PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e."

Transkript

1 PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition

2 Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, rue Laromiguière, Paris ISBN

3

4 f : I C I R+ C. +, 0, a, a R x α f(x) x x x 1 f K E, A n(k) f(x) =λx λ K, x E {0}. f χf f E χf, ( ) 5 4 A = 2(R). 6 5 ( E ) f(p ) = λp P 0, P, P P. E f A χa A χa(λ) = 5 λ λ =(λ2 25)+24=λ 2 1=(λ + 1)(λ 1), A 1 1 R (A) ={ 1, 1} 1 ( x X = 2,1(R) y) X (A, 1) AX = X { 5x +4y = x x = y, 6x +5y = y ( 1 (A, 1) = ( ) (A, 1)=1, 1) X (A, 1) AX = X { 5x +4y = x 6x +4y =0, 6x +5y = y ( 2 (A, 1) = ( ) (A, 1)=1. 3) A 2(R)

5 I R (fn : I R)n N (Ak)k N I I k N Ak = I k N (fn)n Ak (fn)n (fn : I R)n N (Ak)k N I Ak = I k N (fn)n Ak (fn)n k N I (fn)n N f I n N fn f (fn)n N (gn)n N I (fngn)n N I I (fn)n N I g (fng)n N fn C.U. n f gn C.U. g fn + gn f + g n n (fn)n N f I n N fn C 1 I f C 1 I (fn)n N f I n N fn C 1 I (f n)n N I (Pn :[0;1] R)n1 R f f (fn : R R)n N C 1 (f n)n N R (fn)n N R y = f(x) Γ y = f(x), f(x) = 3 x 2 (x 6). { x(t) =t 2 1 Γ y(t) =2t 3 +3t 2 1. x(t) =t t Γ y(t) = t t. y = f(x) x Γ y = f(x), f(x) = x, f : R R, x f(x) = x. f C R f (n) (x) (n, x) N R. n N {0, 1} f (n) (x) =0, x R. C 1 (a, b) R 2 a b, f :[a; b] C C 1 [a; b]. b f(x) λx x a λ + 0. C 0 f :[0;+ [ R( C (xn)n N ]0 ; + [ xn n N, f(xn) =0 ). k N, f (k) (0) = 0. n 0 (x, y) R 2 x (1 + x) 0 <x<y < y (1 + y). 1 4 S = AA, n(r). S n +. λ R (S). V S λ. R (S) R+. XSX X n,1(r). L1,L2,L3 A L1 2 =1 L2 = ( a b c ) (L1 L2) = 0 L2 2 2 =1, L3 = L1 L2. Ω 3(R). (Ω). (Ω) =1 1. (Ω) =1 f f = E3 f f ΩX = X, X 3,1(R). θ f (Ω)=1+2 θ, θ [x, f(x), I] x E3 I I f (Ω) = 1 Ω f f f (M, N) ( n(r) ) 2 ( fa(m) fa(n) ) =(M N). S. ( A ) A = n ( A )=1, X n,1(r) {0} AX = λx. XSX C = AB BA. C n(r), C 2 n(r), C 4 + n. n(r). X X 3 = n. ( AA) = 2 (A) = 1. χ AA AA X (A). Y n,1(r), λ R, k N 1 1, k = t k 1 t XHnX X = x1 n,1(r). A A, A 1 + B. S = PDP 1, P n(r),d = (λ1,..., λn) n(r). P =(pij)ij. n i {1,..., n}, sii = λkp 2 ik. f λk p 2 ik, 1 i n. S ++ (X + λy )A(X + λy ) 0. k=1 0 xn f : x x. S + n S / ++ n n. S = A A S.

6 t R x 1 9 ( 6 x x I (a, b) R 2 x [a; b] I fn(x) n0 I =[0;1[ fn : I R, x x n I =[0;1[ fn : I R, x x n I =[ 1;1], fn : x x + 1 n +1 x + 1 n +2, + fn(x) = x +1 x n=0 n N 0 fn + gn fn + gn. I = R fn : I R, x 1 n 2 g : I R, x x fn I n1 fng n1 I n N 0 fng fn g. fn fn [1 ; + [ n1 1 (n +1) x 1 1, Rn n +1 n +1 ]1 ;+ [ =1 Rn n Rn(x) fn+1(x) = Rn 0 fn [1 ; + [ n n1 f : x 3 x 2 (x 6) R R {0, 6} x R {0, 6}, f x(x 4) (x) = ( 3 x 2 (x 6) ) 2 f x f (x) f(x) t x (t) x y y (t) f(x) =x x = x ( y ) 2 + o ( 1 x 2 )) = x 2 4 ( 1 ) x + o, x Γ D y = x 2, + Γ D y 1 O x Γ D 1 O 1 x A 1 x y C 1 R x (t) =2t, y (t) =6t 2 +6t =6t(t +1). x y +, x y 1 0, { x (t) =0 Γ t R, y (t) =0 t =0, Γ

7

8

9 K K R C n,p (K) K = R C

10 E K A, B, C E A +(B C) (A + B) (A + C). B C B, A +(B C) A + B, B C C, A +(B C) A + C A +(B C) (A + B) (A + C). x A +(B C) a A, y B C x = a + y a A y B x = a + y A + B a A y C x = a + y A + C x (A + B) (A + C) F, G E E F G = {0} F + G = E F F G G F G F G E F G = {0} F + G = E (E) = (F )+ (G), E n N n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) 0 n(r) α R, A,B n(r) (αa + B) =α A + B = αa + B, αa + B n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) 0 n(r) α R, A,B n(r) (αa + B) =α A + B = α( A)+( B) = (αa + B), αa + B n(r) n(r) n(r)

11 {0} n(r) n(r) A n(r) n(r) A = A A = A, 1 A = A, 2A =0 2A =0, A =0 2 n(r) n(r) {0} n(r) n(r) ={0} n(r)+ n(r) n(r) M n(r) S n(r), A n(r) M = S + A S n(r), A n(r) M = S + A M = (S + A) = S + A = S A. 1 2 S = 1 2 (M + M), A = 1 2 (M M). S = 1 2 (M + M), A = 1 2 (M M). S = 1 2 ( M + M) =S, S n(r) A = 1 2 ( M M) = A, A n(r) E = R 4 a =(1, 1, 1, 1), b =(1, 2, 3, 0), c =(1, 1, 1, 4), d =(1, 2, 3, 0), F = (a, b), G = (c, d). F G E S + A = 1 2 M + 1 M M 1 M = M, (S, A) 2 n(r)+ n(r) = n(r) n(r) n(r) n(r) n(r) (a, b) (c, d) F =(a, b) F G =(c, d) G F G =(a, b, c, d) E (F G)=4= (E), F G (α, β, γ, δ) R 4 α + β + γ + δ =0 α +2β γ +2δ =0 αa + βb + γc + δd =0 α +3β + γ 3δ =0 α +4γ =0 α = 4γ α = 4γ γ =0 β 3γ + δ =0 β = γ + δ δ =0 2β 5γ +2δ =0 2γ +2δ =0 α =0 3β 3γ 3δ =0 3γ +4δ =0 β =0. F G E F G E E

