Formler, ligninger, funktioner og grafer

Transkript

1 Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 99

2 Omskrivning af formler, funktioner og ligninger I matematik bruger man ofte ord som formel, funktion og ligning lidt tilfældigt. Her er et eksempel: Bremselængden for en bil kan med god tilnærmelse beregnes med denne formel: B, H. H er hastigheden i km/t og B er bremselængden i m. Hvis hastigheden er 8 km/t, får man B, 8 5,6 m. Bremselængde Hvis man vil vise sammenhængen mellem hastighed og bremselængde, kan man lave en tabel og tegne en graf som vist til højre. km/t () m (y), 1,6 6, 1, 5,6, Men så vil man tale om en funktion i stedet for en formel. Og så bruger man bogstaverne og y i stedet for H og B, og funktionsforskriften hedder: y,. Nogle gange kalder man også udtryk som y, for en ligning. I en sådan ligning er der to ubekendte: og y. Når man kender den ene, kan man finde den anden. Hvis man ved, at bremselængden er m, kan man finde den tilhørende hastighed ved at løse ligningen, således:,, 5 5 7,7 km/t Man kan også omskrive formlen/funktionen/ligningen, således, at bremselængden () står alene. Man bruger samme metode, som når man løser ligninger. Resultatet af omskrivningen er en ny formel/funktion/ligning, men det er stadigvæk de samme hastigheder og bremselængder, som passer sammen: Hvis hastigheden er 1 km/t, findes man bremselængden således y, 1 m. Hvis bremslængden er m, finder man hastigheden således: 3 1 y, Omskrivning af funktion y, y, km/t, y, y, Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 1

3 Eksempler på opgaver Omskriv formlen A 5 B 3 således, at B står alene. Omskriv formlen z + y således, at y står alene. Omskriv formlen + R S således, at S står alene. Man får: A 5 B 3 A B A + 3 B 5 A + 3 B 5 Man kan evt. regne videre og skrive formlen på andre måder. Tænk selv over hvordan. Man får: z + y z y z y z y Prøv selv at omskrive formlen således, at står alene!! Man får: R S R S R S + R S R S Kurt vil købe romkugler og æbler for i alt kr. Beskriv sammenhængen mellem de mulige antal romkugler og de mulige antal æbler med en ligning, en funktion og en graf. Romkugler... kr. Æbler... kr. Antal romkugler kaldes og antal æbler kaldes y. Der må gælde ligningen + y. Ligningen kan omskrives så y står alene: + y y y y Resultatet kan også skrives som y +, og det er funktionsforskriften for en ret linje. Til højre er vist en tabel og en graf for funktionen. Alle de markerede punkter er mulige kombinationer af og y. Hver gang Kurt køber en romkugle mere, må han jo købe to æbler mindre! Derfor hælder grafen nedad. Æbler Romkugler Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 11

4 Grafisk løsning af ligningssystemer Ligningen + y har to ubekendte: og y. Ligningens løsninger er de talpar (, y), som får lighedstegnet til at passe. F er (1, 6) en løsning. Hvis man sætter 1 og y 6 ind, så passer lighedstegnet. Man får nemlig: + y Men ligningen har mange andre løsninger. Kontroller selv at (, ) og (, 8) f også er løsninger. Omskriv ligningen + y til en forskrift for en lineær funktion. Tegn også grafen for funktionen og beskriv løsningerne til ligningen Ved at bruge metoderne fra ligningsløsning kan ligningen omskrives til en funktionsforskrift: + y + y + + y + Ligningen betyder altså det samme som forskriften for den lineære funktion y +. Ud fra funktionsforskriften kan man lave en tabel: y Alle talpar i tabellen er løsning til ligningen. Ud fra tabellen kan man tegne grafen til højre. Alle punkter på linjen svarer til et talpar, som er løsning, så der er faktisk uendelig mange løsninger!! Ligninger med to ubekendte, der kan omskrives til en lineær funktion, kaldes lineære ligninger. Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 1

5 Hvis man har to lineære ligninger med to ubekendte, kan man: - omskrive hver ligning til en lineær funktion - tegne graferne for funktionerne i et koordinatsystem - aflæse linjernes skæringspunkt Skæringspunktet er løsning til begge ligninger To ligninger med to ubekendte kaldes et ligningssystem. Find løsningen til ligningssystemet y 6 og + y De to ligninger omskrives hver for sig til lineære funktioner. Man får: y 6 + y y y 6 y 6 y 3 Der laves en tabel for begge funktioner. Man får f: - - y y, Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre. Ud fra både tabel og grafer kan man se, at skæringspunktet er (, 1). Løsningen til ligningssystemet er og y 1 + y y + y + y, Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til - den samme lineære funktion (linjerne ligger oven i hinanden), så er alle talpar på linjen løsninger. Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til -6 forskrifterne for to parallelle linjer, som ikke skærer hinanden, så er der ingen løsninger. -8 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 13

6 I det næste eksempel er det kun den ene ligning, som er lineær. Find løsningen til ligningssystemet + y 8 og y 1 Ligningen til venstre kan omskrives til en lineær funktion. Ligningen til højre kan omskrives til en omvendt proportional funktion. Man får: + y 8 + y 8 y + 8 y 1 y y Der laves en tabel for begge funktioner. Man kan ikke finde en y-værdi for for den omvendt proportionale funktion y y 1 6 3, 1,7 1,5 1,3 1, 1,1 1 Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre. Ud fra både tabel og grafer kan man se, at der er to skæringspunktet: (, 6) og (6, ) og dermed to sæt af løsninger. Husk at grafen for en omvendt proportionale funktion består af to dele (to buer): En for positive -værdier og en for negative. Her er kun vist den del af grafen, som svarer til de positive -værdier. Der er fordi, at der i dette eksempel ikke er skæringspunkter mellem linjen og den anden del af grafen. I eksemplerne på disse sider er løsningerne til ligningssystemerne pæne tal, som let kan aflæses. Men det er naturligvis ikke altid tilfældet! Så må man aflæse så godt som muligt og evt. efterfølgende prøve sig frem til nogle til nogle mere præcise løsninger f med et regneark eller et andet IT-program Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 1

7 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger Man kan godt løse to lineære ligninger med to ubekendte uden at tegne grafer. Der er flere metoder. Her er vist den ene: Find løsningen til ligningssystemet y og + y De to ligninger omskrives først således, at enten eller y står alene til venstre i begge ligninger. Her er valgt y: 3 + y + y 3 + y y 3 + y 3 + y 1,5 + Derefter kan man sætte højresiderne lig med hinanden for at finde. Man får: 1, , y y + Når man løser ligningerne som vist, svarer det til at finde skæringspunktet for linjerne y 1,5 + og y +. Man finder først -værdien og derefter y-værdien. 5,5,5,5,5,8 Til sidst findes y ved at sætte,8 ind i en af de omskrevne ligninger: y + y,8 + 3, Løsningen er altså,8 og y 3, Man kan let lave fejl, når man løser ligningssystemer, og så det er en god ide at kontrollere sine udregninger ved at sætte løsningen ind i de oprindelige ligninger. Det kan gøres således: 3 + y 3,8 + 3,, + 6, + y,8 + 3, Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 15