MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

Transkript

1 HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri klasse

2

3 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri klassetrin Samfundslitteratur

4 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri klassetrin Samfundslitteratur, 2013 Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2013 Trykt bog ISBN E-bog ISBN Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

5 INDHOLD Forord 9 Indledning 11 1 Eksperimentel geometri 13 En smagsprøve 14 Geometriske konstruktioner på papir og computer 15 Elementære konstruktioner 15 Kombinerede konstruktioner 18 Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion 20 Klassisk konstruktion 23 Opsamling på kapitel Lokalisering, afstand og bevægelse 29 Bishops kulturelle fænomenologi 29 Lokalisering 31 Koordinatsystemer 33 Afstand mellem to punkter 34 Bevægelser 36 Retninger 36 Vektorer 37 Den retlinede bevægelse 40 Opsamling på kapitel Undersøgelser af rumlige figurer 43 Genopdagelse af de platoniske legemer 44 Eulers polyedersætning 45 Descartes spidsheder 47 Halvregulære polyedre som inspiration 49 Opsamling på kapitel 3 51 Indhold 5

6 4 Bevisførelse i geometri 53 Grundlaget for euklidisk geometri 54 Trekanter i klassisk geometri 59 Kongruente trekanter som bevisværktøj 65 Opsamling på kapitel Elementer af geometriens didaktik 73 Begrebsdannelse og geometriske former 73 Begrebet trekant i 2. klasse 74 Det figurale aspekt 78 van Hieles niveauer 79 Kritik af og inspiration fra van Hieles 81 Et par vigtige læremidler 85 Logo og dets efterfølgere 85 Dynamiske geometriprogrammer 86 Geometriske ræsonnementer 89 Beviset efter de dynamiske geometriprogrammer 93 Omdannelse af stive beviser til undersøgende argumenter 96 Opsamling på kapitel Måling i indskolingen om at bestemme længder 99 Grundlæggende forhold ved måling 99 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 102 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 105 Måling og andre matematikfaglige områder 107 Opsamling på kapitel Måling og areal 111 Målingens didaktik 111 Centrale aspekter af målebegrebet 112 Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner 114 Arealberegning didaktiske overvejelser 116 Areallæren 121 Beviser med opdeling og flytning 123 Måling af cirklen 126 Opsamling på kapitel

7 8 Rumfang 129 Om rumfangsbegrebet 129 Indledende eksperimenter med rumfang 131 Opbygning af rumfangslæren 132 Udvikling af rumfangsformler baseret på areallæren 132 Cavalieris princip 134 Opsamling på kapitel Tegning af model 141 Hvordan kommunikeres tings geometriske udseende? 141 Isometrisk tegning 142 Arbejdstegning 146 Perspektivtegning 148 Opsamling på kapitel Flytninger, eksperiment og argument 151 Eksperimentel flytningsgeometri 152 Flytningernes fænomenologi 153 Kombinationer af flytninger 157 Opsamling på kapitel Symmetrier og mønstre 167 Symmetri i enkeltformer 167 Frisemønstre 175 Fliser og tesselationer 178 Opsamling på kapitel Problemløsnings- og ræsonnements kompetence 183 Picks problem 184 Problemløsningsstrategier 186 Ræsonnementskompetence i praksis 190 Trædesten: En generel ræsonnementsstrategi 190 Tilbage til Picks teorem 195 Syntesevejen, vi lægger sten Analysevejen vi lægger sidste sten før mål 199 Videregående geometriske ræsonnementer 203 Opsamling på kapitel

8 13 Konkrete og virtuelle manipulative materialer 207 Hvorfor konkrete materialer? 208 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 210 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 214 Konkrete materialers gennemsigtighed 216 Et eksempel: lineære regnerør 217 Sammenligning af to materialer 218 Virtuelle manipulative materialer 221 Brøkregning med virtuelle manipulative materialer 221 Opsamling på kapitel Referencer 227 Bøger til grundskolen 229 Stikordsregister