Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin

Transkript

1 Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin 71190_omega_4k.indd :13:42

2 71190_omega_4k.indd :13:42

3 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin Forlaget Samfundslitteratur 71190_omega_4k.indd :13:42

4 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Matematik for lærerstuderende Omega klassetrin 1. udgave , Forlaget Samfundslitteratur Omslag: Imperiet Tegninger: John Kehlet Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2008 ISBN Figur 1 4 er gengivet fra Folkeskolens Afgangsprøve i matematisk problemløsning, dec med tilladelse fra Styrelsen for evaluering og kvalitetsudvikling i grundskolen. Figur 2 2 stammer fra de Bild: P.-F. Verhulst. Figur 3 2 er gengivet fra Marianne Holmer og Svend Hessing: Faktor Arbejdsbog 9, Malling Beck 1995, med forfatternes og forlagets tilladelse. Figur 3 11 er gengivet fra Tomas Højgaard Jensen, Lene Hvilsom Larsen, Bo Boisen Pedersen og Helle Sonne: Matematrix 9: Grundbog, Alinea 2002, med forfatternes og forlagets tilladelse. Figur 9 7 stammer fra Lancelot Hogben: Videnskab for Hvermand, Figur 6 7 er fotograferet af John Kehlet Schou. Figur 11 7 stammer fra Den Fantastiske Bogstaver i 3D, der ser ud som om de står op, men faktisk ligger ned, -raport af Stine, Vergo, Sidsel, Anja og Signe 3.z. Figur 14 7 er en fotokollage udført af John Kehlet Schou. Figur 17 1 Regina Stinson Figur 17 4 stammer fra og er gengivet med fotografens tilladelse. Forlaget Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser _omega_4k.indd :13:43

5 Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering 22 Matematisk modellering 23 Modelanvendelse 36 Formål med modellering i skolen 40 Opsamling på kapitel Vækstmodeller 45 Lineær vækst 46 Genkendelse af lineær vækst i skolen 47 Eksponentiel vækst 50 Logistisk vækst 56 Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede miljøer 58 Den kontinuerte model for logistisk vækst 62 Tilpasning af logistisk vækst til datamateriale 64 Opsamling på kapitel Rentesregning 71 Termin og rentetilskrivning 74 Simpel rentesregning 75 Nominel og effektiv rente 80 Annuiteter opsparing 81 Annuiteter gæld 86 Indhold _omega_4k.indd :13:43

6 Formel for gældsannuitet 88 Opsamling på kapitel At tilpasse kurver til punkter 97 Lineær regression mindste kvadraters metode 98 Bedste rette linje på øjemål og med computerprogrammer 101 Hvor godt passer modellen? 104 Ikke-lineære modeller 106 Symbolkompetence via lineær regression med formler 109 Opsamling på kapitel Usikkerhedsberegning 115 Teorien for tilnærmet regning 116 Fejl på summer og differenser 118 Fejl på produkter og brøker 120 Tilnærmet regning i skolen 123 Opsamling på kapitel Modellering som generel strategi til matematikundervisning 127 Emergerende modeller hos RME 129 Relationen mellem matematik og omverden 131 Model-frembringende aktiviteter hos Lesh og hans kolleger 133 Modellering og problemløsning 137 Mål med matematisk modellering i undervisningen 139 Opsamling på kapitel DEL II GEOMETRI Introduktion Geometriundervisning i grundskolens sidste trin 149 Geometri som kulturel aktivitet 150 At arbejde med form: repræsentationer og begrebsdannelse 154 Fischbein og figurale geometriske begreber 156 Van Hieles niveauer 158 Geometriundervisning i skolen Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

