TechnicalReportDIKU-TR-97/14 DepartmentofComputerScience UniversityofCopenhagen Universitetsparken1 2100KBH DENMARK May1997 Multioplsningsanalyse,ortogonale waveletsogkvadraturltre MortenNicolajPedersen

Multioplsningsanalyse,ortogonale waveletsogkvadraturltre MortenNicolajPedersen 8.maj1997 formereetsignal,frdetanalyseres.ensadantransformationharoftekarak- terafoplsningafsignaletienlinearkombinationafbestemtebyggeblokke resultatetersakoecienterne. somoplseretsignalitidsbegrnsedesvingningerafenbestemtfrekvens. anvendte.enulempevedstfter,atderkanopstaetdilemmaiforbindelse Denerindlysendeatfremhvefordi,denindtilforfaarsidenvardeneneste Detkanoniskeeksempelerkort-tidsFouriertransformationen(STFT), 1Indenfordisciplinenmnstergenkendelseerdetenklassiskmetodeattrans- Forord medvalgafvinduetsstrrelse.vlgesdetforsmalt,erderikkeinformation nokatanalysere,hvorimodetforbredtvinduebevirker,atmanikkeanalysereretjebliksbillede.desudenkandetvresvrtoverhovedetatvide, medbilledbehandling.endiskretiseringsvarertilenopdelingaffrekvensakseniintervallerafkonstantbredde!1.detteeruheldigtsetiforholdtil,at forskningindenforpsykofysiologiharsandsynliggjort,atmennesketsplitter ManhardesudenpapegetenandenhagevedbrugafSTFTiforbindelse hvortemporrdeninformation,mannskeratudvinde,er. Denbaserersigpadekompositionafetsignalvha.elementrebyggeblokke, skala. synsindtrykopifrekvensband,derharkonstantbreddepaenlogaritmisk derharlokaliseringibadetidogfrekvens.detinteressanteer,atteknikken blevopdagetpatoforskelligemaderuafhngigtafhinanden.beggefaconer Detteprojektbeskriverentransformation,derikkehardissesvagheder. MatLabillustrativeeksempler. skitseres,ogforbindelsenklarlgges.desudengivesviaenimplementationi 1Selvflgeligsamplermanogsaitidsdomnet-f.eks.medhastigheden1=t. 1

2ORTOGONALEWAVELETS 2 Ortogonalewavelets 2 Tilbrugvedmnstergenkendelseharmanforeslaetgrov-til-nanalyse.En sadantagersitudgangspunktietsignalsapproksimationer(aj)j2zvedforhandledetparalleltvedereoplsningervha.(dj)j2zudfraenbetragtnindetdetaljernevedoplsningj iinformationvedoplsningaj+1ogajskelligeoplsningerj.derafforsgermanatdestillereforskellendj kal- delafsignaletpaennereskala.detskullesavremuligt,atgenkende om,atinformationenpaengrovereskalagiverkontekstenfordentilsvarende Dermedhavesenalternativreprsentationafsignalet.Tankenersaatbe- multioplsnings-transformation. ningenafreprsentationen,derergrundlagetformetodensbrug,kaldesen fordeliforholdtilstft,hvormanmalggesigfastpaetvindue.fremskaf- mnstre,derharkarakteristikapavidtforskelligeskalaer.detteerenklar foretagenet. somanalysegrundlag.ensadanliderdogunderdenskavank,atinformationenpaforskelligeniveauererkorreleret.denneredundansbesvrliggrer Burtetal.[1]ogCrowley[2]harforeslaetetsignalsLaplace-pyramide lysen.jeglggersaledesudmedatskaeoverblikvedatbeskftigemigmed vilbliveomtaltiprojektet.denermatematiskogoprinderifunktionalanation,hvordetteikkeertilfldet.deterdeneneafdetoindfaldsvinkler,der Mallatsarbejdemedmultioplsning[3],[4]harresulteretientransformaalisering.Blotbliverderikketaleomendenition,derkansynestagetud afluften-dersuppleresmedintuitiveargumenter,somretfrdiggresafde funktioner,frderdiskuteresdiskretiseringafbegreberneogtilhrendere- aksiomatiseringafegenskaberienkontinuertrammeafkvadratiskintegrable 2.1 strkeresultater,somkanudledes. parameter.dermedbliverreprsentationennemligdelvistskala-invariant. Deternskeligt,atforholdetmellemstrrelsenafaj+1ogajerligenfast Approksimation Forennemhedsskyldvlgermannormaltenfordobling,dvs.manerinteresseretioplsningerne(2j)j2Z. skalhaveflgendeegenskaber. 1.A2jerdenortogonaleprojektionenaff(t)paetbestemtunderrum OperatorenA2j,dertilnrmeretsignalf(t)2L2(R)vedoplsningen2j, afl2(r),somskrivesv2j.dvs.a2jskalvrelinerogudvlgeden funktioniv2j,somertttestpaf(t)inormforstand: 8g(t)2V2j:kg(t) f(t)kka2jf(t) f(t)k

