Fra Taylorpolynomier til wavelets
|
|
- Jonas Henriksen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fra Taylorpolynomier til wavelets Ole Christensen DTU Matematik Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 1 / 27
2 Plan for foredraget Personlig introduktion Kontinuitet, differentiabilitet Tangenter og Taylorpolynomier af højere grad Wavelets - forbrydernes skræk. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 2 / 27
3 Personlig introduktion Født 1966 Student 1985 (Århus Katedralskole) Cand.scient 1990 (Århus Universitet) Ph.D (Århus Universitet) Dr.scient 2002 (Århus Universitet/DTU) Undervisningsansvarlig, DTU Matematik, fra 2008 Leder af forskningsgruppen i Anvendt Funktionalanalyse, DTU, fra 2009 Professor 2010 (DTU) Har boet i Frankrig, USA, Østrig Lange forskningsophold i Kina, Korea, Argentina, Singapore,... (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 3 / 27
4 Funktionsteori En funktion f : A B er en forskrift, der til hvert element i mængden A knytter et element i mængden B. F.eks. f(x) = x 2, x R. En funktion f er kontinuert i et punkt x 0 hvis grafen for funktionen ikke springer i x 0. 1 K (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 4 / 27
5 Eksempel på funktion der ikke er kontinuert: K4 K (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 5 / 27
6 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
7 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
8 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 K5.0 K K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
9 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
10 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K5.0 K K1 K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
11 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K5.0 K K1 K1 K1 Tangenten giver ikke altid en god tilnærmelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
12 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
13 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. Fortolkning? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
14 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
15 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
16 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
17 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 5 5 The word "alone" f(t) K Time [sec] (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
18 Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27
19 Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! Hvilken funktion f har du lyst til at regne på? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27
20 Eksempel For f(x) = e x er f (x) = f (x) = = e x. For x 0 = 0 fås P(x) = 1 + x x ! x N! xn. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 9 / 27
21 Wavelets - forbrydernes skræk (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 10 / 27
22 Digitale sort-hvid billeder Et digitalt billede består af et antal små kvadrater - såkaldte pixels. F.eks pixels. Til hver pixel knyttes en gråtone på en skala f.eks. fra 0 til 100, der angiver farvenuancen det pågældende sted. F.eks.: 0: helt hvid 100: helt sort Talparrene bestående af en nummerering af de enkelte pixels og angivelse af den tilhørende farvenuance giver en komplet beskrivelse af billedet. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 11 / 27
23 Eksempel Pixelværdier i første række: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 12 / 27
24 Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med pixels beskrives et billede af talpar; Med pixels beskrives et billede af talpar. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27
25 Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med pixels beskrives et billede af talpar; Med pixels beskrives et billede af talpar. Når sidelængden i hver pixel reduceres med en faktor 4, øges datamængden med en faktor 16! Dyrt at lagre billeder i høj opløsning! At lagre et billede i god kvalitet koster ca. 13 Mb. En CD-ROM kan lagre ca. 60 billeder i god kvalitet. Ok til husbehov! Metoden er ikke brugbar til store mængder billeder! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27
26 Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27
27 Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. Løsning: Komprimering af datamængden! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27
28 Hvorfor virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27
29 Hvorfor virker det? Den første række i hunden beskrives af 256 talpar - men kan faktisk beskrives ved blot 4! Teknisk forstålse af metoden kræver avanceret matematik. Vi beskriver den simplest mulige udgave af metoden for et talsæt bestående af 8 tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27
30 Eksempel Vi betragter følgende tal: Tallene opfattes som en serie på fire talpar, hvert indeholdende to tal: (56,40), (8,24), (48,48), (40,16) Hvert talpar erstatter vi af to nye tal, nemlig 1) gennemsnittet af de givne tal; 2) forskellen mellem det første tal i parret og den fundne gennemsnitsværdi. I formelsprog: hvert talpar (a, b) er blevet erstattet af et nyt talpar (g, d) givet ved g = a + b 2, d = a a + b 2. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 16 / 27
31 Eksempel, fortsat Det første talpar i det givne talsæt består af tallene 56 og 40; ovenstående procedure giver os Gennemsnitsværdien er = 48 Forskelsværdien er = 8. Ved at udføre denne process på alle fire talpar bliver tabellen omformet til Gennemsnit: Forskelle: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 17 / 27
32 Eksempel, fortsat Tallene g = a+b 2, d = a a+b 2 i tabellen indeholder samme information som de oprindelige tal Thi: vi kan komme tilbage til de oprindelige tal via inversion, Man taler om rekonstruktion. a = g + d, b = g d. Uklart hvad der er vundet ved omformningen! Vi gemmer spørgsmålet og gentager processen: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 18 / 27
