HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE KLASSE

Transkript

1 HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI KLASSE

2

3 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri klassetrin Samfundslitteratur

4 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri klassetrin Samfundslitteratur, 2013 Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2013 Trykt bog ISBN E-bog ISBN Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

5 INDHOLD Forord 9 Indledning 11 1 Eksperimentel geometri 13 En smagsprøve 14 Geometriske konstruktioner på papir og computer 15 Elementære konstruktioner 15 Kombinerede konstruktioner 18 Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion 20 Klassisk konstruktion 23 Opsamling på kapitel Lokalisering, afstand og bevægelse 29 Bishops kulturelle fænomenologi 29 Lokalisering 31 Koordinatsystemer 32 Afstand mellem to punkter 34 Bevægelser 36 Retninger 36 Vektorer 37 Den retlinede bevægelse 40 Opsamling på kapitel Undersøgelser af rumlige figurer 43 Genopdagelse af de platoniske legemer 44 Eulers polyedersætning 45 Descartes spidsheder 47 Halvregulære polyedre som inspiration 49 Opsamling på kapitel 3 51 Indhold 5

6 4 Bevisførelse i geometri 53 Grundlaget for euklidisk geometri 54 Trekanter i klassisk geometri 59 Kongruente trekanter som bevisværktøj 65 Opsamling på kapitel Elementer af geometriens didaktik 73 Begrebsdannelse og geometriske former 73 Begrebet trekant i 2. klasse 74 Det figurale aspekt 78 van Hieles niveauer 79 Kritik af og inspiration fra van Hieles 81 Et par vigtige læremidler 85 Logo og dets efterfølgere 85 Dynamiske geometriprogrammer 86 Geometriske ræsonnementer 89 Beviset efter de dynamiske geometriprogrammer 93 Omdannelse af stive beviser til undersøgende argumenter 96 Opsamling på kapitel Klassisk geometri 99 Klassisk trekantsgeometri 99 Afstandsbestemmelsens geometri 100 Bevis for Thales sætning 102 Sætningen om ensvinklede trekanter 104 Thales sætning skabt af og anvendt i praksis 106 Andre beviser baseret på Thales sætning 110 Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 112 Trekantens klassiske linjer 113 Pythagoras sætning 115 Opsamling på kapitel Måling og areal 123 Målingens didaktik 123 Centrale aspekter af målebegrebet 124 Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner 126 Arealberegning didaktiske overvejelser Indhold

7 Areallæren 133 Beviser med opdeling og flytning 135 Måling af cirklen 138 Opsamling på kapitel Rumfang 141 Om rumfangsbegrebet 141 Indledende eksperimenter med rumfang 143 Opbygning af rumfangslæren 144 Udvikling af rumfangsformler baseret på areallæren 144 Cavalieris princip 146 Opsamling på kapitel Analytisk geometri 153 Afstande i planen 154 Midtpunkt af et linjestykke 155 Den rette linje 156 Vinkelrette linjer 160 Geometriske steder 162 Skæring mellem geometriske figurer 166 Opsamling på kapitel Trigonometri og geometri i det fri 171 Trigonometriens definitioner 172 Beregninger i den retvinklede trekant 174 Formler 175 Beregninger i en vilkårlig trekant 177 Sinusrelationerne 178 Cosinusrelationen 180 Trigonometri i skolen 182 Landmåling og geometri i naturen 186 1) På vej i felten 186 2) Afsætningsøvelser 187 3) Højdebestemmelser 187 4) Afstandsbestemmelse over en sø 187 5) Nivellering, ekstra opgave, der kræver nivelleringsinstrument 188 6) Korttegning 189 Indhold 7

8 Opsamling på kapitel Kuglefladens geometri 191 Jorden er rund 191 Hvordan Jordens radius blev bestemt 192 Sfærisk geometri 194 Enhedskuglen 195 Den retvinklede sfæriske trekant på enhedskuglen 196 Areal af en sfærisk trekant på enhedskuglen 199 Opsamling på kapitel Grafteori og topologi 205 Grafteori 205 Teorien for Eulerture 209 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 212 Topologi og Eulertallet 217 Kuglefladen 218 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 219 Taxageometri i plan og rum 220 Opsamling på kapitel Referencer 225 Bøger til grundskolen 226 Stikordsregister Indhold

9 FORORD Matematik for lærerstuderende har, siden det vandt lærebogsprisen i 2006, været et udbredt system for linjefagene i matematik på læreruddannelserne i Danmark, og de centrale bøger i systemet er oversat til svensk. Udgangspunktet i 2006 var meget ambitiøst på grund af det nye store timetal i matematik. I anledning af den seneste reform LU13 er omfanget reduceret drastisk, men det høje ambitionsniveau er fastholdt, hvad angår de kvalifikationer, der retter sig mod den lærerstuderendes fremtidige profession. Til undervisningsfaget matematik klasse er der i serien Matematik for lærerstuderende følgende bøger: Tal, algebra og funktioner klasse; Geometri klasse; Stokastik klasse; Delta, Fagdidaktik; My, Elever med særlige behov. Til den studerende, der føler behov for at opdatere sin faglighed inden studiestart, har vi udviklet materialet Alfa, Forstudier. Geometri klasse præsenterer fagligt og fagdidaktisk materiale samt tilhørende arbejdsopgaver svarende til det nationale basismodul. Bogen dækker de faglige krav i modulet. Den såkaldte stofdidaktik er som regel medtaget i samme kapitel som det tilsvarende matematikfaglige emne, men er også tematiseret og samlet i et par særlige kapitler. Det fagdidaktiske stof, der er fælles for al matematikundervisning, skal søges i bøgerne Delta og My. I hvert kapitel er de vigtigste mål angivet i starten, og kapitlet rundes af med en opsamling, der muliggør en evaluering af udbyttet. De matematiske kompetencer står centralt både i LU13 og i det aktuelle faghæfte for grundskolen, derfor fremhæver vi i hvert kapitel, hvilke kompetencer der især kan udvikles gennem arbejdet. Den studerende vil gennem arbejdet med de tre matematikfaglige bøger være kommet godt omkring alle otte matematiske kompetencer. Forord 9

