1 Opgaver til anden delprøve matematik B Dette dokument omhandler anden delprøve, den med CAS - hjælpemiddel. Dette afsnit bygger på lærerplanen og vejledningen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaver fra 2014-2012. Mange af opgaverne er i udgangspunktet eksamensopgaver, men er blevet redigeret så de kommer rundt i alle hjørner af det pågælende emne. Det betyder at opgaverne er meget længere end eksamensopgaverne typisk er. Bemærk at indholdet af første delprøve også kan optræde til anden delprøve, det omvendte kan ikke forkomme. Jeg har inddelt dokumentet i 6 afsnit: Statistik, trigonometri, funktioner, differentialregning, integralregning og variabelsammenhæng. Hvert afsnit har sin egen beskrivelse, opgaver, videoer og bedømmelseskriterier. Jeg har lavet en række videoer til de enkelte emner, der opsumere indholdet af emnet gerne med udgangspunkt i eksempler og med illustrationer. Videoerne er angivet med ikonet. Jeg vil gerne understrege, at dette er ment som et supplement til øvrige materialer og undervisning. Videoerne til anden delprøve tager udgangspunkt i Maple som CAS-værktøj. Dette skyldes udelukkende, at det er det CAS-værktøj jeg benytter. Hvis der er lærer som vil lave eller har kendskab til tilsvarende videoer for andre CAS-værktøjer og som de vil dele, vil jeg gerne tilføje dem til dette dokument.
2 Bedømmelse I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive langt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravende beskrevet i de følgende fem kategorier: Tekst Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. Notation og layout Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. Redegørelse og dokumentation Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Figurer I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Konklusion Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.
3 Maple kommandosamling Decimalpunktum, ingen mellemrum og årstal skal omregnes så det første år er 0 i regression. e 3x+4 + 3x skrives exp(3x+4)+3x log(3x + 2) 3x skrives log[10](3x+2)-3x En liste af tal X:=[2.34,4.12,5.21] og Y:=[4.2,7.2,6.1] [ ] 10..20 12 12 12 En matrix N:= og med intervaller M:= 12 62 20..30 62 30..40 21 Fordelingstest ChiKvadratGOFtest(X,Y) Uafhængighedstest ChiKvadratUtest(N) Forventede værdier forventet(n) Middelværdi eller gennemsnit middel(n) eller middel(m) Sumkurve og kvartilsæt plotsumkurve(m) Trappediagram og kvartilsæt plottrappekurve(n) Kumulerede frekvenser frekvenstabel(n) eller frekvenstabel(n) Boksplot og kvartilsæt boksplot(n) eller boksplot(m) Bestem a og b i en eksponentiel sammenhæng, b a x ExpReg(X,Y) Bestem a og b i en lineær sammenhæng, ax + b LinReg(X,Y) Bestem a og b i en potens sammenhæng, b x a PowReg(X,Y) Beregninger i trekanter trekantsolve(a=23,a=12,b=10) Løsning af ligninger solve(3x 2 + 4x = 3) Løsning af ligninger i bestemt interval fsolve(3x 2 + 1 = 3, x = 3..5) Definer en funktion f(x):=3x 2 + 2x 1 Bestem f. f (x) Monotoniforhold og største eller mindste værdi solve(f (x)=0) Tangentligning i puntet (3, f (3)). y=f (3)*(x-3)+f(3) Areal af punktmæmgde. int(f(x),x=4..9) Stamfunktion. int(f(x),x)
4 0 Fælles for alle besvarelse a. Du skal have navn og sidetal på alle sider. b. Du skal downloade videoer du ønsker at se under eksamen, fordi du ikke har adgang til fx youtube under eksamen.
