Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder har vi tegnet grafen for funktionen f () = sin() i intervallet [; ]. = sin() Grafen viser en enkelt periode for sinussvingningen. Hvis vi udvider definitionsmængden til R vil grafen blot gentage sig selv uendelig mange gange, idet det for alle R gælder, at sin( + p) = sin() hvor p Z. Nedenunder er der tegnet tre perioder: 4 5 6 Da grafen svinger mellem - og siger vi at svingningen har amplituden. Amplituden er altså udsvingets absolutte størrelse regnet fra -aksen. Når vi ser på svingninger, vil vi altid gå ud fra, at er en tidsvariabel (s). Vi kan se, at sinussvingningen bruger sekunder om at udføre en svingning. Derfor siger vi, at
svingningens periode er sekunder, hvilket skrives således T = s. Eksempel Her har vi tegnet svingningerne med ligningerne = sin(2) og = sin() sin() sin(2) Grafen for ligningen = sin(2) udfører to hele svingninger på samme tid, som grundsvingningen (dvs. = sin()) bruger for at udføre en svingning, dvs. at perioden er. Amplituden er. Eksempel 2 Svingningen givet ved =.5 sin(): 2 2 Her kan vi se, at der udføres tre hele svingninger på den samme tid, som grundsvingningen bruger om at udføre en hel svingning, dvs, at perioden T =. Amplituden er.5. Ovenstående er eksempler på sinussvingninger givet ved en funktion af formen f () = A sin(ω), og de omtales som harmoniske svingninger. Konstanten A kaldes amplituden, idet den udtrkker udsvingets størrelse omkring -aksen, og konstanten ω kaldes vinkelfrekvensen. Af de foregående eksempler fremgår det, at perioden T =, hvilket også er let at ω den generelle definition følger senere 2
indse, idet svingningen skal starte forfra første gang, når ωt bliver lig med. Eksempel En svingning hvor T = 4 og A = 2. Ligningen bliver derfor = 2 sin( 2 ). 2 2 4 5 6 7 8 2 Vi opsummerer vores resultater nedenunder: f () = A sin(ω) (en harmonisk svingning) A = amplituden ( udsvingets størrelse ). T = perioden (den tid (s) det tager at udføre en svingning). ν = frekvensen (antal svingninger pr. sekund). T ω = ν = T vinkelfrekvensen. Vi kan dermed udtrkke den harmoniske svingning på forskellige måder : afhængig af den givne situation. f () = A sin(ω) = A sin(ν) = A sin( T ) Eksempel 4 En svingning med amplituden 2 og frekvensen 5 Hz, har forskriften f () = 2 sin(). Eksempel 5 Den harmoniske svingning givet ved f () = 5 sin() har amplituden 5 og frekvensen 5 Hz, og perioden er derfor lig med,2 s.
Vi er nu klar til den endelige definition. Ved en harmonisk svingning forstås en funktion f givet ved f () = A sin(ω + ϕ) + C Konstanten ϕ kaldes fasekonstanten og konstanten C forskder grafen langs -aksen, således at den svinger omkring linjen = C. Da virkningen af konstanten C er triviel, vil vi se bort fra C i det følgende. Vi foretager følgende omskrivning: hvor f () = A sin(ω + ϕ) = A sin(ω( + ϕ ω )) = g( + ϕ ω ), g() = A sin(ω). Omskrivningen viser os, at grafen for f fremkommer ved at parallelforskde grafen for g stkket ϕ i -aksens retning. Vi omtaler derfor tallet ϕ som faseforskdningen. ω ω Eksempel 4 Herunder er en tegning af graferne for grundsvingningen og for f () = sin( ). Vi kan se, at sidstnævnte graf er forskudt en enhed til højre. 2 4 5 6 7 Når vinkelfrekvensen er, er fasekonstanten og faseforskdningen modsatte tal. 4
Eksempel 5 Her er en tegning af graferne for g() = sin(2) og for f () = sin(2 ). Vi kan se, at sidstnævnte graf er forskudt en halv enhed til højre! 2 4 5 6 7 Vekselstrøm Vekselstrøm kan beskrives ved en sinussvingning med frekvensen 5 Hz, dvs. spændingen svinger 5 gange i sekundet mellem -2 V og 2 V. Det har ingen betdning for en glødelampe, idet glødetråden er varm i de korte tidsrum, hvor spændingen falder, men f. computerskærme vil blinke 5 gange i sekundet, men det er så hurtigt at vores øjne ikke kan opfatte det. Komfurer, opvaskemaskiner mv. kræver normalt trefaset vekselstrøm, hvor spændingen svinger mellem -4 V og 4 V. Trefaset vekselstrøm består af tre elledninger med almindelig vekselstrøm, hvor sinussvingningerne er faseforskudt med en tredjedel periode. De tre svingninger kan derfor beskrives ved følgende forskrifter: f () = 2 sin() g() = 2 sin( 2 ) h() = 2 sin( 4 ) 5
25 2 5 5-5 - -5-2 Der gælder følgende: -25.4.8.2.6.2 De tre faseforskudte svingninger ophæver hinanden, dvs. hvis man lægger dem sammen får man -funktionen. Differencen mellem to vilkårlige af svingningerne er en harmonisk svingning med en amplitude på ca 4 V (sådan laver man altså trefaset vekselstrøm). Påstandene er en konsekvens af følgende Sætning Summen af to harmoniske svingninger med samme vinkelfrekvens (eller samme frekvens) er selv en harmonisk svingning (evt. nulfunktionen). Der gælder nemlig, at hvis vi lader f () = A sin(ω + ϕ ) og g() = B sin(ω + ϕ 2 ), så er f () + g() = C sin(ω + ϕ), hvor C = A 2 + B 2 + 2AB cos(ϕ ϕ 2 ) og ϕ kan bestemmes på følgende måde: ( ) A ϕ = tan sin(ϕ ) + B sin(ϕ 2 ) A cos(ϕ ) + B cos(ϕ 2 ) når nævneren ikke er. Hvis nævneren er negativ, skal der dog lægges til. (Beviset udelades.) Bemærkning cos(ϕ ϕ 2 ) = cos(ϕ 2 ϕ ), så vi kan undgå negative argumenter til cos. Formlerne gælder for alle A, B R, og dækker derfor også det tilfælde, hvor vi trækker fra i stedet for at lægge til. Vi vil nu efterregne påstandene ovenfor : Først viser vi, at summen af de tre svingninger giver -funktionen. Vi ser først på summen af de to første: 6
. 2 sin() + 2 sin( ) : C = 2 2 2 + 2 2 2 cos( ) = 2 så amplituden er uændret. ϕ = tan 2 sin() + 2 sin( ) 2 cos() + 2 cos( ) = så regneforskriften for summen bliver lig med: 2 sin( ). Vi lægger den nu sammen med den tredje svingning: 2. 2 sin( ) + 2 sin( 4 ) : C = 2 2 2 + 2 2 2 cos() = altså amplituden bliver, hvormed resultatet er bevist. Vi ser nu på differencen mellem de to første (svarende til at B = -2) : 2 sin() 2 sin( ). Her får vi, at C = 2 2 2 2 2 2 cos( ) = 2 så amplituden er 4, og ϕ = tan 2 sin() 2 sin( ) 2 cos() 2 cos( ) = 6 så regneforskriften for differencen bliver lig med: 2 sin( + 6 ). Preben M. Henriksen 4//26 7