2ORTOGONALEWAVELETS MankantnkepaV2jsommngdenafmuligetilnrmelservedoplsningen2jaffunktioneriL2(R). 3 2.ApproksimationenA2jf(t)kanberegnesudfraA2j+1f(t).Detteprincip 3.Approksimeringsmetodenafhngerikkeafoplsningen,savedskaleringkanmanbevgesigmellemunderrummene: 8j2Z:V2jV2j+1 kanogsaformuleres: 4.A2jf(t)erbeskrevetved2jsamplesiintervallet[t0;t0+1[;t02Z. Forskydesf(t)stykket2 jk;k2z,glderdetsammefora2jf(t)og 8j2Z:f(t)2V2j,f(2t)2V2j+1 (1) debeskrivendesamples.deternokatformuleredissetrekravforj=0, da(1)oginduktionsagiverdemforhelez.altsa: DerndesenisomorImellemV1ogI2(Z) 8k2Z:A1fk(t)=A1f(t k);hvorfk(t)=f(t k) 5.Naroplsningennrmersig+1hhv.0,nrmerapproksimationensig detoprindeligesignalhhv.0: I(A1f(t))=(i)i2Z,I(A1fk(t))=(i k)i2z Mngdenlim j!+1v2j= j= 1V2jerttiL2(R) +1[ j! 1V2j= lim j= 1V2j=f0g +1\ kaldesenmultioplsningsanalyseafl2(r). Ensamlingvektorrum(V2j)j2Zogoperatorer(A2j)j2Zopfyldendedissekrav (D2j)j2Z,somgiverdetaljerne,maseud.DaA2j+1hhv.A2jerdenortogonale 2.2 Givetenmultioplsningsanalysesesdetlet,hvordandetilhrendeoperatorer Detaljer projektionpav2j+1hhv.v2j,giverdekompositionsstningen(se[5]),atd2j erdenortogonaleprojektionpao2j,hvorv2j+1=v2jo2j.

2.3 2ORTOGONALEWAVELETS Skaleringsfunktionogortogonalwavelet 4 Detvisersig,atenmultioplsningsanalyseharengyldenegenskab: Stning1St2j(t)=2j=2(2jt)ogladenmultioplsningsanalyseaf tionellerfaderwavelet(t)2l2(r),sa(2j(t 2 jn))n2zerenortonormal basisforv2j. L2(R)vregivet.Sandeseninjektivtogentydigtbestemtskaleringsfunk- enskaleringsfunktionsfouriertransformerede: forklares,hvorfordetindreproduktdukkeropiflgendekarakteriseringaf operatorerne(a2j)j2z,hvilketjegvendertilbagetiliafsnit2.4.1.iafsnit2.5.1 Detteresultatabneropforeneksplicitkarakteriseringafapproksimations- diskreteltermedimpulssvark0(n)=1 Fourierrkkengivetved: Stning2Lad(t)2L2(R)vreenskaleringsfunktionogladK0vredet K0(!)=+1X p2h2 1(u);(u n)i.ladk0(!)vre SaopfylderK0(!): n= 1k0(n)exp( in!) (2) jk0(0)j=1 k0(n)=o(n 2) (3) LadomvendtK0(!)vreenFourierrkkeopfyldende(3)-(5)samt jk0(!)j2+jk0(!+)j2=1 (4) (5) Saerfunktionen,hvisFouriertransformeredeer: 8!2[0;=2]:jK0(!)j6=0 (6) enskaleringsfunktion. ^(!)=+1Yp=1K0(2 p!) (7) FiltreK0,somopfylder(5),kaldeskonjugeredeltre,ogharvretgenstand formegenopmrksomhedisignalbehandlings-litteraturen.stning1haren analog:

Stning3Ladenmultioplsningsanalysemedskaleringsfunktion(t)og 2ORTOGONALEWAVELETS 5 konjugeretlterk0vretgivet.denerdaenortogonal(moder)wavelet (t)veddensfouriertransformerede: ogst O2j,ogladerman(n;j)2Z2,fasenortonormalbasisforL2(R). 2j(t)=2j=2 ^(!)=K1(!=2)^(!=2);hvorK1(!)= exp(i!)k0(!+) (2jt).Saer( 2j(t 2 jn))n2zenortonormalbasisfor (8) Hermederdetmuligtogsaatkarakterisere(D2j)j2Zeksplicit.Derhenvises tilafsnit2.4.2. atmankanvlgek0,sa(t)og indirektemedenskaleringsfunktionogenortogonalwavelet.detvisersig, Givetetkonjugeretltersomogsahonorerer(3),(4)og(6),starmanaltsa 2.4 Diskretisering (t)farlokaliseringibadetidogfrekvens. Detforklaresnu,hvordanStning1hhv.Stning3kananvendestilat karakterisereoperatorena2jhhv.d2jeksplicit. aff(t)identilradighedstaendebasisforv2j: 2.4.1Approksimation Forapproksimationsoperatorensvedkommendedrejerdetsigomoplsningen A2jf(t)=+1X A2jf(t)benvnesdenkontinuerteapproksimationaff(t)vedoplsningen n= 1hf(u);2j(u 2 jn)i2j(t 2 jn) 2j,ogereraltsakarakteriseretvedenmngdeindreprodukter,somskrives: ogkaldesdendiskreteapproksimationaff(t)vedoplsningen2j.dadet indreproduktsimpelthenerenintegrationoverr,kandetskrivessomen Ad2jf=(hf(u);2j(u 2 jn)i)n2z foldning: AltsakanAd2jfbetragtessomvrendefremkommetvedenltreringaff(t) efterfulgtafuniformsamplingmedafstand2 j.idet,derertaleomapproksimationogdermedudviskningafdetaljer,kanmantnkepa(t)somet hf(u);2j(u 2 jn)i=(f(u)2j( u))(2 jn) lav-paslter.

