Matematik i sammenhæng med dysleksi

Transkript

1 Matematik i sammenhæng med dysleksi Lislotte Krogshøj - Mogens Iversen - Hanne Brandt

2 Forord I forbindelse med undervisning i matematik på Ordblindeinstituttet kan vi konstatere, at en del af vore elever klarer matematikken helt tilfredsstillende, til gengæld er der også en del, som har vanskeligheder, som tilsyneladende ikke blot skyldes vanskeligheder med at læse teksten. På ordblindeinstituttet har der aldrig været undersøgelser, som belyser, hvordan vores elever egentlig klarer sig i matematik. I litteraturen (Lunde, 1999), (Malmer og Adler, 1996) 0g (Malmer, 1998) peges der på, at der er eller kan være en sammenhæng mellem matematikvanskeligheder og læsevanskeligheder. Ifølge en svensk undersøgelse drejer det sig om ca. 12 % af en elevårgang, der både har læsevanskeligheder og matematikvanskeligheder. (Magne, 1997) Fra vores ansøgning om puljemidler til udviklingsarbejde: PROJEKTETS FORMÅL. Kort beskrivelse af problemstillingen: Internationale undersøgelser viser, at 60 % af alle ordblinde har vanskeligheder med matematik. Danske resultater peger også på denne sammenhæng. Der findes ingen teoretiske arbejder, hvor årsagerne til denne sammenhæng er afdækket, selv om fagfolk og undervisere er enige om at den eksisterer. Vi ønsker systematisk at undersøge denne sammenhæng for elever på Ordblindeinstituttet. Endvidere ønsker vi at få klarhed over, hvilke grundlæggende vanskeligheder eleverne har med henblik på at undersøge om der er tale om et tydeligt mønster. Dette kan føre til udvikling af et evalueringsmateriale. KORT RESUME AF PROJEKTETS INDHOLD: I projektet vil vi opstille en screening og anvende den til en systematisk afdækning på vores elever for at finde ud af hvilke grundlæggende matematiske færdigheder de ikke magter. Vi vil overveje, hvilke årsager der kan ligge bag, sammenhængen med deres øvrige vanskeligheder samt hvad der evt. kan gøres. Vi vil undersøge, om elevernes matematiske udvikling går trinvis, (lige som det i andre udviklingsarbejder er beskrevet i stavning, læsning og til dels skrivning), og i givet fald arbejde på, hvordan disse trin kan stilles op. Lislotte Krogshøj Mogens Iversen Hanne Brandt

3 Indholdsfortegnelse Hvordan opfattes matematikvanskeligheder/dyskalkuli side 3 Beskrivelse af projektet side 6 1. Grundlæggende færdigheder side 7 2. Analyse i læseforståelse i problemløsning side 8 Resultaterne Grundlæggende færdigheder FG5 side 9 Søjlediagram FG5 alle skoler, alle klassetrin side 11 OI s resultater i FG 5 sammenlignet med skole2 side 23 Opsamling side 28 Analyse i læseforståelse i problemløsning ALP3 side 29 Fortegnelse over ord og udtryk, der forekommer i ALP3 side 30 ALP3-opgaver, hvor ord og udtryk markeret er med rødt side 31 ALP3 diagrammer for alle skoler, alle klassetrin side 33 Analyse i læseforståelse i problemløsning ALP4 side 41 Fortegnelse over ord og udtryk, der forekommer i ALP4 side 42 ALP4-opgaver, hvor ord og udtryk markeret er med rødt side 43 ALP4 diagrammer for alle skoler, 6. klassetrin side 45 Analyse i læseforståelse i problemløsning ALP5 og 6 side 47 Fortegnelse over ord og udtryk, der forekommer i ALP5 og 6 side 48 ALP5-opgaver, hvor ord og udtryk markeret er med rødt side 49 ALP6-opgaver, hvor ord og udtryk markeret er med rødt side 51 ALP5 diagrammer for alle skoler, 7. klassetrin side 53 ALP6 diagrammer for alle skoler, 8. klassetrin side 55 Opsamling side 57 Læse- og skrivevanskeligheder og læring i matematik - model fra NCM rapporten oversat til dansk side 58 Litteratur og web steder side 59 Bilag: Fælles mål, matematik faghæfte 12, UVM side 71 (netudgave) side 60 FG5 forside side 62 Analyse af læseforståelse i problemløsning (ALP)-en artikel side 63 i Nyt om Ordblindhed, nr. 36, april 2003 af Tove Tobiesen. NCM-rapport 1 (2001 ) taget fra rapporten: Hög tid för matamatik side 66 NCM-rapport Model (original udgave) side 77 Kommentarer til modellen side 78

4 Hvordan opfattes matematikvanskeligheder/dyskalkuli? Følgende i kursiv er citeret, oversat og klippet fra Studenter med specifikke lese,- skrive og matematikkvansker Udtrykket matematikvanskeligheder betegner at eleven er stagneret eller gået tilbage i relation til normal faglig udvikling. Matematikvanskeligheder betegner altså et brud på den jævne og kontinuerlige faglige udvikling som de fleste elever følger (Ostad, 1990) I tråd med dette, ikke at kunne matematik eller have vanskeligheder med at lære matematik. Man siger at eleven har indlæringsvanskeligheder i matematik eller behov for specielt tilrettelagt undervisning. Karakteristiske træk ved sådanne indlæringsvanskeligheder er problemer med kvantitativ læring, problemer med spatiale relationer (rumopfattelse), visuel perception, symbolopfattelse, sprog og kommunikationsfærdigheder, hukommelse, finmotorisk færdighed og kognitive strategier (Lerner, 1997) I Danmark er der i de senere år kommet øget opmærksomhed på vanskeligheder i matematik og for første gang omtales matematikvanskeligheder i faghæfte 12, matematik Fællesmål 2003 (Bilag ) Udtrykket dyskalkuli anvendes ikke i den forbindelse men medtages her, da Danmark siden 1995 har anvendt WHO s diagnoseliste (ICD-10) og denne liste indeholder blandt andet diagnosen talblindhed: Den matematiske evne, målt med standardiserede test, skal være tydeligt lavere, end man kan forvente ud fra begavelse og udannelse. Desuden skal vanskelighederne være så store, at de begrænser individet i forhold til arbejde, uddannelse og dagligt liv. Dyskalkuli er sat sammen af et græsk forled og et latinsk efterled, og betyder mangelfuld regneevne (akalkuli = helt talblind). Men regnefærdigheden er bare et redskab, et middel indenfor matematikken. Matematikken omfatter også talforståelse, målinger, geometri, algebra og problemløsning. Almindeligvis anvendes dyskalkuli med en udvidet betydning og omfatter hele matematikfaget. Begrebet er et medicinsk orienteret begreb som beskriver en alvorlig vanskelighed med at lære og anvende matematik. Begrebet er analog dysleksi og associeres med en dysfunktion i centralnervesystemet. Meget af den tidligere forskning som omhandler matematikvanskeligheder, var koncentreret om regnefærdigheder(aritmetik) inden for de fire regningsarter. I dag opfattes matematikken som et redskab til at udforske verden omkring sig, for at sortere, systematisere og kategorisere forskellige observationer erfaringer og indtryk og for at finde forklaringer på naturgivne sammenhænge. Matematik er videnskab, kunst, håndværk, sprog og redskab. Nyere forskning behandler faget på en langt mere omfattende måde end tidligere. Når vi i dag bruger begrebet matematikvanskeligheder, er det vigtigt at være klar over denne vide opfattelse af, hvad matematikvanskeligheder er.

5 Vi ved meget lidt om årsagen til at en elev har mangelfuld evne til indlæring i matematik. Almindeligvis bruges 4 forskellige forklaringsmodeller. (Engström, 1999) 1. Medicinske/neurologiske - Fokus rettes her mod elevens kognitive funktion og hvordan disse er knyttet til centralnervesystemet. Matematikvanskelighederne opfattes som et resultat af elevens indre miljø- den kognitive produktion. Det drejer sig om hvordan information bearbejdes i hjernen, bl.a. funktioner som hukommelse, opmærksomhed og forestillingssystemer. 2. Psykologiske forklaringen søges i manglende indsats/ motivation eller koncentrationsvanskeligheder hos eleven, i angst (præstationsangst og holdninger til faget) eller i andre kognitive vanskeligheder, f.eks. tankestrategier og lignende. Det kan også siges således at elevens ydre miljø påvirker det indre miljø, således at der opstår vanskeligheder. 3. Sociologiske - miljøfaktorer, dvs. eleven kommer fra et understimuleret miljø og har ikke de nødvendige læringsforudsætninger i form af erfaringer og sprogfærdigheder. Det ydre miljø har medført at læringsforudsætningerne mangler eller er utilstrækkelige og må læres først. Elevens indre miljø fungerer for så vidt ok. 4. Didaktiske - dårlige eller forkerte undervisningsmetoder, ensidig færdighedstræning mv. Dyskalkuli defineres også som et resultat af en dysfunktion eller forstyrrelse indenfor følgende områder: aktivitet, opmærksomhed, udholdenhed, motorisk kontrol. Abstrakt tænkning er central når det drejer om matematik, specielt på de højere klassetrin. Man ved at angst reducerer evnen til abstrakt tænkning. Mange forskere er optaget af elevernes selvopfattelse, angstniveau og holdning til faget matematik som årsag til vanskelighederne. (Magne, 1997) Dårlige sproglige forudsætninger nævnes også som en årsag til matematikvanskeligheder. Så meget mere at det matematiske sprog i sig selv kan være vanskeligt. Matematikkens sprog består f.eks. af særlige fagudtryk der kun forekommer i matematik: summen, brøk, rumfang, eller at en del ord får en anden betydning når det drejer sig om matematik, end i hverdagen. F.eks. funktion, udfald, rette(vinkler), forskellen. Her et par eksempler med opmærksomheden henledt på forholdsord: Renten nedsættes til 4 %., Renten nedsættes med 4 %., Renten nedsættes fra 4 %. Endelig skal nævnes at problemregning er kendetegnet ved anvendelse af mange bydeformer: beregn, omregn, angiv, aflæs, vis, afmærk, som er langt fra hverdagsproget. Problemregning har en høj informationstæthed. eksemplerne er hentet fra folkeskolens afgangsprøve Havhestens fart ved forskellige vindretninger er afbildet med blåt på figur 1. Eller viden om verden Vikingeskibe skibstekniske begreber: Dybgang, skibsfundene, udgravningsfelt.

6 Matematikvanskeligheder er også blevet set som en følgetilstand af dårlige læse/skrivefærdigheder (Malmer & Adler, 1996; Miles & Miles, 1992) det kan være en af årsagerne til, at der ikke er fokuseret på matematikvanskeligheder i samme grad som i som læse/skrivefærdigheder. Sproglige færdigheder er en væsentlig faktor ved læse/skrive færdigheder og der er derfor rimelig grund til at antage at dette også gælder ved matematikfærdigheder. Enkelte forskere mener også at den matematiske forståelse direkte kan påvirke den sproglige færdighed. (Hembree, 1992) Kendetegnene på vanskelighederne er stort set de samme uanset hvilken teori der anvendes. Skal der skelnes mellem dem, er der behov for omfattende diagnostiske hjælpemidler. Matematiske færdigheder er komplekse og består af en række delfærdigheder, og vanskelighederne kan vise sig på forskellige måder. Ofte ser vi at vanskelighederne opstår som et samspil mellem flere af disse forhold. Derfor vil det være galt at fokusere på en eller nogen af forklaringsmåderne. Vi ser således elever der mestrer dele af matematikfaget godt, men har store vanskeligheder indenfor andre områder. Den opfattelse som i dag er mest dominerende, er at matematikvanskeligheder er en multi-faktuel indlæringsvanskelighed som opstår i samspillet mellem elevens indlæringsforudsætninger og matematikkens indhold og undervisningsform (Magne, 1999) Med andre ord kan det dreje sig om specielle egenskaber hos eleven som forudsætter en speciel indlæringsmåde, uden at det skal betegnes som en skade eller en dysfunktion. En ændret undervisningsform eller ændret indhold i matematikundervisningen kan være afgørende for om eleven får betegnelsen indlæringsvanskeligheder eller ej. Det er områder vi i dag ved lidt om, men det forudsætter i alle tilfælde en grundig udredning af eleven og fleksibilitet i undervisningen (Lunde, 1997) Nyere forskning tyder på at der er fælles læringsforudsætninger i norsk og matematik. Nogen gange vil det vise sig som læse/skrive vanskeligheder, nogen gange som matematikvanskeligheder og nogen gange som begge dele. Det vil være forhold ved den enkelte elev, ved undervisningen og de sociale rammer som afgør det.(hembree, 1992; Ostad, 1996:Lunde m.fl., 1999).

7 Beskrivelse af projektet I forordet til denne rapport citerer vi fra vores ansøgning projektets formål og indhold. Ordblindhed beskrives bl.a. som: Vanskeligheder med sprog-/læseforståelse Vanskeligheder med at huske bogstaver og tal Vanskeligheder med at lære tabeller og løse matematikopgaver Vanskeligheder med arbejdshukommelsen Derfor besluttede vi at screene alle eleverne på Ordblindeintituttet indenfor følgende områder: 1. Grundlæggende aritmetiske færdigheder, -primært de fire regningsarter 2. En analyse af læseforståelse i problemløsning. Samtidig kontaktede vi to folkeskoler hvis elever skulle bruges til sammenligning med eleverne fra Ordblindeinstituttet. Klassetrin/antal elever OI Skole1 Skole 2 5. klasse klasse klasse klasse klassetrin deltog ikke Vores undersøgelse blev foretaget sidst på skoleåret og eleverne på folkeskolerne var i gang med folkeskolens afgangsprøve. Vi er os helt bevidste om, at det lille antal elever i vores undersøgelse betyder, at resultaterne ikke er statisk valide. Men resultaterne peger på områder, som vi må tage højde for i vores undervisning, vi må udvikle metoder og arbejdsmåder, som kvalificerer vore elevers matematikkompetence.

