Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Transkript

1 Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med kapitlet er det hensigten, at eleverne får overblik over mængden af reelle tal og arbejder med eksempler på tallenes anvendelse i hverdagen. Gennem arbejdet med opgaverne i det første mundtlige opslag på side 2 3 skal eleverne erfare, at vi har brug for flere tal end de naturlige tal og må udvide til de hele tal og dernæst til de rationale tal. Vi har brug for endnu flere tal, og de irrationale tal introduceres. Eleverne har tidligere arbejdet med π som er et eksempel på et irrationalt tal. Hele kapitlet er struktureret ud fra dette første opslag, dvs. der fortrinsvist på side 4 8 arbejdes med de naturlige og hele tal. side 9 11 arbejdes med de rationale tal, herunder tierpotenser. side arbejdes med de reelle tal, herunder irrationale tal. I forbindelse med de hele tal sættes der fokus på regning med negative tal. Det er vanskeligt at forklare, hvorfor minus gange minus giver plus og nærmest umuligt at finde et eksempel fra elevernes hverdag, som kan anskueliggøre, hvorfor resultatet bliver positivt. Vi har bl.a. derfor valgt at lade eleverne arbejde med en faglig argumentation forklaringen skal altså findes inde i matematikken. Her har eleverne mulighed for at arbejde med deres ræsonnementskompetence, mens de arbejder med forskellige argumenter for resultaterne af regning med negative tal. I forbindelse med de rationale tal skal eleverne arbejde med meget små og meget store tal, og videnskabelig skrivemåde introduceres som en bekvem måde at skrive på, så tallene bliver lettere at læse og skrive. I den forbindelse skal eleverne arbejde med, hvordan der kan regnes med tierpotenser både på lommeregneren og i regneark. På den måde styrkes elevernes hjælpemiddelkompetence. Bemærk, at når eleverne på side 11 skal skrive tierpotenser i regneark, fungerer det som en formel. De skal derfor starte med at skrive =. Lighedstegnet ses ikke på sidens skærmdump. Udvidelsen fra rationale til reelle tal tager udgangspunkt i et kvadrat med arealet 2. Vi har brug for et tal for sidelængden, og kvadratrødder introduceres. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: titalssystemet som positionssystem naturlige tal, hele tal, rationale tal, irrationale tal og reelle tal de fire regningsarter, positive og negative tal overslag og afrunding produkt og kvotient tierpotens, eksponent, rod, videnskabelig skrivemåde kvadratrod TAL OG REGNING 1

2 Huskeliste: Regneark (til side 11) Sømbræt og elastikker (til side 13) FRA FAGHÆFTET Kompetencer udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler Matematik i anvendelse arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med tal og forskellige regneregler. Målet er, at I får indblik i ligheder og forskelle mellem naturlige tal, hele tal, rationale tal og irrationale tal. får forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal. lærer at skrive meget små og meget store tal som tierpotenser. lærer om kvadratrødder. TAL OG REGNING 2

3 Facit Side 2 Side 3 Side 4 1. Eksempler: et antal varer, der skal handles, antal indbudte gæster, alder, skostørrelser 2. a. Når naturlige tal adderes bliver summen altid positiv. b. Ved subtraktion bliver differensen negativ, hvis subtrahenden er større end minuenden, og 0 hvis subtrahend og minuend er lige store. 3. Eksempler: temperatur, gæld. 4. a. Ved multiplikation af hele tal, bliver produktet altid et helt tal. b. Ved division af hele tal bliver kvotienten kun et helt tal, hvis dividenden går op i divisoren. 5. Eksempler: priser, rumfang af sodavandsflasker, varedeklarationer. 6. 0,75 kan skrives som. 7. Figuren viser, hvordan mængderne kan placeres i forhold til hinanden. Man kan se, at de naturlige tal er en del af de hele tal, og at de hele tal er en del af de rationale tal. 1. De naturlige tal og de negative tal bruges til at angive de forventede temperaturer. De negative tal anvendes i forbindelse med frostgrader. De naturlige tal bruges også til at beskrive vindstyrken. 2. Man kan finde forskellen mellem to tal ved at trække dem fra hinanden. (-1) er dagtemperaturen, og (-5) er nattemperaturen. 3. a b. 0 (-5). 4. a. 14. b a. Torsdag. b. Lørdag. 6. Side 5 1. a b c. 51,74 d. 7,2145 e. 218 f. 2,8 g. 1,61 h. 41 i. 47 j a b. 10,26 c. 5,44 d e. 361,5 f. 124 g. 0,45 h. 3,5 i. 14,5 j. 0, a. 19,8 b. 8,9 c. 9,0 d. 29,0 4. a. 20 b. 20 c. 100 d. 0 TAL OG REGNING 3