2.4.2Detaljer 2ORTOGONALEWAVELETS 6 skalbeskrivesudfrligt.deroplsesibasenforo2j: Forlbeternaturligvisdetsamme,naroperatoren,deruddragerdetaljer, D2jf(t)kaldesdetkontinuertedetalje-signalforf(t)vedoplsningen2j,og D2jf(t)=+1X n= 1hf(u); 2j(u 2 jn)i 2j(t 2 jn) eridenticeretveddeindreprodukter: somkaldesdetdiskretedetalje-signalforf(t)vedoplsning2j. Dd2jf=(hf(u); =(f(u) 2j(u 2 jn)i)n2z MankanaltsaligeledesseDd2jfsomresultatetafenltreringaff(t), 2j( u))(2 jn)n2z irregularitetenafsignaletvedoplsningen2j+1. lter,hvilketfaldergodtitradmed,atenergienidd2jfgiveretmalfor derersampletuniformtmedafstand2 j.da som(t)ladertilbage,erdetnaturligtattnkepa (t)uddragerdeninformation, (t)somethj-pas oplsning.forennemhedsskyldantages,atdenneer1.dvs.givetersignalet 2.4.3Ortogonalwaveletreprsentation Ad1f=Ad20f.DetkanvisesvedinduktionoverJ,atdetteoprindeligesignal Ipraksisvilmanstamedetsignal,derermaltvedenbestemtendelig erreprsenteretaf: Istedetanfresiafsnit2.5.2etrekonstruktionsargument.ParallellentilCrow- Dettekaldesdenortogonalewaveletreprsentation.Bevisetfresikkeher. (Ad2 Jf;(Dd2jf) Jj 1) (9) leyogburtetal.erindlysende.ad2 JfsvarertildenGaussisketopafLaplace- pyramiden,og(dd2jf) Jj 1erlagenenedenunder. ligevelkandetiforbindelsemedenanvendelseforekomme,atmanforsger detumiddelbartsvrtatbetragte(9)somenopsplitningafad1fifrekvenskanaler.determeregivtigtatihukommerelationenv2j+1=v2jo2j.al- Defrekvensomrader,som(t)og (t)slipperforbi,overlapper.detgr manmedhenblikpaatundgagrnseproblemersymmetrimht.0ogm: atgresammenfaldetubetydeligt. stikprver,menad1f=(n)1nm,hvormerentoerpotens.normaltantager Detoprindeligesignalbestarselvflgelighellerikkeafnumerabeltmange n= n 2M n;0<n<m ; M<n<0

ErimpulssvaretforH,somdeneresi(13),lige,vilAd2jfvresymmetrisk 2ORTOGONALEWAVELETS 7 mht.0og2 jm. tionikkeredundant.nar,somantaget,detoprindeligesignalbestarafm samples,erbadead2jfogdd2jfbeskrevetved2jmsamples, Jj 1, ogkoecienterneeruafhngigeistatistiskforstand. ImodstningtilLaplace-pyramidererenortogonalwaveletreprsentaanalyseerresultatetafdentilknyttedetransformation. Detunderstreges,at(9)medJ=log2(M)forengivenmultioplsnings- beskrivesnedenfor. SignalerneAd2jfogDd2jfkanberegnesvedensimpel,iterativalgoritme,som 2.5 Realisering 2.5.1Oplsning 2j(t 2 jn)tilhrerv2jv2j+1,hvorforstning1giverflgendeoplsning ibasis: Vedsubstitutionunderintegraltegnet2fasidentiteten: 2j(t 2 jn)=+1x k= 1h2j(u 2 jn);2j+1(u 2 j 1k)i2j+1(t 2 j 1k)(10) manmed: Tagesdetindreproduktaff(t)medhversideaf(10),ogudnyttes(11),star h2j(u 2 jn);2j+1(u 2 j 1k)i=h2 1(v);(v (k 2n))i (11) hf(u);2j(u 2 jn)i=+1x LadnuHvredetdiskreteltermedimpulssvardeneretved3: k= 1h2 1(u);(u (k 2n))ihf(u);2j+1(u 2 j 1k)i 8n2Z:h(n)=h2 1(u);(u n)i (12) (12)haves: oglad~hvrespejlltretmedimpulssvar~h(n)=h( n).indsttes(13)i (13) 2v=2(2ju n). hf(u);2j(u 2 jn)i=+1x 3Bemrkanalogientilk0(n)iStning2. k= 1~h(2n k)hf(u);2j+1(u 2 j 1k)i (14)