33 Eksempel, fortsat Givet tabel: Første anvendelse af metoden: Metoden anvendes igen, men kun på de 4 gennemsnitstal: Metoden anvendes igen, men kun på de 2 gennemsnitstal: Man kan regne frem og tilbage mellem disse fire tabeller! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 19 / 27
34 Komprimeringsteknik Tal numerisk under 4 erstattes af nul (thresholding): dvs. tabellen erstattes af Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række): Tallene ligger tæt på vores oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 20 / 27
35 Komprimeringsteknik Grovere threshold - smid tal under 9 væk: tabellen erstattes af Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række) : De nye tal er i mange sammenhænge en acceptabel tilnærmelse. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 21 / 27
36 Komprimeringsteknik Første figur viser det originale signal nederst, og rekonstruktionen med thresholding ved 4 øverst. Anden figur viser det originale signal, og rekonstruktionen med thresholding ved 9. Talfølgen opnået ved rekonstruktion med thresholding ved 9 er i mange tilfælde en acceptabel tilnærmelse til det oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 22 / 27
37 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
38 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
39 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? Ja! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
40 Tilbage til FBI (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
41 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
42 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
43 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? Første år efter at metoden blev indført opklarede FBI 800 henlagte sager fra arkivet, herunder 50 mordsager. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
44 Andre anvendelser Irisgenkendelse; Wavelets indgår i JPEG2000 (international standard for billedkompression); Videotransmission; Komprimering af musik (MP3-afspillere); Støjreduktion; (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 25 / 27
45 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
46 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
47 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
48 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
49 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n Masterkursus (7.semester): fuld beskrivelse af waveletteori. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
50 Interesseret i at studere matematik? Check internetsiden (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 27 / 27
Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2012 HTX Vibenhus
Læs mereHØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Fredag den 12. december Kl HFE083-MAB
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 13.00 HFE083-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Klaus
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils Hagstrøm
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereMat 6 projekt Projektoplæg 22. januar 2013
1 Generelt om projektet For nogle af de studerende er 6. semester det semester hvor man skal skrive bachelorprojekt. Andre har allerede skrevet bachelorprojekt i et andet fag. For dem er det et almindeligt
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hfe Matematik B Najib Faizi Hold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/Juni,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereTaylor-polynomier. John V Petersen
Taylor-polynomier John V Petersen Taylor-polynomier 2018 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning... 4 2. Udledning af Sætning om Taylor polynomiet... 4 3. Sætning og Definition af Taylor
Læs mereDer påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.
Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011
Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 08/09 Htx Sukkertoppen,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 18 Institution Business College Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Winnie Bjørn Mosegaard
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereKaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)
Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommerkursus 2018. Institution HF & VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK-hold A-B
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juli/August 2016 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 17 Institution Business College Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold eux Matematik B Winnie Bjørn Mosegaard
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereMedicinsk billeddannelse
Medicinsk billeddannelse Introduktion Billedtyper - Opgaver Billedegenskaber Billedbehandling Lars Møller Albrecht Lars.moeller.albrecht@mt.regionsyddanmark.dk Billedtyper Analog f.eks. billeder, malerier,
Læs mereNumeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ MATEMATIK B-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt Kl STXB-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK B-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 2010 Kl. 09.00 13.00 STXB-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler: 1 time med autoriseret formelsamling
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2018, skoleår 17/18 Institution Gymnasiet HHX Ringkøbing, Uddannelsescenter Ringkøbing-Skjern Uddannelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 19 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Business College SYD hhx Matematik B Jens Markvardsen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik B Jesper
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Henrik Sandler
Læs mere