4 5. a. 7,28 b. 14,19 c. 3,015 d. De er lige store. 6. a. Sandt b. Sandt c. Falsk d. Sandt e. Falsk f. Sandt 7. a. 57. Tre led. b To led. c. 0. Tre led. d. 15. Tre led. e Et led. f. 85. Et led. 8. a. ca. 38 b. ca c. ca. 5 d. ca. 11 e. ca. 25 f. ca. 100 g. ca. 183 h. ca a. 3 b. 1 c. 2 d. 1 Side 6 1. Multiplikation kan forstås som gentagen addition. 4 (-2) betyder at have (-2) fire gange. 2. To personer skylder begge 25 kroner. 3. x (-2) Resu ltat 4 (-2) -8 3 (-2) -6 2 (-2) -4 1 (-2) -2 0 (-2) 0 (-1) (-2) 2 (-2) (-2) 4 (-3) (-2) 6 (-4) (-2) 8 Hver gang x vokser med 1, vokser resultatet med 2 Side 7 4. Linje 1: 0 omskrives til et additionsstykke med resultatet 0. Linje 2: Når man ganger med 0, bliver produktet altid 0. Derfor kan vi gange fx -4 med (2 + (-2)) og stadig få 0. Linje 3: (-4) ganges ind i hvert led i parentesen. Linje 4: (-4) 2 reduceres til Da regneudtrykket på højre side af lighedstegnet fortsat skal give 0, må (-4) (-2) = a. Produktet af to tal bliver positivt, når begge tal har samme fortegn. b. Produktet af to tal bliver negativt, når de to tal har forskellige fortegn. 7. Vi kan bruge, at multiplikation er modsat regningsart af division, og at faktorernes orden er ligegyldig. 8. Tre venner har tilsammen en gæld på 300 kr. Hvor meget skal de betale hver, hvis de betaler lige meget? 9. Når man 3 gange springer (-2) på tallinjen, kommer man til Når man dividerer to tal med hinanden, bliver kvotienten positiv, hvis de to tal har samme fortegn Når man dividerer to tal med hinanden, der har forskelligt fortegn, bliver kvotienten negativ. 11. a. -4 TAL OG REGNING 4

5 Side 8 b. -4 c. 4 d. 9 e. -7,5 f Det første regneudtryk giver -50. Resultatet er negativt, da der indgår ét negativt tal. Det andet regneudtryk giver 50. Resultatet er positivt, da der kun er positive tal. Det tredje regneudtryk giver 50. Resultatet er positivt, da der er to negative tal. 13. a. -27 b. -28 c. 70 d e. 42 f a. -30 b. -12 c. 30 d. 48 e. -5 f. 24 g. -45 h a. Sandt b. Sandt c. Falsk d. Falsk e. Falsk f. Sandt 3. a. 7 b. -7 c. 7 d. -11 e f. 57 g. -8 h. 310 Side 9 4. a. Alle positive tal og 0. b. Alle tal bortset fra 0. c. Alle positive tal. d. Alle positive tal. e. Alle negative tal. f. Alle negative tal. g. Alle positive tal. 5. a. 0 b. 22 c. -3 d. -70 e. -6 f. 1,5 6. a. Fx 2 18 og 4 9. b. Fx -3 8 og 4 (-6). c. Fx 5 2,5 og 1, d. Fx og 4 (-5). 7. a. Fx 10 : 2 og 100 : 20. b. Fx 4 : (-2) og (-30) : 15. c. Fx (-20) : 2 og 10 : (-1). d. Fx -3 : 6 og 14 : (-28). e. Fx 4 : 16 og 10 : a. 8. b. 6 c. 14 d. -1 e. 9 f Fx ved indkøb. 2. Ca. 135 kr ,65 kr ,50 kr. 5. a. 133 kj. b. 57 kj. c. 19 kj d. 3,8 kj e. 15,2 kj TAL OG REGNING 5

6 6. Fedtenergiprocenten i sødmælk: 49,3 % letmælk: 30 % minimælk: 11,9 % skummetmælk: 2,7 % kakaoskummetmælk: 6,3 % Side Side a. Ca. 9 mm eller 9,125 mm b. ca.0,0125 mm. c. ca.0,00021 mm. 4. a. Mellem 0,0018 cm og 0,018 cm. b. Mellem 0,018 mm og 0,18 mm. 5. Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3: a. 9, b. 1, c. 2, Opgave 4: a. Mellem 1, cm og 1, b. Mellem 1, mm og 1, Når 1,99 ganges med 1030, svarer det til at flytte kommaet 30 gange til højre. 2. a. 5, kg b. 7, kg c. 1, kg d. 6, kg 3. At gange med svarer til at dividere med Når 2,991 divideres med 10 26, svarer det til at flytte kommaet 26 gange til venstre. 4. a. 1, g b. 4, g Solens masse Jordens masse Månens masse Jupiters masse Mars' masse Massen af et vandmolekyle Massen af et brintatom Massen af en bakterie Side 12 1,99E+30 5,98E+24 7,35E+22 1,8986E+27 6,4185E+23 2,991E-26 1,67E-24 4,5E I kvadratet til venstre kan man gange længden af siderne med hinanden eller tælle antallet af små kvadrater i kvadratet. I kvadratet til højre kan man tælle antallet af små kvadrater Sidelængden er skrå på sømbrættet. Længden kan ikke angives med et helt tal a. Ca. 1,414 b. 6 c. 10 d. 3,5 e. 3 f. Ca. 2,828 g. Ca. 3,873 Side TAL OG REGNING 6

7 8. a. Error b. Et kvadrat kan ikke have en side, hvor længden er negativ. 9. a. Fx. b. Fx. 10. a (2 + 6) = = = = 10 b. 4 10^2 5 = = = 350 Side = 1, = 2, = 3, = 4, = 5, = 6, = 7, = 8, = 9, = Figur a består af to kvadrater. Hvert kvadrat har arealet 3 cm², derfor er sidelængden i hvert kvadrat cm. 4. Figur b: 3. Figur c: Figur a: 2 = 2 3 = 6 Figur b: 3 = 3 5 = 15 Figur c: 2 = 2 2 = 4 2 = 8. b c d. 0,09 4. a b. 1, = c d a. x = 2 b. x = 2 c. x = 2 d. x = 3 e. x = 1 6. a. 6 cm b. 10 cm c. 9 cm d. 1 cm 7. a = i, b = f, c = j, d = g, e = h 8. a. Sandt b. Falsk c. Sandt d. Falsk 9. a. 13 b. 28 c. 13 d. 2489,5 e f Side a b c d e a. 0,001 b. 0,05 c. 0,0003 d. 0,1 3. a TAL OG REGNING 7