Ligning(14)viser,atAd2jffasvedatfoldeAd2j+1fmed~Hogbeholdehverandensampleiresultatet. Vedlignenderegningerfas,athvismanladerGvredetdiskretelter 2ORTOGONALEWAVELETS 8 medimpulssvaret:8n2z:g(n)=h ogstter~gtilspejlltretmedimpulssvar~g(n)=g( n),kanmanskrive: 2 1(u);(u n)i (15) hf(u); 2j(u 2 jn)i=+1x ogaltsavedatfoldead2j+1fmed~gogsmidehverandensamplevkkomme k= 1~g(2n k)hf(u); 2j+1(u 2 j 1k)i eniterationidennepyramide-algoritme.-#2 atdekomponeread2j+1fiad2jfogdd2jffor Jj 1.Figur1illustrerer tilatstameddd2jf AltsakanmanskaesigenortogonalwaveletreprsentationforAd1fved Ad2j+1f - ~H G ~ -#2 - A d2jf Figur1:Oplsning. Dd2jf 2.5.2Rekonstruktion Derglder2j+1(t 2 j 1n)2V2j+1=V2jO2j,hvorforderhavesoplsningen: 2j+1(t 2 j 1n)= k= 1h2j+1(u 2 j 1n);2j(u 2 jk)i 2j(t 2 jk) +1X + k= 1h2j+1(u 2 j 1n); +1X 2j(t 2 jk) 2j(u 2 jk)i identiteten(11)ogentilsvarendefor Betragtermandetindreproduktaff(t)medbeggesideraf(16),bruger 2j(u 2 jn),samtbenyttersigaf (16)

denitionerne(13)og(15)paltrenehoggfarman: 2ORTOGONALEWAVELETS 9 hf(u);2j+1(u 2 j 1n)i= k= 1h(n 2k)hf(u);2j(u 2 jk)i +1X + k= 1g(n 2k)hf(u); +1X Denneligningviser,atAd2j+1fkanrekonstrueresvedindsttelseafnuller 2j(u 2 jk)i mellemhvertparafsamplesiad2jfogdd2jf,efterfulgtaffoldningmedh hhv.g.detteerillustreretifigur2.- Ad2jf -"2 H +j- Ad2j+1f Dd2jf Figur2:Rekonstruktion. "2 - G 2.6 tionalanalysen4.medsymbolbrugen Jegvilkortargumenterefor,hvorforMallatstilgangharsinvuggeifunk- Kortomwaveletsgenerelt Grossmani[6]wavelettransformationen(WT)aff(t)2L2(R)som: WTf(s;p)=hf(t); s(t p)i;(s;p)2r+r s(t)=ps (st)deneredemorletog interessanteer,atderomdenfouriertransformeredeaf Dvs.somoplsningenaff(t)ifamilien( sentationernormaltredundant,ogrekonstruktionerikkealtidmulig.det s(t p))(s;p)2r+r.dennerepr- ^s(!)=1ps^(!s) s(t)glder: neresf(t)ifrekvensband,hvisbreddeerkonstantpaenlogaritmiskskala. AltsavariereroplsingenafWTmedskalaparametrens.Specieltdekompo- Henvisningerneermedtagetforfuldstndighedensskyld. ponentielt.antagatmantagerstikprveri(j)2z.samapidetilhrende 4Mitkendskabtilvrkerne[6],[7]og[8],somrefereresnedenfor,erindirektegennem[4]. Erdagsordenendiskretisering,erdetderforndvendigtatsampleseks-

3KVADRATURFILTRE kanalersamplesmedenhastighed,dererproportionalmedj,f.eks.j=. 10 Altsakandendiskretewavelettransformation(WTd)skrives: Denoplseraltsaf(t)ifunktionerne WTdf(j;n)=WTf(j;n=j);(j;n)2Z2 wavelets Deterafdissevalg=2og=1navnetortogonalwaveletkommer5. afwtdblevopdagetafmeyer[7]ogstromberg[8],somviste,atderndes (t),sa( 2j(t 2 jn))(n;j)2z2erenortonormalbasisforl2(r). j(t (n=j))(j;n)2z2.envigtigklasse elementerhavdelokaliseringibadetidogfrekvens. detalmentvarmuligtatfremstilleetfuldstndigtortonormalsystem,hvis Eksistensresultatetgavgenlyd.Indtildahavdemanikkeregnetmed,at moderwavelet Irammenaffunktionalanalyseermanoftestinteresseretiatvlgesin hvorhurtigtwaveletkoecienterneaftagerinrhedenaft0.enafpionererne F.eks.afhngerregularitetenaff(t)it0underderetteforudstningeraf, egenskaberforenfunktionf(t)pabaggrundafdenswaveletkoecienter. (t),sadetkanladesiggreatudtalesigomforskellige paomradetharvretmeyer.isignalbehandlings-sammenhngsomf.eks. mnstergenkendelseogsubbandcoding seumiddelbartnedenfor nsker somdaubechies[9]konstruerede,ogsomgr(t)regulr.detteerikke eksemplerneiafsnit5ersaledesanvendtltretd4fradenklasseafltre, manderimod,atderesulterendeltrebliversadan,atberegningernekan implementereseektivt.nogleltrekanvrenyttigeibeggekontekster.i barenskvrdigtifunktionalanalytiskforstand,menogsaiforbindelsemed komprimeringvha.multioplsnings-transformation[10]. Denandenmade,denomtaltedekompositionsmetodeblevfundetpa,har 3rdderidenrenesignalbehandling.Naretkontinuertsignalsomf.eks.lyd Kvadraturltre stjidevalgtefrekvensintervaller,oggivermulighedforatbrugeforskellige ogkodedisseseparat.dennesubbandcodingindkapslerdenintroducerede derforafcrochiereetal.[11]blevetforeslaetatopsplittespektretidelband, diskretiseresvedsampling,vilderopstastjsomflgeafkvantisering.deter tilendiskretiseringafdetoprindeligesignal. sempelvistransmitteresellerlagreshverforsig,dekodesogsammensttes kbps-ratertilkodningafdistinkteband.deresulterendedelsignalerkanek- derndesbasiser,somikkekanfremstillesafenmultioplsningsanalyse[9]. dersigtesefterenparalleltilortogonalewavelets,valgttilto.dvs.spektret 5SomdetanvendesafMallat,erbegrebetortogonalwaveletdogmerespecikt,idet Idetefterflgendeerantalletafkanalerforennemhedsskyld,ogfordi

