere. Øvelse 11: Fraktildiagram og søjlediagram Sortér pigernes højdemålinger i Udklip efter størrelse, og undersøg vha. et fraktildiagram og et søjlediagram, om pigernes højder kan antages at være normalfordelte. Der vil til den skriftlige prøve ikke blive stillet krav om fremstilling af fraktildiagrammer. Hypotesetest med et datasæt (en variabel) Hvis vi ønsker at undersøge, om de empiriske størrelser knyttet til et datasæt stemmer overens med andre undersøgelsers bestemmelse af samme (oplyst værdi), kan vi gøre dette med et t -test. Som i χ -test opstilles og undersøges en nulhypotese, som typisk formuleres som følger: Middelværdi i datasæt og den oplyste værdi er ens. Antag, at danske drenge i alderen år i gennemsnit er 1,8 m høje. Hvis vi fx ønsker at undersøge, om gennemsnitshøjden for de tyske drenge i Muffins er den samme som de danske drenges gennemsnitshøjde, opstiller vi nulhypotesen: De tyske drenges gennemsnitshøjde er 1,8 m Intuitivt kan man undersøge nulhypotesen ved at betragte forskellen mellem den empiriske middelværdi, x 1,84 (som du fandt i Øvelse 8), og de danske drenges højde 0 = 1,8 m. Men vi må også tage 7

102 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning datasættets spredning i betragtning. Hvis spredningen i datasættet er stor, så vil man acceptere en større margin på forskellen mellem de to middelværdier x og 0. Er spredningen derimod lille, så vil kun en mindre margin blive accepteret. Man kan vise at den empiriske middelværdi, x, er normalfordelt med spredning, og det er den værdi, n vi skal dividere forskellen mellem middelværdierne med, således at spredningen tages i betragtning: s t-teststørrelse for et datasæt Den generelle formel til beregning af t-teststørrelsen er: x 0 t s n Da x er normalfordelt, kan man vise at t-teststørrelsen er: t-fordelt med f n 1 frihedsgrader og vi skriver: t tn 1 Nulhypotesen kan nu formuleres som: H 0 : Middelværdien for de tyske drenges højde er 1,8 m, dvs. 0 1,8. t-teststørrelsen kan på baggrund af udregningerne fra Øvelse 8 og bemærkningen ovenfor beregnes til: t 0,941 Vi har nu brug for at vurdere om teststørrelsen 0,941 er kritisk i forhold til vores nulhypotese. t-fordelingen har et meget nært slægtskab med normalfordelingen. Vi får brug at kunne vurdere teststørrelsen i forhold til en kritisk værdi, der kan fortælle, om vi skal forkaste nulhypotesen på et givet signifikansniveau. Som ved χ -testet bruger vi den funktion, som teststørrelsen er knyttet til, her t-fordelingen med n 1 frihedsgrader, til at bestemme den sandsynlighed, der svarer til teststørrelsen. Den sandsynlighed er ligesom i χ -testet netop et udtryk for, hvor svært/let det er, at frembringe en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede altså p-værdien! Grafisk set er p-værdien ligesom ved χ -testet med stor tilnærmelse givet ved arealet af det område, som grafen for fordelingens tæthedsfunktion afgrænser sammen med førsteaksen i intervallet afgrænset af teststørrelsen. t-testet er i modsætning til χ -testet dog to-sidet, dvs. området er to-delt en del til højre for den positive værdi af teststørrelsen og en del til venstre for den negative værdi af teststørrelsen (se Figur 3 nedenfor). Vi kan også vælge at sammenligne teststørrelsen direkte med den kritiske værdi, ligesom i forbindelse med χ -testet. De kritiske værdier kan beregnes med et værktøjsprogram. På Figur 3 nedenfor ses grafen for tæthedsfunktionen for t-fordeling med f frihedsgrader. På figuren til venstre ses også plot af teststørrelsen 0,941 og den kritiske værdi 1,97 svarende til et signifikansniveau på 5% (dvs. der afskæres,5% i hver side). På figuren til højre ser vi, at arealet af det skraverede (gule) område afgrænset af grafen og førsteaksen hhv. til venstre for den negative værdi og til højre for den positive værdi af teststørrelsen er 34,8%, hvilket netop svarer til p-værdien. 8

103 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Figur 3: t-fordelingen, med 1 frihedsgrader. Til venstre ses teststørrelsen t 0,941 og den kristiske værdi 1,97. Til højre ses den grafiske beregning af p-værdien. Det giver os, under forudsætning af at nulhypotesen er sand, anledning til, ikke at forkaste nulhypotesen på signifikansniveau 5%, da p-værdien er 0,348, dvs. sandsynligheden for at finde en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede er 34,8%. Vi kan naturligvis også beregne p-værdien (her vist i Excel): Resultat: Vi kan også beregne den kritiske værdi for t-testet på et 5% signifikansniveau med 1 frihedsgrader (her vist i Excel): Resultat: dvs. en kritisk værdi på 1,971, altså er vores teststørrelse på 0,941 mindre end den kritiske værdi, og vi kan således konkludere, at vi ikke kan forkaste nulhypotesen om, at gennemsnittet af de tyske drenges højde er 1,8 m. p-værdi og kritisk værdi Hvis p-værdien er mindre end signifikansniveauet, forkastes nulhypotesen. Hvis t-teststørrelsen er positiv og er større end den kritiske værdi ved det valgte signifikansniveau, så forkastes nulhypotesen. Hvis t-teststørrelsen er negativ og er mindre end den negative kritiske værdi ved det valgte signifikansniveau, så forkastes nulhypotesen. 9

104 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Anvendelse af t test for et datasæt (en variabel) i Muffins I et udklippet Udklip1 finder vi også andre variable, som vist i Tabel 3 nedenfor. Tabel 3. Uddrag af observationer for flere variable fra Udklip1. Vi vil nu undersøge, om gennemsnitshøjden for pigerne i stikprøven er 1,685 m, som oplyst på folkesundhed.dk. Vores nulhypotese bliver da: H 0 : Middelværdien for de tyske pigers højde er 1,685 m, dvs. højdepiger 1, 685 Vi bruger datasættet Udklip og bestemmer først deskriptorerne for datasættet her vist i Excel ved hjælp af Dataanalyse 3 : Herfra får vi den empiriske middelværdi, empiriske varians samt antal (alle indrammet ovenfor). Vi har dermed de størrelser, vi skal bruge til at teste nulhypotesen, og vi får teststørrelsen: t,381. Den kritiske værdi for t-fordelingen med signifikansniveau 5% og med 48 frihedsgrader kan bestemmes til: 3 Installation af Dataanalyse i Excel sker under Indstillinger > Tilføjelsesprogrammer. En vejledning hertil kan findes flere steder på internettet. 10

105 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Resultat: Dvs. vores teststørrelse er større end den kritiske værdi, og vi må derfor forkaste vores nulhypotese på et 5% signifikansniveau, under forudsætning af at nulhypotesen er sand, dvs. gennemsnitshøjden for pigerne i stikprøven er ikke 1,685 m. p-værdien kan beregnes til 0,017 dvs. der er kun 1,7% sandsynlighed for at få en lige så stor værdi, som den fra folkesundhed.dk, hvilket jo giver samme konklusion. Bemærk: Nogle værktøjsprogrammer kan udføre dette t-test automatisk ud fra fx de observerede værdier i tabellen. Øvelse 1: t-test gennemsnitshøjde for drenge Undersøg med udgangspunkt i stikprøven Udklip1, om der er belæg for, at drengenes gennemsnitshøjde er 1,810 m. Du vælger selv signifikansniveau. Øvelse 13: t-test gennemsnitsvægt Undersøg med udgangspunkt i stikprøven Udklip1, om disse respondenter har en gennemsnitsvægt på 60 kg. Du vælger selv signifikansniveau. Fordeling af t teststørrelsen Vi vil i det følgende undersøge t-teststørrelsen vha. simulering. Vi opfatter nu vores stikprøve med højderne for de 46 piger og drenge som vores population. Fra populationen udtager vi stikprøver af forskellig størrelse rigtig mange gange for at se, hvordan de mange teststørrelser for hver af disse stikprøver fordeler sig. Stikprøve på 7 personer Vi vælger at tage 76 stikprøver på hver 7 tilfældige personer blandt de 46. På figuren nedenfor ses et prikplot og et søjlediagram over fordelingen af de 76 teststørrelser: Figur 4. Prikdiagram og søjlediagram for 76 værdier af teststørrelsen. Prikplottet viser de 76 værdier af teststørrelsen, og vi ser, at teststørrelserne er både positive og negative. Mange af teststørrelserne samler sig omkring 0 og færre længere væk fra 0, og vi ser også en vis grad af symmetri omkring 0. Histogrammet viser, at de 76 teststørrelser fordeler sig med tilnærmelse til grafen for tæthedsfunktionen for en t-fordeling med 6 frihedsgrader, og vi skriver t teststørrelse t 6. Udvider vi fra 76 til 1000 stikprøver og tegner et prikplot med de 1000 teststørrelser, så får vi: 11

106 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Figur 5. Prikdiagram og søjlediagram for 1000 værdier af teststørrelsen. Konstruerer vi et histogram over fordelingen af de 1000 teststørrelser, finder vi, at histogrammet i endnu højere grad end med de 76 stikprøver følger grafen for tæthedsfunktionen for en t-fordeling med 6 frihedsgrader. Øvelse 14: Frihedsgrader Tegn grafen for tæthedsfunktionen for t-fordelingen (benyt den indbyggede tæthedsfunktion i dit værktøjsprogram) med 1,, 3, 100 og 1000 frihedsgrader (brug evt. et skyderelement). Hvad minder grafens form dig om? På hvilken måde ændrer grafen udseende, når antal frihedsgrader øges? Øvelse 15: Kritiske værdier Bestem og indtegn de kritiske værdier på signifikans niveau 5% sammen med graferne i Øvelse 15 husk, at t-testet er to-sidet, dvs. p-værdien svarende til den positive kritiske værdi er,5%. Stikprøve på 11 personer Vi udvider nu stikprøvestørrelsen til 11 personer. På samme vis som før, så tager vi tilfældigt henholdsvis 76 og 1000 stikprøver med hver 11 personer fra de 46 personer. Prikplottene ser nu ud som vist på Figur 6 nedenfor. Figur 6. Prikdiagram for 76 (venstre) og 1000 (højre) værdier af teststørrelsen. 1

107 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning På Figur 7 ses søjlediagrammer for fordelingen af teststørrelserne både i tilfældet med 76 stikprøver og 1000 stikprøver. Figur 7. Søjlediagram for 76 (venstre) og 1000 (højre) værdier af teststørrelsen. Igen ser vi, at søjlediagrammet følger grafen for tæthedsfunktionen for t-fordelingen med 10 frihedsgrader bedre des flere stikprøver, vi udtager. Der gælder følgende sammenhæng mellem stikprøvens størrelse og antallet af frihedsgrader i den aktuelle t-fordeling: Antal observationer og frihedsgrader Antallet af frihedsgrader er én mindre end antallet af observationer ved et t-test. Hypotesetest med to datasæt (to variable) Arbejdet med t-testet i forrige afsnit efterlader et billede af, at noget lignende kan gøres for to datasæt eksempelvis med data for drengene og pigerne i Tabel 1. Her har vi målinger for to variable, som hver kan betragtes som udfald af stokastiske variable, hhv. Xi 1og X i. Øvelse 16: Boksplot til sammenligning Bestem kvartilsæt samt middelværdi og konstruer et boksplot for hver af de to variable højde og vægt for hhv. alle piger og alle drenge i Udklip1. Sammenlign herefter med udgangspunkt i boksplot opdelt efter køn pigernes og drengenes vægt. Sammenlign på samme måde pigernes og drengenes højde. Hvis vi vil sammenligne datasættene, er det oplagt at undersøge, om drengenes og pigernes højde er ens. I stedet for at sammenligne et datasæt med en tabelværdi, som vi gjorde før, vil vi her sammenligne middelværdierne for de to køns højdemålinger. Som ved testet på ét datasæt, tager vi udgangspunkt i de empiriske størrelser og undersøger nulhypotesen: Pigernes gennemsnitshøjde er den samme som drengenes gennemsnitshøjde Først må vi dog undersøge, om de to datasæt hver for sig er normalfordelte. Vi ved allerede at drengenes højdemålinger er normalfordelte. I Figur 8 nedenfor ser vi fraktildiagrammet samt søjlediagrammet for fordelingen af pigernes højde (jf. Øvelse 11). 13

108 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Figur 8: Fraktildiagram og søjlediagram for fordelingen af pigernes højdemålinger. Fraktildiagrammet giver os god grund til at tro på, at pigernes højder er normalfordelte. Dvs. vi kan gå ud fra, at fordelingen af højdemålingerne for både piger og drenge kan beskrives ved en normalfordeling. Vi siger også, at den stokastiske variabel X, der ligger bag de kønsopdelte data er normalfordelt, og vi ij skriver med matematisk notation: Xij N( j, j ), hvor j et betyder, at de to datasæt har forskellige parametre. Vi skal så nu undersøge om disse parametre kan antages at være ens, dvs. om pigerne og drengene er gennemsnitligt lige høje. For at kunne sammenligne middelværdierne for hhv. pigernes og drengenes højde, dvs. vurdere forskellen mellem de empiriske middelværdier, må vi også her tage hvert af datasættenes spredning i betragtning. Derfor får vi brug for en størrelse, der beskriver den fælles varians, s f : Fælles varians for de to datasæt Den fælles varians for de to datasæt kan beregnes ved f s f s s f f f d d p p d p hvor fd betegner frihedsgrader, og s d betegner spredningen i relation til drengenes højde tilsvarende for f p og s p for pigernes højde. Øvelse 17: Fælles varians Benyt dit værktøjsprogram til at bestemme Vi vil ikke diskutere f s f for de to datasæt i Tabel 1. s dybere, men blot konstatere at s indeholder bidrag fra begge datasæt, og at der er et krav til variationen internt i begge disse, for at vi kan bruge s f : Der må ikke være signifikant forskel på de to variationer. Det vil sige, at pigernes højdemålinger skal variere ligeså meget (eller lidt) som drengenes højdemålinger, for at vi kan sammenligne de to middelværdier. Hvordan man vurderer om dette er tilfældet, er ikke helt ligetil, men fx kan et boksplot give os et godt billede af om variationerne følger samme mønster: f 14

109 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Figur 9. Boksplot for højdemålingerne for drengene og pigerne fra Tabel 1. Af Figur 9 fremgår det, at variationsbredden og kvartilbredden i hvert af de to boksplot er nogenlunde ens, og vi har derfor grund til at tro, at der ikke er signifikant forskel på variationen i de to variable 4. Bemærk, at det kun er variansen, vi forholder os til her og ikke middelværdien. På baggrund af overvejelserne ovenfor opstiller vi nulhypotesen og udregner teststørrelsen for sammenligningen af de to datasæts middelværdier: H : Middelværdien for pigernes højde og drengenes højde er ens, dvs. d p 0 Generelt gælder der om t-teststørrelsen i denne sammenhæng: t-test for to datasæt med ens varians Den generelle formel til beregning af t-teststørrelsen for to datasæt (her dog eksemplificeret ved datasæt for piger og drenge) er: t x d x 1 1 s f nd np p hvor xd og x p betegner de empiriske middelværdier for hhv. drenge og piger, s f betegner den fælles varians for piger og drenge, mens n d og np betegner antallet af observationer for hhv. drengenes højde og pigernes højde. Teststørrelsen er t-fordelt med f nd np frihedsgrader, og vi skriver: t tn n d p Ved indsættelse af de kendte værdier i formlen bliver t-teststørrelsen således her: t,55 Vi undersøger om denne teststørrelse er kritisk i forhold til nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Da begge datasæt er normalfordelte, finder man, at teststørrelsen er t-fordelt med f n n frihedsgrader. d p Den kritiske værdi bestemmes (her beregnet i Excel): 4 Det er også muligt at teste om forskellen mellem de to varianser er signifikant, i dette tilfælde bruges et F-test. 15