7 Logo og Myresnak 163 Dynamiske geometriprogrammer 164 Geometriske ræsonnementer 167 Opsamling på kapitel Klassisk geometri 173 Klassisk trekantsgeometri, hvorfor? 173 Afstandsbestemmelsens geometri 174 Bevis for Thales sætning 176 Sætningen om ensvinklede trekanter 178 Thales sætning skabt af og anvendt i praksis 180 Andre beviser baseret på Thales sætning 185 Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 186 Trekantens klassiske linjer 187 Pythagoras sætning 189 Vinkler ved cirklen 197 Opsamling på kapitel Trigonometri 205 Trigonometriens definitioner 206 Beregninger i den retvinklede trekant 208 Formler 210 Beregninger i en vilkårlig trekant (3 sider) 213 Sinusrelationerne 214 Cosinusrelationerne 218 Trigonometri i skolen? 220 Landmåling og geometri i naturen 223 Opsamling på kapitel Analytisk geometri 229 Afstande i planen 231 Midtpunkt af et linjestykke 232 Den rette linje 233 Vinkelrette linjer 236 Geometriske steder 238 Parablen som geometrisk sted 241 Skæring mellem geometriske figurer 249 Løsning af den generelle andengradsligning 252 Indhold _omega_4k.indd :13:43

8 Geometrisk repræsentation af ligningsløsning 253 Opsamling på kapitel Parameterfremstillinger 259 Parameterfremstilling for en ret linje 259 Perspektivtegning 261 Kasteparabler 266 Opsamling på kapitel Modellering i geometriens univers 271 Færdigudviklede modeller for geometriske målinger 271 Descartes drøm 273 Det firedimensionale rum 274 Trigonometriske funktioner som modelleringsredskab 276 Simulering af bølger 277 Modellering ved hjælp af et dynamisk geometriprogram 279 Optimal placering af en fælles brønd 279 Opsamling på kapitel DEL III STOKASTIK Introduktion Kombinatorik 293 Udvælgelse 303 Ordnet udvælgelse uden tilbagelægning 304 Uordnet udvælgelse uden tilbagelægning 307 Ordnet udvælgelse med tilbagelægning 313 Uordnet udvælgelse med tilbagelægning 314 Opsamling på kapitel S andsynligheds fordelinger og indledende induktiv statistik 319 Hypergeometrisk fordeling 324 Binomialfordeling 333 Statistiske test anvendt sandsynlighedsregning 338 Acceptmængde, kritisk mængde og fejl af 1. og 2. art Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

9 Normalfordeling 346 Kontinuert stokastisk variabel 347 Normalfordelingen 352 Hvor godt passer data? 358 Opsamling på kapitel At ræsonnere om data 369 Med fokus på datasæt 371 Elevers forståelse af gennemsnit 372 Mokros og Russels undersøgelse 372 Konold og Pollatseks forslag 378 Cobb og hans kollegers arbejde 380 Boxplots som analyseværktøj 383 Sammenhænge mellem variable 386 Cobb og hans kolleger om samvariation 390 Opsamling på kapitel DEL IV TAL, TALTEORI OG KODER Introduktion 397 Udviklingen af talteori i skolens læreplaner Anvendt talteori 403 Klassiske skoleanvendelser af primfaktoropløsning 404 Bestemmelse af antal divisorer i et tal 404 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 405 Primiske tal 407 Euklids udvidede algoritme 408 Eulers phi-funktion, φ 410 Moduloregning 411 Opsamling på kapitel Koder og kryptering 417 De dansende mænd 419 Cæsars kode 420 Vigéneres kode 421 Enigma 425 Indhold _omega_4k.indd :13:43

10 Moderne systemer 426 Kryptering ved hjælp af offentlig og privat nøgle 426 Hvor sikker er RSA? 431 Opsamling på kapitel Komplekse tal 435 Om at kunne løse ligninger en historie om talmængderne 436 De komplekse tal et legeme? 442 Komplekse tal på flere måder 444 Opsamling på kapitel Referencer 451 Stikordsregister Indhold 71190_omega_4k.indd :13:43