8 1. Grundlæggende færdigheder Til screening i grundlæggende færdigheder anvendte vi FG5 uanset elevernes klassetrin, vel vidende at standardiseringen kun er gældende for 5. klassetrin. Ønsket om at have mulighed for at sammenligne færdigheder på tværs af klassetrin på Ordblindeinstituttet, fandt vi derimod interessant. Forfatterne til prøven: Merete Andersen, Kim Foss Hansen og Poul Erik Jensen. Færdigheder Grundlæggende for 5. klassetrin er en del af et diagnosticerende materiale, udarbejdet for børnehaveklassen til 10. klasse. Opgaverne er lukkede og kontekstfri. Stort set alle opgaver lægger op til anvende simple færdigheder i rutinemæssige opstillinger. Opgavetypen er lukket, og der lægges ikke op til at eleverne kan vise, hvilken proces/strategi der ligger i deres løsningsforslag. Således må aktiviteten betegnes som ren symbolmanipulation. Materialet er standardiseret. FG5 indeholder 19 opgaver, 5 med addition, 3 med subtraktion, 4 med multiplikation, 3 med division, 1 opgave med brøk, 1 geometri opgave med 3 spørgsmål og to opgaver med omsætning. (Bilag ) Ved hver opgave er angivet et lethedstal. Det angiver hvor mange procent af normgruppen der har regnet den pågældende opgave rigtigt. Jo højere lethedstallet er, desto flere elever vil almindeligvis have løst opgaven korrekt. I vejledningen til FG5 står bl.a.: Hvis en elev ikke har løst en opgave, der har et højt lethedstal, ved man, at her er der en opgave, som de fleste elever i 5. klasse kan løse, hvorfor man bør overveje, om der er særlige forhold omkring den aktuelle elev, som man bør iagttage i den kommende undervisning, Hvis en elev ikke har løst en opgave, der har et lavt lethedstal, ved man, at her er der en opgave, som de færreste elever i 5. klasse kan løse. Det er således at forvente, at kun ganske få elever løser den pågældende opgave korrekt.

9 2. Analyse af læseforståelse i problemløsning ALP-testen er en screeningstest som afdækker færdigheder i afkodning, læseforståelse og matematiske grundbegreber og matematisk-logisk tænkning. Den er udviklet af Gudrun Malmer, der har været lektor på Lärarhögskolan i Malmø. Testen består af 8 opgavesæt med hver 10 opgaver af stigende sværhedsgrad. ALP 1-5 kan bruges fra de første klassetrin til 7. klasse. ALP 6-8 kan anvendes fra klasse og til voksne. Testen er ikke standardiseret, og lærere opfordres til at vurdere opgaverne ud fra elevernes aktuelle færdigheder. Til opgaverne stilles spørgsmål på tre niveauer. A: Afkodning af ord B: Fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer. C: Logiske slutninger og sammensatte regneoperationer. Opdelingen i simple og sammensatte regneoperationer kan defineres ved, at den simple regneoperation, B-opgaverne, involverer forholdet mellem to talstørrelser, mens komplekse regneoperationer, C-opgaverne, vil kræve udregninger i flere trin og større grad af sproglig forståelse. I lærervejledningen er opgavesættet tænkt anvendt til: ALP 1: skoleår, ALP 4: skoleår, ALP 7-8: skoleår ALP 2: skoleår, ALP 5: skoleår, ALP 6-8: voksne elever ALP 3: skoleår, ALP 6: skoleår For at have mulighed for direkte at sammenligne alle elever, blev alle elever testet med ALP 3, samt den ALP test der hører til elevens aktuelle klassetrin. Af hensyn til Ordblindeinstituttets elever overførte vi opgaverne til computer så de kunne benytte oplæsningsprogram. De øvrige elever fik opgaverne på papir. Da vi primært ønskede, at teste elevernes problemløsningsfærdigheder valgte vi at eleverne måtte benytte hjælpemidler som lommeregner og tabelark. ALP testen er omtalt af Tove Tobisen i Nyt om Ordblindhed nr. 36, april 2003 (Bilag) Forhandles af Norsk/Svensk Bogimport, Esplanaden 8B, 1263 Kbh. K

10 FG5. På de følgende sider ses Ordblindeinstituttet, Skole 1 og Skole 2 s resultater indsat i søjlediagrammer. Der er et diagram for hvert af de færdighedsområder som FG5 afdækker. Addition følgende færdigheder testes: Opgave F1 - addition af to 3-cifrede tal med tierovergang ( i alle tre positioner). Opgave F2 - addition af et 3-cifret tal med et 2-cifret med to tierovergange (i enere- og i tierpositionen). Opgave F3 - addition af to 4-cifrede decimaltal med 1 decimal. Tierovergang i tiendedels-positionen. Opgave F4 - addition af et 4-cifret decimaltal (2 decimaler) med et 3-cifret decimaltal (2 decimaler). Tierovergang i i ener-, tiendedels- og hundrededels-positionen. Opgave F5 - addition af et 2-cifret decimaltal (1 decimal) med et 4-cifret decimaltal (2 decimaler). Tierovergang i ener- og tiendedels-positionen. Subtraktion følgende færdigheder testes: Opgave F6 - subtraktion af et 3-cifret tal fra et 3-cifret med omvendt tierovergang (i tier- og ener-positionen). Opgave F7 - subtraktion af et 2-cifret decimaltal (1 decimal) fra et 2-cifret decimaltal (1decimal) med omvendt tierovergang. Opgave F8 - subtraktion af et 3-cifret decimaltal (2 decimaler) fra et 3-cifret decimaltal (1 decimal) med omvendt tierovergang i ener-, tiendedels- og hundrededels-positionen. Multiplikation følgende færdigheder testes: Opgave F9 - multiplikation af to 2-cifrede tal. Opgave F10 - multiplikation af et 2-cifret tal (forskelligt fra 10) med 10. Opgave F11 - multiplikation af et 2-cifret tal (forskelligt fra 10) med 100. Opgave F12 - multiplikation af et 1-cifret tal med et 2-cifretdecimaltal (1 decimal). Division & brøk følgende færdigheder testes: Opgave F13 - opløsning af et 2-cifret produkt i 2 faktorer, hvor den ene er kendt. Opgave F14 - division af et 2-cifret tal med et 1-cifret (resultat helt tal). Opgave F15 - division af et 3-cifret tal med et 1-cifret (resultat helt tal). Opgave F16 - kendskab til, hvad 2/3 er. Vinkler som tester: Opgave F17A, F17B & F17C - kendskab til gradmåling Omsætning som tester: Opgave F18 - omsætning af kg og g til kg. Opgave F19 - omsætning af km og m til km.

11 I diagrammet kan man sammenholde resultater for OI s elever med resultater for elever fra to andre folkeskoler (geografisk forskellige). Desuden kan man sammenholde klassernes/årgangenes score med den enkelte opgaves lethedstal. FG5 5. klasse alle skoler s FG5 6. klasse alle skoler s FG5 7. klasse alle skoler s FG5 8. klasse alle skoler s

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25 På denne opgørelse sammenholdes de enkelte opgavers lethedstal med OI s og Sk2 s score på alle klassetrin I skemaet er point-tallet indskrevet i de opgaver, hvor der er en større difference end 10 mellem lethedstallet og OI-scoren. De færdighedsområder hvor OI s elever har problemer er markeret med OP (=opmærksomhedskrævende) Færdigheder Grundlæggende FG 5 - dansk psykologisk forlag Addition Lethedstal & 5.kl 6.kl 7.kl 8.kl beskrivelse af opgaven OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 Opgave F1 Lethedstal 86 Tester addition af to 3- cifrede tal med tierovergang ( i alle tre positioner). Opgave F2 Lethedtal 89 Tester addition af et 3-cifret tal med et 2-cifret med to tierovergange (i enere- og i tierpositionen). Opgave F3 Lethedstal 76 Tester addition af to 4- cifrede decimaltal med 1 decimal. Tierovergang i tiendedels-positionen. Opgave F4 Lethedstal 72 Tester addition af et 4-cifret decimaltal (2 decimaler) med et 3-cifret decimaltal (2 decimaler). Tierovergang i i ener-, tiendedels- og hundrededels-positionen. Opgave F5 Lethedstal 52 Tester addition af et 2-cifret decimaltal (1 decimal) med et 4-cifret decimaltal (2 decimaler). Tierovergang i ener- og tiendedelspositionen. OP OP OP OI s elever har opmærksomhedskrævende resultater (OP) på følgende områder: Addition på 5. klassetrin Subtraktion på alle klassetrin Multiplikation på klassetrin Division på alle klassetrin Markant forskel fra andre skoler Brøk på 7. og 8. klassetrin Gradmåling på 5. klassetrin OP 44 90

26 Omsætning på klassetrin

27 På denne opgørelse sammenholdes de enkelte opgavers lethedstal med OI s og Sk2 s score på alle klassetrin I skemaet er point-tallet indskrevet i de opgaver, hvor der er en større difference end 10 mellem lethedstallet og OI-scoren. De færdighedsområder hvor OI s elever har problemer er markeret med OP (=opmærksomhedskrævende) Færdigheder Grundlæggende FG 5 - dansk psykologisk forlag Subtraktion Lethedstal & beskrivelse af opgaven Opgave F6 Lethedstal 64 Tester subtraktion af et 3- cifret tal fra et 3-cifret med omvendt tierovergang (i tierog ener-positionen). Opgave F7 Lethedstal 69 Tester subtraktion af et 2- cifret decimaltal (1 decimal) fra et 2-cifret decimaltal (1decimal) med omvendt tierovergang. Opgave F8 Lethedstal 31 Tester subtraktion af et 3- cifret decimaltal (2 decimaler) fra et 3-cifret decimaltal (1 decimal) med omvendt tierovergang i ener-, tiendedels- og hundrededelspositionen. 5.kl. 6.kl. 7.kl 8.kl OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OP OP OP OP OI s elever har opmærksomhedskrævende resultater (OP) på følgende områder: Addition på 5. klassetrin Subtraktion på alle klassetrin Multiplikation på klassetrin Division på alle klassetrin Markant forskel fra andre skoler Brøk på 7. og 8. klassetrin Gradmåling på 5. klassetrin Omsætning på klassetri

28 På denne opgørelse sammenholdes de enkelte opgavers lethedstal med OI s og Sk2 s score på alle klassetrin I skemaet er point-tallet indskrevet i de opgaver, hvor der er en større difference end 10 mellem lethedstallet og OI-scoren. De færdighedsområder hvor OI s elever har problemer er markeret med OP (=opmærksomhedskrævende) Færdigheder Grundlæggende FG 5 - dansk psykologisk forlag Multiplikation Lethedstal & beskrivelse af opgaven Opgave F9 Lethedstal 28 Tester multiplikation af to 2-cifrede tal. Opgave F10 Lethedstal 82 Tester multiplikation af et 2-cifret tal (forskelligt fra 10) med 10. Opgave F11 Lethedtal 80 Tester multiplikation af et 2-cifret tal (forskelligt fra 10) med 100 Opgave F12 Lethedtal 50 Tester multiplikation af et 1-cifret tal med et 2- cifretdecimaltal (1 decimal). 5.kl. 6.kl. 7.kl. 8.kl OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OP 0 14 OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OI s elever har opmærksomhedskrævende resultater (OP) på følgende områder: Addition på 5. klassetrin Subtraktion på alle klassetrin Multiplikation på klassetrin Division på alle klassetrin Markant forskel fra andre skoler Brøk på 7. og 8. klassetrin Gradmåling på 5. klassetrin Omsætning på klassetrin

29 På denne opgørelse sammenholdes de enkelte opgavers lethedstal med OI s og Sk2 s score på alle klassetrin I skemaet er point-tallet indskrevet i de opgaver, hvor der er en større difference end 10 mellem lethedstallet og OI-scoren. De færdighedsområder hvor OI s elever har problemer er markeret med OP (=opmærksomhedskrævende) Færdigheder Grundlæggende FG 5 - dansk psykologisk forlag Division Lethedstal & beskrivelse af opgaven Opgave F13 Lethedstal 86 Tester opløsning af et 2- cifret produkt i 2 faktorer, hvor den ene er kendt. Opgave F14 Lethedstal 79 Tester division af et 2-cifret tal med et 1-cifret (resultat helt tal). Opgave F15 Lethedstal 55 Tester division af et 3-cifret tal med et 1-cifret (resultat helt tal). 5.kl. 6.kl. 7.kl. 8.kl. OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OP OP OP 9 52 OP OP OP OP OP OP OP OP Brøk Lethedstal & beskrivelse af opgaven Opgave F16 Lethedstal 71 Tester kendskab til, hvad 2/3 er. 5.kl. 6.kl 7.kl 8.kl. OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OP OP OI s elever har opmærksomhedskrævende resultater (OP) på følgende områder: Addition på 5. klassetrin Subtraktion på alle klassetrin Multiplikation på klassetrin Division på alle klassetrin Markant forskel fra andre skoler Brøk på 7. og 8. klassetrin Gradmåling på 5. klassetrin Omsætning på klassetrin