110 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Resultat: Dvs. vores teststørrelse er større end den kritiske værdi, og vi må således forkaste nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Dvs. højderne er ikke ens for de to køn. Vi kan tilsvarende udregne, at p-værdien bliver meget lille, nemlig værdien derfor som ventet er den samme. 4, , og at konklusionen ud fra p- Bemærk: I det følgende og tilsvarende i de opgaver, der stilles til den skriftlige prøve, vil vi forudsætte, at variansen for de aktuelle variable er ens. Anvendelse af t test for to datasæt (to variable) i Muffins I Udklip3 i MuffinsUdklip.xls har vi følgende datasæt: Tabel 4. Udklip3 med både kategoriske og numeriske variable. Øvelse 18: Numeriske og kategoriske variable Hvilke variable indgår i udklippet? Hvilke af disse variable er numeriske henholdsvis kategoriske? Øvelse 19: Boksplot til sammenligning Bestem kvartilsæt samt middelværdi, og konstruer boksplot for de tre variable Fritid, Fjernsynstid og Læsetid for hhv. alle piger og alle drenge. Kommenter fordelingen af data for de tre variable. Med udgangspunkt i denne stikprøve kan vi undersøge forskellige hypoteser, hvor de fire variable indgår. Vi vil undersøge om gennemsnittet af fritidstimer på en uge for piger er den samme som gennemsnittet af fritidstimer på en uge for drenge. Vi antager, at variansen for piger og drenges fritidstimer er ens. Vores nulhypotese bliver da: H : 0 fritidpiger fritiddrenge 16

111 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Vi sorterer først data, således at vi først har pigernes data og derefter drengenes data. På den måde får vi opdelt vores stikprøve i to mindre stikprøver. Vi tester nulhypotesen med et t-test og får (her vist i Excel): Da p-værdien er meget lille, kan vi klart afvise nulhypotesen på et 5% signifikansniveau under forudsætning af, at der er ens varians. Dvs. gennemsnittet af fritidstimer på en uge er forskellig for piger og drenge. Øvelse 0: Køn og fjernsyn I Udklip3 finder du observationer fra Muffins for de to variable Køn og Fjernsynstid, hvor variablen Fjernsynstid indeholder respondenternes svar på, hvor mange timer de ser tv pr. uge. Bestem kvartilsættene, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af fjernsynstid for begge køn. Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes fjernsynstid kan antages at være ens. Overvej, hvordan dette kommer til udtryk i boksplottene. Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges fjernsynstid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Øvelse 1: Køn og vægt I Udklip1 finder du observationer fra Muffins for de to variable Køn og Vægt. Bestem kvartilsættene, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser vægtfordelingen for begge køn. Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes vægt kan antages at være ens. Overvej, hvordan dette kommer til udtryk i boksplottene. Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges vægt er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikans-niveau. 17

112 Forberedelsesmateriale: Test og Hypoteser i statistik Form: 6 timer med vejledning Kilder 1. Muffins databasen: Statistik, Thomas Bendsen, VIA University College Bioanalytikeruddannelsen, : 3. Statistik i løb, Preben Blæsild og Lars Bo Kristensen, LMFK, 005, kan købes her: under bogsalg. 4. Idrætsstatistik, Preben Blæsild og Jørgen Granfeldt, Institut for Matematiske Fag AU, 001: 5. Danskernes højde ifølge Folkesundhed.dk: 18

113 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx11-MATn/A Fredag den 5. maj 01 kl

114 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål. Delprøve består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører to elektroniske bilag (Excel). Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

115 Stx matematik A Net maj 01 side 1 af 7 Side af 7 sider Delprøve 1 Kl Opgave 1 Grafen for en lineær funktion f går gennem punkterne P (,4) og Q (10,8). a) Bestem en forskrift for f. Opgave To vektorer er givet ved æ 8 ö a =ç ç ç ç- è 6 ø og æö 3 b = ç çèt ø, hvor t er et tal. a) Bestem t, så de to vektorer er ortogonale. b) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når t =. Opgave 3 En bold kastes op i luften i retningen mod en 3 m høj mur (se figur). Boldens bane kan beskrives ved grafen for funktionen f( x) =- 0,x +, 4x+ 0,5, hvor x er målt i m. a) Kommer bolden over muren? () 10 m 3 m? (1) Opgave 4 En linje l har retningsvektor a) Bestem en ligning for l. æ 4 ö r =ç ç ç ç- è 3 ø og går gennem punktet P(1, - 3).

116 Side 3 af 7 sider Stx matematik A Net maj 01 side af 7 Opgave 5 I en model kan en virksomheds omkostninger ved produktion af x enheder af en bestemt vare beskrives ved funktionen Ox ( ) 0,0x 10x 5000, hvor O betegner omkostningerne målt i kr. a) Bestem O (10), og giv en fortolkning af dette tal. Opgave 6 En funktion f er givet ved f ( x) 4 x 3 = - x, 0 x >. a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (1,3). Opgave 7 To funktioner f og g er givet ved f x ( ) 3x 1 = + og gx ( ) = 6x+ 1. Graferne for f og g afgrænser et område M, der har et areal (se figur). y f g M x a) Bestem arealet af M. Opgave 8 Af et rektangulært stykke papir med sidelængderne x og y (målt i cm) afklippes et hjørne med sidelængderne 3 cm og 4 cm. a) Bestem areal og omkreds af det tiloversblevne stykke papir udtrykt ved x og y. y x 4 cm 3 cm

117 Side 4 af 7 sider Stx matematik A Net maj 01 side 3 af 7 Opgave 9 Et tredjegradspolynomium har forskriften f x x x 3 ( ) = På figuren ses en skitse af graferne for tre tredjegradspolynomier. () a) Gør rede for hvilken af de tre grafer A, B og C, der er graf for f. C B A Opgave 10 På figuren ses et rektangel ABCD, hvor punktet E ligger på AB, og punktet F ligger på AD, således at BD og EF er parallelle. Det oplyses, at rektanglets areal er 3 samt at AB 8 og AF 3. D C F 3 A a) Bestem AE. b) Bestem arealet af firkant EBDF. 8 E B Besvarelsen afleveres kl

118 Side 5 af 7 sider Stx matematik A Net maj 01 side 5 af 7 Delprøve Kl Opgave 11 Tabellen viser udviklingen i Kinas samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) i perioden Årstal Vindmøllekapacitet I en model kan Kinas samlede vindmøllekapacitet i perioden beskrives ved t kt () = ba, hvor kt ( ) betegner Kinas samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) til tidspunktet t (målt i år efter 003). a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) Bestem fordoblingstiden. Det oplyses, at USAs samlede vindmøllekapacitet i samme periode kan beskrives ved t ut ( ) = 6069,9 1, 3066, hvor ut ( ) betegner USAs samlede vindmøllekapacitet (målt i MW) til tidspunktet t (målt i år efter 003). c) Bestem det år, hvor Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg USAs samlede vindmøllekapacitet. Kilde: Global Wind Report, Annual market update 010, Global Wind Energy Council, Belgium, April 011. Opgave 1 En fisk af arten Pintado fodres med en bestemt slags krebsdyr, hvorved det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv forøges. I en model kan udviklingen i det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv beskrives ved differentialligningen Pintado (Foto: Lerdsuwa) dm = 5,174-0,1584M, dt hvor M ( t ) betegner det relative kulstof-13-indhold (målt i promille) til tiden t (målt i døgn efter påbegyndt fodring). Det oplyses, at det relative kulstof-13-indhold var 0 promille, da fodringen blev påbegyndt. a) Bestem en forskrift for M. b) Skitsér grafen for M, og bestem den øvre grænse for det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv.

119 Stx matematik A Net maj 01 side 6 af 7 Side 6 af 7 sider Opgave 13 Stikprøven i bilag 1 (Bilag_1_Opgave13.xls) består af observationer fra Muffins for de to variable Køn og Biografbesøg, hvor variablen Biografbesøg indeholder respondenternes svar på, hvor ofte de går i biografen. a) Opstil en krydstabel, der kombinerer de to variable Køn og Biografbesøg. b) Undersøg, om nulhypotesen: Hvor ofte man går i biografen er uafhængigt af køn kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 14 På figuren ses en model af en skrå teaterscene indlagt i et koordinatsystem med enheden 1 m på akserne, således at scenegulvet er udspændt af punkterne A, B, C og D. z P(9,6,10) D(0,1,1) F C(0,19,1) y A(10,0,0) x B(10,0,0) a) Bestem en ligning for den plan, som scenegulvet er en del af. I punktet P(9, 6,10) er der ophængt en projektør. Centrum af projektørens lysstråle kan i modellen beskrives ved en del af linjen l med parameterfremstillingen x 9 8 y 6 t 10 z 10 19, t Î R. b) Bestem koordinatsættet til det punkt F, hvori centrum af lysstrålen rammer scenegulvet.

120 Stx matematik A Net maj 01 side 7 af 7 Side 7 af 7 sider Opgave x x 60 x 60 h x h Et stykke pap skal foldes til en æske uden låg. Æskens bund har form som en ligesidet trekant med sidelængde x. Siderne i æsken har højden h og bredden x. Alle mål er i cm. a) Bestem æskens volumen og overfladeareal udtrykt ved x og h. Æskens rumfang skal være 75 cm 3. b) Bestem æskens overfladeareal udtryk ved x, og bestem den værdi af x, der giver æsken det mindste overfladeareal, når 0 < x < 0. Opgave 16 Stikprøven i bilag (Bilag Opgave16.xls) består af observationer fra Muffins for de to variable Køn og Sengetid. a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af sengetid. Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes sengetid kan antages at være ens. b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges sengetid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

121 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx11-matn/a Torsdag den 31. maj 01 kl

122 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål. Delprøve består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører to elektroniske bilag (Excel). Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

123 Stx matematik A Net maj 01 side 1 af 6 Side af 7 sider Delprøve 1 Kl Opgave 1 To vektorer er givet ved æö 3 a = æ- 10ö ç çè5 og b =ç ç ø ç çè 6. ø a) Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale. Opgave a) Undersøg, om er en løsning til ligningen 3 x x x = 0. Opgave 3 Udviklingen i antallet af besøgende på en bestemt blog kan i en bestemt registreringsperiode beskrives ved funktionen Nt ( ) = 58 1,35 t hvor N( t) betegner antallet af besøgende t måneder efter registreringsperiodens start. a) Gør rede for, hvad tallene 58 og 1,35 fortæller om udvikling i antallet af besøgende på bloggen. Opgave 4 En cirkel har ligningen x x y y = 0. a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. En linje er bestemt ved parameterfremstillingen æxö æ 0 ö æ 1 ö = + t, t R. y 1 Î çè ø çè- ø çè- ø b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

124 Stx matematik A Net maj 01 side af 6 Side 3 af 7 sider Opgave 5 En funktion f er givet ved y 3 f ( x) 4x 16x 1x = - +. f a) Bestem ò 0 1 f ( x) dx. Det oplyses, at ò f( x) dx= x b) Gør rede for betydningen af tallet 3 3. Opgave 6 En funktion f er bestemt ved f( x) = 6ln x- x, x> 0. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 7 Et andengradspolynomium f er givet ved () ( ) = + +. f x ax bx c t f B(,5) Grafen for f går gennem de to punkter A og B. Grafen for f har i punktet A en tangent t, der har ligningen y=- x+ 1. a) Bestem en forskrift for f. A(0,1) (1)

125 Stx matematik A Net maj 01 side 3 af 6 Side 4 af 7 sider Opgave 8 Et kaninbur er bygget op ad en mur, således at burets gavl har form som en retvinklet trekant (se figur). I gavlen skal der udskæres en rektangulær åbning som vist på figuren. Rektanglets højde betegnes h, og rektanglets bredde betegnes b. Alle mål er i dm. Burets højde h 10 b 8 a) Bestem højden af buret, og vis, at rektanglets højde udtrykt ved rektanglets bredde er h= 6 - b. 3 4 b) Bestem rektanglets areal udtrykt ved b, og bestem b, så rektanglets areal bliver størst muligt. Besvarelsen afleveres kl

126 Stx matematik A Net maj 01 side 4 af 6 Side 5 af 7 sider Delprøve Kl Opgave 9 I trekant ABC er AB = 5, AC = 7 og A = 33. a) Bestem BC og C. Opgave 10 Tabellen viser sammenhørende værdier af længde og vægt for fisk i en population af tunfisk. Længde (cm) Vægt (kg) 4,31 10,67 1,49 13,39 15,1 19,98 I en model kan sammenhængen mellem længde og vægt for tunfisk i populationen beskrives ved a M () l= bl, hvor M betegner vægten (målt i kg), og l betegner længden (målt i cm). a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) Benyt modellen til at bestemme længden af en tunfisk, der vejer 14 kg. c) Benyt modellen til at bestemme den procentvise ændring i en tunfisks vægt, når dens længde øges med 30%. Kilde: GILL DIMENSIONS FOR THREE SPECIES OF TUNNY, BY B. S. MUIR AND G. M. HUGHES Hydronautics Incorporated, Maryland, U.S.A

127 Side 6 af 7 sider Stx matematik A Net maj 01 side 5 af 6 Opgave 11 En funktion f er bestemt ved f x x -x ( ) = (4- ) e. Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. a) Skitsér grafen for f, og bestem arealet af M. Opgave 1 Stikprøven i bilag 1 (Bilag_1_Opgave1.xls) består af observationer fra Muffins for de to variable Køn og Talkshows, hvor variablen Talkshows indeholder svar på, hvor interesseret respondenten er i talkshows. a) Opstil en krydstabel, der kombinerer de to variable Køn og Talkshows i stikprøven. b) Undersøg, om nulhypotesen: Interessen for talkshows er uafhængigt af køn kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 13 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Udviklingen i vægten for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen dv 0,00018 V (53,63 V) dt = -, hvor Vtbetegner ( ) vægten (målt i g) til tiden t Foto: Wikimedia Commons (målt i døgn). Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne. a) Bestem en forskrift for Vt. ( ) b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst. Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li'an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifeng m.fl., Journal of Shellfish Research, 8(3):

128 Stx matematik A Net maj 01 side 6 af 6 Side 7 af 7 sider Opgave 14 Af en klods med sidelængderne 3 m, 4 m og 5 m afskæres et hjørne. På figuren ses en model af klodsen indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter på alle akser. a) Bestem arealet af snitfladen. b) Bestem afstanden fra snitfladen til det modstående hjørne. Opgave 15 Stikprøven i bilag (Bilag Opgave15.xls) består af observationer fra Muffins for de to variable Køn og BMI. a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn, et boksplot, der viser fordelingen af BMI. Det oplyses, at variansen for pigers og drenges BMI kan antages at være ens. b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge om middelværdien for pigers og drenges BMI er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.