12 E K 5 F, G E F G = {0}, (F )=2, (G) =3. F G E (F +G) = (F )+ (G) (F G) =2+3 0 =5= (E), F + G = E F G = {0} F + G = E F G E E 1,..., E N E (x 1,..., x N ) E 1... E N N x i =0 = ( i {1,..., N}, x i =0 ) ( N ) N E i = (E i ) E 1,..., E N E R R R F 1 F 2 F 3 E ] ;1] ] ; 1] [1 ; + [ [ 1;+ [ F 1,F 2,F 3 E A R F = { f E ; x A, f(x) =0 } E F E 0 F α R, f,g F x A, (αf + g)(x) =αf(x) + g(x) =0, αf + g F }{{}}{{} =0 =0 F E F 1,F 2,F 3 E f 1 F 1,f 2 F 2,f 3 F 3 f 1 + f 2 + f 3 =0 x ] ; 1] F 1 F 2 f 1 (x) =0 f 2 (x) =0 f 3 (x) = ( f 1 (x)+f 2 (x) ) =0. x ] ; 1], f 3 (x) =0. F 3 x [ 1;+ [, f 3 (x) =0. x R, f 3 (x) =0, f 3 =0 f 1 =0 f 2 =0 F 1,F 2,F 3

13 (f a) a R a R { 0 x a f a : R R, x 1 x>a N N, a 1,..., a N R λ 1,..., λ N R N λ k f ak =0. k=1 i {1,..., N} λ i 0 f ai = 1 λ k f ak. λ i k i a R f a R {a} f a a 1 λ k f ak a i λ i k i f ai a i i {1,..., N}, λ i =0, (f ai ) 1iN (f a) a R (f a) a R (f a) a R a R f a : R R, x (x + a) a R x R, f a(x) =(x + a) = a x a x, f a =( a) +( a). f a f 0,f 1,f 2, (f 0,f 1,f 2 ) (f a) a R (f a) a R

14 H E E H E H 1 H H E (H) = (E) 1, E H 0 R E E R H E D E (1) 1 H D = {0} 0 0 u =(u n) n N E l u v = u (l) u = v +(l), v H, (l) D. H + D = E D H E H E { 1/2 } H = f E ; f =0 0 R E = C([0 ; 1], R). 1/2 ϕ : E R, f f 0 E 1/2 ϕ(1) = 1= H = (ϕ) E n N H = C n 1 [] E = C n[] E C H E (E) =n +1, (H) =n (H) = (E) 1 H E

15 0. N N, E K p 1,..., p N E N p i =0. i {1,..., N}, p i =0. i {1,..., N} E p i E (p i )= (p i ). ( N ) N N 0= p i = (p i )= (p i ). }{{} 0 i {1,..., N}, (p i )=0 i {1,..., N}, p i =0. A n,p (K) (A) =r P ( n (K), ) Q p (K) A = P n,p,r Q, r 0 n,p,r = 0 0 n,p (K). n, p, q, r N,A p,q(k), B n,r(k) (B) (A) (P, Q) n,p(k) q,r(k), B = PAQ. = (B) (A) a = (A), b = (B) R p(k), S q(k) A = R p,q,as T n(k), U r(k) B = T n,r,b U b a ( ) ( )( )( ) b 0 b 0 a 0 b 0 J n,r,b = = = n,p,b p,q,a q,r,b. B = T n,r,b U = T n,p,b p,q,a q,r,b U =(T n,p,b R 1 )(R p,q,as)(s 1 q,r,b U). P = T n,p,b R 1 n,p(k) Q = S 1 q,r,b U q,r(k), B = PAQ = (P, Q) n,p(k) q,r(k) B = PAQ (B) = ( (PA)Q ) (PA) (A).

16 n N A, B, C, D n(k) (α, β) K 2 α β ( ) ( ) α n 0 A B J =, M =. 0 β n C D M J B =0 C =0. ( )( ) ( )( ) α n 0 A B A B α n 0 JM = MJ = 0 β n C D C D 0 β n ( ) ( ) αa αb αa βb = βc βd αc βd { αb = βb βc = αc { (α β)b =0 (α β)c =0 { B =0 C =0. E K F E n = (E) p = (F ) L F (E) E F L(E) L F (E) L(E) G F E L F,G (E) E F G L(E) L F,G (E) L(E) L F (E) L(E) 0 L F (E) α E, f,g L F (E) x F, (αf + g)(x) =αf(x) + g(x) F, }{{}}{{} F F F αf + g αf + g L F (E) L F (E) L(E) E B = (e 1,..., e n) F (e 1,..., e p) F f L(E), M = B (f) F f M ( ) A B M =, 0 C A p(k), B p,n p (K), C n p (K) p(k) p,n p (K) n p (K) L F (E) (A, B, C) f E ( ) A B B (f) =, 0 C ( L F (E) ) = ( p(k) p,n p (K) n p (K) ) = ( ) p(k) + ( p,n p (K) ) + ( n p (K) ) = p 2 + p(n p)+(n p) 2 = n 2 np + p 2. L F (E) L(E) ( L F (E) ) = ( L(E) ) 1. ( )

17 ( ) n 2 np + p 2 = n 2 1 np p 2 =1 p (n p)=1 }{{}}{{} { p =1 n p =1 { n =2 p =1. N N L F (E) L(E) n =2 p =1 L F,G (E) L(E) L F,G (E) = L F (E) L G (E), L F,G (E) L(E) E B =(e 1,..., e n) E = F G (e 1,..., e p) F (e p+1,..., e q) G f L(E), M = B (f) F G f M ( ) A 0 M =, 0 C A p(k), C n p (K) p(k) n p (K) L F,G (E) (A, C) f E ( ) A 0 B (f) =, 0 C ( L F,G (E) ) = ( p(k) n p (K) ) = ( ) p(k) + ( n p (K) ) = p 2 +(n p) 2 ( L F,G (E) ) = ( L(E) ) 1 = n 2 2np +2p 2. n 2 2np +2p 2 = n 2 1 2(np p 2 )=1, L F,G (E) L(E)

18 E,F K n N E 1,..., E n E E 1,..., E n E ( x 1 E 1,..., x n E n, x1 + + x n =0 = x 1 =... = x n =0 ). E 1,..., E n E (i, j) {1,..., n} 2 (, i j = Ei E j = {0} ). E 1,E 2,E 3 E E 1 (E 2 + E 3 )=(E 1 E 2 )+(E 1 E 3 ). E 1,E 2,E 3 E E 1 +(E 2 E 3 )=(E 1 + E 2 ) (E 1 + E 3 ). R E = R R E 1 E 2 E E R 3 p, q, r 4p +5q +6r = R 3. f,g E (f) (f) g f g f,g E A, B n (K), (AB) = (BA) A, B n (K), (AB) = (A) (B)

19 E K A, B, C E. A + ( B (A + C) ) = A + ( C (A + B) ). ( f a :[0;+ [ R, x 1 ) x + a a ]0 ;+ [ ( f a : R R, x (x a) ) a R. A 3,2 (R) B 2,3 (R) AB = C, C C = , , ? n N,X= {x 1,..., x n } n F = K X i {1,..., n}, i : F K, f f(x i ), x i. ( i ) 1in F. n N (A, B) ( n (C) ) 2 AB BA = n ( ) A B n, p N M = A 0 C n (K), B n,p (K), C p (K). M A C A C M 1 ( f a : R R, x x a 3/2) a R RR. E K[]. E E