10 Programmel, it Vi inddrager i høj grad it, og vi benytter gratis og frit tilgængelige ressourcer, som også i vid udstrækning er platformsuafhængige. Vores valg er for geometriprogrammernes vedkommende faldet på: GeoGebra ( geogebra.org). Desuden inddrager vi regneark, diverse hjemmesider og en række ressourcer, der kun er tilgængelige på nettet, herunder wxmaxima ( og Windows-baserede Microsoft Mathematics ( Der findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside www. samfundslitteratur.dk/mat, ligesom en liste over de trykfejl, vi bliver opmærksomme på, vil være at finde på denne hjemmeside under errata. København, marts 2013 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott 10 Forord

11 INDLEDNING Indholdet af denne lærebog er først og fremmest bestemt ud fra kravene i LU13 og beskrivelsen af det nationale modul Matematikundervisning og geometri kl. Men vi har også ladet os inspirere af det aktuelle faghæfte for matematik i grundskolen, vel vidende at alt dette kan og vil ændre sig i de mange år, læseren skal virke som matematiklærer i skolen. Derfor har vi været særligt optaget af at præsentere matematiske emner, didaktisk forskning og aktiviteter, som vi anser for at være væsentlige og relevante på langt sigt. Der er et visuelt, næsten konkret præg over geometri, hvilket gør det muligt at sende læseren ud på eksperimentel opdagelse i plangeometriens verden i det første kapitel, fulgt godt op af endnu mere sanselige og manipulative undersøgelser af rumlige figurer i det tredje kapitel. Sammen med et kapitel om Lokalisering, afstand og bevægelse og en introduktion til bevisførelse i geometri udgør dette indhold bogens første tredjedel. Beviser var i mange år geometriens særkende. Vi lægger fundamentet med bevisførelse i geometri, hvor vi kommer ind på de centrale begreber, aksiom, definition, sætning og bevis og dækker det meste af, hvad man kan finde på at lade skolebørn bevise. I Klassisk geometri går vi skridtet videre og beviser de mere avancerede sætninger som Thales sætning (den om ensvinklede trekanter) og Pythagoras berømte sætning. I kapitlerne 7 og 8 om måling er vi tættere på skolens hverdag, idet vi efter en behandling af målingens didaktik går i gang med de to store målingsopgaver i skolen: arealbestemmelse og rumfangsbestemmelse. Skønt der er didaktiske overvejelser i de fleste kapitler, har vi reserveret et helt kapitel til elementer af geometriens didaktik. Modulbeskrivelsen af Matematikundervisning og geometri klasse indeholder matematikfaglige emner, der skal sikre, at matematiklæreren på dette niveau har et stort reservoir af viden at trække på. Derfor har vi reserveret bogens sidste fire kapitler til videregående emner. Vi lader dog computeren indgå som et naturligt hjælpemiddel i såvel den analytiske geo- Indledning 11

12 metri som trigonometri. Herved reduceres den traditionelle stofmængde, og vi får skabt plads til et oplæg om landmåling og geometri i naturen. Der kræves i modulet en behandling af nyere typer geometri, herunder som noget helt nyt i læreruddannelsen ikke-euklidisk geometri, som refererer til geometrier, der på mange måder har de samme aksiomer som den euklidiske, men afviger på et enkelt eller to. Vi har her valgt kuglens geometri, som vi går i dybden med ved at overføre trigonometrien til kuglefladen. Vi slutter bogen med emnerne grafteori og topologi, som begge har meget at byde på i den nuværende og fremtidige skole. 12 Indledning

13 1 EKSPERIMENTEL GEOMETRI Geometri i skolen var for et halvt århundrede siden en ret systematisk opbygning, der endnu længere tilbage simpelthen var en forenklet udgave af nogle af de første bøger i Euklids to tusinde år gamle Elementer. Der var dog også kritik af denne belærende systematik allerede så tidligt som i 1762, hvor den franske pædagogiske tænker J. J. Rousseau i sin bog Emile hævdede, at al den systematiske logik var helt imod barnets natur. I stedet skulle der eksperimenteres med tegninger af geometriens figurer: De vil lære hele den elementære geometri ved at gå fra iagttagelse til iagttagelse, uden at der bliver spørgsmål hverken om definitioner eller opgaver eller nogen anden bevisform end den simple at lade tegningerne dække hinanden. Jeg vil ikke indlade mig på at lære Emile geometri, det er ham der skal lære mig den; jeg vil søge efter de geometriske forhold, og han vil finde dem; for jeg vil søge dem på en sådan måde, at han må finde dem. (Rousseau, 1997, s. 64). Det er ikke blot for børn og unge, at den eksperimenterende tilgang til geometri er givende. Det gør sig formodentlig også gældende for sådanne voksne som vores læsere, der uddanner sig til matematiklærere Derfor ønsker vi i dette kapitel at give læseren mulighed for: At opleve og udvikle en eksperimentel tilgang til matematik med henblik på senere at tilrettelægge sådanne eksperimentelle tilgange for elever. At opbygge en opfattelse af matematik som menneskeskabt og under udvikling. At skaffe sig et erfaret fundament inden for dele af den klassiske geometri, som senere i bogen vil blive sat ind i en systematisk sammenhæng. At erhverve et grundlag for arbejdet med konstruktioner i geometri. 1 Eksperimentel geometri 13