5 1 Statistik Beskrivelse Simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale betyder, at du til anden delprøve skal kunne a. udregne hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens og middelværdi for et datasæt der kan være i form af en liste af tal, en hyppigeheds- eller frekvenstabel hvor data kan være grupperet eller ugrupperet. b. tegne trappediagram, sumkurve og boksplot. c. formulere nul-hypotese og beregne de forventede værdier på baggrund af denne hypotese. d. udregne p-værdi ved en χ 2 -test og konkludere om nul-hypotesen kan forkastes på baggrund af p-værdien. Videoer 1.1 hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, trappediagram, kvartilsæt og boksplot for ugrupperede data 1.2 hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, sumkurve, kvartil og boksplot for grupperede data 1.3 hypotese, forventede værdier og χ 2 fordelingstest (Goodness of fit) 1.4 hypotese, forventede værdier og χ 2 uafhængighedstest (Test of independence) Bedømmelseskriterer Det vigtigste er, at du i din besvarelse tydeligt skriver hvad du gør, i et klart sprog og ikke kun i commando sprog. Fx I frekvenstabellen herunder ses den kumulerede frekvens. frekvenstabel(n)
6 Opgaver Opgave 1.1.1 21 elever har været til matematikprøve og resultatet af prøven ses i tabellen herunder. Antal rigtige 3 6 10 12 13 15 16 17 20 Antal elever 1 2 1 5 2 3 3 2 2 a) Bestem frekvensen og den kumulerede frekvens. b) Tegn trappediagram. c) Bestem kvartilsættet og tegn boksplottet. d) Bestem middelværdien. Opgave 1.1.2 I en operaforening er aldersfordeligen som vist i tabellen. Alder (år) 60 61 62 63 64 Antal 2 8 4 10 3 a) Bestem frekvensen og den kumulerede frekvens. b) Tegn trappediagram. c) Bestem kvartilsættet og tegn boksplottet. d) Bestem middelværdien. Opgave 1.1.3 Tallene nedenfor er resultatet af en optælling af antal rosiner i 30 rosinpakker fra et bestem firma A. 23, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 39. a) Bestem frekvensen og den kumulerede frekvens. b) Tegn trappediagram. c) Bestem kvartilsættet og tegn boksplottet. d) Bestem middelværdien.
7 Opgave 1.2.1 Nedenstående tabel viser aldersfordelingen af 72 lærere, der er ansat på et bestemt gymnasium. Det oplyses at den yngste er 26 og ældste 65. Alder 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Antal 1 19 5 33 14 a) Bestem frekvensen og den kumulerede frekvens. b) Tegn sumkurven. c) Bestem kvartilsættet og tegn boksplottet. Opgave 1.2.2 Tabellen viser fordelingen af længden af atlantiske havkatte fanget i dybden 5-40 m. Det oplyses at den korteste og den længste havkat er henholdsvis 51 cm og 110 cm. Længden (cm) 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 Procentdel 9 11 5 31 25 19 a) Bestem den kumulerede frekvens. b) Tegn sumkurven. c) Bestem kvartilsættet og tegn boksplottet. Opgave 1.2.3 Blandt deltagerne i en undersøgelse var der 531, som ryger mindst 5 cigaretter om dagen. I tabellen nedenfor ses en opgørelse over det daglige cigaretforbrug blandt disse 531 rygere. Antal cigaretterne 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 Antal personer 74 119 127 129 32 50 a) Bestem de kumulerede frekvenser. b) Tegn sumkurven. c) Bestem kvartilsættet. d) Tegn boksplottet. e) Bestem hvor stor en procentdel af rygerne der ryger mindst 21 cigaretter om dagen.
8 Opgave 1.3.1 Tabellen viser aldersfordelingen af 165 tilfældigt udvalgte 20-70-årige danskere fra fyn. Alder 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Antal 21 39 51 30 24 Aldersfordelingen af alle 20-70-årige danskere fremgår af nedenstående tabel. Alder 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Procentdel 18,1 20,3 22,6 20,0 19,0 a) Opstil en nulhypotese der kan bruges til at teste om aldersfordelingen på fyn er den samme som alle 20-70 årige danskere. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 1.3.2 I en landsdækkende statistik fra 2010 fandt man følgende svarfordeling vedrørende internetadgang i danske husstande: Type af internetadgang ADSL Modem Fiber Mobilt Ved ikke Procentdel 38 33 8 11 10 Et år senere blev 800 tilfældigt udvalgte danske husstande spurgt om, hvilken internetadgang de benytter i deres husstand. Svarfordelingen fremgår af nedenstående tabel. Type af internetadgang ADSL Modem Fiber Mobilt Ved ikke Antal husstande 300 235 78 106 81 a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste om typen af internetadgang har samme fordeling efter et år. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau.
9 Opgave 1.3.3 Et firma producerer en bestemt type slik, der har forskellige farver. Slikket kan have farverne rød, grøn, gul, orange og blå. Firmaet oplyser, at poserne indeholder lige mange af hver farve. Hans og Grethe har købt en slikpose af den omtalte type, og de fandt følgende farvefordeling: Rød Grøn Gul Orange Blå 10 18 15 10 7 a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste om firmaets oplysninger om farvefordelingen i deres slikposer holder stik. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg om nulhypotesen kan forkastes på et 5% signifikansniveau. Opgave 1.3.4 Ved folketingsvalget 15. sep 2011 var fordelingen af stemmer. Parti A B C SF I KD DF V Ø AL Fordeling i % 24,8 9,5 4,9 9,2 5,0 0,8 12,3 26,75 6,7 0,05 Den 3. maj 2015 var der en meningsmåling hvor der blev spurgt 1500 personer og deres fordeling var Parti A B C SF I KD DF V Ø AL Antal 363 87 56 89 105 13 287 354 129 17 Man ønsker at undersøge nulhypotesen: Fordelingen af stemmer har ikke ændret sig. a) Bestem de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.