30 På denne opgørelse sammenholdes de enkelte opgavers lethedstal med OI s og Sk2 s score på alle klassetrin I skemaet er point-tallet indskrevet i de opgaver, hvor der er en større difference end 10 mellem lethedstallet og OI-scoren. De færdighedsområder hvor OI s elever har problemer er markeret med OP (=opmærksomhedskrævende) Færdigheder Grundlæggende FG 5 - dansk psykologisk forlag Vinkler Lethedstal & 5.kl. 6.kl. 7.kl. 8.kl. beskrivelse af opgaven OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 Opgave F17 A Lethedtal 44 Tester OP kendskab til Opgave F17 B Lethedtal 48 gradmåling OP Opgave F17 C Lethedstal 60 OP Omsætning Lethedstal & beskrivelse af opgaven Opgave F18 Lethedtal 3 Tester omsætning af kg og g til kg Opgave F19 Lethedstal 55 Tester omsætning af km og m til km 5.kl. 6.kl. 7.kl. 8.kl. OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OI Sk2 OP OP OP OP OP OI s elever har opmærksomhedskrævende resultater (OP) på følgende områder: Addition på 5. klassetrin Subtraktion på alle klassetrin Multiplikation på klassetrin Division på alle klassetrin Markant forskel fra andre skoler Brøk på 7. og 8. klassetrin Gradmåling på 5. klassetrin Omsætning på klassetrin

31 Opsamling - FG5 Ved følgende færdighedsområder: - addition vanskeligheder kun for 5. klasses elever - subtraktion - klares stort set uproblematisk - multiplikation vanskeligheder for 5., 7, og 8. klasse elever - division - vanskeligheder alle klassetrin - brøker vanskeligheder 7. og 8. klassetrin - vinkler vanskeligheder kun på 5. klassetrin ( eleverne har endnu ikke arbejdet med vinkler ) - omsætning vanskeligheder på og 8. klassetrin 6. klasse på OI klarede sig generelt godt. De klarede FG5 bedre end både 7. og 8. klasse. Resultaterne viser, at en stor del af OI s elever har markante vanskeligheder i færdighedsprøven FG5, som bruges i slutningen af 5. klasse. Som det fremgår af skemaerne på de foregående sider, bliver OI s resultater sammenholdt med lethedstal og Skole 2. Konklusion: Vores undersøgelse af elevernes grundlæggende færdigheder viser tydeligt, at en hel del af Ordblindeinstituttets elever udover vanskeligheder med læsning og stavning også har vanskeligheder i færdighedsregning.

32 ALP Analyse i læseforståelse i problemregning. ALP 3. På de følgende sider ses ord & udtryk kaldet problemudtryk i ALP 3. Disse er indsat i et skema, hvor der med rødt er markeret i hvilke opgaver OI s elever har vanskeligheder. side 30 De tekstudtryk som volder OI s elever vanskeligheder, har vi markeret med rødt i testen ALP 3. side Søjlediagrammer som viser OI s elevers score i ALP 3 (alle klassetrin) sammenlignet med eleverne fra skole 1 og skole 2 s score. side 33 40

33 Fortegnelse over ord og udtryk der forekommer i ALP 3 (alle klassetrin) Til opgaverne stilles der spørgsmål på tre niveauer. A. : afkodning af ord B. : fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer C. : logiske slutninger og sammensatte regneoperationer I kolonnerne med klasseangivelse er der med rødt markeret, hvilke udtryk der formentlig har givet problemer på de enkelte klassetrin, specielt for OI s elever.. Det ses tydeligt at OI s elever har vanskeligheder, når de skal fortolke ord og udtryk og drage logiske slutninger. I ALP3-opgaverne på de efterfølgende sider er problemudtryk markeret med rødt. Se desuden søjlediagrammerne på side Ord og udtryk ALP 3 opgavenr.: 5. kl. 6.kl. 7.kl. 8.kl ældre end 1 1b/c 1b/c 1c 1b/c yngre end 1 1b/c dyrere 7 7b 7b 7c høj 6 6a højest 6 6b lavere 6 6c 6c mindre end 9 9b 9b dobbelt så gammel 3 3c 3c 3c halvt så gammel 3 dobbelt så mange 2 2b/c halvt så meget 4 4b/c lige (så) mange b 8b/c 8b tilbage 5-7 7c tilsammen b/c 5b, 9c, 9c 10b sidste (år) 6 6b pr. kilogram 4 hver 5-8 8c 8c 8c vokset 6 fra begyndelsen 7 i starten (indsat af os) 10 10c 10c MÅLEENHEDER: år (forekommer i mange opgaver) kr cm 6 kg 4

34 Gudrun Malmer: Analyse af Læseforståelse i Problemløsning. 3 ALP Navn: 1. Lisa er 15 år og 3 år yngre end Klaus. Men Klaus er 10 år ældre end lillesøster Emma. A Hvor gammel er Lisa? år B Hvor gammel er Klaus? år C Hvor gammel er Emma? år 2. I en klasse er der 8 drenge og dobbelt så mange piger. A Hvor mange drenge er der i klassen? drenge B Hvor mange piger er der i klassen? piger C Hvor mange elever er der i kassen? elever 3. Jonas er 16 år. Peter er halvt så gammel. A Hvor gammel er Jonas? år B Hvor gammel er Peter? år C Hvor gammel bliver Jonas, når Peter bliver dobbelt så gammel som han er nu? år 4. 1 kg æbler koster 8 kr. 1 kg kartofler koster halvt så meget. A Hvad er prisen pr. kg for æbler? kr B Hvor meget koster 1 kg kartofler? kr C Hvor meget koster 1 kg æbler og 2 kg kartofler? kr 5. Mor har bagt 35 boller. Petra og Rolf fik 4 boller hver. A Hvor mange boller har mor bagt? stykker B Hvor mange boller fik børnene tilsammen? stykker C Hvor mange boller var der så tilbage? stykker

35 Navn: 6. Johan er nu 143 cm høj. Han er vokset 6 cm siden sidste år. Kurt er højest i klassen og 156 cm høj. A Hvor høj er Johan nu? cm B Hvor høj var Johan sidste år? cm C Hvor meget er Johan nu lavere end Kurt? cm 7. Bent har 42 kr. Han køber et blad for 22 kr og en pose slik for 8 kr. A Hvor mange penge havde Bent fra begyndelsen? kr B Hvor meget er bladet dyrere end slikposen? kr C Hvor mange penge har Bent tilbage? kr 8. Rikke er sammen med tre andre piger. I en skål er der 12 æbler, som pigerne deler, så de får lige mange hver. A Hvor mange æbler ligger der i skålen? æbler B Hvor mange piger deler æblerne? piger C Hvor mange æbler får de hver? æbler 9. Anders har 60 kr. Elvira har 25 kr. mindre end Anders har. A Hvor mange penge har Anders? kr B Hvor mange penge har Elvira? kr C Hvor meget har de tilsammen? kr 10. Ved slutningen af spillet havde Jonas 30 kugler og Lise 20 kugler. Ved spillets start havde de lige mange kugler hver. A Hvor mange kugler havde Lise ved spillets slutning? kugler B Hvor mange kugler havde de tilsammen? kugler C Hvor mange havde Jonas i starten? kugler

36

37

38

39

40

41

42

43

44 ALP Analyse i læseforståelse i problemregning. ALP 4. På de følgende sider ses ord & udtryk kaldet problemudtryk i ALP 4. Disse er indsat i et skema, hvor der med rødt er markeret i hvilke opgaver OI s elever har vanskeligheder. side 42 De tekstudtryk som volder OI s elever vanskeligheder, har vi markeret med rødt i testen ALP 4. side Søjlediagrammer som viser OI s elevers score i ALP 4 (6.klasse) sammenlignet med eleverne fra skole 1 og skole 2 s score. side 45 46

45 Fortegnelse over ord og udtryk der forekommer i ALP 4 aldersrelaterede opgaver for 6. klasse Til opgaverne stilles der spørgsmål på tre niveauer. A: afkodning af ord B: fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer C: logiske slutninger og sammensatte regneoperationer I nedenstående skema er der i kolonnen med klasseangivelse med rødt markeret, hvilke udtryk der formentlig har givet problemer på dette klassetrin, specielt for OI s elever.. Det ses tydeligt at OI s elever har vanskeligheder, når de skal fortolke ord og udtryk og drage logiske slutninger. I ALP4-opgaverne på de efterfølgende sider er problemudtryk markeret med rødt. Se desuden søjlediagrammerne på side_43-44 Ord og udtryk ALP 4 opgavenr.: Udtryk i opg.: OI-elever 6. kl. yngre end 6 billigere end 2 2.b lang 10 høj 10 mere 4 dobbelt så gammel 8 8b/c dobbelt så mange 5 lige (så) mange 7 lige dyre 1 halvdelen 9 tredjedel b/c 10b/c resten sidste (år) 10 forskellen i vægt 4 fem gange 3 hver 7 vokset 10 fra begyndelsen 4 MÅLEENHEDER: år (forekommer i mange opgaver) kr. 1 2 cm 10 kg 4

46 Gudrun Malmer: Analyse af Læseforståelse i Problemløsning. 4 ALP Navn: 1. Anna betaler 40 kr. for fire lige dyre kager. A Hvor meget betaler Anna? kr B Hvor meget koster en kage? kr C Hvor meget koster seks sådanne kager? kr 2. Ina har 100 kr. Hun ser på sololie som koster 79 kr., og en sæbe som koster 29 kr. A Hvor mange penge har Ina? kr B Hvor meget er sæben billigere end sololien? kr C Er der penge til begge dele? Ja eller nej 3. Axel er 9 år. Hans mor er 38 år. Hans far er lige nu fem gange så gammel som Axel. A Hvor gammel er Axels mor? år B Hvor gammel er Axels far? år C Hvor gammel var mor, da Axel blev født? år 4. Karin er 9 år og vejer 29 kg. Hendes far vejer 50 kg mere. Hendes mor vejer 66 kg. A Hvor meget vejer Karin? kg B Hvor meget vejer Karins far? kg C Hvor stor er forskellen i vægt hos forældrene? kg 5. I en have stod der 11 frugttræer. Af dem var to blommetræer. Af resten var der dobbelt så mange æbletræer som pæretræer. A Hvor mange frugttræer var der i haven? stykker B Hvor mange var æbletræer? stykker

47 C Hvor mange var pæretræer? stykker

48 Navn: 6. Farmor er 68 år og 5 år yngre end farfar. Da Ole blev født var farmor 60 år. A Hvor gammel er farmor? år B Hvor gammel er farfar? år C Hvor gammel er Ole? år 7. Af 20 boller spiste Lisa og Per hver to. Resten af bollerne blev pakket i to poser med lige mange i hver pose. A Hvor mange boller var der fra begyndelsen? boller B Hvor mange boller spiste Per og Lisa? boller C Hvor mange boller kom der i hver pose? boller 8. Peter er nu 16 år. For 4 år siden var han dobbelt så gammel som Lis var dengang. A Hvor gammel er Peter nu? år B Hvor gammel var Lis for 4 år siden? år C Hvor længe varer det før Lis bliver 16 år? år 9. I en skål er der 12 frugter. Halvdelen er æbler. En tredjedel er pærer og resten bananer. A Hvor mange frugter ligger der i skålen? frugter B Hvor mange af dem er pærer? pærer C Hvor mange af dem er bananer? bananer 10. Jonas er 11 år. Han er nu 150 cm høj og er vokset 12 cm siden sidste år. Som nyfødt var han en tredjedel så lang som han er nu. A Hvor gammel er Jonas? år B Hvor høj var Jonas da han var 10 år? cm C Hvor lang var Jonas som nyfødt? cm

49

50

51 ALP Analyse i læseforståelse i problemregning. ALP 5 og 6. På de følgende sider ses ord & udtryk kaldet problemudtryk i ALP 5 og 6. Disse er indsat i et skema, hvor der med rødt er markeret i hvilke opgaver OI s elever har vanskeligheder. side 48 De tekstudtryk som volder OI s elever vanskeligheder, har vi markeret med rødt i testen ALP 5. side De tekstudtryk som volder OI s elever vanskeligheder, har vi markeret med rødt i testen ALP 6. side Søjlediagrammer som viser OI s elevers score i ALP 5 (7. klasse) sammenlignet med eleverne fra skole 1 og skole 2 s score. side Søjlediagrammer som viser OI s elevers score i ALP 6 (8.klasse) sammenlignet med eleverne fra skole 1 og skole 2 s score. side 55 56