11 Forord Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er næsten tildelt den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens årgange. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grundskolens mellem- og sluttrin. Kravene til eleverne og lærerne på dette trin er ikke noget statisk, så uddannelsen må sikre, at nye lærere er bredt funderet, så de med støtte fra den efteruddannelse de kan få gennem årene er i stand til at tilrettelægge god matematikundervisning under varierende vilkår gennem hele deres professionelle liv. De aktuelle bestemmelser for faget i skolen i form af Fælles Mål II er en vigtig faglig pegepind, men fortæller os langt fra alt, hvad der skal være matematiklærerens faglige fundament. Kravene i den gældende danske læreruddannelse er naturligvis meget mere vidtgående både hvad angår fagdidaktik og det rent matematikfaglige fx områder som testteori og digitale koder. Det er disse omfattende krav, ω-bogen tilgodeser. Fælles Mål II er i øvrigt i god overensstemmelse med den kompetenceorienterede tilgang, som vi allerede lagde vægt på i fællesbogen ϒ, hvor vi i starten af hvert kapitel skrev, hvilke kompetencer der i særlig grad var i spil i kapitlet. Vi havde specielle kapitler eller afsnit om problemløsningskompetence, ræsonnementskompetence, tankegangskompetence, repræsentationskompetence samt symbol- og formalismekompetence ligesom vi i didaktikbogen δ havde et helt kapitel om kommunikation. Selv om alle kompetencer er i spil i alle vores faglige bøger, har vi planlagt, at modelleringskompetencen skulle have en særligt fremtrædende plads i denne bog, ω-bogen. Meget i den nyere udvikling i faget går på, at matematik i anvendelse skal have en stærkere plads i skolen. Som et grundlag herfor er der i læreruddannelsen brug for at udvikle en modelleringskompetence, hvor matematikken står i et dialogisk forhold til anvendelsen. Forord _omega_4k.indd :13:43

12 Brugeren af dette lærebogssystem, Matematik for lærerstuderende, vil være bekendt med, at det fælles grundlag for de efterfølgende specialiseringer blev skabt med fællesbogen ϒ og gennem et indledende arbejde med fagdidaktikken i δ. I overensstemmelse med den aktuelle danske læreruddannelse er dette lærebogssystem tænkt, så uddannelsen til aldersspecialisering kl. integrerer stof svarende til bøgerne ϒ, δ og ω. Selv om nærværende bog ω således er den eneste af de tre, der udelukkende henvender sig til de studerende i denne aldersspecialisering, må de to øvrige bøger løbende tænkes ind. Dette gælder ikke mindst fagdidaktikken i δ, der er tænkt læst over begge de to år, den samlede uddannelse til matematiklærer for kl. tager. Men en vigtig del af fagdidaktikken er medtaget i selve ω-bogen, nemlig den såkaldte stofdidaktik. Det vil sige, at vi i hver del i bogen har didaktiske overvejelser om, hvorfor det valgte stof er af betydning, og hvordan elever lærer det. Selve den store sammentænkning af alle elementerne til forberedelse og gennemførelse af en virkelig undervisningssituation ligger uden for lærebogsformatet, skønt den selvfølgelig er slutmålet. Vi prøver dog med passende oplæg i form af opgaver, undersøgelser og overvej og diskuter at simulere situationer i den daglige undervisning, der kan støtte det større sammentænkningsprojekt, der jo især vil stå sin prøve i praktikken og siden i en professionel karriere. Strukturen af denne bog Denne bog ω har altså en særlig vægtning af stof, der vedrører sluttrinnet og en særlig vægtning af modelleringskompetencen, men er i øvrigt struktureret, så den afspejler intentionerne i den aktuelle bekendtgørelse for matematik i læreruddannelsen. Den falder derfor i fire dele: modeller og modellering, geometri, stokastik, talteori og koder. I begyndelsen af hver del findes en indledning, der udtrykker intension og sammenhæng i kapitlerne i denne del. Vores modelleringsdel kan opfattes som en kombination af algebra og matematik i anvendelse, men har dog selve modelleringsaktiviteten som endemål. Vender vi os til sidst mod kapitelniveauet, så er der i begyndelsen af hvert kapitel en punktopdelt oversigt over hensigten med kapitlet. Og vi slutter hvert kapitel med en opsamling, der består af et eller flere forslag, der skal 12 Forord 71190_omega_4k.indd :13:43

13 få den studerende til at se tilbage og danne sig et overblik over, hvad der er arbejdet med og lært i kapitlet. For den studerende, der har brug for at læse meget på egen hånd, findes der besvarelsesforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside. Vi har stræbt efter at holde denne bog nede på en overskuelig størrelse. Vi skrev først en bog, der var for stor, derfor måtte vi udelade nogle videregående matematiske emner og i øvrigt gennemgå manus med en tættekam mhp. at formindske bogen. I denne proces fandt vi opgaver eller andet materiale, som vi gerne stadig vil give læseren adgang til. Det er kort markeret fx som Opgave 12 (netopgave) efterfulgt af en kort beskrivende tekst. Den fulde opgave eller tekst findes på bogens hjemmeside hos Forlaget Samfundslitteratur, (søg på Omega ) på linket netopgaver. De ligger samme sted som forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. København, juni 2008 John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen Forord _omega_4k.indd :13:43

