Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Transkript

1 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil jeg starte helt forfra med tallene. Lad os et øjeblik lege, at de eneste tal, vi kender, er tallene 1, 2, 3 og så videre. Vi kalder normalt disse tal for de naturlige tal og betegner dem N. Hvad kan man gøre med de naturlige tal? Man kan lægge dem sammen. Hvis a og b begge er naturlige tal, så er a + b altid et naturligt tal. Vi kan også gange tal med hinanden, for ab er også altid et naturligt tal. Nogen gange kan vi også trække fra. Hvis a = 5 og b = 3, så har vi jo a b = 2, og det er et naturligt tal. Vi kan dog ikke bytte rundt på a og b, for b a er ikke et naturligt tal. Med andre ord: Ligningen x + a = b, (1) hvor a og b er naturlige tal, har kun en løsning i de naturlige tal, hvis b > a. Det er upraktisk. Vi kunne godt tænke os, at sådan en ligning altid har en løsning. Vi må derfor udvide vores talbegreb til at indeholde løsningerne til ligning (1) ovenfor. Det er klart nok, at det er tallene 0, 1, 2 og så videre, der mangler. Hvis vi tilføjer dem, så får vi de hele tal, som vi normalt angiver med et Z. I Z kan vi stadig gange og lægge sammen, og alle de regneregler, der var gyldge i N er uændrede. I Z kan vi ydermere altid trække fra, og ligningen (1) har altid en løsning i Z. Det stopper dog ikke her, for selvom vi i Z både kan lægge sammen, gange og trække fra, som vi har lyst til, så kan vi jo ikke altid dividere. Hvis a = 6 og b = 2, så er a b et helt tal, men b a er ikke. Hvis a og b er hele tal, så kan vi altså ikke være sikre på, at ligningen ax = b (2) har en løsning i de hele tal. Det er ganske simpelt umuligt at løse ligningen 6x = 2 inden for de hele tal. Det er igen ikke særligt praktisk, så vi vil endnu en gang udvide vores talbegreb, så vi kan få alle løsninger til (2) med. Det betyder, at vi må tage alle brøkerne med. Når vi gør dette, får vi de rationale tal, der normalt betegnes Q. Her har ligning (2) altid en løsning, når a 0. Vi har endnu en gang svunget vores matematiske tryllestav og gjort det umulige muligt. Bemærk, at der ikke er noget tab. De hele tal er en del af de rationale, og de samme regneregler gælder. Også de rationale tal har dog sine begrænsninger. De forklares lettest geometrisk. De rationale tal er nemlig ikke så gode at måle med. Tag for eksempel et kvadrat med Side 1 af 8

