Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Transkript

1 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra , har jeg samlet følge liste af emner og opgavetyper eleverne forventes at kunne. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive langt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravende beskrevet i de følgende fem kategorier: Tekst esvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. Notation og layout Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. Redegørelse og dokumentation esvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Figurer I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Konklusion esvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

2 2 Indhold af første delprøve Forståelsesindhold 1 Opstille enkle formler ud fra en sproglig beskrivelse 1.1 En bestemt trailer bruges til at fragte kasser. Traileren har en egenvægt på 600 kg, og hver kasse vejer 45 kg. Indfør passende variable, og opstil en model, der beskriver sammenhængen mellem trailerens samlede vægt og antallet af kasser på traileren. 1.2 Et firma har i 2013 en årlig omsætning på 25 mio. kr. Firmaet forventer, at omsætningen øges med 5% p.a. i årene frem mod Indfør passende variable, og benyt firmaets forventninger til at opstille et udtryk, der beskriver udviklingen i firmaets årlige omsætning som funktion af tiden efter En bestem kagedåse vejer 120 g og hver kage vejer 5 g. Indfør passende variabel, og opstil en model, der beskriver sammenhængen mellem kagedåsens samlede vægt og antallet af kager i dåsen. 1.4 EU havde i perioden efter 1990 en vækst i NP på 2 % p.a. I 1990 havde et NP på 9 billioner. Indfør passende variable, og opstil et udtryk, der beskriver udviklingen i EU s NP som funktion af tiden efter Redegøre for konstanternes betydning i det grafiske forløb for Figur 1: Opgave 2.1 første - og andengradspolynomier samt eksponentielle Figur 2: Opgave 2.3 funktioner. 2.1 En funktion f er givet ved f (x) = x 2 5x + 1. På figur 1 ses tre parabler, og. rgumentér for, hvilken af de tre parabler, der er graf for f. 2.2 Et andengradspolynomium f er bestemt ved f (x) = ax 2 + bx + c. Grafen for f er en parabel. Tegn en skitse af en mulig graf for f, når det oplyses, at diskriminanten er negativ, a er positiv, og c er positiv. Figur 3: Opgave På figur 2 ses graferne for hver af følgende funktioner: f (x) = 1, 5x + 1, g(x) = 3x og h(x) = x + 2. Gør rede for, hvilke af graferne, og der hører til hver af funktionerne f, g og h. 2.4 Hver af graferne, og på figur 3 er graf for en af funktionerne f, g og h, der er givet ved: f (x) = 2 x, g(x) = 2 x og h(x) = x ngiv for hver af graferne, og, hvilken af de tre funktioner den er graf for. egrund svaret.

3 3 2.5 En funktion f er givet ved f (x) = 3x 2 + 2x + 1. På figur 4 ses tre parabler, og. rgumentér for, hvilken af de tre parabler, der er graf for f. 2.6 På figur 5 ses graferne for hver af følgende funktioner: f (x) = x 2 + x 5 g(x) = 2x 2 + x 5 h(x) = 1 4 x2 + x + 10 Gør rede for, hvilke af graferne, og der hører til hver af funktionerne f, g og h. 3 Fortolke konstanter i lineære og eksponentielle funktioner Figur 4: Opgave I en model for befolkningstilvæksten i Indien antages det, at N(t) = , 014 t, hvor N(t) betegner befolkningstallet (målt i millioner) til tidspunktet t (målt i antal år efter 2005). eskriv, hvad tallene 1134 og 1,014 fortæller om udviklingen i befolkningstallet i Indien. 3.2 I en model kan sammenhængen mellem højde og alder for drenge i alderen 5 år til 17 år beskrives ved y = 5, 5x + 110, hvor y er højden målt i cm, og x er alderen målt i år efter det femte år. Gør rede for, hvad tallene i modellen fortæller om drenges højde. 3.3 En model for højden af juletræer er h(t) = 50t + 25, hvor h(t) er højden målt i cm af juletræet til tidspunktet t målt i år efter at juletræet er blevet plantet. Gør rede for, hvad tallene i modellen fortæller om juletræernes højde. 3.4 Omsætningen i et firma kan beskrives med modellen y = 2, 3x + 12 i perioden fra 2010 og frem, hvor x er antallet af år efter 2010 og y er firmaets omsætning i mio. kr. Gør rede for, hvad tallene i modellen fortæller om udviklingen i firmaets omsætning. 3.5 Udviklingen af fedme i Florida følger modellen y = 1, 5 1, 05 x, hvor x er antallet af år efter 2000 og y er antallet af fede i mio. Gør rede for, hvad tallene i modellen fortæller om antallet af fede i Florida. 4 nvende viden om fordoblings- og halveringskonstant for eksponentiel vækst 4.1 Figur 6 viser graferne for tre forskellige eksponentielt voksende funktioner f, g og h. Hvilken af de tre funktioner har den største fordoblingskonstant? Figur 5: Opgave 2.6 h g f Figur 6: Opgave 4.1

