Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 19 Indledende addition og subtraktion 30 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 33 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 36 Opsamling på kapitel 1 42 2 Matematiske teorier for naturlige tal 43 Tælletal (ordinaltal) 45 Peanos aksiomer 46 Definition af talnavne i titalssystemet 47 Definition af regningsarterne + og 49 Mængdetal (kardinaltal) 54 Addition og multiplikation af kardinaltal 58 Fusionen mellem tælleremse og mængdetal 60 Modsatte regningsarter 62 Ordning af de naturlige tal 65 Hvordan får vi styr på uendeligheden? 67 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 67 Tælletallene når aldrig uendelig 70 Induktionsbeviset 72 Et induktionsbevis i grafteori 72 Tælling hinsides uendelig 74 Opsamling på kapitel 2 77 1
3 Positionssystemer og regnealgoritmer 91 Alfabetaland 92 Fordelene ved positionssystemer 94 Positionssystem med vilkårligt grundtal 95 Regnealgoritmer i andre talsystemer 99 Opsamling på kapitel 3 103 4 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 103 Titalssystemet et positionssystem 105 Addition og subtraktion af flercifrede tal 108 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 112 Hen imod relativt standardiserede metoder 115 Indledende multiplikation og division 123 Multiplikative situationer 125 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 129 Forståelse kontra færdighed? 134 Opsamling på kapitel 4 137 Introduktion til del II. Talteori og mønstre 141 5 Talteori 143 Hvordan finder man primtal? 145 Euklids algoritme 148 Diophantiske ligninger 151 Aritmetikkens fundamentalsætning 155 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 156 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 158 Opsamling på kapitel 5 160 6 Talmønstre og figurrækker 161 Udvikling i femkanttallene 164 Induktionsbeviser 169 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 172 Bestemmelse af en formel med computerhjælp 176 Hanoitårnet, fraktaler og fibbonaccital 180 Opsamling af kapitel 6 184 2
7 Konkrete materialer i matematikundervisningen 185 Hvorfor konkrete materialer? 187 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 189 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 192 Konkrete materialers gennemsigtighed 202 Opsamling på kapitel 7 203 Introduktion til del III: Algebra 204 8 Tidlig algebra 205 Tidlig algebra hvad er det? 209 Variable og funktioner i tidlig algebra 210 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 211 Andre eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 215 Ligninger og lighedstegnet 218 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 220 Argumenter omkring lighedstegnet 220 Læring af algebra i et semiotisk perspektiv 222 Kontekstens betydning 223 Opsamling på kapitel 8 225 9 Variable 226 Den ukendte som pladsholder og som variabel 227 Variablen i formler og funktioner 235 Opsamling på kapitel 9 243 Introduktion til del IV. Geometri 244 Geometri i de første skoleår 247 Geometri som kulturel aktivitet 248 Måling i indskolingen om at bestemme længder 253 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 255 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 259 Måling og andre faglige områder 262 3
At arbejde med form i indskolingen 265 Fra tegning til diagram 266 Opfattelse af og fysiske erfaringer med former 267 Begrebsdannelse og geometriske former 271 Van Hieles niveauer 273 Kritik af og inspiration fra van Hieles 274 Opsamling på kapitel 10 280 11 Flytninger, eksperimentelt og teoretisk 281 Eksperimentel flytningsgeometri 284 Flytningernes fænomenologi 286 Kombinationer af flytninger 289 Deduktiv flytningsgeometri 293 Vores teoretiske model: isometrierne 294 Refleksionerne som byggesten for isometrier 295 Hovedsætningen om isometrier 300 Klassifikation af alle flytninger i planen 302 Opsamling på kapitel 11 309 12 Symmetrier og mønstre i verden og i geometrien 311 Symmetri i enkeltformer 313 Frisemønstre 320 Tapetmønstre og fliser 323 Konstruktion af fantasifulde flisemønstre 324 En duft af krystallografi 327 Opsamling på kapitel 12 330 13 Den elementære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytningsregning 331 Karakteristik af de almindeligste polygonale former i skolen 332 Symmetrier i van Hieles didaktik 334 Den perfekte cirkel, ellipsen og ovalen 336 Gruppen, en alternativ regneverden 339 Betydningen af gruppeteori i strukturundersøgelser 349 Opsamling på kapitel 13 350 4
14 Eksperimentelle undersøgelser af former i rummet 352 Genopdagelse af de platoniske legemer 354 Eulers polyedersætning 355 Descartes spidsheder 357 Halvregulære polyedre som inspiration 358 Opsamling på kapitel 14 362 15 Geometri i nyere tid 363 Grafteori 365 Teorien for Eulerture 368 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 371 Topologi og eulertallet 376 Kuglefladen 377 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 378 Taxageometri i plan og rum 379 Opsamling på kapitel 15 382 Introduktion til del V. Stokastik 383 16 Databehandling 385 At arbejde med data de første skoleår 389 Hvad indgår i at arbejde med data? 389 Perspektiver på data 392 Prøv at være datadetektiv 401 Elever som datadetektiver 405 Opsamling på kapitel 16 408 17 Sandsynligheder i skolens yngste klasser 410 Et eksempel sandsynlighedsundervisning i den franske skole 415 Elevers forståelse af sandsynligheder 420 Statistiske sandsynligheder 426 5
En vifte af metoder til løsning af en enkelt elevopgave 430 1. Det konkrete eksperiment 430 2. Det simulerede eksperiment 431 3. Teoretisk beregning baseret på hele tal, tælletræ 432 4. Teoretisk beregning under anvendelse af brøkbegrebet 433 5. Chancetræer. Teoretisk behandling under anvendelse af addition og multiplikation af brøker 434 Reducerede chancetræer og betinget sandsynlighed 438 Opsamling på kapitel 17 445 Referencer 447 Stikordsregister 453 6