14 Eksperimentel tilgang angiver det nysgerrigt undersøgende. For at alle skal føle sig veltilpas med et sådant arbejde, har vi tilstræbt, at der i vores udgave af eksperimentel geometri ikke benyttes viden og færdigheder ud over det, som grundskolen har budt på. Det elementære stof skal dog nogle gange bruges på en fantasifuld måde. Indledningsvis stiller vi spørgsmålet: Hvorfor er eksperimenterende undersøgelser vigtige i matematikundervisning? Hensigten hermed er at motivere kapitlet og orientere om nogle pædagogiske og historiske argumenter for eksperimenterende arbejde i matematik. EN SMAGSPRØVE Det viser sig, at nogle indledende værktøjer skal være på plads, før vi kan gå i gang med de eksperimentelle undersøgelser. Det modarbejder vores pædagogiske hensigt. Derfor giver vi allerede nu en smagsprøve på gedigent eksperimentelt arbejde, der overhovedet ikke kræver nogen forudsætninger eller værktøjer ud over eventuelt farveblyanter. Det drejer sig om et af de berømteste problemer i matematikkens nyere historie. Det er karakteristisk ved, at man ret hurtigt kan nå frem til det korrekte svar ved at eksperimentere sig frem. Men skulle man nedskrive et argument for svarets korrekthed ville det så vidt vi ved fylde tusindvis af sider, med mindre man bruger meget computerregnekraft undervejs og simpelthen henviser til computerens svar. Undersøgelse 1 Det drejer sig om at farve landkort i et atlas. Hvis hvert land skal have en farve, der er forskellig fra nabolandes farver, hvor få farver kan man så nøjes med? Det vil i en tid hvor der opstår nye nationer og gamle slås sammen være en fordel, hvis antallet også gælder efter sådanne ændringer, altså gælder for alle tænkelige landkort på jorden. Kan det lade sig gøre at finde et sådant minimalt, men tilstrækkeligt antal farver? Forsøg selv med et landkort som vist på figuren herunder. 14 GEOMETRI KLASSE

15 Figur 1. Et landkort. GEOMETRISKE KONSTRUKTIONER PÅ PAPIR OG COMPUTER Øvelse 1 Hvis du straks vil have en fornemmelse af eksperimenterne i dette afsnit, kan du overveje, hvordan: 1) du vil tegne en trekant, hvori alle sider er præcis 10 cm? 2) du vil tegne en trekant med siderne 5, 10 og 17 cm? 3) du vil tegne en firkant med siderne 5, 10, 17 og 20 cm? Vi har ikke planer om at gennemføre beviser i denne mere eksperimentelle tilgang til geometrien, men vil lægge op til frit at bruge øjnene, hænderne og sanserne i skøn blanding med ting, vi husker fra tidligere geometriundervisning. Elementære konstruktioner Hvis du har et godt kendskab til de elementære konstruktioner, der kan udføres med passer og lineal eller med et dynamisk geometriprogram, fx 1 Eksperimentel geometri 15

16 midtnormal og vinkelhalveringslinje og konstruktion af trekanter ud fra givne mål, så kan du springe direkte til det mere eksperimenterende arbejde i næste afsnit, der starter med overskriften Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion. Her ser vi først på nogle centrale konstruktioner, deres vigtigste egenskaber og anvisninger på, hvorledes konstruktionerne kan udføres med tegneredskaber. 1) De helt elementære konstruktionshandlinger er at afsætte punkter og linjer. Arbejder man på papir er det vigtigt, at punkter skal være punktformede, hvilket tilstræbes med et tegnemiddel med tynd spids. Et sådant er også en forudsætning for at kunne tegne linjer, da disse skal være så tynde, at man med god ret kan påstå, at to linjer skærer hinanden i et punkt og ikke i en firkant. På computeren er der ikke de samme problemer. I GeoGebra, som er det dynamiske geometriprogram, vi har valgt at benytte, er der et værktøj til at afsætte punkter, og adskillige til at afsætte linjer, linjestykker eller halvlinjer. Et geometriprogram har ikke problemer med at vide, at punkter og linjer er meget tynde. En fordel ved geometriprogrammets logik, er, at man kan fokusere på, at en linje er defineret ved nogle bestemte punkter, som den skal gå igennem, og at det er disse punkter alene, der er bestemmende for linjens beliggenhed. På papir kan man godt blive i tvivl om, hvorvidt en tegnet linje går gennem et bestemt punkt. 2) En anden elementær konstruktion er afsætning af cirkler. Dette kan man gøre med en uelastisk snor og et centrum, idet det vigtige her er at få afsat alle punkter i en given, fast afstand fra centrum. Imidlertid er det noget smartere med en passer, som kan tegne cirkler med alle radier fra 0 og op til et maksimum bestemt af passerens størrelse. Passerens næstvigtigste funktion er, at man med den kan flytte et linjestykke af en given længde. Tager man linjestykket i passeren (dvs. den ene passerspids i det ene endepunkt og den anden i det andet endepunkt), så kan man med ret stor nøjagtighed afsætte netop dette linjestykkes længde et andet sted ved hjælp af passeren. I GeoGebra er der en række forskellige muligheder for at afsætte cirkler eller dele af cirkler, som læseren er nødt til selv at prøve af. Selvom man går 16 GEOMETRI KLASSE

17 bort fra at benytte den fysiske passer til konstruktioner, kan man selvfølgelig lave akkurat de samme konstruktioner på skærmen med den elektroniske passer. Funktionen Cirkel ud fra centrum og radius kan benyttes nøjagtig som beskrevet ovenfor. 3) En tredje elementær konstruktion er afsætning af vinkler. To linjestykker, der udgår fra samme punkt, danner en vinkel. Man kan afsætte en vinkel af en bestemt størrelse ved hjælp af en vinkelmåler. Efter babylonisk tradition har man i det meste af verden valgt, at der skal være 360 grader hele vejen rundt i en cirkel. GeoGebra kan også måle vinkler. En vinkel kan måles ved enten at klikke på de to vinkelben eller ved at klikke på tre forskellige punkter: Først et punkt på det ene vinkelben, så vinkelspidsen og til sidst et punkt på det andet vinkelben. Det kræver lige, at man øver sig med denne funktion, hvis man vil være sikker på at måle det, man ønsker at måle. GeoGebra kan naturligvis også afsætte vinkler med en på forhånd givet størrelse. Denne funktion kræver ligeledes øvelse, inden den falder naturlig. Øvelse 2 Benyt GeoGebra til at tegne ABC i hvert af følgende tilfælde. 1) A = 90, B = 30, AB = 5 cm, hvilket skal læses: vinkel A er 90 grader, vinkel B er 30 grader og længden af linjestykket AB er 5 cm. 2) A = 57, C = 43 og AB = 57 mm. 3) AB = 10 cm, AC = 8 cm og BC = 8 cm. 4) B = 45, AB = 6 cm og BC = 8 cm. 5) A = 60, AB = 100 mm og BC = 94 mm. 6) Hvis du får de samme øvelser igen eller hvis din onkel på Fyn udfører øvelserne så skulle du/i gerne få akkurat de samme resultater. Overvej, hvor mange og hvilke oplysninger om en trekant, man kan klare sig med, hvis man skal være sikker på, at den bliver, som man gerne vil have den. Fx har tilfælde 5) faktisk to mulige svar, mens tilfælde 1) kun har et. 1 Eksperimentel geometri 17