129 STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST MATEMATIK A-NIVEAU-Net onsdag 15. august 01 Kl Ikke offentliggjort frs1-matn/a

130 Ikke offen Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål. Delprøve består af 13 spørgsmål. Alle spørgsmål tillægges hver 10 point. Til opgavesættet hører et elektronisk bilag (Excel). Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation. Ikke offentliggjort

131 Stx matematik A Net august 01 side 1 af 5 Delprøve 1 Kl Opgave 1 B E 5 5 A 3 C D F Trekanterne ABC og DFE er retvinklede og ensvinklede. Nogle af sidelængderne er opgivet på figuren. a) Bestem BC og DF. Opgave I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved æö 3 a = æö ç çèt og b = ø ç çè8 ø. a) Bestem t, så a og b er parallelle. Opgave 3 En andengradsligning er givet ved x + bx+ 36 = 0. a) Løs andengradsligningen, når b = 13. b) Bestem de værdier af b, for hvilke andengradsligningen har netop én løsning. Opgave 4 I et koordinatsystem i planen er givet to punkter C (1, ) og P( -,6). a) Opskriv en ligning til cirklen, der går gennem P og har centrum i C. b) Bestem en ligning for cirklens tangent i P. Ikke offentliggjort

132 Stx matematik A Net august 01 side af 5 Ikke Opgave 5 En funktion f er løsning til differentialligningen dy y -1 =, x > 0, dx x og grafen for f går gennem punktet P (,7). a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. Opgave 6 En funktion f er givet ved f( x) = x lnx- x+ 3, x> 0. a) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 7 En funktion f er bestemt ved f x x x x ( ) = 6 + 3, > 0. a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (1, ). Opgave 8 For en steg i en ovn, kan stegens indre temperatur beskrives ved T( x) e -0,011 x = -, hvor T( x) er stegens indre temperatur (målt i C) x minutter efter stegen er sat i ovnen. a) Bestem T (0), og giv en fortolkning af dette tal. Opgave 9 En figur er sammensat af et kvadrat med sidelængden x samt en ligebenet trekant med højden h. Det oplyses, at trekantens areal og kvadratets areal er lige store. h a) Bestem højden h i trekanten udtrykt ved x. b) Bestem omkredsen af figuren, når arealet af kvadratet er 4. x x Besvarelsen afleveres kl Ikke offentliggjort

133 Stx matematik A Net august 01 side 3 af 5 Delprøve Kl Opgave 10 Tabellen viser sammenhørende værdier af vægt (målt i kg) og hvilestofskifte (målt i kcal/døgn) for forskellige pattedyr. Vægt (kg) 0,3,4 6,4 13 9,3 51,8 59,6 Hvilestofskifte (kcal/døgn) I en model kan hvilestofskiftet som funktion af vægten beskrives ved en funktion af typen a f ( x) = b x, hvor f ( x ) betegner hvilestofskiftet i kcal/døgn for et pattedyr, der vejer x kg. a) Bestem a og b. b) Benyt modellen til at bestemme hvilestofskiftet for et pattedyr, der vejer 0 kg. c) Bestem ændringen i hvilestofskiftet ved en vægtforøgelse på 15%. Opgave 11 I en model kan den globale CO -udledning beskrives ved 9 Pt ( ) 60, ,031 t, hvor Pt ( ) betegner den årlige globale CO -udledning (målt i tons) til tidspunktet t (målt i år efter 1950). a) Gør rede for, hvad konstanternes i modellen fortæller om udviklingen i den globale CO -udledning efter I en anden model kan befolkningsudviklingen i verden beskrives ved Nt 7 9 ( ) 6,7 10 t,594 10, hvor N( t ) betegner befolkningstallet i verden til tidspunktet t (målt i antal år efter 1950). b) Opstil en model, der beskriver den gennemsnitlige CO -udledning pr. person (målt i tons) som funktion af tiden t (målt i år efter 1950), og benyt modellen til at give et skøn over den gennemsnitlige CO -udledning pr. person pr. år i 01. Ikke offentliggjort

134 Stx matematik A Net august 01 side 4 af 5 Opgave 1 Nedenstående tabel viser observationer fra Muffins for de to variable Køn og Cafebesøg, hvor variablen Cafebesøg indeholder respondenternes svar på, hvor ofte de går på café. Køn Cafebesøg Mere end en gang pr. uge En gang pr. uge En til to gange om måneden Sjældnere end en gang om måneden Dreng Pige a) Undersøg, om nulhypotesen: Hvor ofte man går på cafe er uafhængigt af køn kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 13 På figuren ses en model af en stålkonstruktion, som danner indgangen til et underjordisk udstillingsrum i en museumshave. Hele konstruktionen er indtegnet i et koordinatsystem, hvor enheden på akserne er 1 m. z B A (7,3,0) B (1,1, 6) F C( - 5,13,0) D (1,8, 0) O E C y E (4,,3) F( - 1,5,4) O (0,0,0) D x A a) Bestem ligningen for den plan, der indeholder sidefladen ODE. b) Bestem afstanden fra F til sidefladen ODE. Stålkonstruktionen ABC er en del af planen, der har ligningen 5x+ 6y+ 7z= 53. c) Bestem den stumpe vinkel mellem sidefladen ODE og b. Ikke offentliggjort

135 Stx matematik A Net august 01 side 5 af 5 Opgave 14 En funktion f er givet ved f ( x) 1 0,1 x, () Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet (5, (5)) P f har ligningen y= x- 1,5. f P Grafen for f og tangenten i P afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M, der har et areal (se figur). M 5 (1) Formen for en bestemt lerskål fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360 omkring førsteaksen. a) Bestem førstekoordinaten for tangentens skæringspunkt med førsteaksen, og bestem skålens lerrumfang. Opgave 15 I en model for en raket, der skydes lodret op, er rakettens fart som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dv v 9,81, 0 t 14 dt - 15-t = 15 t - - hvor vt () er rakettens fart (målt i m/s) til tidspunktet t sekunder efter affyring. Til tidspunktet t = 0 er rakettens fart 0 m/s. a) Bestem en forskrift for v, og bestem det tidspunkt, hvor rakettens fart når 1000 m/s. Foto: NASA Opgave 16 Stikprøven i bilag 1 (Bilag_1_Opgave16.xls) består af observationer fra Muffins for de to variable Køn og Arbejdstid. a) Bestem kvartilsættet for hvert køn, og tegn for hvert køn et boksplot, der viser fordelingen af arbejdstid. Det oplyses, at variansen af pigernes og drengenes arbejdstid kan antages at være ens. b) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge, om middelværdien for pigers og drenges arbejdstid er ens, og undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Ikke offentliggjort

136 Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx131-matn/a Mandag den 6. maj 013

137 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

138 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Indhold Indledning... 1 Funktioner af en variabel... Funktioner af to variable... 3 Partiel differentiation... 6 Gradient... 7 Tangentplaner... 9 Ekstrema for funktioner af en variabel Ekstrema for funktioner af to variable Dobbeltafledede og blandede afledede... 15

139 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Indledning Emnet for dette forberedelsesmateriale er funktioner af to variable. Med udgangspunkt i din viden om differentialregning for funktioner af én variabel skal du arbejde med differentialregning for funktioner af to variable. Bemærk, at der ikke stilles skriftlige eksamensopgaver omhandlende snit- og niveaukurver. Disse er dog nødvendige for at belyse emnet teoretisk. På nettet findes mange ressourcer med animationer i relation til dette emne se fx Animated Demonstrations for Multivariable Calculus, af John F. Putz, Mathematics and Computer Science Department, Alma College, Michigan: Forberedelsesmaterialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK, KVL, 006, Henrik Laurberg Pedersen og Thomas Vils Pedersen. 1

140 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Funktioner af en variabel Når vi tegner grafen for en funktion f, så vælger vi at tegne et udsnit af grafen forstået på den måde, at vi vælger et grafvindue, så vi får et relevant indtryk af grafens forløb. Vi kan vælge at fokusere på sammenhængen mellem bestemte x-værdier og y-værdier på grafen for f. Eksempel 1: Lodret og vandret snit Andengradspolynomiet f( x) = x er et eksempel på en funktion af én variabel her er x den uafhængige variabel, og y= f( x) er den afhængige variabel. Hvis vi vælger grafvinduet, hvor x-værdierne ligger i intervallet [-5;5] og y-værdierne i intervallet [ 1;30] -, så får vi følgende grafiske billede: Vi skriver, at vi har valgt grafvinduet [- 5;5] [- 1;30]. Vælger vi en bestemt x-værdi fx x= x0, så får vi en bestemt funktionsværdi y0 = f( x0). Dette kan vi illustrere grafisk ved at bestemme skæringspunktet mellem parablen og den lodrette linje x= x0. Dette kalder vi et lodret snit af parablen. Vælger vi omvendt en bestemt funktionsværdi y= y0, kan vi grafisk illustrere de tilhørende x-værdier ved at bestemme skæringspunkterne mellem parablen og en vandret linje y= y 0. Dette kalder vi et vandret snit af parablen. y= y 0 Øvelse 1 6x En funktion f er givet ved f( x) =. x + 3 a) Tegn grafen for f i et relevant grafvindue. x = x 0 b) Tegn i samme grafvindue det lodrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen x =. c) Tegn i samme grafvindue det vandrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen y = 1.

141 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Funktioner af to variable Vi vil nu udvide funktionsbegrebet til at omfatte funktioner af to variable, dvs. funktioner, hvor der er to uafhængige variable og en afhængig variabel. Grafen for en funktion af to variable er en tredimensional figur. Givet en funktion af to variable f( x, y) får vi for hvert par af x-værdier og y-værdier en z-værdi z= f( x, y). Eksempel : Grafen for en funktion af to variable Funktionen f( x, y) = x + y er et eksempel på en funktion af to variable, hvor x og y er de uafhængige variable, og z= f( x, y) er den afhængige variabel. Grafen for f kan tegnes i et (x, y, z)-koordinatsystem, og hvis vi vælger grafvinduet [- 3,3] [- 3,3] [-,5], så får vi: Øvelse Tegn den tilsvarende graf for f( x, y) = x + y i dit værktøjsprogram. Vælg selv et grafvindue, så du får et relevant udsnit af grafen for f. Definition 1: Funktion af to variable Grafen for en funktion af to variable z= f( x, y) består af punkterne ( xyz,, ) = ( xyf,, ( xy, )), hvor x og y gennemløber de reelle tal, medmindre andet er angivet. Lodret snit og punkt Betragter vi nu funktioner af to variable, så kan vi vælge at holde en af de to uafhængige variable fast, dvs. x= x 0 eller y = y 0, eller holde begge de uafhængige variable fast, dvs. x = x 0 og y = y 0. De tre forskellige situationer kan beskrives som følger: 3

142 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning x= x 0 og y variabel x variabel og y y0 = 0 x= x og y= y0 Hvis vi vælger x 0 = 1, får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen y: f(1, y) = 1+ y. Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren. Funktionen kaldes en snitfunktion i y, og grafen kaldes en snitgraf for f. Hvis vi vælger y 0 = 1, får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen x: f( x,1) = x + 1. Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren. Funktionen kaldes en snitfunktion i x, og grafen kaldes en snitgraf for f. Hvis vi vælger x 0 = 1 og y 0 = 1, får vi et punkt på grafen fordi z-koordinaten er givet, idet z = f( x, y ) Punktets koordinater bliver: ( x, y, z ) = (1,1, f(1,1)) = (1,1, ) Definition : Snitfunktion og snitkurve En snitfunktion for en funktion f af to variable er defineret ved gx ( ) = f( xy, ), hvor y holdes fast eller g( y) = f( x, y), hvor x holdes fast. Graferne for gx ( ) og g( y) kaldes for snitkurver for f i henholdsvis x og y. Øvelse 3 Der er givet en funktion af to variable f( x, y) = x + y. a) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i x, når y 0 =. b) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i y, når x 0 =. c) Bestem punktet på grafen for f, når x 0 = og y 0 =. Eksempel 3: Niveaukurve For funktionen f( x, y) = x + y kan vi også vælge en fast værdi for den afhængige variabel fx. z = 4. Således er: f( x, y ) = 4 dvs. x + y = 4. 4

143 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Den kurve, der fremkommer ved dette vandrette snit parallelt med xy-planen kaldes en niveaukurve, og er i dette tilfælde en cirkel. På nedenstående figurer ses niveaukurven fra forskellige vinkler. Definition 3: Niveaukurve En niveaukurve for en funktion f af to variable er den skæringskurve, der fremkommer, når grafen for f skæres af en vandret plan (dvs. en plan parallel med xy-planen) med ligningen z= k, hvor k er en konstant. Niveaukurven kan således beskrives ved ligningen: f( x, y) = k. Øvelse 4 Bestem ligningen for niveaukurven for funktionen f( x, y) = x + y, når k = 81. For hvilke værdier af k findes der ingen niveaukurve for f? Øvelse 5 To funktioner f og g af to variable er givet ved f( x, y) 6x y = og gxy (, ) + + x a) Tegn grafen for hver af funktionerne f og g. 3 = 6y x + y + 3. b) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i x, når y 0 =. c) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i y, når x 0 =-. d) Tegn niveaukurven for f og g, når k = 1. Øvelse 6 Tegn graferne for f( x, y) 6x y = og gxy (, ) + + x 3 = 6y x + y + 3, og sammenlign de grafiske forløb under inddragelse af snitfunktioner samt niveaukurver for f og g. 5

144 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Øvelse 7 Volumenet af en cylinder er givet ved V = π r h, hvor r er radius og h er højden i cylinderen. a) Hvordan kan udtrykket for cylinderens volumen skrives som en funktion af to variable? b) Tegn grafen for funktionen af to variable, og undersøg denne grafisk med henblik på snitkurver og niveaukurver. Partiel differentiation Differentiation er et centralt begreb i forbindelse med funktioner af én variabel, da differentialkvotienten i et givet punkt bestemmer tangentens hældningskoefficient i punktet og dermed fortæller, hvorledes grafen for funktioner af én variabel forløber. Øvelse 8 Repetér regneregler for differentiation af funktioner af en variabel. Når vi skal differentiere funktioner af to variable, ser vi på én variabel ad gangen. Vi betragter altså de to snitfunktioner, hvor vi opfatter henholdsvis x og y som en konstant, og differentierer snitfunktionerne jf. de regneregler, der gælder for funktioner af en variabel. Dette kaldes partiel differentiation, og vi får to afledede funktioner, der kaldes de partielt afledede. Definition 4: Partielt afledede Den partielt afledede f ( xy, ) af f ( xy, ) mht. til x bestemmes ved at differentiere snitfunktionen x g( x) = f( x, y), når y fastholdes. Der gælder altså f ( xy, ) = g ( x). På samme måde bestemmes den partielt afledede f ( xy, ) af f ( xy, ) mht. y ved at differentiere snitfunktionen g( y) = f( x, y), når x fastholdes. Der gælder altså f ( xy, ) = g ( y). De partielt afledede af f ( xy, ) mht. x og y betegnes også f ( xy, ) hhv. f ( xy, ). x y y x y Eksempel 4: Partielt afledede De partielt afledede af funktionen f ( xy, ) = x + y bestemmes ved at differentiere de to snitfunktioner g( x) x y = +, hvor først y holdes konstant og dernæst x holdes konstant: f xy= g x= x + y = x+ = x. x (, ) ( ) ( ) ( ) 0 Tilsvarende fås: f ( xy, ) = g ( y) = ( x) + ( y) = 0+ y= y. y Øvelse 9 Bestem de partielt afledede af funktionen f ( xy, ) x y = + vha. dit værktøjsprogram. 6

145 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Eksempel 5: Partielt afledede 6y Vi bestemmer de partielt afledede af funktionen f( x, y) = x + y + 4. Først bestemmer vi den afledede mht. x, hvor vi anvender kædereglen for differentiation af sammensat æ 6y ö -6y -1xy funktion: f x ( x, y) = g ( x) = = x= ç èx + y + 4 ø ( x + y + 4) ( x + y + 4) Derefter bestemmer vi den afledede mht. y, hvor vi anvender produktreglen og kædereglen: æ 6y ö æ 1 ö f y ( x, y) = g ( y) = = 6y çx + y + 4 ç x + y + 4 è ø è ø - - = 6y + = y 6 y ( x + y + 4) x + y + 4 ( x + y + 4) x + y + 4 De ovenstående partielt afledede kan også bestemmes vha. et værktøjsprogram. Øvelse 10 6x Bestem vha. dit værktøjsprogram de partielt afledede for funktionen f( x, y) = x + y + 3. Øvelse 11 Bestem vha. dit værktøjsprogram de partielt afledede af følgende funktioner: a) f ( xy, ) = x y+, x¹-y x+ y 3 1 b) f x y x y 3 (, ) = ( + ) + 4 c) (, ) e x + f x y = y En funktion af to variable siges at være differentiabel, hvis de partielt afledede findes og er kontinuerte. Dette vil vi ikke gå i nærmere detalje med her, men blot oplyse, at de funktioner af to variable, der omtales i det følgende, alle er differentiable. Gradient For en funktion f af en variabel gælder, at den afledede funktion f ( x0 ) angiver hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet ( x0, y0) = ( x0, f( x0)). Tilsvarende gælder der for en funktion f af to variable, at den partielt afledede f x ( x0, y0) beskriver hældningskoefficienten for tangenten i punktet ( x0, y0, z0) = ( x0, y0, f( x0, y0)) på snitgrafen for snitfunktionen g(x), og f ( xy, ) angiver hældningskoefficienten for tangenten i punktet y ( x, y, z ) = ( x, y, f( x, y )) på grafen for snitfunktionen g(y). De to partielt afledede er henholdsvis første- og andenkoordinat for en vektor, der kaldes gradienten for f. 7

