MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse

Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner 1.-6. klassetrin Samfundslitteratur

Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner 1.-6. klassetrin 2013, Samfundslitteratur Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark, 2013 ISBN trykt bog 978 87 593-1794-5 ISBN e-bog 978 87 593-2338-0 Samfundslitteratur Rosenørns Alle 9 1970 Frederiksberg C Tlf. 3815 3880 Fax 3535 7822 www.samfundslitteratur.dk Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

INDHOLD Forord 11 DEL I TALSYSTEMER OG REGNEPROCESSER Introduktion 15 1 Børns talbegreber og regneoperationer i de første skoleår 17 Tal og det at tælle 18 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 22 Indledende addition og subtraktion 32 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 36 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 39 Opsamling på kapitel 1 44 2 Tallenes historiske udvikling 45 Tallenes antropologi 46 Tidlige spor af tal 47 Tal på hieroglyffernes tid 51 Regnebræt og kugleramme 54 Positionssystemet som grundlag for moderne regning 56 Grækernes opdagelse af irrationale tal 60 Grækernes geometriske talforståelse 62 Den langsomme accept af negative tal 64 Opsamling på kapitel 2 69 3 Læremidler fra regnebog til CAS 71 Historien i korte træk 72 INDHOLDIndhold 5

Hvordan lommeregneren ændrede undervisningen 75 Lommeregnerens tre funktioner i undervisningen 77 Computer algebra systemer (CAS) 82 Vurdering af læremidler 85 Opsamling på kapitel 3 89 4 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 91 Alfabetaland 91 Fordelene ved positionssystemer 93 Positionssystem med vilkårligt grundtal 94 Regnealgoritmer i andre talsystemer 98 Opsamling på kapitel 4 101 5 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 103 Læseplanernes nye syn på regning 103 Titalssystemet et positionssystem 105 Addition og subtraktion af flercifrede tal 106 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 109 Hen imod relativt standardiserede metoder 114 Indledende multiplikation og division 122 Multiplikative situationer 125 Multiplikative situationer - division 126 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 129 Opsamling på kapitel 5 136 6 De positive rationale tal 139 Én faglig vej gennem brøkregning 142 Indledende brøkregning 144 Videregående regning med brøker 147 Decimaltal og procent 152 Procentnotationen for decimaltal 156 Periodelængder i brøkers omskrivning til decimaltal 157 Decimaltals omdannelse til brøker 158 Opsamling på kapitel 6 158 7 Brøkregning i den fagdidaktiske skole, RME 159 Brøker i Realistisk Matematikundervisning 159 6 4 INDHOLD

Grundsynet på brøker i Realistisk Matematikundervisning 160 Skitse af et toårigt undervisningsforløb med brøker 162 Den faktiske udførelse af to-årsforløbet 167 Konklusioner på RME s brøkprojekt 170 Opsamling på kapitel 7 176 8 Negative tal og repræsentationer 177 Repræsentationer i matematikundervisningen 178 Repræsentationer og kognitive forhindringer 181 På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal 182 Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer 182 Talaksen i form af et termometer 184 Forskning i børns repræsentationer 189 Opsamling på kapitel 8 192 9 Talteori og matematisk tankegang 193 Direkte beviser i delelighedslæren 194 Hvordan finder man primtal? 196 Euklids algoritme 199 Aritmetikkens fundamentalsætning 203 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 207 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 209 Opsamling på kapitel 9 213 10 Hvordan får vi styr på uendeligheden? 215 Peanos aksiomer 217 Mængdetal (kardinaltal) 219 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 223 Induktionsbeviset 226 Et induktionsbevis i grafteori 226 Opsamling på kapitel 10 229 INDHOLD 8 7

DEL II ALGEBRA OG FUNKTIONER Introduktion 233 11 Algebras stofdidaktik 235 Bogstavernes rolle i algebra 238 Problemer med algebraundervisningen 240 Symbolbehandlingskompetence 244 Variabelbegrebets didaktik 248 At udvikle forståelser af lighedstegn 256 Repræsentationer og oversættelser af ligninger 263 Opsamling på kapitel 11 265 12 Talmønstre og figurrækker 267 Udvikling i femkanttallene 269 Induktionsbeviser 276 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 279 Hanoitårnet, fraktaler og fibonaccital 283 Opsamling på kapitel 12 286 13 Tidlig algebra 287 Tidlig algebra hvad er det? 288 Variable og funktioner i tidlig algebra 289 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 290 Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 293 Ligninger og lighedstegnet 298 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 300 Argumenter omkring lighedstegnet 301 Kontekstens betydning 304 Opsamling på kapitel 13 306 14 Funktioner og funktionsbegrebet 307 Udvikling af personlig viden om funktioner 307 Begrebsbillede og begrebsdefinition 313 Lidt om funktionsbegrebets historie 315 8 DEL II INDHOLD

Proportionaliteter og den lineære funktion 317 Bestemmelse af konstanterne ved de tre grundlæggende funktioner 318 Opsamling på kapitel 14 324 15 Problemløsning og modellering 325 Problemløsning 325 Om problemløsning 325 Diskussion af problemløsningsstrategier 326 Modellering 329 Variable og ligninger i problemløsning og modellering 333 Opsamling på kapitel 15 342 Referencer 343 Bøger til grundskolen 348 Stikordsregister 349 INDHOLD 15 9

FORORD Matematik for lærerstuderende har, siden det vandt lærebogsprisen i 2006 været et udbredt system for linjefagene i matematik på læreruddannelserne i Danmark, og de centrale bøger i systemet er oversat til svensk. Udgangspunktet i 2006 var meget ambitiøst på grund af det nye store timetal i matematik. I anledning af den seneste reform LU13 er omfanget reduceret drastisk, men det høje ambitionsniveau er fastholdt, hvad angår de kvalifikationer, der retter sig mod den lærerstuderendes fremtidige profession. I overensstemmelse med LU13 tilbyder vi til undervisningsfaget matematik 1.-6. klasse følgende bøger i systemet: Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse; Geometri 1.-6. klasse; Stokastik 1.-10. klasse; Delta, Fagdidaktik; My, Elever med særlige behov. Til den studerende, der føler behov for at opdatere sin faglighed inden studiestart, har vi udviklet materialet Alfa, Forstudier. Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse præsenterer fagligt og fagdidaktisk materiale samt tilhørende arbejdsopgaver af et omfang, der på de fleste læreruddannelser vil svare til to moduler efter LU13. Bogens første del omhandler Talsystemer og regneprocesser og den anden del Algebra og funktioner. Den såkaldte stofdidaktik, der er knyttet til bogens faglige emner, findes i særlige kapitler her i bogen, mens det fagdidaktiske stof, der er fælles for al matematikundervisning, skal søges i bøgerne Delta og My. I hvert kapitel er de vigtigste mål angivet i starten, og kapitlet rundes af med en opsamling, der muliggør en evaluering af udbyttet. De matematiske kompetencer står centralt både i LU13 og i det aktuelle faghæfte for grundskolen, derfor fremhæver vi i hvert kapitel, hvilke kompetencer der især kan udvikles gennem arbejdet. Den studerende vil gennem arbejdet med de tre matematikfaglige bøger være kommet godt omkring alle otte matematiske kompetencer. Forord 11