20 n N. A n (K) n (K) K, X (AX) n (K) θ : n (K) n (K) ( ) A n (K), X n (K), θ(a) (X) = (AX) K n N,A,B,C n (C) A 2 = A, B 2 = B, C 2 = C. M = A + 2 B + 3 C M 2 = M. B = C =0. n, p N,A n,p (K), r= (A). U n,r (K), V r,p (K), A = UV. M M =(U V ), (M) (U)+ (V ). ( ) R M M =, S (M) (R)+ (S). ( ) A B M M =, C D A D (M) (A)+ (B)+ (C)+ (D). ( ) A B m, n, p N m n p n, M = C 0 n (K), A m,p (K), B m,n p (K), C n m,p (K). M (A) m + p n.. 1. n, p N,A=(a ij ) ij n,p (K). ( n ) A l = a ij, A c = 1jp 1in X =(x j ) 1jp p,1 (K) X 1 = p ( p ) a ij, x j, X = 1jp x j. AX 1 AX A l =, A c =. X p,1(k) {0} X 1 X p,1(k) {0} X

21 E K F, G E E. G = { f L(E); (f) =F (f) =G }. G. E n = (E), p = (F ), B 1 =(e 1,..., e p ) F, B 2 =(e p+1,..., e n ) G, B =(e 1,..., e n ) E. θ : f B (f) (G, ) { ( ) } M 0 (H, ) H = 0 0 n (K); M p (K). n (K) n (K) n N {0, 1}. n (K) n (K). ( ) n, p N n B,B n,p (K), C p (K). = n + (C). 0 C n, p N,R n,p (K), S p,n (K). p + ( n + RS) =n + ( p + SR). ( ) A 0 n, p N,A n (K), B p (K). = (A)+ (B). 0 B ( ) ( ) A 0 B 0 n N,A,B n (K). 0 A 0 B A B n, ( p N,A,B ) ( n (K), ) U,V p (K). A B A 0 B 0 U V 0 U 0 V E K f L(E) F E (F ) (f) G F E (u, v) ( L(E) ) 2 (u f v) =F (u f v) =G. ( ) A B M =, A C D n (K), B n,p (K), C p,n (K), D p (K). M D CA 1 B M 1

22 X AXB =0 m, n, p, q N,A m,n (K), B p,q (K). E = { X n,p (K); AXB =0 }. E K n N,A n (K) B,C n (K) A = BC, B, C. ( ) A B n, p N M = C D A n (K) B n,p (K) C p,n (K) D p (K) (M) =n D = CA 1 B. K E K p N,F 1,..., F p E p F i = E. i {1,..., p} F i = E. GL(E) E K e = E, G GL(E) n = (G) p = 1 g. n g G h G, p h = p. p E. (g e) = (p). g G ( g G ) (g e) = 1 n (g). g G

23 (f a) a [0 ;+ [ (f a) a R (f 1,f 0,f 1 ) A, B (A, B) i {1,..., n} i F. ( i ) 1in j {1,..., n} f j : x i δ ij. ( ) X Y M = Z T a R, f a C 2 R {a} C 2 R. n = (E). (P 1,..., P n+1 ) (P 1 )... (P n+1 ), (Q 1,..., Q n+1 ) Q n+1 = P n+1 i {1,..., n}, (Q i ) < (P n+1 ), (P 1,..., P n) (P 1 ) <... < (P n) (S 1,..., S n) S n = P n i {1,..., n}, (S i )= (P n). A n(k), ϕ A : n(k) K, X (AX) n(k). θ (α, β, γ) Z 3 α + β 2+γ 3=0, α = β = γ =0. n,p,r. (M) =n. X p,1 (K), AX 1 A l X 1. j j n A l = a ij. X p,1 (K), AX A c X. 1 X = ε, ε p a i0 j a i0 j 0 ε j = a i0 j 1 a i0 j =0, p i 0 A c = a i0 j. G, G GL(E). F G, ( f ) G f M 0 B, M 0 0 p(k). ( ) M 0 A = H, M 0 0 p(k), f E, A B G. θ ϕ θ (G, ) (H, ).

24 H n(k). H n(k) =. H ( )( ) ( ) n B n B n 0 =. 0 C 0 p 0 C n + RS p + SR n + p... (u, v) ( L(E) ) 2 u f v = p, p F G.... ( ) X Y N =, MN = Z T n+p. ( )( )( n 0 A B n A 1 ) B CA 1 p C D 0 p ( ) A B = 0 D CA 1. B E K m,n,a p,q,b a = (A), b= (B) a b r = (A) < n ( ) M r r+1 (K) r Mr 0 N r = 0 0 n(k). ( )( )( n 0 A B n A 1 ) B CA 1 p C D 0 p ( ) A 0 = 0 CA 1. B D p. F 1,..., F p+1 E p+1 p F i = E, F p+1 E, F i E, p x, y E x / F p+1 y / F i, y x h G g g h G g h = g. g G g G p 2 x (g e), g G p(x) =x. x (p) g(x) = (g p)(x), g p = p.

25 n =2 n 3 (E 1 E 2 )+(E 1 E 3 ) E 1 (E 2 + E 3 ). E 1 +(E 2 E 3 ) (E 1 + E 2 ) (E 1 + E 3 ). E 1 E 2 E E 1 E 2 = {0} 0 f E f = g 1 + g 2 g 1 : x f(x)+f( x) f(x) f( x), g 2 : x, (g 1,g 2 ) E 1 E (p, q, r) 3= ( R 3)= (4p +5q +6r) =4 (p)+5 (q)+6 (r) =4 (p)+5 (q)+6 (r), (p), (q), (r) N ( E = ) R 2 f,g ( ) A =, B = n 2 A = B = n

26 x A + ( B (A + C) ). a A, b B (A + C) x = a + b. b B a A, c C b = a +c. x = a + b =(a + a )+c. a + a A. c C c =( a )+b A + B, c C (A + B). x A + ( C (A + B) ). A + ( B (A + C) ) A + ( C (A + B) ). (B, C) (C, B), A + ( B (A + C) ) = A + ( C (A + B) ). (A + B) (A + C). n N,a 1,..., a n ]0 ; + [ n λ 1,..., λ n R λ k f ak =0. k=1 x [0 ; + [, n λ k =0. x + a k=1 k [0 ; + [ R, λ k x R {a 1,...,a n}, =0. x + a k=1 k x a k k {1,..., n}, λ k =0. (f a) a ]0 ;+ [ a R x R, f a(x) = (x a) = a x a x, f a (f a) a R, 2 x R (f 1 + f 1 )(x) = (x +1)+ (x 1) =2 1 x =(2 1)f 0 (x), n f f 0 + f 1 =0, (f a) a R A = , B = 0 0 A = , B = (A, B) 3= (C) = (AB) (A) 2, (A, B) ( 1 0 ) ( 1 1 ) i {1,..., n}, i F i F K i α K, f, g F, i (αf + g) =(αf + g)(x i ) = αf(x i )+g(x i )=α i (f)+ i (g). n (α 1,..., α n) K n α i i =0. j {1,..., n} { f j : X K, x i 1 i = j 0 i j. n 0= α i f j (x i )=α j. ( 1,..., n) F. X n F = K X n F n ( 1,..., n) n F F. (A, B) ( ) 2 n(c) AB BA = n (AB BA) = ( n)=n. (AB BA) = (AB) (BA) =0, (A, B) ( ) 2 n(c) AB BA = n. ( ) A B (M) = = (A) (C) 0 C (M) 0 ( (A) 0 (C) 0 ) M A C