18 Når man som i foregående øvelse når frem til, at der kun er én trekant med de angivne mål, så vil to forskellige personer, der udfører konstruktionen af denne trekant selvfølgelig ikke bogstaveligt nå frem til den samme trekant, da den ene trekant måske er i København, og den anden er i Odense. Men de to trekanter er jo på sin vis ens. Den tekniske betegnelse for dette er kongruens. 1 Definition af kongruens To trekanter kaldes kongruente, hvis den ene kan flyttes 1 hen så den netop dækker den anden. De helt grundlæggende konstruktionshandlinger skulle nu være på plads, og vi kan begynde at kombinere disse. Kombinerede konstruktioner Vi er især interesseret i at konstruere punktmængder, hvor alle punkter i mængden har en fælles geometrisk egenskab. Sådanne punktmængder kaldes geometriske steder. Hensigten med de kombinerede konstruktioner, vi nu præsenterer, er at levere de nødvendige redskaber til de efterfølgende undersøgelser af eksperimentel art. Midtnormal Midtnormalen til et linjestykke AB er den linje, der står vinkelret på AB i linjestykkets midtpunkt. 1 Vi benytter hverdagsordet flytte her, men skal bemærke, at vi også regner en spejling for en flytning. 18 GEOMETRI KLASSE

19 N A B M Figur 2. Konstruktion af midtnormal (figur 2): Med hhv. A og B som centrum tegnes cirkler med samme radius til skæring i M og N. Linjen gennem M og N er da AB s midtnormal. Prøv at konstruere midtnormalen 2 i GeoGebra og se, om du ved at benytte programmets redskab til at måle længder kan opdage denne egenskab: Punkterne på midtnormalen for AB ligger lige langt fra A og B. Oprejse og nedfælde den vinkelrette Hvis man har en linje og et punkt på linjen, og ønsker at konstruere en ny linje, der går gennem punktet og er vinkelret på den første linje, kalder man det at oprejse den vinkelrette. På samme måde som ved oprejsning af den vinkelrette kan man have givet en linje og et punkt uden for linjen. Hvis man så ønsker at tegne en linje gennem punktet vinkelret på linjen, kalder man det at nedfælde den vinkelrette. I GeoGebra er begge konstruktioner nemme. Der er et særskilt værktøj Vinkelret linje, der kan benyttes i begge situationer. 2 GeoGebra har et særskilt værktøj til at lave midtnormaler, men prøv i første omgang at lave konstruktionen som vist på figur 2. 1 Eksperimentel geometri 19

20 Vinkelhalveringslinje Vinkelhalveringslinjen til en vinkel er den linje, der deler vinklen i to lige store dele (halvdele). G A D B E C F Figur 3. Konstruktion af vinkelhalveringslinjen i FAG (se figur 3): Med centrum i vinklens toppunkt A tegnes en cirkel til skæring med de to ben i B og C. I B og C tegnes to lige store cirkler, der skærer hinanden i D og E. Den rette linje gennem ADE er nu vinkelhalveringslinje og deler A i to lige store dele. Konstruer en vinkelhalveringslinje i GeoGebra 3 og se, om du kan opdage følgende egenskab ved at måle: Ethvert punkt på vinkelhalveringslinjen har lige stor afstand ud til de to vinkelben, hvis denne afstand måles langs nedfældede vinkelrette linjer. Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion Læseren råder nu over tilstrækkeligt med konstruktionsværktøjer til at begive sig ud i selvstændige konstruktioner. Den læser, der valgte at springe 3 GeoGebra har et særskilt værktøj til at lave vinkelhalveringslinjer, men prøv i første omgang at lave konstruktionen som vist på figur 3 20 GEOMETRI KLASSE

21 indledningen med gennemgang af de elementære konstruktioner over, starter også her. Undersøgelse 2 Det hævdes i den klassiske geometri, at de forskellige traditionelt interessante linjestykker i en trekant har nogle forbavsende pæne egenskaber, fx at de tre siders midtnormaler skærer hinanden i samme punkt. Måske har du allerede undersøgt det med passer og lineal for nogle af linjernes vedkommende. Men prøv at udføre sådanne undersøgelser i GeoGebra og afgør, om egenskaberne 1), 2), 3) og 4) nedenfor gælder i enhver trekant. En yderligere fordel ved et dynamisk geometriprogram sammenlignet med passer- og linealkonstruktion på papir er, at man kan lade konstruktionen være dynamisk, dvs. at man kan trække i trekantens hjørner og se hele konstruktionsmønsteret følge med. På den måde kan man sikre sig, at den opdagelse, man har gjort, ikke blot gælder for den specielle trekant, man har tegnet i første omgang, men for mange og muligvis alle trekanter. Selv om denne måde at påvise sammenhænge på ikke kan kaldes et bevis i matematisk forstand, er det ganske slående og overbevisende for de fleste. Figur 4. 1) De tre midtnormaler (figur 4) skærer hinanden i samme punkt, og punktet fungerer som centrum for trekantens omskrevne cirkel. u u v v Figur 5. 1 Eksperimentel geometri 21

