Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-4 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 7 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige vægte: Opgave 1 20% Opgave 2 15% Opgave 3 10% Opgave 4 15% Opgave 5 15% Opgave 6 10% Opgave 7 15% I alt 100% Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. Af opgaverne 7A og 7B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 7A. Undervisningsministeriet Fredag den 17. august 2007 kl. 9.00 13.00
Side 1 af 5 sider Opgave 1 To vektorer er givet ved: $ 2 % t 2 a = og b $ % = 6 t a) Beregn a b når t = 1. b) Beregn den spidse vinkel mellem vektorerne a og b når t = 1. c) Bestem den værdi af t, for hvilken vektorerne står vinkelret på hinanden. d) Bestem den værdi af t, for hvilken vektorerne er parallelle. Opgave 2 En ellipse E har centrum i punktet ( 5 ; 2 ). Grafen for E går gennem punkterne ( 5 ; 5 ) og ( 9 ; 2 ). a) Tegn ellipsen. b) Bestem en ligning for ellipsen E. En cirkel C med centrum i ( 9 ; 2 ) skærer ellipsen E i to punkter. Det ene punkt er ( 5 ; 5 ). c) Bestem en ligning for cirklen C.
Side 2 af 5 sider Opgave 3 En bager er blevet bedt om at lave en kage, der har form som et hjerte. For at kunne lave en form til at bage kagen i, har bageren tegnet nedenstående figur i et koordinatsystem. Figuren er dannet af graferne for følgende funktioner: g 3,5 y f f (x) = 0,22x 3 3,4x 2 + 3,7x + 2,5 g (x) = 0,22x 3 3,4x 2 3,7x + 2,5 3 2,5 2 h (x) = 6,22x 3 8,4x 2 + 5,2x k (x) = 6,22x 3 8,4x 2 5,2x k 1,5 1 0,5 h x Beregn arealet af det mørke område på figuren. -1-0,5 0,5 1 Opgave 4 Antal dyr af en bestemt art i Danmark kan beskrives ved en funktion, der tilfredsstiller differentialligningen dy = 0,00004 y ( 3600 y ) dx hvor x angiver antal år efter 1999 og y = f (x) angiver antal dyr af arten x år efter 1999. a) Bestem den øvre grænse for antal dyr af den pågældende art i Danmark. I 1999 var der 18 dyr af den pågældende art i Danmark, altså f (0) = 18. b) Bestem en forskrift for funktionen f. Et bestemt år viste en opgørelse, at antallet var på 50 dyr. c) Beregn det antal år, der er gået fra 1999 og frem til denne opgørelse.
Side 3 af 5 sider Opgave 5 En virksomhed producerer en vare, der afsættes både på hjemmemarkedet og eksportmarkedet. Prisen pr. stk. af varen på hjemmemarkedet kan beskrives ved funktionen p med forskriften: p(x) = 4x + 2000 hvor x angiver antal stk., der sælges på hjemmemarkedet pr. uge. Prisen pr. stk. af varen på eksportmarkedet kan beskrives ved funktionen q med forskriften: q(y) = y + 800 hvor y angiver antal stk., der sælges på eksportmarkedet pr. uge. a) Bestem definitionsmængderne Dm(p) og Dm(q). Den samlede omsætning pr. uge kan beskrives ved funktionen f givet ved: f (x, y) = 4x 2 + 2000x y 2 + 800y Niveaukurven N(t) defineres ved N(t): f (x, y) = t b) Gør rede for, at niveaukurven N(50000) kan beskrives ved (x 250) 2 (y 400) 2 + = 1 300 2 600 2 og tegn denne niveaukurve i et almindeligt koordinatsystem. Virksomheden skal mindst sælge 700 stk. af varen pr. uge på eksportmarkedet. c) Bestem den mængde af varen, der skal sælges på hjemmemarkedet pr. uge og den mængde af varen, der skal sælges på eksportmarkedet pr. uge for at opnå den størst mulige samlede omsætning pr. uge.
Side 4 af 5 sider Opgave 6 En husejer har et fyr, hvori han anvender brændestykker, der kan være op til 1 meter lange. Husejeren har i år købt 5 kubikmeter træ hos en skovejer, der har lovet at skære træet op til brænde i stykker på 1 meter. Skovejeren påstår, at længden X af brændestykkerne (målt i meter) kan beskrives ved en normalfordeling X N(m ; j 2 ), hvor m = 1 og j = 0,06. For at kontrollere længden af brændestykkerne udvælger husejeren tilfældigt 50 stykker brænde og konstaterer, at den gennemsnitlige længde i meter er x = 1,02 (standardafvigelsen er j = 0,06). a) Vurder skovejerens påstand om at m = 1 ved hjælp af et 95% konfidensinterval. b) Vil vurderingen ændres, hvis der anvendes et 99% konfidensinterval? Af opgaverne 7A og 7B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 7A. Opgave 7A a) Beregn værdien af c, når 3 (2x2 + 5x + c) dx = 28,5 0 b) Funktionen f er givet ved f (x) = ln(x) (2x + 1) Det oplyses, at F (x) = f (x) dx og at F (1) =! 2 Vis ved beregning, at F (x) = ln(x) (x 2 + x)! 2 x 2 x + 2 c) Vis ved beregning, at nedenstående resultat er korrekt med 1 decimals nøjagtighed 1 2x e x2 dx = 1,7 0
Side 5 af 5 sider Opgave 7B I forbindelse med søndagsåbning sælger en forretning lykkeposer. Indholdet er en af følgende tre dele: Håndklæder Vaskeklude Viskestykker I 50% af lykkeposerne er der håndklæder, i 30% af lykkeposerne er der vaskeklude og i de sidste 20% er der viskestykker. I en del af lykkeposerne ligger der også en seddel, der fortæller, at varen er gratis. 50% af lykkeposerne med håndklæder er gratis, 40% af lykkeposerne med vaskeklude er gratis og 20% af lykkeposerne med viskestykker er gratis. En kunde udvælger tilfældigt en lykkepose. a) Beregn sandsynligheden for, at den udvalgte lykkepose er gratis. En anden kunde vælger tilfældigt en lykkepose, der viser sig at være gratis. b) Beregn sandsynligheden for at den udvalgte lykkepose indeholder håndklæder. Forretningen har overvejet helt at fjerne lykkeposerne med viskestykker. c) Beregn sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt lykkepose er gratis, hvis det antages, at alle poserne med viskestykker er fjernet.