Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Studienævn for Matematik, Fysik og Nanoteknologi Studieordning for Bacheloruddannelsen i matematik Aalborg Universitet September 2017 Campus Aalborg
Forord: I medfør af lov nr. 261 af 18. marts 2015 om universiteter (Universitetsloven) med senere ændringer fastsættes følgende studieordning for bacheloruddannelsen i matematik. Uddannelsen følger endvidere fællesbestemmelserne og tilhørende eksamensordning ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. Indholdsfortegnelse KAPITEL 1: STUDIEORDNINGENS HJEMMEL MV.... 2 1.1 BEKENDTGØRELSESGRUNDLAG... 2 1.2 FAKULTETSTILHØRSFORHOLD... 2 1.3 STUDIENÆVNSTILHØRSFORHOLD... 2 1.4 CENSORKORPS... 2 KAPITEL 2: OPTAGELSE, BETEGNELSE, VARIGHED OG KOMPETENCEPROFIL... 2 2.1 OPTAGELSE... 2 2.2 UDDANNELSENS BETEGNELSE PÅ DANSK OG ENGELSK... 2 2.3 UDDANNELSENS NORMERING ANGIVET I ECTS... 3 2.4 EKSAMENSBEVISETS KOMPETENCEPROFIL... 3 2.5 UDDANNELSENS KOMPETENCEPROFIL:... 3 KAPITEL 3: UDDANNELSENS INDHOLD OG TILRETTELÆGGELSE... 4 3.1 MODULBESKRIVELSER FOR 1. SEMESTER, MAT1... 9 3.1.1 Projektmoduler for 1. semester, MAT1... 9 3.1.2 Kursusmoduler for 1.semester, MAT1... 10 3.2. MODULBESKRIVELSER FOR 2. SEMESTER, MAT2... 13 3.2.1 Projektmodul 2. semester, MAT2... 13 3.2.2. Kursusmoduler for 2. semester, MAT2... 13 3.3. MODULBESKRIVELSER FOR 3. SEMESTER, MAT3... 16 3.3.1 Projektmodul 3. semester, MAT3... 16 3.3.2. Kursusmoduler for 3. semester, MAT3... 16 3.4. MODULBESKRIVELSER FOR 4. SEMESTER, MAT4... 19 3.4.1 Projektmodul 4. semester, MAT4... 19 3.4.2. Kursusmoduler for 4. semester, MAT4... 19 3.5. MODULBESKRIVELSER FOR 5. SEMESTER, MAT5... 23 3.5.1 Projektmodul 5. semester, MAT5... 23 3.5.2. Kursusmoduler for 5. semester, MAT5... 23 3.6. MODULBESKRIVELSER FOR 6. SEMESTER, MAT6... 26 3.6.1 Projektmodul 6. semester, MAT6... 26 3.6.2. Kursusmoduler for 6. semester, MAT6... 26 KAPITEL 4: IKRAFTTRÆDELSE, OVERGANGSREGLER OG REVISION...35 KAPITEL 5: ANDRE REGLER...35 5.1 REGLER OM SKRIFTLIGE OPGAVER, HERUNDER BACHELORPROJEKTET... 35 5.2 REGLER OM MERIT, HERUNDER MULIGHED FOR VALG AF MODULER, DER INDGÅR I EN ANDEN UDDANNELSE VED ET UNIVERSITET I DANMARK ELLER UDLANDET... 36 5.3 REGLER OM FORLØB AF BACHELORUDDANNELSEN... 36 5.4 EKSAMENSREGLER... 36 5.5 DISPENSATION... 36 5.6 REGLER OG KRAV OM LÆSNING AF TEKSTER PÅ FREMMEDSPROG... 36 5.7 UDDYBENDE INFORMATION... 36 1
Kapitel 1: Studieordningens hjemmel mv. 1.1 Bekendtgørelsesgrundlag Bacheloruddannelsen i matematik er tilrettelagt i henhold til Uddannelses- og Forskningsministeriets bekendtgørelse nr. 1328 af 15. november 2016 om bachelor- og kandidatuddannelser ved universiteterne (Uddannelsesbekendtgørelsen) og bekendtgørelse nr. 1062 af 30. juni 2016 om eksamen og censur ved universitetsuddannelser (Eksamensbekendtgørelsen). Der henvises yderligere til bekendtgørelse nr. 257 af 18. marts 2015 (Bacheloradgangsbekendtgørelsen) og bekendtgørelse nr. 114 af 3. februar 2015 (Karakterbekendtgørelsen) med senere ændringer. 1.2 Fakultetstilhørsforhold Bacheloruddannelsen hører under Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet, Aalborg Universitet. 1.3 Studienævnstilhørsforhold Bacheloruddannelsen hører under Studienævn for Matematik, Fysik og Nanoteknologi ved School of Engineering and Science. 1.4 Censorkorps Uddannelsen er tilknyttet censorkorpset for matematik. Kapitel 2: Optagelse, betegnelse, varighed og kompetenceprofil 2.1 Optagelse Optagelse på bacheloruddannelsen i matematik forudsætter en gymnasial uddannelse. Uddannelsens specifikke adgangskrav er Dansk A, Engelsk B og Matematik A jf. Adgangsbekendtgørelsen. 2.2 Uddannelsens betegnelse på dansk og engelsk Bacheloruddannelsen giver ret til betegnelsen bachelor (BSc) i matematik. Den engelske betegnelse: Bachelor of Science (BSc) in Mathematics. Bacheloruddannelsen giver også ret til betegnelsen bachelor (BSc) i matematik, når matematik læses som centralt fag i en to-fags-kombination. 2
2.3 Uddannelsens normering angivet i ECTS Bacheloruddannelsen er en 3-årig forskningsbaseret heltidsuddannelse. Uddannelsen er normeret til 180 ECTS. BA-MAT, 2017 2.4 Eksamensbevisets kompetenceprofil Nedenstående vil fremgå af eksamensbeviset: En bachelor har kompetencer erhvervet gennem et uddannelsesforløb, der er foregået i et forskningsmiljø. En bachelor har grundlæggende kendskab til og indsigt i sit fags metoder og videnskabelige grundlag. Disse egenskaber kvalificerer bacheloren til videreuddannelse på et relevant kandidatstudium samt til ansættelse på baggrund af uddannelsen. 2.5 Uddannelsens kompetenceprofil: En person, der dimitterer med en bachelorgrad i matematik, skal have følgende viden, færdigheder og kompetencer: Viden Dimittenden skal have viden om teori, metode og praksis inden for matematik, især matematisk analyse og algebra kunne forstå og reflektere over teorier og metode inden for matematik Færdigheder Dimittenden skal kunne anvende flere matematiske metoder og redskaber samt kunne anvende færdigheder, der knytter sig til beskæftigelse med problemstillinger inden for matematik kunne vurdere teoretiske og praktiske problemstillinger samt begrunde og vælge relevante løsningsmodeller kunne formidle faglige problemstillinger og løsningsmodeller til fagfæller og ikkespecialister eller samarbejdspartnere og brugere Kompetencer Dimittenden skal kunne håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- eller arbejdssammenhænge selvstændigt kunne indgå i fagligt og tværfagligt samarbejde med en professionel tilgang kunne identificere egne læringsbehov og strukturere egen læring i forskellige læringsmiljøer 3
Kapitel 3: Uddannelsens indhold og tilrettelæggelse Uddannelsen er modulopbygget og tilrettelagt som et problembaseret studium. Et modul er et fagelement eller en gruppe af fagelementer, der har som mål at give den studerende en helhed af faglige kvalifikationer inden for en nærmere fastsat tidsramme angivet i ECTS-point, og som afsluttes med en eller flere prøver inden for bestemte eksamensterminer, der er angivet og afgrænset i studieordningen. Uddannelsen bygger på en kombination af faglige, problemorienterede og tværfaglige tilgange og tilrettelægges ud fra følgende arbejds- og evalueringsformer, der kombinerer færdigheder og faglig refleksion: forelæsninger projektarbejde workshops opgaveløsning (individuelt og i grupper) lærerfeedback faglig refleksion porteføljearbejde Uddannelsesoversigter Alle moduler bedømmes gennem individuel gradueret karakter efter 7-trinssskalaen eller bestået/ikke bestået (B/IB). Alle moduler bedømmes ved ekstern prøve (ekstern censur) eller intern prøve (intern censur eller ingen censur). 4