2 sidelængden 1. Her kan vi sagtens måle siderne, og vi kan måle omkredsen til 4, men hvad med diagonalen? Den er 2, og det er ikke et rationalt tal. Vi kan altså ikke måle diagonalen med de rationale tal. Vi kunne også se på en cirkel med diameteren 1. Her er omkredsen π, og π er heller ikke et rationalt tal. Det er altså klart, at de rationale tal ikke slår til i geometrien, når vi ikke engang kan måle på simple figurer som kvadrater og cirkler. Løsningen på problemet er de reelle tal, som vi normalt betegner R. Det er alle de uendelige decimaltal. Disse tal fylder tallinjen helt ud, og vi kan måle diagonalen i kvadratet og omkredsen af cirklen til henholdsvis 2 = 1, og π = 3, Specielt indeholder R også alle de rationale tal, og alle de samme regneregler gælder. Vi er dog ikke helt færdige endnu. Selvom de reelle tal er en enorm udvidelse af de rationale tal, så er det stadigvæk let at finde på ligninger, som vi ikke kan løse. Se bare på ligningen x 2 = a. Den har kun en løsning i de reelle tal, når a 0. Vi kan jo ikke tage tage kvadratrødder af negative tal. Vi må endnu en gang til at tilføje nye tal til vores talsystem. Her vil mange nok protestere. Det giver jo slet ikke nogen mening at tage kvadratrødder af negative tal. Et tal som 1 har slet ingen praktisk betydning! Men det jo heller ikke oplagt for ham, der lever af at tælle køer, at der skulle være nogen mening i de rationale tal. Ham, der måler ud til fundamentet til et hus, har jo heller ikke noget at bruge de negative tal til. Kvadratrødder af negative tal er ikke mere mærkelige end tallene 3, 1 4 eller π, og for en matematiker er de bestemt ikke mindre nyttige. Vores mål er altså at udvide vores talsystem, så alle de negative tal også får en kvadratrod. Denne udvidelse kalder vi for de komplekse tal. Vores udvidelse sker ved, at vi i første omgang blot indfører et enkelt nyt tal i, der har den egenskab, at i 2 = 1. Tallet i er altså en kvadratrod af 1. Det er nok til at give en kvadratrod til de andre tal. Hvis D er et positivt tal, så får vi nemlig, at så i D er en kvadratrod af D. 2 De komplekse tals legeme (i D) 2 = i 2 D = D, Vi vil definere de komplekse tal på følgende måde: Definition 1: Lad i være den imaginære enhed, der opfylder i 2 = 1. Da er de komplekse tal alle tal x på formen x = a + bi, hvor a og b er reelle tal. Tallet a kaldes realdelen af x, og b kaldes imaginærdelen af x, og de betegnes henholdsvist Re(x) og Im(x). Mængden af komplekse tal vil vi betegne med C. Vi vil stadig gerne have, at alle de sædvanlige regneregler skal gælde, så det er oplagt blot at regne med de komplekse tal, som vi regner med paranteser. Dette fører naturligt til følgende definition af summen, differensen og produktet af to komplekse tal: Side 2 af 8

3 Definition 2: Lad x = a + bi og y = c + di være komplekse tal. Vi definerer da x ± y = a ± c + (b ± d)i samt xy = ac bd + (ad + bc)i. Det er ikke oplagt, hvordan divison mellem to komplekse tal skal defineres. Vi skal omskrive brøken a + bi c + di til et tal på samme form som i definition 1. Tricket er at indføre kompleks konjugering, som også kan være nyttig i mange andre sammenhænge. Definition 3: Lad x = a + bi være et komplekst tal. Vi definerer da den konjugerede til x på denne måde: x = a bi. Vi kan nu omskrive brøken ved at forlænge den med nævnerens konjugerede: a + bi (a + bi)(c di) ac + bd + (bc ad)i = = c + di (c + di)(c di) c 2 + d 2. Vi fastlægger altså division af komplekse tal på denne måde: Definition 4: Lad x = a + bi og y = c + di være komplekse tal. Vi definerer da x y ac + bd bc ad = c d2 c 2 + d 2 i. Eksempel 5: Lad x = 1 + i og y = 3 + 2i. Så har vi (regn selv efter!), at x + y = 4 + 3i, xy = 1 + 5i og x y = i. Vi kan opfatte de reelle tal R som en delmængde af C, for hvis a er et reelt tal, så kan vi skrive det som det komplekse tal a + 0i, og af vores definitioner ovenfor kan vi se, at sådanne tal vil opføre sig præcist som reelle tal. Af den næste sætning følger samtidig, at de komplekse tal generelt opfylder nøjagtigt de samme regneregler som de reelle tal. Der er altså stadigvæk ikke gået noget tabt i vores udvidelse af talbegrebet. Sætning 6: Der gælder følgende regneregler for alle komplekse tal: (C1) x + y = y + x for alle x og y i C. (C2) xy = yx for alle x og y i C. (C3) x + (y + z) = (x + y) + z for alle x, y og z i C. (C4) x(yz) = (xy)z for alle x, y og z i C. (C5) x(y + z) = xy + xz for alle x, y og z i C. (C6) Der findes et tal 0 i C, så x + 0 = x for alle x i C. (C7) Der findes et tal 1 i C, så x 1 = x for alle x in C. (C8) For alle tal x i C findes x i C, så x + ( x) = 0. Side 3 af 8