4 4 4.2 Om en eksponentielt voksende funktion f oplyses det, at fordoblingskonstanten er 8 og at f (3) = 12. estem f (11). 4.3 enyt grafen til at bestemme fordoblingskonstanten for funktionen Om en eksponentielt aftagende funktion f oplyses at halveringskonstanten er 4 og at f (3) = 12. estem f (11). 4.5 Om en eksponentiel voksende funktion oplyses at fordoblingskonstanten er 2 og f (4) = 12. estem en forskrift for f. 5 Fortolke værdien af afledet funktion og aflæse væksthastighed grafisk 5.1 I en model for udviklingen i antallet af individer i en population betegner N(t) antallet af individer i populationen til tidspunktet t (målt i døgn). Nedenfor er vist en del af grafen for N.

5 enyt grafen til at bestemme N (8), og gør rede for, hvad dette tal fortæller om udviklingen af antallet af individer i populationen. 5.2 På figuren ses en skitse af graferne for tre funktioner f (x), g(x) og f (x). Gør rede for, hvilken graf der hører til hvilken funktion. Figur 7: Opgave En funktion f (t) er model for udviklingen af en smitsom sygdom, hvor f (t) er antallet af smittede til tidspunktet t målt i dage. Det oplyses at f (4) = 20. Gør rede for, hvad dette tal fortæller om udviklingen i antallet af smittede. 6 nvende viden om sammenhængen mellem stamfunktion, bestemt integral og areal 2 3 g p h 6.1 En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x + 2. På figur 8 ses graferne for de tre funktioner g, h og p. rgumentér for, hvilken af de tre funktioner der er en stamfunktion til f. 6.2 På figur 9 ses graferne for to lineære funktioner f og g. Det oplyses, af 5 0 f (x)dx = 12, 5 og 5 geometrisk fortolkning af integralet af det skraverede område. 0 5 g(x)dx = 7, 5. Giv en 0 f (x)dx. estem arealet 6.3 For en funktion f er stamfunktionen F(x) = 2x estem 2 f (x)dx. 1 Figur 8: Opgave 6.1 f g Figur 9: Opgave 6.2