10 Opgave 1.4.1 I en undersøgelse har et reklamebureau adspurgt to grupper af unge, en fra Jylland og en fra Sjælland, om hvilke af to typer cornflakes A eller B, der smager bedst. A er bedst B er bedst Ved ikke Jyder 55 40 30 Sjællændere 75 45 20 a) Opstil en nulhypotese. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes. Opgave 1.4.2 En forsker vil undersøge, om en persons efterlønsalder er uafhængig af, om personen lever sammen med en partner eller ej. Derfor udtages der en tilfældig stikprøve på 253 personer med følgende resultat: Lever sammen med en partner Lever ikke sammen med en partner Efterlønsalder på 60 år Efterlønsalder på 61-65 år 28 62 73 90 a) Opstil en nulhypotese. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.
11 Opgave 1.4.3 I biblioteksstyrelsens undersøgelse af gymnasieelevers informationsadfærd på de tre gymnasiale uddannelser stx, hhx og htx har respondenterne blandt andet forholdt sig til følgende udsagn om litteraturlæsning: Jeg læser næsten ikke anden end pensum. Svarfordelingen på udsagnet var som vist i tabellen nedenfor. Svar\Gymnasietype stx hhx htx Uenig 131 69 36 Ved ikke 102 76 27 Enig 235 207 70 a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til at teste, om informationsadfærden vedrørende litteraturlæsning er uafhængig af gymnasietype. b) Beregn de forventede værdier under forudsætning af, at nulhypotesen er sand. c) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.
12 2 Trigonometri Beskrivelse Trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter betyder, at du til anden delprøve skal kunne a. udregne de resterede sider i vinkler i en trekant når du kender tre sider, to sider og en vinkel eller én side og to vinkler. b. udregne længder på vinkelhalveringslinjer, medianer og højder i trekanter når du kender sider og vinkler i trekanten. c. udregne areal af en trekant når du kender sider og vinkler i trekanten. d. udregne sider og vinkler i en trekant når du kender areal og to sider eller areal og en side og en vinkel. e. udregne vinkler når sidelængderne kun er kendt relativt til hinanden. f. opdele en figur i trekanter og beregne sider og vinkler i denne trekant. g. udregne sider og vinkler i stilladserede situationer og objekter. Videoer 2.1 trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter Bedømmelseskriterer Det vigtigste er, at du i din besvarelse tydeligt skriver hvad du gør, i et klart sprog og ikke kun i commando sprog. Fx Jeg beregner de ukendte sider og vinkler i trekant ABD. trekantsolve(a=40,d=3,b=50,"abd") En opgave i trigonometri skal, for at give fuldt point, indeholde en skitse med entydige navne på de punkter og sider, der indgår i beregningerne. Skitsen kan være angivet i opgaveformuleringen, og skal der ikke yderligere til, behøver skitsen ikke indgå i besvarelsen.
13 Opgaver Opgave 2.1.1 I trekant ABC er AC = 5, A = 40 og C = 110 B A 40 110 5 C a) Bestem B og AB i trekant ABC. b) Bestem længden af vinkelhalveringslinjen fra C i trekant ABC. c) Bestem arealet af trekant ABC.
14 Opgave 2.1.2 I trekant ABC er punktet D skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinjen for vinkel B og siden AC. AB = 11, BD = 5 og AD = 7. B 11 5 A 7 D C a) Bestem B i trekant ABC. b) Bestem C i trekant ABC. c) Bestem AC. d) Bestem længden af højden fra C i trekant ABC. e) Bestem længden af medianen fra A i trekant ADB. Opgave 2.1.3 I trekant ABC er A = 40, AB = 8 og BC = 6. Vinkel C er stump. B 8 6 40 A C a) Bestem B. b) Bestem arealet af ABC. c) Bestem længden af højden fra C. d) D er skæringspunktet mellem højden fra C og siden AB. Bestem BD. e) Bestem længden af medianen fra A.