4 (C9) For alle tal x i C, der er forskellige fra 0, findes 1 x i C, så x 1 x = 1. Bevis: Beviset overlades til læseren, og bygger udelukkende på definitionerne ovenfor samt de tilsvarende regneregler for reelle tal. Når regnereglerne fra sætning 6 gælder, så siger man, at C er et legeme. Eksempel 7: Andengradsligningen x 2 10x + 29 = 0 har diskriminanten 16. Der er altså ikke nogen reelle løsninger til ligningen. Vi kan dog bruge den sædvanlige formel og regne videre med de komplekse, og her får vi x = 10 ± 16 2 = 10 ± 4i 2 = 5 ± 2i. Ligningen har altså de komplekse rødder 5 + 2i og 5 2i. Et hurtigt tjek giver også (5 + 2i) 2 10(5 + 2i) + 29 = i 50 20i + 29 = 0. 3 Komplekse tal og geometri Et komplekst tal x = a+bi kan indtegnes i et koordinatsystem som vektoren ( a b) startende i (0, 0). Figur 1: Det komplekse tal a + ib repræsenteret som en vektor i planen. Bemærk, at de komplekse tal adderes på samme måde som vektorer, så den geometriske konstruktion er også den samme. Længden af vektoren kaldes det komplekse tals modulus, og betegnes x. Vi har altså for x = a + bi, at x = a 2 + b 2. Ethvert komplekst tal kan skrives på polær form som x = x (cos(θ) + i sin(θ)), hvor θ er vinklen fra førsteaksen til x som vist på figur 1. Denne vinkel kaldes også argumentet til x, og vi skriver tit arg(x) for denne vinkel. Vi vil måle denne vinkel i radianer. Side 4 af 8

5 Figur 2: Addition af vektorer. Ved hjælp af additionsformlerne for sinus og cosinus kan man vise følgende resultat om komplekse tal på polær form: Sætning 8: Lad x = x (cos(θ) + i sin(θ)) og y = y (cos(φ) + i sin(φ)) være komplekse tal på polær form, så er xy = x y (cos(θ + φ)i sin(θ + φ)). Det vil sige, at xy = x y og arg(xy) = arg(x) + arg(y). Sætning 8 betyder, at kompleks multiplikation svarer til rotation i planen. På figur 3 er vist et eksempel. Figur 3: Multiplikation af komplekse tal. 4 Anvendelse: Lineære differentialligninger af anden orden Hvad kan vi så bruge det hele til? Hvad hjælper det, at vi kan finde en løsning til alle andengradsligninger, hvis løsningerne ikke er reelle tal? Her skal vi se, hvordan viden om en kompleks rod i et andegradspolynomium kan hjælpe os med at finde en løsning til en bestemt differentialligning. Vi skal se på differentialligninger på formen ay + by + cy = 0, (3) hvor a, b og c er reelle konstanter. Sådanne ligninger optræder blandt andet i forbindelse med studier af en fjeders bevægelser. Side 5 af 8