52 Fortegnelse over ord og udtryk, der forekommer i ALP 5 aldersrelaterede opgaver til 7. kl. & ALP 6 aldersrelaterede opgaver til 8. kl. Til opgaverne stilles der spørgsmål på tre niveauer. A : afkodning af ord B: fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer C: logiske slutninger og sammensatte regneoperationer I kolonnerne med klasseangivelse er der med rødt markeret, hvilke udtryk der formentlig har givet problemer på de enkelte klassetrin, specielt for OI s elever. Det ses tydeligt at OI s elever har vanskeligheder, når de skal fortolke ord og udtryk og drage logiske slutninger. I ALP5 og 6-opgaverne på de efterfølgende sider er problemudtryk markeret med rødt. Se desuden søjlediagrammerne på side_51-54 Ord og udtryk ALP 5 opgavenr.: ALP 6 opgavenr.: Udtryk i opg.: OI-elever 7. kl. Udtryk i opg.: OI-elever 8. kl. ældst - næstældst ældre/tilsammen 7 7b/c yngre - yngst 9 9b billigere 4 flere end 10 10c 1 1c færre end 10 10b dobbelt så meget 1 halvt så meget 3 3a/b/c.gange 2 2b/c halvt så mange 10 halvdelen - halv halvvejen 6 6b fjerdedel 6 6c pr. kilogram/kilopris b/c 4b/c lang - høj b langt - bredt a/c side 8 rundt om (omkreds) 9 9c areal 8 8c kvadrat 8 8b rummer 5 5b fra begyndelsen 8 8c 10 10c årstal 9 9b/c tilbage efter (indsat af os) 8 8b MÅLEENHEDER kr cm 2 9 9b/c meter - km kg b hg - gram 7 7 7c liter - dl 5 5 5b/c 5

53 kvadratmeter (m 8 8c

54 Gudrun Malmer: Analyse af Læseforståelse i Problemløsning. ALP 5 Navn: 1. 1 kg æbler koster 6 kr. 1 kg pærer koster dobbelt så meget. A Hvad er prisen pr. kg for æbler? kr B Hvor meget koster 1 kg pærer? kr C Hvor meget koster 1 kg pærer og 3 kg æbler? kr 2. Bodils mormor er 65 år. Lige nu er hun 5 gange så gammel som Bodil. A Hvor gammel er Bodils mormor? år B Hvor gammel er Bodil? år C Hvor gammel vil mormor være, når Bodil bliver 20 år? år 3. I en pose er der 60 perler. Af dem er halvdelen hvide. Af resten er der lige mange røde, gule og grønne perler. A Hvor mange perler er der i posen? stykker B Hvor mange perler er hvide? stykker C Hvor mange grønne perler er der i posen? stykker 4. Et par jeans koster 240 kr. En skjorte er 70 kr. billigere. A Hvor meget koster et par jeans? kr B Hvor meget koster skjorten? kr C Er 400 kr nok til begge dele? Ja eller nej 5. Anna har 4 liter saft. Saften hældes på flasker, som hver rummer en halv liter. A Hvor mange liter saft har Anna? liter B Hvor mange dl rummer hver flaske? deciliter C Hvor mange flasker kan Anna fylde med saft? flasker

55 Navn: 6. Emma har en snor, som er 20 m lang. Hun klipper en fjerdedel af. A Hvor lang er hele snoren? m B Hvor mange meter klipper hun af? m C Hvor mange meter er der så tilbage af snoren? m 7. Tora og hendes to år ældre søster Pia er tilsammen 20 år gamle. A Hvor gamle er søstrene tilsammen? år B Hvor gammel er Tora? år C Hvor gammel vil Pia være om 5 år? år 8. Ole havde 24 kugler. Han spillede med Rasmus og tabte 6 kugler. Derefter havde drengene lige mange kugler. A Hvor mange kugler havde Ole fra begyndelsen? kugler B Hvor mange havde han tilbage efter at han tabte til kugler Rasmus? C Hvor mange kugler havde Rasmus fra begyndelsen? kugler 9. Åges farfar er født i Hans farmor er 5 år yngre. Åge blev født da farmor fyldte 50 år. A Hvilket år er Åges farfar født? År B Hvilket år er Åges farmor født? År C Hvilket år er Åge født? År 10. I Ninas klasse er der 25 elever. I Mikkels klasse er der to elever flere end i Ninas, men i Eriks klasse er der to elever færre end i Ninas klasse. A Hvor mange elever er der i Ninas klasse? elever B Hvor mange elever er der i Eriks klasse? elever C Hvor mange elever er der i de tre klasser? elever

56 Gudrun Malmer: Analyse af Læseforståelse i Problemløsning. ALP 6 Navn: 1. På en skolerejse deltog fire voksne og 42 elever. Af eleverne var der ti piger flere end drenge. A Hvor mange elever var der med på skolerejsen? elever B Hvor mange personer deltog i rejsen? personer C Hvor mange elever var drenge? drenge 2. Et bræt er 165 cm langt. Jan vil have hylder, som hver skal være 50 cm lange. A Hvor langt er brættet? cm B Hvor mange hylder kan Jan lave af brættet? hylder C Hvor meget blev der tilbage af brættet? cm 3. 1 kg æbler og 1 kg ferskner koster 18 kr. Kiloprisen for æbler er halvt så meget som for ferskner. A Hvor meget skal man betale for frugten? kr B Hvor meget koster 1 kg ferskner? kr C Hvor meget skal man betale for 4 kg æbler og 2 kg ferskner? kr 4. Sonja har 50 kr. Hun køber 1½ kg bananer som koster 18 kr og 2 kg appelsiner, som koster 10 kr. for et kg. A Hvor mange penge har Sonja? kr B Hvor meget koster frugten i alt? kr C Hvor meget skal man betale for ½ kg bananer og et ½ kg appelsiner? kr 5. I en opskrift på risengrød til 4 personer står at man blandt andet skal bruge 2 dl risengryn, 4 dl vand og 6 dl mælk. A Hvor meget mælk skal der bruges til 4 personer? dl B Hvor meget risengryn skal der bruges til 8 personer? dl C Hvor meget vand skal der bruges til 6 personer dl

57

58 Navn: 6. Kurt har 800 m til skolen. En morgen måtte han vende om, da han havde gået præcis halvvejen, for at hente en bog. A Hvor lang vej har Kurt til skolen? m B Hvor langt måtte han gå den morgen? m C Hvor lang blev hans skolevej(både til og fra skolen)? Svar i kilometer og meter! km m 7. En plade chokolade på 250 g koster 25 kr. A Hvor meget vejer chokoladepladen? g B Hvor mange plader skal du købe, hvis du vil have et plader helt kg chokolade? C Hvad er prisen på 100 g chokolade? kr 8. Peter har købt 24 m trådnet til en hundegård. Han vælger at lave den i form af et kvadrat. A Hvor meget trådnet har Peter købt? m B Hvor lang bliver hver side? m C Hvor stor bliver hundegårdens areal? (skriv enhed) 9. Et bord er 140 cm langt og 80 cm bredt. A Hvor bredt er bordet? cm B Hvor lang skal dugen være, hvis den skal hænge 30 cm cm ned i hver bordende? C Hvor langt skal et bånd være, hvis det skal nå rundt om hele bordet? cm 10. Efter at Sara har givet Berit 50 frimærker, har hun 250 tilbage. Men Berit har da kun halvt så mange som Sara havde fra begyndelsen. A Hvor mange frimærker har Sara? stykker B Hvor mange havde Sara fra begyndelsen? stykker C Hvor mange havde Berit fra begyndelsen? stykker

59

60

61

62

63 Opsamling vedrørende ALP-prøverne På niveau A, hvor opgaven primært er afkodning af ord ses meget få problemer. På niveau B, hvor eleverne skal fortolke ord og udtryk samt udføre simple regneoperationer, ses vanskeligheder for OI s elever, især på 7. og 8. klassetrin. På niveau C, hvor eleverne skal fortage logiske slutninger og udføre sammensatte operationer, ses også vanskeligheder på 7. og 8. klassetrin. OI s elever på 6.klassetrin klarer også ALP-prøverne betydeligt bedre end de øvrige end eleverne på de andre klassetrin. Resultaterne fra FG5, færdighedsprøverne viste, at OI s elever havde vanskeligheder med færdighedsregning. For at dette ikke skulle have indflydelse på ALP-prøverne, benyttede elevernelommeregner. Vi henviser til side 30, 42 og side 48, hvor der er en fortegnelse over ord og udtryk, som forekommer i ALP

64 Sammenfatning: Vi har konstateret at en del af OI s elever har vanskeligheder med færdighedsregning. Vi mener også at kunne udrede at OI s elever har tydeligere vanskeligheder med ord og udtryk, ligesom kompleksiteten i sproget har indflydelse på deres problemløsningsfærdigheder, i de stillede opgaver. Når vi i ALP-opgaverne ser hvor problemerne melder sig tror vi, det er vigtigt: At der skal lægges mere vægt på den sproglige forståelse i matematik At eleverne skal lære selv at sætte ord på problemet At eleverne skal lære at visualisere såvel konkret som abstrakt At lommeregneren gøres til et aktivt hjælpemiddel i matematikundervisningen også i færdighedsregning når det gælder ordblinde elever At eleverne bør screenes en gang årligt med FG og MG At elever med opmærksomhedskrævende resultater, testes individuelt fx med matemetik for mig Afslutningsvis vil vi henlede opmærksomheden på vores forside, Gudrun Malmers matematik-hjul, der viser hvordan matematikundervisningen kan tilrettelægges, så det i højere tilgodeser ordblinde elever, der har vanskeligheder med matematik. De mange faktorer, der i samspil har betydning for god læseforståelse i matematik fremgår af modellen på næste side.

65

66

67

68 Litteratur og web steder: Adler, B.(2001): Vad er dyskalkyli? NU-Förlaget. Kriatianstad. Andersen, Michael Wahl m.fl ( 2001): Matematik for mig, Specialundervisning, Lærermappen, Alinea Andersen, Michael Wahl (2008) artikel: At læse i matematik, Læsepædagogen nr. 1, feb Andersen, Mickael Wahl.: Matematiske billeder. sprog og læsning - Dafolo Engström, A (1999): Specialpedagogiska frågeställningar i matematik. Arbeidsrapport nr. 2 Örebro Universitet. Geary, D. C. (2001): Matematcal Disabilities: What We Do and Don t Know Henderson, Anne (1998): Math for the Dyslexic: A Praktical Guide, David Fulton Publishes ltd. Lerner, J (997): Learning Disabilities Theories Strategies (6.ed.) Boston Houghton Mifflin Company. Lunde, O. (1997): Kortlægning og undervisning ve lærevansker i matematikk. Klepp st. Lunde, O (1999): Lærevansker i norsk og matematik. Refleksjoner. Magne (1997) Å plages av matematikkengstelse. Småskrift fra Birkelid. Malmer, G. & Adler, B (1996): Matematiksvårigheter og dyslexi. Studenterlitteratur. Lund. Malmer, G. (1997): Stavfel i matematiken svåre att upptäcka. Pedagogiske Magasinet nr Malmer, G. (1998): Matematik och dyslexi ett förstummat samband. DYSLEXI nr. 3, Årgang 3, 1998 Miles, T.R. & Miles, E (1992): Dyslexia and Mathematics. Routledge. London Johan Monro, (2004) Matematikvanskeligheder I, Læserapport 38, Landsforeningen af Læsepædagoger. Johan Monro, (2004) Matematikvanskeligheder II, Læserapport 39-udviklingsdyskalkuli, Landsforeningen af Læsepædagoger. Ostad, S., Ogden og Solheim (red)(1990): Hvorfor har barn matematikkvansker? Streiftog i ukjent landområde. Specialpedagogiske perspektiver. Universitetsforlaget. Oslo. (s ) Steiner, G og Lundberg, I (2001): Läs og skrivsvarigheter och l rende i matematik NCM rapport Steiner, G og Lundberg, I (2002): W.H.O.: The ICD-10 classification of mental and behavioural disorder. Clinical descriptions and diagnostic guidelines. Geneva Sprog og matematik matematikkens sprog, Temahæfte ( Hvad er ordblindhed --ordblindhed og matematik )

69 BILAG Matematik og specialundervisning Mellem 10 og 12% af eleverne i grundskolen har så store vanskeligheder med matematik, at de har brug for specialpædagogisk støtte; men over 15 % af eleverne har vanskeligheder ved at løse mere sammensatte opgaver i matematik. Den nyere forskning på området påpeger, at årsagerne til disse forhold først og fremmest er manglende viden blandt underviserne om, hvordan børn lærer matematik, og en matematikundervisning, der er meget traditionelt opbygget og organiseret med gennemgang, regning af opgaver og kontrol af facit, og som fortrinsvis er baseret på lærebøger og opgaveløsning. Den specialpædagogiske indsats tager tilsvarende ofte udgangspunkt i et bogligt materiale fra et lavere klassetrin og ikke en analyse af, hvad eleven kan og ikke kan. En hel del elever får således hjælp, uden den gør den helt store forskel. Som grundlag for en specialpædagogisk indsats benyttes ofte standpunktsprøver, der skal kortlægge elevens faglige niveau og afdække, hvilket fagligt udbytte eleven har fået af undervisningen. Her er det vigtigt yderligere at være opmærksom på den sammenhæng, der er mellem elevens lærer og faget matematik. Det er læreren, der udvælger og præsenterer stofområder og emner, og det er bl.a. på dette grundlag, den specialpædagogiske støtte tilrettelægges. Endelig er der samspillet mellem faget matematik og eleven. Det handler om, hvordan eleven tænker, når der skal tænkes matematik, hvilke kompetencer og færdigheder eleven magter at sætte i spil i forbindelse med løsning af et matematisk problem eller en matematisk problemstilling. Sammenhængen mellem elevens kompetencer og færdigheder og deres anvendelse og brugbarhed i forhold til virkelighedens verden og matematikkens verden er et kompliceret samspil, som stort set alle tests og mere systematiske undersøgelser med større eller mindre succes forsøger at kortlægge. Matematikvanskeligheder Hvis en elev ikke kan løse en given opgave eller løser den forkert, kan der være en række årsager hertil. Årsagerne kan fx være - ord, eleven ikke forstå - misopfattelse af problemet (problemstillingen) - rigtig opfattelse af problem, men en regnefejl i algoritmen - eleven ikke magter at omsætte problem til en algoritme, som han i øvrigt behersker - eleven kan omsætte problemet til en algoritme, men magter ikke algoritmen. Forholdet kompliceres yderligere af,

70 - at en for læreren ganske tilsvarende opgave kan have andre årsagsforhold liggende til grund for løsning eller ikke løsning - at eleven måske kan løse opgaven om mandagen, men ikke om tirsdagen. Det er således vanskeligt at afdække, og dermed arbejde systematisk med matematikvanskeligheder. O. Magne (Att lyckas med matematik i grundskolan, 1998) plæderer for et bredere syn på matematikvanskeligheder. Han tager udgangspunkt i tre forhold: elevens kognitive kompetence (måden at tænke på) elevens sociale kompetence elevens relation til matematik. I skolen er det ofte elevernes færdigheder, der er i fokus, og målet bliver nemt alene, at eleverne skal tilegne sig disse færdigheder. I læseplanen for matematik og i de bindende trinmål lægges der op til en mere sammensat forståelse af, hvad matematik er, og hvilken matematik eleverne skal kunne. Her er det vigtigt at medtænke elevernes tankemåder, indsigt og forståelse, som fx målene inden for områderne Matematik i anvendelse og Kommunikation og problemløsning angiver. Her er der tale om en mere konstruktivistisk tænkning, hvor eleverne selv og i samspil med andre opbygger deres viden og kunnen. Matematik bliver således (også) et redskab til at løse dagligdags problemer, til at forstå verden omkring en og forholde sig til hverdagsproblemer. Derfor er det vigtigt, at specialundervisningen i matematik bliver tilrettelagt sådan, at eleverne oplever en sammenhæng med deres dagligliv og den virkelighed, der omgiver dem.