146 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Definition 5: Gradient For en funktion f ( xymed, ) partielt afledede f ( xy, ) og f ( xy, ) defineres gradienten for f som æf x ( xy, ) ö grad( f)( x, y) = ç çèf y ( xy, ) ø x y Gradienten har den egenskab, at den peger i den retning, hvor funktionsværdien har den største positive ændring. Det betyder med andre ord, at hvis vi står i et punkt på grafen for f, så vil gradienten, tænkt som en vektor i xy-planen, angive den retning, hvor grafen er stejlest. Omvendt vil funktionsværdien have den største negative ændring i den modsatte retning af, hvor gradienten peger hen. På det websted, der er nævnt i indledningen, er der adgang til en animation (nr. 10), der viser forskellige tangenter til grafen for en funktion i et bestemt punkt (direkte link: Man kan se, at tangenten i punktet er stejlest, når den peger i retning af gradienten, som er angivet ved en grøn streg nederst i xy-planen. Eksempel 6: Grafens stejlhed i et bestemt punkt på grafen Gradienten af funktionen f ( xy, ) = x + y er som nævnt ovenfor: æxö grad( f)( x, y) =ç ç ç çè y ø. Gradienten i punktet P(1, 3, f(1,3)) er derfor: æ1 ö æö grad( f )(1,3) = = çè3 ø çè6 ø Det betyder, at i punktet P(1,3, f(1,3)) er grafen for f stejlest i positiv henseende langs gradientens retning, dvs. hen ad x-aksen og 6 ud ad y-aksen. Grafen for funktionen f er stejlest i negativ henseende langs æ ö vektoren - ç ç- è 6ø. Eksempel 7: Grafens stejlhed langs koordinatakserne 6y Gradienten for funktionen f( x, y) = x + y + er æ 1xy ö - æf x ( x, y) ö ( x y ) + + grad( f)( x, y) = = ç fy ( x, y) è ø 6( x - y + ) ç ( x y ) è + + ø Gradienten i punktet O (0,0,0) er derfor: æö 0 grad( f )(0,0) = ç çè3 ø. Det betyder, at i O (0,0,0) er grafen stejlest i positiv henseende, når man bevæger sig langs y-aksen. Øvelse 1 Bestem vha. dit værktøjsprogram gradienterne i de to foregående eksempler. 8

147 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Øvelse 13 To funktioner f og g er givet ved x + y f( x, y) = og x + y g( xy, ) 16 x y = - -. a) Bestem gradienten for f i punktet (1,1, f (1,1)). b) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for f stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende? c) Bestem gradienten for g i (1,,g(1,)). d) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for g stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende? Tangentplaner En graf for en funktion af to variable har uendelig mange tangenter i ethvert punkt. Gradienten er en retningsvektor for den stejleste af tangenterne i et punkt. Tangenterne til grafen for f i et punkt udspænder tilsammen en plan. Denne plan kaldes tangentplanen for f. Nedenstående sætning angiver, hvordan vi kan bestemme en ligning for en tangentplan til grafen for f i et givet punkt, men først repeteres kort teorien om planer i rummet. Ligningen for en plan kan bestemmes ud fra en normalvektor æaö n b =ç ç samt et fast punkt i planen P0( x0, y0, z 0). Normalvektoren n står som bekendt ç çèc ø vinkelret på planen, og dermed også vinkelret på alle vektorer i planen. For et vilkårligt punkt Qxyz (,, ) i planen, må derfor gælde, at vektoren PQ 0 står vinkelret på n. Da prikproduktet mellem to vektorer, der står vinkelret på hinanden, er 0, får vi æaö æx- x0 ö n PQ 0 = b y y - 0 = 0 ç ècø èç z- z ø Og når vi udregner prikprodukt, får vi ligningen for tangentplanen 0 a ( x- x ) + b ( y- y ) + c ( z- z ) = Sætning 1: Tangentplan Lad f ( xy, ) være en funktion af to variable, og lad P0( x0, y0, z 0) være et punkt på grafen for f, dvs. z0 = f( x0, y0). De partielt afledede af f i punktet P 0 betegnes p = f x ( x0, y0) og q= f y ( x0, y0). Tangentplanen for f ( xy, ) i punktet P0( x0, y0, z 0) er da givet ved: z= z + p ( x- x ) + q ( y- y )

148 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Bevis Først bestemmes en normalvektor til tangentplanen. p er hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(x), der ligger parallelt med xz-planen, da y jo holdes konstant. En retningsvektor for denne tangent er givet ved: æ1 ö r x 0 =ç ç ç çèp ø Tilsvarende er q hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(y), der ligger parallelt med yz-planen. En retningsvektor for denne tangent er givet ved: æ0ö r y 1 =ç ç ç çèq ø Vi ved fra rumgeometrien, at en normalvektor for en plan er bestemt ved krydsproduktet mellem to ikkeparallelle vektorer i planen. Normalvektoren n for tangentplanen kan derfor bestemmes ved krydsproduktet mellem de to retningsvektorer r x og r y, som er: æ1 ö æ0ö æ- pö n= rx ry = 0 1 q = - çp çq ç 1 è ø è ø è ø Således er planen bestemt ved ligningen: p ( x- x0) + q ( y-y0) -1 ( z- z0) = 0 p ( x- x0) + q ( y-y0) - z+ z0 = 0 z= z + p ( x- x ) + q ( y-y ) Hvilket netop var det udtryk, vi søgte. Eksempel 8: Tangentplaner Vi vil bestemme tangentplanen for funktionen f( x, y) = x + y i 1, -1, f (1,- 1). Dvs. x 0 = 1, y 0 =- 1 og z0 = f(1, - 1) =. punktet ( ) Vi indsætter punktets x-og y-koordinater i de partielt afledede, som vi fandt i eksempel 4, og vi får p= f (1,- 1) = og q= f (1, - 1) =- x Vi indsætter nu i tangentens ligning fra sætningen ovenfor og får: z= z0 + p ( x- x0) + q ( y-y0) z= + ( x-1) - ( y+ 1) z= + x--y- z= x-y- y 10

149 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Øvelse 14 En funktion f har forskriften 6y f( x, y) = x + y +. a) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (0,1, f (0,1)). b) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram. Øvelse 15 En funktion f er givet ved f ( xy, ) 9 x y = - -. a) Bestem de partielt afledede for f. b) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (,, f (,)). c) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram. Ekstrema for funktioner af en variabel Grafer for funktioner af to variable er langt sværere at undersøge grafisk end grafer for funktioner af én variabel. Analogt til funktioner af én variabel vil vi inddrage differentialregning i vores undersøgelse af grafer for funktioner af to variable. Øvelse 16 6x Betragt funktionen f( x) =. x + 3 Bestem f ( x), og bestem de lokale ekstremumssteder og de tilhørende ekstremumsværdier. Arten (typen) af et lokalt ekstremumspunkt, dvs. om der er tale om et lokalt minimum eller et lokalt maksimum, kan vi afgøre ud fra fortegnet for f ( x). Denne afgørelse kan også baseres på den dobbeltafledede f ( x), så vi i en vis forstand undersøger, om f ( x) er voksende eller aftagende. 11

150 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Eksempel 9: Den anden afledede afgør arten af ekstremumspunkter 6x For funktionen f( x) = gælder det, at f ( x) = 0 x=-3 x= 3 (tjek selv!). x Bestemmer vi f ( x) finder vi, at f (- 3) =, dvs. f ( x) er voksende er omkring det lokale 9 1 ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt minimum. Tilsvarende finder vi, at f (3) =-, dvs. f ( x) er 9 aftagende omkring det lokale ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt maksimum. Øvelse 17 En funktion f er givet ved 1 5 = f( x) x x 4x 4x a) Bestem f ( x), f ( x) og løs f ( x) = 0. b) Bestem i de x-værdier, hvor f ( x) = 0, fortegnet for f ( x). c) Benyt fortegnet for f ( x) og grafen for f til at afgøre arten af de lokale ekstrema, dvs. om der er tale om lokalt minimum eller lokalt maksimum. Øvelse 18 Vi ser på en funktion f, hvorom det i et punkt ( x0, f( x0)) gælder, at både f ( x0 ) = 0og f ( x0 ) = 0. Hvordan kan grafen for f se ud omkring ( x0, f( x 0))? På baggrund af ovenstående generaliserer vi til følgende sætning: Sætning : Arten af ekstremumspunkterne ud fra den dobbeltafledede Lad P 0 ( x 0, f( x 0 )) være et punkt på grafen for en funktion f, hvor f ( x0 ) = 0. Da gælder der, at 1) Hvis f ( x0 ) > 0, så er x0 et lokalt minimumssted. ) Hvis f ( x0 ) < 0, så er x0 et lokalt maksimumssted. 3) Hvis f ( x0 ) = 0, så kan der være en vandret vendetangent for x 0. Øvelse 19 Et andengradspolynomium er givet ved f ( x) ax bx c = + +. a) Bestem f ( x) og f ( x). b) Løs ligningen f ( x) = 0, og bestem fortegnet for f ( x) i den fundne x-værdi. c) Hvad fortæller resultaterne i b) om forløbet af grafen for f? 1

151 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Øvelse 0 Nedenfor er angivet to traditionelle eksamensopgaver, der omhandler monotoni for funktioner af én variabel. Løs disse opgaver ved i hvert tilfælde at undersøge fortegnene for den dobbelt afledede f ( x). Eksamen stx B august 010: En funktion f er givet ved x f( x) = e - 3x+ 1 Bestem f ( x), og gør rede for, at funktionen f har et minimum. Eksamen stx A december 010: To funktioner f og g er bestemt ved f x x x ( ) = gx ( ) = 3x e x. Bestem den værdi af x, hvor den lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g er mindst mulig. Ekstrema for funktioner af to variable Ekstremumsbegrebet for funktioner af én variabel kan udvides til funktioner af to variable således, at: et lokalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale maksimum et lokalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale minimum et globalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden) et globalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden) et lokalt/globalt ekstremum er enten et lokalt/globalt maksimum eller minimum. For funktioner af én variabel gælder, at hvis en funktion f ( x ) har et lokalt ekstremum i x 0 så er f ( x0 ) = 0. Noget tilsvarende gælder for funktioner af to variable. Sætning 3 Antag, at f ( xy, ) har lokalt ekstremum i punktet P0( x0, y0, z 0). Så gælder der, at f x ( x0, y0) = 0 og f y ( x, y ) = Bevis Hvis f ( xy, ) har et lokalt maksimum i P0( x0, y0, z0) = P0( x0, y0, f( x0, y0)), så vil snitfunktionen ( ) g( x) f x, y = 0 have et lokalt maksimum i 0 Da g( x) f ( x, y ) 0 x = x, og derfor er g ( x0 ) = 0. =, så er g ( x0) = f x ( x0, y0) og dermed er f x ( x0, y0) = 0. 13

152 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning På helt samme måde vises, at hvis f ( xy, ) har et lokalt maksimum i Px ( 0, y0, z0) = Px ( 0, y0, f( x0, y0)), så er g ( y ) = f ( x, y ) = 0. 0 y 0 0 Beviset er det samme, hvis funktionen har et lokalt minimum. Således er sætningen bevist. Bemærk: Den omvendte sætning gælder ikke nødvendigvis hverken for funktioner af én variabel eller funktioner af to variable. For funktioner af en variabel gælder der, at hvis f ( x0 ) = 0, så har funktionen f en vandret tangent i x 0. Den vandrette tangent kan give anledning til et maksimum, minimum eller den kan være en vendetangent. For funktioner af to variable gælder, at hvis f x ( x0, y0) = 0 og f y ( x, y ) = 0, så er tangentplanen i 0 0 Px ( 0, y0, z0) vandret, og vi får: z= z0 + 0( x- x0) + 0( y- y0), dvs. z= z0. Punkter med vandrette tangentplaner kaldes stationære punkter. Stationære punkter er ikke nødvendigvis maksimumpunkter eller minimumpunkter. De kan også være såkaldte saddelpunkter. Definition 6: Stationære punkter Et punkt P0( x0, y0, z 0), hvor z0 = f( x0, y0) kaldes et stationært punkt for en funktion f ( xy, ) hvis f x ( x0, y0) = 0 og f y ( x, y ) = af to variable, Definition 7: Saddelpunkt Et saddelpunkt er et stationært punkt, der hverken er et lokalt maksimumpunkt eller et lokalt minimumpunkt. Eksempel 10: Saddelpunkt Funktionen f ( xy, ) x y = -, hvis graf ses på figuren til højre, viser tydeligt et saddelpunkt i (0,0,0). Øvelse 1 Tegn grafen for f ( xy, ) x y = - i et værktøjsprogram. 14

153 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Eksempel 11: Bestemmelse af arten af stationære punkter Vi vil bestemme eventuelle stationære punkter for funktionen f med forskriften: 6y f( x, y) = x + y + 4 De partielt afledede bestemmes til (ved differentiation af sammensat funktion eller ved brug af et værktøjsprogram): -1xy f x ( x, y) = ( x + y + 4) og 6( x - y + 4) f y ( x, y) = ( x + y + 4) Vi finder nu eventuelle stationære punkter ved at løse f x ( x, y) = 0 og f y ( x, y) = 0. I et værktøjsprogram bestemmes eventuelle stationære punkter ved at løse to ligninger med to ubekendte ved brug af en solvekommando fx: Vi får altså de to stationære punkter: S1(0, -, f(0, - )) = S1(0, -,-1.5) og S (0,, f(0,)) = S (0,,1.5). Af grafen fremgår det, at der er et lokalt minimum i S 1 og lokalt maksimum i S. Dobbeltafledede og blandede afledede Det kan indimellem være svært at afgøre om de enkelte stationære punkter er maksimumspunkter, minimumspunkter eller saddelpunkter. De dobbeltafledede kan ligesom for funktioner af en variabel være med til at afgøre dette. I afsnittet Ekstrema for funktioner af en variabel arbejdede vi med den dobbeltafledede af funktioner af én variabel. På samme vis kan vi bestemme dobbeltafledede af funktioner af to variable. 15

154 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Eksempel 1: Dobbelt afledede funktioner En funktion f er givet ved 6y f( x, y) = x + y + 4. I eksempel 5 bestemte vi de partielt afledede f x ( xy, ) og f y ( xy, ) for denne funktion til at være: -1xy -1y 6 f x ( x, y) = og f y ( x, y) = + ( x + y + 4) ( x + y + 4) x + y + 4 Vi differentierer disse to funktioner en gang til og får de dobbelt afledede, hvor vi differentierer mht. samme variabel to gange, eller først mht. den ene variabel og derefter mht. den anden variabel: Vi differentierer f x ( x, y) mht. x Vi differentierer f x ( x, y) mht. y f ( x, y) = xx x y y 3 ( x + y + 4) 1(3 - -4) f ( x, y) = xy y x x 3 ( x + y + 4) 1(3 - -4) Vi differentierer f y ( x, y ) mht. x Vi differentierer f y ( x, y ) mht. y f ( x, y) = yx y x x 3 ( x + y + 4) 1(3 - -4) f ( x, y) = yy yy x ( x + y + 4) 1 ( -3-1) 3 Øvelse Hvad fortæller eksemplet om de blandede afledede f ( xy, ) og f ( xy, )? xy yx Definition 8: De dobbelt afledede og blandede afledede funktioner Betragt en funktion f af to variable. De dobbelt afledede er defineret ved: (, ) = ( (, )) og yy (, ) = ( y (, )) f xy f xy xx x x f xy f xy De blandede afledede er defineret ved: (, ) = ( (, )) og yx (, ) = ( y (, )) f xy f xy xy x y f xy f xy y x Øvelse 3 Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede fra eksempel 1 ved hjælp af dit værktøjsprogram. Øvelse 4 En funktion f har forskriften 6x f( x, y) = x + y + 3. Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede. 16