6 6 Formelindhold 7 Løse simple første- og andengradsligninger og anvende nulreglen. 7.1 Løs ligningen 3x + 6 = 2x Løs andengradsligningen x 2 + 2x 8 = Løs ligningen 4x 3 = 5x Løs andengradsligningen x 2 x 6 = * estem a så ligningen ax + 3 = 7 4x har løsningen x = Løs ligningen (x 3) (x + 2) = Løs ligningen 3x 2 2x 8 = 0. 8 nvende kvadratsætningerne og reducere udtryk. 8.1 Reducer udtrykket (a + b) 2 + 2(b 2 ab). 8.2 Et andengradspolynomium p er bestemt ved p(x) = 3 (x + 5) (x + 7). estem konstanterne a, b og c, når p skrives på formen p(x) = a x 2 + b x + c. 8.3 Reducer udtrykket (a + b) 2 2ab og udregn værdien når a = 2 og b = 3. 9 Sætte tal ind i formler 9.1 En funktion f er bestemt ved f (x) = 4 5 x. estem f. 9.2 En funktion f er bestemt ved f (x) = 2x + 3. estem f ( 1) nvende Pythagoras læresætning samt arealformlen for en trekant Om en retvinklet trekant oplyses, at arealet er 24, og den ene katete er 6. estem sidelængderne i trekant. Se figur Figur 11 viser gavlen af et hus. Nogle af husets mål er angivet på figuren. estem højden h af gavlen, og bestem gavlens areal. 11 Isolere ukendte størrelser Figur 10: Opgave h 11.1 Isolér y i ligningen 15x + 5y 45 = Figur 11: Opgave 10.2

7 7 12 Foretage beregninger i ensvinklede trekanter 12.1 På figuren ses to ensvinklede trekanter og DEF. Nogle af sidelængderne er angivet på figuren. estem. F 6 4 D 8 E 12.2 På figuren ses to ensvinklede trekanter og DE. Nogle af sidelængderne er angivet på figuren. estem DE. E D 12.3 De to trekanter og DEF er ensvinklede. Nogle mål er angivet på figuren. estem. F 6 4 D 12 E 13 estemme regneforskrifter for lineære og eksponentielle funktioner 13.1 estem en forskrift for den eksponentielt voksende funktion, hvis graf går gennem punkterne (0, 4) og (3, 32). estem en forskrift for f estem en forskrift for den lineære funktion g, hvis graf går gennem punkterne (-2,1) og (4,13) estem en forskrift for den eksponentielt voksende funktion, hvis graf går gennem punkterne (1, 6) og (2, 18). estem en forskrift for f.

8 estem en forskrift for den lineære funktion f, hvis graf går gennem punkterne P(4, 7) og Q(2, 3). 14 Differentiere e x, ln(x) og x a, herunder 1 x og x. nvende regnereglerne for differentiation af f + g, f g og k f, hvor f og g er funktioner og k R er en konstant. estem toppunkt for en parabel En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x 2 6x Grafen for f er en parabel. estem koordinatsættet til parablens toppunkt En funktion f er bestemt ved f (x) = 5x 3 + 9x 2 7x estem f (x). estem f En funktion f er bestemt ved f (x) = e x + x. estem f (x). estem f. 15 estemme en tangentligning og monotoniforhold 15.1 En funktionen f er bestemt ved f (x) = 4e x + 1. estem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0, f (0)) En funktion f er givet ved f (x) = ln(x) x + 5, x > 0. estem f (x), og bestem monotoniforholdene for f En funktionen f er bestemt ved f (x) = 3x 2 + 2x 1. estem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f ) En funktion f er givet ved f (x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 4. estem f (x), og bestem monotoniforholdene for f. 15.5* estem monotoniforhold for funktionen f (x) = ln(x) 2x, x > estemmelse af integraler af e x, x a og 1 x og anvende regnereglerne for integration af f + g, f g og k f, hvor f og g er funktioner og k R er en konstant, til at bestemme areal af en punktmængde (bestemt integrale) og bestemme en stamfunktion hvis graf går gennem et givet punkt (ubestemt integrale) En funktion f er bestemt ved f (x) = 6x 2 8x. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2, 13) estem integralet 2 0 (9x 2 + 3) dx En funktion f er bestemt ved f (x) = x Grafen for f afgrænser sammen med de to koordinatakser en punktmængde M, som vist på figur 12. estem arealet af M estem integralet 1 0 (e x + 1) dx. M 2 Figur 12: Opgave 16.3

