Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Transkript

1 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor til punktet P = (, xy), som ligger på linjen og er afhængig af parameteren t Vi kan betragte punktet P= ( x, y), som en partikel, der over tid gennemløber linjen Dvs partiklens position på linjen til tiden t er bestemt ved stedfunktionen 1 t st () = + t, hvor t R Fx er partiklens position til tiden t = beskrevet ved stedvektoren 1 s() = = + 7 Dvs partiklen befinder sig på y -aksen i punktet P = (,7), når t = Tilsvarende kan partiklens position bestemmes ved en stedvektor for enhver værdi af t, således at partiklen gennemløber hele linjen, når t gennemløber de reelle tal Nedenfor ses parameterkurven (dvs linjen) for stedfunktionen s() t, hvor partiklens position til forskellige tidspunkter er indtegnet sammen med de tilhørende stedvektorer Tabellen til højre beskriver partiklens position til en række tidspunkter Figur 1 Ovenstående kan generaliseres til at omfatte meget andet end linjer, idet stedfunktionen for en partikel, der gennemløber en given parameterkurve over tid er defineret ved Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

2 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 st () x() t = yt (), hvor t R, og funktionerne x( t) og yt ( ) er reelle funktioner Disse kaldes koordinatfunktioner for stedfunktionen Parameterkurven for s() t består af de punkter, der har s() t som stedvektor, når t gennemløber de reelle tal eller et interval i de reelle tal Eksempel 1 Vi betragter parameterkurven for stedfunktionen 9 t st () = t 4t 1 4, hvor t R Når man tegner parameterkurver i et matematikprogram, så skal man typisk angive skridtlængden for parameteren t samt det interval, parameteren skal gennemløbe Parameterkurver er helt glatte kruver, ligesom grafer for reelle funktioner Men hvis den skridtlængde, man vælger, er for lang, så vil kurven i nogle programmer vises, som var den sammensat at linjestykker I disse tilfælde må man ændre skridtlængden, så kurven fremstår glat På figuren nedenfor har vi anvendt skridtlængde 1, og vi har tegnet kurven i parameterintervallet 5 t 5 På figur ses de beregnede punkter, og på figur fremstår parameterkurven sammenhængende Desuden ses på begge figurer stedvektorerne til udvalgte punkter Figur Figur Vi bestemmer parameterkurvens skæringspunkter med akserne Stedfunktionen har koordinatfunktionerne x() t 9 = t og yt= t t 1 () 4 4 Vi bestemmer skæringspunkter med x -aksen, idet vi sætter y -koordinatfunktionen lig med nul, dvs vi løser ligningen 1 t 4t 4 =, 1 og med CAS, dvs solve( t 4t=, t), får vi 4 t= 4 t= t= 4 Dvs parameterkurven skærer x -aksen, når t = 4, t = og når t = 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

3 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Vi bestemmer x -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i x - koordinatfunktionen Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med x -aksen t = x () = 9 P = (9,) t = 4 x( 4) = 7 P 4 = ( 7,) t = 4 x (4) = 7 P 4 = ( 7,) Heraf ses, at punktet ( 7,) er et dobbeltpunkt, hvilket også fremgår af figuren ovenfor Skæringspunkterne med y -aksen bestemmes ligesom ovenfor, nu er det jo blot x -koordinatfunktionen, der skal være nul Dvs vi løser ligningen 9 t =, og med CAS, dvs solve(9 t =, t), får vi t= t= Dvs parameterkurven skærer y -aksen, når t = og t = Vi bestemmer y -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i y -koordinatfunktionen Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med y -aksen t = y( ) = 55 P = (,55) t = y( ) = 55 P = (, 55) Nedenfor er alle 5 skæringspunkter indtegnet Figur 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

4 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 1 Tegn parameterkurven og gennemfør ovenstående beregninger i dit CAS-program Øvelse På figuren ses parameterkurven for stedfunktionen t st () = t t, hvor t R Parameterkurven er en parabel Figur 5 Beregn koordinatsættene til udvalgte punkter, hvor 1 t, og benyt dette til at argumentere for at parablens gennemløb går fra parablens venstre gren ned mod toppunktet videre op ad parablens højre gren som vist på figuren Øvelse a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 4 4t t st () =, hvor t R t t b) Bestem koordinatsættene for de punkter, hvori parameterkurven skærer koordinatsystemets akser Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 4 af 14