Bachelor i matematik, etfags: Semester Modul ECTS Bedømmelse Prøve 1. Projektmodul. Introduktion til 5 B/IB Intern projektarbejde (P0) Projektmodul. Diskret 10 7-trinsskala Intern matematik (P1) Calculus 5 7-trinsskala Intern Problembaseret læring i 5 B/IB Intern videnskab, teknologi og samfund (PV) Diskret matematik 5 7-trinsskala Intern 2. Projektmodul. Optimering 15 7-trinsskala Ekstern (P2) Lineær Algebra 5 7-trinsskala Intern Introduktion til matematiske 5 B/IB Intern metoder Computerstøttede 5 7-trinsskala Intern beregninger (MATTEK2) 3. Projektmodul. Sædvanlige 15 7-trinsskala Intern differentialligninger Analyse 1 5 7-trinsskala Ekstern Lineær algebra med 5 7-trinsskala Intern anvendelser Algebra 1: grupper 5 7-trinsskala Intern 4. Projektmodul. Symmetri 10 7-trinsskala Ekstern Sandsynlighedsregning 5 7-trinsskala Intern Analyse 2 5 7-trinsskala Intern Algebra 2: ringe og legemer 5 7-trinsskala Ekstern Den studerende skal følge et valgfag*: Komplekse funktioner 5 B/IB Intern Matematikkens fagdidaktik 5 B/IB Intern 5. Projektmodul. Statistisk modellering og analyse 15 7-trinsskala Ekstern Statistisk inferens for 5 B/IB Intern lineære modeller Computeralgebra 5 B/IB Intern Differentialgeometri 5 7-trinsskala Intern 6. Projektmodul. Bachelorprojekt. 15 7-trinsskala Ekstern Integrationsteori 5 7-trinsskala Ekstern Den studerende skal følge to valgfag*: Operatorer på Hilbertrum 5 B/IB Intern Grafteori 5 B/IB Intern Kodningsteori 5 B/IB Intern Algebraisk topologi 5 B/IB Intern Rumlig statistik og Markovkæde Monte Carlo 5 B/IB Intern 5
metoder (MATTEK6)** Bayesiansk inferens og modeller med tilfældige effekter (MATTEK8) Tidsrækkeanalyse og økonometri (MATØK6)** BA-MAT, 2017 5 B/IB Intern 5 7-trinsskala Intern Data Mining (MATØK8)** 5 B/IB Intern Quantitative Finance and Computational Statistics 5 B/IB Intern Financial Engineering (MATØK6)** 5 B/IB Intern Anvendt harmonisk analyse (MATTEK4)** 5 B/IB Intern SUM 180 *) Studienævnet fastlægger, hvilke valgfag der udbydes forud for hvert semester. **) Hvis kurset sammenlæses med andre studieretninger, og kurset er hjemmehørende og beskrevet i en anden studieordning, er dette angivet i tabellen. 6
To-fags uddannelser, Matematik som centralt fag (vejledende) Sem ECTS Fysik NAT HUM/SAMF Idræt 1. 10 Projektmodul. Diskret matematik (P1) Projektmodul. Diskret matematik (P1) Projektmodul. Diskret matematik (P1) Projektmodul. Diskret matematik (P1) 5 Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) 5 Diskret matematik Diskret matematik Diskret matematik Diskret matematik 5 Calculus Calculus Calculus Calculus 5 Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund 2. 15 Projektmodul. Optimering (P2) 5 Introduktion til matematiske metoder 3. Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund Projektmodul. Optimering (P2) Introduktion til matematiske metoder Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund Projektmodul. Optimering (P2) Introduktion til matematiske metoder Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund Projektmodul. Optimering (P2) Introduktion til matematiske metoder 5 Lineær Algebra Lineær Algebra Lineær Algebra Lineær Algebra 5 Grundlæggende mekanik og termodynamik (GMT) Valgfag * Valgfag Valgfag 15 Projektmodul. Sædvanlige Projektmodul. Sædvanlige Projektmodul. Sædvanlige Projektmodul. Sædvanlige differentialligninger differentialligninger differentialligninger differentialligninger 5 Analyse 1 Analyse 1 Analyse 1 Analyse 1 5 Lineær algebra med Lineær algebra med Lineær algebra med Lineær algebra med anvendelser anvendelser anvendelser anvendelser 5 Algebra 1: grupper Algebra 1: grupper Algebra 1: grupper Algebra 1: grupper 4. 10 Projektmodul. Symmetri Projektmodul. Symmetri Projektmodul. Symmetri Projektmodul. Symmetri 5 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning 5 Analyse 2 Analyse 2 Analyse 2 Analyse 2 5 Algebra 2: ringe og legemer Algebra 2: ringe og legemer Algebra 2: ringe og legemer Algebra 2: ringe og legemer 5 Valgfag. Komplekse funktioner el. Fagdidaktik Valgfag. Komplekse funktioner el. Fagdidaktik Valgfag. Komplekse funktioner el. Fagdidaktik Valgfag. Komplekse funktioner el. Fagdidaktik 5. 15 Sidefag Sidefag Bachelorprojekt Sidefag 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 6. 15 Bachelorprojekt (10 ECTS) Bachelorprojekt Sidefag Bachelorprojekt SUM 180 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 5 Sidefag Sidefag Sidefag Sidefag 5 Sidefag *) Biologi/kemi følger Almen biologi (ALBIO), datalogi følger Objektorienteret programmering (OOP), fysik følger Grundlæggende mekanik og termodynamik (GMT), geografi følger Geografiske informationssystemer (GIS) og idræt følger et valgfrit kursusmodul på 2. semester af en naturvidenskabelig uddannelse. Se i øvrigt de pågældende studieordninger. 7
To-fags uddannelser, Matematik som sidefag (vejledende) Sem ECTS Fysik NAT HUM/SAMF Idræt 1. 30 Centralt fag Centralt fag Centralt fag Centralt fag 2. 30 Centralt fag Centralt fag Centralt fag Centralt fag 3. 30 Centralt fag Centralt fag Centralt fag Centralt fag 4. 25 Centralt fag Centralt fag Centralt fag Centralt fag 5. 6. 5 Centralt fag Calculus (GEO+DAT) Centralt fag Centralt fag 15 Projektmodul. Sædvanlige Projektmodul. Sædvanlige Centralt fag (BSc projekt) Centralt fag (BSc projekt) differentialligninger differentialligninger 5 Analyse 1 Analyse 1 Projektmodul. Diskret Projektmodul. Diskret 5 Lineær algebra med anvendelser Lineær algebra med anvendelser matematik (P1) (10 ECTS) matematik (P1) (10 ECTS) 5 Algebra 1: grupper Algebra 1: grupper Calculus Calculus 15 Centralt fag (BSc projekt) Centralt fag (BSc projekt) Projektmodul. Optimering Projektmodul. Optimering (P2) (P2) 5 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Introduktion til matematiske metoder Introduktion til matematiske metoder 5 Analyse 2 Analyse 2 Lineær algebra Lineær algebra 5 Algebra 2: ringe og legemer SUM 180 Algebra 2: ringe og legemer Computerstøttede beregninger Computerstøttede beregninger Videnskabsteori og videnskabelig metode Videnskabsteori og videnskabelig metode indlæres gennem kursusaktiviteterne Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund (1. sem.), Sandsynlighedsregning (4. sem.) og Statistisk inferens for lineære modeller (5. sem.) og bringes i anvendelse i projektmodulerne Symmetri (4. sem.) og Statistisk modellering og analyse (5. sem.). Valgfag Bacheloruddannelsen giver den studerende valgfrihed til individuel profilering af sin uddannelse. Denne valgfrihed opnås med muligheden for valgfag på 4. og 6. semester. 8