14 71190_omega_4k.indd :13:43

15 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:43

16 71190_omega_4k.indd :13:43

17 Introduktion Matematik kan karakteriseres på mange måder. Faget kan fx ses som en deduktivt opbygget struktur, som en måde at lede efter mønstre og systemer i fx tal og former på, som en værktøjskasse med metoder til at løse praktiske problemer med, eller som en del af det at være demokratisk dannet. Men uanset hvilke perspektiver der lægges på matematik, er der næppe nogen, der vil se bort fra, at faget kan bruges til at bearbejde forskellige omverdensproblemer med. Matematikfaget har altså relationer til en verden uden for sig selv. Det er de relationer mellem faget selv og omverden, der er i fokus, når man taler om matematiske modeller. Matematiske modeller har altså en tæt forbindelse til matematikkens anvendelser i ikke-matematiske sammenhænge. Der er flere grunde til, at vi har valgt at fokusere på matematiske modeller i denne første del af en lærebog til undervisere på grundskolens sidste trin. For det første har ikke-matematiske anvendelser af matematik altid været en væsentlig del af diskussionen om fagets berettigelse som skolefag, og diskussionerne om målene med modeller i undervisningen er ikke blevet mindre i de sidste år (jf. δ-bogen, kapitel 12 og13). Internationalt er der således stor opmærksomhed på, hvilken rolle modeller kan spille for matematikundervisningen, og i Danmark har diskussionerne bl.a. givet sig udslag i, at en af de otte matematiske kompetencer i KOM-rapporten (Niss & Jensen (red.) 2002) er en kompetence i at behandle matematiske modeller. Der er altså en vigtig fagdidaktisk diskussion om matematiske modeller i tilknytning til matematikundervisningens begrundelsesproblem. For det andet kan de begrundelser, der i en given undervisningssituation ses som de vigtigste for at undervise i og om modeller, få indflydelse på, hvordan man mere konkret griber arbejdet an. Selv om man ikke kan udlede en undervisningspraksis alene af en begrundelsesdiskussion, er der en kobling mellem begrundelserne og praksis. Som lærer må man kunne forholde sig til denne kobling og overveje, hvordan en konkret undervisning i modeller kan tilrettelægges, så den er i rimelig overensstemmelse med de begrundelser, der er en del af dens udgangspunkt, og løbende reflektere over, om praksis udvikler sig tilsvarende. Introduktion _omega_4k.indd :13:43

18 Og for det tredje er det af indlysende vigtighed, at man som lærer kender til en række af de modeller, der kan bringes i anvendelse, og fagligt behersker en del af dem, når nu de er blevet en central del af undervisningen. Ved siden af at man generelt skal kende til diskussionerne om modellernes rolle i matematikundervisningen, skal man altså som underviser selv kunne arbejde kvalificeret med modeller af forskellig slags. Også af den grund må matematiske modeller få en betydelig plads i en matematiklæreruddannelse. På den baggrund har vi valgt i denne del af bogen at introducere en række af de matematiske modeller, der i særlig grad kan kvalificere læseren til undervisning i klasse. I kapitel 2 skal vi således se på matematiske beskrivelser af vækst, dvs. af kvantitative forandringer over tid. Det kan være forandringer i befolkningers størrelse, i økonomisk formåen, i stråling fra radioaktive materialer eller i andre fænomener. I forbindelse med vækst forsøger man at beskrive, forudsige eller evt. foreskrive, hvad der karakteriserer en sådan forandring. Det er der udviklet omfattende matematiske modeller til, og det er nogle af dem, der er omdrejningspunktet i kapitel 2. I kapitel 3 ser vi på noget, der til dels også har med vækst at gøre, men vækst af en ganske særlig slags: renter. Det er et område, som traditionelt spiller en stor rolle i grundskolens sidste klassetrin. Vi skal her udvide diskussionen med en behandling af, hvordan man matematisk kan beskrive opsparings- og afbetalingssituationer. I kapitel 4 skal vi behandle sammenhænge mellem variable. Man kan fx have fundet nogle sammenhørende værdier mellem årstal og lærerlønninger, mellem 9. klasseelevers højde og vægt, eller mellem hastighed og bremselængde, når man kører på cykel. Man er så ofte interesseret i at udtale sig om en generel sammenhæng og ikke bare om de relativt få værdier, man har målt eller fundet på anden måde. Værdierne kan så afsættes i et koordinatsystem, og man kan overveje, om der er kurver, der passer godt med dem. Det er sådanne overvejelser, vi skal gøre os i kapitel 4: Kan vi tilpasse kurver til punkter? I kapitel 5 lægger vi en anden synsvinkel på de punkter, der er udgangspunktet for kurvetilpasningen i kapitel 4. Punkterne er resultat af målinger af forskellig slags, og målinger er ofte behæftet med usikkerhed og målefejl. I dette kapitel skal vi arbejde med, hvad der sker med sådanne fejl, hvis man skal regne videre på resultatet af en måling, fx fordi det indgår i en 18 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:43

