Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang og fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Du skal aflevere en selvstændig og individuel 1 besvarelse. Dette betyder bl.a. at du ikke skal arbejde så tæt sammen med dine kammerater, at I laver samme besvarelse. Vælg altså dine egne metoder, og hvor det er muligt også dine egne tal og problemstillinger. Du skal udarbejde din besvarelse med it-hjælpemidler og aflevere besvarelsen som papirkopi i to eksemplarer. Bilagsmateriale kan du evt. aflevere på cd. Bedømmelsen af besvarelsen Ved bedømmelsen vurderes i hvilket omfang du kan: opstille matematiske modeller, regne på dem og vurdere dine resultater anvende matematiske teorier og metoder fra undervisningen gøre rede for din tankegang inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken (fx funktioner, geometri, trigonometri, vektorer osv.) anvende it-værktøjer til beregninger og dokumentation formulere dig præcist i et matematisk sprog og bruge korrekt matematisk notation fremstille og strukturere overskuelig dokumentation og demonstrere overblik. 1 I må gerne arbejde og aflevere i grupper af 2 elever Side 1 af 6
Opgave 1 Pendel Figur 1 Figur 1 viser en pendel og et tværsnit omkring dens længdeakse indlagt i et koordinatsystem. Alle mål er i centimeter. Den blå kant på figur 1 kan beskrives ved funktionen h, der for x [0 ; x D ] er givet ved: x D=13,854 Mellem punkterne A og B består grafen af et linjestykke. Punkterne har koordinaterne A(0 ; 2) og B(2,79 ; 2,15). a) Bestem værdien af konstanterne a og b. Grafen mellem punkterne B og C består af en cirkelbue, der er del af en cirkel med centrum i punktet E(2,72 ; 3,41). b) Bestem ligningen for cirklen. c) Bestem værdien af konstanterne c, d og e for den del af grafen for h, som udgør buestykket. d) Vis, at linjen gennem A og B tangerer cirklen i punktet B. Side 2 af 6
e) Bestem tværsnitsarealet af pendlen, som vist på figur 1. Når man roterer grafen for en ikke-negativ funktion f, defineret i intervallet [a;b], omkring x-aksen, fremkommer en flade, som vist på figur 2. Arealet af denne flade kan her beregnes som Figur 2 f) Bestem det samlede overfladeareal af lampeskærmen. Side 3 af 6
Opgave 2 Tandlægelampe Figur 3 En tandlægelampe skal fokusere lyset fra en halogenpære ned på et ganske lille område. Lampen er konstrueret således, at lyset fra pæren reflekteres i en skærm, hvis tværsnit har form som en parabel g, vist med rødt på figur 3. Skærmen er konstrueret af glas, der på indersiden har en metallisk belægning, der reflekterer lyset. Glasset har overalt en tykkelse på 5 mm. På figur 3 er et tværsnit af spejlet indlagt i et koordinatsystem, således at parablen er symmetrisk om y-aksen. a) Bestem forskriften for parablen g. Værdien af x -koordinaten x P for punktet P er x P = 5,35 cm b) Bestem en ligning for tangenten til g i punktet P. Side 4 af 6
Figur 4 Lyset udsendes fra en pære, der er placeret i punktet L(0 ; 4), og reflekteres i punktet P. Lysstrålen bevæger sig i rette linjer og reflekteres således, at v 1 = v 2, som vist på figur 4. c) Bestem vinklerne v 1 og v 2. I opgaveafleveringen på Lectio kan I finde en animation, der viser, hvordan lysstrålens refleksion afhænger af placeringen af punktet P. Den reflekterede lysstråle fra pæren rammer tanden på en patient, der befinder i en afstand af 45 cm fra lampens underkant ( y = - 45 ). d) Bestem tandens x-koordinat. Side 5 af 6
Opgave 3 Spisebordslampe Lampen skal hænge over et spisebord, der befinder sig under et ovenlysvindue i en skråvæg. Den ophænges derfor i to snore, som vist på figur 7 nedenfor. Vinklen mellem de to skrå snore betegnes v, og har værdien v = 70,69 º. Vinklen mellem den lodrette snor og den ene af de skrå snore betegnes w. Skråvæggen har vinklen u = 45 º i forhold til vandret. Figur 7 Figur 8 a) Antag en realistisk størrelse af vinklen w og bestem længden af de to skrå snore. Når lampen hænger stille, skal summen af alle kræfter være nul. Den lodrette vektor er tyngdekraften, der har længden = 100 N, og kræfterne i snorene betegnes og. Se figur 8. b) Bestem størrelsen af kræfterne og. Side 6 af 6