22 2) De tre vinkelhalveringslinjer (figur 5) skærer hinanden i samme punkt og punktet fungerer som centrum for trekantens indskrevne cirkel. Figur 6. 3) De tre medianer (figur 6) skærer hinanden i samme punkt. Figur 7. 4) Hvis man ellers kan få tegnet højderne rigtigt (figur 7), så skulle de også skære hinanden i samme punkt. Undersøgelse 3 1) Tre gårde A, B og C er blevet ramt af grundvandssænkning. Ejerne bliver nødt til at grave dybere brønde. De bliver enige om istedet at grave en fælles brønd. De vil betale lige meget, men så skal brønden til gengæld ligge et sted, P, hvor der er lige langt til vandbeholderne på de enkelte gårde. De spekulerer på, om der kan være flere mulige steder, P, med den egenskab. Er der det? Hjælp dem konkret med på figur 8 at angive, hvor den nye brønd skal placeres. Kunne de have fundet på en smartere løsning for alle parter? 22 GEOMETRI KLASSE

23 2) Mange år senere, efter at verdens olie var sluppet op, gik deres tip oldebørn over til at dyrke jorden manuelt igen. Derfor slog de sig sammen og besluttede, at hver af dem først og fremmest skulle dyrke den jord, der lå tættest på. Hjælp dem med på figur 8 at skitsere grænserne for hver enkelts arbejdsmark. A B C Figur 8. Mark Klassisk konstruktion I mellemskolens levetid fra 1903 til 1958, var en markant del af matematikundervisningen geometrisk konstruktion. Man kunne altid til mellemskoleeksamen regne med, at der ville være en sådan opgave. Formålet var bl.a. at udvikle en meget brugt videnskabelig metode, der siden græsk oldtid har heddet analyse-syntese. Først skulle eleven analysere opgaven, hvilket i praksis ville sige, at der skulle tegnes en prøvefigur, en skitse af resultatet. Man skrev punkternes navne samt alle de mål, man kendte, ind på prøvefiguren. Så skulle man overveje, om man i den geometriske teori kunne hente noget, der tillod én at finde andre størrelser. Således skulle analysen af situationen fortsætte, indtil man havde nok af kendte størrelser til, at man kunne gå over til syntesen: dvs. selve konstruktionen af figuren ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler. Det lyder lidt gammeldags, men kalder man det istedet for strategier til problemløsning og lader problemet have en praktisk iklædning, kan sådanne aktiviteter stadig have gyldighed i skolen. 1 Eksperimentel geometri 23

24 Øvelse 3 Prøv at sætte dig i en sådan mellemskoleelevs sted ved at udføre følgende konstruktion fra mellemskoleeksamen januar 1910 (svarende aldersmæssigt til 9. klasses afgangsprøve), idet du først vælger dit linjestykke a. Opgaven lyder: Konstruer en Firkant ABCD saaledes, at og idet a er et givet linjestykke. Bemærk, at opgaven oprindelig er klassisk på to måder: dels skulle den gennemføres udelukkende med passer og lineal, og dels kræver den, at eksaminanden gennemgår faserne analyse og syntese. Overvej, om det er hurtigere at benytte GeoGebra end tegneinstrumenter anno 1910 til konstruktionen. Øvelse 4 Prøv også opgaven til mellemskoleeksamen fra marts 1910: Afsæt et linjestykke og kald dets Længde for a. Konstruer en Firkant ABCD, hvori Siderne AB og AD samt Diagonalen AC alle har Længden a, Siden CD har Længden og vinklen BAD er Øvelse 5 Til følgende udfordrende opgaver har vi hentet inspirationen i Tage Werners bog: Geometrisk Problemløsning. Opgaverne går ud på at tegne en trekant ud fra tre kendte stykker i trekanten. Det er meningen, at man i øvelse 1 5 godt må bruge lineal og vinkelmåler til at afsætte linjestykker og vinkler. Nomenklatur for stykker i en trekant: Vinkler kaldes A, B, C, og de overfor liggende sider for a, b, c. Højderne på disse sider kaldes for h a, h b og h c. Vinkelhalveringslinjen til siden a, altså halveringslinjen til A noteres som v a, mens m a er medianen på a, den der rammer midten. 24 GEOMETRI KLASSE

25 r er radius i den indskrevne cirkel. R er radius i omskrevne cirkel. 1) Tegn ABC, når det er givet, at og 2) Tegn ABC, når det er givet, at og 3) Tegn ABC, når det er givet, at og 4) Tegn ABC, når det er givet, at og 5) Tegn ABC, når det er givet, at og Øvelse 6 Formuler på skrift nogle konstruktionsopgaver, hvor sider og vinkler er opgivet som tegnede stykker og ikke med mål. Hvis det foregår på et hold, kan I danne makkerpar, der så udfordrer andre makkerpar. 1) Formuler en let konstruktionsopgave. 2) Formuler en sværere konstruktionsopgave. 3) Formuler en konstruktionsopgave, der har flere svarmuligheder. 4) Formuler en konstruktionsopgave, som kun har én løsning. Undersøgelse 4 Læseren er uden tvivl fortrolig med, at summen af (de indvendige) vinkler i en trekant giver 180 grader, og at den tilsvarende sum i en firkant er 360 grader. Men hvad med vinkelsummen i en femkant?, en sekskant?, en 17-kant? Undersøg dette fænomen. Måske kan du finde frem til en formel, der kan benyttes til at beregne vinkelsummen i en n-kant. Undersøgelse 5 Eulers nye resultater Indsigten i trekantens linjer (dvs. højder, medianer, vinkelhalveringslinjer og midtnormaler), som vi efterprøvede eksperimentelt ovenfor, var kendte i den græske oldtid, bl.a. i Euklids bøger Elementerne fra omkring 300 f.v.t. Det var først langt senere, at Leonhard Euler ( ) 1 Eksperimentel geometri 25