delesmidtoverienversteognederstedel.saillustreresfremgangsmadeni 3KVADRATURFILTRE 11 sefigur3.vedltreringmedh0(z)hhv.h1(z)fremskaeslav-pas-hhv. z-domnet,hvorfoldningbestarimultiplikation,vedentogrenetlterbank hj-pas-delenafdetoprindeligesignalx(z).detteefterflgesafnedsampling medenfaktorto.dermederdettotaleantalsamplesireprsentationenaf X(z)undret.Dettebeskriveranalysedelen.Destipledeliniersymboliserer struktionsdelenbringestilatproducereeninterpolation^x(z)afx(z)vha. opsamplingogltreringmedg0(z)ogg1(z)."2 kodningogdekodning,samtevt.andenbehandling,frdelsignalerneirekon- X(z) H0(z) #2 - -G0(z) H1(z) -#2 "2 -G1(z) +6?- j ^X(z) kastedetenedelsignal,hvilketvillenedstteantalletafsamples,dvs.kompri- mere.detforekommerisrnaturligt,narinformationsindholdetafsignalet drastiskkunneman,somskrevet,kvantiseresampleshrendetildetmest X(z)apriorividesatvrefordeltujvntidetofrekvensomrader.Mindre Ensadanyderligerebehandlingkunnegansketrivieltbestaiheltatbort- Figur3:Filterbank. hhv.mindstinformationstungedel-bandmedesthhv.frrestbits. udnyttesijpeg-standardenforbilledkompression. tungereenddehjeifastlggelsenafdetsudseende,hvilketblandtandet Someksempelkannvnesetbillede.Delavefrekvenservilsomoftestveje efterperfektrekonstruktion,dvs.^x(z)=x(z),nardersesbortfrakodning ogdekodning,hvilketjegvilgreidetefterflgende.relationenkansaved ellerlaveregradafvigefradetoprindeligesignalx(z).mansigterimidlertid Afhngigtaf,hvadmanvlger,vildetrekonstrueredesignal^X(z)ihjere faktoriseringskrives: ^X(z)=12[H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)]X(z) hvisderikketageshensyntilvirkningenafop-ognedsamling,somsatil SermanbortfraX(),beskriverdetfrsteledimpulssvaretforlterbanken, +12[H0( z)g0(z)+h1( z)g1(z)]x( z) (17) genglderindeholdtidetandetled,ogdenfrsteafdetretyperfejl,analysen ogrekonstruktionenkanintroducere:

3KVADRATURFILTRE A.Aliasing.Velkendt. 12 C.Kort-tidsfrekvensforvrngning.Altsaatnoglefrekvenserdmpesmere B.Kort-tidsfaseforvrngning.Dvs.frekvenskomponenterneforskydesi endandre. forholdtilhinanden. andre,merebrugbaretyperafltre,hvilketbeskrivesnedenfor. ceredeltre.medrealiseringibaghovedeterdettergeligt.dereropdaget aliasing,derresulterer,beskeden,erdetndvendigtmedtemmeligkompli- I[11]benyttermansigafdisjunkteband-pasltre,menforatgreden reth( z)saledes,atanalyseltrenejvf.estebanoggaland[12]eretpar Antagnu,atH0(z)eretlav-paslterH(z),ogatH1(z)erhj-passpejllt- 3.1 Kvadraturspejlltre kvadraturspejlltre(qmf),somaltsaopfylder: Sakanaliasing-leddeti(17)afskrivesvedatvlge: H1(z)=H0( z) ForQMF-lterbankengldersa: G0(z)=2H(z) G1(z)= 2H( z) Dermedmenes,atkoecienterneijH2(z) H2( z)jbortsetfraenenkelt, Hvismanserbortfraforsinkelse,krverperfektrekonstruktionunitygain. ^X(z)=[H2(z) H2( z)]x(z) QMF-lterbankensakansimpliceres,ogdermedrealiseresmedhalvtsa trivielleliner-fasefirltre,dergiverunitygain.eteksempelherpaer somer1,alleer0.desudenerdetnskeligt,ath(z)erliner-fase,idet mangeltrepaenmade,saeektivitetenredobles.desvrreerdetkun sum-ogdierenceltrene: udvikletforskelligemetodertilatdesignehjereordensltre,mendemvil Denslagsltregiverikkemulighedforsucientfrekvensoplsning.Derer H0(z)=12(1+z 1) H1(z)=12(1 z 1) (18) jegikkeomtale.