5 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Hastighedsvektor og tangent Vi definerer en hastighedsfunktion vt () x () t vt () = s () t = y () t, hvor t R til stedfunktionen x() t st () = yt (), hvor t R, ved og hvor x () t og y () t er koordinatfunktionernes afledede funktioner Dvs når man differentierer en stedfunktion ved at differentiere hver koordinatfunktion for sig, så får man hastighedsfunktionen Hastighedsfunktionen vt () kaldes også for hastighedsvektoren i punktet med parameterværdien t, og man kan vise, at hvis den ikke er nulvektoren, er den retningsvektor for parameterkurvens tangent i punktet med parameterværdi tiden t Eksempel : En stedfunktion er givet ved 4t t st () =, hvor t R 4 t t Koordinatfunktionerne er her x() t 4t t = og y() t 4t t = De afledede af koordinatfunktionerne er x () t = 8t t og y () t = 4 t Hastighedsfunktion er således givet ved 8t t vt () =, hvor t R 4 t Vi bestemmer hastighedsvektoren til parameterkurven i punktet, hvor parameterværdien er t = 1, dvs i punktet P1 = ( x(1), y(1)) = (,) Vi indsætter derfor t = 1 i hastighedsfunktionen, og vi får x (1) 5 v(1) = = y (1) Hastighedsvektoren i punktet P 1 = (,) er således 5 v(1) = Vi vil nu bestemme det punkt, hvori hastighedsvektoren er vandret, dvs det punkt, hvori parameterkurven har vandret tangent Hastighedsvektorens koordinatfunktioner er () = 8 og y () t 4 x t t t = t Hastighedsvektoren er netop vandret, når dens lodrette udstrækning er nul, dvs når y - koordinatfunktionen er nul Vi løser derfor ligningen y () t =, og med CAS, dvs solve( y ( t) =, t), får vi t = Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 5 af 14

6 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Dvs hastighedsvektoren er vandret, når t =, dvs i punktet P = ( x(), y()) = (8,4) Hastighedsvektorens koordinater er x () 4 v() = = y () Vi vil nu bestemme de punkter, hvori hastighedsvektoren er lodret, dvs de punkter, hvori parameterkurven har lodret tangent Hastighedsvektoren er netop lodret, når dens vandrette udstrækning er nul, dvs når x -koordinatfunktionen er nul Vi løser derfor ligningen x () t = og med CAS, dvs solve( x ( t) =, t), får vi t= t= 8 8 Dvs hastighedsvektoren er lodret, når t =, og når t =, dvs i punkterne P = ( x(), y()) = (,) og P = ( x( ), y( )) = (, ) = (948,56) De to hastighedsvektorer har altså koordinaterne x () v() = = y () 4 og x () v() = = = ( ) y De tre hastighedsvektorer er alle tegnet ind på parameterkurven nedenfor Figur 6 Vi ser, at parameterkurven har et dobbeltpunkt i (,) I dette punkt er der således både en lodret tangent og en skrå tangent Vi bestemmer den skrå hastighedsvektor, idet vi bestemmer den anden parameterværdi i dobbeltpunktet ved at løse ligningen st () = og med CAS, dvs solve( s( t) =, t), får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 6 af 14

7 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 t= t= 4 Dvs den anden parameterværdi er t = 4, og den skrå hastighedsvektor i dobbeltpunktet bliver da x (4) 16 v(4) = = y (4) 4 Nedenfor er også denne hastighedsvektor tegnet ind sammen med de vandrette og de lodrette hastighedsvektorer Figur 7 Eksempel En stedfunktion er givet ved t st () =, hvor t R t 4t Parameterkurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t =, dvs i punktet Q= (, 4 ) = Q(1,) Vi tegner parameterkurven Figur 8 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 7 af 14

8 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Vi vil bestemme vinklen mellem parameterkurvens to tangenter i dobbeltpunktet Først bestemmer vi hastighedsvektorerne Hastighedsfunktion er givet ved t vt () = t 4, hvor t R Hastighedsvektorerne til parameterkurven i dobbeltpunktet, hvor parameterværdierne er t = og t =, har derfor koordinaterne ( ) 4 v( ) = = ( ) v() = = 4 8 Vi kan bestemme vinklen mellem disse to hastighedsvektorer ved den sædvanlige formel til beregning af vinkler mellem vektorer, dvs v( ) v() cos( θ) = v( ) v() Vi skal altså bestemme hastighedsvektorernes længder Vi beregner længden af vektorerne ved den sædvanlige længdeformel, dvs v = + = ( ) ( 4) 8 8 v = + = () Vi indsætter nu i vinkelformlen, dvs cos( θ) = = og dermed er vinklen mellem vektorerne θ = 5,1 Begge hastighedsvektorer samt vinklen imellem dem er tegnet ind på parameterkurven nedenfor Figur 9 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 8 af 14

9 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Bemærk, at hastighedsvektorens retning er afhængig af den måde, hvorpå punktet gennemløber kurven, når t gennemløber de reelle tal Vi bestemmer en ligning for hver af tangenterne, l 1 og l, idet hastighedsvektorerne er retningsvektorer for tangenterne Dvs tværvektorerne til disse er normalvektorer for tangenterne Vi får da, at normalvektoren for 8 l 1 er n 8 l = 1 4, og normalvektoren for l er n l = 4 Vi ved at dobbeltpunktet Q(1,) ligger på begge tangenter, så derfor bliver ligningerne for de to tangenter l : 8( x 1) + ( 4)( y ) = 1 8x 4y+ 8= og l1 : 8( x 1) + 4( y ) = 8x+ 4y+ 8= Nedenfor ses parameterkurven, hvor de to tangenter er indtegnet Figur 1 Øvelse 4 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen t t st () =, t 1 hvor t R b) Bestem parameterværdien i de punkter på kurven, hvori der enten er vandret eller lodret tangent, og bestem koordinatsættet til disse punkter Kurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t = c) Bestem de to hastighedsvektorer i dobbeltpunktet, og bestem vinklen imellem disse d) Bestem ligningerne for hver af de to tangenter i dobbeltpunktet Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 9 af 14