26 opdagede, at hvis man indtegnede de fire slags skæringspunkter, som vi konstruerede i undersøgelse 2, i samme trekant, så var der nogle af punkterne, der lå på en særlig smuk måde i forhold til hinanden. Hvis du vil prøve at få samme opdagelsens glæde som Euler, så kan din tegning drukne i for mange streger. I GeoGebra er det muligt at skjule nogle af de elementer, der indgår i tegningen. Man kan fx højreklikke på et objekt og fjerne markeringen ved vis objekt. Hvis det kan lykkes dig at fremstille en tegning, hvor du kun har den oprindelige trekant og de fire slags skæringspunkter nævnt ovenfor (med passende bogstavbetegnelse til hver af dem), så kan du ved at trække trekanten i hjørnerne komme på sporet af det mønster, Euler fandt. Det tog menneskeheden to tusind år at komme fra Euklids gemetribog til Eulers opdagelse, så der skal påregnes lidt tålmodighed. Undersøgelse 6 Napoleons sætning Napoleons sætning siger, at følgende gælder for enhver trekant: Hvis man på hver af trekantens sider tegner en ligesidet trekant og forbinder centrene af disse ligesidede trekanter, så opstår herved en ligesidet trekant. Det centrale punkt i en ligesidet trekant er højdernes skæringspunkt, der samtidig også er henholdsvis medianernes og midtnormalernes skæringspunkt. Figur 9. Undersøg ved hjælp af et dynamisk geometriprogram, om sætningen er sand for alle de trekanter, der kan fremkomme ved at trække i hjørnerne på en given trekant. Og undersøg desuden via internettet, om det virkelig er kejser Napoleon, der har opdaget/opfundet denne sætning. 26 GEOMETRI KLASSE

27 Undersøgelse 7 Find skatten I et loftsrum nær havnen i Svendborg fandt man i en gammel kaptajns skibskiste en tilståelse af mangeårig skatteunddragelse. I stedet for at betale skat havde han gravet den sparede skat ned på en ø, som det senere lykkedes den danske skatteminister at lokalisere. Den flade sandø var imidlertid ændret meget af store bølger, så det var ikke helt nemt at følge den eneste instruktion, man havde fundet i den gamle kiste: Vi gik fra broen på det store næs hen til den nærmeste af øens brønde og gik så stik til højre lige så langt og satte her et flag. Senere gik vi fra broen hen til den anden brønd, hvor vi så gik lige så langt stik til venstre og satte endnu et flag. Midt mellem flagene nedgravede vi skatten. På øen var der ikke noget spor efter anløbsbroen, men der var rester efter de to gamle brønde, som i mellemtiden var blevet fyldt med saltvand. Kan skatteministeren få fat i skatten, når han ved, at hvis han graver mere end to steder, så risikerer han at blive hængt ud i pressen? Figur 10. Skatteøen. 1 Eksperimentel geometri 27

28 OPSAMLING PÅ KAPITEL 1 1) I begyndelsen af dette kapitel stod fire punkter om, hvad målet med kapitlet var. Genlæs dem, og skriv for hver af dem nogle linier, der opsummerer essensen, og gør notater om det, du evt. mangler at få hold på. 2) Prøv specielt, hvad angår det første punkt, om du helt konkret kan konstruere et oplæg til, at en elev i 5. klasse selv begiver sig ud i en eksperimentel geometrisk undersøgelse. En idé kunne være at lade eleven tegne en trekant i et dynamisk geometriprogram, bruge en funktion i programmet, der beregner areal og få et mål på arealet. Så skulle eleven trække toppen af trekanten frem og tilbage, uden at arealet ændrer sig synderligt. Derefter kunne eleven på tilsvarende vis flytte toppen til en række positioner hvor arealet er dobbelt så stort som før. 28 GEOMETRI KLASSE

29 2 LOKALISERING, AFSTAND OG BEVÆGELSE BISHOPS KULTURELLE FÆNOMENOLOGI I dette kapitel ser vi på, hvad der inden for det felt, der i matematikken går under betegnelsen analytisk geometri, skal til for at kunne begå sig i verden. Vi søger inspiration hos den engelsk-australske matematikdidaktiker, Allan Bishop, der har arbejdet med matematik som kulturelt fænomen (Bishop, 1991). Han stiller sig spørgsmålet, om matematikundervisning kan blive en form for kulturindføring, og hvad der i givet fald skal til, for at den bliver det. Udgangspunktet for disse spørgsmål er, at han grundlæggende opfatter matematik som en videreudvikling af nogle kulturelle aktiviteter, som kan genfindes i samfund verden over. Der er tale om seks aktivitetstyper: at tælle, at lokalisere, at måle, at designe, at spille (lege) og at forklare. Forskellige kulturer har udviklet forskellige måder at håndtere disse aktiviteter på. For geometris og målings vedkommende er der udviklet forskellige måder at lokalisere på, dvs. at orientere sig og placere sig selv eller andre genstande i det fysiske rum. Bishops argument er, at matematik, herunder geometri, er vokset ud af disse aktiviteter. Imidlertid er undervisningen i faget ofte blind for de ræsonnementer, den åbenhed og den udvikling, der ellers kendetegner fagets vækst fra relativt uformelle måder at engagere sig i sådanne aktiviteter på, til videnskabsfagets mere formelle matematik. Udfordringen er derfor at 2 Lokalisering, afstand og bevægelse 29

30 udvikle en matematikundervisning, der på den ene side relaterer til de aktiviteter, som matematik (herunder geometri) kommer fra, og på den anden side orienterer eleverne mod de resultater og forståelser, der er resultatet af den kulturelle udvikling. Det kræver, siger Bishop, at matematikundervisning ikke bare er at undervise i matematik, dvs. at præsentere eleverne for nogle matematiske metoder og resultater. Man må også undervise om matematik, gennem matematik og med matematik (ibid., s. 3). Matematikundervisning må altså afspejle, at faget grundlæggende skal forstås som måder at videreudvikle sociale og kulturelt forankrede aktiviteter og som resultaterne af en sådan videreudvikling. Bishop foreslår, at den derfor skal indeholde tre grundlæggende og delvist overlappende elementer: Et symbolsk element, der fokuser på nogle begreber, som undervisningen kan organiseres i forhold til. For lokalisering i grundskolens yngste klasser drejer det sig fx om at orientere sig vha. retningsangivelser (nord, syd, øst, vest; højre, venstre; op, ned; frem, tilbage). For design er det fx karakterisering af former og kategorisering af objekter vha. af former, herunder udfoldninger. Og for måling er det kvalitative sammenligninger (hurtig, langsom; stor, lille; lang, kort). Imidlertid skal eleverne ikke bare præsenteres for disse begreber. Det er afgørende, at de udfører aktiviteter, der ligger bag de pågældende begreber for at støtte udviklingen af dem. Et samfundsorienteret element, der er projektbaseret, og som orienterer sig mod, hvordan matematik kan bruges. Sådanne projekter får muligvis en anden og mere tilbagetrukket placering med de alleryngste elever i skolen end senere i skoleforløbet. Et geometrisk eksempel for de indledende klassetrin kunne være at bede eleverne tegne deres egen bolig set fra oven uden tag. Det er ikke meningen, at disse projekter skal dække det faglige indhold, men at de skal være eksemplariske for de måder, matematik udvikles og anvendes på i samfundsmæssige sammenhænge. Et kulturelt element, der er undersøgelsesbaseret. Mens det symbolske element fokuserer på indholdet, og det samfundsorienterede element beskæftiger sig med den historiske og aktuelle baggrund for og brug af matematik, så beskæftiger det kulturelle element sig med udviklingen i matematikfaget selv. Ambitionen er i det små at efterligne matematisk forskningsarbejde. Der er, siger Bishop, to faser i de undersøgelser, han 30 GEOMETRI KLASSE

