GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK A Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAA 574604_GL083-MAA_12s.indd 1 16/01/09 15:46:23
Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgavesættet består af opgaverne 1-8 med i alt 18 spørgsmål og valgfrie opgaver 9A-9D med i alt 2 spørgsmål og 10A-10E med i alt 4 spørgsmål. De 24 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Af opgaverne 9A, 9B, 9C og 9D må kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Af opgaverne 10A, 10B, 10C, 10D og 10E må kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst. 2 574604_GL083-MAA_12s.indd 2 16/01/09 15:46:24
Side 1 af 8 sider Opgave 1 I trekant ABC kendes følgende størrelser: A AC = 11, Bestem A = 79 og C = 64. B og BC. På siden AC er punktet D bestemt ved, at AD = 8. Bestem BD. Opgave 2 En funktion f er bestemt ved f ( x) 13 x 3 12 x 2 6 x. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 3, f ( 3)). Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 3 En funktion f er givet ved f ( x) 2 x x 2 1, x 0. En punktmængde M afgrænses af grafen for f, x-aksen, samt linjen med ligningen x 2. Bestem arealet af M. Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. 3 574604_GL083-MAA_12s.indd 3 16/01/09 15:46:26
Side 2 af 8 sider Opgave 4 Dugongs, også kaldet søkøer, er havdyr, som kan blive omkring 3 meter lange, og som har en levetid på 50-60 år. Tabellen herunder viser sammenhørende værdier af søkøers alder, målt i år, og deres længde, målt i meter. Alder 1,5 2,5 5,0 7,0 9,5 10,0 13,0 17,0 22,5 29,0 Længde 1,97 2,02 2,15 2,35 2,39 2,41 2,47 2,56 2,70 2,72 Kilde: Marsh, H.R (1980), Age determination of dugongs in Northern Australia and its biological implications. Det oplyses, at en søkos længde som funktion af dens alder med tilnærmelse er en funktion af typen f ( x) b x a, hvor x er søkoens alder, og f (x) er søkoens længde. Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data, og opskriv en forskrift for f. Bestem ved hjælp af funktionen f længden af en søko, der er 8 år gammel. c) Bestem ved hjælp af funktionen f alderen på en søko, som har en længde på 2,25 meter. Opgave 5 I 1990 var antallet af indbyggere i en bestemt by 20 000. I en model for befolkningsudviklingen efter 1990 angiver funktionen f (x) antallet af indbyggere x år efter 1990. Det antages, at antallet af indbyggere vokser med 2 % om året. Bestem en forskrift for f (x). I en model for en anden by angiver funktionen g(x) antallet af indbyggere x år efter 1990. g ( x) 30 000 1,025 x. I hvilket år vil antallet af indbyggere i den anden by første gang overstige 60 000? 4 574604_GL083-MAA_12s.indd 4 16/01/09 15:46:27
Side 3 af 8 sider Opgave 6 Temperaturen i en speciel ovn kan beskrives ved en funktion f med forskriften f (t ) 20 150 ln(8t 1), hvor t angiver tiden målt i antal minutter efter, at ovnen er blevet tændt, og hvor temperaturen f (t ) måles i ºC. Bestem temperaturen i ovnen 10 minutter efter, at ovnen er blevet tændt. Bestem hvor mange minutter der går, fra ovnen tændes, til temperaturen i ovnen er 500ºC. c) Bestem den hastighed, hvormed temperaturen ændrer sig til tiden t = 10. Kilde: DS I051,I Brandprøvning. Bygningsdeles modstandsevne mod brand, 1979. Opgave 7 En funktion f er givet ved f ( x) 5 sin( x) 2, x ;. Løs ligningen f (x) = 3. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0, f (0)). Opgave 8 I en model betegner N (t ) antal individer i en population til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at N ' (t ) 2 10 8 N (t ) (106 N (t )). Bestem væksthastigheden til det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er 500 000. Bestem en forskrift for N som funktion af t, når det antages, at antal individer til tiden t = 0 er 100 000. 5 574604_GL083-MAA_12s.indd 5 16/01/09 15:46:28