27 A C M ( M) 1 M M 1 X Y =. Z T ( )( ) ( ) MM 1 A B X Y n 0 = n+p = 0 C Z T 0 AX + BZ = n Z =0 AY + BT =0 T = C 1 CZ =0 C AX = n CT = p AY = BC 1 Z =0 A T = C 1 X = A 1 Y = A 1 BC 1. ( M 1 A 1 A = 1 BC 1 ) 0 C 1. n N a 1,..., a n R n λ 1,..., λ n R λ k f ak =0. k=1 i {1,..., n}. λ i 0. f ai = 1 λ k f ak. λ i 1kn, k i a R, f a C 2 R {a} C 2 R. f ai C 2 a i, f ai C 2 a i, i {1,..., n}, λ i =0. (f a) a R n = (E). n =1. n. E K[] n +1. E B =(P 1,..., P n+1 ). B, i {1,..., n +1}, (P i ) (P n+1 ). C = (Q 1,..., Q n+1 ) Q n+1 = P n+1 i {1,..., n} P i (P i ) < (P n+1 ) Q i = P i α i P n+1 (P i )= (P n+1 ), α i (P i α i P n+1 ) < (P n+1 ). α i P i P n+1 Q 1,..., Q n+1 P 1,..., P n+1. P n+1 = Q n+1 i {1,..., n} P i = Q i P i = Q i + α i Q n+1, P 1,..., P n+1 Q 1,..., Q n+1. (C) = (B) =E. (E) =n +1 C E n +1 C E. F = (Q 1,..., Q n), n R[]. F F =(R 1,..., R n) G =(R 1,..., R n,p n+1 ). E = F P n+1 K[] F F, G E. i {1,..., n}, R i (Q 1,..., Q n) (Q 1,..., Q n) < (P n+1 ) i {1,..., n}, (R i ) < (P n+1 ). G E n. n = (E). E E B =(P 1,..., P n) (P 1 ) <... < (P n). P i + P n i<n i {1,..., n} S i = P n i = n. i {1,..., n}, (S i )= (P n). S 1,..., S n P 1,..., P n. S i S n i<n i {1,..., n}, P i = S n i = n, P 1,..., P n S 1,..., S n. (E) =n C =(S 1,..., S n) n E, C E. E A n(k). ϕ A : n(k) K, X (AX) α K, X, Y n(k), ϕ A (αx + Y )= ( A(αX + Y ) ) = (αax + AY ) = α (AX)+ (AY )=αϕ A (X)+ϕ A (Y ). ϕ A n(k).

28 θ : n(k) n(k) A n(k), X n(k), θ(a)(x) = (AX). A n(k), θ(a) =ϕ A. θ α K, A, B n(k). X n(k) θ(αa + B)(X) = ( (αa + B)X ) = (αax + BX) =α (AX)+ (BX) = αθ(a)(x)+θ(b)(x) = ( αθ(a)+θ(b) ) (X), θ(αa + B) =αθ(a)+θ(b), θ. θ A (θ). θ(a) =0 X n(k), (AX) =0. A =(a ij ) ij. (i, j) {1,..., n}. a 1i 0= A ij )= (0) (0) = a ji, a ni i A j A =0. (θ) ={0}, θ θ : n(k) n(k) n(k) n(k) θ K A, B, C, M (M) = (A + 2 B + 3 C) = (A)+ 2 (B)+ 3 (C), ( ) (A) (M) + (B) 2+ (C) 3=0. } {{ } }{{} }{{} α β γ (α, β, γ) Z 3 α + β 2+γ 3=0. (α, β, γ) =(0, 0, 0). γ 3 α 2 +2β 2 +2αβ 2=3γ 2, 3γ 2 α 2 2β 2 αβ 0 2= Q, 2αβ 2 αβ =0. αγ =0 βγ =0. α 0, β =0 γ =0, α =0, α =0. βγ =0, β =0 γ =0 β =0 γ =0. α =0, β =0, γ =0. (B) =0 (C) =0, (B) = (B) =0 (C) = (C) =0, B =0 C =0. r = (A), P n(k), Q p(k) A = P n,p,rq, n,p,r = ( ) r 0 r,p r. 0 n r,r 0 n r,p r ( ) r (r ) n,p,r = 0 0 r,p r, n r,r A ( r A = P ) ( ) r 0 0 r,p r Q, n r,r }{{} V } {{ } U U n,r(k), V r,p(k). U 1,..., U p U V 1,..., V q V, (U 1,..., U p,v 1,..., V q) = (U 1,..., U p)+ (V 1,..., V q), (U 1,..., U p,v 1,..., V q) (U 1,..., U p)+ (V 1,..., V q), (M) (U)+ (V ). ( R ( ( (M) = = R ) = S) S) ( R S ) ( R)+ ( S)= (R)+ (S). ( ) ( ( A B A B (M) = + C D C) D) ( (A)+ (C) ) + ( (B)+ (D) ). M n = (M) (A)+ (B)+ (C). B m,n p (K) C n m,p (K), (B) n p (C) n m, n (A)+(n p)+(n m), (A) m + p n. x 1 X = p,1 (K) x p n p AX 1 = a ij x j n p a ij x j = p ( n ) a ij x j

29 p p A l x j = A l x j = A l X 1. X p,1 (K) {0}, A l = 1jp ( n j {1,..., p} A l = AX 1 X 1 A l. ) a ij, n a ij. X = j, j 1. a 1j X 1 =1 AX =, a nj p AX 1 = a ij = A l, AX 1 = A l. X 1 A l AX 1 = A l. X p,1 (K) {0} X 1 x 1 X = x p p,1 (K) n AX = a ij x j 1in p ( p ) a ij x j a ij X 1in 1in ( p ) = a ij X = A c X. 1in X p,1 (K) {0}, A c = 1in ( p i 0 {1,..., n} A c = 1 X = ε ε p j {1,..., p} ε j = AX X A c. ) a ij, p a i0 j. p,1 (K) a i0 j a i0 j a i0 j 0 1 a i0 j =0. X =1, X 1 X 0. AX = 1in ( p ) a ij ε j p a i0 jε j. j {1,..., p} a i0 jε j = a i0 j, a i0 j 0, a i0 j =0. p AX a i0 j = A c. AX X p,1 (K) A c. X AX = A c. X p,1 (K) {0} X G. f 1,f 2 G. (f 2 f 1 ) (f 2 )=F. z F. z F = (f 2 ), y E z = f 2 (y). E = F G, u F, v G y = u + v. z = f 2 (y) =f 2 (u + v) =f 2 (u)+f 2 (v). u F = (f 1 ), x E u = f 1 (x), v G = (f 2 ), f 2 (v) =0. ( z = f 2 f1 (x) ) = f 2 f 1 (x) (f 2 f 1 ). F (f 2 f 1 ). (f 2 f 1 )=F. (f 2 f 1 ) (f 1 )=G. ( x (f 2 f 1 ); f 2 f1 (x) ) =0, f 1 (x) (f 1 ) (f 2 )=F G = {0}, x (f 1 )=G. (f 2 f 1 ) G. (f 2 f 1 )=G. f 2 f 1 G. p F G. p L(E), (p) =F, (p) =G, p G. f G. x E, f(x) (f) =F, x E, p ( f(x) ) = f(x), p f = f. x E, x p(x) (p) =G = (f), x E, f ( x p(x) ) =0, x E, f(x) =f ( p(x) ), f = f p. p G.

