Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00
Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer Alle hjælpemidler er tilladte Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. (Det er tilladt at skrive med blyant.) Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: en forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt med forklarende tekst benyttet figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
Side 2 af 9 sider Opgave 1 På billedet figur 1 ses Atomium, som er en godt 100 meter høj stålkonstruktion, der blev bygget i anledningen af Verdensudstillingen i Bruelles i 1958. Atomium forestiller et Jernkrystal forstørret 165 milliarder gange. Alle mål er i meter. De enkelte kugler, som Atomium består af, har samme diameter. z d 1 d 2 y Figur 1 www.ipcos.be/cms/uploads/atomium1.jpg I det på billedet viste koordinatsystem har en af kuglerne følgende ligning: 2 2 + y + z 9 2 9 = 0 a) Bestem centrum og radius for kuglen. b) Bestem en ligning for tangentplanen til kuglen i punktet P(0, 3, z) hvor z > 0. Diagonalerne d 1 og d 2, der forbinder kuglerne, som er vist på figur 1, er en del af linjerne med følgende parameterfremstillinger t y = t z t t R og 47 + s y = s s R z s Skæringspunktet mellem de to linjer er centrum for kuglen i midten af Atomium. c) Bestem koordinaterne for denne kuglens centrum.
Side 3 af 9 sider Opgave 2 Billedet viser et hus, der ligger i forbindelse med Atomium. http://users.skynet.be/rentfarm/epo58/atomium/inde.htm Figur 2 viser en del af husets gavl angivet med mål. Linjerne DC og FE er vandrette. A 8 m 3,6 m 7 m D z v 3,6 m B C 3,0 m 2,8 m F E Figur 2 a) Bestem længden af AB. b) Bestem vinklen v. c) Bestem arealet af det viste gavlstykke, hvis vinkel o z = 49
Side 4 af 9 sider En plade i konstruktionen er vist på figur 3. Det vandrette stykke AD er 2 m og det vandrette stykke BC er 5,5 m. Længden af BD er 6 m. Punktet B ligger lodret over punkt D. y B C A D Figur 3 d) Bestem -koordinaten til pladens tyngdepunkt og afgør om den vælter.
Side 5 af 9 sider Opgave 3 En skitse af huset på billedet i opgave 2 er indtegnet i et tredimensionalt koordinatsystem på figur 4. z D E E' C F A F' H y B Figur 4 G I det viste koordinatsystem på figur 4 kendes punkterne A(0; 0; 0), B(16; 0; 0), C(15,4; 0,6; 3,6), D(0,6; 0,6; 3,6), E(0,6; 8; 3,6) og F(15,4; 8; 3,6). Fladen EFGH står vinkelret på y-planen og grundfladen ABGH er et rektangel, der ligger i y-planen. a) Find koordinaterne for punkt G. b) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem punkterne G og F. c) Bestem den vinkel husets sideflade ABCD danner med vandret. På figur 4 er en del af tagfladen vist som et gråt område, tagfladen afgrænses af CDE F Punkterne F og E ligger i samme højde over y-planen, og har z-koordinaten 3. Punktet F ligger på linjen gennem punkterne F og G og punktet E ligger på linjen gennem punkterne H og E. d) Bestem koordinaterne til punktet F.
Side 6 af 9 sider Opgave 4 Figur 5 viser en kurve beskrevet ved vektorfunktionen r (t), givet ved sin( t) r ( t) = t [0; π ] sin(2t) y 1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 Figur 5 a) Bestem koordinaterne til kurvens skæringspunkter med - og y-akse. b) Bestem en ligning for tangenten til kurven for π t =. 8 Den del af kurven, der fremkommer, når t gennemløber [0; π ] kan også beskrives som 2 grafen for funktionen f med forskriften 2 f ( ) = 2 1 [0;1]
Side 7 af 9 sider Et gråtonet areal afgrænset af grafen for f, -aksen samt linjerne = 0, 5 og = 0, 75 er vist på figur 6. y 1 0.5 0.4 0.6 0.8 0.5 Figur 6 1 c) Bestem koordinaterne for tyngdepunktet ( T, y T ) for det gråtonede areal. Det gråtonede areal drejes 360 o om aksen. Herved fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem overfladearealet af dette legeme.
Side 8 af 9 sider Opgave 5 Grafen for den stykkevise funktion f er indtegnet i et koordinatsystem på figur 7. Funktionen er defineret i intervallet [0; 20]. y 20 10 B C 0 5 10 15 20-10 A -20 Figur 7 a) Gør, ved anvendelse af figur 7, rede for at funktionen f er kontinuert i intervallet [0; 20]. b) Gør, ved anvendelse af figur 7, rede for om funktionen er differentiabel for alle værdier i intervallet ]0; 20[. Den stykkevise funktion f har følgende forskrift: f ( ) = a 3 + b α + β 2 + c + d 0 10,5 10,5 < 20 Der gælder følgende f (3) = 0, f (8) = 0, f(8) = - 4, f (15) = - 1 og f(15) = 7,5 c) Bestem konstanterne a, b, c, d, α og β i forskriften for f.
Side 9 af 9 sider Side 9 af 9 sider Opgave 6 Skarven yngler i kolonier. Reden bygges enten i træerne (som på billedet) eller på jorden. I perioden 1982 til 1991 udviklede bestanden af skarver sig voldsomt. I tabel 1 ses antallet af skarvereder i perioden 1982 til 1991. http://www.fritidsfiskerforbundet.dk/ Årstal 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 Antal 3713 4944 6272 7585 9503 12188 14116 18901 23557 29141 Kilde: Bestandsregulerende faktorer hos skarv af Christian Dieperink a) Indtegn de givne data i et koordinatsystem. Antallet af skarvereder som funktion af tiden t (målt i år efter 1982) kan med tilnærmelse beskrives ved en eksponentiel model. b) Benyt tabellens data til at bestemme modellen. c) Benyt modellen til at bestemme, hvornår man kan forvente at antallet af skarvereder overstiger 35000. I år 1996 kulminerede den danske skarvebestand med 43000 reder. d) Benyt modellen til at forudsige antallet af skarvereder i år 1996 og kommenter resultatet. 082468.indd 10 01/07/09 14:21:08
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001