Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdsair* Grane Høegh 6. november 00 Prisindeks Resumé: Dette air beskriver helt grundlæggende, hvad risindeks er, og hvordan de knytter sig til mængder og størrelser i faste riser. Siden 005 har det været standard at benytte kædede værdier. Der beskrives hvad kædede værdier er, og hvordan de konstrueres. GRH6N0 Nøgleord: Priser Modelgrueairer er interne arbejdsairer. De konklusioner, der drages i airerne, er ikke endelige og kan vfre Fndret inden ostillingen af nye modelversioner. Det henstilles derfor, at der kun citeres fra modelgrueairerne efter aftale med Danmarks Statistik.
. Indledning Det, vi virkelig har lyst til, er at kaste os over data og analysere virkninger af ændringer i f.eks. forbrugerrisindekset og modellere økonomiske modeller, så vi kan forudsige udviklingen. Inden da er det dog nødvendigt at vide, hvad en ris er. Det er let for en enkelt vare, men de fleste makroøkonomiske størrelser er aggragter af flere varer. Indtil 005 var alting i Nationalregnskabet ogjort i fastbase riser. Det var nemt at regne med, hvilket jeg vil gennemgå i det følgende. Senere er man dog gået over til kædede riser. Det har gjort alting mere komliceret. For eksemel må man ikke bare ligge to tal sammen, når man skal finde deres samlede værdi. Så, hvis man ikke skal begå store fejl, har man brug for lidt introduktion til risindeks. Indrømmet er det ensum i samfundsbeskrivelse, men ikke alle kan huske så meget af noget, der ligger flere år tilbage, så her kommer en lille osummering. Afsnit forklarer, hvad et risaggregat er. Der findes forskellige måder at lave risaggregater. Fastbaserisaggregatet er forklaret i afsnit 3, mens afsnit 4 ostiller et teoretisk risaggregat, som i afsnit 5 bruges til at belyse roblemet med fastbasemængde- og risaggregatet. Afsnit 6 beskæftiger sig med kædede Laseyres mængder og tilhørende Paasche kæderiser, mens afsnit 7 giver en konklusion.
3. Hvad er et risaggregat? Et risindeks for en enkelt vare er ret simelt. Det er blot at normere varen i et bestemt år. Med basisår i 000. Er risindekset lig i år 000. Herved er den tilhørende fastrisstørrelse i år 000 lig den nominelle værdi i år 000. Størrelser i faste riser er for en enkelt vare roortional med mængden, derfor kaldes størrelser i faste riser også for mængder eller mængdeindeks. Aggregerede størrelser i faste riser er også et mængdebegreb, men lidt mindre håndfast. Et risaggregat er en ris (tyisk et risindeks for et varebundt bestående af to eller flere varer. De forskellige varers riser skal vægtes sammen for at få risaggregatet. Sørgsmålet er, hvordan de skal vægtes sammen. Hvis man skal lave et risindeks for biler, kan man måske finde å at sige En bil er en bil og lade en billig bil vægte lige så tungt som en dyr. Skal man lave et risindeks for køretøjer inkl. cykler, så vil man ikke lade en cykel veje lige så tungt som en bil! Altså vil man ikke vægte å baggrund af stk. Selv om man ville, så ogør Nationalregnskabet ikke nogle størrelser i stk. De ogør kun størrelser i faste riser og i løbende riser. Jeg vil beskrive to måder at vægte riserne å. Den ene er den teoretisk korrekte måde, som kræver, at man kender forbrugernes nyttefunktioner og virksomhedernes roduktionsfunktioner. Den anden måde er at benytte ikketeoretiske risaggregater såsom Paasche og Laseyres. De to metoder vil blive beskrevet nedenfor.