30 f G. F G = (f) E, f : F (f) =F, x f(x) K g : E E, x f 1( p(x) ), p g (g) =f 1( p(e) ) = f 1 (F )=F. x E x (g) g(x) =0 f 1( p(x) ) =0 p(x) =0 x G, (g) =G. g G. x E (f g)(x) =f ( f 1( p(x) )) = f ( f 1( p(x) )) = p(x), f g = p. x E f(x) (f) =F, p ( f(x) ) = f(x), g ( f(x) ) = f 1( p ( f(x) )) = f 1( f(x) ). f = f p, f 1( f(x) ) = f 1( f ( p(x) )) = f 1( f ( p(x) )) = p(x). g f = p. g f = f g = p, f g (G, ). (G, ) f G, (f) ( =F ) (f) =G, M 0 f B, M 0 0 f f F. ( ) M 0 (M) = = (f) = (F )=p. 0 0 ( ) M 0 M p(k), H. 0 0 θ : G H, f B (f). ϕ A H, f E B (f) =A ( ) M 0 A = = 0 0 B (f) M p(k), (f) =F (f) =G, f G. θ ϕ ( )( ) M2 0 M1 0 f 1,f 2 G, θ(f 2 )θ(f 1 )= ( ) M2 M = 1 0 = θ(f f 1 ). θ (G, ) (H, ). (G, ) (H, ) θ : f B (f) (G, ) (H, ). H n(k). H n(k) =. H N n(k), N / H. N / H H n(k), n(k) =H KN. M H α K n = M + αn. M = n αn. N k N N k =0 ( k 1 ( n αn) (αn) p) = n α k N k = n p=0 ( k 1 (αn) p) ( n αn) = n α k N k = n, p=0 n αn n(k). M H n(k), H n(k) (0) (0) N 1 =,N 0 (0) 2 = (0) N 1 N 2 N 1 H N 2 H, H N 1 + N 2 H (0) N 1 + N 2 = 0, 0 (0) n(k) n(k).

1 2 3 4 1 2 3 4 (p A ) (p B ) (p C ) 1 2, 3, 4 2, 3, 4 {2, 3, 4} 1 2 (p A ) (p B ) (p C ) d d {1, 2} (p A,p B )=0

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag:

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag: 000p bb cg u F C D L z C ay ac bt 0af ae bi Nav: Tøreha resse: Søgae tal bolig: olig størrelse: - m 0ao s 0am bq 0p Nav: øgeha resse: Tøre -J tal bolig: 0 olig størrelse: m bl bx H y G br 000ak 0l bk bv

Læs mere

:!!09 ;!' 09 % % (% %+ %1 164< 6 1 %- : #:%: %: : #: ):::::::::::::::::::::::!- : ::::::::::::::::::::::::::::::::"## 1 164< 6 1 % %12 %6!" #$%

:!!09 ;!' 09 % % (% %+ %1 164< 6 1 %- : #:%: %: : #: ):::::::::::::::::::::::!- : ::::::::::::::::::::::::::::::::## 1 164< 6 1 % %12 %6! #$% + 7 89 :!!09 ;!' 09 % % (% %+ %1 164< 6 1 %- : #:%: %: : #: ):::::::::::::::::::::::!- : ::::::::::::::::::::::::::::::::"## 1 164< 6 1 % %12 %6!" #$%&!"#$ %& ' ' ( ) * +, -. / 0 1 2 3 4 5 6 / 7 8 9 :

Læs mere

Sandsynlighedsteori

Sandsynlighedsteori Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige

Læs mere

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Alle eksisterende ejendomme på følgende matrikler skal separatkloakeres Arninge 4c Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4e Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4f Ore By,

Læs mere

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1 0 A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard LMK Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold C Flyverhjemmeværne Flyverhjemmeværnet LMD Odense Nyt fra stabseskadrillen -.

Læs mere

Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk

Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk Billedkunst 47 1g bi Biologi 10 41 2a BI Biologi 45 95 2c

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

GENTOFTE KOMMUNE B Y G NI NG S VÆ SE NET BYPLAN 16B

GENTOFTE KOMMUNE B Y G NI NG S VÆ SE NET BYPLAN 16B GENTOFTE KOMMUNE B Y G NI NG S VÆ SE NET BYPLAN 16B Vedtægt for byplan 16B for en del af det mellem Strandvejen, Lille Strandvej, Kystlinien og Nordskel af ejendommene nord for Sundvænget beliggende område

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Konvekse mængder. Erik Christensen

Konvekse mængder. Erik Christensen Konvekse mængder Erik Christensen Indholdsfortegnelse Afsnit 0 ELEMENTÆRE DEFINITIONER OG DET FUNDAMENTALE RESULTAT, 4 Afsnit 1 REPETITION, AFSTANDSMÅLET I Rn OG LINEÆRE AFBILDNINGER, 9 Afsnit 2 AFFINE

Læs mere

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO:

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO: side 1 ================================================================================ DOKUMENTAKTUELHENT ================================================================================ DOKUMENT: Dato/løbenummer:

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Selv-absorberende C*-algebraer

Selv-absorberende C*-algebraer Selv-absorberende C*-algebraer Speciale af Randi Rohde 5. marts 006 Vejleder: Mikael Rørdam Indhold Indledning Tensorprodukter 3. Indledende resultater................................. 3. Fuldstændigt

Læs mere

BYPLANVEDTÆGT nr. A 1 Avedøre Hvidovre kommune

BYPLANVEDTÆGT nr. A 1 Avedøre Hvidovre kommune A l BYPLANVEDTÆGT nr. A 1 Avedøre Hvidovre kommune Byplanvedtægt for et område af Avedere by, Brendbyester sogn, Glostrup kommune, omfattende *Avederegård villaby«,»storegårdens villaby«og»vesterkær«.

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

StatDataN: Plot af data

StatDataN: Plot af data StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

!" # $%&' ' '!! '('" %$'& )** +!"#$%&' *&'+,-. /0*& 1 -. *&'+ +-.)! '! &!!"# $%&' '& & '&!$ '!!"!'&!$! $ '&!$! '! 0! 2! #'! ' 3!!! "# $ %& ' "' #%& "#

! # $%&' ' '!! '(' %$'& )** +!#$%&' *&'+,-. /0*& 1 -. *&'+ +-.)! '! &!!# $%&' '& & '&!$ '!!!'&!$! $ '&!$! '! 0! 2! #'! ' 3!!! # $ %& ' ' #%& # !" # $%&' ' '!! '('" %$'& )** +!"#$%&' *&'+,-. /0*& 1 -. *&'+ +-.)! '! &!!"# $%&' '& & '&!$ '!!"!'&!$! $ '&!$! '! 0! 2! #'! ' 3!!! "# $ %& ' "' #%& "#"! "# $ %& ) '"'4 & $%'!& 4 $'!" & #' &'!"$'$ 56! &

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Områdeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30

Områdeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30 Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)

Læs mere

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 LOKALPLAN NR. 8 Fanø Kommune Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 2 Lokalplan 8 Fanø Kommune Anmelder: Advokat Chr. V. Thuesen Torvegade 28 6700 Esbjerg J.nr. 260 ct/aj

Læs mere

Koter i meter i henhold til DVR 90. Koordinatsystem er UTM32 1ga 1fa. Signaturer 1ig 1hz 1hl 1hp 1fh 1dø 1dx 1u. Matrikel 150aq cd 3bæ.

Koter i meter i henhold til DVR 90. Koordinatsystem er UTM32 1ga 1fa. Signaturer 1ig 1hz 1hl 1hp 1fh 1dø 1dx 1u. Matrikel 150aq cd 3bæ. Bilag Supplement til VVM Noter Mål: ad 36a 44a cd cs ee cr ed cq dz af ag af c db 35e d 7h 3cb 3bx ea gd fd go gq gu il gh ih Signaturer ig hz hl hp fh dø dx u Grundkort er udtegnet på baggrund af digitale

Læs mere

Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej

Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej Ændring af rammeområde 2.B.6 Østbyvej Tillæg 12 til Roskilde Kommuneplan 2013 2.B.6 2.BT.4 0 500 m 500 Forord HVAD ER ET TILLÆG TIL KOMMUNEPLANEN? Den fysiske planlægning reguleres bl.a. gennem kommuneplanlægning.