3.1 Modulbeskrivelser for 1. semester, MAT1 3.1.1 Projektmoduler for 1. semester, MAT1 Introduktion til projektarbejde (Introduction to Project Work) (P0) Mål: Studerende der har gennemført modulet: Viden skal have kendskab til enkelte elementære begreber inden for den relevante projektvinkel/faglighed skal have et grundlæggende kendskab til arbejdsprocesserne i et projektarbejde videnstilegnelse og samarbejde med vejleder Færdigheder skal kunne definere projektarbejdets mål og kunne skrive en konklusion, der besvarer projektarbejdets problemstilling skal kunne beskrive og analysere en eller flere projektvinkler skal kunne formidle projektets arbejdsresultater skriftligt, grafisk og mundtligt på en sammenhængende måde Kompetencer skal kunne reflektere over den problemorienterede og projektorganiserede studieform og arbejdsprocessen skal kunne formidle de opnåede resultater fra projektarbejdet i en projektrapport skal kunne samarbejde omkring problemfeltets projektarbejde og foretage en fælles fremlæggelse af projektarbejdets resultater skal kunne reflektere over måder at formidle information til andre (skriftligt, mundtligt og grafisk) Prøveform: Gruppeeksamen baseret på fremlæggelsesseminar og projektrapport. Projektmodul. Diskret matematik (Discrete Mathematics) (P1) viden om grundlæggende begreber inden for diskret matematik viden om udvalgte konkrete resultater og/eller algoritmer inden for fagområdet viden om modeller for konkrete diskrete problemstillinger vha. eksempelvis grafer kan kommunikere skriftligt og mundtligt om abstrakte definitioner samt resultater og/eller algoritmer vha. de relevante matematiske begreber og den relevante matematiske notation kan kommunikere stringente ræsonnementer for resultater og/eller algoritmer kan anvende resultater og/eller algoritmer på konkrete problemstillinger 9
kan ræsonnere og argumentere med matematiske begreber Evner mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.1.2 Kursusmoduler for 1.semester, MAT1 Calculus (Calculus) Viden skal have kendskab til definitioner, resultater og teknikker indenfor teorien for differentiation og integration af funktioner af to eller flere variable skal have kendskab til de trigonometriske funktioner og deres inverse funktioner skal have kendskab til beskrivelsen af simple flader i hhv. retvinklede-, polære-, og sfæriske koordinater skal have kendskab til de komplekse tal, deres regneregler og deres repræsentationer skal have kendskab til faktorisering af polynomier over de komplekse tal skal have kendskab til den komplekse eksponentialfunktion, dens egenskaber, og dens forbindelse med trigonometriske funktioner skal have kendskab til kurver i planen (både i rektangulære og polære koordinater) og rummet, parametrisering, tangentvektor og krumning for disse skal have kendskab til teorien for anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter Færdigheder skal kunne visualisere funktioner af to og tre variable ved hjælp af grafer, niveaukurver og niveauflader skal kunne foretage bestemmelse af lokale og globale ekstrema for funktioner af to og tre variable skal kunne bestemme areal, volumen, inertimoment og lignende ved anvendelse af integrationsteori skal kunne approksimere funktioner af en variabel ved hjælp af Taylors formel, og kunne anvende lineær approksimation for funktioner af to eller variable skal have færdighed i regning med komplekse tal skal kunne finde rødder i den komplekse andengradsligning og udføre faktorisering af polynomier i simple tilfælde skal kunne løse lineære andenordens differentialligninger med konstante koefficienter, generelt, og med begyndelsesbetingelser skal kunne ræsonnere med kursets begreber, resultater og teorier, i simple konkrete og abstrakte problemstillinger Kompetencer skal udvikle og styrke sit kendskab til, forståelse af, og anvendelse af matematiske teorier og metoder indenfor andre fagområder skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber fra calculus 10
Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund (Problem Based Learning in Science, Technology and Society) (PV) Mål: Efter kurset skal den studerende have: Viden, der gør den studerende i stand til at: redegøre for grundlæggende læringsteori redegøre for teknikker til projektstyring og -planlægning redegøre for forskellige tilgange til problembaseret læring (PBL); herunder Aalborg modellen redegøre for forskellige tilgange og metoder til analyse og vurdering af naturvidenskabelige og matematiske problemstillinger og løsninger i et videnskabsteoretisk, etisk, og samfundsmæssigt perspektiv redegøre for teknikker til analyse af samarbejdet i projektgruppen og metoder til forbedring af samarbejdet Færdigheder, der gør den studerende i stand til at: planlægge og styre et problembaseret projekt analysere samarbejdet i projektgruppen og reflektere over årsager til og anvise mulige løsninger på eventuelle gruppekonflikter analysere og vurdere egen studieindsats og læring med henblik på at optimere det videre studieforløb og studieindsats formidle et projektarbejde Kompetencer, som gør den studerende i stand til at: indgå i et teambaseret projektarbejde reflektere over de anvendte metoder i et videnskabsteoretisk, etisk og samfundsmæssigt perspektiv reflektere og udvikle egen læring, herunder kollaborative læreprocesser i projektgruppen reflektere over sit professionelle virke i relation til det omgivende samfund Prøveform: Individuelt på baggrund af en skriftlig opgave. 11