10 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Cirkler som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge cirkler som parameterkurver Eksempel 4 På figuren nedenfor ses stedfunktionen for parameterkurven cos( t) st () =, hvor t π sin( t) Figur 11 Parameterkurven er en enhedscirkel, dvs en cirkel med centrum i (,) og radius 1 Parameterkurven fremkommer ved, at vi for alle værdierne t i parameterintervallet t π bestemmer stedvektoren og afsætter det tilhørende punkt Nedenfor ses de tre stedvektorer for parameterværdierne π π 5π t =, t = og t = 4 6 Figur 1 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

11 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 5 Bestem tre andre punkter på enhedscirklen Stedfunktionen for cirkler med en anden radius og et andet centrum, får vi ved at ændre på koordinatfunktionerne i stedfunktionen Øvelsen nedenfor behandler netop dette Øvelse 6 Parameterkurven for stedfunktionen cos( t) st () = +, hvor t π, sin( t) 4 er en cirkel a) Tegn parameterkurven, og bestem centrum og radius for denne cirkel Undersøg nu stedfunktionen rcos( t) x st () = +, hvor t π, rsin( t) y ved på skift at lade x, y og r variere b) Sæt x = og y = 4 Lad r variere Hvilken betydning har r for parameterkurvens udseende? c) Sæt x = og r = Lad y variere Hvilken betydning har y for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y = 4 og r = Lad x variere Hvilken betydning har x for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 7 a) Bestem stedfunktionen for en cirkel med radius på 5 og centrum i (,7) b) Tegn cirklen Øvelse 8 Betragt stedfunktionen cos( t) st () = +, hvor t π sin( t) 4 π a) Bestem hastighedsvektoren for t = b) Tegn parameterkurven og den fundne hastighedsvektor Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 11 af 14

12 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Ellipser som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge ellipser som parameterkurver Eksempel 5 Figuren viser parameterkurven for stedfunktionen 5cos( t) st () = +, hvor t π sin( t) 4 Figur 1 Parameterkurven kaldes en ellipse med centrum i (,4 ), storakse a = 5 = 1og lilleakse b = = 4 Øvelse 9 Undersøg stedfunktionen acos( t) x st () = +, hvor t π, bsin( t) y ved på skift at lade x, y, a og b variere a) Sæt x =, y = 4 og b = Lad a variere Hvilken betydning har a for parameterkurvens udseende? b) Sæt x =, y = 4 og a = 5 Lad b variere Hvilken betydning har b for parameterkurvens udseende? c) Sæt x =, a = 5 og b = Lad y variere Hvilken betydning har y for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y = 4, a = 5 og b = Lad x variere Hvilken betydning har x for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 1 a) Bestem en stedfunktion for en ellipse med centrum i ( 1,), vandret storakse på 14 og lodret lilleakse 6 b) Tegn parameterkurven for ellipsen Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

13 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i (,) og storakse a samt lilleakse b (se figur), hvor a> b Ellipsens brændpunkter, F1 og F, er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med centrum P= (, b), og radius a Figur 14 Øvelse 11 Vis, at afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er 1 = =, hvor a b OF OF a b > Øvelse 1 Betragt en ellipse med centrum i C= ( x, y), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b Vis, at denne ellipse har brændpunkterne F = ( x a b, y ) og 1 F = ( x + a b, y ) Hvis P= ( x, y) er et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne PF1 og PF brændstrålerne fra P Øvelse 1 a) Bestem F 1 og F for ellipsen i eksempel 5 b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven c) Bestem længden af brændstrålerne fra P d) Undersøg ved at variere P= ( x, y), hvad der gælder for afstanden PF1 + PF Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

14 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 14 Vi ser igen på en ellipse med centrum i C= ( x, y), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b, som jo har stedfunktionen acos( t) x st () = +, hvor t π bsin( t) y Lad P= ( x, y) være et punkt på ellipsen Vis, at PF1 + PF = a, når F 1 og F betegner ellipsens brændpunkter Øvelse 15 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 5 a) Tegn ellipsen, og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven b) Tegn brændstrålerne fra P, og tegn tangenten til parameterkurven i punktet P c) Bestem vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur) Når en lysstråle rammer en tangent til en kurve i et punkt P, så vil den vinkel lysstrålen rammer tangenten med være den samme som den vinkel lysstrålen forlader tangenten med Dette udnyttes i en nyrestensknuser, hvor man knuser nyresten med ultralyd dvs uden operative indgreb Ultralydskilden er placeret i en ellipses ene brændpunkt, mens patientens nyre placeres i det andet brændpunkt Herefter sendes ultralyd ud mod ellipsen, hvor det reflekteres og sendes præcist over i det andet brændpunkt, hvor det rammer nyrestenen Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 14 af 14