3.2 3KVADRATURFILTRE Konjugeredekvadraturltre 13 kravetom,atltreneilterbankenallekanudtrykkesvedfrekvensforskydningogskaleringafdetsammelav-paslterh(z). Deternemligikkendvendigt,hvismansomSmithogBarnwell[13]fraviger Betragtmeddetforje(17)skrevetpamatrixform: ^X(z)=12xTBg xt=(x(z)x( z)) gt=(g0(z)g1(z)) Sasikresperfektrekonstruktionmoduloforsinkelsevedatopfylde: B=H0(z) H0( z)h1( z) H1(z) hvorn2z+erdenintroduceredeforsinkelse.denerermananalyseltrene Bg=2z N 0 sometparkonjugeredekvadraturltre(cqf): antagern2o,ogstter: H1(z)= H0( z 1)z N G0(z)=H0(z 1)z N=H1( z)g1(z)=h1(z 1)z N= H0( z)(20) (19) bliverimpulssvarets(z)forcqf-lterbanken: S(z)=12[H0(z)H0(z 1)+H0( z)h0( z 1)]z N hvorproduktlteretp(z)relaterertilh0(z)som: =12[P(z)+P( z)]z N Nugardetheleopienhjereenhed,hvisS(z)bloterforsinkelsen.Lidt manipulation: P(z)=H0(z)H0(z 1) (21) P+1 n= 1(1+( 1)n)p(n)z n=2 P(z)+P( z)=2 p(n)1+( 1)n 2m=(n) (22)

giverbetingelsenitidsdomnet.detdrejersigaltsaomatndeetlterp(z) 4ANALOGIEN 14 somfrstogfremmesthonorerer(22),mensomogsakanfaktoriseressom Pladsenbliverdogfortrang,hvisjegskalgainogenformfordetaljer. detektivarbejde,hvilketdaogsahargivetudslagietvldafdesignteknikker. krvetaf(21). Ermanikkeinteresseretienreal-time-implementeringvedfysiskekomponenter,behvermanikkeatlggeerebegrnsningerpaNenddeallerede nvnte.ellersmamanvlgen=l 1,hvorLerdeindgaendeltres Somdetbla.beskrivesi[13],erderblevetofretenmasseenergipadette lngde,deraltsaskalvreligeogpositiv. 4Detburdenuvreintuitivtklart,atmultioplsningsanalyseerbeslgtet medkvadraturltre,menforatgrekoblingenindlysende,anfrerjegnogle Analogien udregninger.sammenholdesligning(2)og(8)ogflgendeudledning: K1(!) exp(i!)+1x exp(i!)k0(!+) n= 1 k0(n)exp(i!(n+1))( 1)n n= 1k0(n)exp(in!)( 1)n fassammenhngen:k1(m)= k0( m 1)( 1) m 1 m = n 1m= 1 k0( m 1)exp( im!)( 1) m 1 +1X menhngmellemrekonstruktionsltrene: narkonjugeringantagesingeneektathave6.derforhavesenlignendesam- Iz-domnethavesaltsa: G(z)=P+1 n= 1 h( n 1)( 1) n 1z n=p+1 g(n)= h( n 1)( 1) n 1 n= 1 h(m)( 1)mzm+1 (23) ~G ~H =H(z 1) =G(z 1) = zp+1 n= 1h(m)( z)m = zh( z 1) 6HvilketogsakanindsesvedatanvendeinversFouriertransformationpa(8).

Denernurenyeltreved: 5EKSEMPEL 15 H0(z)=H(z 1) H01(z)=G(z 1)= z 1H0( z 1) Saerderfuldoverensstemmelsemedrelationerne(19)og(20)bortsetfraet G0(z)=H(z) G01(z)=G(z) =H0(z 1) =H01(z 1) =zh01( z) pardetaljer: = zh0( z) G0ogG1erforsinkedeiforholdtilG0ogG01,hvilketerndvendigtfor Idetheletagetopererermanikontekstenafsubbandcodingmed enmeregenerelforsinkelsen,enddenpa1,deroptrderimallats atkunnerealiserevha.kausaleltre. indfrt. i(8)istedetk1(!)= exp(in!)k0(!+),erdenalmeneforsinkelse fremstillingafmultioplsningsanalyse.ogalligevelikke.vlgerman kvadraturltre7.detomvendteglderdogikke,hvilketharatgremed(4). Enhvermultioplsningsanalysegiveraltsaanledningtiletparkonjugerede 5IWaveLab8erforfattetetprogram,derillustrererudvalgtedeleafovensta- ende: Eksempel SignalL=2^8; t=[1:signall]./signall; x=makesignal('bumps',signall); %Definitionaffiltre.BemaerkatMirrorFiltgiveralternerendefortegn, %Derfremstillesetsignal,derkanarbejdespaa. %produceres,mendenbliver,somg,forsinket-dvs.forskudtmod+\infty. %sigaf.detharingenindflydelsepaaformenafdenortogonalewavelet,som %atderikkeertaleomdenspecielleforsinkelsepaa1,sommallatbenytter %somogsaaimplementererforsinkelse.bemaerkatgerforsinketdetdobbelte %affilterpariforholdtilsindefinitionvedhiafsnittetanalogien-og %ogikkehvaddernormaltkaldesspejlfiltret.detfaasderimodvha.reverse, FilterType='Daubechies';FilterPar=4; H=MakeONFilter(FilterType,FilterPar) %afakserneimplicitantages,atpsisstoettestarteri0.antagelsen %densstoettefaktiskskalstartei0. %gresogsaaforskaleringsfunktionenphi,mendetharingenbetydning,da %Detkanmandogikkesepaafiguren,dadetiforbindelsemedmanipulation G=-reverse(MirrorFilt(H)); %Htilde=H(z^(-1)); 8http://playfair.stanford.edu:80/~wavelab/ 7Doginducereskvadtraturspejlltrene(18)afdenvelkendteHaar-basisforL2(R).