71

72 nyhedsbrev nr. 36 Analyse af læseforståelse i problemløsning (ALP) Af Tove Tobiesen ALP-testen. ALP-testen er en screeningstest som afdækker færdigheder i afkodning, læseforståelse, matematiske grundbegreber og matematisk-logisk tænkning. Den er udviklet af Gudrun Malmer, der har været lektor på Lärarhögskolan i Malmö. Hun har mange års erfaringer med undervisning af elever med matematikvanskeligheder, og hun har skrevet en række bøger og artikler om emnet (se litteraturlisten). Testen består af 8 opgavesæt med hver 10 opgaver af stigende sværhedsgrad. ALP 1-5 kan bruges fra de første klassetrin til 7. klasse. ALP 6-8 kan anvendes fra klasse og til voksne. Testen er ikke standardiseret, og lærerne opfordres til at vurdere opgaverne ud fra elevernes aktuelle færdigheder. Til opgaverne stilles spørgsmål på tre niveauer. A: Afkodning af ord B: Fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer. C: Logiske slutninger og sammensatte regneoperationer. Opdelingen i simple og sammensatte regneoperationer kan defineres ved, at den simple regneoperation, B-opgaverne, involverer forholdet mellem to talstørrelser, mens komplekse regneoperationer, C-opgaverne, vil kræve udregninger i flere trin. De logiske slutninger afgør, hvor elegant eller kreativt man klarer en kompleks udregning. Gudrun Malmer anbefaler, at eleven har mulighed for at tegne eller skitsere problemstillingen og eventuelt lave udregninger, som en hjælp til at løse opgaverne. Eksempler fra ALP 1, opgave 3 og ALP 7, opgave 10 Lotte er 8 år og dobbelt så gammel som Peter. A-spørgsmålet: Hvor gammel er Lotte? år B-spørgsmålet: Hvor gammel er Peter? år C-spørgsmålet: Hvor gammel bliver Peter om 4 år. år Emma havde først tænkt sig 5 knapper i sin bluse. Afstanden mellem den første og den sidste knap skulle være 40 cm. Men hun bestemte sig til 6 knapper i stedet for 5. A-spørgsmålet: Hvor stor skulle afstanden være mellem den første og den sidste knap? cm

73 B-spørgsmålet: Hvor lang ville afstanden være mellem hver knap med 5 knapper? cm C-spørgsmålet: Hvor lang bliver afstanden med 6 knapper? cm Opgaveteksterne består af udsagn fra hverdagen, hvori indgår tal og matematiske udtryk. Til testmaterialet hører en liste over de ord og udtryk, der forekommer i testmaterialet. Her er eksempler fra ALP 1-4: ældre, yngre, dyrere, billigere, lang, længst, kortere, dobbelt så gammel, halvt så gammel, halvdelen, tredjedelen, fem gange, alle undtagen, både og, lige mange, mønter, hver, hver og en, samt udtryk for enhederne år, kr., cm, kg. Udtrykkene ser ret uskyldige ud, men dækker over komplekse betydninger, som skal tilegnes. På de første klassetrin kan det være hensigtsmæssigt, at svage læsere får læst opgaverne op, hvis man vil have et indtryk af deres færdigheder i problemløsning og talfærdighed. Min erfaring siger, at elever med ringe afkodningsfærdigheder godt kan klare ALP fejlfrit, hvis de får læst opgaverne højt. Testens opgaver giver mulighed for, at lærerne i dansk og matematik finder ud af, hvor eleven har sine styrker og vanskeligheder, og kan tilrettelægge undervisningen ud fra de individuelle forudsætninger, inden der opstår egentlige indlæringsproblemer. Elever med store vanskeligheder i bogstavindlæringen har især brug for at få tilgodeset deres færdigheder i sprogforståelse, matematik og problemløsning. Testen giver et overskueligt grundlag for en bedre forståelse af elevens færdigheder, både for eleven selv og for underviseren. Testen kan anvendes til screening af en hel klasse. Til testen hører en klasseoversigt, hvor i elevernes resultater kan indføres for eksempel med et pointsystem. Eleverne lærer af deres fejl De elever, der laver fejl, får chancen for rette fejl og finde ud af, hvad der er gået galt. Dette kan give både elev og lærer gode muligheder for at komme bag om løsningen af opgaven og tænke fremgangsmåder og metoder i opgaveløsningen. Ved testning af en enkelt elev eller en lille gruppe, får læreren gode muligheder for at iagttage elevernes arbejdsmetoder. Eleven kan også hurtigt få svar på eventuelle spørgsmål til opgaven, hvis der er brug for det. Den lille gruppe giver også gode muligheder for at efterbehandle opgaveløsningen i fællesskab. Og læreren kan få den nødvendige indsigt, der skal til for at styrke elevernes metakognition. I specialundervisning for voksne undervises i læsning, stavning og skrivning for ordblinde og i grundlæggende færdigheder i regning/ matematik. Også mennesker der erhverver sig en hjerneskade tilbydes undervisning med henblik på genopbygning af tale, læse- og skrivefærdigheder m.m. Erfaringer med testen viser, at opgaverne kan afdække væsentlige færdigheder og problemer også hos disse deltagere.

74 Det er min erfaring, at mange voksne med matematikvanskeligheder har meget svært ved at skitsere komplekse regneoperationer. Ofte bliver kladdepapiret brugt til at opstille regneopgaver. Tallene og udregningsprocedurer lukker på en eller anden måde af for problemløsningen, fordi de ikke har tilstrækkeligt overskud til at tænke sig om, men er henvist til at prøve at huske hvordan. Men undervisning i problemløsning kunne være en hjælp. Mange unge og voksne viser sig at have svært ved at forstå sammenhænge i opgaveteksten eller forstå spørgsmålet; de opdager det først, når opgaveløsningen er forkert. For dem er det meget oplysende at finde ud af, hvad der er gået galt, - men det sker først ved konfrontation med opgaver som fx i ALP, hvor facit er givet, og fejlkilden skal findes. Jeg tror, at ALP med en relativt lille investering i tid til screening kan bidrage til at kaste lys over elevernes færdigheder på en enkel, struktureret måde. Opmærksomhed på de sproglige komponenter i matematikken sammenholdt med elevernes færdigheder kan være en genvej til større forståelse og mere målrettet undervisning. Litteraturhenvisning Malmer, Gudrun (2002): Läse och lösa problem. Dokumentation fra 12. matematikbiennalen, s Malmer, Gudrun (1996): Matematiksvårighedet och dyslexi - et försummat samband. Dokumentation fra 9. matematikbiennalen, s Malmer, Gudrun (2000): Mindre räknende - mere tänkende. Dokumentation fra 11. matematikbiennale, s Malmer, Gudrun (1997): Kreativ Matematik. Ekelunds Förlag AB, Solna. Malmer, Gudrun (1999): Bra Matematik för alla. Studentenlitteratur, Lund Malmer, Gudrun (2002): Analys av Läsförståelse i Problemløsning, Lund. Malmer, Gudrun (2003): Analyse af læseforståelse i problemløsning. København.

75 NCM-RAPPORT 2001: Bilaga 3 Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik HÖG TID FÖR MATEMATIK NCM-RAPPORT 2001:1 GÖREL STERNER OCH INGVAR LUNDBERG Inledning I vårt samhälle behöver alla människor matematikkunskaper. Det kan handla om att kunna sköta sin hushållsbudget eller att utveckla den matematiska kompetens och problemlösningsförmåga som krävs i yrkeslivet. En förutsättning för ett aktivt deltagande i den demokratiska processen är också att man kan ta del av den omfattande samhällsinformation som ges med hjälp av matematik. Frågor om t ex ekonomi, miljövård och utbildning blir allt mer komplexa och svåra att hantera med bibehållna krav på demokrati och jämlikhet. Matematikundervisningens tidigare huvuduppgift att utveckla kunnande och färdighet i räkning har därför förskjutits till att utveckla ett bredare och djupare matematiskt kunnande som innebär god problemlösningsförmåga, att se sammanhang och att resonera sig fram till slutsatser (Emanuelsson & Johansson, 1997). Bruket av standard algoritmer för de fyra räknesätten har minskat, samtidigt som behoven av att kunna tolka och kritiskt granska tillämpad matematik i olika sammanhang har ökat. Genom tillgången till miniräknare och datorer har bruket och behovet av matematik som hjälpmedel för att beskriva situationer och förlopp, kommunicera och lösa problem förändrats. Matematikkunnande skall i dagens komplexa miljö bidra till själv för troende, kompetens och möjligheter till påverkan och utveckling. Matematikutbildningen i grundskolan och i gymnasieskolan ska också lägga grunden för yrkesliv, högre studier och för ett livslångt lärande. Bristfällig kompetens när det gäller matematik får allvarliga konsekvenser för individens möjligheter att fungera i ett allt mer symbolrikt samhälle och i ett allt mer digitaliserat yrkesliv. Därför är det ytterst angeläget att förstå bakomliggande faktorer för att man med pedagogiska insatser och en bättre anpassad undervisning ska kunna undanröja hindren. Basfärdigheter i svenska och matematik Skolverket fick i december 2000 i uppdrag av regeringen att genomföra en omfattande basfärdighetssatsning för att elever i grundskolan ska utveckla läskunnighet, skrivkunnighet och matematikkunskaper (U200473/DK). Skolverket påpekar att det inte är självklart vad detta innebär men framhåller att det enligt forskning är viktigt att lärande i basfärdigheter integreras i hela skolarbetet. De betonar samtidigt att särskilt barn och ungdomar med svårigheter inte utvecklas positivt genom isolerad färdighetsträning (Skolverket, Dnr 2000:3499). Den starka betoningen på språklig förståelse och kompetens som forskning idag anlägger på matematikämnet har bidragit till behovet av att utreda hur läs- och skrivsvårigheter kan påverka elevers lärande i matematik. Svenska och matematik har av tradition setts som två vitt skilda skolämnen. Matematikämnets förändrade innehåll har bidragit till att svenska och matematik nu kommit att framstå som två näraliggande ämnen, där elevernas språkliga utveckling är betydelsefull. I Kursplanen för matematik anges bland Mål att sträva mot att Eleverna inser värdet av och kan använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer och förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.

