Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Transkript

1 I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer. redskab til at generalisere. sprog til at beskrive sammenhænge. sprog i forbindelse med formler. Eleverne har i flere af bogens kapitler anvendt algebra, men i dette kapitel sættes fokus på algebra som redskab og sprog. Arbejdet med algebra kan ses som en proces, hvor en problemstilling, hændelse eller andet fænomen fra virkeligheden oversættes til et algebraisk udtryk, dernæst kan det algebraiske udtryk evt. omskrives, og dernæst tolkes i forhold til den problemstilling, hændelse eller lignende, der var udgangspunktet. Algebra er altså ikke blot regning med bogstaver, selv om eleverne naturligvis skal håndtere en del symbolske udtryk og arbejde med symbolbehandlingskompetencen. Eleverne skal arbejde med processen med at oversætte, omskrive og tolke fx på side 144, hvor de oversætter indtægter fra flaskepant til algebraiske udtryk, omskriver og tolker i forhold til fx, hvor mange penge der gives i pant. Problembehandlingskompetencen er i spil, når eleverne bruger algebra som redskab til problemløsning. Kapitlet afsluttes med, at eleverne skal forbinde formler med geometriske repræsentationer og arbejde med enkle beviser. Her inddrages repræsentations- og ræsonnementskompetencen. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET Kompetencer opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) TAL OG ALGEBRA 1

2 Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable I arbejdet med geometri at arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation Matematik i anvendelse anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at bruge variable i forbindelse med problemløsning, talmønstre, sammenhænge og formler. Målet er, at I får erfaringer med at bruge variable til at løse matematiske problemer. får erfaringer med at bruge algebra til at generalisere. bliver bedre til at bruge variable til at beskrive sammenhænge. bliver bedre til at skrive regneudtryk med variable. kan bruge geometriske tegninger til at vise regneregler. TAL OG ALGEBRA 2

3 FACIT Side 142 MUNDTLIG 1. a. x er prisen uden moms. Momsen er 25 %. Man kan lægge 25 % af et tal til tallet ved at gange med 1,25. Prisen med moms er 20 kr. b. Prisen uden moms er 16 kr.. 2. a. 2 bakker. b. 6 bakker. c. 12 bakker. d. 110 bakker. 3. Antallet af bakker kan findes ved at gange tallet for kassens størrelse med det tal, der er 1 større. Fx en kasse der har størrelse 10, kan have 10 * 11 = 110 bakker jordbær. 4. At generalisere: at finde ud af, hvad der gælder generelt, fx for sammenhængen mellem en (tilfældig) jordbærkasses størrelse og antallet af jordbærbakker, der kan være i den. 5. Kassens størrelse: n. Antal bakker = n(n+1). 6. a. Eksempel tre viser sammenhængen mellem prisen for jordbær og antal kg. b. f(x) = 30x Side 143 MUNDTLIG 7. a. Cylinder: r og h. Kasse: l, b og h. b. o = 2 l b + 2 l h + 2 b h 8. Fx Eksempel 1: I opgave 1a arbejder I med, hvordan prisen for jordbær uden moms (virkeligheden) kan oversættes til ligningen. For at svare på spørgsmålet i opgave 1b omskrives ligningen, så værdien for x findes. I tolker værdien af x til at være prisen for 500 g jordbær uden moms. Eksempel 2: I oversætter, hvor mange bakker jordbær der kan være i en kasse til matematik, når I regner på de forskellige størrelser i opgave 2. Et regneudtryk for størrelse 10 kan være og omskrives til 110. I tolker, at det betyder, der kan være 110 bakker jordbær i kassen med størrelsen 10. TAL OG ALGEBRA 3

4 9. Nogle fordele kan fx være, at vi kan skrive formler, der gælder generelt. Bogstaverne er variable og står i stedet for tal, der kan variere. Det gør det også muligt at beskrive en sammenhæng kort og overskueligt, der ellers ville kræve mange ord, hvis vi skulle formulere den i sætninger. Ulemper kan være, at det kan være mere abstrakt og nogle gange blive sværere at læse og forstå. Side (1,00 + 3,00) 2. a svarer til de fire flasker til pant A svarer til de fire flasker til pant C. b. 4 1 svarer til, at fire flasker giver 1 kr. i pant. 4 3 svarer til, at fire flasker giver 3 kr. i pant. c. 4 (1 + 3). Der er både fire flasker til panten 1 kr. og fire flasker til panten 3 kr. Fire gange fås (1 + 3) kr. d : 4 svarer til de fire flasker til 1 kr., og 12 svarer til de fire flasker til 3 kr. 3. a. a 3 svarer til a flasker til 3 kr. a 1 svarer til a flasker til 1 kr. b. a (1 + 3). Der er samme antal, a, flasker til både pant A og pant C. a gange fås (1 + 3) kr. c. 4a. Da der er samme antal, a, flasker til både pant A og pant C, kan man sige = 4 og gange med antallet, a. 4. a 1 + b 3 = a + 3b. 5. Mathilde afleverer i alt 12 flasker og får 27 kr. 6. Der er 6 flasker til pant B og 9 flasker til pant C. Side 145 FÆRDIGHED (Facit står i grundbogen side 185) TAL OG ALGEBRA 4