31 anbefaler. Først er der en kreativ fase, hvor man undersøger, opdager og opfinder sammenhænge. Dernæst er der en fase, hvor resultaterne formuleres og skrives op. Eleverne må, også i de små klasser, involveres i begge dele. Samlet giver Bishops forslag et bud på en undervisning i matematik, der forsøger at løse nogle af de problemer, der har præget undervisningen i geometri, og som vi har nævnt tidligere i dette kapitel. Inspireret af Bishops andet punkt vælger vi, at det centrale almenmenneskelige dannelsespotentiale i analytisk geometri kan beskrives med kapitlets overskrift: Lokalisering, afstand og bevægelse. Det stemmer godt med, at der i LU13 er et krav om, at de studerende i undervisningsfaget matematik skal arbejde med beskrivelser af positioner og retning. Målet er, at læseren efter arbejdet med dette kapitel: Kender til forskellige beskrivelser af lokalisering, herunder koordinatsystemet. Kan bestemme afstande mellem forskellige positioner i koordinatsystemet. Kan beskrive og regne på den retlinede bevægelse i et koordinatsystem. Blandt kompetencerne kommer ikke mindst repræsentationskompetencen, problembehandlingskompetencen og hjælpemiddelkompetencen i spil. LOKALISERING Hvis man kender en lang remse som alfabetet eller tælleremsen, er det let at finde på et system for præcis angivelse af lokalisering i én dimension, Tænk bare på placeringen af husnumre på en vej, ord i en ordbog eller punkter i en dagsorden, hvor tal og bogstaver ofte indgår i kombination. Til lokaliseringer i to dimensioner benyttes der en kombination af alfabet og tal på skakbrættet og i kortbøger som Kraks vejviser. Systemet bruges også i flere spil som fx Sænke slagskibe. Sådanne spil og lege er selvfølgelig gode forøvelser til det matematiske koordinatsystem, hvor begge dimensioner styres af tal. 2 Lokalisering, afstand og bevægelse 31

32 Øvelse 1 Der sættes 15 små ens kryds forskellige steder på tavlen. En person går uden lokalet for i nogle sekunder, mens de tilbageværende udpeger et af krydsene på tavlen som målet. Personen kommer ind, og en af de andre skal nu styre ham til så hurtigt som muligt at udpege målet. I kommunikationen må der hverken benyttes tal eller bogstaver, men kun helt almindelige danske ord. Øvelse 2 Det såkaldte skærmarbejde er velegnet til geometriske udfordringer. Der opsættes en skærm eller skoletasker mellem to elever eller to grupper elever, der skal forklare hinanden noget med geometrisk indhold uden at kunne vise hinanden tegninger eller fagter. To gange to studerende, hold A og hold B kan prøve et skærmarbejde: 1. Hold A sætter en grøn, en rød og en sort prik på et stykke A4-papir. Hold B starter med et stykke blankt A4-papir og skal nu sætte tre prikker i akkurat samme positioner, hvilket senere bliver evalueret ved at lægge de to stykker papir oven på hinanden, for at se om prikkerne om ikke dækker hinanden så i al fald lapper ind over deres respektive makkere. 2. Holdene skifter rolle. 3. Skærmen tages ned, og man udveksler idéer til, hvordan man kan udvikle et sikkert kommunikationssystem til denne type opgave. 4. Til sidst konkurrerer de forskellige par af hold mod hinanden på tid. Man bør forinden blive enige om de præcise betingelser for, hvordan det vindende hold/kommunikationssystem udpeges. Koordinatsystemer Inden læseren udfordres med nogle øvelser om lokalisering i koordinatsystemet, vil vi kort genopfriske den vigtigste sprogbrug vedr. koordinatsystemet. I det sædvanlige, retvinklede koordinatsystem (det kartesiske koordinat- 32 GEOMETRI KLASSE

33 system 1 ) benyttes to talakser med fælles nulpunkt, akserne står vinkelret på hinanden og har lige store enheder. x-koordinaten for et punkt P findes ved at nedfælde den vinkelrette fra punktet til den ene akse (kaldet førsteaksen, x-aksen eller abscisseaksen, oftest tegnet vandret). Dette fodpunkt har en talværdi x på denne talakse. Tilsvarende findes en talværdi y på den anden akse (kaldet andenaksen, y-aksen eller ordinataksen, oftest tegnet lodret). Punktet tildeles derefter koordinaterne (x,y). Punktet (0,0) kaldes begyndelsespunktet eller origo. Øvelse 3 Lav en tegning, hvor du illustrerer de forskellige elementer fra teksten ovenfor. 1) Hvordan kan du ved et blik på koordinaterne (a,b) til et punkt afgøre om punktet ligger på x-aksen eller på y-aksen? 2) Tegn et koordinatsystem på et stykke papir med centimeter som enhed. Hold papiret helt fast på bordet fx med tape og anslå skønsmæssigt koordinaterne til de fire hjørner af bordet. 3) Find i samme koordinatsystem de skønsmæssige koordinater (x,y,z) for din næse, idet (x,y) angiver de plane koordinater for punktet på bordet lodret under din næse og z angiver højde af din næse over bordet. Hvis du sidder på gulvet, kan næsen være placeret under bordets plan, og det angiver man med en negativ værdi for z. 4) Begrund, at man med et sådant tredimensionelt koordinatsystem har sprog til at kunne angive placeringen af ethvert objekt i universet. Bemærk, at man i det fuldt udbyggede koordinatsystem benytter de reelle tals talakse, og dermed har negative tal med. Et sådant koordinatsystem dækker en uendelig stor plan, og ethvert punkt i en flad verden får sit eget koordinatsæt. Tager man som i øvelse 3 en lodretstående z-akse med, så kan man angive placeringen af ethvert objekt i universet. Hermed må formålet med at finde et godt værktøj til at angive lokalisering siges at være opfyldt. I 1 Kartesisk for at hædre ophavsmanden René Descartes, hvis navn på latin lød Renatus Cartesius. 2 Lokalisering, afstand og bevægelse 33