15 Opgave 2.1.4 Om trekant ABC oplyses, at arealet er 22,9 samt at A = 32, 3 og AB = 10, 6. a) Bestem længden af højden fra C. b) Bestem omkredsen af trekant ABC. c) Bestem C. d) Bestem længden af medianen fra A. e) Bestem længden af vinkelhalveringslinjen for vinkel C. Opgave 2.1.5 Om trekant ABC oplyses, at AC = 10, vinkel A = 20 og vinkel C = 104. B A a) Bestem BC. 104 20 10 C h B b) Bestem højden h B.
16 3 Funktioner Beskrivelse Begrebet f(x), karakteristiske egenskaber ved følgende funktioner: lineær, eksponentiel, potens, logaritme og polynomier og deres grafiske forløb og for de tre første regression betyder, at du til anden delprøve skal kunne a. udregne a og b i forskrifterne y = ax + b, y = ba x og y = bx a udfra data fra en tabel. b. fortolke a og b i relation til den opstillede model for lineær og eksponentiel funktioner. c. tegne grafer d. udregne værdier for både den afhængige og uafhængige variabel givet at den anden værdi er kendt. e. udregne fordoblings- eller halveringskonstant og udregne den procentvise ændring i den afhængigevariabel givet en ændring i den uafhængige variabel for eksponentiel funktioner. g. udregne den procentvise ændring i den afhængige eller uafhængige variabel givet at ændringen er kendt for den anden variabel. h. udregne nulpunkter for en funktion og kende det maksimale teoretiske antal nulpunkter for en funktion. i. udregne a, b og c for et 2.gradspolynomium y = ax 2 + bx + c givet at tre punkter på parablen er kendt. Videoer 3.1 lineære funktioner 3.2 eksponential 3.3 potens 3.4 polynomier 3.5 logaritmefunktioner Bedømmelseskriterer Det vigtigste er, at du i din besvarelse tydeligt skriver hvad du gør, i et klart sprog og ikke kun i commando sprog. Fx Ligningen f (x) = 0 løses solve(f(x)=0)
17 Opgaver Opgave 3.1.1 Tabellen viser sammenhørende værdier af alder og længde for en population af spækhuggere. Alder (år) 1 3 5 7 9 Længde (cm) 310 386 462 536 610 I en model er sammenhængen mellem længden L (målt i cm) og alderen t (målt i år) en funktion af typen L(t) = at + b a) Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data. b) Giv en fortolkning af tallene a og b. c) Den længste spækhugger der er fanget var 980 cm, benyt modellen til at bestemme alderen af denne spækhugger. d) Benyt modellen til at bestemme længden af en spækhugger på 15 år. Opgave 3.1.2 Tabellen viser vægten af vindernes cykel i en række Tour de France cykelløb. Der er med tilnærmelse tale om en sammenhæng af typen f (x) = ax + b, hvor x er antal år efter 1980, og f (x) er vægten af vindernes cykel, målt i kg. År 1980 1985 1990 1998 2003 Vægt (kg) 10,2 9,6 9,1 8,1 7,2 a) Bestem tallene a og b ved hjælp af alle tabellens data. b) Giv en fortolkning af tallene a og b. c) Ifølge cykelunionens regler skal en konkurrencecykel mindst veje 6,8 kg. Hvilket år ville vinderens cykel komme under denne vægt, hvis udviklingen forsætter? d) Hvad vejede vindernes cykel i 1978 i følge modellen.
18 Opgave 3.1.3 Tabellen viser danskernes forbug af øl i perioden 2005-2010. Denne udvikling kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær model. År 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Øl (mio. liter) 574 554 527 505 476 453 a) Benyt tabellens data til at opstille en model, for udviklingen af danskernes forbrug af øl. b) Giv en fortolkning af konstanterne i modellen. c) Bestem danskernes forbrug af øl i 2015 ifølge modellen. d) Hvilket år vil danskernes forbrug af øl kommer under 300 mio. liter. Opgave 3.2.1 Tabellen viser for udvalgte år i perioden 1999-2006 mængden af produceret solenergi i Spanien. År 1999 2001 2002 2004 2005 2006 Solenergi (MW) 7 15,6 22,6 49,4 68,9 116,4 I en model antages det, at den producerede solenergi P (målt i MW) som funktion af tiden t (målt i år efter 1999) med tilnærmelse kan beskrives ved sammenhængen hvor a og b er tal. P(t) = b a t a) Benyt tabelles data til at bestemme a og b. b) Forklar betydningen af a og b. c) Benyt modellen til at bestemme mængden af solenergi der vil blive produceret i 2010. d) Benyt modellen til at bestemme hvilket år der vil blive produceret 200 MW solenerig. e) Bestem fordoblingstiden for mængden af produceret solenergi. f) Bestem P (11) og forklar betydningen af dette tal.