5 Side 146 Figur nr n Antal små trekanter n Antal store trekanter n 2, n>1 Antal tændstikker i mønstret n Side Trin 3: 19. Trin 4: 37. Trin 5: 61. Trin 6: Fx n 2 + (n 1) 2 + n(n - 1). 3. a passer til figur 1. b passer til figur 3. c passer til figur Fx 6(n - 1) + 3(n 1)(n 2) (n 1) 6 = n(n 1) + 1 Side a. Løb og brystsvømning. b. 2 timer og 40 minutter. c. 2. a. Sammenhængen mellem antal kalorieforbrug og cykling. b. f(x) = 8x x (min) f(x) kcal TAL OG ALGEBRA 5

6 Side 149 FÆRDIGHED (Facit står i grundbogen side 185) Side 150 MUNDTLIG 1. Den ene side i det store rektangel har længden 3, og den anden side har længden (2 + 4). 3(2 + 4) er et udtryk for arealet af det store rektangel. Det store rektangel består af to mindre rektangler. Det ene rektangel har arealet 3 2, og det andet rektangel har arealet 3 4. Det store rektangels areal svarer til summen af de to små rektanglers areal. 2. a + 5 = 5 + a og 2a + 10 = a. a a = 2a 2 5 = a. 16 b. 10 c. 12 d a. Arealet af det lille rektangel til venstre. b. Arealet af det lille rektangel til højre. Det store rektangels areal kan beskrives med a(b + c). Det store rektangels areal svarer til summen af de to små rektanglers areal, dvs. ab + ac. 5. a. Sandt. b. Sandt. c. Sandt. 6. a(b c) beskriver arealet af det lyseblå rektangel. ab beskriver arealet af det store rektangel. ac beskriver arealet af det mørkeblå rektangel. 7. a. Falsk. b. Sandt. c. Falsk. d. Falsk. TAL OG ALGEBRA 6

7 Side 151 MUNDTLIG (2 + 4) 2 beskriver arealet af det store kvadrat. 2 2 og 4 2 beskriver arealerne af de små kvadrater i figuren. I figuren er to rektangler med arealet 2 4, og de har tilsammen arealet Sidelængden i kvadratet er (a + b). 11. Det ene kvadrat har arealet a 2, og det andet kvadrat har arealet b 2. De to rektangler har hver arealet ab. 12. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. 13. Se fx Kolorit 8 side a. (2 + b) 2 = b b = 4 + b 2 + 4b b. (a + 3) 2 = a a 3 = a a c. (a + 4) 2 = a a 4 = a b d. (5 + b) 2 = b b = 25 + b b e. (c + f) 2 = c 2 + f c f f. (2 +a) 2 + (a + 5) 2 = (2 2 + a a) + (a a) = 2a 2 + 9a + 29 Side a a + a b + a b a b + a b + a c (3 1) a 2 + b 2 + a b + a b (a b) 2 + a b + a b + a b + a b TAL OG ALGEBRA 7

8 3. Den første figur består af et kvadrat med arealet 3 2, et kvadrat med arealet 1 2 og to rektangler, der hver har arealet 1 3. Den anden figur består af et kvadrat med arealet (3 1) 2 og fire rektangler, der hver har arealet = = 16. (3 1) = = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a + b) 2 = (b a) 2 + 4ab = b 2 a 2 2ab + 4ab = a 2 + b 2 + 2ab Side a. Grøn: a 2. Hvid: b 2 a 2. b. Grøn: 4a 2. Hvid: b 2 a 2. c. Grøn: 3a 2. Hvid: b 2 3a 2. d. Grøn: 4a 2. Hvid: b 2 a 2. e. Grøn: 8a 2. Hvid: b 2 5a 2. f. Grøn: 2a 2. Hvid: 2b 2 2a 2. TAL OG ALGEBRA 8