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

χ 2 -fordelte variable

χ 2 -fordelte variable χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Ortogonale Polynomier & Rodriguesformlen

Ortogonale Polynomier & Rodriguesformlen Ortogonale Polynomier & Rodriguesformlen MAT 10. SEMESTER SPECIALE MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET 8. JUNI 2017 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99 40

Læs mere

!"#$% &' & & ( &)*+,-./01 ' & :; 8 FGHIJK LMNO PQ R A S!"TUV WXY Y89 2 Z[\47] 4^_`abc 3 LMI( # V 7 %JK!" %JK LM&LM&A ab ( 89 \ TU

!#$% &' & & ( &)*+,-./01 ' & :; 8 FGHIJK LMNO PQ R A S!TUV WXY Y89 2 Z[\47] 4^_`abc 3 LMI( # V 7 %JK! %JK LM&LM&A ab ( 89 \ TU !"#$% &' & & ( &)*+,-./01 ' &2342564789:; 8 ? @ABCDE FGHIJK LMNO PQ R A S!"TUV WXY Y89 2 Z[\47] 4^_`abc 3 LMI( # V 7 %JK!" %JK LM&LM&A ab ( 89 \ TUY Y V Z Z[\4^ a c W X7Y J c N!"7 89 \!" EV ^ LMN c

Læs mere

Hamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt

Hamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt Hamtons prncp.1 Konfguratonsrum q 3 Et systems bane ( konfguratonsrummet) fra t t er bestemt af, at aktonsntegraet I = Lt har en statonær vær. t q 1 q () Systemet ska være monogensk, vs. ae kræfter (ekskusvt

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

()&*&+&,-.%/ &$6 78)523)&%, 95%*.6%,0 :566.%$ ;1&,- <61(%,16 =>59236?6)4%$ @3)&B&)0

()&*&+&,-.%/ &$6 78)523)&%, 95%*.6%,0 :566.%$ ;1&,- <61(%,16 =>59236?6)4%$  @3)&B&)0 !!"#$! "#$% &% $ $" ( $&"!!"##$%& ()!(%* &+*#,$-$*.+/!"#$%& ()*+,-./01234&5678!"# $ "! $%% $ "! &! $ "!!! ( $ " &! )*+ $ "!!,-. $ "!; WX)*Y,Z)!"JK,[\]^_ ab cde! $%##*# "; J"7IJKLMfghNijkl ab cde! $%##*#

Læs mere

MÅLESTOKSFORHOLD HFB 2012 / 13. Målestoksforhold OP SL AG. Byggecentrum

MÅLESTOKSFORHOLD HFB 2012 / 13. Målestoksforhold OP SL AG.  Byggecentrum MÅLESTOKSFORHOLD Målestoksforhold 340 MÅLEENHEDER Måleenheder Omsætning: Gl. dansk mål metermål gl. engelsk mål (= amerikansk mål). Se også: Målesystemer og enheder. Gl. dansk mål Metermål Gl. engelsk

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41 BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET Byplanvedtægt nr. 41 Byplanvedtægt nr. 41 - for Nødebo-området I medfør af byplanloven (lovbekendtgørelse nr. 63 af 20. februar 1970) fastsættes følgende bestemmelser for

Læs mere

Egentyngd (+Struc. dead load) Glas Nyttiglast balkong Egentyngd (+Struc. dead load) Glas Nyttiglast balkong

Egentyngd (+Struc. dead load) Glas Nyttiglast balkong Egentyngd (+Struc. dead load) Glas Nyttiglast balkong Eurocode (NA: Swedih) Eurocode (NA: Swedih) Load combination No. Name ype Factor.35*Egentyngd +.35*Gla +.50*0.70*Nyttiglat balong Ultimate.350.350 3 Egentyngd + Gla + 0.30*Nyttiglat balong Ultimate Quaipermanent.050.0.0.500.000.000

Læs mere

On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies

On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 23 (2004) 21-27, KONYA On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies Zekeriya GÜNEY 1 Abstract: In this study, some relations have been generated between fuzzy

Læs mere

STEMPELMÆRKE Roskilde herred ^ KUN GYLDIGT MED AFSTEMPLlMG AF DOMMERKCNTOBET5KASSKXONTKOUFPARAT GUNDSØ KOMMUNE u4 D ,161X

STEMPELMÆRKE Roskilde herred ^ KUN GYLDIGT MED AFSTEMPLlMG AF DOMMERKCNTOBET5KASSKXONTKOUFPARAT GUNDSØ KOMMUNE u4 D ,161X STEMPELMÆRKE Roskilde herred ^ KUN GYLDIGT MED AFSTEMPLlMG AF DOMMERKCNTOBET5KASSKXONTKOUFPARAT GUNDSØ KOMMUNE u4 D 0 2 4 8,161X1871418000400.00 LOKALPLAN NR. 20.- Åben, lav boligbebyggelse i Jyllinge

Læs mere

Gamle eksamensopgaver (MASO)

Gamle eksamensopgaver (MASO) EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet

Læs mere

Der lader til at være en lille smule forvirring omkring funktionsbegrebet, og hvordan man, til en given talrække, kan finde dennes funktionsforskrift.

Der lader til at være en lille smule forvirring omkring funktionsbegrebet, og hvordan man, til en given talrække, kan finde dennes funktionsforskrift. Medudgangspunkti:Wikipedia:Funktion Derladertilatværeenlillesmuleforvirringomkringfunktionsbegrebet,og hvordanman,tilengiventalrække,kanfindedennesfunktionsforskrift. Jegkanafsløre,atdensammemetodeanvendesindenforkryptografiogtydning

Læs mere

PerkinElmerhelpsprofesionalsaceleratesciencethrough innovativedetection,imaging,andinformaticssolutions.

PerkinElmerhelpsprofesionalsaceleratesciencethrough innovativedetection,imaging,andinformaticssolutions. S h wp f p n p h wa yy u p p w d a y Su y ha bynd hn w Ema S a Mb Th g ba p a nwaab hu dwnf aud v ad ng pam andan v u u n La nm An n manuf a u ng v mpany h u h a byp ngaga n unwan dandma uma La nm Th NBA

Læs mere

A hybrid high-order locking-free method for linear elasticity on general meshes

A hybrid high-order locking-free method for linear elasticity on general meshes A hybri high-orer locking-free metho for linear elasticity on general meshes Daniele Antonio Di Pietro, Alexanre Ern o cite this version: Daniele Antonio Di Pietro, Alexanre Ern. A hybri high-orer locking-free

Læs mere

Læsø Kommune. Lokalplan 0.1 for Læsøs sommerhusområder

Læsø Kommune. Lokalplan 0.1 for Læsøs sommerhusområder Anmelder: Læsø Kommune Doktorvejen 2 9940 Læsø Læsø Kommune Lokalplan 0.1 for Læsøs sommerhusområder Byrum By, Byrum: 4bn, 4bt, 4bu, 4bv, 4bx, 4by, 4bz, 4bæ, 4bø, 4ca, 4cb, 4cc, 4cd, 4ce, 4cf, 4cg, 4cy,