Diskret Matematik (Discrete Mathematics) Mål Studerende der har gennemført modulet skal opfylde følgende kriterier: Viden har viden om mængdelære: mængder, relationer, funktioner, kardinalitet af mængder har viden om grundlæggende talteori: modulær aritmetik. Euklids algoritme. har viden om rekursive/iterative algoritmer. Tidskompleksitet har viden om asymptotisk notation. Logaritme og eksponentialfunktioner med grundtal 2. Store-O notationen har viden om kombinatorik: binomialformlen har viden om rekursive definitioner har viden om bevisteknikker: svag og stærk induktion. Modstridsbevis, bevis ved kontraposition har viden om logisk notation: udsagnslogik, kvantorer har viden om grafteori: veje, træer. Grafalgoritmer. Korteste vej Færdigheder kan gennemføre beviser for resultater indenfor kursets emner ved hjælp af de i kurset behandlede bevisteknikker kan gøre brug af de fornødne skriftlige færdigheder i disse sammenhænge kan argumentere videnskabsteoretisk om forskellige bevisstrategier og med logiske termer Kompetencer den studerende skal kunne anvende begreber og teknikker for diskret matematik, herunder i sammenhænge, hvor algoritmer indgår Prøveform Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 12
3.2. Modulbeskrivelser for 2. semester, MAT2 3.2.1 Projektmodul 2. semester, MAT2 Optimering (Optimisation) (P2) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i projektmodulerne P0 og P1. viden om grundlæggende begreber inden for optimering viden om udvalgte konkrete resultater og/eller algoritmer inden for fagområdet viden om modeller for konkrete problemstillinger kan kommunikere skriftligt og mundtligt om abstrakte definitioner samt resultater og/eller algoritmer vha. de relevante matematiske begreber og den relevante matematiske notation kan kommunikere stringente ræsonnementer for resultater og/eller algoritmer kan anvende resultater og/eller algoritmer på konkrete problemstillinger kan ræsonnere og argumentere med matematiske begreber skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.2.2. Kursusmoduler for 2. semester, MAT2 Lineær algebra (Linear Algebra) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Calculus. Mål: Studerende der gennemfører modulet: Viden skal have viden om definitioner, resultater og teknikker indenfor teorien for lineære ligningssystemer skal have kendskab til lineære transformationer og deres sammenhæng med matricer skal have viden om computerværktøjet Matlab og dets anvendelse indenfor lineær algebra skal have kendskab til simple matrixoperationer skal have kendskab til invertibel matrix og invertibel lineær afbildning skal have kendskab til vektorrummet R n og underrum deraf skal have kendskab til lineær afhængighed og uafhængighed af vektorer, samt dimension og basis for underrum skal have kendskab til determinant for matricer skal have kendskab til egenværdier og egenvektorer for matricer og deres anvendelse 13
skal have kendskab til projektioner og ortonormale baser skal have viden om første ordens differentialligninger, samt om systemer af lineære differentialligninger Færdigheder skal kunne anvende teori og regneteknik for lineære ligningssystemer til at afgøre løsbarhed, og til at bestemme fuldstændige løsninger og deres struktur skal kunne repræsentere lineære ligningssystemer ved hjælp af matrixligninger, og omvendt skal kunne bestemme og anvende reduceret echelonform af en matrix skal kunne anvende elementære matricer i forbindelse med Gauss-elimination og inversion af matricer skal kunne afgøre lineær afhængighed eller lineær uafhængighed af små systemer af vektorer skal kunne bestemme dimension af og basis for underrum skal kunne bestemme matrix for en givet lineær afbildning, og omvendt skal kunne løse simple matrixligninger skal kunne beregne invers af små matricer skal kunne bestemme dimension af og basis for nulrum og søjlerum skal kunne beregne determinanter og kunne anvende resultatet af beregningen skal kunne beregne egenværdier og egenvektorer for simple matricer skal kunne afgøre, om en matrix er diagonaliserbar, og i bekræftende fald gennemføre en diagonalisering, for simple matricer skal kunne beregne den ortogonale projektion på et underrum af R n skal kunne løse separable og lineære første ordens differentialligninger, generelt, og med begyndelsesbetingelser Kompetencer skal udvikle og styrke sit kendskab til, forståelse af, og anvendelse af matematiske teorier og metoder indenfor andre fagområder skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Introduktion til matematiske metoder (Introduction to Mathematical Methods) Modulet har til formål at give en introduktion til flere forskellige metoder i matematik, herunder også samspillet med et programmeringssprog og matematiske modeller i økonomi. har viden om konvergens af reelle talfølger og rækker har viden om matematisk præcise definitioner af grænseværdibegrebet og kontinuitet for reelle funktioner af en eller flere variable har viden om den matematisk præcise definition af partielle afledede for funktioner af to eller flere variable har viden om fortolkning af de partielle afledede for funktioner af to eller flere variable 14
har viden om simpel matematisk modellering indenfor matematisk økonomi har viden om basal programmering i konkret programmeringssprog har viden om simple matematiske algoritmer og deres implementation kan læse og skrive simple programmer kan implementere simple algoritmer og beregninger i programmer kan løse simple ekstremumsproblemer BA-MAT, 2017 Kompetencer kan gøre rede for sammenhængen mellem en simpel algoritme og dens implementation i det givne programmeringssprog skal udvikle og styrke sin evne til at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling kan gøre rede for anvendelse af simple matematiske metoder til løsning af konkrete problemer Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Computerstøttede beregninger (Numerical Methods) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Calculus. skal have viden om repræsentation af tal, afrunding og fejl skal have viden om iterativ løsning af ikke-lineær ligning i én variabel skal have viden om approksimation af funktioner, herunder Taylors formel skal have viden om interpolation skal have viden om numerisk differentialregning, herunder numerisk løsning af differentialligninger skal have viden om metoder til store beregninger skal have kendskab til konkrete numeriske beregningssoftware skal kunne redegøre for teorien bag de væsentlige algoritmer til computerstøttet beregning, som er studeret i kurset skal kunne forklare den numeriske implementation af de behandlede algoritmer skal kunne løse konkrete problemer ved brug af computerstøttet beregning og være i stand til at vurdere resultaterne skal kunne anvende numeriske metoder på relevante problemstillinger skal ud fra givne forudsætninger skal kunne ræsonnere og argumentere med begreber indenfor numeriske metoder Prøveform: Mundtlig eller skriftlig prøve. 15