19 formel af en slags. Hvor stor er fx usikkerheden på beregningen af arealet af en cirkel, hvis der er en usikkerhed på målingen af radius på 5 %? Det generelle problem, vi skal behandle, er altså, hvilken usikkerhedsmargin der må lægges ind i beregninger, når de baserer sig på målinger. I kapitel 2, 3, 4 og 5 ser vi altså på eksempler på det at arbejde med matematiske modeller, og vi lægger hovedvægt på de tekniske sider af sagen: Hvilke metoder kan man bruge, og hvilke usikkerheder er der involveret, når man vil behandle et omverdensproblem matematisk? Kapitel 1 og 6 pakker på forskellig vis disse tekniske spørgsmål ind i nogle mere generelle synsvinkler på matematiske modeller og deres rolle i undervisningen. I kapitel 1 skal vi diskutere, hvad en matematisk model overhovedet er: Hvad mener vi, når vi taler om matematiske modeller og om matematisk modellering? Som nævnt drejer en matematisk model sig om relationen mellem noget matematik og en omverdenssituation, og at modellere er at udvikle den matematik, der skal bruges, dvs. at bygge modellen. Der kan imidlertid siges meget mere om forståelserne af de to ord, modeller og modellering, og i praksis bruges de forskelligt i forskellige sammenhænge. Disse forskelle i sprogbrug afspejler ofte forskelle i opfattelsen af målene med matematikundervisning, og de får praktisk-pædagogiske konsekvenser: Hvis man lægger hovedvægt på én type forståelser af en model, vil undervisningen typisk tage én form, mens den med andre forståelser ofte vil se anderledes ud. Der er således en forbindelse mellem undervisningens formål, forståelsen af, hvad en matematisk model er, og hvordan undervisningen gribes an. Det er disse forbindelser, kapitel 1 drejer sig om. I det sidste kapitel i vores behandling af modeller, kapitel 6, skal vi relatere diskussionen af modeller og modellering til en mere generel tilgang til matematikundervisning. Man kan med udgangspunkt i en af de forståelser af model og modellering som vi diskuterer i kapitel 1 argumentere for, at elevernes aktivitet i matematiktimerne generelt skal kunne karakteriseres som en modelleringsaktivitet. Man knytter da ofte modellering til matematisk problemløsning. Det at løse matematiske problemer bliver da set som at bygge stadigt mere avancerede matematiske modeller af den situation, der behandles. Det bliver hermed sat til diskussion, om arbejdet med matematiske modeller skal være en aktivitet, der skal supplere den øvrige undervisning i relativt isolerede perioder, eller om modellering skal ses som en generel tilgang til matematikundervisning. Introduktion _omega_4k.indd :13:43