9 En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x x. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1, 3) En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x + 1. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2, 3) En funktion f er bestemt ved f (x) = 6x 2 2. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1, 5) En funktion f er bestemt ved f (x) = 1 x + 2x. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1, 5) En funktion f er bestemt ved f (x) = 2x + 1. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P( 4, 1) En funktion f er bestemt ved f (x) = e x + 2x. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2, 1) En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x 2 + e x. estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0, 3) En funktion f er bestemt ved f (x) = x 2. Grafen for f afgrænser sammen med aksen og linjen x = 3 en punktmængde M, som vist på figur 13. estem arealet af M En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x Grafen for f afgrænser sammen med aksen og en punktmængde M, som vist på figur 14. estem arealet af M * To funktioner f og g afgrænser en punktmængde M, som vist på figur 15, der har et areal, bestem dette areal. f (x) = 3x 2 2x + 8 g(x) = 2x + 5 M 3 Figur 13: Opgave M 2 2 Figur 14: Opgave f M 16.15* To funktioner f og g afgrænser sammen med aksen en punktmængde M, som vist på figur 16, der har et areal, bestem dette areal. f (x) = 3x g(x) = x Figur 15: Opgave g En funktion f er bestemt ved f (x) = 3x 2 + 4x 2. f estem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2, 6). g M 1 4 Figur 16: Opgave 16.15

10 10 Formler til første delprøve Løsning af andengradsligning ax 2 + bx + c = 0, d = b 2 4 a c og x = b ± d 2 a Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2 b c real af trekant 1 2 h g Forholdssætningen a d = b e = c f Figur 17: Pythagoras sætning a F b a e d h c Lineær funktion a x + b, a = y 2 y 1, b = y x 2 x 1 ax 1 1 Eksponentiel funktion b a x, a = x 2 x 1 y2 /y 1, b = y 1 a x 1 Simple differentialer D (e x ) = e x f E Figur 18: real af trekant g ln(x) = 1 x (x a ) = a x a 1 ( ) 1 = 1 x x 2, x = 0 ( x) 1 = 2 x Tangentligningen y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) Simple integraler (e x ) dx = e x + K (x a 1 ) dx = a + 1 xa+1 + K ( ) 1 dx = ln(x) + K x (c) dx = c x + K c er et tal (x) dx = 1 2 x2 + K a = 1 Vigtige simplificeringer: ln = 0 og a 0 = 1.

11 11 Svar på opgaverne Første delprøve [1.1] y = 45x + 600, hvor x er antallet af kasser på traileren og y er den samlede vægt af traileren. [1.2] y = 25 1, 05 x, hvor y er omsætningen i mio. kr. x år efter [1.3] y = 5x + 120, hvor x er antallet af kager i dåsen og y er den samlede vægt at kagedåsen med x kager. [1.4] y = 9 1, 02 x, hvor y er NP i billioner x år efter [2.1] a i f (x) = ax 2 + bx + c er positiv og derfor skal grene på parablen ved op og da c er positiv skal parablen skære 2. aksen i en positiv værdi, så er grafen for f. [2.2] Da a er positiv skal grene ved op, da diskriminanten er negativ skærer parablen ikke 1. aksen, da c er positiv skære parablen 2. aksen i en positiv værdi. [2.3] høre til g, høre til f og høre til h. [2.4] er konstant voksende og derfor er det f. er lineær og derfor er det g. er en parabel med positiv a og c og derfor er det h. [2.5] Da a i f (x) = ax b + b + c er positiv skal grenede på parablen vender op, derfor kan de kun være eller. Da b i f er positiv vil hældningen af tangenten til parablen i parablens skæringspunkt med 2. aksen være positiv, derfor kan de kun være. [2.6] er grafen for h fordi den har et andet skæringspunkt end de to andre grafer og c i h er anderledes en for de to andre funktioner. er grafen for g fordi g har den højeste a værdi af de to funktioner f og g, og grafen er den hurtigst voksende af de to grafer og, er derfor grafen for f. [3.1] 1134 viser at der var 1134 mio. indere i 2005 og 1,014 viser at herefter er antallet vokset med 1,4% pr. år. [3.2] Drenge er 110 cm når de er 5 år og vokser 5,5 cm pr. år til de bliver 17 år. [3.3] Juletræerne er 25 cm når de bliver plantet og de vokser 50 cm pr. år. [3.4] Omsætningen i 2010 er 12 mio. kr. og hvert år vokser omsætningen med 2,3 mio. kr. [3.5] 1,5 viser at der var 1,5 mio. fede i Florida i 2000 og 1,05 viser at herefter er antallet vokset med 5% pr. år. [4.1] Funktionen med den største fordoblingskonstant vil vokse langsomst, derfor er f funktionen med den største fordoblingskonstant. [4.2] f (11) = f (3 + 8) = 12 2 = 24 [4.3] Fordoblingskanstanten er 4 [4.4] f (11) = f ( ) = = 3 12 [4.5] b = f (0) = f (4 2 2) = = 3 og y = b a x 12 = 3 a 4 4 = a 4 2 = a 2 2 = a [5.1] N (8) = 2, antallet af individer vokser med 2 pr. døgn i det 8. døgn. [5.2] er grafen for f og er grafen for f og må derfor være grafen for g.