155 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning I de ovenstående eksempler er de blandede afledede er ens. Det fremgår af nedenstående sætning, at dette resultat gælder i de fleste tilfælde. Sætning 4 Hvis de dobbelt afledede og de blandede afledede af f er kontinuerte, så er f ( xy, ) = f ( xy, ). Denne funktion betegnes normalt f xy, og den kaldes den blandede afledede af f. xy yx Følgende sætning (som vi ikke beviser) kan benyttes, når vi skal afgøre, om et stationært punkt er et lokalt maksimum, lokalt minimum eller et saddelpunkt. Sætning 5 Lad P0( x0, y0, z 0) være et stationært punkt for funktionen f ( xy,, ) og lad r= f ( x, y ) s= f ( x, y ) t= f ( x, y ) så gælder der, at xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 når rt - s > 0 og r > 0, har f et lokalt minimum i P0( x0, y0, z 0) når rt - s > 0 og r < 0, har f et lokalt maksimum i P0( x0, y0, z 0) når rt - s < 0, har f et saddelpunkt i P0( x0, y0, z 0) når rt - s = 0, kan vi ikke slutte noget. Eksempel 13: Arten af stationære punkter Vi fandt i eksempel 1, at funktionen 6y f( x, y) = x + y + 4 har et lokalt minimum i S 1 (0, -, - 1.5), og et lokalt maksimum i S (0,,1.5). Vi finder r, s og t for at undersøge, om dette stemmer overens med sætning 5. -1xy 1(3x -y -4) y f x( x, y) = f (, ) xx x y = 3 ( x + y + 4) ( x + y + 4) -1xy 1(3y -x -4) x f x( x, y) = f (, ) xy x y = 3 ( x + y + 4) ( x + y + 4) 6( x - y + 4) 1 y( y -3x -1) yy 3 f y( x, y) = f ( x, y) = ( x + y + 4) ( x + y + 4) De stationære punkters x- og y-koordinater indsættes: Dvs. 3 8 = ( 0,) =-, s= f ( 0,) = 0, t f ( 0,) r f rt s xx æ 3ö æ 3ö , altså er çè ø çè ø 64 - = = > xy 3 = yy =- 8 3 r =- < 0 8 Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt S (0,,1.5) er et lokalt maksimum. 17

156 Forberedelsesmateriale: Funktioner af to variable Form: 6 timer med vejledning Funktionsværdierne for de dobbelt afledede og den blandede afledede i det andet stationære punkt bestemmes vha. et værktøjsprogram. Dvs. 3 8 = ( 0, - ) =, s= f ( 0, - ) = 0, t f ( 0, ) r f rt xx æ3ö æ3ö , altså er çè ø çè ø 64 - s = - = > xy 3 = yy - = 8 æ3ö r = ç > 0 çè8 ø Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt S1 (0,-,-1.5) er et lokalt minimum. Øvelse 5 To funktioner f og g er givet ved ( ) f ( xy, ) = x + y + 8xy og 3 g( xy, ) x y 5xy = + +. a) Bestem de stationære punkter for hver af de to funktioner f og g. b) Bestem arten af de stationære punkter, og tegn graferne for hver af de to funktioner. Øvelse 6 xy Funktionen f er givet ved f( x, y) = 4 x + y + 1. a) Tegn grafen for funktionen f. b) Bestem de stationære punkter for funktionen f. c) Bestem arten af de stationære punkter. 18

157 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A Fredag den 4. maj 013 kl

158 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

159 Delprøve 1 Kl Opgave 1 I en model for udviklingen i befolkningen på en lille ø oplyses, at antallet af indbyggere aftager med 5% pr. år efter 013. I 013 er der 5460 indbyggere på øen. a) Opstil et udtryk til beregning af antal indbyggere N på øen som funktion af tiden t (målt i år efter 013). Opgave Linjen l går gennem punkterne A (1,3) og B (4,6). a) Bestem en parameterfremstilling for l. Linjen m er givet ved ligningen y=- x+ 8. b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og m. Opgave 3 Figuren viser en sumkurve over vægtfordelingen blandt 500 elever på en skole. Til opgaven hører et bilag a) Bestem kvartilsættet for vægtfordelingen, og bestem hvor mange elever, der vejer over 80 kg. Benyt evt. vedlagte bilag.

160 Stx matematik A maj 013 side Opgave 4 På figuren ses grafen for hver af de tre funktioner: f ( x) = x - 1 g( x) = x hx ( ) =-x 1 1 a) Gør rede for, hvilken af graferne A, B og C der hører til hvilken af de tre funktioner f, g og h. Opgave 5 En funktion f er bestemt ved f x x x x 3 ( ) = 4 ln( )-, > 0. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). b) Undersøg, om funktionen har maksimum når x =. Opgave 6 En 1,8 m høj mand står 5 m fra en 1 m høj mur. Fra muren er der 4 m til en 10 m høj flagstang, der er fastgjort med et hængsel ved jordoverfladen (se figur). Flagstangen vælter, så den kommer til at hvile på muren. a) Bliver manden ramt af flagstangen? Opgave 7 En funktion f er bestemt ved f( x) = x e x - x. a) Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen dy y x = + x e. dx x

161 Stx matematik A maj 013 side 3 Opgave 8 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) = 3x gx ( ) =- 3x + 4. a) Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g. De to grafer afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal. b) Skitsér området M, og bestem arealet af M. Opgave 9 Et andengradspolynomium P er givet ved Px a x bx c ( ) = + +. Grafen for P er en parabel, der går gennem punkterne A (0,1) og B (5,36). Tangenten til parablen i punktet A har hældningskoefficienten - 3. a) Bestem tallene a, b og c. Besvarelsen afleveres kl

162 Stx matematik A maj 013 side 5 Delprøve Kl Opgave 10 Tabellen viser antallet af solgte smartphones på verdensplan i perioden Årstal Antal (i mio.) 151,4 174, 304,7 491,4 I en model kan udviklingen i antallet af smartphones solgt på verdensplan som funktion af tiden beskrives ved en funktion af typen t St () = ba, hvor St ( ) betegner antallet af solgte smartphones (i mio.) til tidspunktet t (målt i år efter 008). a) Bestem a og b. b) Gør rede for, hvad de fundne værdier for konstanterne a og b fortæller om antallet af solgte smartphones på verdensplan i perioden Kilde: Opgave 11 I trekant ABC er AB = 3, A = 44. Endvidere oplyses, at arealet af trekant ABC er 4. a) Tegn en skitse af situationen, og bestem BC.

163 Stx matematik A maj 013 side 6 Opgave 1 På figuren ses en model af et hus i et koordinatsystem med enheden meter på alle akser. a) Bestem en ligning for den plan a, der indeholder tagfladen BCDE. Det oplyses, at den plan b, der indeholder tagfladen ABEF, har ligningen 17,49 y+ 1,0 z- 4,7 = 0. b) Bestem den spidse vinkel mellem tagfladerne BCDE og ABEF. Opgave 13 Foto: Wikimedia Commons I en model for vækst af hajer af arten lamna nasus er længden af en haj L (målt i cm) som funktion af hajens alder t (målt i år) en løsning til differentialligningen L = 43,6-0,190 L. a) Bestem væksthastigheden for en 100 cm lang haj af denne art. Det oplyses, at en haj af denne art er 58 cm lang ved fødslen. b) Bestem en forskrift for Lt ( ), og benyt denne til at bestemme alderen af en 150 cm lang haj af denne art. Opgave 14 En funktion f af to variable er givet ved f x y x y x y (, ) 4. a) Bestem gradienten for f i punktet ( ) 1,3, (1,3) P f, og forklar hvad gradienten fortæller om grafens stejlhed i punktet P.

164 Stx matematik A maj 013 side 7 Opgave 15 En funktion f af to variable er givet ved 1 3 f ( xy, ) x x y ( x y). 3 a) Bestem de to stationære punkter for f, og tegn grafen for f. b) Bestem de dobbelte samt den blandede afledede af f og bestem arten af de stationære punkter. Opgave 16 Et stort butikscenter har 8 indgange, som butikscenteret formoder benyttes lige meget af dets besøgende. Butikscenteret har spurgt 1000 tilfældigt udvalgte besøgende, hvilken af de 8 indgange de er kommet ind ad. Deres svar fordelte sig som vist i tabellen. Indgang A B C D E F G H Antal besøgende a) Opstil en nulhypotese, som butikscenteret kan anvende til at teste om deres formodning holder stik, og beregn de forventede værdier. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om butikscenteret må forkaste nulhypotesen. Opgave 17 En beholder skal have form som en kegle. Beholderens cirkulære bund består af et materiale, der koster kr. pr. cm. Keglens krumme overflade består af et materiale, der koster 3 kr. pr. cm. Volumen af keglen er 1000 cm 3. Radius i keglens bund benævnes r, og keglens højde benævnes h (begge målt i cm). a) Bestem h udtrykt ved r. Gør rede for, at keglens pris P (målt i kr.) som funktion af r kan beskrives ved æ3000ö p ç Pr () = p r + 3 r ç + r, çèp r ø og bestem r, så prisen Pr ( ) bliver mindst mulig, idet 1< r < 10.

165 BILAG Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende 3

166 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx131-matn/a Onsdag den 9. maj 013 kl

167 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

168 Delprøve 1 Kl Opgave 1 En parabel er graf for andengradspolynomiet p, der har forskriften px ( ) = x - 8x+ 5. a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen. Opgave I en retvinklet trekant ABC er BC = 6. Det oplyses, at arealet af trekant ABC er 4. a) Bestem AC og AB. Opgave 3 På figuren ses to boksplot over aldersfordelingen blandt Oscar-vindere i kategorien Bedste skuespiller fordelt på køn i perioden Til opgaven hører et bilag a) Bestem kvartilsættet for de to køns aldersfordelinger, og benyt disse til at sammenligne aldersfordelingen for Oscar-vindere i kategorien Bedste skuespiller fordelt på køn. Benyt evt. vedlagte bilag.

169 Stx matematik A maj 013 side Opgave 4 To vektorer a og b er givet ved æö 8 a = ç çè1 ø og æö 3 b = ç çè5 ø. a) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. b) Bestem koordinatsættet til projektionen af b på a. Opgave 5 På figuren ses graferne for tre funktioner. Det oplyses, at en af graferne er graf for funktionen f, og en anden er graf for f. a) Gør rede for, hvilken af graferne A, B og C der er graf for f, og hvilken der er graf for f. Opgave 6 En funktion f har forskriften f ( x) x 3x 3 =- +. a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Gør rede for, at x = 0 og x = 3 er de eneste løsninger til ligningen f( x ) = 0. Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. c) Skitsér punktmængden M, og bestem arealet af M. Opgave 7 En funktion er givet ved f( x) = x+ 1+ e x. a) Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (0,3).

170 Opgave 8 Det oplyses, at funktionen f er en løsning til differentialligningen Stx matematik A maj 013 side 3 dy y + 4x =. dx x a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (1,4). Opgave 9 To andengradspolynomier f og g er givet ved f( x) =-x g x = x + bx+ c ( ). Graferne for de to funktioner har en fælles tangent i punktet P 1, f (1). ( ) a) Bestem tallene b og c. Besvarelsen afleveres kl

171 Stx matematik A maj 013 side 5 Delprøve Kl Opgave 10 Ud fra pollenforøgelsen i sedimentet på bunden af nogle søer kan man give et overslag over udbredelsen af fyrretræer på de britiske øer efter istiden. Man fandt følgende sammenhørende værdier af pollenforøgelsen og antal år efter de første fyrretræer kom til de britiske øer. Antal år Pollenforøgelsen (målt i pollenkorn pr. cm pr. år) I en model beskrives sammenhængen som t ht () = b a, hvor ht ( ) er pollenforøgelsen (målt i pollenkorn pr. cm pr. år), og t er antal år efter de første fyrretræer kom til de britiske øer. a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme fordoblingstiden samt til at bestemme, hvornår pollenforøgelsen i sedimentet var korn pr. cm pr. år. Opgave 11 På figuren ses trekant ABC, hvor vinkelhalveringslinjen for vinkel B er indtegnet, og nogle af målene er angivet. a) Bestem BD og AC.

172 Stx matematik A maj 013 side 6 Opgave 1 I en model kan udbredelsen af traktorer i staten Punjab i Indien beskrives ved funktionen 4817 () =, ,4579 e Nt -0,16356 t hvor Nt () betegner antallet af traktorer til tidspunktet t (målt i år efter 1970). a) Tegn grafen for N, og bestem, hvor mange traktorer der ifølge modellen vil være i Punjab i år 013. b) Bestem N (0), og beskriv hvad tallet fortæller om udviklingen i antallet af traktorer i Punjab i Kilde: Amritbir Singh & Ravi Kant Mishra, A Mathematical Modeling Approach To Study Growth Rate Of Grassroots Technological Innovations, Ijrras 3 (), May 010. Opgave 13 Tabellen nedenfor viser oplagstallene for 011 for fem danske dagblade. Politiken Jyllandsposten Fyns Stiftstidende Information Berlingske Blandt 00 af disse dagblades abonnenter har man i 013 spurgt om, hvilket dagblad de abonnerer på. Deres svar fordeler sig således: Politiken Jyllandsposten Fyns Stiftstidende Information Berlingske Man ønsker at undersøge, om fordelingen af disse dagblade blandt abonnenterne har ændret sig siden 011. a) Opstil en nulhypotese, og beregn på baggrund af denne det forventede antal svar blandt de 00 adspurgte abonnenter. b) Test om hypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Kilde:

173 Opgave 14 Stx matematik A maj 013 side 7 På figuren ses et guitarstativ indlagt i et koordinatsystem, således at stativets tre fødder ligger i punkterne A, B og C. I punktet E er der monteret et gaffelophæng, som guitaren hænger i, således at guitarens krop støtter på de to ben AD og BD. a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder de to ben AD og BD. b) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der går gennem punkterne D og E, og bestem den stumpe vinkel mellem l og. Opgave 15 En funktion f af to variable er givet ved f x y x y xy 3 (, ). a) Bestem de partielt afledede og den blandede afledede af f. 1 1 b) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet (,1, f (,1)). c) Bestem de stationære punkter for f, og tegn grafen for f. Opgave 16 En beholder er fyldt med en gas under tryk. Fra en lille ventil i toppen af beholderen strømmer gas ud. I en model er trykket i beholderen P (målt i atm) som funktion af tiden t (målt i minutter efter åbning af ventilen) en løsning til differentialligningen dp k ( P 1,0). dt =- - Det oplyses, at trykket til tidspunktet t = 0 er 5,0 atm, og at trykket til tidspunktet t = 5 er,0 atm. a) Bestem en forskrift for Pt ( ), og skitsér grafen for Pt ( ).

174 Stx matematik A maj 013 side 9 BILAG Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende 3

175 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx13-matn/a Onsdag den 14. august 013 kl

176 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

177 Stx matematik A august 013 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 To vektorer a og b er givet ved æö 9 a = ç çè5 ø og æ- 3ö b =ç ç ç çè 4. ø a) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. b) Undersøg, om a og b er ortogonale. Opgave En parabel er bestemt ved ligningen y x x = a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. Opgave 3 På figuren ses to cirkler. Den lille cirkel har radius r, mens den store cirkel har radius R. Det oplyses, at R = 13 og at arealet af det skraverede område er 5π. a) Bestem radius i den lille cirkel. r R Størrelsesforholdene er ikke korrekte Opgave 4 Figuren viser en retvinklet trekant ABC. a) Bestem AB, og bestem h c.

178 Stx matematik A august 013 side af 6 Opgave 5 En funktion f er bestemt ved f x x ( ) = ( x -3) e. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0, f (0)). b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 6 En cirkel har centrum i C(1, - ) og går gennem punktet P (4,). a) Bestem en ligning for cirklen, og bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P. Linjen l er bestemt ved ligningen 4x+ 3y+ 7 = 0. b) Gør rede for, at l også er en tangent til cirklen. Opgave 7 Figuren viser et tværsnit af en bjergtunnel indtegnet i et koordinatsystem. Den krumme del af tværsnittet har form som en del af en parabel. Tunnelen er 6 m bred og 3 m høj. a) Gør rede for, at parablen er graf for funktionen px 1 ( ) =- x b) Bestem arealet af tværsnittet. Opgave 8 a) Bestem integralet 1 3x ò dx. 0 3 x + 1 Besvarelsen afleveres kl

179 Stx matematik A august 013 side 3 af 6 Delprøve Kl Opgave 9 Foto: Wikimedia commons For en population af kaktusfinker på en af Galapagosøerne har man målt sammenhørende værdier af den årlige mængde af nedbør og det gennemsnitlige antal udklækkede æg for et finkepar. Nedbør (mm pr. år) Gennemsnitligt antal udklækkede æg pr. par 0,3 0,66 0,84 1,7 1,94 3,9 6,7 I en model antages det, at der er en eksponentiel sammenhæng mellem de målte størrelser. a) Indfør passende variable, og benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for sammenhængen. b) Bestem fordoblingskonstanten, og forklar betydningen af dette tal. Opgave 10 For Oscar-vindere i kategorien Bedste skuespiller har man opgjort aldersfordelingen for perioden Aldersfordelingen blandt de mandlige Oscar-vindere har middelværdi 43,6 år og kvartilsæt (38, 43, 48). Aldersfordelingen blandt de kvindelige Oscar-vindere er: 43, 9, 33, 35, 45, 49, 39, 34, 6, 5, 33, 35, 35, 35, 8, 30, 9, 61, 3, 33, 45, 9 a) Bestem middelværdi og kvartilsæt for aldersfordelingen blandt kvinderne, og benyt disse til at sammenligne de to aldersfordelinger.