20 71190_omega_4k.indd :13:43

21 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? Vi sagde i indledningen til dette afsnit, at begreberne om en matematisk model og om matematisk modellering bruges på forskellig vis i forskellige sammenhænge. Desuden gjorde vi opmærksom på, at der kan tænkes og har været anvendt ganske forskellige begrundelser for at give matematisk modellering en plads i skolen. Endelig kan der tænkes forskellige tilgange til, hvordan der skal arbejdes med matematisk modellering. I dette kapitel skal vi arbejde med idéerne om en matematisk model og om matematisk modellering. Vi sætter således scenen til arbejdet med modeller ved at se på spørgsmålet: hvad mener vi, når vi siger modeller og modellering? Vi skal se på, hvordan begreberne er blevet brugt og lave en model af matematisk modellering, en modellerings-model. Desuden skal vi gøre rede for nogle begrundelser for at arbejde med modeller i undervisningen og for nogle af de måder, det kan gøres på. Når vi genoptager diskussion i kapitel 6, er den primære hensigt at koble modellering til problemløsning og i den sammenhæng knytte modelleringsdiskussionen til nogle mere generelle syn på matematikfaget i skolen. I dette kapitel foregår den indledende begrebsafklaring med en modelleringsopgave for grundskolens sene klassetrin som gennemgående eksempel. Efter læsning af dette kapitel er det hensigten, at læseren kan: Skelne mellem forskellige måder at benytte termen en matematisk model på. Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:43

22 Gøre rede for indholdet i og relationerne mellem forskellige trin i en matematisk modelleringsproces. Forholde sig til forskellige begrundelser for at arbejde med matematiske modeller og anvendelser af matematik i undervisningen. Skelne mellem grundlæggende måder at arbejde med modeller på i skolen. Matematiske modeller og matematisk modellering Man har at gøre med matematiske modeller i alle de tilfælde, hvor matematik bringes i anvendelse for at analysere eller beskrive en situation eller et problem fra omverdenen. Det har man også, når faget bruges til at forudsige eller foreskrive, hvordan en given situation kan udvikle sig, eller et bestemt problem kan håndteres. Fx har man med matematiske modeller at gøre, når man bruger matematik til at: lave et overslag over, hvor mange elever der går på skolen, vurdere, om der er benzin nok i tanken til, at man kan komme hjem, undersøge, om der er sammenhæng mellem lærerstuderendes køn og deres valg af første linjefag, forudsige udviklingen i bestanden af kaniner på en ø, bestemme, hvor meget der skal udbetales i erstatning fra forsikringsselskabet for en stjålet cykel, analysere en mulig sammenhæng mellem skattetryk og økonomisk vækst, forudsige klimakonsekvenserne af en stadigt voksende biltrafik. I ethvert arbejde med en matematisk model arbejder man således både med et omverdensfænomen (elever på skolen, lærerstuderendes fagvalg, kaniner osv.) og med en matematisk beskrivelse af det (en række udregninger, en statistisk sammenhæng, en funktionsforskrift osv.). Matematisk modellering drejer sig da om forholdet mellem to til dels adskilte verdener, én der har omverdenskarakter, og én der (i højere grad) er matematisk. 22 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:44

23 Matematikverden Omverdenssituation Figur 1. Matematik og omverden. Matematisk modellering Der kan stilles forskellige krav til de omverdenssituationer, der anvendes som udgangspunkt for at arbejde med matematisk modellering i grundskolens ældste klasser. Situationerne skal gerne eksemplificere, at matematik kan benyttes i forbindelse med reelle omverdensproblemer af en vis vigtighed. Desuden skal det om muligt dreje sig om situationer, som eleverne selv kan se betydningen af at forholde sig til, enten for at kunne tage beslutninger om dem eller bare for blive klogere på dem. Sådanne omverdenssituationer vil vi kalde autentiske. Det er imidlertid ikke altid en enkel sag at benytte autentiske situationer som udgangspunkt for modellering, ja måske er det nærmest principielt umuligt. Det komplicerede består i, at autentiske anvendelser af matematik ofte bliver meget komplicerede, både matematisk og kontekstuelt. Dels er den matematik, der skal anvendes, ofte meget mere kompleks end det, der er fagligt muligt i grundskolen; dels kræver anvendelsen af matematik i forbindelse med fx økonomiske, naturvidenskabelige eller andre tilsvarende sammenhænge forståelser af disse områder, som eleverne ikke har mulighed for at udvikle. Desuden kan man sige, at det i en vis forstand er umuligt at arbejde med autentiske modeller. Det skyldes, at i samme øjeblik et autentisk eksempel bliver til et undervisningseksempel, der er taget ud af sin oprindelige sammenhæng, mister det sin autenticitet. Disse forbehold ændrer dog ikke ved, at der i undervisningen kan tages i hvert fald et semi-autentisk udgangspunkt. Det betyder, at eleverne kan se sig selv i situationer, som det kunne være vigtigt for nogen at blive klogere på og forholde sig til ved at anvende matematik. Vi skal benytte et sådant Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:44