3.3. Modulbeskrivelser for 3. semester, MAT3 3.3.1 Projektmodul 3. semester, MAT3 Sædvanlige differentialligninger (Ordinary Differential Equations) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Lineær algebra og Calculus. Desuden skal Analyse 1 og Lineær algebra med anvendelser følges sideløbende. har viden om eksempler på sædvanlige differentialligninger af første og anden orden, samt systemer har viden om eksponentialfunktionens anvendelighed ved bestemmelse af løsninger til sædvanlige differentialligninger har viden om løsningsformler og -mængder for sædvanlige differentialligninger har viden om egenskaber ved løsninger til lineære differentialligninger, eksempelvis maksimalitet, grænseværdier og asymptotik, fundamentalløsninger har viden om faserumsanalyse og klassifikation af ligevægtspunkter for (ikke-)lineære sædvanlige differentialligninger kan udlede og i skrift og tale give stringente beviser for centrale resultater fra teorien om sædvanlige differentialligninger kan anvende teoretiske resultater til analyse af eksempler kan inddrage begreber fra matematisk analyse og lineær algebra til løsning af sædvanlige differentialligninger kan anvende hovedresultater fra matematisk analyse og lineær algebra i analyse af løsninger til sædvanlige differentialligninger er i stand til at formidle opnået viden og færdigheder i form af velvalgte eksempler Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.3.2. Kursusmoduler for 3. semester, MAT3 Analyse 1 (Analysis 1) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Lineær algebra og Calculus. Viden har viden om egenskaber ved de reelle tal 16
har viden om reelle talfølger og deres konvergens har viden om konvergenskriterier for uendelige rækker med reelle led har viden om konvergenskriterier for potensrækker med reelle led har viden om kontinuerte funktioner af en og flere variable, og deres egenskaber har viden om differentiable funktioner af en variabel har viden om Riemann integralet af kontinuerte funktioner kan udlede og i skrift og tale give stringente beviser for centrale resultater fra reel analyse kan anvende resultaterne fra modulet på konkrete følger, rækker, og funktioner BA-MAT, 2017 kan argumentere for anvendelighed af metoder fra kurset til løsning af både abstrakte og konkrete problemer indenfor reel analyse Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Lineær algebra med anvendelser (Linear Algebra with Applications) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Lineær algebra og Calculus. skal have viden om abstrakte vektorrum skal have viden om basis og dimension af endeligdimensionale vektorrum skal have viden om lineære afbildninger mellem vektorrum og deres matricer skal have viden om determinanter og deres anvendelser skal have viden om indre produkt og ortogonalitet, og deres anvendelser skal have viden om spektralsætningen for normale lineære afbildninger skal have viden om faktoriseringsresultater for matricer og deres anvendelser kan udlede og i skrift og tale give stringente beviser for centrale resultater fra lineær algebra kan anvende faktoriseringssætninger for matricer Kompetencer kan gøre rede for sammenhængen mellem abstrakte vektorrum og konkrete vektorrum kan gøre rede for anvendelse af abstrakt lineær algebra til løsning af konkrete problemer Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 17
Algebra 1: Grupper (Algebra 1: Groups) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Lineær algebra. Viden har viden om kompositioner og deres egenskaber kender abstrakt definition af og eksempler på grupper har viden om undergrupper, normale undergrupper, faktorgrupper kender til frembringere af grupper, cykliske grupper har viden om homomorfi- og isomorfibegrebet kender talteoretiske begreber og resultater, herunder Eulers sætning har viden om permutationer og permutationsgrupper kender eksempler på legemer, herunder legemer af primtalsorden Færdigheder kan anvende abstrakte algebraiske begreber og konstruktioner kan gennemføre beviser for gruppe- og talteoretiske resultater kan gennemføre beregninger indenfor algebra og talteori Kompetencer kan ræsonnere med matematiske begreber og anvende symboler og formalisme inden for algebra Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve 18
3.4. Modulbeskrivelser for 4. semester, MAT4 3.4.1 Projektmodul 4. semester, MAT4 Symmetri (Symmetry) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Lineær algebra med anvendelser, Analyse 1 og Algebra 1. Viden kender flere eksempler på symmetrigrupper i geometriske, kombinatoriske og/eller algebraiske sammenhænge kan ræsonnere om væsentlige undergrupper og kvotientgrupper af symmetrigrupper kan udnytte gruppeteoretiske resultater i forbindelse med undersøgelse af symmetri kender og kan illustrere vigtige begreber vedr. gruppevirkninger (bane, stabilisator mv.) i forbindelse med undersøgelse af symmetri Færdigheder kan i eksempler bekrive analyse af mønstre af geometrisk, kombinatorisk eller algebraisk art ved hjælp af symmetrigrupper kan redegøre for historisk baggrund i forbindelse med en sådan analyse kan kommunikere i skrift og tale matematisk korrekt om sammenhæng mellem symmetrigrupper og deres virkninger på objekter Kompetencer kan sætte sig ind i og forholde sig åbent og kritisk til den historiske udvikling af et matematisk område har opnået et beredskab til at værdsætte og udnytte symmetriegenskaber i forbindelse med matematisk modellering kan kommentere hvordan spørgsmål uden for matematikkens område stimulerer matematisk teoriudvikling som igen kaster lys på den oprindelige problemstilling og evt. til og med andre (videnskabsteoretisk dimension) Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.4.2. Kursusmoduler for 4. semester, MAT4 Sandsynlighedsregning (Probability Theory) Forudsætning: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1 og Lineær algebra med anvendelser. 19