19 Opgave 3.2.2 Tabellen viser antallet af robotter, der blev benyttet i dansk industri, i årene 2001-2008. År 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Antal robotter 2093 2342 2630 2926 3258 3626 4115 4622 Det oplyses, at antallet af industrirobotter med god tilnærmelse er vokset eksponentielt i denne periode. a) Benyt tabellens data til at opstille en model, f, for antallet af industrirobotter som funktion af antal år efter 2001. b) Benyt modellen til at bestemme den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i antallet af industrirobotter. c) Benyt modellen til at bestemme antallet af industrirobotter i 2012. d) Benyt modellen til at bestemme hvilket år antallet af industrirobotter vil overstige 10000. e) Bestem fordoblingstiden for antallet af industrirobotter. f) Bestem f (11) og forklar betydningen af dette tal.
20 Opgave 3.2.3 Tabellen viser udviklingen i antallet af unge, der har problemer med at betale deres SU-gæld. År 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Antal unge med SU-gældsproblemer 43 000 45 900 48 700 51 600 54 700 57 800 Det oplyses, at antallet f (x) af unge med SUgældsproblemer med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen f (x) = b a x, hvor x er antal år efter 2005. a) Benyt tabellens data til at bestemme til at bestemme en forskrift for f. b) Forklar betydningen af a og b. c) Benyt modellen til at bestemme antallet af unge med SU-gældsproblemer i 2020. d) Benyt modellen til at bestemme hvilket år antallet af unge med SU-gældsproblemer kommer over 80 000. e) Bestem fordoblingstiden, og forklar betydningen af dette tal. f) Bestem f (8) og forklar betydningen af dette tal. Opgave 3.2.4 Efter ulykken ved Fukushima atomkraftværk blev et stor område radioaktiv forurenet. Strålingdosis man modtager pr.år når man opholder sig i områet aftager efter denne model f (x) = 5000 0, 85 x hvor f (x) er den modtagede strålingensdosis pr år og x er antallet af år efter ulykken. a) Bestem halveringstiden. b) Forklar betydningen af tallene 0, 85 og 5000. c) Når strålingen kommer ned på 100 millisivert pr. år er området beboligt igen, bestem hvor mange år der går.
21 Opgave 3.3.1 For muslinger på havbunden i Arktis har man fundet sammenhørende værdier af muslingens alder og muslingeskallens længde som vist i tabellen. Muslings alder (år) 0,9 2,0 6,0 6,9 9,9 10,7 14,0 15,9 Skallens længde (cm) 1,1 2,0 4,1 4,5 5,5 5,9 6,7 7,3 I en model antages det, at muslingeskallens længde som funktion af muslingens alder er en funktion af typen L(t) = b t a hvor L er skallens længde (målt i cm), og t er muslingens alder (målt i år). a) Benyt tabelles data til at bestemme a og b. b) Benyt modellen til at bestemme længden af skallen for en musling, der er 24 år gammel. c) Benyt modellen til at bestemme alderen af en musling der er 20,4 cm. d) En musling er 10 % ældre end anden musling, hvor mange procent længere er skallen på den ælste musling? e) En muslings skal er 25 % længere end en anden muslings skal, hvor mange procent er muslingen med den længste skal ældre end den anden musling? f) Bestem tallet L (24), og beskriv, hvad tallet fortæller om muslingeskallens vækst.
22 Opgave 3.3.2 Tabellen viser sammenhængen mellem antallet af brikker i et puslespil og den tid, det typisk tager at samle puslespillet. Antal brikker 22 48 67 80 100 154 240 Tid (sekunder) 137 391 625 787 1251 2211 4024 Det er med god tilnærmelse tale om en sammenhæng af typen f (x) = b x a, hvor x er antallet af brikker, og f (x) er tidsforbruget, målt i sekunder. a) Benyt alle tabelles data til at bestemme a og b. b) Hvor stort et puslespil kan en person nå at samle på 3000 sekunder? c) Hvor lang tid tager det at samle et puslespil på 1000 brikker? d) En person har to puslespil A og B. Puslespil A har dobbelt så mange brikker som puslespil B. Hvor mange gange så lang tid tager det at samle puslespil A? e) En person har to puslespil C og D. Det tager 40% mere tid at samle puslespil C end D. Hvor mange procent flere brikker er der i puslespil C?