4 3. Fastbase ris- og mængdeaggregatet Det er værd at vide, at til et Laseyres mængdeaggregat knytter der sig et Paasche risaggregat og omvendt. Det er også værd at vide, at Laseyres benytter foregående referenceunkt som vægte, mens Paasche benytter nuværende referenceunkt som vægte. Dette er beskrevet i detaljer i bilag A. Indtil 005 var Laseyres fastbase mængdeaggregatet og Paasche fastbase risaggregatet, hvad man benyttede i nationalregnskabet. Referenceunktet for fastbase Laseyres-aggregaterne er basisåret, hvilket i skrivende stund er år 000. Fortolkningen er: Hvis riserne er som i basisåret, hvad ville de samlede beløb så være. Derfor kaldes disse mængder også for målt i 000-riser.Alle mængder vægtes med risen i basisåret, da alle riser i basisåret er indekseret, kan man blot lægge komonenterne i fastbase aggregaterne sammen. Vil man gerne finde det samlede forbrug af frugt,, og grønt,, kan man blot lægge deres fastbasemængder sammen: + (3. Det tilhørende Paascherisindeks findes simelt ved: + (3. + Det ses, at risudviklingen måles baseret å mængderne i den aktuelle eriode. Fordelene ved fastbase indekset er, at de er let arbejde med, da både løbende og faste riser er additive (må lægges sammen. De er lette at fortolke, da det blot er, hvis riserne var som i basisåret. Ulemene ved fastbase er, at hvis riserne bliver meget anderledes end i basisåret, så vil forbrugerne/virksomhederne have substitueret over til de billigere rodukter. Hermed undervurderes risudviklingen, da rodukter med lav risudvikling vil veje tungere.
5 4. Et teoretisk risaggregat Findes der en reræsentativ forbruger, og kender man hans ræferencer, så bør man benytte det teoretisk korrekte risindeks. Idéen bag det er, som følger. Antag, at man er interesseret i risaggregatet for frugt og grøntsager. De indgår som komonenter i en større nyttefunktion, og risaggregatet vil helt generelt ikke være uafhængigt af riserne å andre varer. Så enten skal man have andre riser med i risaggregatet, ellers skal man antage seerabilitet i nyttefunktionen. Findes en reræsentativ agent, og kender man hans ræferencer, og er den seerabel, så kan man finde risaggregatet for frugt og grønt, som risen å nytteenhed af frugt og grønt. Nytte er et ordinalt begreb dvs. nytteenhed er ikke veldefineret, da man kan gange hele nyttefunktionen med, og de vil reræsentere samme ræferencer. Man tager derfor udgangsunkt i et indeksår f.eks. år 000 og siger, at kr. forbrug i år 000 giver en nytteenhed. Blev der brugt mio. kr. i år 000 å frugt og grønt, så var nytten af dette mio., mens risen å frugt og grønt var. Antag riserne å både frugt og grønt stiger frem til 00, mens der bliver købt samme mængde. Prisen å nytte beregnes som budgettet divideret med nytten i dette år. Så var nytten mio., og blev der brugt.5 mio kr, så er det teoretiske risaggregat.5. Lars Haagen Pedersen har i 998 skrevet et air: Egenskaber ved secificerede funktioner Cobb Douglas, CES og Nested CES. Her udledes risindeks for disse funktioner. Pairet er tilgængeligt å DREAMs hjemmeside. Forbrugeren maksimerer sin CES-nyttefunktion givet ved: / σ ( σ / σ / σ ( σ / σ ( ( ( ( (, + σ /( σ (4. Maksimeringen sker under bibetingelse af, at budgettet er overholdt: m + (4. hvor er den ene vare f.eks. frugt med risen, er den anden vare f.eks. grøntsager med risen, m er budgettet til vare og, er omkostningsandelen til vare i basisåret og σ er substitutionselasticiteten. Aggregatets CES risindekset er jf. bilag B givet ved: ( ( ( ( σ σ σ + (4.3 For σ er det en Cobb-Douglas funktion med risindekset: (4.4 For σ 0 er det en Leontief funktion med risindekset: + (4.5 ( Er nyttefunktionen searabel, så er den eller kan transformeres til en homotetisk nyttefunktion, hvor en stigning å en rocent i budgettet betyder en stigning å en rocent i nytten. Er ens nyttefunktion ikke homotetisk, så bør man omforme den til en som er.