76 I en enkät som besvarats av 75 lärare som undervisar i svenska och matema tik i grundskolans årskurs 1 tom 6 bedömer lärarna att i genomsnitt 12 procent av eleverna har en kombination av läsoch skrivsvårigheter och matematiksvårigheter (Sterner & Lundberg, 2001). Om detta är en representativ bild kan det innebära att det är ett, uttryckt i absoluta tal, betydande antal elever i grundskolan som lärarna bedömer tillhör denna grupp. Samtidigt anser 2/3 av dessa lärare att deras egna kunskaper är bristfälliga när det gäller kombinationen av läs- och skrivsvårigheter och matematiksvårigheter. Detta är viktig bakgrunds information när man ska försöka reda ut vilket stöd och vilka åtgärder som skolan är i behov av för att kunna förbättra och utveckla under visningen för dessa elever. Forskning om läs- och skrivsvårigheter och matematiksvårigheter Det är uppenbart att somliga elever har särskilt stora svårigheter när det gäller att uppnåtillfredsställande matematisk kompetens och problemlösningsförmåga. En del av dessa svårigheter kan sannolikt hänföras till olyckliga omständigheter som brist på omsorg och språklig stimulans i tidigare skeden, eller till brister i undervisningen där man kanske gått för fort fram eller arbetat alltför ostrukturerat. Men det fi nns troligen också individuellt baserade hinder som gör att inlärningen tar längre tid och är extremt svår för en del elever. För att förstå detta måste man analysera de kognitiva och språkliga krav som matematiken innefattar och på vilket sätt den enskildes tillkortakommande gestaltar sig i ljuset av dessa krav. För att förstå hur läs- och skriv svårig heter kan påverka elevers begreppsbildning i matematik behöver vi veta något om vad det innebär att läsa och skriva. I rapporten Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lundberg, 2001) kommer en översikt av kunskaper beträffande sambandet mellan matematiksvårigheter och läs- och skrivsvårigheter att ges. Vi har funnit att forskningen ofta rör grundläggande aritmetik och lösning av textuppgifter, sk benämnda uppgifter. De fl esta studier är gjorda bland yngre elever i grundskolan. Trots dessa begränsningar har vi funnit intressanta resultat som har betydelse för fortsatta studier, utvecklingsarbeten och för utvecklingen av goda kompetensutvecklingsprogram för lärare och specialpedagoger. I grundskolans kursplan är det mycket tydligt att matematikkunskaper avser något mer än att kunna räkna. När man granskar forskning som rör läs- och skrivsvårigheter och matematiksvårigheter måste man ha detta breda perspektiv i åtanke. Det behöver i sig inte betyda att forskning som rör automatiseringsprocesser, arbetsminne och procedurkunskaper är irrelevanta eller ointressanta. Det är ofta så att en väl utvecklad taluppfattning och räkneförmåga också ackompanjeras av matematiska insikter och problemlösningsförmåga. Några faktorer som kan påverka skriftspråksinlärning och begreppsbildning i matematik En nybörjargrupp i skolan består av barn med olika bakgrund och erfarenheter. En del är trygga, lugna och nyfi kna. Många har redan kommit långt i sin läsutveckling och läser nästan fl ytande. Föräldrars dagliga högläsning har gett dem ett stort ordförråd och en känsla för skriftspråkets egenart. Många barn har också omfattande erfarenhet av matematik i sin vardag. De har lekt med räkneramsan, spelat spel där man fått räkna framåt och bakåt, löst problem med anknytning till matematik, t ex när de byggt med Lego. De är uppfyllda av entusiasm inför allt de ska få lära sig. Andra barn som kommer till skolan är otrygga, har ett litet ordförråd och mycket begränsade erfarenheter av skriftspråk och matematik. Lärarens uppgift är att ge alla barn det stöd och den stimulans de behöver.det kräver både kunskap och lyhördhet.

77 Forskning lyfter fram några faktorer som är viktiga för den grundläggande inlärningen både i läsning och i matematik. För att lära sig läsa och förstå vårt alfabetssystem måste barnen bli medvetna om att talade ord kan delas upp i mindre segment, fonem, och att dessa fonem kan föras samman till hela ord (Høien & Lundberg, 2000). För vuxna goda läsare kan detta te sig enkelt och oproblematiskt, men erfarna lärare vet att för några barn är det inte alls enkelt att nå fram till denna språkliga insikt och till att sådan kunskap blir automatiserad. På motsvarande sätt måste barnen komma till insikt om att tal går att dela upp i mindre tal och att dessa kan sammanföras till större tal. Att behärska grundläggande aritmetik är viktigt för att det underlättar utvecklingen av mer komplexa, matematiska kunskaper. Detta understryker betydelsen av att barnet med förtrogenhet lär sig hantera grundläggande aritmetik. Om elever tex inte automatiserar de tio bastalens olika kombinationer kan detta ställa till bekymmer när eleven ska handskas med större talområden (tex Neuman, 1989), vilket i sin tur har en negativ påverkan på vidare matematiklärande. För barns läsutveckling är det på motsvarande vis betydelsefullt att avkodningen blir automatiserad så att läsaren kan ägna sina mentala resurser åt läsförståelsen. Dyslexi och läs- och skrivsvårigheter De flesta västerlänningar som besöker storstäder i Japan eller Kina lär sig inte hur skrivsystemen fungerar genom att bara gå omkring och se på skyltar och anvisningar. För små barn finns det inte heller något naturligt och enkelt sätt att förstå vårt skrivsystem. Det räcker alltså inte med att bara se andra läsa eller att vistas i en miljö där bokstäver är rikligt förekommande. Alfabetet är ju en helt godtycklig mänsklig konstruktion. Att våra bokstäver råkar se ut som de gör är ingen tvingande natur nödvändighet utan bara en konvention, en överenskommelse i vår kultur. I andra kulturer kan det se helt annorlunda ut. En nybörjarläsare har ingen spontan grund för att förstå att ordet bok innehåller tre olika segment. Barnet hör en ljudmässig helhet. När ordet yttras tänker barnet direkt på ordets innebörd. Man kan inte utan vidare lyssna sig till ordets uppbyggnad. Samartikulationen gör att segmenten inte går att skilja från varandra. För att kunna läsa räcker det således inte med att bara kunna bokstäverna. Att snabbt uttala bokstavsnamnen ger inga ord det går inte ens med bokstavsljuden. Skriftspråkets kod kräver en djupare insikt av barnet. Det är avkodningen av de skrivna orden som är den stora utmaningen för nybörjaren. Vad står det här? frågar barnet. Barnet måste förstå att talade ord kan delas upp i mindre segment eller fonem. Att nå fram till de abstrakta, otillgängliga och svårfångade fonemen i ett ord är således inte en fråga om att bara lyssna man måste bli medveten om ordens uppbyggnad. En massiv forskning har under de senaste årtiondena demonstrerat att medvetenhet om ords uppbyggnad är en avgörande förutsättning för framgång i läs- och skrivinlärningen. Elever kan utveckla lässvårigheter av olika orsaker. Det kan t ex bero på ointresse och låg motivation, otillräcklig språklig stimulans, annat hemspråk än svenska eller en för ostrukturerad, kanske rent av bristfällig undervisning. Om dessa elever får en god och väl anpassad undervisning kan svårigheterna snart vara avhjälpta. Av någon anledning, som vi ännu inte helt förstår, tycks en del barn ha särskilt stora svårigheter att förstå ords uppbyggnad. Utan sådan förståelse går det inte så bra att lära sig läsa. Ibland blockeras barnen från att bli medvetna om ords uppbyggnad av den enkla anledningen att deras inre föreställningar om hur orden låter saknar detaljskärpa. Det hörs på deras diffusa uttal av många ord ( jogöbbe i stället för jordgubbe, källan i ställer för källaren, hårferschörska i stället för hårfrisörska, pogram i stället för program). De har heller inte lätt att skifta uppmärksamheten från vad ord betyder till hur de låter. Dessa barn har ett bristfälligt ordsinne, vilket inte behöver vara en fråga om dåligt förstånd eller bristfällig stimulans i hemmen. Det fi nns högt begåvade och kreativa människor som har denna förargliga brist på ordsinne. Barn som får stora svårigheter med

78 att lära sig läsa har alltså ofta en försenad och bristfällig utveckling av sitt sinne för språkljuden (fonologisk utveckling). Man talar här gärna om dyslexi, vilket är fråga om en viss läggning, ofta medfödd, som gör att det är svårt att bli vän med de skrivna orden. I nästan varje nybörjargrupp kan det fi nnas något barn med en sådan läggning. Om inte problemen är alltför stora kan en genomtänkt undervisning bana väg för dessa barn så att de förstår hur den alfabetiska koden är beskaffad och kan gå vidare i sin läsutveckling. Utan en sådan undervisning är det en stor risk att barnen tidigt drivs in i onda cirklar, där nederlag föder nya nederlag. Skriften blir hotfull, något som man helst skall försöka undvika. Men ju sämre talang man har för något, desto mer måste man öva för att uppnå god färdighet. Høien & Lundberg (1997) talar om primära och sekundära symptom i samband med dyslexi. Primära symptom är svårigheter med ordavkodning och stavning där den bakomliggande faktorn är en svikt i det fonologiska systemet. Sekundära symptom kan t ex ha att göra med läsförståelse, matematik, självbild eller socio-emotionella faktorer. Detta innebär naturligtvis inte att alla elever med dyslexi har en negativ självbild eller svårigheter med matematik etc. I forskning om grundläggande inlärning i läsning och matematik har man länge observerat att det fi nns likheter mellan dessa områden (bl a Geary, 1994; Kulak, 1993). Elevers förmåga att observera och fl exibelt handskas med de enheter som ingår i tal är av avgörande betydelse för att utveckla grundläggande taluppfattning (Geary, 1994; Neuman, 1989). När det gäller att lära sig att läsa finns det en liknande relation mellan delar och helheter i språket. Elever måste bli medvetna om att ord går att dela upp i mindre byggstenar, fonem (Lundberg, Frost & Petersen, 1988). Geary (1993) menar att elever som har dyslexi ofta också har be gränsningar i det auditiva minnet. Det är vanligt att de har svårt att segmentera språket och att hämta fram ord från långtidsminnet, vilket gör ordavkodningen mödosam. Elever med grundläggande aritmetiska svårigheter har ofta svårt att hämta talfakta i långtidsminnet. Geary menar att det kan fi nnas en gemensam faktor som förklarar sambanden mellan grundläggande aritmetiksvårigheter och lässvårigheter. Detta kan ha att göra med en underliggande funktion som tar sig uttryck i svårigheter att skapa inre representationer och hämta fakta från långtidsminnet. En genomtänkt och väl anpassad undervisning kan bana väg för dessa barn så att de förstår och kan hantera den alfabetiska koden och så att de utvecklar grundläggande taluppfattning. Forskning om grundläggande inlärning i matematik framhåller betydelsen av att elever utvecklar en god förståelse för de matematiska symbolernas funktioner (Mellin-Olsen, 1984; Miles & Miles, 1992; Chinn & Ashcroft, 1998). Chinn påpekar att för elever med dyslexi är det ofta just symbolhanteringen snarare än de matematiska begreppen som är problemet. I detta arbete använder vi begreppet lässvårigheter i samband med lässvårigheter i allmänhet dvs det kan då handla både om elever som har lässvårigheter relaterade till dyslexi och elever som har lässvårigheter av andra orsaker. När refererad forskningslitteratur talar om dyslexi, i ovan beskrivna betydelse, använder vi också begreppet dyslexi. Läsförståelse och textuppgifter i matematik Swanson, Cooney & Brock (1993) fann att de faktorer som bidrar mest till adekvata lösningar på skriftliga matematiska textproblem är elevers läsförståelse och deras kunskaper om olika räkneoperationer. Elevers tolkningar av en text kommer att bestämma vilka procedurer de väljer för att komma fram till en lösning, och också hur de värderar uppgiftens lösning. Mayer (1992) pekar på två komponenter som är särskilt viktiga för läsförståelse. Det ena är den semantiska förståelsen (förståelse av innebörder). I samband med textuppgifter i matematik krävs dessutom speciell kunskap om betydelsen av vissa speciella termer och uttryck som tex mer än, mindre än, tillsammans, proportionell, funktion, formel, likformig. Den andra viktiga komponenten är

79 representation av textens innehåll, dvs att läsaren kan göra sig inre föreställningar och skapa en mental modell av innehållet. God läsförståelse kräver att den information som ges i texten samordnas och integreras och att läsaren kan utnyttja de semantiska ledtrådar som ges i texten. Detta är problematiskt för elever med lässvårigheter (Høien & Lundberg, 2000). Om eleven inte uppfattar och samordnar information på ett lämpligt sätt kan detta leda till felaktiga val av procedurer och räknesätt. Betydelsen av detta gör sambanden mellan lässvårigheter och matematiksvårigheter kopplade till textuppgifter begripliga. Textproblem i samband med matematik innehåller dessutom ofta ett mycket komprimerat språk där många termer packas in på ett begränsat utrymme. I forskning framhåller man betydelsen av att särskilt elever som har läs svårigheter får en strukturerad och planmässig undervisning i läsför ståelse i samband med textuppgifter i matematik. Shuard & Rothery (1988) menar att en av de viktigaste uppgifterna för matematiklärare i grundskolan är att hjälpa eleverna att utveckla en god förmåga att läsa matematiktexter. De motsätter sig idéer som ibland förs fram om att både lärobokstexter och arbetsblad ska vara konstruerade så att elever med läs- och skrivsvårigheter kan undvika att läsa, eller läsa så lite som möjligt. Istället menar de att texterna ska vara konstruerade på sådant sätt att de hjälper eleverna att bli bättre läsare. Det innebär naturligtvis inte att man kan lämna denna svåra uppgift till eleverna själva. Det är lärarnas ansvar att skapa en väl strukturerad och genomtänkt undervisning som kan hjälpa eleverna att utveckla nödvändiga språkliga kompetenser genom gemensamma diskussioner och förklaringar kring det lästa. Man bör uppmuntra eleverna att både tala och skriva om den matematikkunskap de håller på att tillägna sig. Shuard & Rothery ger några riktlinjer för undervisning i läsför ståelse i samband med matematik. De föreslår att lärare som undervisar i matematik tar för vana att analysera språket i texten som eleverna ska arbeta med och att förbereda lämpliga samtal och aktiviteter för eleverna. Sådant arbete kan t ex innehålla: Läs texten högt tillsammans, med god intonation. Detta underlättar läsförståelsen för elever som inte automatiserat ordavkodningen. Diskutera hur bilder, diagram och annat grafi skt material samspelar med textens innehåll. Diskutera nya ord. Samtala om innebörder och försök hitta synonymer. Diskutera hur problemet som beskrivs är uttryckt i matematiska termer och symboler. Låt eleverna öva sig att förklara textens innehåll och översätta till egna formuleringar. Detta ger eleverna möjlighet att tolka uppgiften och avgöra vilka beräkningar som ska göras. Diskutera hur problemet kan analyseras och hur det kan angripas. Diskutera möjliga lösningar och svar samt hur de kan dokumenteras skriftligt. Diskussion i klassen eller gruppen kan föregås av att eleverna i par eller mindre grupper arbetar med att komma fram till förslag på lösningar och sätt att dokumentera. Diskutera alternativa sätt att uttrycka en förklaring eller en fråga. Grundläggande arbete i förskolan I och med att förskolan fått en egen läroplan som utgör första länken i barnens livslånga lärande, har man i offi ciella dokument tydliggjort förskolans roll och ansvar även inom området matematik. Målen för matematik är att förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang, och utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum. (Lpfö 98)