Side 4 af 8 sider Af opgaverne 9A, 9B, 9C og 9D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 9A: Vektorregning i rummet. Figuren viser et telt indtegnet i et koordinatsystem. En bardun skal anbringes i forlængelse af linjen gennem B og C og fastgøres med en pløk i jorden (xy-planen). Bestem koordinatsættet til det punkt, hvor pløkken skal anbringes. Bestem arealet af teltfladen ABC. Opgave 9B: Vektorfunktioner i planen. I planen er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O(0,0). Et punkt P(x,y) bevæger sig i planen, således at det til tidspunkt t gælder, at x = t2 t 1 y = 3t t 3, t R. Tegn en skitse af parameterkurven, og bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med x-aksen. Bestem en parameterfremstilling for parameterkurvens tangent i punktet svarende til t = 0. 6 574604_GL083-MAA_12s.indd 6 16/01/09 15:46:29
Side 5 af 8 sider Opgave 9C: Kvadratisk optimering. En virksomhed sælger to forskellige produkter, der kaldes HOKUS og POKUS. Prisen pr. stk. HOKUS i kroner ved et salg på x stk. HOKUS er givet ved p( x) 0,1x 80. Prisen pr. stk. POKUS i kroner ved et salg på y stk. POKUS er givet ved q( x) 0,2 y 120. Vis, at virksomhedens samlede omsætning er givet ved h( x, y) 0,1x 2 80 x 0,2 y 2 120 y. Fremstillingen af HOKUS og POKUS foregår under følgende begrænsninger pr. uge: 100 x 800 og 100 y 600. Vis, at niveaukurven svarende til en samlet omsætning på 30 000 kr. er en ellipse, og bestem den størst mulige samlede omsætning pr. uge. Opgave 9D: Sandsynlighedsregning og statistik. Et sundhedsblad laver hvert år en undersøgelse af, hvor stor en andel af bladets læsere, der indtager vitamintilskud. I 2007 var andelen 45%. I 2008 udvalgte man tilfældigt 1745 af bladets læsere og stillede dem spørgsmålet: Indtager du vitamintilskud? Det viste sig, at 873 af de spurgte læsere tog vitamintilskud. Lav ud fra undersøgelsen i 2008 et 95% konfidensinterval for andelen af bladets læsere, der indtager vitamintilskud. Vurdér, om andelen har ændret sig fra 2007 til 2008. 7 574604_GL083-MAA_12s.indd 7 16/01/09 15:46:30
Side 6 af 8 sider Af opgaverne 10A, 10B, 10C, 10D og 10E skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgave 10A: Rentes- og annuitetsregning. Ane sparer op til en rejse og sætter 2 000 kr. i banken hvert halve år. Banken giver en halvårlig rente på 1,5 %. Hvor mange penge har Ane stående i banken umiddelbart efter den 10. indbetaling? Ane har ikke sparet nok op til rejsen og må derfor låne 20 000 kr. i banken. Hun ønsker at tilbagebetale dette lån med 15 lige store halvårlige ydelser. Banken tager 4 % i halvårlig rente. Hvor stort et beløb skal Ane betale i halvårlig ydelse til banken? Opgave 10B: Beskrivende statistik. I to klasser, Klasse I og Klasse II, er der afholdt den samme matematikprøve. I Klasse I blev der givet følgende karakterer: 00, 10, 7, 10, 4, 00, 4, 4, 7, 7, 10, 7, 10, 02, 00, 4, 7, 4, 10, 12 I Klasse II kan de opnåede resultater beskrives ved følgende statistiske deskriptorer: Deskriptor Klasse II Middelværdi 6,00 Median 7 Nedre kvartil 4 Øvre kvartil 7 Bestem de tilsvarende deskriptorer for Klasse I. Beskriv forskellen mellem de to klassers præstationer ved hjælp af de nævnte deskriptorer. 8 574604_GL083-MAA_12s.indd 8 16/01/09 15:46:32
Side 7 af 8 sider Opgave 10C: Klassisk geometri og trigonometri. Figuren viser en trekant ABC, hvori følgende størrelser kendes: A = 51, AB = 4,50 og BC = 6,90. Det oplyses endvidere, at vinkel B er stump. C og arealet af trekant ABC. Bestem Bestem længden af medianen ma fra A. Opgave 10D: Lineær programmering. En virksomhed ønsker at producere to forskellige varer, Vare A og Vare B. Når der produceres x enheder af Vare A og y enheder af Vare B, er polygonområdet givet ved følgende begrænsninger: y 2x +100 y x + 80 x 0 y 0. En lineær funktion f i to variable, der angiver den samlede fortjeneste, er givet ved forskriften f ( x, y) 45x 30 y. En niveaulinje N (t ) er defineret ved f ( x, y) t. Tegn polygonområdet og niveaulinjerne N (0) og N (2400) i samme koordinatsystem. Bestem den produktionssammensætning, der giver den størst mulige samlede fortjeneste. 9 574604_GL083-MAA_12s.indd 9 16/01/09 15:46:33
Side 8 af 8 sider Opgave 10E: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler. En cirkel er givet ved ligningen x 2 6x + y 2 2y + 6 = 0. Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen med ligningen y = x. 10 574604_GL083-MAA_12s.indd 10 16/01/09 15:46:34
574604_GL083-MAA_12s.indd 11 16/01/09 15:46:34 11
574604_GL083-MAA_12s.indd 12 16/01/09 15:46:35