23 Opgave 3.3.3 Tabellen viser gennemsnitlig højden og vægten af fuldt udvoksede han pingviner for fire forskellige pingvinarter. Galapagospingvin Humboldtpingvin Magellanpingvin Kongepingvin Højde (meter) 0,50 0,65 0,70 0,95 Vægt (kg) 2,2 4,5 4,9 15 Det oplyses, at vægten f (x), måit i kg, med tilnærmelse kan beskrives ved en model af typen hvor x er højden, målt i meter. f (x) = b x a, a) Benyt alle tabelles data til at bestemme a og b. b) Benyt modellen til at bestemme højden af en kejserpingvin der vejer 40 kg. c) Benyt modellen til at bestemme vægten af en kejserpingvin der er 1,20 m høj. d) En kejserpingvin er 26,3% højere end kongepingvinen, hvor mange procent vil kejserpingvinen, i følge modellen, veje mere end kongepingvinen. e) En kejserpingvin vejer 166,7% mere end kongepingvinen, hvor mange procent vil kejserpingvinen, i følge modellen, være højere end kongepingvinen. Opgave 3.4.1 Et bassin har et lodret tværsnit, hvis form er en del af en parabel med toppunkt T. Bassinets største bredde er 10 m, og dets største dybde er 4 m. a) Bestem en ligning for parablen i dette koordinatsystem. Opgave 3.4.2 Grafen for andengradspolynomiet f (x) = ax 2 + bx + c skærer førsteaksen i punkterne med koordinaterne (1, 0) og (5, 0), og toppunktet til grafen for f har koordinaterne (3, 2). a) Bestem a, b og c.
24 Opgave 3.4.3 Bærekablet på Golden Gate Briges pyloner er monteret 220 meter over vandoverfladen og der er 1280 meter mellem pylonerne og kablets laveste punkt er 80 meter over vandoverfladen. I en model beskrives bærekablet mellem de to pyloner ved en del af grafen for et andengradspolynomium a) Bestem en forskrift for f. f (x) = ax 2 + bx + c.
25 4. Differentialregning Beskrivelse Definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, monotoniforhold, nulpunkter, tangenligning og optimering betyder, at du til anden delprøve skal kunne a. udregne f (x). b. udregne monotoniforhold når funktionen eller dennes aflede er kendt. c. tegne grafer d. udregne tangentligningen når funktionen og et punkt er kendt eller hvis funktionen og en hældning på tangenten er kendt. e. udregne vækstraten i et kendt punkt eller bestemme punkterne for en kendt vækstrate. g. udregne ekstremumssteder. Videoer 4.1 væksthastighed 4.2 monotoniforhold, nulpunkter og tangentligning 4.3 optimering Bedømmelseskriterer Det vigtigste er, at du i din besvarelse tydeligt skriver hvad du gør, i et klart sprog og ikke kun i commando sprog. Fx Tangentligningen i punktet (2, f (2)) udregnes y = f (2)(x 2) + f (2) udregnes y=f (2)*(x-2)+f(2)
26 Opgaver Opgave 4.1.1 Udviklingen i antallet af individer i en population, kan beskrives med funktionen f (x) = 1673 1, 021 x hvor f er antallet af individer, og x er antallet af år efter 2010. a) Bestem antallet af individer i 2015. b) Bestem året hvor antallet af individer kommer op på 2000 individer. c) Bestem f (10) og giv en fortolkning af dette tal. Opgave 4.1.2 I en model for et bestemt radioaktivt stof, kan mængden af tilbageværende stof, som funktion af tiden beskrives ved N(t) = 17, 5 0, 977 t hvor N(t) er mængden af tilbageværende stof (målt i gram) til tidspunktet t (målt i år). a) Hvor mange år tager det ifølge modellen, før mængden af tilbageværende stof er nede på 12 g? b) Bestem mængden af tilbageværende stof efter 10 år. c) Bestem væksthastigheden efter 5 år. Opgave 4.1.3 I forbindelse med et genopretningsprojekt observeres antallet af ynglende fugle par på en ø. I en model for udviklingen af ynglende par på øen, kan antallet af ynglende par, som funktion af tiden i år beskrives ved f (x) = 1500 1 + e 0,5 x hvor f (x) er antallet ynglede par og x er tiden i år efter genopretningsprojektet er startet. a) Hvor mange år tager det ifølge modellen, før antallet af ynglende fugle par når målsætningen på 1400 par? b) Hvor mange ynglende fugle par bør der i følge modellen være når antallet af ynglende fugle par tælles efter 3 år? c) Bestem væksthastigheden efter 3 år.