80 På många förskolor runt om i landet har man under senare år arbetat med strukturerad språkutveckling. Detta kan innehålla t ex rim och ramsor, högläsning, stavelselekar, ljudlekar och att barnen får lyssna på berättelser som de sedan återberättar. Syftet med detta språkliga arbete är att genom lustfyllda lekar och övningar hjälpa barnen att utveckla språklig medvetenhet innan de börjar med formell läsinlärning i skolan. Högläsning och samtal ska stimulera barnen att skapa inre bilder, integrera och samordna information, vidga sitt ordförråd och uppleva fantasi, lust, glädje och spänning. Detta är faktorer som också framhålls som viktiga för matematikinlärning. För många barn är det just språkaktiviteter av detta slag som kan förebygga senare läs- och skrivsvårigheter. Undersökningar visar att barn som kan vara i riskgruppen för att utveckla läs- och skriv svårigheter gynnas i särskilt hög grad (Lundberg, 1994; 1999). Utvecklingsarbeten som rör barns begreppsbildning i matematik finns beskrivna på flera håll. Där betonas att matematiken i förskolan inte är ett skolämne utan att det framför allt handlar om att barnens ska få er faren heter med anknytning till matematik. Leken är central i barnens lärande. Doverborg & Pramling Samuelsson (2000) beskriver hur små barn utvecklar sin matematiska förståelse genom att de vid återkommande tillfällen och i olika situationer får räkna antal och lösa problem. Barnens tankar, idéer och föreställningar tas till vara och en mångfald av situationer skapas, där barnen får möjlighet att erfara matematiska begrepp (Doverborg, 2000). Genom detta utvecklas deras matematikkunnande och deras nyfikenhet och lust att lära. En viktig fråga är hur förskolans arbete med språklig medvetenhet, berättelser, dikteringar och högläsning kan bidra till att också utveckla barns läsförståelse och möjlighet att se sammanhang och dra slutsatser i samband med muntlig och skriftlig problemlösning i matematik. Skolans inledande undervisning Ett utvecklat samarbete mellan förskola och skola kring barns skriftspråksinlärning och grundläggande inlärning i matematik skulle underlätta för lärarna att utgå från de erfarenheter och det kunnande som barnen har när de kommer till förskoleklassen och skolan. I den kommande rapporten ges många förslag på pedagogiska riktlinjer och konkreta idéer som kan användas i den grundläggande undervisningen. Inom forskning framhålls ofta mötet mellan elevers informella kunskaper och strategier vid problemlösning som de utvecklat utanför skolan och skolmatematikens krav på bestämda lösningsstrategier, som en kritisk punkt i elevers matematikinlärning (se tex Johnsen Høines, 1987). Över gången mellan informella och formella metoder kan påverka elevers attityder till matematik på ett negativt sätt om de upplever att de inte förstår. I forskningslitteraturen betonas att elever med dyslexi riskerar att misslyckas med grundläggande inlärning i matematik om symbolerna förs in för tidigt (Henderson, 1998). Malmer (1999) föreslår att man i nybörjarundervisningen väntar med symbolerna och inriktar arbetet mer på att låta eleverna använda sig av konkret handling, att t ex rita bilder och utföra dramatiseringar för att utveckla matematisk kompetens. Detta skulle i hög grad gagna elever som riskerar att utveckla läsoch skrivsvårigheter. I forskningslitteraturen framhålls vikten av att lärare som undervisar i svenska och matematik tar gemensamt ansvar för att bygga upp goda läsvanor hos eleverna (Shuard & Rothery, 1988). Många elever med lässvårigheter undviker att läsa instruktioner och förklaringar i matematikböcker och på arbetsblad. Eleverna behöver en väl strukturerad och tydlig undervisning i läsförståelse i samband med matematik. Det kräver att läraren har goda kunskaper om läsning och läsförståelse så att undervisningen kan anpassas till enskilda elevers behov. Den uppdelningen i sv/ so-lärare respektive ma/no-lärare som finns i grundskolan framstår inte som självklar när man beaktar den grundläggande inlärningen i att förstå och använda språk,

81 uttrycksformer och symboler i talat språk, skriftspråk och matematik. Den nya lärarutbildningen innehåller inte dessa låsningar och kommer därför att kunna ge bättre möjligheter att svara mot skolans behov av lärare med utbildning för undervisning i både svenska och matematik. Fortsatt arbete genom skoltiden Clarke (1998) beskriver ett utvecklingsarbete mellan lärare, elever och forskare som syftade till att förbättra och utveckla elevers tidiga taluppfattningar i matematik The Early Numeracy Research Project (ENRP). Ett viktigt led i projektet var att försöka identifi era vad fram gångsrika lärare gör i sin undervisning som skiljer dem från andra lärare. Lärarna som deltog i projektet blev ombedda att beskriva på vilket sätt de förändrat sin undervisning under projektet. Några resultat: Open ended questions (öppna frågor) användes i större utsträckning än tidigare. Eleverna fick mer tid att undersöka begrepp. Eleverna fick fler möjligheter att delge varandra de strategier som användes vid problemlösning. Eleverna gavs större utmaningar som en konsekvens av högre förväntningar på eleverna. Lärarna lade större vikt vid att sammanfatta innehållet i slutet av lektionen. Lärarna lade större vikt vid samband och kopplingar mellan matematiska idéer och mellan klassrumsmatematik och vardagsmatematik. Lärarna lade mindre vikt vid formell dokumentation och algoritmer. Man tillät en variation av sätt att dokumentera. Undervisning om problemlösning Montague (1992, 1997) beskriver i några studier effekterna av undervisning om kognitiva och metakognitiva strategier i samband med problemlösning i matematik bland elever i åk 4 9. Instruktioner som ges i samband med specialundervisning i matematik begränsar sig ofta till läromedlens instruktioner t ex: 1 Läs uppgiften 2 Bestäm strategi för lösning 3 Lös uppgiften 4 Kontrollera lösningen Montague menar att sådana instruktioner knappast är till hjälp för en elev som dels inte har så många strategier i sin repertoar och dessutom saknar kunskap att avgöra vilken strategi som är lämplig att använda. Hon betonar att elever med inlärningssvårigheter ofta behöver undervisning utöver den som läroboken kan bidra med. Hon menar också att enbart att vardagsanknyta problem i matematik inte är tillräckligt för att hjälpa dessa elever att utveckla en god problemlösningsförmåga i matematik. De behöver explicit undervisning om problemlösningsstrategier. Elever med lässvårigheter har svårt att skapa inre representationer av innehållet i ett problem och en del elever kan dessutom ha svårigheter att hämta talfakta från långtidsminnet. Detta medför i sin tur svårigheter att överföra språklig och numerisk information till matematiska ekvationer och operationer. Som ett resultat av detta hemfaller eleverna ofta åt trial-and-error strategier och irrelevanta beräkningar. Som ett undervisningsexperiment utgick man från sju strategier som eleverna fick explicit undervisning i och om. De strategier eleverna arbetade med var: 1 Läs texten högt 2 Översätt till egna ord

82 3 Visualisera innehållet 4 Gör en hypotes 5 Uppskatta 6 Beräkna 7 Kontrollera lösningen Läraren resonerade ingående med eleverna om vad varje strategi innebar. De löste olika textproblem tillsammans och resonerade om hur strategierna kunde användas och varför de olika strategierna var meningsfulla. Eleverna fick ge motiveringar till varför de skulle läsa texten högt, varför de skulle visualisera innehållet genom att rita bilder, ställa hypoteser osv. Man förde samtal om att goda problemlösare förklarar innehållet för sig själv, ställer frågor till sig själv och gör uppskattningar. Läraren berättade, visade och resonerade med eleverna om hur hon arbetade med att lösa uppgifter och därefter var det elevernas tur att göra samma sak. Man diskuterade elevers olika lösningsförslag, val av strategier och motiveringar till dessa. Att våga göra fel Elever som lärt sig vissa strategier vid problemlösning, kan ibland fixera sig vid och hålla fast vid dessa strategier, trots att det egentligen inte är en framkomlig väg. Att lösa matematiska problem kräver kognitivt mod och tillit till den egna förmågan, för att man ska våga ta risken att göra fel. Ett öppet och tillitsfullt klimat i undervisningen i matematik torde därför vara av största värde. Henderson (1998) betonar vikten av att elever med inlärningssvårigheter får den anpassade hjälp de behöver både i gruppundervisning och i enskild undervisning. En elev som inte bara kämpar med att förstå matematiska begrepp, utan också har språkliga svårig heter och ett begränsat arbetsminne har inte så lätt att förklara sina tankegångar och att ställa relevanta frågor i en stor grupp. För dessa elever kan möjligheten att i en tillitsfull relation tillsammans med en lärare få klargöra sina frågor och ingående resonera om sina tankar och idéer om matematik leda till flera positiva resultat. När elever upplever att de kan och förstår viktiga begrepp kan de dra nytta av detta också i klassrumsundervisningen. Det är därför viktigt att det finns ett gott samarbete mellan klassläraren och specialpedagogen både om innehåll och arbetssätt i all undervisning med elever i behov av särskilt stöd. Dessutom menar hon att när elever märker att de kan och förstår matematik smittar detta ofta av sig även på andra ämnen. Elevers självförtroende ökar och de inser att framsteg även inom andra områden är möjliga. Att skriva matematik Withers (1996) menar att ur metakognitivt perspektiv är det positivt att lärare uppmanar sina elever att skriva om den matematik de studerar. Han betonar att det är ett sätt att underlätta för eleverna att refl ektera över matematiska begrepp och samband. Withers påpekar att genom elevers skrivande kan lärare få information om sina elevers lärande, eventuella svårigheter och på vilka sätt de löser problem. Trots sådana fördelar anser många lärare att uppgiften att skriva om matematik och refl ektera över sitt lärande är för svårt för många elever. Morgan (1998) påpekar att de flesta studier som rapporterats om erfarenheter av att låta elever skriva-för-att-lära i samband med matematik har utgått från att elever inte behöver undervisning i själva skrivandet och hur man kan utveckla det som ett redskap för sitt lärande. Istället har man förutsatt att bara eleverna skriver så lär de sig skriva. Morgan betonar behovet av studier och undervisningsförsök vars syfte är att utveckla goda metoder för att elever ska kunna utveckla skrivandet just som redskap för sitt lärande i matematik.

83 Högläsning Ingvar Lundberg (muntlig kommunikation) framhåller högläsningens stora betydelse. Han menar att högläsningen har sju magiska punkter: 1. I vardagliga samtal försöker vi förenkla och effektivisera talet utan att budskapet för den skull går förlorat. Vid högläsning uttalas orden som ingår i texten med mycket större precision och tydlighet än vad som är vanligt i muntliga dialoger. Om man dessutom då och då stannar upp och resonerar med barnen om ordens betydelse och form lär de sig så småningom deras innebörder. 2. Genom högläsningen kommer barnen i kontakt med och exponeras för ord som inte används i vardagen och de tillägnar sig på så sätt ett rikare ordförråd. 3. I skrivna texter är språket förpackat på ett annat sätt än i muntligt tal. Skriven text har andra språkliga formuleringar med bisatser, ord vändningar och satsmönster. Barn, som genom att man läser högt för dem, vänjer sig vid och förstår denna annorlunda förpackning av språket kan dra nytta av det när de själva ska läsa och skriva. 4. När barnen lyssnar på sagor och berättelser övar de sig i att tolka innehållet i texten genom att skapa inre bilder, en inre före ställningsvärld där de ser saker hända och föreställer sig hur saker hänger samman. Som vi har sett tidigare visar forskning att denna kompetens, att skapa inre representationer av ett matematiskt problem, är mycket viktig för läsförståelse i samband med skrivna matematiska texter. 5. I möten med det skrivna språket i sagor och berättelser lär sig barnen en slags berättelsegrammatik. Sagor är oftast uppbyggda efter en fast struktur med en inledning där läsaren får bakgrundsinformation om huvudpersoner, var och när händelsen utspelar sig osv. Därefter följer handlingen i berättelsen som ofta är en spännande intrig och till sist en avslutning där upplösningen av berättelsen ges. Denna berättelse grammatik bidrar till tolkningsramar och underlättar för läsaren att skapa sammanhang och mening i texten. Barnen ser inte alltid att det fi nns en förbindelse mellan det de hör och det som de redan vet. Genom samtal kan barnen få hjälp att skapa sådana förbindelser mellan texten och sitt eget liv och vänja sig vid att aktivt tolka innehållet i texter. 6. Högläsning bidrar också till att skapa lust till litteraturen. I sagans värld får barn möta spänning och äventyr, glädje, sorg och fantasi. I den matematikdidaktiska forskningen framhålls ofta just fantasi och kreativitet som viktiga komponenter i elevers problemlösningsförmåga. 7. När barnen lyssnar till högläsning får de god övning i att sitta stilla och koncentrera sig och att vara uppmärksamma och ta hänsyn till varandra. Som vi sett i forskningsgenomgången har också elevers för måga till uppmärksamhet och koncentration (energitäthet) stor betydelse i samband med problemlösning i matematik. Högläsning framstår således som central både i förskolan och i skolan. Några förslag till utveckling I kunskapsöversikten har vi sett samband mellan elevers läs- och skrivförmåga och deras lärande i och om matematik. Dessa samband är av olika slag. Faktorer som kan förklara vissa elevers svårigheter med skolans matematik kan också förklara deras svårigheter med läsning och skrivning. Dessutom medför en elevs svårigheter med läsning att han eller hon också kan få svårt att klara matematikundervisningen. Ett kompetensutvecklingsprogram med ett kursinnehåll som ger goda in sikter i barns skriftspråksutveckling och begreppsbildning i matematik och sambanden där emellan bör tas fram. Detta ska vända sig till förskollärare, lärare och specialpedagoger. Fördjupningsprogram för specialpedagoger bör tas fram. En av special pedagogens uppgifter är att bidra till