24 semi-autentisk eksempel for at uddybe, hvad der menes med en matematisk model og med matematisk modellering. Eksempel 1 Et modelleringseksempel: Kan vi lave en gensidig cykelforsikring? I løbet af foråret og sommeren har der på skolen været en del cykeltyverier. Da eleverne møder efter sommerferien, er deres reaktion en blanding af aggression og irritation. Aggressionen er rettet mod de ukendte gerningsmænd, mens irritationen gælder politiet pga. de manglende opklaringer og forsikringsselskaberne pga. små erstatninger ( Det kan da godt være, at den cykel var 1½ år gammel, men den havde ikke en skramme! ). Fordi det har en aktuel interesse, inspireret af, at nogen har hørt om en motorcykelklub, der har lavet en gensidig forsikringsordning, og fordi der er gode muligheder for at anvende matematik, beslutter de i 9. c at undersøge, om en indbyrdes forsikringsordning kan organiseres blandt eleverne i overbygningen. Der kommer prompte en reaktion fra nogle elever: det bliver da aldrig til noget! Alligevel er der enighed om, at det kunne være en meget sjov ting at undersøge. Overvej/diskuter 1 Forestil jer, at I er lærere i 9. c. Gennemtænk, hvordan den nævnte undersøgelse kan foregå. Læg særlig vægt på, hvilke spørgsmål der konkret skal findes svar på, og hvilken matematik eleverne kan forventes at skulle udvikle eller bringe i anvendelse for at finde dem. Situationen ovenfor kan give anledning til en lang række overvejelser om fx: hvor stor risikoen egentlig er for at få en cykel stjålet, hvad de stjålne cykler kostede, da de var nye, hvad cykelhandleren tager for brugte cykler, hvordan antallet af stjålne cykler udvikler sig år for år, hvor stor en økonomisk sikkerhedsmargin man skal regne med, dvs. hvor meget skal hver betale det første år, hvis ikke det nye selskab skal gå fallit med det samme, og sikkert mange flere. 24 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK 71190_omega_4k.indd :13:44

25 Disse spørgsmål kan man forsøge at svare faktuelt på. Det kan ske ved at indsamle data over antallet og prisen på de stjålne cykler; ved at se på forsikringsoplysningens hjemmeside; og ved at eksperimentere med kuglemodeller på computeren. Men derudover skal eleverne tage stilling til det centrale spørgsmål om erstatningens størrelse. Opgaven er, at de skal skrive en instruktion på dansk og på matematisk (dvs. i form af forskrift) til den sekretær i forsikringsselskabet, der skal beregne og udbetale erstatningen. I forlængelse af instruktionen på matematisk skal eleverne konstruere et regneark, som sekretæren skal arbejde med. Opgave 1 Løs opgaven med at finde erstatningsbeløbet, som den er beskrevet ovenfor, på måder, som I tror, en 9. klasse ville gøre det. Find selv mere avancerede løsninger, hvor I inddrager flere relevante variable i løsningen. Lav i hvert tilfælde et regneark, som sekretæren kan bruge til at finde erstatningsbeløbet ved hjælp af. I elevernes arbejde med at finde en rimelig erstatning får spørgsmålet om cyklernes pris og alder snart en plads ( - man skal da ikke have en formue for en gammel havelåge! ). Desuden diskuterer eleverne for eksempel, om der skal være en selvrisiko; om der skal være en maksimumsgrænse for, hvor meget man kan få udbetalt uanset cyklens nypris; om man skal have flere penge, hvis cyklen er velholdt; og om nogle cykelmærker holder prisen bedre end andre. Johan, Freja, Kristin og Gustav arbejder også med spørgsmålet om erstatningsbeløbets størrelse. Deres indledende overvejelser går på, hvad der skal tages i betragtning. Også hos dem bliver alder hurtigt et emne: Gustav: Det ville jo være ærgerligt, hvis man lige havde fået en ny cykel og så fik den stjålet, og man fik lige så meget som en, der har haft den i 10 år! [ ] Kapitel 1 Matematiske modeller og modellering _omega_4k.indd :13:44