Læs mere

Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup

Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup 1e 1a 1a 604024 m² 1r 1aa Tangvej 1n Tegningsnr. : LE34_ 100128-1016_ 2 Ret til at etablere natur (permanent indgreb), jf. 33, stk. 4 1: 3000 15 1q Matr. nr. 1rLungholm

Læs mere

Matrikelnøgle 2002 for Grindsted Kommune i ejerlavsorden

Matrikelnøgle 2002 for Grindsted Kommune i ejerlavsorden Side 1 af 137 Mølle Alle/Stadion Alle 001? (Sønder Omme) *** Ingen vurdering Loftvej 017?? Udgået ejendom Norden 001?? Undtaget vurdering Askjærvej 034 1a Askær Gårde Bebygget landbrug Frodeslundvej 073

Læs mere

Tillæg nr. 1 til lokalplan 01.32 For et sommerhusområde i Evetofte Januar 2012

Tillæg nr. 1 til lokalplan 01.32 For et sommerhusområde i Evetofte Januar 2012 Tillæg nr. 1 til lokalplan 01.32 For et sommerhusområde i Evetofte Januar 2012 Natur og Udvikling Halsnæs Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Hvorfor laver vi en lokalplan?

Læs mere

Huseftersynsordningen plus, minus ti år -

Huseftersynsordningen plus, minus ti år - Huseftersynsordningen plus, minus ti år - ! # # # % & # ( ( #! # ) # ( & # # # # +! #!# %, # # #! %.# / # # 0#( # # # # # # %, # # # 1 # # % 2 # & # # 0#( # # # # # 2 # #! 2 ( # # 3 ( & # # # (#! #, #

Læs mere

SMBJ5.0~SMBJ440CA. 600W Transient Voltage Suppressors. 1. 封裝 Package 封裝方式 Method: SMB/DO-214AA 封裝尺寸 Dimension: 如圖示. 2.

SMBJ5.0~SMBJ440CA. 600W Transient Voltage Suppressors. 1. 封裝 Package 封裝方式 Method: SMB/DO-214AA 封裝尺寸 Dimension: 如圖示. 2. 1. 封裝 Package 封裝方式 Method: SMB/DO-214AA 封裝尺寸 Dimension: 如圖示 2. 產品特色 Features For surface mounted applications in order to optimize board space. Glass passivated junction Low inductance High temperature

Læs mere

Kommuneplantillæg. Tillæg nr. 10 til Kommuneplan Forsla

Kommuneplantillæg. Tillæg nr. 10 til Kommuneplan Forsla Kommuneplantillæg Tillæg nr. 10 til Kommuneplan 2014 g Forsla Indledning Redegørelse Kommuneplanen revideres hvert fjerde år. Hvis der i den mellemliggende periode ønskes en ændringer i kommuneplanens

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

LOKALPLAN NR. 720.1. ANVENDELSE AF BOLIGER I TVERSTED Helårsstatus langs Tannisbugtvej og Bindslevvej samt sideveje m.v. til disse.

LOKALPLAN NR. 720.1. ANVENDELSE AF BOLIGER I TVERSTED Helårsstatus langs Tannisbugtvej og Bindslevvej samt sideveje m.v. til disse. LOKALPLAN NR. 720.1 ANVENDELSE AF BOLIGER I TVERSTED Helårsstatus langs Tannisbugtvej og Bindslevvej samt sideveje m.v. til disse. December 2007 HJØRRING KOMMUNE Side 3 LOKALPLAN NR. 720.1 FOR ANVENDELSEN

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Ny bevaringsliste 14. april 2011

Ny bevaringsliste 14. april 2011 VEJNAVN HUSNR MATRIKELID EJENDOMSNR ABELIG Omr_bev Dronningvej 3 3v 0010164 Dronningvej 3 A Dronningvej 4A 3o 0010172 Dronningvej 4 A og B A Dronningvej 5 3x 0010180 Dronningvej 5 A Dronningvej 6 3p 0010199

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

LOKALPLAN GUG ERHVERV OG SPORTSANLÆG INDKILDEVEJ

LOKALPLAN GUG ERHVERV OG SPORTSANLÆG INDKILDEVEJ LOKALPLAN 07-021 ERHVERV OG SPORTSANLÆG INDKILDEVEJ GUG SEPTEMBER 1999 Matrikelkort: Bilag 1 Lokalplan 07-021 Erhverv og sportsanlæg, Indkildevej, Gug 9r "ak" Motorvej 9o "p" 9cx 9n 9cx 6dg

Læs mere

* I lr,3 I li=;ia. gltgetlneei. s I l.iel t cb,f. ? I lsa*l Is*iA. $ I l=r I leer'i. islel seelaliheia F I IFF I IFF*1. =:=l lh=;l lfre'si :=EU

* I lr,3 I li=;ia. gltgetlneei. s I l.iel t cb,f. ? I lsa*l Is*iA. $ I l=r I leer'i. islel seelaliheia F I IFF I IFF*1. =:=l lh=;l lfre'si :=EU Y ci c+c\ > >> J 6B xr. t 0fJ) tt rj 6t (V 6g r cg A i! :.?6 [. _. 6> t\n t\\ Y '': t ib Y\At :U g i.j ct l l P ij li^ ri Y'+ (Yt r?3 '.0 ii r\ " \J/ iy ri 9 rt3.8 'n A! 6s X ct.:+. l*lq* Ui9 *..1 *.*.!i.i

Læs mere

Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008

Læs mere

Svar på opgave 336 (Januar 2017)

Svar på opgave 336 (Januar 2017) Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad

Læs mere

Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable

Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).

Læs mere

Liter 0 C. Liter sval - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Liter 0 C. Liter sval - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Frederiksberg Forsyning /S Stæhr Johansens Vej 18 51 00 Email ff@frbforsyning.dk Web: www.frbforsyning.dk Markedsoversigt med EU's energimærkning: Køle/eskabe med 2 døre, Højde redde Dybde d() /år eg eg

Læs mere

Matr. nr. 271lRødby Markjorder

Matr. nr. 271lRødby Markjorder Matr. nr. 271lRødby Markjorder 549a 271k 13a Finlandsvej 271i 629 m² 271l 2 m² 271n Sulkavavej 271m 271o 271q 271d 271p Sulkavavej 244ec Tegningsnr. : LE34_ 100128-1043_ 3 Ret til at udvide veje (midlertidigt

Læs mere

Byplanvedtægt 5. For den sydlige del af Furesøkvarteret. Lyngby-Taarbæk Kommune

Byplanvedtægt 5. For den sydlige del af Furesøkvarteret. Lyngby-Taarbæk Kommune Byplanvedtægt 5 For den sydlige del af Furesøkvarteret Lyngby-Taarbæk Kommune BYPLANVEDTÆGT FOR DEN SYDLIGE DEL AF FURESØKVARTERET I LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE. 1. I medfør af lovbekendtgørelse nr. 242 af

Læs mere

Aristoteles Camillo. To cite this version: HAL Id: hal

Aristoteles Camillo. To cite this version: HAL Id: hal An experimentally-based modeling study of the effect of anti-angiogenic therapies on primary tumor kinetics for data analysis of clinically relevant animal models of metastasis Aristoteles Camillo To cite

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

STEMPELMÆRKE RINGKØBING KOMMUNE LOKALPLAN NR FOR ET BOLIGOMRÅDE ØST FOR SDR, RINGVEJ I RINGKØBING. (SUPPLEMENT TIL LOKALPLAN NR ).

