STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. Alle hjælpemidler er tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.
GUX matematik A - prøveform a 014 side 1 af 6 Opgave 1 Figuren viser en model af en trappe-stol, hvor målene er angivet i cm. Billedet viser trappe-stolen. 4 a) Bestem vinkel v. b) Bestem siddepladens højde s. s v Opgave Temperaturen i Sisimiut er målt i en periode i april 013. Temperaturerne fordeler sig således Temperatur i Celsius ] 8; 6] ] 6; 4] ] 4; ] ] ;0] ] 0 ;] ] ;4] I alt Hyppighed 13 15 1 8 9 6 7 a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven for fordelingen af temperaturerne. b) Bestem middeltallet og medianen for fordelingen af temperaturerne. Kilde: http://www.asiaq.gl/da-dk/grønlandsvejr/vejretnu.aspx Opgave 3 Tabellen viser det antal elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i Grønland i årene 007-011. Årstal 007 008 009 010 011 Antal elever 96 346 39 395 455 I en model beskrives udviklingen i antallet af elever ved en funktion af typen f ( = a x + b hvor x er antal år efter 007, og f ( er antallet af elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse. a) Indtegn tabellens data i et koordinatsystem, og bestem tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme antallet af elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i 01. c) Det faktiske antal elever, der påbegyndte en gymnasial uddannelse i 01 var 575. Sammenlign dette tal med værdien bestemt i spørgsmål b), og kommentér resultatet. Kilde:bank.stat.gl
GUX matematik A - prøveform a 014 side af 6 Opgave 4 Cirklen med ligningen ( x ) + ( y 1) = 5 er indtegnet i koordinatsystemet til højre. Punktet A (,6) ligger på cirklen. a) Vis, at B ( 6, ) ligger på cirklen, og bestem længden af linjestykket AB. Pilhøjden h kan bestemmes ud fra formlen v h = r 1 cos hvor v er vinklen vist på figuren, og r er radius i cirklen. b) Bestem vinklen v og pilhøjden h. Opgave 5 En funktion f er bestemt ved f ( = x x, x 0 De grå områder på figuren M 1 og M er afgrænset af grafen for f, x-aksen samt linjen med ligningen x = 4. M1 og M har begge et areal. a) Bestem det samlede areal af de grå områder. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M 1 drejes 360 om x-aksen.
GUX matematik A - prøveform a 014 side 3 af 6 Opgave 6 I en model kan udviklingen i antallet af pukkelhvaler i en bestemt population i den sydøstlige del af Stillehavet beskrives ved differentialligningen ( 5800 N( )) N ( t) = 0,0000146 N( t) t hvor N (t) betegner antallet af pukkelhvaler i populationen til tiden t (målt i år). a) Bestem væksthastigheden N (t) på det tidspunkt, hvor antallet af pukkelhvaler er 3000, dvs. når N ( t) = 3000. b) Bestem en forskrift for N (t), når N ( 0) = 19. c) Tegn grafen for N (t), når 0 t 100, og bestem modellens øvre grænse for antallet af pukkelhvaler i populationen. Kilde: http://www.iwcoffice.org/_documents/sci_com/workshops/sc-a06-hw1.pdf Opgave 7 Funktionen f er bestemt ved forskriften x f ( = e, 5 x 5 a) Vis ud fra formlen i faktaboksen, at krumningen k ( af grafen for f er k( = e x 3 x ( 1+ e ) Krumningen k ( af grafen for en funktion f i et punkt P ( x, f ( ) er bestemt ved udtrykket f ( k( = 3 1+ f ( ( ( ) ) Faktaboks b) Bestem krumningen af grafen for f, når x = 0. Bestem den x-værdi, hvor krumningen af grafen for f er størst.
GUX matematik A - prøveform a 014 side 4 af 6 Opgave 8 Figuren nedenfor til venstre viser en gavl på Det gamle hospital i Nuuk. På figuren nedenfor til højre er indgangspartiet fra gavlen tegnet i et koordinatsystem i rummet, hvor enheden er 1 dm. Koordinatsættene til de navngivne punkter på figuren til højre er A (0,0,0), B( 14,0,13), C (0,17,0), D (70,17,0) og E(, 0,13). a) Bestem en ligning for den plan α, der indeholder tagfladen ABC. Tagfladen BCDE er indeholdt i planen β, der har ligningen 13 y + 17z 1 = 0. b) Bestem den stumpe vinkel mellem de to tagflader ABC og BCDE. c) Bestem arealet af tagfladen ABC.
GUX matematik A - prøveform a 014 side 5 af 6 Opgave 9 Billedet viser et telt, som bliver fastholdt af barduner. Tegningen viser et tværsnit af teltet og to barduner. Trækket i de to barduner er givet ved vektorerne F 1 og F, om hvilke det oplyses, at F 1 = 50 og F = 80 og vinklerne som vektorerne danner med vandret, er givet ved v = 18 og v = 3 1 a) Bestem skalarproduktet F 1 F. b) Bestem længden af den resulterende vektor R = F 1 + F. c) Bestem den resulterende vektors vinkel i forhold til vandret.
GUX matematik A - prøveform a 014 side 6 af 6 Opgave 10 Billedet viser sportshallen Inussivik i Nuuk, der blev bygget i 00. Hallens udvendige bredde er 90 m. Når tagets udhæng i begge sider regnes med, er hallen 9 m bred. Tagets kant følger en parabelbue. På figuren ses en model af hallens gavl indlagt i et koordinatsystem, hvor enheden er 1 m. Hele tagkanten over gavlen er en del af parablen p. a) Vis, at parabelbuen, der går gennem punkterne A, B og C på figuren, er givet ved p ( = 0,007407x + 0, 46 x 46 Det skraverede område svarende til hallens gavl er afgrænset af parabelbuen p, x-aksen og de lodrette linjer med ligningerne x = 45 og x = 45. Gavlen er farvet gråt på figuren. b) Bestem arealet af hallens gavl. Længden af grafen for en funktion f ( mellem punkterne ( a, f ( a)) og ( b, f ( b)), kan bestemmes ved hjælp af formlen b L = 1 + f ( dx a c) Bestem længden af tagkanten, dvs. længden af parabelbuen beskrevet ved p (.