34 skolen er der dog tradition for at holde sig til to dimensioner, så vi bevæger os kun undtagelsesvis i tre dimensioner. AFSTAND MELLEM TO PUNKTER Man kan ret let udregne afstanden mellem to punkter, hvis lokalisering er angivet med koordinater. Det centrale værktøj her er Pythagoras Sætning: I en retvinklet trekant med siderne a, b og c, hvor c er siden, der ligger over for den rette vinkel, gælder:. Øvelse 4 1) I en retvinklet trekant er a = 6 og b = 8. Vis, at c = 10. 2) I en retvinklet trekant er c = 26 og b = 24. Vis, at a = 10. 3) Find afstanden mellem A(0,0) og B(6,8). 4) Find afstanden mellem A(10,10) og B(16,18). Øvelse 5 I et koordinatsystem ligger en ligesidet trekant ABC med A(-7,-3), B(3,-3) og punktet C beliggende over x-aksen. Find afstanden AC. Find koordinaterne for C. Øvelse 6 Et kvadrat ABCD i et koordinatsystem har hjørnerne A(0,4), B(3,0) og C(7,3). Bestem ved tegning og aflæsning koordinaterne for hjørnet D. Hvad er sidelængden i kvadratet og diagonallængen? 34 GEOMETRI KLASSE

35 Øvelse 7 Prøv, om du på baggrund af Pythagoras sætning kan opstille en generel formel for afstanden mellem de to punkter A(x 1,y 1 ) og B(x 2,y 2 ). Start med at indtegne de to punkter i et koordinatsystem og find frem til en passende retvinklet trekant, der knytter de to punkter sammen, og som du kan bruge til at udvikle din formel. Øvelse 8 Prøv at forklare, at midtpunktet mellem to punkter A(x 1,y 1 ) og B(x 2,y 2 ) er givet ved. Undersøgelse 1 Med computeren er der mange muligheder for at arbejde interaktivt med koordinatsystemet og lokalisering. På hjemmesiden National Library of Virtual Manipulatives 2 kan man fx finde en sammensmeltning af koordinatsystemet og et sømbræt. Klik på feltet Geometry; 3 5 og vælg fra listen Geoboard Coordinate. Programmet GeoGebra er et meget stærkt redskab til at arbejde med lokalisering og koordinater. I GeoGebra kan man få vist både gitter og koordinatsystem på tegneblokken. I Algebra-vinduet kan man bl.a. se punkters koordinater og ligninger for linjer. Der er også en særskilt menu, som giver mulighed for bl.a. at måle hældninger og afstande. Man kan også angive et punkts koordinater direkte i Input, hvorefter punktet dukker op i tegningen. Programmet giver på den måde mulighed for at arbejde med koblingen mellem den geometriske repræsentation af punkter, linjer m.m. og deres repræsentation i den analytiske geometri med koordinater, hældninger o.lign. 2 lokaliseret februar Lokalisering, afstand og bevægelse 35

36 Find på små oplæg til konkrete opgaver, som elever kan udforske ved hjælp af GeoGebra, fx træning af forholdet mellem punkt og koordinat eller en linjes placering og dens ligning. Overvej, om programmet både kan bruges af yngre og ældre elever. Prøv, om du kan finde spil på Internettet, som kan understøtte elevernes arbejde med koordinatsystemet og lokalisering. Udveksl dine spilfund med andre på holdet. Diskuter, hvad eleverne kan lære af de spil, du finder? BEVÆGELSER I vores fortolkning af den indledende analytiske geometri har lokalisering stået i fokus. Det næste problem er, at der er to lokaliteter, og vi skal finde ud af, hvordan vi så skal bevæge os for at komme fra det ene sted til det andet? Retninger I øvelse 1 skulle I få en medstuderende til ret hurtigt at bevæge sig hen til målet blandt de 15 kryds på tavlen. En af metoderne til at beskrive en bevægelse bygger på de fire verdenshjørner NSØV: Gå i 10 minutter stik vest og drej derefter til højre og hold kursen mod nord, indtil I kommer til landevejen. Men NSØV kan også bruges på en tavle eller på et bord, idet traditionen (i Danmark) er at vælge N opad på tavlen og fremad på bordet. En mere nuanceret retningsangivelse fås, når man halverer vinklen mellem N og Ø. Hvis man går i den retning kaldes den nordøst og angives NØ. Man kan yderligere ønske at gå midtvejs mellem N og NØ, hvilket kaldes nord-nordøst og skrives NNØ. Hvis man har brug for endnu mere præcise retningsangivelser, så benyttes som regel en cirkel med 360 grader som grundlag for diverse måleinstrumenter. Kompasset med gradmål er det mest udbredte, indtil det en dag helt er afløst af smartphones, der både kan vise retninger og positioner (GPS). I en hurtig praksis kan fingerbredder anvendes til fx at finde ud af forskellen i grader mellem retningerne til de to bageste stjerner i Karlsvognen. Man holder højre arm udstrakt med fingerne stående vinkelret op, og så tæller man simpelthen, hvor mange fingre der skal til at udfylde vinklen mellem 36 GEOMETRI KLASSE