STEMPELMÆRKE RINGKØBING KOMMUNE LOKALPLAN NR FOR ET BOLIGOMRÅDE ØST FOR SDR, RINGVEJ I RINGKØBING. (SUPPLEMENT TIL LOKALPLAN NR ). STEMPELMÆRKE KUN GYLDIGT MED AFSTEMPLING AF DOMMERKONTORETS KASSEKONTROLAPPARAT RINGKØBING KOMMUNE LOKALPLAN NR. 01.033 FOR ET BOLIGOMRÅDE ØST FOR SDR, RINGVEJ I RINGKØBING. (SUPPLEMENT TIL LOKALPLAN NR.

Læs mere

Funktioner - Fase 2 Anvende ikke-lineære funktioner til beskrivelse

Funktioner - Fase 2 Anvende ikke-lineære funktioner til beskrivelse Navn: Klasse: Funktioner - Fase 2 nvende ikke-lineære funktioner til beskrivelse Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan løse problemer,

Læs mere

13 Markovprocesser med transitionssemigruppe

13 Markovprocesser med transitionssemigruppe 13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.

Læs mere

264.. Cox, Daio Jang (23) Grandell (1976). 1.1 (Ω, F, {F, [, ]}, P). N λ, λ F, 1 2 u R, λ d < a... E{e iu(n 2 N 1 ) F λ 2 } = e {(eiu 1) 2 1 λ d}, F λ

264.. Cox, Daio Jang (23) Grandell (1976). 1.1 (Ω, F, {F, [, ]}, P). N λ, λ F, 1 2 u R, λ d < a... E{e iu(n 2 N 1 ) F λ 2 } = e {(eiu 1) 2 1 λ d}, F λ 212 6 Chinee Journal of Applied Probabiliy and Saiic Vol.28 No.3 Jun. 212 Lévy (,, 2156),, Lévy.., (Credi Defaul Swap). :,,,. : O211.6. 1.,.,.,,.,, O Kane urnbull (23), Jamhidian (24), Crepey, Jeanblanc

Læs mere

Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune)

Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune) Lokalplan nr. 59 (tidligere Holmsland Kommune) er d. 03.06.2013 blevet delvis aflyst. Det aflyste område er i stedet omfattet af: Lokalplan nr. 274 For et område til sommerhusformål ved Klevevej, Lodbjerg

Læs mere

Vedtægter. for. Grundejerforeningen KILDEHOLM IV

Vedtægter. for. Grundejerforeningen KILDEHOLM IV Vedtægter for Grundejerforeningen KILDEHOLM IV Vedtægter for "GRUNDEJERFORENINGEN KILDEHOLM IV" 1. Foreningens navn er "GRUNDEJERFORENINGEN KILDEHOLM IV". Foreningens hjemsted er Ølstykke. 2. Foreningens

Læs mere

ODENSE KOMMUNE LOKALPLAN NR. 20-230

ODENSE KOMMUNE LOKALPLAN NR. 20-230 ODENSE KOMMUNE LOKALPLAN NR. 20-230 FOR ET OMRÅDE MELLEM RISMARKSVEJ - TARUPVEJ - RUGVANG SAMT TILLÆG NR. 1 FOR LOKALPLANENS OMRÅDE B I N D H 0 L D S F 0 R T E G N E L S E AFSNIT 1. Lokalplanens formål

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

Kommuneplantillæg Til æg nr. 10 til Kommuneplan 2014

Kommuneplantillæg Til æg nr. 10 til Kommuneplan 2014 Kommuneplantillæg Tillæg nr. 10 til Kommuneplan 2014 Indledning Kommuneplanen revideres hvert fjerde år. Hvis der i den mellemliggende periode ønskes en ændringer i kommuneplanens indhold, skal der udarbejdes

Læs mere

Jordforureningsattest

Jordforureningsattest Jordforureningsattest Denne jordforureningsattest er baseret på de informationer, der er registreret i den fællesoffentlige landsdækkende database på jordforureningsområdet, DKjord. Attesten er baseret

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

# (04&(0(+3++)0&)'50)+1 50*&') # < ; % #! <!! = #" < %! $! =

# (04&(0(+3++)0&)'50)+1 50*&') # < ; % #! <!! = # < %! $! = " # " $ #$" & ' ( &'())&*))+,) ) ) " *+,+-. ) /*&#0. ) # *&#0. *+,+-. ) $ *+,+-. *&#0. ) *1/ +/. ) - *230. 4. 5 6 *7+ 3&80-. 4 / 4 4 " : " (0)1'0*)2)'. " : " 1 : "" 17;2+ " "# + "$ /; &*'()0)&))3)) / 6

Læs mere

Bjergbygade, Antvorskov Allé og Frederikshøjvej

Bjergbygade, Antvorskov Allé og Frederikshøjvej Teknik og Miljø 2015 Bjergbygade, Antvorskov Allé og Frederikshøjvej Tillæg 3 til digital spildevandsplan 2015-2018 Indhold Forord... 3 Baggrund... 3 Miljøvurdering... 4 Berørte ejendomme... 4 Liste over

Læs mere

Vej Nr. Matr.nr. Areal m² Heraf vej Parter Arresødalvej

Vej Nr. Matr.nr. Areal m² Heraf vej Parter Arresødalvej Samlet partsfortegnelse for Karsemosen Landvindingslag Gammel partsfordeling. Opstillet i adresseorden Erik B. Aksig 10. oktober 2013 Parter Parter Gribskov Halsnæs Arresødalvej 79 17 72540 357 357 Birkevænget

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Pontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures

Pontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures Pontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures Jesper Carlsson NADA, KTH jesperc@nada.kth.se Collaborators: Anders Szepessy, Mattias Sandberg October 5, 2005 A typical optimal design

Læs mere

TILLÆG NR. 4 TIL SPILDEVANDSPLAN - TILLÆG TIL DE GÆLDENDE SPILDEVANDSPLANER FOR TIDLIGERE DRAGSHOLM, NYKØBING-RØRVIG OG TRUNDHOLM KOMMUNER

TILLÆG NR. 4 TIL SPILDEVANDSPLAN - TILLÆG TIL DE GÆLDENDE SPILDEVANDSPLANER FOR TIDLIGERE DRAGSHOLM, NYKØBING-RØRVIG OG TRUNDHOLM KOMMUNER NATUR OG MILJØ TILLÆG NR. 4 TIL SPILDEVANDSPLAN - TILLÆG TIL DE GÆLDENDE SPILDEVANDSPLANER FOR TIDLIGERE DRAGSHOLM, NYKØBING-RØRVIG OG TRUNDHOLM KOMMUNER Annebergparken i Nykøbing, Nyrup Landsby, Svinninge/Nr.

Læs mere

! "# "!# +,- ). "%/")" $" 0* '122 *3 14"5"""!! '16) "!! ":",3);/, 13":", <"))"/

! # !# +,- ). %/) $ 0* '122 *3 145!! '16) !! :,3);/, 13:, <))/ !! $%&'$( ))$*! +,- ). %/) $ 0* '122 *3 145!! '16)!! 1764)3)*83) 019313:,3);/, 13:,

Læs mere

Helårsbeboelse i sommerhuse for pensionister

Helårsbeboelse i sommerhuse for pensionister Kortbilag 11A er rettet 19. sep. 2013, p.g.a. fejl i matrikelkortet. Nyt kortbilag 11A sidder bagerst i planen. Temalokalplan 360-50 og Kommuneplantillæg 13 Helårsbeboelse i sommerhuse for pensionister

Læs mere