6 Lad os første se på det tilfælde, hvor polynomiet f(x) = ax 2 + bx + c har en reel rod r. Da er funktionen y(t) = e rt en løsning til (3). Vi har nemlig ay + by + cy = ar 2 e rt + bre rt + ce rt = e rt (ar 2 + br + c) = 0. Hvis nu f(x) ikke har en reel rod, så kan vi i stedet finde en kompleks rod ρ = α + βi. Miraklet er nu, at så er funktionen y(t) = e αt cos(βt) en løsning til (3). Her er udregningerne imidlertid en smule mere komplicerede end i det første tilfælde. Vi vil derfor udelade nogle mellemregninger, så det hele bliver mere overskueligt. Vi har y (t) = e αt (α cos(βt) β sin(βt)) og y (t) = e αt ((α 2 β 2 ) cos(βt) 2αβ sin(βt)). Vi får nu, at ay + by + cy = e αt (a((α 2 β 2 ) cos(βt) 2αβ sin(βt)) + b(α cos(βt) β sin(βt)) + c cos(βt)) = e αt (a Re((α + βi) 2 (cos(βt) + i sin(βt))) + b Re((α + βi)(cos(βt) + i sin(βt))) + c Re(cos(βt) + i sin(βt))) = e αt Re(aρ 2 (cos(βt) + i sin(βt)) + bρ(cos(βt) + i sin(βt)) + c(cos(βt) + i sin(βt))) = e αt (Re((cos(βt) + i sin(βt))(aρ 2 + bρ + c))) = 0. Det viser altså, at y(t) = e αt cos(βt) er en løsning. Eksempel 9: Udregningerne ovenfor er ikke lette at følge, men med et konkret taleksempel er det lettere. Vi vil se på differentialligningen y 10y + 29y = 0. Fra eksempel 7 ved vi, at f(x) = x 2 10x + 29 har roden 5 + 2i. Det betyder, at y(t) = e 5t cos(2t) er en løsning til differentialligningen. Lad os tjekke det. Vi har y (t) = e 5t (5 cos(2t) 2 sin(2t)) og y (t) = e 5t (21 cos(2t) 20 sin(2t)). Vi får dermed, at y 10y + 29y = e 5t (21 cos(2t) 20 sin(2t) 50 cos(2t) + 20 sin(2t) + 29 cos(2t)) = 0 Funktionen y(t) = e 5t cos(2t) er altså en løsning. Side 6 af 8

7 Det bemærkelsesværdige er, at selvom der ikke indgår nogen komplekse tal i (3), så er de komplekse tal et vigtigt redskab i forsøget på at finde en løsning, hvor der heller ikke indgår nogen komplekse tal. I anvendelser er det i høj grad den rolle, de komplekse tal spiller. Som et spøgelse glider de komplekse tal ind i beregningerne, men i resultatet er de på mystisk vis forduftet. 5 Opgaver Opgave 1: Lad x = 3 + 2i, og lad y = 5 + i. a) Beregn x 2 + y 2. b) Beregn 3x 2y. c) Beregn xȳ og xy. d) Beregn x. e) Beregn 1 y og x y. Opgave 2: Løs ligningerne a) 2x 2 8x + 26 = 0. b) x 2 2x + 2 = 0. c) 4x 2 4x + 10 = 0. Opgave 3: Lad x være et komplekst tal. Vis, at x x = x 2. Opgave 4: Lad x og y være komplekse tal. Vis, at x + y = x + ȳ og xy = xȳ. Opgave 5: Lad x = 1 + i og y = i. a) Indtegn x og y i et koordinatsystem, og omskriv dem til polær form. b) Udregn xy, og indtegn det i et koordinatsystem. c) Omskriv xy til polær form, og tjek, at sætning 8 er opfyldt. Opgave 6: Der gælder følgende additionsformler for sinus og cosinus: Brug dette til at vise sætning 8. cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ), sin(θ + φ) = sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ). Opgave 7: a) Indtegn z = i i et koordinatsystem, og bestem z og arg(z). b) Løs ligningen x 2 = i. c) Løs ligningen x 2 + x 1 3i. Opgave 8: Find alle løsninger til x 3 = 8. (Se eventuelt, om du kan tegne dig frem til et svar.) Side 7 af 8

8 Opgave 9: Lad P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 være et polynomium af grad n. Antag, at alle koefficienterne er reelle. Vis, at hvis z er en rod i P (x), så er z det også. Opgave 10: Lad A, B, C og D være hjørner i en firkant. Tegn kvadrater på hver side af firkanten som vist på figur 4. Forbind midtpunkterne af modsatliggende kvadrater med linjer a og b. Brug komplekse tal, og vis, at a og b har samme længde og er ortogonale. Figur 4: Illustration til opgave 10. Opgave 11: Find en løsning til differentialligningen y 6y + 13 = 0. Side 8 af 8