84 utvecklingsarbeten i skolverksamheten. Det är ytterst angeläget att specialpedagoger får både för djupad och kontinuerlig fortbildning inom detta viktiga område för att kun na bidra med kompetens till utvecklingsarbeten som syftar till att ständigt utveckla och förbättra verksamheten i förskolan och skolan. Grundutbildningen måste möjliggöra för blivande lärare att utveckla den kompetens och de insikter de behöver för att skapa goda undervisningsmiljöer för alla barn, också för barn i behov av särskilt stöd i svenska och matematik. Vi ser det som ytterst angeläget att både förskolan och skolan utvecklar ett arbete som syftar till att se elevernas lärande i att läsa, skriva och utveckla kunnande i matematik i ett gemensamt sammanhang där den språkliga, kognitiva och sociala utvecklingen betraktas ur ett helhetsperspektiv. För att detta ska vara möjligt krävs att man tar ett riksomfattande krafttag på olika nivåer i utbildningssystemen. Gemensamma ansträngningar där forskare, lärarutbildare, lärare och förskollärare in volveras synes nödvändiga. Ett första steg skulle kunna vara en konferens där forskare och olika kategorier av lärarutbildare och lärare träffas för att diskutera läget idag och dra upp några gemensamma riktlinjer för framtiden. Om kompetensutvecklingsprogram ska ge effekt beror till stor del på under vilka förhållanden de genomförs. Många lärare känner idag stor frustration över att deras arbete utanför undervisningstiden inte ger utrymme åt pedagogiska diskussioner med kollegor, planering av lektioner och temaarbeten, uppföljning och revidering av undervisnings försök etc. Behov av fortsatta utvecklingsstudier och forskning Forskningen om läs- och skrivsvårigheter är mer omfattande än forskning om matematiksvårigheter och forskning om sambanden där emellan är mycket begränsad. Den mesta forskningen om matematiksvårigheter handlar om elementär aritmetik och elevers kompetens när det gäller textproblem eller textproblem som löses med hjälp av enkel aritmetik. Hur elevers läs- och skrivutveckling påverkar begreppsbildningen i matematik på ett bredare och djupare plan är mycket angeläget att studera närmare. I läroplaner och kursplaner i matematik framhålls viktiga kompetenser som att utveckla ett rikt och betydelsebärande språk, att kunna analysera och reflektera, att kunna argumentera för en ståndpunkt och att kunna tänka med hjälp av modeller. Hur sådana kvaliteter i kunnandet påverkas av läs- och skrivutvecklingen behöver studeras närmare. Referenser Chinn, S.J. & Ashcroft, J.R. (1998). Mathematics for Dyslexics. A teaching Handbook. London: Whurr Publishers Ltd. Clarke, D. (1998). Building on what children know and can do: Some messages for the future from the early numeracy research project. Australia: Catholic university. Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (2000). Att utveckla små barns antalsuppfattning. NämnarenTEMA. Matematik från början Göteborg: NCM Doverborg, E. (2000). Lekens lustfyllda lärande. NämnarenTEMA. Matematik från början. Göteborg: NCM Emanuelsson, G. & Johansson, B. (1997). Kommentarer till grundskolans kursplaner och betygskriterier i matematik. Stockholm: Liber Distribution. Geary, D. C. (1993). Mathematical disabilities: Cognitive, Neuropsychological, and genetic components. Psychological Bulletin, Vol. 114, No. 2, Geary, D. C. (1994). Children s mathematical development: Research and practical

85 applications. Washington, DC: American Psychological Association. Henderson, A. (1998). Maths for dyslexic, a practical guide. London: David Fulton Publishers. Høien, T. & Lundberg, I. (1997). Dyslexi. Från teori till praktik. Stockholm: Natur och Kultur. Høien, T. & Lundberg, I. (2000). Dyslexia: From theory to intervention. Dordrecht NL: Kluwer. Johnsen Høines, M. (1987). Matematik som språk. Malmö: Liber-Hermods. Kulak, G. (1993). Parallels Between Maths and Reading Disability: Common Issues and Approaches. Journal of learning Disabilities Vol. 26, No. 10, Lundberg, I., Frost, J. & Petersen, O.P. (1988). Effects of an extensive program for stimulating phonological awareness in pre-school children. Reading Research Quaterly. Vol. 33, p Lundberg, I. (1994). Reading diffi culties can be predicted and prevented: A Scandinavian perspective on phonological awareness and reading. C. Hulme & M. Snowling (eds.), Reading development and dyslexia, London:Whurr. p Lundberg, I. (1999). Towards a sharper defi nition of dyslexia. I. Lundberg, F.E. Tonnesson, I. Austad (eds), Dyslexia: Advances in Theory and Practice. Dordrecht NL: Kluwer Academic Publisher. Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla. Nödvändiga för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur. Mayer, R. E. (1992). Thinking problem solving, cognition. New York: NY: Freeman. Mellin-Olsen, S. (1984). Eleven, matematikken og samfunnet. Rud: NKI-forlaget. Miles, T.R & Miles, E. (1992). Dyslexia and Mathematics. London, New York: Routledge. Montague, M. (1992). The effects of cognitive and metacognitive strategy in - struction on mathematical problem solving of middle school students with learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, Vol.25, Montague, M. (1997). Cognitive strategy instruction in mathematics for student with learning disabilities. Journal of Learning Disabilities. Vol. 30, No 2. Morgan, C. (1998). Writing Mathematically, the Discourse of Investigation. UK: University of Exeter. Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget. Shuard, H. & Rothery, A. (1988). Children Reading Mathematics. Oxford: The Alden Press. Sterner, G. & Lundberg, I. (2001) Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Göteborg: NCM. (Manus). Swanson, H.L., Cooney, J.B. & Brock, S. (1993). The infl uence of working memory and classifi cation ability on children s word problem solution. Journal of Experimental Child Psychology, 3, Withers, G. (1996). Unlocking the great secret: Writing reveals thinking. In Asia-Pacifi c Centre of Educational Innovation for Development (ed), Research information for teachers. Bangkok: UNESCO

86

87 LÆSE- OG SKRIVEVANSKELIGHEDER OG LÆRING I MATEMATIK (Side 8 og 9, NCM-RAPPORT 2002:2) (oversat fra svensk af os). Mulige sammenhænge mellem læse- og skrivevanskeligheder og matematikvanskeligheder. At matematikvanskeligheder og læse- og skrivevanskeligheder ofte forekommer sammen, kan skyldes en række forskellige omstændigheder. Vi nævner her et antal mulige/tænkelige årsager, som også støttes af forskningen. Nogle af punkterne drejer sig først og fremmest om sammenhængen mellem matematikvanskeligheder og læse- og skrivevanskeligheder, mens de øvrige mere handler om hvilken type af årsagsfaktorer som kan forekomme. - Af og til møder vi elever som har vanskeligheder både med læse- og skriveindlæringen og matematikindlæringen. Disse vanskeligheder kan være uafhængige af hinanden, men råkar forekomme samtidigt. - I andre tilfælde kan der forekomme identiske bagvedliggende årsager som påvirker både læse- og skriveindlæringen og matematikindlæringen. Det kan være faktorer som har en neurobiologisk årsag. Det kan også handle om forhindringer, som er opstået tidligt i barnets udvikling med ugunstige opvækstvilkår og alvorlig mangel på omsorg i spædbarnsalderen. - Hos elever med læse- og skrivevanskeligheder forekommer i forskellig udstrækning sekundære vanskeligheder (Højen & Lundberg, 1999). Sådanne vanskeligheder kan fx berøre læseforståelse, selvbillede, socioemotionelle faktorer, indlæringsstrategier og matematiklæring. Problemet med matematikindlæringen kan da opstå som en følge af læse- og skrivevanskeligheder. Andre problemer som kan være relaterede til læseog skrivevanskeligheder kan fx være opmærksomhedsvanskeligheder, koncentrations-vanskeligheder og sekvenssvanskeligheder. Sådanne vanskeligheder kan naturligvis også påvirke matematikindlæringen. Matematikken inrymmer ofte krav om skriftsproglig kompetence som kan overstige, hvad elever med læse- og skrivevanskeligheder kan formå. - Der kan findes socio-kulturelle faktorer som forårsager vanskelighederne, og som drejer som om at eleven fx ikke har fået tilstrækkelig sproglig støtte i undervisningen (Rönnberg & Rönnberg, 2002; Säölj 2000). Eleverne forstår måske matematiske begreber på sit modersmål, men ikke på svensk (dansk). Hvis eleverne i deres indlæring og for at udtrykke deres viden og løse matematiske problemer kun får mulighed for at anvende et sprog (svensk, (dansk)) som de ikke behersker, er det let at forestille sig, at der opstår problemer i mange situationer. Mangelfuld støtte og stimulering i hjemmet kan også bidrage til vanskelighederne. - Der kan også findes andre årsager koblet til mangelfuld undervisning. Seligman taler fx om indlært hjælpeløshed. Han mener, at børn i sig selv har en indre motivation til at lære. Hvis de i den grundlæggende indlæring /

88 undervisning i læsning, skrivning og matematik til stadighed skal arbejde med opgaver, som de ikke kan klare / løse, og som de mangler forudsætninger for at kunne løse, er risikoen stor for, at de opgiver at forsøge på egen hånd. Elever som tidligt oplever gentagne mislykkede forsøg og vanskeligheder risikerer lidt efter lidt at miste modet og at udvikle et dårligere selvbillede hvilket i sin tur bidrager til yderligere vanskeligheder (Høien & Lundberg, 1999). - Sammenhængen kan også have at gøre med et gensidigt samspil, som indebærer at forskellige faktorer inden for begge områder hele tiden påvirker hinanden (Onatsu-Arvilommi & Nurmi, 2000). Som vi ser det, er dette de tænklige muligheder man kan arbejde ud fra. Elevernes situation bør kortlægges og et godt undervisningsmiljø udvikles og tilpasses den enkelte elevs behov og forudsætninger. At løse skriftlige matematiske problemer stiller krav til elevernes læse- og skrivekompetence. For at forstå, hvordan læse- og skrivevanskeligheder kan påvirke elevers begrebsudvikling i matematik, har vi brug for at vide noget om, hvad det indebærer at kunne læse og skrive. At udrede sådanne spørgsmål kan give os et grundlag for videre arbejde med at udvikle matematikundervisningen. Vort udgangspunkt er at nogle individer har svært ved at forstå indholdet i skrevne tekster. I figuren nedenfor er dette markeret længst til højre som Læseforståelse. Hvad figuren særskilt vil vise er, at en analyse af læseproblemer må gennemføres på mange forskellige niveauer samtidigt og ikke ensidigt gå ud fra at et niveau er tilstrækkeligt. I figuren skelner vi mellem proximale faktorer og distale faktorer. De proximale drejer sig om faktorer hos det enkelte individ. Trods alt er individet faktisk den som oplever problemet, selv om det ofte hævdes, at det kun er skolen som har problemet. De individuelle problemer kan være af forskellig slags. Ved dysleksi ligger tyngdepunktet på ordafkodningen, hvilket på sin vis har været svær at udvikle på grund af de blokeringer som den mangelfulde fonologi har ført med sig. Men vi kan ikke se bort fra, at nogle individer, selv de med dysleksi, kan have en helt utilstrækkelig vokabulär og utilstrækkelig viden om omverden. Af og til er det da spørgsmålet om dårligt udviklede kognitive forudsætninger, men iblandt bliver stimuleringsfattige opvækstvilkår også alvorlige hindringer for udviklingen. En helt afgørende faktor er naturligvis motivationen. Uden lyst og vilje bliver det ikke meget bevendt med læsningen. Motivationsmangel kan være en følge af en langvarig historie af mislykkede forsøg og hjælpeløshed. De distale faktorer kan også have haft afgørende indvirkning. Främlingsskap /fremmedgjorthed, dårlig tilknytning i den tidlige barndom, kulturfattigdom, kaotisk skolestart er eksempler på distale faktorer som kan have hindret en god udvikling. Figuren vil sammenfatte de fleste kritiske faktorer som kan bidrage til at forklare hvorfor nogle individer har så store vanskeligheder med skriften. Vi vil med figuren specielt fremhæve det dynamiske samspil mellem en række forskellige faktorer på forskellige niveauer og dermed bidrage til en mere nuanceret forestilling om hvad læsevanskeligheder indebærer og hvordan de kan opstå.