180 Stx matematik A august 013 side 4 af 6 Opgave 11 En større internetbutik vil indføre et nyt produkt i deres sortiment. I den forbindelse vil butikken iværksætte en større reklamekampagne. Butikken formoder, at produktet appellerer lige meget til kvinder og mænd. Butikken har derfor på tilfældig vis udvalgt et antal kunder i butikken og spurgt dem, om de er interesserede i det pågældende produkt eller ej. Svarfordelingen blandt de 438 respondenter var som følger: Køn\Interesse Ja Nej Mand Kvinde a) Opstil en nulhypotese, som internetbutikken kan anvende til at teste om deres formodning holder stik, og undersøg, om nulhypotesen må forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 1 I en model kan de årlige udsving i jordoverfladens temperatur i Ribeirão Preto i Brasilien beskrives ved f( t) = 7,10 + 0,66 sin(0,017 t-,3), 0 t 365 hvor f ( t) betegner jordens overfladetemperatur til tidspunktet t (målt i antal dage efter 1. januar). a) Tegn grafen for f, og bestem de to tidspunkter på året, hvor jordens overfladetemperatur er 7,5 C. Kilde: Analytical soil temperature model, correction for temporal variation of daily amplitude, E. A. Elias et. al. Soil Sci. Soc. Am. J. 68, 004.

181 Stx matematik A august 013 side 5 af 6 Opgave 13 På figuren ses en model af en ottekantet rygepavillon indlagt i et koordinatsystem, og nogle af pavillonens hjørnekoordinater er angivet. z D C E A(117, 0,15) B(83,83,15) C(15,15, 00) x A B F y a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder sidefladen ABCD. Det oplyses, at den plan, der indeholder sidefladen BCEF, er bestemt ved ligningen 370x+ 95y-94z = 0. b) Bestem vinklen mellem sidefladerne ABCD og BCEF. Opgave 14 En funktion f af to variable er givet ved f( xy, ) x x y y 7. a) Bestem gradienten for f i punktet P(1, 1, f(1, 1)), og forklar, hvad gradienten fortæller om grafens stejlhed i punktet P. Opgave 15 En funktion f af to variable er givet ved f( xy, ) x x y 4 5. a) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet (,1, f (,1)). b) Bestem de stationære punkter for f, og tegn grafen for f. VEND!

182 Stx matematik A august 013 side 6 af 6 Opgave 16 En tank indeholder 00 liter saltopløsning. En saltopløsning, der indeholder 1,1 gram salt pr. liter, pumpes ind i tanken med en hastighed på 3 liter pr. minut. Samtidigt pumpes den blandede saltopløsning ud med samme hastighed, således at væskemængden i tanken bevares. Under hele processen omrøres blandingen i tanken, således at saltkoncentrationen til et givet tidspunkt kan antages at være den samme overalt i tanken. Lad S betegne saltmængden i tanken (målt i gram), og lad t betegne tiden, der er gået fra pumpeprocessens start (målt i minutter). a) Gør rede for, at S som funktion af t opfylder differentialligningen ds 3 3 1,1 S dt = b) Bestem S som funktion af t, idet det oplyses, at der fra start var 0 gram salt i tanken. Opgave 17 En funktion f er bestemt ved f x a x b x c x 3 ( ) = Ved design af en rutsjebane skal en del af rutsjebanen have form som den del af grafen for f, der ligger mellem punkterne A og B. Rutsjebanen skal være vandret i punkterne A og B. Endvidere skal rutsjebanen røre jorden i punktet B. a) Bestem a, b og c.

183 Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx141-matn/a Mandag den 5. maj 014

184 Forberedelsesmateriale til stx A net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 spørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning. 1

185 Indhold Indledning... 3 Linjeelementer... 4 Koblede differentialligninger... 6 Anvendelser af koblede differentialligninger... 8 Lanchester s model... 8 Andenordens differentialligninger Anvendelser af andenordens differentialligninger Andenordens differentialligninger fortsat Anvendelser af andenordens differentialligninger fortsat Bilag... 0 Koblede differentialligninger og faseplot i Maple... 0 Koblede differentialligninger og faseplot i Geogebra... 1 Koblede differentialligninger og faseplot i NSpire...

186 Indledning Dette forberedelsesmateriale tager udgangspunkt i førsteordens differentialligninger som y ay, y = b- ay og y = y( b- ay), som du forudsættes at være fortrolig med. I forberedelsesmaterialet er der både øvelser og opgaver. Øvelserne er tænkt som hjælp til forståelse af teorien, herunder beviser for nogle af sætningerne. Opgaverne er tænkt som forberedelse til de opgaver, der kommer til den skriftlige eksamen. I forberedelsesmaterialet anvendes 5 typer af farvede bokse. De grønne indeholder definitioner, de grå indeholder eksempler, de blå indeholder øvelser, de røde indeholder sætninger og de lilla indeholder opgaver. Bemærk, at der til eksamen vil blive stillet krav om at tegne faseplot for koblede differentialligninger. I bilagene ligger der vejledninger til, hvordan man anvender værktøjsprogrammerne Geogebra, NSpire og Maple til at tegne disse. 3

187 Linjeelementer Førsteordens differentialligningerne fra kernestoffet som y = ay, y = b- ay og y = y( b- ay) kan alle løses eksakt. Der findes også differentialligninger, der ikke kan løses eksakt. Du vil i det følgende møde eksempler på begge typer. Når differentialligninger ikke kan løses eksakt, anvendes derfor andre løsningsmetoder. Disse metoder bygger på, at en differentialligning giver information om tangenthældninger til løsningskurver. I differentialligningen dy 1 t y dt =-, er højre side en funktion af t og y. Kalder vi denne funktion s(, t y ), kan vi opskrive differentialligningen således dy s(, t y) dt = Hvis en løsningsfunktions graf herefter kaldet en løsningskurve går igennem punktet ( t0, y 0), så vil løsningskurvens tangent i punktet have hældningskoefficienten a = s( t0, y0). De tre størrelser tilsammen: t 0, y 0 og s( t 0, y 0 ) kaldes et linjeelement. Hermed menes, at vi har et punkt og et lille linjestykke gennem dette punkt med hældningskoefficienten a = s( t0, y0). Linjeelementet betegnes ( t0, y0; a ). Et plot af linjeelementer kaldes hældningsfeltet. På baggrund af disse linjeelementer kan man tabellægge en god tilnærmelse til den løsning, der begynder i et bestemt punkt. En sådan løsning kaldes en numerisk løsning. Vi illustrerer med et konkret eksempel, hvorledes linjeelementer kan hjælpe til at få overblik over løsningskurver til differentialligninger. Eksempel 1 Linjeelementer Vi vil som et konkret eksempel se på differentialligningen dy 1 t y dt =- Vi kan udregne en række linjeelementer hørende til denne differentialligning ved at vælge punkter ( t0, y0) og indsætte disse i udtrykket på højresiden i differentialligningen. For punktet (,6) får vi fx 1 a =- 6 =- 6 dvs. (,6;- 6) er et linjeelement for differentialligningen. Vi kan på den måde udregne en 4

188 række linjeelementer inden for fx grafvinduet [- 10;10] [- 10;0]. Vi kan fx udregne tangenthældninger for alle punkter med heltallige koordinatsæt i dette vindue. Det er jo temmelig mange beregninger, men dette kan nemt automatiseres i fx et regneark. Det næste skridt bliver at tegne små tangentstykker svarende til alle disse beregninger og det er omstændeligt! Heldigvis har de fleste værktøjsprogrammer en indbygget facilitet til netop dette! Anvender vi denne får vi nedenstående plot, hvoraf vi tydeligt kan se konturerne af forskellige løsningskurver: Vælger vi nu fx begyndelsesværdien (,6), får vi samtidig beskrevet lige netop den ene løsningskurve, som går gennem dette punkt. (,6) Her er løsningskurven gennem (,6) tegnet sammen med hældningsfeltet. De fleste værktøjsprogrammer kan også hente løsningskurven, og tegne denne uden det tilhørende hældningsfelt. I nogle programmer er begyndelsespunktet (svarende til begyndelsesværdien) dynamisk, så når man trækker i det, kan man se, hvordan løsningskurven ændrer sig, eller man kan indskrive flere begyndelsesværdier sammen med den enkelte differentialligning. Vi har her ikke løst differentialligningen eksakt, men vi har tegnet hældningsfeltet sammen med grafen for en numerisk løsning gennem punktet (,6). 5

189 Opgave 1 Givet differentialligningen dy t y dt = a) Bestem linjeelementet i punktet (3,). b) Tegn hældningsfeltet i et passende grafvindue sammen med løsningskurven gennem punktet (3,). Koblede differentialligninger For modeller med flere variable er der et indbyrdes afhængighedsforhold mellem de variable. Sådanne systemer beskrives ved en række sammenhørende differentialligninger. Man kan sammenligne et system af koblede differentialligninger med fx ligninger med to ubekendte, hvor vi har brug for begge ligninger for at kunne bestemme de to ubekendte. Vi vil se på et system af to koblede differentialligninger du v dt = og dv u dt =-. u og v er begge funktioner af t, men sammenkoblingen medfører, at vi ikke umiddelbart kan få tegnet løsningskurver for dem. I stedet vælger vi en anden strategi: Vi betragter u og v som variable og ligningerne som en beskrivelse af variabelsammenhængen mellem dem. Dvs. vi vælger at afsætte u som 1. koordinat og v som. koordinat (eller omvendt). Begyndelsesværdierne u (0) = og v (0) = 1 giver os punktet (,1) i (u,v)-koordinatsystemet som begyndelsesværdi for en grafisk fremstilling af variabelsammenhængen mellem u og v. Vi skifter hældningsfeltet ud med et retningsfelt, hvor hvert tangentstykke er erstattet af en vektor, der viser den retning, et punkt ( uv, ) bevæger sig, når t gennemløber tallinjen. 6

190 du du I punktet (,1) er = 1 og =- =- 4. I retningsfeltet vil den pil, der sidder i ( uv, ) = (,1) pege i dt dt æ ö samme retning som vektoren ç 4, der derfor er retningsvektor for tangenten i punktet. ç- è ø Den grafiske fremstilling af sammenhængen mellem de to variable u og v kaldes et faseplot. Her har vi tegnet retningsfeltet for systemet af de koblede differentialligninger du v dt = og dv u dt =- sammen med faseplottet gennem ( uv, ) = (,1), der viser sammenhængen mellem u og v. Bemærk, at højresiden i de to differentialligninger ikke indeholder tidsparameteren t, hvilket er en forudsætning for, at det giver mening at tegne retningsfeltet og faseplottet. Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere, kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til én førsteordens differentialligning ved at anvende reglen om differentiation af sammensat funktion på funktionen vut ( ( )): dv dv du dv = giver at - u= v og dermed dv - = u. dt du dt du du v Der kan være problemer med definitionsmængden, men det vil føre for vidt at medtage dette her. Denne ligning kan vi så løse med begyndelsesbetingelsen ( uv, ) = (,1) sædvanlig vis i et værktøjsprogram: ( v =- u v = u v) desolve and () 1,, v = 5-u u + v = 5 v. Differentialligningen løses på 7

191 Vi ser, at løsningen fremkommer på implicit form, dvs. at udtrykket indeholder de to variable, uden at v er isoleret. Nogle værktøjsprogrammer løser ligningen fuldt ud, sådan at v fremkommer som en funktion af u. Faseplottet er altså en del af en cirkel med centrum i (0,0) og radius 5. Opgave Et system af koblede differentialligningen er givet ved du dv =-3 v og 3 u dt dt = a) Bestem væksthastighederne i punktet ( u(0), v (0)) = (1,1), dvs. bestem u (0) og v (0). b) Tegn retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger. c) Tegn et faseplot, der viser sammenhængen mellem u og v, med begyndelsesbetingelsen ( u(0), v (0)) = (1,1). Opgave 3 Forklar, hvordan retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger du dv =-k v og k u dt dt = ændrer sig for forskellige værdier af k. Brug evt. en skyder for k i dit værktøjsprogram. Opgave 4 Et system af koblede differentialligninger er givet ved du dv =- v og 3 u dt dt =. Tegn retningsfeltet sammen med et faseplot, når det oplyses, at u (0) = 65 og v (0) = 90. Anvendelser af koblede differentialligninger Lanchester s model I forbindelse med fx et kampvognsslag, hvor to styrker kæmper mod hinanden, kan antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start) modelleres ud fra Lanchester s model. Et eksempel på en sådan model kan være et sæt koblede differentialligninger som u () t =-a v() t v () t =-b u() t hvor a og b er positive konstanter, der angiver effektiviteten af henholdsvis hærenhederne u og v. Opgave 5 a) Antag hærstyrkerne ved slagets begyndelse er på u (0) = 00 og v (0) = 100 samt at a = 0,15 og b = 0,03. Udregn væksthastighederne u (0) og v (0), og giv et skøn over hærstyrkernes størrelse til tidspunkterne t = 1 og t =. 8

192 Eksempel I en Lanchestermodel for et slag mellem to hære, kan udviklingen i antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t, beskrives ved følgende sæt af koblede differentialligninger u () t =-0,1 v() t v () t =-0,07 u() t, Begyndelsesbetingelserne er givet ved u (0) = 400 og v (0) = 700. Et retningsfelt i grafvinduet [ 0,500] [ 0,800] kan sammen med faseplottet med de angivne begyndelsesbetingelser se ud som: (400,700) Af faseplottet ses at punktet (400,700) repræsenterer slagets start, og herefter mister begge styrker hærenheder. Slaget ender med at u har 0 hærenheder, mens v har ca. 630 hærenheder. Det konkluderes altså, at hæren u taber, og alle kampvognene er ødelagt, og hæren v vinder med et tab på omkring 70 kampvogne. Opgave 6 Givet Lanchesters model med parametrene a og b u () t =-a v() t v () t =-b u() t Vi antager først, at a = 0,15 og b = 0,03. a) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne u (0) = 10 og v (0) = 300. Forklar betydningen af faseplottet. b) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne u (0) = 50 og v (0) = 600. Forklar betydningen af faseplottet. c) Tegn et faseplot for løsningen, hvor de to hærstyrker er lige store til at begynde med. Forklar betydningen af faseplottet. Antag nu, at a = 0,15 og b = 0,10. d) Tegn et faseplot for løsningen med forskellige begyndelsesbetingelser. Sammenlign med faseplottene, hvor a = 0,15 og b = 0,03. 9

193 Andenordens differentialligninger De systemer af koblede differentialligninger, vi har set på ovenfor, kan omskrives til andenordens differentialligninger, hvor kun u eller v indgår som ubekendt. Dermed kan en eksakt løsning bestemmes. Opgave 7 Vi ser igen på de to koblede differentialligninger u () t =-0,15 v() t v () t =-0,03 u() t hvor u og v betegner antallet af hærenheder, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start). a) Differentier v () t =-0,15 u() t og vis, at den nye differentialligning kan skrives som v () t = 0,045 v(). t b) Differentier u ( t) =-0,03 v( t) og vis, at den nye differentialligning kan skrives som u () t = 0,045 u(). t c) Bestem u (0) og v (0), når begyndelsesbetingelserne er givet ved u (0) = 10 og v (0) = 300. d) Bestem de partikulære løsninger, u(t) og v(t), med de givne begyndelsesbetingelser i dit værktøjsprogram. e) Bestem antallet af hærenheder i de to hære efter 5 dage. Vi har nu fået omskrevet de koblede differentialligninger u ( t) =-a v( t) og v ( t) =-b u( t) til to andenordens differentialligninger u ( t) = k u( t) og v () t = k v() t, hvor konstanten k= a b er den samme i begge differentialligninger. Vi ser nu på et mere generelt system af koblede lineære differentialligninger: u () t = a u() t + b v() t + c v () t = d u() t + e v() t + f hvor a, b, c, d, e og f er konstanter, og u og v er funktioner af t, som i det følgende blot betegnes med u og v. Differentialligningerne omskrives nu efter følgende opskrift: - differentier første ligning - indsæt anden ligning i det fundne udtryk - isoler v i første ligning og indsæt også denne i samme udtryk Proceduren gentages, men nu ved først at differentiere den anden ligning. Herved når man frem til følgende to andenordens differentialligninger: 1. u -( a+ e) u + ( ae- bd) u= bf - ec. v -( a + e) v + ( ae- bd) v = dc - af 10