12 12 [5.3] Efter 4 dage bliver der 20 nye tilfælde af smittede pr. dag. [6.1] g er stamfunktion for f da f har nulpunkt i 2 3 og er positiv for større og negativ for mindre x-værdier og g har minimum i 2 3 og er voksende for større og aftagende for mindre x-værdier. 5 [6.2] f (x)dx er arealet af den punktmængde der er afgrænset af akserne og grafen for 0 f. realet af det skraverede område er 12, 5 7, 5 = 5. 2 [6.3] f (x)dx = 6. 1 [7.1] L = { 1} [7.2] L = {2, 4} [7.3] L = {5} [7.4] L = {3, 2} [7.5] a = 3 [7.6] L = { 2, 3} [7.7] L{ 4 3, 2} [8.1] a 2 + 3b 2 [8.2] a = 3, b = 36 og c = 105. [8.3] Udtrykket kan reduceres til a 2 + b 2 og værdien bliver 13. [9.1] f = = 4 25 = 100 [9.2] f ( 1) = 1 [10.1] = 8 og = 10 [10.2] h = 6 og arealet er 18. [11.1] y = 3x + 9 [12.1] = 3. [12.2] DE = 5. [12.3] = 2. [13.1] f (x) = 4 2 x [13.2] g(x) = 2x + 5 [13.3] f (x) = 2 3 x [13.4] f (x) = 2x 1 [14.1] Toppunkt: (1, 9) [14.2] f (x) = 15x x 7 og f = 26. [14.3] f (x) = e x x og f = e [15.1] Ligningen for tangenten er y = x + 2. [15.2] f er vokende i intervallet ]0, 1] og aftagende i intervallet [1, [. [15.3] Ligningen for tangenten er y = 8x 4. [15.4] f er vokende i intervallet ], 1] og [2, [ og aftagende i intervallet [ 1, 2]. [15.5] f er vokende i intervallet ]0, 1 2 ] og aftagende i intervallet [ 1 2, [ [16.1] F(x) = 2x 3 4x [16.2] 30 [16.3] realet af M er 12. [16.4] e [16.5] F(x) = x 3 + ln(x) + 2 [16.6] F(x) = 1, 5x 2 + x 5 [16.7] F(x) = 2x 3 2x + 5

13 13 [16.8] F(x) = ln(x) + x [16.9] F(x) = x 2 + x 11 [16.10] F(x) = e x + x 2 5 e 2 [16.11] F(x) = x 3 + e x + 2 [16.12] realet af M er 9. [16.13] realet af M er 32. [16.14] realet af M er 4 [16.15] realet af M er 6 [16.16] F(x) = x 3 + 2x 2 2x 6