har viden om grundlæggende begreber og metoder i sandsynlighedsregning har viden om sandsynlighedsbegrebet, herunder betinget sandsynlighed og uafhængighed har viden om en- og flerdimensionale stokastiske variable, herunder momenter og korrelation har viden om betingede fordelinger, herunder betinget middelværdi og betinget varians har viden om vigtige diskrete og kontinuerte fordelinger samt anvendelser af disse har viden om stokastisk simulering har viden om elementære stokastiske processer: Poissonprocesser og Markovkæder har viden om sandsynlighedsregningens historie og videnskabsteoretiske udvikling kan opstille og anvende sandsynlighedsteoretiske modeller på afgrænsede problemer kan redegøre for teorien bag de anvendte modeller kan vurdere anvendelsesmuligheder for sandsynlighedsregning kan tilegne sig supplerende viden og færdigheder inden for kursets emneområde Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Analyse 2 (Analysis 2) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1 og Lineær algebra med anvendelser. har viden om differentiable funktioner af flere reelle variable har viden om Taylors formel for funktioner af flere variable og dens anvendelser har viden om invers funktion sætningen og dens anvendelser har viden om implicit funktion sætningen og dens anvendelser har viden om metriske rum og deres anvendelser på funktioner af flere variable har viden om fixpunktsætningen i fuldstændige metriske rum har viden om eksistens og entydighed af løsninger til sædvanlige differentialligninger kan udlede og i skrift og tale give stringente beviser for hovedresultaterne vedrørende funktioner af flere variable kan bestemme ekstrema for funktioner af flere variable kan gøre rede for betydningen af abstrakte begreber som metriske rum i forbindelse med funktioner af flere variable Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 20
Algebra 2: Ringe og legemer (Algebra 2: Rings and Fields) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Algebra 1. kender definition af og eksempler på ringe, legemer og idealer kender konstruktioner af og egenskaber for homomorfier, kvotientringe har viden om integritetsområder og brøklegemer har viden om hovedidealer, primidealer og maksimale idealer har viden om faktorisering, irreducible elementer og primelementer kender polynomiumsringe og rødder i polynomier har viden om endelige legemer og legemsudvidelser har viden om væsentlige træk af algebraens historie kan anvende abstrakte algebraiske begreber og konstruktioner kan gennemføre beviser for resultater inden for teorien om ringe og legemer kan gennemføre beregninger indenfor abstrakt algebra kan ræsonnere med matematiske begreber og anvende symboler og formalisme inden for abstrakt algebra Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Valgfag på 4. semester Komplekse funktioner (Complex Functions) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1 og Lineær algebra med anvendelser. har viden om potensrækker med komplekse led, herunder konvergensforhold og differentiabilitet har viden om holomorfe funktioner har viden om elementære funktioner af en kompleks variabel har viden om potensrækkeudvikling af holomorfe funktioner har viden om Cauchys sætning og Cauchys formel, og deres anvendelser har viden om meromorfe funktioner og Laurentrækker har viden om residuesætningen og dens anvendelser har viden om historiske aspekter af teorien for komplekse funktioner 21
kan anvende resultaterne til bestemmelse af potensrækker og Laurentrækker for komplekse funktioner kan anvende Cauchys formel og residuesætningen til beregning af integraler BA-MAT, 2017 kan gøre rede for forskelle mellem reelle og komplekse differentiable funktioner kan ræsonnere om anvendelighed af kompleks analyse til løsning af problemer for reelle funktioner (videnskabsteoretisk dimension) Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve, eller løbende evaluering. Matematikkens fagdidaktik (The Didactics of Mathematics) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1 og Lineær algebra med anvendelser. Mål: Modulet er tænkt til at tilfredsstille en del af de faglige mindstekrav til faglig kompetence i et fag fra den gymnasiale fagrække. Den studerende, som har gennemført modulet, kan redegøre for centrale kognitive teorier og modeller for læring af gymnasial matematik redegøre for og diskutere faglig og fagdidaktisk brug af IKT-værktøjer i matematikundervisningen redegøre for vanskelige områder og kognitive forhindringer for gymnasieelevers læring af matematik redegøre for forskellige metoder til undervisningsplanlægning, herunder for både særligt stærke og svage gymnasieelever redegøre for og diskutere forskellige metoder til formativ og summativ evaluering redegøre for sammenhænge mellem matematikken i folkeskolens sidste år, gymnasiets matematik og matematik på videregående uddannelser planlægge, begrunde og diskutere undervisningssekvenser i matematik evaluere undervisningssekvenser i matematik diskutere og reflektere over fagdidaktiske begrundelser for undervisningsplanlægning og -evaluering i matematik for forskellige elevtyper, herunder brug af IKT sætte sig ind i relevant ny fagdidaktisk litteratur på egen hånd Prøveform: Individuel mundtlig prøve på baggrund af mindre skriftlig opgave bestående af planlægning af undervisningssekvenser. 22