27 Opgave 4.1.4* Udviklingen i antallet af næsehorn der bliver skudt, kan som funktion af tiden t efter 2006 (målt i år) beskrives med modellen f (t) = 1455 1 + e 0,75 t+4,5 a) Bestem antallet af næstehorn der bliver skudt i 2010. b) Bestem f (8) og forklar betydningen af dette tal. c) Bestem hvornår væksthastigheden er størst. Opgave 4.2.1 En funktion f er givet ved f (x) = x 2 ln(x) 3x 1, x > 0. a) Benstem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). b) Bestem nulpunkter for f (x). c) Benyt f (x) til at argumentere for forløbet af grafen for f. d) Bestem minimum for f. Opgave 4.2.2 En funktion f er bestemt ved f (x) = x 3 3x 2 9x + 6 a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2, f (2)). b) Bestem nulpunkter for f (x). c) Benyt f (x) til at argumentere for forløbet af grafen for f. d) Bestem ekstremumssteder for f. Opgave 4.2.3 En funktion f er bestemt ved f (x) = x 3 1, 5x + 3 a) Benstem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). b) Bestem nulpunkter for f (x). c) Benyt f (x) til at argumentere for forløbet af grafen for f. d) Løs ligningen f (x) = 1, 5, og gør rede for betydningen af løsningerne.
28 5 Integralregning Beskrivelse Ubestemte og bestemte integraler, anvendelse af integralregning til arealberegning af punktmængder begrænset af grafer for ikkenegative funktioner betyder, at du til anden delprøve skal kunne a. udregne f (x) dx og b a f (x) dx. b. udregne arealer af punktmængder begrænset af funktioner, x- aksen og lodrette linjer. c. tegne grafer d. udregne stamfunktioner hvor funktionen og et punkt på grafen for stamfunktionen er kendt. e. fortolke integraler geometrisk. Videoer 5.1 arealberegning af punktmængder begrænset af grafer for ikkenegative funktioner. 5.2 bestemmelse af stamfunktion. Bedømmelse Det vigtigste er, at du i din besvarelse tydeligt skriver hvad du gør, i et klart sprog og ikke kun i commando sprog. Fx Arealet mellem grafen for f og x-aksen i området mellem 2 og 4 udregnes int(f(x),x=2..4)
29 Opgaver Opgave 5.1.1 Grafen for funktionen f afgrænser i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. f (x) = 3 8 x3 3 2 x2 + 6x + 24 a) Tegn grafen for f, og bestem skæringspunkterne mellem f og x-aksen. b) Bestem arealet af M. Opgave 5.1.2 Grafen for funktionerne f og g afgrænser i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. f (x) = 8 x 2 og g(x) = x 2 a) Tegn grafen for f og g, og bestem skæringspunkterne mellem f og g. b) Bestem arealet af M. Opgave 5.1.3 Grafen for funktionerne f (x) = 3x + 9 og g(x) = x + 3 afgrænser i anden kvadrant et område M, der har et areal. a) Tegn grafen for f og g, og bestem skæringspunkterne mellem f og g. b) Bestem arealet af M. Opgave 5.1.4 En funktion er givet ved f (x) = 4 x 1 2 x2, x 0 Grafen for f og koordinatsystemets førsteakse afgrænser i første kvadrant et område M, som har et areal. a) Tegn grafen for f, og bestem skæringspunkterne med x-aksen. b) Bestem arealet af M.
30 Opgave 5.1.5* Grafen for funktionerne f (x) = 6x 2 + 12 og g(x) = 6x + 24 afgrænser i første kvadrant to områder M og N se figur, der har et areal. (2) g f M N (1) a) Tegn grafen for f og g, og bestem skæringspunktet mellem f og g og mellem g og x-aksen. b) Bestem arealet af M og N.
31 Opgave 5.1.6 Grafen for funktionerne f og g afgrænser i første kvadrant et område M, der har et areal. f (x) = x 2 + 1 og g(x) = 2x (2) f M (1) g a) Bestem skæringspunktet mellem f og g, og bestem arealet af M. Opgave 5.2.1 Funktionen f er defineret som f (x) = 3x 2 + 4 a) Bestem stamfunktionen til f hvis graf går gennem punktet (1,3).
32 6 Variabelsammenhæng Beskrivelse Opstille udtryk udfra figurer både plane og rummelige, særligt udfra omkreds, overflade, areal og rumfang. Optimering på baggrund af de opstillede udtryk. Videoer 6.1 variablesammenhæng. Bedømmelse Det er særligt vigtigt at du forklarer hvilke formler du bruger og hvad relationen er til figuren i opgaveteksten.