6 5. Fastbaseindeksets roblem Antag, at vi har en forbruger som har en searabel CES-nyttefunktion med frugt og grønt med arametrene 0.5 og σ. Altså vil forbrugeren ved ens riser bruge lige meget frugt og grønt, og varerne er Cobb-Douglas. I basisåret 000 forbruges for 50 kr. frugt og 50 kr. grønt. Herefter stiger risen å vare med 0 rocent om året, risen å vare er uændret og forbrugsbudgettet til frugt og grønt øges med 0 rocent om året. På baggrund af nyttefunktionen vælger forbrugeren at øge forbruget af vare med 0 rocent om året, mens forbruget af vare er uændret. På baggrund af nyttefunktionen beregnes de otimale forbrug. Disse resultater er vist i tabel 5.. Tabel 5. Pris- og mængdeaggregat for Cobb-Douglas. 000 00 00 003 004 005 006 007.0000.000.4400.780.0736.4883.9860 3.583.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 M 00.00 0.00 44.00 7.80 07.36 48.83 98.60 358.3 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 60.00 7.00 86.40 03.68 4.4 49.30 79.6 _teori.0000.0954.000.345.4400.5774.780.899 _fastbase.0000.0909.803.669.3493.467.498.5636 _teori 00.00 09.54 0.00 3.45 44.00 57.74 7.80 89.9 _fastbase 00.00 0.00.00 36.40 53.68 74.4 99.30 9.6 _f/_t.000.004.07.038.067.06.53. På baggrund af de observerede forbrug kan nemt beregnes et fastbase mængdeaggregat. Det er blot at lægge forbruget af frugt i faste riser sammen med mængden af grønt i faste riser. Det teoretiske mængdeaggregat for de to varer er i basisåret også lig summen af de to varer. Dette gælder derimod ikke efterfølgende f.eks. er den samlede mængde i 00 50+7, mens mængdeaggregatet er 0. Det teoretiske mængdeaggregat er altså mindre end den samlede mængde. Forbrugeren ville til ens riser helst forbruge lige meget af hver vare, men den skæve risudvikling har gjort at forbrugeren køber relativt mere af den billige vare. Forbrugerens nytte havde været højere ved et forbrug af 6 af hver vare, men dette tillader budgettet ikke. Dermed er forbrugeren ikke lige så godt stillet, som hvis han havde haft et budget å i år 000. Det er et generelt resultat, at fastbase mængdeaggregatet vil overvurdere udviklingen, hvis der er en forskellig risudvikling å underkomonenterne. Det ses også å tabel 5., at denne overvurdering bliver mere og mere markant, jo mere de relative riser fjerner sig fra de relative riser i basisåret.
Det klasiske eksemel å uhensigtsmæssigheden ved fastbase indeks er comutere. I 966 var risen å comutere meget høj og eftersørgslen var meget lav sammenlignet med år 000. Med Paascherisindekset bliver den meget høje ris å comutere fra 966 vejet sammen med den meget høje mængde af comutere i 000, hvilket i høj grad overvurderer risindekset i 966. Et voldsomt risfald for de få comutere der eksisterede i 960 erne kunne betyde, at risindekset ville være stabilt i erioden selvom de resterende riser steg. Dette er meget urimeligt. Hvorfor skulle comutere - der stort set ikke vejede noget i 966 - have så stor betydning for risindekset? Problemet er, at man kommer for langt væk fra basisåret. 7
8 6. Kædede Laseyres mængder og kædede Paasche riser Problemet med Laseyres fastbase mængdeindeks har gjort, at man i nationalregnskabet er gået over til at angive mængderne som kædede Laseyres mængder. Forskellen er, at i stedet for at bruge et basisår som grundlag for udviklingen i ris- og mængdeindeks, så bruger man året før. Det kædede Laseyres mængdeindeks er givet ved:, +, hvor fodtegn - betyder, at det er risen fra sidste eriode. (6. Her er det dog nødvendigt at kende det tilhørende Paashcerisindeks fra året før, som er givet ved: + (6. +,, Dette kræver