3.5. Modulbeskrivelser for 5. semester, MAT5 3.5.1 Projektmodul 5. semester, MAT5 Statistisk modellering og analyse (Statistical Modelling and Analysis) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Sandsynlighedsregning, samt at kursusmodulet Statistisk inferens for lineære modeller følges sideløbende. har viden om hvordan man opstiller en statistisk model med udgangspunkt i en konkret problemstilling fra et fagområde, der kan ligge udenfor det matematiske har viden om hvordan man udfører statistik inferens for en generaliseret lineær model har viden om, hvordan man udfører modelkontrol kan med udgangspunkt i en konkret problemstilling opstille en relevant generaliseret lineær model under hensyntagen til de tilgængelige data kan anvende statistisk software til at implementere og analysere en konkret statistisk model kan vurdere gyldigheden af opnåede resultater Kompetencer kan kommunikere resultatet af en statistisk analyse til ikke-statistikere, der har en interesse i den behandlede problemstilling er i stand til at formidle opnået viden og færdigheder til et på forhånd fastlagt publikum kan ræsonnere om oprindelse og anvendelse af matematiske begreber og værktøjer i en given samfundsmæssig, historisk eller teknologisk kontekst (videnskabsteoretisk dimension) kan på egen hånd udvikle generaliserede lineære modeller, der passer til data har kendskab til videnskabsteoretiske aspekter vedrørende generaliserbarhed af statistiske analyser Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.5.2. Kursusmoduler for 5. semester, MAT5 Statistisk inferens for lineære modeller (Statistical Inference for Linear Models) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Sandsynlighedsregning. har viden om, hvilke trin, der indgår i en statistisk analyse 23
skal kende til den eksponentielle familie af fordelinger har viden om generaliserede lineære modeller, især lineære normale modeller har viden om estimation, herunder maksimum likelihood estimation har viden om statistisk inferens, herunder hypotesetest skal kende til eksempler på modelkontrol skal have kendskab til relevant statistisk software BA-MAT, 2017 kan, vha. relevant statistisk software, udføre en statistisk analyse af et datasæt med udgangspunkt i en given generaliseret lineær model, herunder estimation, modelkontrol, hypotesetest og fortolkning kan redegøre for de matematiske egenskaber for en given generaliseret lineær model kan tilegne sig supplerende viden og færdigheder inden for kursets emneområde kan formulere sig korrekt i statistiske og sandsynlighedsmæssige termer har kendskab til videnskabsteoretiske argumenter som ligger til grund for formuleringen og test af videnskabelige hypoteser indenfor statistisk inferens Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve, eller løbende evaluering. Computeralgebra (Computer Algebra) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Lineær algebra med anvendelser, Algebra 1 og Algebra 2. kender til algoritmer til hurtig multiplikation af tal og polynomier, herunder FFT kan beskrive og analysere EEA (udvidet Euklids algoritme) til beregning og beskrivelse af største fælles divisor har viden om modulær aritmetik og flere anvendelser kender til metoder til faktorisering af tal og/eller polynomier samt anvendelser kender til væsentlige datastrukturer for polynomier, endelige legemer mv. har viden om et avanceret emne, for eksempel teorien om og anvendelser af Gröbner baser eller ubestemt integration eller ubestemt summation kan udnytte grafiske faciliteter i et computer-algebra-system kan implementere simple algoritmer og beregninger i et computer-algebrasystem kan simplificere og transformere matematiske strukturer ved hjælp af et computeralgebra-system kan analysere beregningsmæssig kompleksitet for simple algoritmer kan i simple tilfælde afgøre anvendelighed af et computer-algebrasystem til løsning/løsbarhed af et konkret matematisk problem kan implementere og interpretere simple algoritmer til læsning af matematiske problemer 24
er i stand til at formidle opnået viden og færdigheder til et på forhånd fastlagt publikum kan forholde sig kritisk til anvendelse af computer-algebra-systemer i formidling af matematiske stofområder Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve, eller løbende evaluering. Differentialgeometri (Differential Geometry) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1, Analyse 2 og Lineær algebra med anvendelser. kan karakterisere kurver ved krumning og torsion kan beskrive en regulær flade samt dennes tangentplaner har viden om glatte afbildninger og deres differentialer kender til de to fundamentalformer og deres anvendelse til geometriske analyser kan beskrive og interpretere væsentlige krumningsbegreber på flader og sætte dem i relation til hinanden har viden om geodætiske kurver og deres egenskaber kender til eksempler af globale geometriske karakteristika for regulære flader kan gennemføre beviser for centrale resultater fra teorien om kurver og flader kan beregne væsentlige karakteristiske størrelser for kurver og flader kan anvende teoretiske resultater fra modulet til analyse af eksempler er i stand til at anvende hovedresultater fra analyse og lineær algebra til undersøgelse af geometriske egenskaber og størrelser kan argumentere for (u-)mulighed af geometriske konstruktioner ved hjælp af invarianter kan kommentere samspillet mellem metoder fra flere matematiske felter, især analyse og lineær algebra, ved undersøgelse af teoretiske og praktiske problemer af geometrisk natur (videnskabsteoretisk dimension) Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 25
3.6. Modulbeskrivelser for 6. semester, MAT6 3.6.1 Projektmodul 6. semester, MAT6 Bachelorprojekt (BSc Project) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne på 5. semester. Viden skal have forskningsbaseret viden om teori, metode og praksis inden for et eller flere matematiske fagområder skal kunne forstå og reflektere over teori, videnskabelige metoder og praksis Færdigheder skal kunne anvende fagområdets/ernes metoder og redskaber skal kunne vurdere teoretiske og praktiske problemstillinger indenfor fagområdet/erne samt begrunde og vælge relevante analyse- og løsningsmodeller skal kunne formidle faglige problemstillinger og løsningsmodeller til både fagfæller og ikke- specialister skal kunne håndtere komplekse og udviklings-orienterede situationer i studie- eller arbejds- sammenhænge skal selvstændigt kunne indgå i fagligt og tværfagligt samarbejde med en professionel tilgang skal kunne identificere egne læringsbehov og strukturere egen læring i forskellige læringsmiljøer Prøveform: Gruppeeksamen på baggrund af projektrapport. 3.6.2. Kursusmoduler for 6. semester, MAT6 Den studerende skal følge kurset Integrationsteori og to valgfag blandt semestrets udbud. Integrationsteori (Integration Theory) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Analyse 1.. har viden om abstrakte mål og sigmaalgebraer. Tællemål og sandsynlighedsmål har viden om målelige afbildninger. Borel funktioner har viden om Lebesgueintegralet. Monoton og majoriseret konvergens 26