33 Opgaver Opgave 6.1.1 Et papir har en top- og bundmargen på 3 cm, højremargen er 8 cm og venstremargen er 3 cm. Bredden af papiret er x og højden er y. Omkredsen af papiret er 100 cm. y x a) Opstil et udtryk for y som funktion af x. b) Opstil et udtryk for arealet af området på papiret, der kan være tekst på, som funktion af x. c) Bestem bredden og højden på papirer så arealet af området med tekst er størst muligt. Opgave 6.1.2 I en have skal der anlægges et bed og en græsplæne, på den måde det her ses på figuren. Bredden af haven er 200 m og længden af haven er 150 m. x er bredden af bedet og y er bredden af græsplænen. Bed y Græsplæne x 150 m x 200 m a) Opstil en udtryk til beregning af arealet af bedet som funktion af x. b) Bestem x så arealet af græsplænen er dobbelt så stort som arealet af bedet.
34 Svar på opgaverne Anden delprøve [1.1.1] a) Antal rigtige 3 6 10 12 13 15 16 17 20 I alt Antal elever 1 2 1 5 2 3 3 2 2 21 Frekvens 4,76 9,52 4,76 23,8 9,52 14,3 14,3 9,52 9,52 100 Kumulet frekvens 4,76 14,3 19 42,9 52,4 66,7 81 90,5 100 [1.1.1] b) 100 Kumuleret frekvens 75 50 25 0 5 10 15 20 Antal rigtige [1.1.1] c) Kvartiler 12, 13 og 16 rigtige. 0 5 10 15 20 Antal rigtige [1.1.1] d) Middelværdien er 13,2 rigtige. [1.1.2 a)] [1.1.2 b)] [1.1.2 c)] [1.1.2 d)] [1.1.3 a)] [1.1.3 b)] [1.1.3 c)] [1.1.3 d)] [1.2.1 a)] Alder 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Antal 1 19 5 33 14 Frekvens [1.2.1 b)] [1.2.1 c)]
35 [1.2.2 a)] [1.2.2 b)] [1.2.2 c)] [1.3.4 a)] De forventede værdier er: Parti A B C SF I KD DF V Ø AL Antal 372 142,5 73,5 138 75 120 184,5 401,25 100,5 0,75 [1.3.4 b)] Da p-værdien er mindre end 0,05 forkastes nulhypotesen, og det kan konkluderes at fordelingen af stemmer har ændret sig siden valget. [2.1.5] a) BC = 4, 13 [2.1.5] b) h B = 4 [4.1.1] a) 1856 individer. [4.1.1] b) År 2019 [4.1.1] c) f (10) = 42, 8 dvs. i år 2025 vokser antallet af individer med 42,8 individer pr. år. [4.1.2] a) 17 år. [4.1.2] b) 13,9 g [4.1.2] c) Efter 5 år bliver mængden af radioaktivt stof 0,36 g mindre pr. år. [4.1.3] a) 6 år. [4.1.2] b) 1226 par. [4.1.3] c) Efter 3 år vokser antallet af ynglende fugle par med 111 par pr. år. [4.1.4] a) 266 næsehorn [4.1.4] b) f (8) = 162.756 dvs i år 2014 er væksthastigheden af antallet af næsehorn der bliver skudt 163. [4.1.4] c) I år 2012. [4.2.1] a) y = 2x 2 [4.2.1] b) 3,02 [4.2.1] c) Funktionen er aftagende i intervallet ]0, 1.57] og voksende i intervallet [1.57, [. [4.2.1] d) Minimumsstedet er 1,57 og minimumsværdien -4,598. [5.1.1] a) Skæringspunkterne er -4 og 4. [5.1.1] b) Arealet er 128. [5.1.2] a) Skæringspunkterne er -2 og 2 [5.1.2] b) Arealet er 64 3 21, 3 [5.1.3] a) Skæringspunkterne er -3 og 0. [5.1.3] b) Arealet af M er 3 2 = 1, 5 [5.1.4] a) Skæringspunkterne med x-aksen er 0 og 4. [5.1.4] b) Arealet af M er 32 2 10, 7 [5.1.5] a) Skæringspunktet mellem f og g er 1 og skæringspunktet mellem g og x-aksen er 4. [5.1.5] b) Arealet af M er 7 og arealet af N er 41 [5.1.6] a) Skæringspunktet mellem f og g er (1,2) og arealet af M er 1 3 [5.2.1] a) Stamfunktionen bliver F(x) = x 3 + 4x 2 [6.1.1] a) y = 50 x. [6.1.1] b) A(x) = x 2 + 55x 484. [6.1.1] c) Bredden er 27,5 cm og højden er 22,5.
36 [6.1.2] a) A(x) = x 2 350x + 30000. [6.1.1] b) x = 31, 4.