5EKSEMPEL 16 %Gtilde=G(z^(-1)); %Produktionafsclogwavvediteration.Efterkaskadeaf %rekonstruktionstrinnetskaleresfoerste-ogandenkooerdinaterpassende. J=10; Coeff=1;Coeff=UpSample(Coeff); phi=conv(coeff,h);psi=conv(coeff,g); fori=-(j-1):-1 phi=upsample(phi); phi=conv(phi,h); psi=upsample(psi); psi=conv(psi,h); end; domainshrink=2^(-j);rangeexpand=2^(j/2); i=1; forn=0:(length(phi)-1) scl(i)=rangeexpand*phi(n+1); wav(i)=rangeexpand*psi(n+1); domain(i)=n*domainshrink; i=i+1; end; figure(1); subplot(2,1,1);plot(domain,scl); ylabel('phi(t)');title('(a)'); subplot(2,1,2);plot(domain,wav); xlabel('t');ylabel('psi(t)');title('(b)'); %Oploesningsamtillustrationafresultatet. xopl=fwt_po(x,0,h); figure(2) subplot(3,1,1);plot(t,x); ylabel('x(t)');title('(a)'); v=axis;ymin=v(3);ymax=v(4);axis([01yminymax]); subplot(3,1,2);plotmultires(xopl,0,0,h); xlabel('');ylabel('j');title('(b)'); subplot(3,1,3);plotwavecoeff(xopl,0,0); xlabel('t');ylabel('j');title('(c)'); %Rekonstruktion. xrkst=iwt_po(xopl,0,h); %Simuleringaffilterbank. H0=MakeONFilter(FilterType,FilterPar); H1=-reverse(MirrorFilt(H0)); G0=reverse(H0); G1=reverse(H1); P=conv(H0,reverse(H0)); H0minus=MirrorFilt(H0); Pminus=conv(H0minus,reverse(H0minus)); S=.5*(P+Pminus) xhat=conv(x,s); %Illustrationafsammenhaengmellemx,xrkstogxhat. figure(3) subplot(3,1,1);plot(x); ylabel('x(t)');title('(a)'); subplot(3,1,2);plot(x-xrkst); ylabel('x(t)-xrkst(t)');title('(b)'); subplot(3,1,3);plot(xhat); xlabel('t');ylabel('xhat(t)');title('(c)'); v=axis;xmin=v(1);xmax=v(2);axis([xminxmaxyminymax]);

Narprogrammetudfres,produceresflgendeuddata: 6EFTERSKRIFT 17 H=0.4830 S= 0 0.8365 0.0000 0.2241-0.1294 indirektekonstruktionafortogonalwaveletogskaleringsfunktionvha.ltre, samttregurer.detteforklaresidetflgende. UdoverMallat se(7) hardaubechiesgjortsigtiltalspersonfor 0 1.0000 0 0.0000 0 byggedenudfra(t). mandereftererinteresseretidentilhrendemultioplsningsanalyse,kanman hvilketerdeneneafdetometoder9,manbenyttersigafidag[10].hvis detilhrendebasisfunktionersomvistpafigur2udfraenpassendevrdi lterh,hvoreftergdeneresjvf.(23).ideenersasimpelthenatsyntetisere af(9).ermanudeefterskaleringsfunktionenhhv.denortogonalewavelet, Underalleomstndighederlggermanudmedatdesigneetpassende skalmanstartemed: Dettegiver2 J(t)og (1;M 1 z} { 0;:::;0) 2 J(t),hvorfordermamanipuleres,frmanhar(t) hhv. (0; z} { 1;0;:::;0) M 1 afdetvalgte,kunstigesignal sefigur5.mansertydeligt,atdetalje- hviskoecienterkanasesafuddata. Programmetfremstillerogsaenillustrationafdenwavelettransformerede (t).resultatetkansespafigur4.derertagetudgangspunktid4-ltret, ketiforholdtilxermaskeumiddelbartsvrtatse,sidend4ersakort.man signalerneerstrstder,hvorxvarierermest. kandogtydeligtsporeforsinkelseniimpulssvarets,dererendelafuddata. Lgmrketil,atxrkstikkeerfaseforskudt,daWTdogIWTdikkeskalske Figur6visersammenhngenmellemx,xrkstogxhat.Atxhaterforsin- ogfigur2.enforskydningvilleogsavrekatastrofal,daad2jfogdd2jfikke villevreindbyrdessynkroniserede. ireal-time,hvorformanikkebehveratforsinkeikke-kausaleltreifigur1 dekrav,mannaturligtstillertilendekompositionsteknik,somkanbrugesved 6Deterblevetopridset,hvorfordentraditioneltanvendteSTFTikkeopfylder Efterskrift ^(!)=1];2[.Ergjortafbla.MeyerogStromberg. 9Denandenbestariatudglattewavelettensinc,derhardenFouriertransformerede