har viden om Lebesguemålets egenskaber og konstruktion har viden om konstruktion af produktmål. Tonellis og Fubinis sætninger har viden om Lebesguerummenes fuldstændighed.hölders og Minkowskis uligheder har viden om foldning, Fourier transformation, Plancherels isometri kan bevise centrale resultater fra teorien om Lebesgueintegralet kan anvende modulets teoretiske resultater på konkrete eksempler kan argumentere korrekt for målelighed og integrabilitet i både almene og konkrete eksempler kan inddrage relevante målrum og resultater herfor i spørgsmål vedrørende integraler Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig eksamen. 27
Valgfag på 6.semester, MAT6 Operatorer på Hilbertrum (Operators on Hilbert Spaces) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Analyse 1, Analyse 2 og Lineær algebra med anvendelser. Viden har kendskab til indledende funktionalanalyse med fuldstændiggørelser, Banachrum og Hilbertrum kan forstå ortonormale baser har kendskab til og forståelse af begrænsede lineære operatorer og deres adjungerede kender til sætningerne om lukket graf og åbent billede har viden om spektralteori for begrænsede operatorer kender til spektralsætningen for selvadjungerede og kompakte operatorer Færdigheder kan gennemføre beviser for centrale resultater fra teorien om Banachrum og Hilbertrum kan anvende teoretiske resultater fra modulet til analyse af eksempler Kompetencer er i stand til at anvende hovedresultater fra analyse og lineær algebra til undersøgelse af lineære operatorer på Hilbertrum og deres egenskaber kan selvstændigt forstå og anvende resultater indenfor funktionalanalysen til at behandle spørgsmål indenfor relaterede områder af analysen Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Grafteori (Graph Theory) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Diskret matematik og Lineær algebra med anvendelser. Mål: Studerende der har gennemført modulet skal opfylde følgende kriterier: Viden har viden om sammenhæng i grafer, Mengers sætning har viden om planaritet og minors har viden om graffarvning har viden om kredslængder har viden om ekstremale resultater har viden om probabilistiske og/eller (lineære) algebraiske metoder Færdigheder kan demonstrere kendskab til og overblik over centrale grafteoretiske begreber og resultater kan gennemføre beviser i modulets emner 28
kan anvende de relevante begreber på eksempler Kompetencer kan selvstændigt gennemføre mindre beviser ved brug af kombinatoriske ræsonnementer eventuelt i samspil med algebraiske/probabilistiske ræsonnementer Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Kodningsteori (Coding Theory) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Algebra 2. Viden kender lineære blokkoder over endelige legemer har viden om grænser for deres parametre har viden om faktorisering af X n -1 vha. cyklotomiklasser har viden om eksempler på lineære koder, herunder Reed-Solomon koder, cykliske koder, BCH-koder, Hamming koder og Reed-Muller koder viden om indkodning og dekodning af udvalgte koder Færdigheder kan resonere abstrakt og konkret vedrørende ovennævnte konstruktioner og algoritmer Kompetencer har evnen til at arbejde med diskrete og algebraiske strukturer Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Algebraisk topologi (Algebraic Topology) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulerne Differentialgeometri, Algebra 1 og 2. kender centrale algebraisk topologiske begreber (herunder homotopi og homologi) og væsentlige resultater kender væsentlige topologiske invarianter for rum og afbildninger (herunder fundamental- og homologigrupper samt inducerede homomorfier) og deres invarians under homotopi har indsigt i systematiske funktorielle metoder til oversættelse fra geometriske til kombinatoriske og algebraiske områder 29
kan anvende og forklare begreber og metoder på simple eksempler, herunder beregne relevante invarianter kan ræsonnere i korrekt fagterminologi og symbolsprog om og med de berørte begreber og resultater kan anvende algebraiske begreber, metoder og resultater til behandling af spørgsmål med oprindelse i geometrien kan med udgangspunkt i samspillet mellem algebra og geometri selvstændigt formulere relevante spørgsmål og opnå nye indsigter Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Rumlig statistik og markovkæde Monte Carlo metoder (Spatial Statistics and Markov Chain Monte Carlo Methods) Forudsætninger: Modulet bygger på viden opnået i modulet Statistisk inferens for lineære modeller. Kurset omhandler Markov kæde Monte Carlo metoder samt et eller flere af de tre hovedområder indenfor rumlig statistik. Viden kender de fundamentale modeller og metoder inden for de valgte hovedområder (geostatistik, latticeprocesser eller rumlige punktprocesser) samt Markov kæde Monte Carlo har viden om følgende emner indenfor de valgte hovedområder: Geostatistik: teori for anden-ordens stationære processer, variogram/kovariogram, prediktion og kriging, samt modelbaseret geostatistik Latticeprocesser: Markovfelter, Brooks faktorisering og Hammersley-Cliffords sætning og likelihoodbaseret statistisk analyse Rumlige punktprocesser: Poissonprocesser, Coxprocesser og Markov punktprocesser samt statistisk analyse baseret på ikke-parametriske metoder (summary statistics) samt likelihoodbaserede metoder Markov kæde Monte Carlo: grundlæggende teori for Markovkæder med henblik på simulation, Markovkæde Monte Carlo metoder til simulation af fordelinger, herunder Metropolis-Hastings algoritmen og Gibbs sampleren Færdigheder kan redegøre for de centrale teoretiske resultater i kurset kan udføre statistiske analyser af konkrete datasæt kan simulere de gennemgåede modeller 30