dog det tilhørende Paascherisindeks for året før igen. Alle riser er stadig sat lig i år 000, så med udgangsunkt i år 000 kan ovenstående formel bruges for årene før. For før 000 kan man vende formlen om:, +, (6.3 + Den store fordel ved kædeindeks er, at vægtene ikke i samme grad forældes. De er kun en eriode gamle og ikke adskillige år gamle. En anden stor fordel er, at de er det officielle risindeks de er standard i Nationalregnskabet og langt de fleste andre steder. Hvis der ikke er nogen substitution mellem varerne i aggregatet, så vil vægtene være uændrede over tid. Det betyder, at den kædede Paasche ris og fastbase Paasche risen begge vil være lig det teoretiske risindeks. Dette er vist i bilag C. Jo større substitution der er mellem varerne, jo mere vil vægtene være ændret over tid, og jo dårligere vil de to Paasche riser afsejle det teoretiske risindeks. Fastbase Paasche risen vil have dårligere og dårligere vægte over tid, eftersom de relative riser fjerner sig fra udgangsåret. Den kædede Paasche ris vil aldrig stemme 00 rocent, men vil over tid tilasse sig til de nye vægte. Idet det kædede indeks løbende tilasser sig de nye vægte vil det aldrig komme alt for langt væk fra det teoretiske indeks. Derfor kaldes de kædede indeks for suerlative indeks. Ovenstående illustreres ved at beregne kædede mængder og riser for eksemlet vist i tabel 5.. Tabel 6. viser, hvordan kædede aggregater rammer i forhold til fastbase aggregaterne. Efter 7 år rammer fastbaseaggregatet over rocent over, mens kædeaggregatet rammer under 3 rocent over. Man skal være omærksom å, at ligesom det teoretiske mængdeaggregat er det kædede aggregat ikke lig summen af underkomonenterne, hvilket er en underliggende egenskab af ræcis fastbase mængdeaggregatet.
9 Tabel 6. Pris- og mængdeaggregat for Cobb-Douglas. 000 00 00 003 004 005 006 007.0000.000.4400.780.0736.4883.9860 3.583.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 M 00.00 0.00 44.00 7.80 07.36 48.83 98.60 358.3 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 60.00 7.00 86.40 03.68 4.4 49.30 79.6 _teori.0000.0954.000.345.4400.5774.780.899 _fastbase.0000.0909.803.669.3493.467.498.5636 _kæde.0000.0909.90.983.463.545.6855.8387 _teori 00.00 09.54 0.00 3.45 44.00 57.74 7.80 89.9 _fastbase 00.00 0.00.00 36.40 53.68 74.4 99.30 9.6 _kæde 00.00 0.00.00 33.0 46.4 6.05 77.6 94.87 _f/_t.000.004.07.038.067.06.53. _k/_t.000.004.008.03.07.0.05.09 Den store uleme ved kædede Laseyres mængder er, at de generelt ikke er additive:, (6.4, + + Det gør det mere besværligt, at hver man man skal finde værdien af to tal i kædede værdier, så skal man til at udregne et risaggregat, hvor man med fastbase blot kan lægge dem sammen. Det er den største uleme ved kædede værdier. Tag udgangsunkt i forsyningsbalancen: C, I, G, N, Y C + I + G + N Y, Y, Y, Y, (6.5 hvor Y er BNP, C er rivatforbrug, I er investeringer, G er offentligt forbrug og N er nettoeksorten alle i kædede mængder. Stiger det offentlige forbrug med C, mia. kr. vil det betyde, at BNP skal stige med mia. kr. Alternativt skal f.eks. nettoeksorten falde med C, N, Y, mia. kr. Dette gør det svært at tale om effekten af mia. kr. i kædede værdier, da denne mia. kr. vil åvirke de øvrige komonenter med noget forskelligt fra mia. kr. Er man langt fra basisåret, så kan de relative riser være markant forskellige. Hermed kan mia. mere offentlig forbrug give en stigning å 900 mio. kr. i BNP eller blive crowded out af 800 mio. kr. mindre eksort og 850 mio. kr. mindre nettoeksort. Dette kan drille mange brugere, som er vant til at arbejde med fastbasemængder.