6EFTERSKRIFT 18 1.5 (a) 1 phi(t) 0.5 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2 (b) 1 0 Figur4:BasisgeneratorerhrendetilD4-ltret.(a)Skaleringsfunktion.(b) Ortogonalwavelet. 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 opdagetafmallat,dererbeskrevet,ogsomereteksempelpabegrebetwt. mnstergenkendelse.detgrderimoddenmultioplsnings-transformation t Detvisersig,atdeltre,manvilimplementeremed,erafsammetype,som dem,dererblevetforeslaettilsubbandcoding,nemligcqf. ellermankanladedemhavevilkarligtrstruktur. banks.somforklareti[10]kanmanf.eks.betragtebiortogonaleafslagsen, afdebehandledeemnerligefor.deternemmestatudtrykkedemvha.lter- Pafalderebetviljegogsagodtnvne,atderliggermangegeneraliseringer tioplsningsanalyser.idettetilfldekanmanopsplittesitsignaliuafhn- gige,rumligtorienteredekanaler,hvilketselvsagteretkraftfuldtvrktjtil bemrker,ermandogjvf.meyer[7]pasikkergrundmedseparablemul- Isrtransformationaferdimensionellesignalerstaraben.SomMallat[3] brugvedmnstergenkendelse. psi(t)

j j 6EFTERSKRIFT 19 6 (a) x(t) 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (b) 0 2 4 6 8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (c) 0 2 Figur5:GraskfremstillingafWTd.(a)Signaletx.Frsteaksenerskaleret 4 6 8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 tionsvrdier.pointener,atdenortogonalewaveletreprsentionerbrugt erttilatbetegnetilnrmelse-debestarselvflgeligafendeligtmangefunk- samtdekontinuertedetalje-signaler(d2jf(t)) Jj 1.Herbrugeskontinu- foratlettesammenligning.(b)denkontinuerteapproksimationa2 Jf(t), t somkoecientertil2 J(t)og deraltsatrkkes1fravrdierneafjpaandenaksen,hvilketogsaglder npahverskala.bidendvideremrkei,atwavelabisinfremstillinglader jtilhref (J 1);:::;0g.ForatopnasymbolkonsistensmedMallat,skal 2j(t 2 jn) Jj 1forpassendevrdieraf for:(c)dediskretedetalje-signaler(dd2jf) Jj 1.

6EFTERSKRIFT 20 6 (a) x(t) 4 2 0 0 50 100 150 200 250 300 0 x (b) 10 12 x(t) xrkst(t) 2 4 0 50 100 150 (c) 200 250 300 6 4 xogresultatetxrkstafiwtd.denopstargrundetdenendeligeprcision Figur6:(a)Oprindeligtsignalxmedfrsteaksenskaleret.(b)Forskelmellem 2 idatamatensaritmetik.(c)signaletxhat,derkommerudaflterbanken. Bemrkforsinkelsen. 0 0 50 100 150 200 250 300 t xhat(t)

LITTERATUR Litteratur 21 [1]P.J.BurtogE.H.Adelson:TheLaplacianPyramidasaCompact [2]J.Crowley:ARepresentationforVisualInformation,Tech.Rep. ImageCode,IEEETrans.Commun.,vol.COM-31,april1983,side CMU-RI-TR-82-7,RoboticsInst.,Carnegie-MellonUniv.,1987. 532-540. [3]S.G.Mallat:ATheoryforMultiresolutionSignalDecomposition:TheWaveletRepresentation,IEEETrans.Patt.Anal.and Mach.Intell.,vol.11,juli1989,side674-693. [4]S.G.Mallat:MultifrequencyChannelDecompositionsofImagesandWaveletModels,IEEETrans.Acoust.,SpeechandSignal [5]G.Grubb:Matematik2MA1994-95KapitelIV.Fourier Process.,vol.37,december1989,side2091-2110. [6]A.GrossmanogJ.Morlet:DecompositionofHardyFunctionsinto SquareIntegrableWaveletsofConstantShape,SIAMJ.Math., Analyse. [7]Y.Meyer:Principed'incertitude,baseshilbertiennesetalgebres d'operateurs,prsenteretvedbourbaki-seminaret,1985-1986(paper vol.15,1984,side723-736. [8]J.Stromberg:AModiedFranklinSystemandHigher-Order SystemsofRnasUnconditionalBasesforHardySpaces,Proc. 662). [9]I.Daubechies:TenLecturesonWavelets,SocietyforIndustrialand Series,side475-493. Conf.HarmonicAnal.Honorofa.Zygmund,vol.2,WadsworthMath [10]K.Ramchandran,M.VetterliogC.Herley:Wavelets,Subband AppliedMathematics,Philadelphia,Pennsylvania,1992,kapitel5. [11]R.E.Crochiere,S.A.WebberogJ.L.Flanagan:DigitalCodingof SpeechinSub-bands,Proc.1976IEEEInt.Conf.Acoust.,Speech, Coding,andBestBases,Proc.IEEE,vol.84,no.4,april1996. SignalProcessing,maj1976.

LITTERATUR [12]D.EstebanogC.Galand:ApplicationofQuadratureMirrorFilterstoSplitBandVoiceCodingSchemes,Proc.1977IEEEInt. 22 Conf.Acoust.,Speech,SignalProcessing,Hartford,CT,maj1997,side 191-195. [13]M.J.T.SmithogT.P.Barnwell:ExactReconstructionTechniques fortree-structuredsubbandcoders,ieeetrans.acoust.,speech andsignalprocess.,vol.assp-34,no.3,juli1986,side434-441.