194 Øvelse 1 a) Omskriv følgende koblede system til andenordens differentialligninger: u = 0,5u+ v v =- 0, 75u+,5v b) Udnyt begyndelsesbetingelserne u (0) = 1 og v (0) = til at udregne begyndelsesbetingelserne for u og v. c) Løs ligningerne med begyndelsesbetingelserne fra b) i dit værktøjsprogram. Øvelsen er ikke et bevis for, at der er ækvivalens mellem koblede lineære differentialligninger og lineære andenordens differentialligninger. Men beviset følger den samme metode. I det følgende skal vi se på tre typer af anden ordens differentialligninger samt deres løsninger. De er alle lineære differentialligninger af anden orden, dvs. de kan skrives på formen y + f1() t y + f() t y= g() t, hvor f 1, f og g er givne funktioner af én variabel. Hvis gt () = 0kaldes differentialligningen homogen. Ellers siges ligningen at være inhomogen. Vi vil kun beskæftige os med lineære differentialligninger af anden orden, hvor funktionerne f 1 og f er konstanter. Vi vil i dette afsnit koncentrere os om følgende typer af andenordens differentialligninger: y = g() t, hvor g er en kontinuert funktion i et interval I, y = a y, hvor a er en konstant, y + p y + q y= 0, hvor p og q er konstanter. y + p y + q y= k, hvor p, q og k er konstanter. For førsteordens differentialligninger går der højst én løsningskurve gennem et givet punkt, dvs. man skal blot kende et punkt på løsningskurven for at bestemme den partikulære løsning til førsteordens differentialligninger. For andenordens differentialligninger er et punkt ikke nok til at bestemme den partikulære løsning. Her skal man kende et linjeelement ( t0, y0; a ), hvorigennem løsningskurven skal passere. For nogle andenordens differentialligninger er det dog tilstrækkeligt at kende to punkter på løsningskurven. Nogle andenordens differentialligninger kan løses ved at integrere to gange. Man får herved to konstanter, og man skal derfor kende to punkter eller et linjeelement for at kunne finde den partikulære løsning. Opgave 8 a) Løs differentialligningen y = 5t ved at integrere to gange. b) Bestem den løsning, der går gennem punkterne (0,3) og (,30). c) Tegn hældningsfeltet og løsningskurven gennem de to punkter. 11

195 Sætning 1 Den fuldstændige løsning til differentialligningen y = g() t, hvor g er en kontinuert funktion i et interval I, er givet ved ò () 1, y = Gt dt+ c t+ c hvor G(t) er en stamfunktion til g(t), og hvor c 1 og c er vilkårlige konstanter. Øvelse Bevis sætningen ved at integrere differentialligningen to gange på samme måde som i opgaven ovenfor. Opgave 9 a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen b) Bestem tre løsninger, hvis grafer går gennem punktet c) Bestem den løsning, der går gennem punkterne d) Bestem den løsning, der går gennem punktet hældningskoefficient i punktet P. y = 4e t. P (1, e ). P (1, e ) og Q (5,0). P (1, e ), og som har en tangent med Bemærk, at det for differentialligningen eller et linjeelement for at fastlægge en entydig løsning. y = 4e t er nødvendigt at kende enten to punkter Sætning Den fuldstændige løsning til differentialligningen y = a y afhænger af fortegnet for Bevis konstanten a. 1) Hvis a = 0, så er den fuldstændige løsning givet ved y= c1 t+ c. at - at ) Hvis a > 0, så er den fuldstændige løsning givet ved y= c1 e + c e. 3) Hvis a < 0, så er den fuldstændige løsning givet ved ( ) sin( ) y = c cos -a t + c -a t. 1 I alle tre tilfælde gælder udtrykket for alle t, og c 1 og c er vilkårlige konstanter. Vi deler beviset op i tre tilfælde svarende til de tre muligheder for fortegnet for a. 1) Dette følger af sætning 1. Forklar hvorfor. at - at ) Først bevises, at y= c1 e + c e rent faktisk er en løsning. Øvelse 3 Vis dette ved at gøre prøve. at - at Dernæst bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end y= c1 e + c e. Antag derfor, at y er en vilkårlig løsning til differentialligningen. 1

196 y = a y y -a y= 0 Vi omskriver differentialligningen ved at gange med faktoren e at og får: at at y e -a y e = 0 Nu lægger vi leddet e at y a til på venstre side og trækker det fra igen: at at at at y e + y a e -y a e -a y e = 0 Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan dette kan omskrives til: at at ( y ) ( y a ) e - e = 0 Øvelse 4 Kontrollér, at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation. Nu bruges differensreglen for differentiation til at samle de to differentialkvotienter: at at ( y y a ) e - e = 0 Begge sider integreres, og vi får: at at y e -y a e = c, hvor c er en konstant. Vi ganger med e - at på begge sider af lighedstegnet: at - at at - at - at y e e -y a e e = c e y -y a = c e - at Nu har vi altså oversat problemet til en lineær førsteordens differentialligning. Vi omskriver denne ligning ved igen at gange med faktoren e - at. - at - at - at - at y e -y a e = c e e Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan venstre omskrives til: at ( y e ) = c e - - at Øvelse 5 Kontroller at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation på venstre side og en potensregneregel på højre side. Begge sider af ligningen ovenfor integreres, og vi får: - at 1 - at e a y e =- c + c, hvor c er en konstant. 13

197 Vi ganger nu med faktoren e at på begge sider af lighedstegnet: - at at 1 - at at at a y e e =- c e e + c e. Vi omdøber konstanten - til c 1 og anvender en potensregneregel: c a - at at 1 e e y= c + c. Vi har hermed bevist at en vilkårlig løsning y til differentialligningen kan skrives på formen - at at 1 e e y= c + c. ) Vi mangler nu det sidste at de tre tilfælde, og vi vil bevise, at y c1 cos( a t) c sin( a t) faktisk er en løsning til differentialligningen y = a y, med a < 0. = rent Øvelse 6 Vis dette ved at gøre prøve. Til sidst skal det bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end ( ) sin( ) y = c cos -a t + c -a t. Beviset udelades her, men findes i gængse lærebøger. 1 Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen y = a y. En hvor a = 0, en hvor a er negativ og en hvor a er positiv. 14

198 Anvendelser af andenordens differentialligninger Med sætning kan vi arbejde videre med differentialligningerne fra Lanchesters model. Opgave 10 Bestem en partikulær løsning til hver af de to andenordens differentialligninger fra opgave 7 v () t = 0,045 v() t og u () t = 0,045 u(). t med begyndelsesbetingelserne u (0) = 10, v (0) = 300, u (0) =- 45 og v (0) =- 3,6. Opgave 11 Givet differentialligningen y = 6 y. a) Brug sætning til at opskrive den fuldstændige løsning. b) Brug sætning til at bestemme den partikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem linjeelementet (1,;). c) Kontroller din løsning til differentialligningen ved hjælp at dit værktøjsprogram. Andenordens differentialligninger fortsat Inden vi ser nærmere på den sidste af de tre andenordens differentialligninger, nemlig y + p y + q y= 0 indfører vi det tilhørende karakteristiske polynomium. Definition 1 Ved det karakteristiske polynomium for differentialligningen y + p y + q y= 0 forstås andengradspolynomiet g( x) = x + p x+ q, hvor vi har kaldt den variable x for at undgå sammenblanding med variablen t i differentialligningen. Det karakteristiske polynomiums diskriminant og eventuelle rødder spiller en væsentlig rolle for løsningen af den tilhørende differentialligning. 15

199 Sætning 3 Den fuldstændige løsning til differentialligningen y + p y + q y= 0, hvor p og q er konstanter, afhænger af diskriminanten polynomium g( x) = x + p x+ q. d = p - 4q for det tilhørende karakteristiske 1) Hvis d > 0, så har det karakteristiske polynomium to rødder l og m, og den fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen lt t 1 m, y = c e + c e hvor c 1 og c er vilkårlige konstanter. ) Hvis d = 0, så har det karakteristiske polynomium én rod, og den fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen: lt t 1 l, y = c e + c t e hvor c 1 og c er vilkårlige konstanter. 3) Hvis d < 0, så er den fuldstændige løsning til differentialligningen mængden af funktioner på formen: 1 pt ( ) sin 1 ( ) - pt y c e cos d t c e d t = - + -, hvor c 1 og c er vilkårlige konstanter. Beviset udelades her, men kan læses i flere gængse lærebøger. Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen y + p y + q y= 0. Én for hver af de tre fortegn for det karakteristiske polynomiums diskriminant d. 16

200 Opgave 1 Givet differentialligningen y -4 y + 5 y= 0 a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen () f t kan beskrives ved. c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder, at f p ( ) = 0 og ( ) p. f = Opgave 13 Givet differentialligningen y = y + y. a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen () f t kan beskrives ved. c) Bestem den partikulære løsning, hvis graf går gennem linjeelementet 1 ( ) 3, ;. Opgave 14 Givet differentialligningen 0 y + 40 y + 0 y= 0 a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen () f t kan beskrives ved. c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder at f (0) = 5 og f (0) = 0. Anvendelser af andenordens differentialligninger fortsat Eksempel 3 Fjeder uden friktion Et lod er ophængt i en fjeder, og når vi trækker i loddet og slipper, så bevæger fjederen sig op og ned. Vi antager først, at der ikke er nogen friktion i bevægelsen, og at loddet derfor vil fortsætte med at bevæge sig op og ned. Bevægelsesligningen for loddet kan beskrives ved k m y () t =- y() t, hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse og k er en konstant herefter kaldet fjederkonstanten. 17

201 Opgave 15 Et lod på 0,5 kg ophænges i en fjeder. Det trækkes 4 cm væk fra ligevægtspunktet, holdes i hvile et øjeblik, slippes til t = 0, og starter derefter sine svingninger. Fjederkonstanten er k = 3. a) Opskriv begyndelsesbetingelserne og differentialligningen. b) Løs differentialligningen vha. af sætning, så du får et udtryk for y som funktion af t. Tjek din løsning ved også at løse differentialligningen i dit værktøjsprogram. c) Tegn grafen for y. Eksempel 4 Fjeder med friktion En fjeder vil naturligvis ikke fortsætte i evighed med at svinge op og ned. Udsvingene vil aftage med tiden på grund af friktion. Tager man dette aspekt med i modellen for fjederens bevægelse, ændres bevægelsesligningen til: b m k m y () t + y () t + y () t = 0, hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse, k er fjederkonstanten, og b er en konstant. Opgave 16 For en bestemt fjeder er m = 10kg, k = 6,5 og b = 6. a) Opskriv differentialligningen med disse konstanter indsat, og opskriv det karakteristiske polynomium, der hører til denne differentialligning. b) Bestem diskriminanten for det karakteristiske polynomium samt eventuelle rødder. c) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. d) Bestem den partikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 7,1. e) Tegn grafen for y. f) Denne type af fjedersvingninger kaldes dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 17 For en bestemt fjeder er m = 1kg, k = 9 og b = 6. a) Bestem den partikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 4. b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes kritisk dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 18 For en bestemt fjeder er m = kg, k = 8 og b = 10. a) Bestem den partikulære løsning når y (0) = 1 og y (0) =- 7. b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes overdæmpede svingninger. Hvorfor mon? 18

202 Bevægelsesligningerne i ovenstående eksempler med fjedre kan også bruges til at beskrive andre typer af svingninger. Eksempel 5 Lidokain i blodet I behandling af uregelmæssig hjerterytme kan et system af koblede differentialligninger modellere brugen af medikamentet lidokain. Antag, at ut () betegner massen af lidokain i blodet (målt i mg), og vt () betegner massen af lidokain i kropsvævet (målt i mg). Det koblede system af differentialligninger kan for en bestemt kropsvægt da opstilles som: u ( t) 0,09 u( t) 0,038 v( t) v ( t) 0,066 u( t) 0,038 v( t) I modellen er massen af lidokain i blodet til at begynde med 0, og massen af lidokain i kropsvævet svarer til massen af den dosis, der indsprøjtes. Kilde: J. M. Cushing, Differential Equations: An Applied Approach Øvelse 7 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 5 til. ordens differentialligninger. b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger i eksempel 5, når begyndelsesbetingelserne er u (0) = 0 og v (0) = 1. b) Tegn et faseplot for disse løsninger. Eksempel 6 Marketingsstrategi En kosmetikkæde har en marketingsstrategi for prisen på en bestemt shampoo. I et system af koblede differentialligninger betegner ut () prisen på shampoo, og vt () betegner lagermængden af den bestemte shampoo. Et system af koblede differentialligninger for den bestemte shampoo kan formuleres som: u () t v() t v ( t) u( t) 6 v( t) 89 4 med begyndelsesbetingelserne u(0) 10 og v(0) 7. Øvelse 8 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 6 til. ordens differentialligninger. b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger fra eksempel 6. c) Hvad sker der med pris og lagermængde, når t bliver meget stor. d) Tegn et faseplot for disse løsninger. 19

203 Bilag Koblede differentialligninger og faseplot i Maple Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger u () t 0, v() t v () t 0,08 u() t En partikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v (0) = 10. Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Maple med pakken DEtools og kommandoen Deplot 0

204 Koblede differentialligninger og faseplot i Geogebra Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger u () t 0, v() t v () t 0,08 u() t En partikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Geogebra med dette worksheet eller Geogebrafilen GeogebraFaseplot. 1

205 Koblede differentialligninger og faseplot i NSpire Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger u () t 0, v() t v () t 0,08 u() t En partikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i grafvinduet i NSpire. Under Grafindtastning/Rediger vælges først Differentialligninger : Herefter indtastes den første differentialligning sammen med begyndelsesbetingelsen for u. Bemærk at u kalds y1 og v kaldes y. Herefter indtastes den anden differentialligning samt begyndelsesbetingelser for v, og der klikkes på knappen med de tre prikker yderst til højre: Vælg følgende indstillinger i det fremkomne vindue:

206 Til sidst ændres vinduets størrelse, så det passer til faseplottet: 3

207 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A Torsdag den. maj 014 kl

208 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af 1 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af 13 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

209 Stx matematik A-net maj 014 side 1 af 7 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 a) Løs andengradsligningen 3x -x- = 0. Opgave To vektorer a og b er givet ved æö 5 a = ç çè1 ø og æ- 1ö b =ç ç ç çè 1 ø. a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. Opgave 3 a) Isolér x i ligningen x + 3 = 5. Opgave 4 I en model for ændringen af massen af et radioaktivt stof kan sammenhængen mellem massen M (målt i gram) og tiden t (målt i sekunder) beskrives ved Mt= ( ) 50 0,9956 t. a) Gør rede for, hvad konstanterne 50 og 0,9956 fortæller om ændringen af massen af det radioaktive stof. Opgave 5 Linjen l går gennem punkterne A( -1,) og B (5,6). a) Bestem en parameterfremstilling for l. Linjen m står vinkelret på l og går gennem A. b) Bestem en ligning for m.