0 7. Konklusion De fleste steder er BNP-væksten underforstået væksten i BNP i kædede Laseyres mængder. På samme måde er standarden at angive størrelser i kædede Laseyres mængder. Derfor skal man vide, hvad en kædet Laseyres mængde er, og hvordan man benytter disse tal i raksis. I dette air er gennemgået baggrunden for de forskellige anvendte risindeks og forklaret, hvordan man skaber et aggregat af to tidsserier.
Bilag A: Laseyres og Paasche indeks Et Laseyres indeks er givet ved: xt ω x + ω x x ω x + ω x, T0, T, T0, T T0, T0, T0, T0, T0 (A. hvor x og x er ting, der skal vægtes sammen til et aggregat x til tidsunktet T, mens ω,t 0 og ω,t 0 er vægtene å henholdsvis x og x, som gjaldt i eriode T 0. Man vejer ting sammen med deres vægte i eriode T 0. Udviklingen i de vægtede ting er så lig udviklingen i aggregatet. Et Paasche indeks er givet ved: x ω x + ω x x ω x + ω x T, T, T, T, T T0, T, T0, T, T0 (A. hvor x og x er ting, der skal vægtes sammen til et aggregat x til tidsunktet T, mens ω,t og ω,t er vægtene å henholdsvis x og x, som gjaldt i eriode T. Man vejer ting sammen med deres vægte i eriodet. Udviklingen i de vægtede ting er så lig udviklingen i aggregatet. Forskellen å Laeyres og Paasche indekset er, at Laseyres bruger vægte fra basisåret, T 0, mens Paasche bruger vægte fra indeværende år, T. Jeg vil nu gerne vise, at når mængdeindekset er et Laseyres indeks, så er risindekset et Paasche indeks. For mængder er vægtene riser. Et Laseyres mængdeindeks er givet ved: T, T 0, T +, T (A.3 0, T + T0, T0, T0, T0, T0 hvor er mængder og er riser. Ligningen kan omskrives til:, T 0, T +, T 0, T T da +., T0, T0, T0, T0 T0 T0 T0 (A.4 For riser er vægtene mængder. Et Paasche risindeks er givet ved: T, T, T +, T, T + T0, T, T0, T, T0 Denne ligning kan også omskrives til: + T da +., T, T, T, T T T, T0, T, T0, T T0 (A.5 (A.6 Det gælder også, at når mængdeindekset er et Paascheindeks, så er risindekset et Laseyres indeks.
Bilag B: CES risindeks CES roduktionsfunktionen er givet ved: / ( / ( ( ( / σ / σ σ σ σ σ σ σ (, + /( (B. Dette giver følgende forhold: (B. Det teoretiske risindeks for CES funktionen er: ( ( ( ( CES σ + σ σ Fastbaseindekset kan omskrives til: FB + + + + + + + + ( ( σ + + + + ( ( ( + ( + ( ( + ( + ( + + σ ( + + σ /( ( σ /( CES CES (B.3 (B.4 Jo mere de relative riser driver fra hinanden, jo mere driver de to risindeks fra hinanden:
3 FB x x x CES x x x FB x x x x CES x x x x x + x ( + Det kædede indeks kan omskrives til: x f + x f x x x f + x f,, ( x, + x, f / f x, f / f + x, x + x x x x x x σ x x x, + ( x, x x + ( x x + ( x,, x ( + ( x x x x x,, ( σ σ σ + ( x x, x + ( x, x x + ( x σ + ( ( x + ( x x, + ( x + ( x x σ + ( /( ( x + ( x x x + ( x x x, x x, x σ /( x x x, σ,, x, x, x, x,,, x CES x CES (B.5 (B.6
4 Bilag C: Leontief risindeks Leontief roduktionsfunktionen er givet ved: MIN, (C. ( ( Dette giver følgende forhold: (C. ( (C.3 Det teoretiske risindeks for Leontief funktionen er: + (C.4 ( Fastbaseindekset kan omskrives til: + + + + + ( + Det kædede indeks kan omskrives til: + + ( + + ( ( ( ( ( ( (,,,, + +,, + +,,,, ( ( +... +,, + (C.5 (C.6 Idet man udnytter, at alle riser i basisåret er lig.