210 Stx matematik A-net maj 014 side af 7 Opgave 6 Figuren viser en sumkurve over højdefordelingen blandt 800 elever på en skole. 100% Til opgaven hører et bilag 50% 10% 150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 00 cm a) Bestem kvartilsættet for højdefordelingen og bestem, hvor mange elever på skolen der er mindre end 160 cm. Benyt evt. bilag 1. Opgave 7 En funktion f er bestemt ved f x x x x 3 ( ) = () a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 0, f (0). ( ) Grafen for f og førsteaksen afgrænser for 0 x 1 i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figuren). b) Bestem arealet af M. M f 1 (1)

211 Stx matematik A-net maj 014 side 3 af 7 Opgave 8 C A 6 8 B På figuren ses et rektangel med sidelængderne 6 og 8. Diagonalernes skæringspunkt benævnes A. a) Bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem omkredsen af trekant ABC. Opgave 9 En funktion f er bestemt ved f x x b x c ( ) = + +. Det oplyses, at linjen med ligningen y=- x+ 5 er tangent til grafen for f i punktet P( 1, f (1) ). a) Bestem b og c. Besvarelsen afleveres kl

212 Stx matematik A-net maj 014 side 4 af 7 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 10 x Tabellen viser sammenhørende værdier af faldhøjde og kraterdiameter for en kugle, der falder ned i en sandkasse. d Faldhøjde (cm) Kraterdiameter (cm) 5,0 5,6 6,5 7,4 7,8 I en model kan sammenhængen beskrives ved d = b x a, hvor d er kraterdiameteren (målt i cm), og x er faldhøjden (målt i cm). a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme kraterdiameteren for et fald med en faldhøjde på 90 cm og til at bestemme faldhøjden, når kraterdiameteren er 8,5 cm. c) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange procent kraterdiameteren øges med, når faldhøjden øges med 50%. Opgave 11 I trekant ABC er BC = 7 og AB = 6. Det oplyses, at arealet af trekant ABC er 10, samt at B er spids. a) Bestem B samt omkredsen af trekant ABC.

213 Stx matematik A-net maj 014 side 5 af 7 Opgave 1 z D C G A y H B x I Minnesota USA ligger gæstehuset Winton tegnet af arkitekten Frank O. Gehry. På figuren ses en model af en af de tre bygninger, der indgår i gæstehuset. Modellen er indlagt i et koordinatsystem, hvor enheden er cm på hver af akserne. Koordinaterne til nogle af husets hjørnepunkter er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan, som indeholder tagfladen ABCD. Det oplyses, at tagfladen BCGH ligger i en plan, der er bestemt ved ligningen : 1800x+ 5150y-8993z = 0. A(81, 617, 50) B(81, 79, 50) C(557, 09,1050) D(557, 408,1050) b) Bestem den stumpe vinkel mellem de to tagflader ABCD og BCGH. Opgave 13 Et system af koblede differentialligninger er givet ved u () t = vt () v () t =- ut (). a) Bestem væksthastighederne i punktet ( uv, ) (3,4). b) Tegn et faseplot, hvor en partikulær løsning, der opfylder u(0) 10 og v(0) 10, er indtegnet.

214 Stx matematik A-net maj 014 side 6 af 7 Opgave 14 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) =,5 x+ 0,05 + 1,4, x³ 0 gx ( ) = 3 x- 0, 5, x³ 05, I første kvadrant afgrænser graferne for f og g sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x = 6,5 en punktmængde M, der har et areal. () f M g 0,5 6,5 (1) En keramikskål, der er 6,5 cm høj, kan i en model beskrives ved det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at dreje M 360 om førsteaksen. I modellen har begge akser enheden cm. a) Benyt modellen til at bestemme, hvor meget skålen kan rumme, og til at bestemme volumen af den ler, skålen er lavet af. Opgave 15 Når en person springer ud fra en vippe i en svømmehal sættes brættets yderste ende i lodrette svingninger. For at beskrive dette har man markeret et punkt P på vippen (se figuren). I en model kan punktets lodrette udsving beskrives ved en funktion f ( t ), der er løsning til differentialligningen P y + 0,38 y + 0,55 y= 0, hvor f ( t) er punktet P s udsving fra ligevægtsstillingen (målt i cm) til tidspunktet t (målt i sekunder efter udspringet). Foto: Colourbox.com a) Opskriv det karakteristiske polynomium for differentialligningen, og benyt dette til at gøre rede for, hvilken type forskrift f ( t ) kan beskrives ved. Det oplyses, at ved selve udspringet er punktet 15 cm under ligevægtsstillingen, og punktets hastighed er 0 cm/s. b) Bestem en forskrift for f ( t ), og tegn grafen for f for de første 10 sekunder efter udspringet.

215 Stx matematik A-net maj 014 side 7 af 7 Opgave 16 En funktion f er bestemt ved () f x ( ) = 1 - x. P x, f( x) På figuren ses en skitse af grafen for f. a) Gør rede for, at arealet af trekant OPQ udtrykt ved x er givet ved f T x = x- x, 1 3 ( ) ( ) og gør rede for, at omkredsen af trekant OPQ udtrykt ved x er givet ved O x Q 1 (1) d x x x x x 4 ( ) = b) Bestem den værdi af x, der giver den maksimale værdi af arealet af trekant OPQ, og undersøg, om denne værdi af x også giver den maksimale værdi af omkredsen af trekant OPQ.

216 Stx matematik A-net maj 014 BILAG 1 Stx matematik A-net maj 014 Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende 6 100% 50% 10% 150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 00 cm

217 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx141-matn/a Tirsdag den 7. maj 014 kl

218 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af 1 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af 13 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

219 Stx matematik A-net maj 014 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b bestemt ved æö a = ç çè3 og ø æ- 1ö b =ç ç ç çè t, ø hvor t er et tal. a) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer a og b udspænder, når t = 1. b) Bestem tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave To størrelser x og y er ligefrem proportionale. a) Bestem tallene s og t. x 3 s y t Opgave 3 I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90, er AB = 10 og BC = 6. A a) Bestem AC, og bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem højden h c. 10 h c C 6 B Opgave 4 En funktion f er givet ved f( x) = a x -4x- 10. Grafen for f er en parabel, som har toppunkt i T (-,- 6). a) Bestem konstanten a.

220 Stx matematik A-net maj 014 side af 6 Opgave 5 Hver af de tre grafer A, B og C på figuren er graf for en af de tre funktioner f, g og h. De tre funktioner er bestemt ved f( x ) = x, 1 x = og hx= ( ) g( x) 3 x - () B ( ). A C (1) a) Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken af de tre funktioner den er graf for. Opgave 6 En funktion f er bestemt ved f x 3 ( ) = x + 7. a) Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (,8). Opgave 7 En funktion f er løsning til differentialligningen dy x y 3. x dx = + Grafen for f går gennem punktet P (,5). a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. Opgave 8 En cirkel er givet ved ligningen x x y y = 0. a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. b) Undersøg, om linjen med ligningen 3x- 4y+ 3= 0 er en tangent til cirklen.

221 Stx matematik A-net maj 014 side 3 af 6 Opgave 9 En differentiabel funktion f opfylder, at f (0) = og f (5) = 0, og, at fortegn og nulpunkter for f er som angivet på tallinjen: x 5 f ( x) 0 0 a) Tegn en skitse af en mulig graf for funktionen f. Besvarelsen afleveres kl

222 Stx matematik A-net maj 014 side 4 af 6 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 10 I trekant ABC er AC = 10, BC = 8 og A = 43. Det oplyses, at vinkel B er stump. a) Tegn en skitse af trekant ABC, og bestem B. Opgave 11 I en model kan længden af en bestemt type grønne leguaner som funktion af deres alder beskrives ved 160 =, 0 x 0, e f( x) -,59 x Foto: hvor f ( x ) er længden (målt i cm), og x er alderen (målt i år). a) Tegn grafen for f, og bestem alderen for en grøn leguan, der er 140 cm lang. b) Bestem f (), og giv en fortolkning af dette tal. c) Benyt modellen til at bestemme længden af en grøn leguan, når dens væksthastighed er størst. Opgave 1 Man ønsker at undersøge, om den personlige holdning til sammenlægning af to skoler i en kommune afhænger af personens køn. Der er udtaget en stikprøve på 400 personer i kommunen. Stikprøvens fordeling på køn og holdning til sammenlægningen fremgår af tabellen. For Imod Ved ikke Kvinder Mænd a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste, om holdning til sammenlægning af de to skoler i kommunen afhænger af køn, og opskriv med udgangspunkt heri en tabel over de forventede værdier. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.

223 Stx matematik A-net maj 014 side 5 af 6 Opgave 13 Funktionen yt ( ) opfylder differentialligningen 3 y () t + y () t - yt () = 0. a) Bestem den partikulære løsning, der opfylder y (0) = 1 og y (0) = 1. Tegn grafen for den partikulære løsning. Opgave 14 () f (1) Figuren viser et øjebliksbillede af et sjippetov indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. I en model kan sjippetovets udseende beskrives ved grafen for funktionen f( x) = 0,95 sin(0,68 x), 0 x 5. a) Bestem volumen af den luftmængde, der afsnøres, når sjippetorvet roteres 360 omkring førsteaksen. Opgave 15 Fotos: I en Lanchestermodel for et tankslag mellem to hære, kan udviklingen i antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære beskrives ved to funktioner u og v, der er løsning til differentialligningssystemet u () t =-0,15 vt () v ( t) = -0,01 ut ( ), hvor ut () og vt () er antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære til tidspunktet t (målt i dage efter tankslagets begyndelse). Det oplyses, at u (0) = 518 og v (0) = 98. a) Bestem de partikulære løsninger ut ( ) og vt ( ) med de givne begyndelsesbetingelser, og bestem antallet af kampduelige tanks i hver af de to hære efter 5 dage. b) Tegn et retningsfelt med et faseplot, der opfylder ovenstående begyndelsesbetingelser, og benyt dette til at forudsige, hvilken af de to hære der vinder. VEND!

224 Stx matematik A-net maj 014 side 6 af 6 Opgave 16 Figuren viser en pyramide indtegnet i et koordinatsystem i rummet. Koordinatsættene til pyramidens hjørner er angivet på figuren. z T A(10,0,0) B(10,10,0) C(0,10,0) T (0,0,15) O(0,0,0) O A C y x B a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder fladen ABT. Pyramiden gennemskæres af planen, der er bestemt ved ligningen : -5x- 5y+ 11z= 6. b) Bestem den spidse vinkel mellem og. En kugle har centrum i T og har som tangentplan. c) Bestem koordinatsættet til kuglens røringspunkt med.

225 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx14-matn/a Torsdag den 14. august 014 kl

226 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

227 Stx matematik A-net august 014 side 1 af 5 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 a) Reducér udtrykket ( p - q)( p+ q) - p + q. Opgave I et koordinatsystem i planen er givet punkterne A (1, ) og B (5,10). a) Bestem en ligning for den rette linje, der går gennem punktet C(, - 4) og er parallel med vektoren AB. b) Bestem arealet af trekant ABC. Opgave 3 En parabel er givet ved ligningen y x x = a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. b) Forklar, hvilken betydning tallet 8 i ligningen har for parablens form og beliggenhed. Opgave 4 Afladningen af en kondensator kan beskrives ved modellen Ut ( ) 130 0,8 t, hvor Ut ( ) er spændingsfaldet målt i volt, og t er tiden målt i sekunder efter opladningen. a) Forklar betydningen af konstanterne i modellen. Opgave 5 En funktion f er bestemt ved -x f ( x) = x e + 3x. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0, f (0)).

228 Stx matematik A-net august 014 side af 5 Opgave 6 På figuren ses en skitse af graferne for de tre funktioner () f( x) 3 1, x g( x) f( x) hx ( ) f( x) a) Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken af funktionerne f, g og h den er graf for. A B C (1) Opgave 7 To funktioner f og g er bestemt ved () f x x x 3 ( ) = gx x x x 3 ( ) = g Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant et område M, der har et areal. a) Bestem førstekoordinaterne til hvert af skæringspunkterne mellem graferne for f og g. f M b) Bestem arealet af M. (1) Opgave 8 Trekanterne ABC og EFG er ensvinklede, hvor A E og C G 90. I trekant ABC er AC 4, og arealet er 1. Arealet af trekant EFG er 9 gange større end arealet af trekant ABC. a) Tegn en skitse af situationen, og bestem BC samt EG. Opgave 9 a) Bestem integralet ò 3 4x + dx. 4 x + x Besvarelsen afleveres kl

229 Stx matematik A-net august 014 side 3 af 5 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 10 I en undersøgelse af rejser mellem nogle forskellige destinationer har man opgjort sammenhængen mellem rejsetiden med tog og andelen af de rejsende, der vælger tog frem for fly. Sammenhængen fremgår af tabellen. Togrejsetid (timer) Togandel (%) I en model kan sammenhængen beskrives ved x f ( x) = ba, hvor f ( x) er andelen (målt i %) af de rejsende, der vælger tog fremfor fly, og x er togrejsetiden (målt i timer). a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b, og benyt modellen til at vurdere, hvor stor en andel af de rejsende, der vil vælge tog frem for fly på en rejse med en togrejsetid på 14 timer. Kilde: Politiken Opgave 11 Om trekant ABC oplyses, at A = 0, AC = 10 og BC = 8. Endvidere oplyses, at B er stump. a) Bestem AB og C. Punktet D ligger på linjen gennem A og B. Endvidere oplyses, at arealet af trekant ADC er dobbelt så stort som arealet af trekant ABC. b) Bestem AD.

230 Stx matematik A-net august 014 side 4 af 5 Opgave 1 Grafik: I en model gælder følgende sammenhæng mellem svømmetid og alder for mandlige elitesvømmere på 400 meter fri 3 pt ( ) 0, t 1, 409 t 36, 45 t 534, 6, 1 t 30, hvor p( t ) er svømmetiden målt i sekunder, og t er alderen målt i år. a) Tegn grafen for p, og benyt modellen til at bestemme svømmetiden for en 8-årig mandlig elitesvømmer på 400 meter fri. b) Benyt modellen til at bestemme den alder, hvor en mandlig elitesvømmer på 400 meter fri er hurtigst. Kilde: The math modeling of the stages of result development in high profile swimmers for the 50m, 100m, 00m, 400m and 1500m freestyle, Okičić et al, Physical Education and Sport Vol 5, No, 007, Opgave 13 z A B C D F y E A(0, 0,300) B(00, 0,800) C(400, 0,300) D(185,514, 0) E(668,1363, 0) F(574,514, 0) På figuren ses en model af et trekantet stykke pap, der kaster en skygge på et gulv i xy-planen. Koordinatsættene for trekantens og skyggens hjørner er angivet på figuren. Enheden på hver af de tre akser er cm. a) Opskriv en parameterfremstilling for den rette linje, der går gennem punkterne B og E, og bestem BE. b) Bestem forholdet mellem arealet af trekanten og arealet af skyggen. x

231 Stx matematik A-net august 014 side 5 af 5 Opgave 14 Et system af koblede differentialligninger er givet ved u ( t) 0,1 vt ( ) 0, ut ( ) v ( t) 0,5 ut ( ) 0,05 vt ( ). a) Tegn et retningsfelt for systemet sammen med den partikulære løsning, der opfylder, at u(0) 15 og v(0) 0. Opgave 15 En funktion f er bestemt ved x-1 f( x) =. x + 1 a) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 16 I en produktion af en bestemt type stangstål vides, at 8% af stængerne knækker ved en belastning på 1000 kg. Virksomheden har ændret produktionen af denne type stangstål, og har udtaget en tilfældig stikprøve på 10 stænger. Ved en styrketest af de 10 stænger viser det sig, at knækker ved en belastning på 1000 kg. a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at undersøge, om andelen af stænger, der knækker, er uændret, og bestem de forventede værdier. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes. Opgave 17 Foto: En væske med et stof injiceres i blodbanen på en bestemt person. Stoffet fordeler sig i blodbanen samt i vævet og udskilles med urinen. I en model kan udviklingen af stofmængden i blodbanen beskrives ved en funktion ut ( ), der er løsning til differentialligningen u + 0, 1 u + 0, 0014 u= 0, hvor ut ( ) er stofmængden (målt i mg) i blodbanen til tidspunktet t (målt i timer efter injektionen). a) Opskriv det karakteristiske polynomium for differentialligningen, og benyt dette til at gøre rede for, hvilken type forskrift ut ( ) kan beskrives ved. Det oplyses, at der injiceres 0 mg af stoffet samt at u (0) =-,3. b) Bestem en forskrift for ut ( ), og benyt modellen til at bestemme, hvor lang tid der går, før stofmængden i blodbanen er 10 mg.